Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran Champemowne Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan (Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
PENDUGAAN NILAI EKSTRIM MENGGUNAKAN SEBARAN
CHAMPERNOWNE TERMODIFIKASI, SEBARAN PARETO
TERAMPAT, DAN NILAI GABUNGAN
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
MUHAMMAD HAFID
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Nilai
Ekstrim Menggunakan Sebaran Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto
Terampat, dan Nilai Gabungan (Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga
Bogor) adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2013
Muhammad Hafid
NIM G14090011
ABSTRAK
MUHAMMAD HAFID. Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran
Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor). Dibimbing oleh
AJI HAMIM WIGENA dan ANIK DJURAIDAH.
Curah hujan ekstrim dapat memberikan dampak buruk terhadap aktivitas
manusia. Dampak buruk berupa kegagalan produksi di sektor pertanian dan
perkebunan dapat diantisipasi dengan menduga curah hujan ektrim yang mungkin
terjadi di waktu yang akan datang. Penelitian ini bertujuan membandingkan
pendugaan curah hujan ekstrim menggunakan sebaran Champernowne
termodifikasi dan sebaran Pareto terampat (GPD), serta menentukan bobot
optimum untuk pendugaan nilai ekstrim gabungan. Sebaran Champernowne
termodifikasi memiliki pola sebaran yang konvergen terhadap GPD dengan fungsi
sebaran terdiri dari 3 parameter yang menggambarkan pusat data, keragaman, dan
karakteristik ujung sebaran. Sedangkan GPD terdiri dari 2 parameter yang
menggambarkan keragaman dan karakteristik ujung sebaran (berekor panjang).
Data yang digunakan adalah data curah hujan harian stasiun Darmaga Bogor
selama periode 1985-Juni 2011 yang diperoleh dari Badan Meteorologi
Klimatologi dan Geofisika. Pendugaan GPD cenderung bias ke atas sedangkan
pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke bawah.
Penggabungan kedua nilai dugaan berdasarkan pembobotan menghasilkan dugaan
nilai ekstrim yang lebih akurat. Peramalan jangka waktu 1, 2, dan 3 bulan ke
depan sangat baik diduga berdasarkan sebaran Champernowne termodifikasi,
sementara peramalan 6 dan 9 bulan ke depan sangat baik diduga berdasarkan GPD
dan nilai gabungan.
Kata kunci: Champernowne termodifikasi, nilai gabungan, Pareto terampat
ABSTRACT
MUHAMMAD HAFID. Extreme Value Estimation Using Modified
Champernowne
Distribution,
Generalized
Pareto
Distribution,
and
Combined Value (Case Study of Daily Rainfall Darmaga Bogor). Suvervised by
AJI HAMIM WIGENA and ANIK DJURAIDAH.
Extreme rainfall can give a negative affect for human activity. Negative
effect of production failure in agriculture and plantations can be anticipated by
extreme rainfall estimation that may occur in the future. The aims of this study is
to compare the extreme rainfall estimation using the modified Champernowne
distribution and generalized Pareto distribution (GPD), and determine the
optimum weights of combined extereme value estimation. Modified
Champernowne distribution patern has convergence to the GPD that the
distribution function consists of three parameters that describe the data center, the
diversity, and characteristics of the end of the distribution. While GPD consists of
two parameters that describe the diversity and characteristics of the end of the
distribution (heavy tail/tail light). The data used are daily rainfall data in Darmaga
Bogor Station during the period 1985-June 2011 were obtained from the
Indonesian Agency for Meteorology Climatology and Geophysics. GPD
estimation tends to over estimate while modified Champernowne distribution
estimation tends to under estimate. The combine of the estimated value by
weighted produces more accurate extreme value estimation. Forecasting results
for 1, 2, and 3 month ahead show that the best prediction based on modified
Champernowne distribution, while forecasting results for 6 and 9 month ahead is
very well predicted by GPD and combined value.
Keywords: combined value, generalized Pareto, modified Champernowne
PENDUGAAN NILAI EKSTRIM MENGGUNAKAN SEBARAN
CHAMPERNOWNE TERMODIFIKASI, SEBARAN PARETO
TERAMPAT, DAN NILAI GABUNGAN
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
MUHAMMAD HAFID
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran Champemowne
Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
Nama
: Muhammad Hafid
: G14090011
NIM
Disetuj ui oleh
Dr Ir Aji Hamiin Wigena. MSc
Pembimbing I
Tanggal Lulus:
21 AUG
Z
t
Dr Ir Anik Djuraidah, MS
Pembimbing II
Judul Skripsi : Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran Champernowne
Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
Nama
: Muhammad Hafid
NIM
: G14090011
Disetujui oleh
Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc
Pembimbing I
Dr Ir Anik Djuraidah, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Ir Hari Wijayanto, MSi
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas
rahmat dan hidayah-Nya karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul yang dipilih
dalam karya ilmiah ini adalah Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran
Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor).
Besar sekali bimbingan dan bantuan yang diperoleh sehingga penulis dapat
menyusun karya ilmiah ini. Terima kasih dan penghargaan yang setinggitingginya penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc dan
Ibu Dr Ir Anik Djuraidah, MS sebagai dosen pembimbing yang telah memberikan
arahan, saran, kritik, perhatian dan motivasi hingga selesainya karya ilmiah ini.
Terima kasih penulis ucapkan kepada seluruh Dosen Departemen Statistika
Institut Pertanian Bogor yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.
Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua pihak yang telah
membantu penulis selama ini.
Penulis mengucapkan terima kasih secara khusus kepada Ayahanda
Didi Kurnadi, Ibunda Tuti, adik-adik tercinta Intan, Ami Haniyah, Ima Halimah
beserta seluruh keluarga besar yang senantiasa memberikan dukungan, do’a,
semangat dan kasih sayang yang tidak terbatas untuk kesuksesan penulis.
Akhirnya penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat untuk
memberikan kontribusi yang nyata terhadap pengembangan ilmu pengetahuan di
bidang Statistika dan penerapannya di bidang Klimatologi.
Bogor, Agustus 2013
Muhammad Hafid
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Teori Nilai Ekstrim (Extereme Value Theory)
2
Sebaran Champernowne Termodifikasi
3
Tingkat Pengembalian (Return Level)
5
METODOLOGI
5
Data
5
Metode Penelitian
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Eksplorasi Data
7
Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi
8
Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan
11
Peramalan Curah Hujan Ekstrim
13
SIMPULAN
Simpulan
16
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
20
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Pengelompokan data
Nilai dugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi
Nilai RMSE pada kuantil 0.9 untuk setiap kelompok data analisis
Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian
5
9
11
13
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi
dengan parameter
=52.50, =5.317, dan =0.000001 disertai
perubahan parameter , dan
Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi
dengan parameter =52.50, =5.317, dan =0.000001 serta GPD
dengan parameter =35.50, =22.704, dan =0.0546603
Persentase hari hujan
mm tiap bulan periode 1985-2010
Diagram kotak garis curah hujan harian
mm tiap tahun
periode 1985-2010
Plot curah hujan harian melebihi nilai ambang periode 1985-2008
Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi ketika curah hujan diatas 78.97 mm dan 150 mm
periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD
dan sebaran Champernowne termodifikasi pada kuantil 0.9 periode
analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
Plot RMSE dengan
0.285 pada periode analisis 1 Januari
1985-31 Desember 2008
Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan
metode gabungan (
0.285) pada kuantil 0.9 periode analisis
1 Januari 1985-31 Desember 2008
Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan
periode tertentu jangka waktu 3 bulan ke depan
Nilai RMSEP hasil peramalan bulan ke depan
4
4
7
8
8
10
10
11
12
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
Uji Kolmogorov-Smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor
Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan
periode tertentu jangka waktu bulan ke depan
17
17
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perubahan cuaca dan iklim secara ekstrim merupakan hal serius yang dapat
memberikan dampak buruk terhadap berbagai aktivitas kehidupan. Salah satu
unsur cuaca dan iklim yang mempengaruhi aktivitas kehidupan manusia dalam
bidang pertanian dan perkebunan adalah curah hujan. Fenomena iklim berupa
ekstrim kering (El Nino) dan ekstrim basah (La Nina) dapat menyebabkan
terjadinya penyimpangan pola curah hujan dari kondisi normal (Djuraidah &
Wigena 2011). Tingginya risiko kegagalan produksi di sektor pertanian dan
perkebunan dapat dikurangi dengan menduga curah hujan ektrim yang mungkin
terjadi di waktu yang akan datang menggunakan teori nilai ektrim.
Teori nilai ekstrim (Extereme Value Theory/EVT) dikembangkan untuk
menganalisis kejadian nilai ekstrim. Metode pendugaan parametrik dalam EVT
menggunakan sebaran nilai ekstrim terampat (Generalized Extreme Value
Distribution/GEVD) dan sebaran pareto terampat (Generalized Pareto
Distribution/GPD). EVT bermanfaat untuk mengetahui karakteristik nilai ekstrim
curah hujan harian karena fungsi sebaran tersebut mengandung parameter yang
mampu menggambarkan perilaku ekor kanan atau ujung sebaran (Sadik 1999).
Beberapa kajian tentang fenomena curah hujan dengan menerapkan EVT
antara lain Irfan (2011) menganalisis curah hujan ekstrim periode 2001-2010 di
Darmaga Bogor dengan GPD, Prang (2006) menganalisis curah hujan ekstrim
periode 1999-2004 di Darmaga Bogor dengan GEVD, dan Sadik (1999)
menganalisis curah hujan ekstrim periode 1973-1994 di Pusaka Negara
dengan GEVD.
Kajian terhadap GEVD dan GPD menunjukkan bahwa kedua sebaran
tersebut cukup baik dalam pendugaan curah hujan ekstrim. Penelitian Gilli dan
Kellezi (2003) tentang risiko finansial menunjukkan bahwa GPD lebih baik dalam
pendugaan nilai ekstrim daripada GEVD. Namun demikian kebaikan pendugaan
GPD masih terkendala oleh penentuan nilai ambang (threshold) yang tepat untuk
mengidentifikasi nilai ekstrim. Hal ini karena parameter skala (keragaman) sangat
bergantung kepada nilai ambang. Buch-Larsen et al. (2005) memperkenalkan
sebaran Champernowne termodifikasi untuk mengkaji nilai ekstrim dalam bidang
ekonomi. Pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi merupakan metode
alternatif dalam menganalisis kejadian nilai ekstrim dengan pola sebaran yang
konvergen terhadap GPD. GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
kemungkinan akan menghasilkan nilai dugaan yang berbeda sehingga diperlukan
penggabungan nilai dugaan kedua sebaran tersebut dengan pembobotan.
Tujuan
1.
2.
Penelitian ini bertujuan :
Mengkaji serta membandingkan pendugaan curah hujan ekstrim
menggunakan sebaran Champernowne termodifikasi dan sebaran Pareto
terampat.
Menentukan bobot optimum untuk pendugaan nilai ekstrim gabungan.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Teori Nilai Ekstrim (Extereme Value Theory)
EVT memberi perhatian pada informasi kejadian-kejadian ekstrim
berdasarkan nilai-nilai ekstrim yang diperoleh untuk membentuk fungsi sebaran
yang sesuai. Terdapat dua jenis nilai ekstrim yaitu ekstrim minimum dan ekstrim
maksimum, apabila digambarkan dalam bentuk histogram maka data ekstrim
terdistribusi pada ujung kiri dan unjung kanan (sebaran ekor). Gilli dan Kellezi
(2003) menjelaskan bahwa terdapat dua cara untuk mengidentifikasi data ekstrim,
yaitu metode block maxima dan peaks over threshold.
Metode block maxima adalah metode untuk menentukan nilai ekstrim
dengan cara mengambil nilai tertinggi data observasi yang dikelompokkan
berdasarkan periode waktu tertentu misalnya bulanan. Menurut Jenkinson (1955)
dalam Gilli dan Kellezi (2003), misalkan
adalah peubah acak saling
bebas dan identik, maka
konvergen pada
sebaran GEV dengan fungsi sebarannya :
dengan
adalah parameter lokasi,
adalah parameter skala, dan
adalah
parameter bentuk.
Metode peaks over threshold (POT) adalah metode untuk menentukan nilai
ekstrim dengan cara mengambil nilai yang berada diatas nilai ambang (threshold,
u). Menurut Pickands (1975) dalam Gilli dan Kellezi (2003), ketika u sangat besar
maka data ekstrim tersebut akan konvergen pada GPD :
dengan
adalah :
,
dan
, fungsi kepekatan peluang GPD
serta invers dari fungsi sebaran GPD adalah :
Nilai
menentukan karakteristik ujung sebaran, jika
maka
sebarannya mempunyai titik ujung kanan yang terhingga, sedangkan jika
maka sebarannya mempunyai titik ujung kanan yang tak terhingga (Sadik 1999).
Perilaku distribusi ekor yang tak terhingga atau panjang menunjukkan ada
kemungkinan terjadinya nilai yang sangat ekstrim.
3
Sebaran Champernowne Termodifikasi
Sebaran Champernowne diperkenalkan oleh D.G. Champernowne pada
tahun 1936 dalam penelitiannya terkait teori distribusi pendapatan yaitu :
dengan adalah koefisien normalisasi serta
sebagai parameternya. Ketika
, fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne adalah:
dan
dengan fungsi sebarannya adalah:
akan tetapi sebaran Champernowne ini tidak fleksibel dari segi bentuk ketika
.
Buch-Larsen et al. (2005) memperkenalkan sebaran Champernowne
termodifikasi sebagai solusi dari permasalahan diatas, fungsi sebarannya adalah:
dengan parameter
adalah:
dan
, serta fungsi kepekatan peluangnya
invers dari fungsi sebaran Champernowne termodifikasi adalah:
Buch-Larsen et al. (2005) telah membuktikan secara teoritis bahwa sebaran
Champernowne termodifikasi memiliki distribusi yang konvergen terhadap GPD
ketika x sangat besar
yaitu:
Gambar 1 menunjukkan pengaruh perubahan parameter
={50:70/5},
={0.5:5/0.5}, dan ={1:20/1} terhadap pemusatan, skala, dan bentuk fungsi
kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi. Semakin besar nilai
maka titik pemusatan semakin bergeser ke kanan disertai puncak kepekatan
peluang semakin bergeser ke bawah, semakin besar nilai maka skala semakin
4
kecil (semakin runcing), dan semakin besar nilai
titik belok semakin kecil.
maka kecekungan terhadap
Gambar 1 Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi
dengan parameter
=52.50, =5.317, dan =0.000001 disertai
perubahan parameter , dan
Gambar 2 menunjukkan bahwa pada
termodifikasi konvergen terhadap GPD.
150 mm, sebaran Champernowne
Gambar 2 Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi
dengan parameter =52.50, =5.317, dan =0.000001 serta GPD
dengan parameter =35.50, =22.704, dan =0.0546603
Salah satu metode pendugaan parameter
dan untuk fungsi sebaran
Champernowne termodifikasi adalah metode pendugaan kemungkinan maksimum
(MLE) yakni memilih parameter sehingga diperoleh penduga terbaik pada sebaran
ekor kanannya. Buch-Larsen et al. (2005) menyatakan
untuk
semua
yang mengasumsikan
sama dengan nilai median. Nilai median
merupakan penduga yang kekar (robust) terutama bagi pola sebaran ekor yang
panjang. Pendugaan kemungkinan maksimum terhadap parameter dan dengan
fungsi ln kemungkinan yaitu :
5
Tingkat Pengembalian (Return Level)
Tingkat pengembalian (
merupakan nilai maksimum yang diharapkan
akan dilampaui satu kali dalam jangka waktu
pengamatan ke depan sebagai
acuan untuk peramalan terjadinya curah hujan maksimum.
Fungsi tingkat pengembalian diperoleh dari fungsi peluang bersyarat, yaitu:
dengan subtitusi fungsi sebaran
pengembalian GPD :
untuk
menghasilkan fungsi tingkat
dan dengan subtitusi fungsi sebaran
menghasilkan fungsi tingkat
pengembalian sebaran Champernowne termodifikasi :
dengan
, =banyaknya data ekstrim yang dianalisis dan
data pada periode yang dianalisis. (Coles 2001)
= banyaknya
METODOLOGI
Data
Penelitian ini menggunakan data curah hujan harian 26.5 tahun (1 Januari
1985-30 Juni 2011) di stasiun Darmaga Bogor Jawa Barat. Data ini diperoleh dari
Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika.
Metode Penelitian
1.
2.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu:
Eksplorasi data menggunakan diagram kotak garis untuk mengetahui
pemusatan data, sebaran data, serta data pencilan yang kemungkinan
termasuk kejadian ekstrim.
Pengelompokan data berdasarkan periode tertentu menjadi data analisis dan
data validasi.
Tabel 1. Pengelompokan data
Kelompok
Data Analisis
Data Validasi
1
1 Jan.1985-31 Des.2008
1 Jan.2009-30 Sep.2009
2
1 Jan.1985-31 Mar.2009
1 Apr.2009-31 Des.2009
3
1 Jan.1985-30 Jun.2009
1 Jul.2009-31 Mar.2010
4
1 Jan.1985-30 Sep.2009
1 Okt.2009-30 Jun.2010
5
1 Jan.1985-31 Des.2009
1 Jan.2010-30 Sep.2010
6
1 Jan.1985-31 Mar.2010
1 Apr.2010-31 Des.2010
7
1 Jan.1985-30 Jun.2010
1 Jul.2010-31 Mar.2011
8
1 Jan.1985-30 Sep.2010
1 Okt.2010-30 Jun.2011
6
3.
4.
5.
6.
Penentuan nilai ambang batas
Data ekstrim curah hujan yang digunakan didasarkan pada nilai ambang
batas
untuk setiap kelompok data analisis. Chavez-Demoulin (2006)
dalam Irfan (2011) menyarankan bahwa sekitar 10% nilai tertinggi dari
keseluruhan data dapat dikategorikan sebagai data ekstrim.
Pendugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
terhadap data ekstrim untuk setiap kelompok data analisis menggunakan
paket evir dan maxLik pada program R versi 2.15.3.
Pengujian asumsi sebaran curah hujan ekstrim untuk setiap kelompok data
analisis terhadap GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
menggunakan plot kuantil-kuantil dan uji Kolmogorov-Smirnov.
Prosedur pemeriksaan sebaran data dengan plot kuantil-kuantil (Aunudin
1989) :
a. Pengurutan data dari yang terkecil hingga terbesar ;
.
b. Untuk setiap
tetapkan nilai
; plot
dengan
adalah plot kuantil empirik.
c. Untuk setiap tetapkan nilai
; plot
dengan
adalah plot kuantil teoritik.
d. Plot antara
dengan
merupakan plot kuantil-kuantil.
e. Suatu sebaran dikatakan penduga yang baik serta sesuai dengan sebaran
data aktual apabila plot kuantil-kuantil menghampiri garis linier
.
Evaluasi pendugaan nilai ekstrim menggunakan RMSE.
Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error (RMSE)
dugaan nilai ekstrim
terhadap nilai aktual
. Dugaan nilai ekstrim
yang digunakan berdasarkan GPD
dan Champernowne
.
= banyaknya nilai
diatas kuantil 0.9
7.
Pendugaan nilai ekstrim gabungan (
) dengan cara pemberian bobot
optimum (
) terhadap nilai dugaan sebaran Champernowne
termodifikasi (
) dan nilai dugaan GPD (
).
Penentuan
dilakukan berdasarkan nilai
={0:1/0.001} sehingga
dipilih berdasarkan nilai RMSE yang paling kecil.
8.
Peramalan nilai tingkat pengembalian curah hujan maksimum.
Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error
Prediction (RMSEP) nilai ramalan
terhadap nilai aktual
jangka
waktu hari ke depan.
= banyaknya kelompok
data validasi
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Curah hujan harian selama periode 1985-2010 di Darmaga Bogor
menunjukkan bahwa pada bulan Oktober sampai Mei sering terjadi hujan
dibandingkan dengan bulan lainnya dengan persentase banyaknya hari hujan tiap
bulan lebih dari 50% seperti yang tercantum pada Gambar 3. Jumlah hari hujan
pada bulan Oktober 450 hari, November 545 hari, Desember 518 hari, Januari 594
hari, Februari 572 hari, Maret 563 hari, April 488 hari, dan Mei 433 hari, pada
bulan Juni dan September jumlah hari hujan sebanyak 326 dan 323 hari,
sedangkan bulan Juli dan Agustus jumlah hari hujan sebanyak 297 dan 264 hari.
80.0%
73.7% 73.3%
Persentase Hari Hujan
70.0%
69.9%
64.3%
69.9%
62.6%
60.0%
55.8%
55.0%
50.0%
41.8%
40.0%
41.4%
33.9%
30.0%
30.1%
20.0%
10.0%
0.0%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bulan
Gambar 3 Persentase hari hujan
mm tiap bulan periode 1985-2010
Pada Gambar 4 terlihat bahwa selama periode 1985-2010 besarnya curah
hujan harian sangat beragam pada setiap bulan. Terdapatnya data pencilan yang
relatif jauh dari pusat data menunjukkan penyimpangan curah hujan dari kondisi
normal yang menjadi kajian dalam penelitian ini. Curah hujan harian tertinggi
terjadi pada tanggal 1 April 2004 sebesar 507 mm, 3 Juni 1995 sebesar 315 mm
dan 13 Februari 1989 sebesar 240 mm. Ketiga data tersebut sangat jauh memencil
dari data ekstrim yang ada sehingga pemanfaatan data tersebut akan sangat
mempengaruhi keakuratan pendugaan. Dalam penelitian Prang (2006) terhadap
data curah hujan harian di Darmaga Bogor selama periode 1999-2004, tidak
ditemukan curah hujan yang mencapai 507 mm. Tidak adanya informasi yang
menunjukkan kebenaran ketiga data tersebut sehingga diterapkan penanganan data
hilang dengan diperoleh keseluruhan data ekstrim curah hujan Darmaga 19852010 yang tidak melebihi 200 mm.
8
Curah Hujan Harian (mm)
500
400
300
200
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bulan
Gambar 4 Diagram kotak garis curah hujan harian
periode 1985-2010
mm tiap bulan
Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi
Teladan mengidentifikasi data curah hujan harian berkarakteristik ekstrim
terhadap data analisis kelompok 1 disajikan pada Gambar 5. Jumlah curah hujan
harian yang berada di atas nilai selama periode 1985-2008 sebanyak 868 hari.
Data curah hujan ekstrim tersebut selanjutnya akan dijadikan sebagai data analisis
menggunakan GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi.
200
Curah Hujan Harian (mm)
180
160
188.3
176.3
155.5
157
149.6
140
120
100
80
60
40
20
0
Hari
Gambar 5 Plot curah hujan harian melebihi nilai ambang periode 1985-2008
Hasil pendugaan parameter GPD (Tabel 2) menunjukkan bahwa pada
periode 1 Januari 1985-31 Desember 2008 dengan ambang batas 36 mm diperoleh
nilai dugaan parameter skala (
yang menggambarkan pola keragaman data
sebesar 25.20 dan untuk dugaan parameter bentuk ( yang menggambarkan
9
perilaku ekor kanan sebesar
. Periode 1 Januari 1985-30 Juni 2009
memiliki keragaman terbesar dengan nilai sebesar 25.21. Parameter untuk setiap
kelompok data analisis selalu bernilai negatif menunjukkan fungsi kepekatan
peluangnya memiliki titik ujung kanan yang terhingga sehingga kemungkinan
besar tidak akan terjadi curah hujan yang sangat ekstrim. Perubahan periode untuk
setiap kelompok data analisis menghasilkan nilai u maupun parameter
dan
yang relatif sama. Hal ini menunjukkan kebaikan penentuan curah hujan
berkarakteristik ekstrim berdasarkan 10% nilai tertinggi.
Sedangkan hasil pendugaan parameter Champernowne termodifikasi
(Tabel 2) menunjukkan bahwa pada periode 1 Januari 1985-31 Desember 2008
dengan ambang batas 36 mm diperoleh nilai dugaan parameter
yang
menggambarkan titik pemusatan data terjadi pada 53 mm, dugaan parameter
yang menggambarkan pola keragaman data sebesar 5.51, dan dugaan parameter
sebesar 0.0000177. Periode 1 Januari 1985-31 Desember 2009 memiliki nilai
terkecil yang menunjukkan keragaman terbesar. Hal ini tidak sejalan dengan
karakteristik parameter GPD yang menyatakan bahwa periode 1 Januari 1985-30
Juni 2009 memiliki keragaman terbesar. Ketidaksamaan ini disebabkan
karakteristik keragaman Champernowne termodifikasi tidak hanya dijelaskan oleh
parameter
akan tetapi dipengaruhi pula oleh parameter . Hal ini dapat
diketahui dari bertambahnya nilai
sejalan dengan bergesernya pemusatan data
ke kanan disertai dengan bergesernya kecekungan fungsi kepekatan peluang
Champernowne termodifikasi ke bawah yang mempengaruhi besarnya
keragaman. Perubahan nilai dugaan parameter mengindikasikan besar kecilnya
peluang terjadinya nilai ekstrim. Namun demikian nilai parameter masih belum
dapat diketaui karakteristiknya untuk menentukan pola sebaran ekor kanan berupa
berekor panjang ataukah berekor pendek yang secara jelas dapat digambarkan
dengan parameter pada GPD.
Tabel 2 Nilai dugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
GPD
Periode Analisis
1 Jan.1985-31 Des.2008
1 Jan.1985-31 Mar.2009
1 Jan.1985-30 Jun.2009
1 Jan.1985-30 Sep.2009
1 Jan.1985-31 Des.2009
1 Jan.1985-31 Mar.2010
1 Jan.1985-31 Jun.2010
1 Jan.1985-30 Sep.2010
36.00
35.80
36.00
35.70
35.70
35.70
35.70
35.70
25.20
24.87
25.21
25.06
24.99
24.98
24.94
24.99
-0.0859
-0.0794
-0.0859
-0.0827
-0.0828
-0.0836
-0.0831
-0.0805
Champernowne
termodifikasi
53.00
52.80
53.00
52.80
52.80
52.70
52.65
52.75
5.51
5.47
5.49
5.45
5.27
5.47
5.46
5.45
0.0000177
0.0000082
0.0000009
0.0000307
0.0000029
0.0000669
0.0000191
0.0000100
Gambar 6 menunjukkan karakteristik GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008. Ketika peluang
kumulatif sebesar 0.9 diperoleh
sedangkan
sehingga nilai peluang
. Titik potong antara
fungsi kepekatan peluang GPD dengan sebaran Champernowne termodifikasi
10
diperoleh berdasarkan perhitungan
menghasilkan
dan
.
Peluang
pada
selang
(0.000043,0.0641)
menghasilkan nilai pendugaan GPD yang selalu lebih besar dibandingkan sebaran
Champernowne termodifikasi. Berlaku kebalikannya ketika peluang
sampai terjadi kekonvergenan pada saat peluang 0.
(78.97 , 0.0641)
(175 , 0.000043)
(175 , 0.000043)
Gambar 6 Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi ketika curah hujan diatas 78.97 mm (a) dan 150 mm
(b) periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
Pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data empirik terhadap pola sebaran
teoritik (Gambar 7) memperlihatkan bahwa GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi mampu menduga curah hujan ekstrim di Darmaga Bogor dengan
baik. Plot kuantil-kuantil yang berada di atas garis linier berwarna merah
menunjukkan pendugaan bernilai lebih kecil dari nilai aktual (bias ke bawah)
sedangkan untuk plot yang berada di bawah garis menunjukkan pendugaan
bernilai lebih besar dari nilai aktual (bias ke atas). Pendugaan curah hujan ekstrim
berdasarkan GPD memiliki kecenderungan bias ke atas sedangkan sebaran
Champernowne termodifikasi memiliki kecenderungan bias ke bawah. Hal ini
menunjukkan bahwa penggabungan nilai dugaan GPD dan sebaran
Champernowne termodifikasi akan menghasilkan nilai dugaan yang lebih baik.
(a)
(b)
Gambar 7 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD
(a) dan sebaran Champernowne termodifikasi (b) pada kuantil 0.9
periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
11
Pengujian asumsi secara formal berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov
menunjukkan bahwa sebaran data empirik setiap periode analisis mengikuti GPD
dan sebaran Champernowne termodifikasi (Lampiran 1).
Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan
Perhitungan
dilakukan terhadap seluruh nilai dugaan GPD dan nilai
dugaan sebaran Champernowne termodifikasi yang berada pada kuantil 0.9. Hal
ini karena curah hujan ekstrim berada pada kuantil
0.9 serta terdapatnya
kekonvergenan sebaran Champernowne termodifikasi pada GPD. Gambar 8
menunjukkan nilai RMSE untuk setiap bobot ( membentuk suatu kurva dengan
RMSE minimum sebesar 2.361 ketika
0.285 untuk periode analisis
1 Januari 1985-31 Desember 2008.
Gambar 8 Plot RMSE dengan
1985-31 Desember 2008
0.285 pada periode analisis 1 Januari
Penentuan bobot optimum berdasarkan RMSE minimum akan menghasilkan
dugaan nilai ekstrim terbaik berdasarkan nilai gabungan. Penentuan bobot
optimum dilakukan terhadap setiap kelompok data analisis dengan hasil disajikan
pada Tabel 3.
Tabel 3 Nilai RMSE pada kuantil
0.9 untuk setiap kelompok data analisis
Periode Analisis
GPD
Champernowne
termodifikasi
1 Jan.1985-31 Des.2008
1 Jan.1985-31 Mar.2009
1 Jan.1985-30 Jun.2009
1 Jan.1985-30 Sep.2009
1 Jan.1985-31 Des.2009
1 Jan.1985-31 Mar.2010
1 Jan.1985-31 Jun.2010
1 Jan.1985-30 Sep.2010
3.878
3.675
3.733
3.604
3.624
3.700
3.645
3.410
8.067
8.848
9.081
8.775
7.266
8.756
8.779
9.325
Gabungan
2.361
2.445
2.451
2.341
1.988
2.371
2.375
2.311
0.285
0.244
0.244
0.245
0.302
0.252
0.247
0.217
12
Pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data empirik terhadap pola
(Gambar 9) menunjukkan bahwa nilai gabungan mampu menduga curah hujan
ekstrim di Darmaga Bogor dengan baik. Hasil pendugaan hampir secara tepat
berada pada garis linear. Hal ini menunjukkan keandalan nilai gabungan dalam
mengatasi bias ke atas pendugaan GPD dan bias ke bawah pendugaan sebaran
Champernowne termodifikasi.
Gambar 9 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan nilai
gabungan (
0.285) pada kuantil
0.9 periode analisis
1 Januari 1985-31 Desember 2008
Perhitungan simpangan galat antara nilai dugaan terhadap nilai aktual sangat
diperlukan untuk membandingan kebaikan antar metode pendugaan secara akurat.
Hasil pengukuran simpangan galat berdasarkan akar dari rata-rata jumlah kuadrat
galat (Root Mean Square Error/RMSE) pada Tabel 3 menunjukkan bahwa
pendugaan terbaik adalah pendugaan nilai gabungan dengan nilai RMSE paling
kecil dibandingkan GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi. Nilai RMSE
pendugaan nilai gabungan tidak terlalu jauh berbeda dengan pendugaan GPD
tetapi cukup jauh berbeda dengan pendugaan sebaran Champernowne
termodifikasi. Hal ini karena kebaikan pendugaan nilai gabungan sangat besar
dipengaruhi oleh kebaikan pendugaan GPD dan cukup kecil dipengaruhi oleh
sebaran Champernowne termodifikasi.
Pemilihan bobot optimum (
pendugaan nilai gabungan berdasarkan nilai
RMSE terkecil menunjukkan bahwa perolehan bobot optimum untuk setiap
kelompok periode analisis relatif sama. Bobot optimum yang diperoleh secara
rata-rata bernilai 0.254 menunjukkan pembobotan terhadap nilai dugaan sebaran
Champernowne termodifikasi rata-rata sebesar 0.254 sedangkan pembobotan
terhadap nilai dugaan GPD rata-rata sebesar 0.746. Pembobotan terhadap dugaan
GPD selalu lebih besar dibandingkan dugaan sebaran Champernowne
termodifikasi. Hal ini karena GPD mampu menduga nilai ekstrim lebih akurat
dibandingkan sebaran Champernowne termodifikasi. Nilai bobot optimum yang
diperoleh untuk setiap kelompok data analisis digunakan untuk meramalkan nilai
ekstrim berdasarkan pendugaan nilai gabungan.
13
Peramalan Curah Hujan Ekstrim
Peramalan berdasarkan nilai tingkat pengembalian (return level) ditujukan
untuk menduga curah hujan maksimum yang secara rata-rata mungkin terjadi
selama
hari ke depan. Untuk menentukan pendugaan terbaik maka dihitung
nilai RMSEP antara nilai ramalan dengan nilai aktual pada setiap kelompok data
validasi. Penentuan
akan mempengaruhi ketepatan peramalan sehingga dalam
penelitian ini diterapkan beberapa nilai
yang berbeda dengan tujuan mencari
jangka waktu peramalan terbaik.
Tabel 4
Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian
Curah hujan
ekstrim
Periode Analisis
1985-31 Des.2008
1985-31 Mar.2009
1985-30 Jun.2009
1985-30 Sep.2009
Nilai aktual
1985-31 Des.2009
1985-31 Mar.2010
1985-31 Jun.2010
1985-30 Sep.2010
1985-31 Des.2008
1985-31 Mar.2009
1985-30 Jun.2009
1985-30 Sep.2009
GPD
1985-31 Des.2009
1985-31 Mar.2010
1985-31 Jun.2010
1985-30 Sep.2010
RMSEP
1985-31 Des.2008
1985-31 Mar.2009
1985-30 Jun.2009
1985-30 Sep.2009
Champernowne
1985-31 Des.2009
termodifikasi
1985-31 Mar.2010
1985-31 Jun.2010
1985-30 Sep.2010
RMSEP
1985-31 Des.2008
1985-31 Mar.2009
1985-30 Jun.2009
1985-30 Sep.2009
Nilai gabungan 1985-31 Des.2009
1985-31 Mar.2010
1985-31 Jun.2010
1985-30 Sep.2010
RMSEP
Ramalan bulan ke depan, dengan :
1
2
3
6
9
76.00 76.00
76.00 104.70 104.70
62.10 97.05 104.70 104.70 104.70
38.75 38.75
38.75 74.00 79.70
59.10 74.00
74.00 79.70 91.15
48.30 77.60
78.40 91.15 122.80
10.90 62.90
86.20 122.80 122.80
53.40 83.80 122.25 122.25 122.25
61.25 69.60
69.60 75.00 94.40
62.94 77.27
86.25 100.41 108.35
61.97 77.70
86.18 100.36 108.27
62.96 78.37
86.74 100.77 108.47
62.69 77.71
86.43 100.27 108.13
62.64 76.91
85.86 100.01 107.96
61.89 77.59
86.04 100.13 107.98
62.55 77.85
86.17 100.14 107.81
62.66 77.70
86.43 100.30 108.20
21.39 16.87
23.84 19.03 15.73
60.48 70.57
77.14 88.56 95.75
59.94 71.14
77.42 88.94 96.16
60.51 71.42
77.61 89.02 96.04
60.45 71.15
77.63 88.94 96.15
60.75 71.36
78.32 90.47 98.18
59.80 70.97
77.23 88.72 95.92
60.25 71.14
77.33 88.74 95.78
60.40 71.10
77.58 88.88 96.09
20.36 16.30
23.37 19.72 17.70
62.24 75.36
83.65 97.03 104.76
61.48 76.10
84.04 97.57 105.31
62.36 76.67
84.51 97.91 105.43
62.14 76.11
84.28 97.49 105.20
62.07 75.23
83.58 97.13 105.00
61.36 75.92
83.82 97.26 104.94
61.98 76.19
83.99 97.33 104.84
62.17 76.26
84.51 97.83 105.57
21.12 16.43
23.46 18.80 15.51
14
Penentuan
hari kedepan akan lebih mudah berdasarkan jangka waktu
bulan ke depan. Sehingga dalam penelitian ini dipilih peramalan jangka waktu 1,
2, 3, 6 dan 9 bulan ke depan. Secara rinci hasil peramalan curah hujan
ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian untuk setiap peramalan bulan ke
depan disajikan pada Tabel 4. Grafik peramalan curah hujan ekstrim 3 bulan ke
depan (Gambar 10) menunjukkan dugaan sebaran Champernowne termodifikasi
memiliki pola yang mirip dengan dugaan sebaran GPD. Peramalan sebaran
Champernowne termodifikasi senantiasa berada dibawah nilai peramalan GPD
sedangkan nilai gabungan senantiasa berada diantara keduanya. Berdasarkan nilai
rataan, nilai curah hujan ekstrim aktual berada di sekitar 81.24 mm, hasil
peramalan GPD berada di sekitar 86.26 mm,
hasil peramalan sebaran
Champernowne termodifikasi berada di sekitar 77.53 mm, dan hasil nilai
gabungan berada di sekitar 84.05 mm. Kedekatan nilai gabungan terhadap
ramalan GPD dikarenakan pemberian bobot terhadap GPD lebih besar
dibandingkan sebaran Champernowne termodifikasi. Grafik peramalan jangka
waktu lainnya disajikan pada Lampiran 2. Secara keseluruhan curah hujan ekstrim
berdasarkan hasil peramalan GPD senantiasa berada di atas pusat data aktual
dengan jarak relatif sangat dekat, nilai gabungan senantiasa berada di atas pusat
data aktual dengan jarak relatif sangat dekat, dan hasil peramalan sebaran
Champernowne termodifikasi senantiasa berada di bawah pemusatan curah hujan
ekstrim aktual dengan jarak relatif cukup dekat.
140
122.25
120
104.7
Curah hujan (mm)
100
86.2
80 76
74
78.4
69.6
60
38.75
40
20
0
Jan-Mar Apr-Jun
2009
2009
Nilai aktual
Jul-Sep
2009
Okt-Des Jan-Mar Apr-Jun
2009
2010
2010
GPD
Champernowne termodifikasi
Jul-Sep
2010
Okt-Des
2010
Nilai gabungan
Gambar 10 Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan
periode tertentu jangka waktu 3 bulan ke depan
Pada penelitian ini, hasil peramalan bulan ke depan berdasarkan nilai
RMSEP yang paling kecil (Gambar 11) menunjukkan bahwa peramalan 1, 2 dan 3
bulan ke depan sangat baik diduga oleh sebaran Champernowne termodifikasi.
15
Sedangkan peramalan 6 dan 9 bulan ke depan sangat baik diduga oleh GPD serta
nilai gabungan. Hasil nilai gabungan diperoleh berdasarkan rata-rata bobot
optimum sebesar 0.254 untuk dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dan
0.746 untuk dugaan GPD. Peramalan jangka waktu 2 dan 9 bulan ke depan
menghasilhan nilai RMSEP yang lebih kecil untuk setiap metode peramalan
dibandingkan dengan jangka waktu lainnya dengan rata-rata RMSEP sebesar
16.53 dan 16.31. Hal ini menunjukkan bahwa peramalan jangka pendek lebih baik
diduga berdasarkan 2 bulan ke depan dan jangka panjang lebih baik diduga
berdasarkan 9 bulan ke depan.
30
25
23.47
20.51
18.83
RMSEP
20
15.87
15.52
15
10
5
0
1
2
3
6
9
Bulan
GPD
Champernowne termodifikasi
Gabungan
Gambar 11 Nilai RMSEP hasil peramalan bulan ke depan
16
SIMPULAN
Sebaran Champernowne termodifikasi mampu menduga curah hujan
ekstrim maksimum cukup baik dengan kemiripan pola pendugaan terhadap
sebaran Pareto terampat (GPD). Hasil pendugaan GPD cenderung bias ke atas
sedangkan pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke
bawah. Penggabungan kedua nilai dugaan berdasarkan pembobotan menghasilkan
dugaan nilai ekstrim yang lebih akurat dengan rata-rata bobot optimum sebesar
0.254 untuk dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dan 0.746 untuk
dugaan GPD. Pada penelitian ini, peramalan terbaik untuk jangka pendek adalah
peramalan selama 2 bulan ke depan menggunkan sebaran Champernowne
termodifikasi dan untuk jangka panjang selama 9 bulan ke depan menggunakan
GPD dan nilai gabungan.
DAFTAR PUSTAKA
Aunudin. 1989. Analisis Data. Bogor (ID): Pusat Antar Universitas Ilmu Hayat,
Institut Pertanian Bogor.
Buch-Kromann T. 2006. Estimation of large insurance losses: a case study.
Journal of Actuarial Practice. 13(1):191-211.
Buch-Larsen T, Nielsen JP, Guillen M, Bolance C. 2005. Kernel density
estimation for heavy-tailed distribution using the Champernowne
transformation. Statistics. 39(6):503-518. doi:10.1080/02331880500439782.
Coles, S. 2001. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values.
London (GB): Springer.
Djuraidah A dan Wigena AH. 2011. Regresi kuantil untuk eksplorasi pola curah
hujan di Kabupaten Indramayu. Jurnal Ilmu Dasar. 12(1):50-56.
Gilli M, Kellezi E. 2003. An Application of Extreme Value Theory for Measuring
Financial Risk. Computational Economics. 27(1):1-23. doi:10.1007/s10614006-9025-7.
Irfan M. 2011. Sebaran Pareto Terampat untuk menentukan curah hujan ekstrim
(studi kasus: curah hujan periode 2001-2010 pada Stasiun Darmaga) [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Prang JD. 2006. Sebaran Nilai Ekstrim Terampat dalam fenomena curah hujan
[tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Sadik K. 1999. Pemodelan Nilai Ekstrim Terampat untuk proses lingkungan (studi
kasus pada curah hujan harian) [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
17
Lampiran 1 Uji Kolmogorov-Smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor
Periode Analisis
1 Jan.1985-31 Des.2008
1 Jan.1985-31 Mar.2009
1 Jan.1985-30 Jun.2009
1 Jan.1985-30 Sep.2009
1 Jan.1985-31 Des.2009
1 Jan.1985-31 Mar.2010
1 Jan.1985-31 Jun.2010
1 Jan.1985-30 Sep.2010
Nilai Statistik Uji D
GPD
Champernowne
0.0152*
0.0170*
0.0179*
0.0226*
0.0130*
0.0187*
0.0156*
0.0241*
0.0146*
0.0191*
0.0138*
0.0226*
0.0143*
0.0230*
0.0137*
0.0253*
Tabel Kolmogorov
Smirnov (
0.0462
0.0457
0.0457
0.0453
0.0451
0.0448
0.0446
0.0444
*) Tidak nyata pada taraf nyata 5% artinya data aktual mengikuti sebaran teoritik
Lampiran 2 Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan
periode tertentu jangka waktu bulan ke depan
(a)
Jangka waktu 1 bulan ke depan
80
76
70
62.1
Curah hujan (mm)
61.25
59.1
60
53.4
48.3
50
38.75
40
30
20
10.9
10
0
Jan 2009 Apr 2009 Jul 2009 Okt 2009 Jan 2010 Apr 2010 Jul 2010 Okt 2010
Nilai aktual
GPD
Champernowne termodifikasi
Nilai gabungan
18
Lampiran 2 (Lanjutan 2)
(b)
Jangka waktu 2 bulan ke depan
120
97.05
Curah hujan (mm)
100
83.8
80
76
74
77.6
69.6
62.9
60
38.75
40
20
0
Jan-Feb Apr-Mei Jul-Ags Okt-Nov Jan-Feb Apr-Mei Jul-Ags Okt-Nov
2009
2009
2009
2009
2010
2010
2010
2010
Nilai aktual
(c)
GPD
Champernowne termodifikasi
Nilai gabungan
Jangka waktu 6 bulan ke depan
140
122.8
122.25
120
Curah hujan (mm)
104.7
104.7
100
91.15
74
80
79.7
75
60
40
20
0
Jan-Jun
2009
Apr-Sep
2009
Nilai aktual
Jul-Des Okt 2009- Jan-Jun
2009 Mar2010 2010
GPD
Apr-Sep
2010
Champernowne termodifikasi
Jul-Des Okt 20102010 Mar 2011
Nilai gabungan
19
Lampiran 2 (Lanjutan 3)
(d)
Jangka waktu 9 bulan ke depan
140
122.8
122.8
122.25
120
Curah hujan (mm)
104.7
104.7
100
91.15
94.4
79.7
80
60
40
20
0
Jan-Sep Apr-Des Jul 2009- Okt 2009- Jan-Sep Apr-Des Jul 2010- Okt 20102009
2009 Mar 2010 Jun 2010 2010
2010 Mar 2011 Jun 2011
Nilai aktual
GPD
Champernowne termodifikasi
Nilai gabungan
20
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kuningan, Jawa Barat pada tanggal 13 Juni 1991
sebagai anak pertama dari empat bersaudara pasangan Didi Kurnadi dan Tuti.
Penulis telah menempuh masa studi mulai dari TK Pertiwi, SDN 1
Padamenak lulus pada tahun 2003, SMPN 1 Cilimus lulus pada tahun 2006 dan
SMAN 1 Kuningan lulus pada tahun 2009. Selanjutnya, penulis diterima di
Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB pada tahun 2009.
Selama menjalani studi di IPB, penulis aktif menjadi pengurus Himpunan
Profesi Statistika Gamma Sigma Beta sebagai anggota divisi Analisis Data pada
periode 2011/2012. Penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan Himpunan
Profesi seperti Statistika Ria, Study Tour of Statistics. Penulis juga aktif menjadi
pengurus HIMARIKA (Himpunan Mahasiswa Aria Kamuning Kuningan) dan
pernah menjabat sebagai ketua divisi kerohanian pada periode 2010/2011. Penulis
melaksanakan kegiatan praktik lapang di Pusat Aplikasi Teknologi Isotop dan
Radiasi (PATIR BATAN) pada bulan Februari-Maret 2013.
CHAMPERNOWNE TERMODIFIKASI, SEBARAN PARETO
TERAMPAT, DAN NILAI GABUNGAN
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
MUHAMMAD HAFID
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Nilai
Ekstrim Menggunakan Sebaran Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto
Terampat, dan Nilai Gabungan (Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga
Bogor) adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2013
Muhammad Hafid
NIM G14090011
ABSTRAK
MUHAMMAD HAFID. Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran
Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor). Dibimbing oleh
AJI HAMIM WIGENA dan ANIK DJURAIDAH.
Curah hujan ekstrim dapat memberikan dampak buruk terhadap aktivitas
manusia. Dampak buruk berupa kegagalan produksi di sektor pertanian dan
perkebunan dapat diantisipasi dengan menduga curah hujan ektrim yang mungkin
terjadi di waktu yang akan datang. Penelitian ini bertujuan membandingkan
pendugaan curah hujan ekstrim menggunakan sebaran Champernowne
termodifikasi dan sebaran Pareto terampat (GPD), serta menentukan bobot
optimum untuk pendugaan nilai ekstrim gabungan. Sebaran Champernowne
termodifikasi memiliki pola sebaran yang konvergen terhadap GPD dengan fungsi
sebaran terdiri dari 3 parameter yang menggambarkan pusat data, keragaman, dan
karakteristik ujung sebaran. Sedangkan GPD terdiri dari 2 parameter yang
menggambarkan keragaman dan karakteristik ujung sebaran (berekor panjang).
Data yang digunakan adalah data curah hujan harian stasiun Darmaga Bogor
selama periode 1985-Juni 2011 yang diperoleh dari Badan Meteorologi
Klimatologi dan Geofisika. Pendugaan GPD cenderung bias ke atas sedangkan
pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke bawah.
Penggabungan kedua nilai dugaan berdasarkan pembobotan menghasilkan dugaan
nilai ekstrim yang lebih akurat. Peramalan jangka waktu 1, 2, dan 3 bulan ke
depan sangat baik diduga berdasarkan sebaran Champernowne termodifikasi,
sementara peramalan 6 dan 9 bulan ke depan sangat baik diduga berdasarkan GPD
dan nilai gabungan.
Kata kunci: Champernowne termodifikasi, nilai gabungan, Pareto terampat
ABSTRACT
MUHAMMAD HAFID. Extreme Value Estimation Using Modified
Champernowne
Distribution,
Generalized
Pareto
Distribution,
and
Combined Value (Case Study of Daily Rainfall Darmaga Bogor). Suvervised by
AJI HAMIM WIGENA and ANIK DJURAIDAH.
Extreme rainfall can give a negative affect for human activity. Negative
effect of production failure in agriculture and plantations can be anticipated by
extreme rainfall estimation that may occur in the future. The aims of this study is
to compare the extreme rainfall estimation using the modified Champernowne
distribution and generalized Pareto distribution (GPD), and determine the
optimum weights of combined extereme value estimation. Modified
Champernowne distribution patern has convergence to the GPD that the
distribution function consists of three parameters that describe the data center, the
diversity, and characteristics of the end of the distribution. While GPD consists of
two parameters that describe the diversity and characteristics of the end of the
distribution (heavy tail/tail light). The data used are daily rainfall data in Darmaga
Bogor Station during the period 1985-June 2011 were obtained from the
Indonesian Agency for Meteorology Climatology and Geophysics. GPD
estimation tends to over estimate while modified Champernowne distribution
estimation tends to under estimate. The combine of the estimated value by
weighted produces more accurate extreme value estimation. Forecasting results
for 1, 2, and 3 month ahead show that the best prediction based on modified
Champernowne distribution, while forecasting results for 6 and 9 month ahead is
very well predicted by GPD and combined value.
Keywords: combined value, generalized Pareto, modified Champernowne
PENDUGAAN NILAI EKSTRIM MENGGUNAKAN SEBARAN
CHAMPERNOWNE TERMODIFIKASI, SEBARAN PARETO
TERAMPAT, DAN NILAI GABUNGAN
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
MUHAMMAD HAFID
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran Champemowne
Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
Nama
: Muhammad Hafid
: G14090011
NIM
Disetuj ui oleh
Dr Ir Aji Hamiin Wigena. MSc
Pembimbing I
Tanggal Lulus:
21 AUG
Z
t
Dr Ir Anik Djuraidah, MS
Pembimbing II
Judul Skripsi : Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran Champernowne
Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
Nama
: Muhammad Hafid
NIM
: G14090011
Disetujui oleh
Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc
Pembimbing I
Dr Ir Anik Djuraidah, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Ir Hari Wijayanto, MSi
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas
rahmat dan hidayah-Nya karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul yang dipilih
dalam karya ilmiah ini adalah Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran
Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor).
Besar sekali bimbingan dan bantuan yang diperoleh sehingga penulis dapat
menyusun karya ilmiah ini. Terima kasih dan penghargaan yang setinggitingginya penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc dan
Ibu Dr Ir Anik Djuraidah, MS sebagai dosen pembimbing yang telah memberikan
arahan, saran, kritik, perhatian dan motivasi hingga selesainya karya ilmiah ini.
Terima kasih penulis ucapkan kepada seluruh Dosen Departemen Statistika
Institut Pertanian Bogor yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.
Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua pihak yang telah
membantu penulis selama ini.
Penulis mengucapkan terima kasih secara khusus kepada Ayahanda
Didi Kurnadi, Ibunda Tuti, adik-adik tercinta Intan, Ami Haniyah, Ima Halimah
beserta seluruh keluarga besar yang senantiasa memberikan dukungan, do’a,
semangat dan kasih sayang yang tidak terbatas untuk kesuksesan penulis.
Akhirnya penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat untuk
memberikan kontribusi yang nyata terhadap pengembangan ilmu pengetahuan di
bidang Statistika dan penerapannya di bidang Klimatologi.
Bogor, Agustus 2013
Muhammad Hafid
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Teori Nilai Ekstrim (Extereme Value Theory)
2
Sebaran Champernowne Termodifikasi
3
Tingkat Pengembalian (Return Level)
5
METODOLOGI
5
Data
5
Metode Penelitian
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Eksplorasi Data
7
Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi
8
Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan
11
Peramalan Curah Hujan Ekstrim
13
SIMPULAN
Simpulan
16
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
20
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Pengelompokan data
Nilai dugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi
Nilai RMSE pada kuantil 0.9 untuk setiap kelompok data analisis
Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian
5
9
11
13
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi
dengan parameter
=52.50, =5.317, dan =0.000001 disertai
perubahan parameter , dan
Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi
dengan parameter =52.50, =5.317, dan =0.000001 serta GPD
dengan parameter =35.50, =22.704, dan =0.0546603
Persentase hari hujan
mm tiap bulan periode 1985-2010
Diagram kotak garis curah hujan harian
mm tiap tahun
periode 1985-2010
Plot curah hujan harian melebihi nilai ambang periode 1985-2008
Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi ketika curah hujan diatas 78.97 mm dan 150 mm
periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD
dan sebaran Champernowne termodifikasi pada kuantil 0.9 periode
analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
Plot RMSE dengan
0.285 pada periode analisis 1 Januari
1985-31 Desember 2008
Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan
metode gabungan (
0.285) pada kuantil 0.9 periode analisis
1 Januari 1985-31 Desember 2008
Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan
periode tertentu jangka waktu 3 bulan ke depan
Nilai RMSEP hasil peramalan bulan ke depan
4
4
7
8
8
10
10
11
12
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
Uji Kolmogorov-Smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor
Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan
periode tertentu jangka waktu bulan ke depan
17
17
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perubahan cuaca dan iklim secara ekstrim merupakan hal serius yang dapat
memberikan dampak buruk terhadap berbagai aktivitas kehidupan. Salah satu
unsur cuaca dan iklim yang mempengaruhi aktivitas kehidupan manusia dalam
bidang pertanian dan perkebunan adalah curah hujan. Fenomena iklim berupa
ekstrim kering (El Nino) dan ekstrim basah (La Nina) dapat menyebabkan
terjadinya penyimpangan pola curah hujan dari kondisi normal (Djuraidah &
Wigena 2011). Tingginya risiko kegagalan produksi di sektor pertanian dan
perkebunan dapat dikurangi dengan menduga curah hujan ektrim yang mungkin
terjadi di waktu yang akan datang menggunakan teori nilai ektrim.
Teori nilai ekstrim (Extereme Value Theory/EVT) dikembangkan untuk
menganalisis kejadian nilai ekstrim. Metode pendugaan parametrik dalam EVT
menggunakan sebaran nilai ekstrim terampat (Generalized Extreme Value
Distribution/GEVD) dan sebaran pareto terampat (Generalized Pareto
Distribution/GPD). EVT bermanfaat untuk mengetahui karakteristik nilai ekstrim
curah hujan harian karena fungsi sebaran tersebut mengandung parameter yang
mampu menggambarkan perilaku ekor kanan atau ujung sebaran (Sadik 1999).
Beberapa kajian tentang fenomena curah hujan dengan menerapkan EVT
antara lain Irfan (2011) menganalisis curah hujan ekstrim periode 2001-2010 di
Darmaga Bogor dengan GPD, Prang (2006) menganalisis curah hujan ekstrim
periode 1999-2004 di Darmaga Bogor dengan GEVD, dan Sadik (1999)
menganalisis curah hujan ekstrim periode 1973-1994 di Pusaka Negara
dengan GEVD.
Kajian terhadap GEVD dan GPD menunjukkan bahwa kedua sebaran
tersebut cukup baik dalam pendugaan curah hujan ekstrim. Penelitian Gilli dan
Kellezi (2003) tentang risiko finansial menunjukkan bahwa GPD lebih baik dalam
pendugaan nilai ekstrim daripada GEVD. Namun demikian kebaikan pendugaan
GPD masih terkendala oleh penentuan nilai ambang (threshold) yang tepat untuk
mengidentifikasi nilai ekstrim. Hal ini karena parameter skala (keragaman) sangat
bergantung kepada nilai ambang. Buch-Larsen et al. (2005) memperkenalkan
sebaran Champernowne termodifikasi untuk mengkaji nilai ekstrim dalam bidang
ekonomi. Pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi merupakan metode
alternatif dalam menganalisis kejadian nilai ekstrim dengan pola sebaran yang
konvergen terhadap GPD. GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
kemungkinan akan menghasilkan nilai dugaan yang berbeda sehingga diperlukan
penggabungan nilai dugaan kedua sebaran tersebut dengan pembobotan.
Tujuan
1.
2.
Penelitian ini bertujuan :
Mengkaji serta membandingkan pendugaan curah hujan ekstrim
menggunakan sebaran Champernowne termodifikasi dan sebaran Pareto
terampat.
Menentukan bobot optimum untuk pendugaan nilai ekstrim gabungan.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Teori Nilai Ekstrim (Extereme Value Theory)
EVT memberi perhatian pada informasi kejadian-kejadian ekstrim
berdasarkan nilai-nilai ekstrim yang diperoleh untuk membentuk fungsi sebaran
yang sesuai. Terdapat dua jenis nilai ekstrim yaitu ekstrim minimum dan ekstrim
maksimum, apabila digambarkan dalam bentuk histogram maka data ekstrim
terdistribusi pada ujung kiri dan unjung kanan (sebaran ekor). Gilli dan Kellezi
(2003) menjelaskan bahwa terdapat dua cara untuk mengidentifikasi data ekstrim,
yaitu metode block maxima dan peaks over threshold.
Metode block maxima adalah metode untuk menentukan nilai ekstrim
dengan cara mengambil nilai tertinggi data observasi yang dikelompokkan
berdasarkan periode waktu tertentu misalnya bulanan. Menurut Jenkinson (1955)
dalam Gilli dan Kellezi (2003), misalkan
adalah peubah acak saling
bebas dan identik, maka
konvergen pada
sebaran GEV dengan fungsi sebarannya :
dengan
adalah parameter lokasi,
adalah parameter skala, dan
adalah
parameter bentuk.
Metode peaks over threshold (POT) adalah metode untuk menentukan nilai
ekstrim dengan cara mengambil nilai yang berada diatas nilai ambang (threshold,
u). Menurut Pickands (1975) dalam Gilli dan Kellezi (2003), ketika u sangat besar
maka data ekstrim tersebut akan konvergen pada GPD :
dengan
adalah :
,
dan
, fungsi kepekatan peluang GPD
serta invers dari fungsi sebaran GPD adalah :
Nilai
menentukan karakteristik ujung sebaran, jika
maka
sebarannya mempunyai titik ujung kanan yang terhingga, sedangkan jika
maka sebarannya mempunyai titik ujung kanan yang tak terhingga (Sadik 1999).
Perilaku distribusi ekor yang tak terhingga atau panjang menunjukkan ada
kemungkinan terjadinya nilai yang sangat ekstrim.
3
Sebaran Champernowne Termodifikasi
Sebaran Champernowne diperkenalkan oleh D.G. Champernowne pada
tahun 1936 dalam penelitiannya terkait teori distribusi pendapatan yaitu :
dengan adalah koefisien normalisasi serta
sebagai parameternya. Ketika
, fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne adalah:
dan
dengan fungsi sebarannya adalah:
akan tetapi sebaran Champernowne ini tidak fleksibel dari segi bentuk ketika
.
Buch-Larsen et al. (2005) memperkenalkan sebaran Champernowne
termodifikasi sebagai solusi dari permasalahan diatas, fungsi sebarannya adalah:
dengan parameter
adalah:
dan
, serta fungsi kepekatan peluangnya
invers dari fungsi sebaran Champernowne termodifikasi adalah:
Buch-Larsen et al. (2005) telah membuktikan secara teoritis bahwa sebaran
Champernowne termodifikasi memiliki distribusi yang konvergen terhadap GPD
ketika x sangat besar
yaitu:
Gambar 1 menunjukkan pengaruh perubahan parameter
={50:70/5},
={0.5:5/0.5}, dan ={1:20/1} terhadap pemusatan, skala, dan bentuk fungsi
kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi. Semakin besar nilai
maka titik pemusatan semakin bergeser ke kanan disertai puncak kepekatan
peluang semakin bergeser ke bawah, semakin besar nilai maka skala semakin
4
kecil (semakin runcing), dan semakin besar nilai
titik belok semakin kecil.
maka kecekungan terhadap
Gambar 1 Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi
dengan parameter
=52.50, =5.317, dan =0.000001 disertai
perubahan parameter , dan
Gambar 2 menunjukkan bahwa pada
termodifikasi konvergen terhadap GPD.
150 mm, sebaran Champernowne
Gambar 2 Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi
dengan parameter =52.50, =5.317, dan =0.000001 serta GPD
dengan parameter =35.50, =22.704, dan =0.0546603
Salah satu metode pendugaan parameter
dan untuk fungsi sebaran
Champernowne termodifikasi adalah metode pendugaan kemungkinan maksimum
(MLE) yakni memilih parameter sehingga diperoleh penduga terbaik pada sebaran
ekor kanannya. Buch-Larsen et al. (2005) menyatakan
untuk
semua
yang mengasumsikan
sama dengan nilai median. Nilai median
merupakan penduga yang kekar (robust) terutama bagi pola sebaran ekor yang
panjang. Pendugaan kemungkinan maksimum terhadap parameter dan dengan
fungsi ln kemungkinan yaitu :
5
Tingkat Pengembalian (Return Level)
Tingkat pengembalian (
merupakan nilai maksimum yang diharapkan
akan dilampaui satu kali dalam jangka waktu
pengamatan ke depan sebagai
acuan untuk peramalan terjadinya curah hujan maksimum.
Fungsi tingkat pengembalian diperoleh dari fungsi peluang bersyarat, yaitu:
dengan subtitusi fungsi sebaran
pengembalian GPD :
untuk
menghasilkan fungsi tingkat
dan dengan subtitusi fungsi sebaran
menghasilkan fungsi tingkat
pengembalian sebaran Champernowne termodifikasi :
dengan
, =banyaknya data ekstrim yang dianalisis dan
data pada periode yang dianalisis. (Coles 2001)
= banyaknya
METODOLOGI
Data
Penelitian ini menggunakan data curah hujan harian 26.5 tahun (1 Januari
1985-30 Juni 2011) di stasiun Darmaga Bogor Jawa Barat. Data ini diperoleh dari
Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika.
Metode Penelitian
1.
2.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu:
Eksplorasi data menggunakan diagram kotak garis untuk mengetahui
pemusatan data, sebaran data, serta data pencilan yang kemungkinan
termasuk kejadian ekstrim.
Pengelompokan data berdasarkan periode tertentu menjadi data analisis dan
data validasi.
Tabel 1. Pengelompokan data
Kelompok
Data Analisis
Data Validasi
1
1 Jan.1985-31 Des.2008
1 Jan.2009-30 Sep.2009
2
1 Jan.1985-31 Mar.2009
1 Apr.2009-31 Des.2009
3
1 Jan.1985-30 Jun.2009
1 Jul.2009-31 Mar.2010
4
1 Jan.1985-30 Sep.2009
1 Okt.2009-30 Jun.2010
5
1 Jan.1985-31 Des.2009
1 Jan.2010-30 Sep.2010
6
1 Jan.1985-31 Mar.2010
1 Apr.2010-31 Des.2010
7
1 Jan.1985-30 Jun.2010
1 Jul.2010-31 Mar.2011
8
1 Jan.1985-30 Sep.2010
1 Okt.2010-30 Jun.2011
6
3.
4.
5.
6.
Penentuan nilai ambang batas
Data ekstrim curah hujan yang digunakan didasarkan pada nilai ambang
batas
untuk setiap kelompok data analisis. Chavez-Demoulin (2006)
dalam Irfan (2011) menyarankan bahwa sekitar 10% nilai tertinggi dari
keseluruhan data dapat dikategorikan sebagai data ekstrim.
Pendugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
terhadap data ekstrim untuk setiap kelompok data analisis menggunakan
paket evir dan maxLik pada program R versi 2.15.3.
Pengujian asumsi sebaran curah hujan ekstrim untuk setiap kelompok data
analisis terhadap GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
menggunakan plot kuantil-kuantil dan uji Kolmogorov-Smirnov.
Prosedur pemeriksaan sebaran data dengan plot kuantil-kuantil (Aunudin
1989) :
a. Pengurutan data dari yang terkecil hingga terbesar ;
.
b. Untuk setiap
tetapkan nilai
; plot
dengan
adalah plot kuantil empirik.
c. Untuk setiap tetapkan nilai
; plot
dengan
adalah plot kuantil teoritik.
d. Plot antara
dengan
merupakan plot kuantil-kuantil.
e. Suatu sebaran dikatakan penduga yang baik serta sesuai dengan sebaran
data aktual apabila plot kuantil-kuantil menghampiri garis linier
.
Evaluasi pendugaan nilai ekstrim menggunakan RMSE.
Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error (RMSE)
dugaan nilai ekstrim
terhadap nilai aktual
. Dugaan nilai ekstrim
yang digunakan berdasarkan GPD
dan Champernowne
.
= banyaknya nilai
diatas kuantil 0.9
7.
Pendugaan nilai ekstrim gabungan (
) dengan cara pemberian bobot
optimum (
) terhadap nilai dugaan sebaran Champernowne
termodifikasi (
) dan nilai dugaan GPD (
).
Penentuan
dilakukan berdasarkan nilai
={0:1/0.001} sehingga
dipilih berdasarkan nilai RMSE yang paling kecil.
8.
Peramalan nilai tingkat pengembalian curah hujan maksimum.
Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error
Prediction (RMSEP) nilai ramalan
terhadap nilai aktual
jangka
waktu hari ke depan.
= banyaknya kelompok
data validasi
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Curah hujan harian selama periode 1985-2010 di Darmaga Bogor
menunjukkan bahwa pada bulan Oktober sampai Mei sering terjadi hujan
dibandingkan dengan bulan lainnya dengan persentase banyaknya hari hujan tiap
bulan lebih dari 50% seperti yang tercantum pada Gambar 3. Jumlah hari hujan
pada bulan Oktober 450 hari, November 545 hari, Desember 518 hari, Januari 594
hari, Februari 572 hari, Maret 563 hari, April 488 hari, dan Mei 433 hari, pada
bulan Juni dan September jumlah hari hujan sebanyak 326 dan 323 hari,
sedangkan bulan Juli dan Agustus jumlah hari hujan sebanyak 297 dan 264 hari.
80.0%
73.7% 73.3%
Persentase Hari Hujan
70.0%
69.9%
64.3%
69.9%
62.6%
60.0%
55.8%
55.0%
50.0%
41.8%
40.0%
41.4%
33.9%
30.0%
30.1%
20.0%
10.0%
0.0%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bulan
Gambar 3 Persentase hari hujan
mm tiap bulan periode 1985-2010
Pada Gambar 4 terlihat bahwa selama periode 1985-2010 besarnya curah
hujan harian sangat beragam pada setiap bulan. Terdapatnya data pencilan yang
relatif jauh dari pusat data menunjukkan penyimpangan curah hujan dari kondisi
normal yang menjadi kajian dalam penelitian ini. Curah hujan harian tertinggi
terjadi pada tanggal 1 April 2004 sebesar 507 mm, 3 Juni 1995 sebesar 315 mm
dan 13 Februari 1989 sebesar 240 mm. Ketiga data tersebut sangat jauh memencil
dari data ekstrim yang ada sehingga pemanfaatan data tersebut akan sangat
mempengaruhi keakuratan pendugaan. Dalam penelitian Prang (2006) terhadap
data curah hujan harian di Darmaga Bogor selama periode 1999-2004, tidak
ditemukan curah hujan yang mencapai 507 mm. Tidak adanya informasi yang
menunjukkan kebenaran ketiga data tersebut sehingga diterapkan penanganan data
hilang dengan diperoleh keseluruhan data ekstrim curah hujan Darmaga 19852010 yang tidak melebihi 200 mm.
8
Curah Hujan Harian (mm)
500
400
300
200
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bulan
Gambar 4 Diagram kotak garis curah hujan harian
periode 1985-2010
mm tiap bulan
Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi
Teladan mengidentifikasi data curah hujan harian berkarakteristik ekstrim
terhadap data analisis kelompok 1 disajikan pada Gambar 5. Jumlah curah hujan
harian yang berada di atas nilai selama periode 1985-2008 sebanyak 868 hari.
Data curah hujan ekstrim tersebut selanjutnya akan dijadikan sebagai data analisis
menggunakan GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi.
200
Curah Hujan Harian (mm)
180
160
188.3
176.3
155.5
157
149.6
140
120
100
80
60
40
20
0
Hari
Gambar 5 Plot curah hujan harian melebihi nilai ambang periode 1985-2008
Hasil pendugaan parameter GPD (Tabel 2) menunjukkan bahwa pada
periode 1 Januari 1985-31 Desember 2008 dengan ambang batas 36 mm diperoleh
nilai dugaan parameter skala (
yang menggambarkan pola keragaman data
sebesar 25.20 dan untuk dugaan parameter bentuk ( yang menggambarkan
9
perilaku ekor kanan sebesar
. Periode 1 Januari 1985-30 Juni 2009
memiliki keragaman terbesar dengan nilai sebesar 25.21. Parameter untuk setiap
kelompok data analisis selalu bernilai negatif menunjukkan fungsi kepekatan
peluangnya memiliki titik ujung kanan yang terhingga sehingga kemungkinan
besar tidak akan terjadi curah hujan yang sangat ekstrim. Perubahan periode untuk
setiap kelompok data analisis menghasilkan nilai u maupun parameter
dan
yang relatif sama. Hal ini menunjukkan kebaikan penentuan curah hujan
berkarakteristik ekstrim berdasarkan 10% nilai tertinggi.
Sedangkan hasil pendugaan parameter Champernowne termodifikasi
(Tabel 2) menunjukkan bahwa pada periode 1 Januari 1985-31 Desember 2008
dengan ambang batas 36 mm diperoleh nilai dugaan parameter
yang
menggambarkan titik pemusatan data terjadi pada 53 mm, dugaan parameter
yang menggambarkan pola keragaman data sebesar 5.51, dan dugaan parameter
sebesar 0.0000177. Periode 1 Januari 1985-31 Desember 2009 memiliki nilai
terkecil yang menunjukkan keragaman terbesar. Hal ini tidak sejalan dengan
karakteristik parameter GPD yang menyatakan bahwa periode 1 Januari 1985-30
Juni 2009 memiliki keragaman terbesar. Ketidaksamaan ini disebabkan
karakteristik keragaman Champernowne termodifikasi tidak hanya dijelaskan oleh
parameter
akan tetapi dipengaruhi pula oleh parameter . Hal ini dapat
diketahui dari bertambahnya nilai
sejalan dengan bergesernya pemusatan data
ke kanan disertai dengan bergesernya kecekungan fungsi kepekatan peluang
Champernowne termodifikasi ke bawah yang mempengaruhi besarnya
keragaman. Perubahan nilai dugaan parameter mengindikasikan besar kecilnya
peluang terjadinya nilai ekstrim. Namun demikian nilai parameter masih belum
dapat diketaui karakteristiknya untuk menentukan pola sebaran ekor kanan berupa
berekor panjang ataukah berekor pendek yang secara jelas dapat digambarkan
dengan parameter pada GPD.
Tabel 2 Nilai dugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
GPD
Periode Analisis
1 Jan.1985-31 Des.2008
1 Jan.1985-31 Mar.2009
1 Jan.1985-30 Jun.2009
1 Jan.1985-30 Sep.2009
1 Jan.1985-31 Des.2009
1 Jan.1985-31 Mar.2010
1 Jan.1985-31 Jun.2010
1 Jan.1985-30 Sep.2010
36.00
35.80
36.00
35.70
35.70
35.70
35.70
35.70
25.20
24.87
25.21
25.06
24.99
24.98
24.94
24.99
-0.0859
-0.0794
-0.0859
-0.0827
-0.0828
-0.0836
-0.0831
-0.0805
Champernowne
termodifikasi
53.00
52.80
53.00
52.80
52.80
52.70
52.65
52.75
5.51
5.47
5.49
5.45
5.27
5.47
5.46
5.45
0.0000177
0.0000082
0.0000009
0.0000307
0.0000029
0.0000669
0.0000191
0.0000100
Gambar 6 menunjukkan karakteristik GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008. Ketika peluang
kumulatif sebesar 0.9 diperoleh
sedangkan
sehingga nilai peluang
. Titik potong antara
fungsi kepekatan peluang GPD dengan sebaran Champernowne termodifikasi
10
diperoleh berdasarkan perhitungan
menghasilkan
dan
.
Peluang
pada
selang
(0.000043,0.0641)
menghasilkan nilai pendugaan GPD yang selalu lebih besar dibandingkan sebaran
Champernowne termodifikasi. Berlaku kebalikannya ketika peluang
sampai terjadi kekonvergenan pada saat peluang 0.
(78.97 , 0.0641)
(175 , 0.000043)
(175 , 0.000043)
Gambar 6 Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi ketika curah hujan diatas 78.97 mm (a) dan 150 mm
(b) periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
Pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data empirik terhadap pola sebaran
teoritik (Gambar 7) memperlihatkan bahwa GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi mampu menduga curah hujan ekstrim di Darmaga Bogor dengan
baik. Plot kuantil-kuantil yang berada di atas garis linier berwarna merah
menunjukkan pendugaan bernilai lebih kecil dari nilai aktual (bias ke bawah)
sedangkan untuk plot yang berada di bawah garis menunjukkan pendugaan
bernilai lebih besar dari nilai aktual (bias ke atas). Pendugaan curah hujan ekstrim
berdasarkan GPD memiliki kecenderungan bias ke atas sedangkan sebaran
Champernowne termodifikasi memiliki kecenderungan bias ke bawah. Hal ini
menunjukkan bahwa penggabungan nilai dugaan GPD dan sebaran
Champernowne termodifikasi akan menghasilkan nilai dugaan yang lebih baik.
(a)
(b)
Gambar 7 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD
(a) dan sebaran Champernowne termodifikasi (b) pada kuantil 0.9
periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
11
Pengujian asumsi secara formal berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov
menunjukkan bahwa sebaran data empirik setiap periode analisis mengikuti GPD
dan sebaran Champernowne termodifikasi (Lampiran 1).
Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan
Perhitungan
dilakukan terhadap seluruh nilai dugaan GPD dan nilai
dugaan sebaran Champernowne termodifikasi yang berada pada kuantil 0.9. Hal
ini karena curah hujan ekstrim berada pada kuantil
0.9 serta terdapatnya
kekonvergenan sebaran Champernowne termodifikasi pada GPD. Gambar 8
menunjukkan nilai RMSE untuk setiap bobot ( membentuk suatu kurva dengan
RMSE minimum sebesar 2.361 ketika
0.285 untuk periode analisis
1 Januari 1985-31 Desember 2008.
Gambar 8 Plot RMSE dengan
1985-31 Desember 2008
0.285 pada periode analisis 1 Januari
Penentuan bobot optimum berdasarkan RMSE minimum akan menghasilkan
dugaan nilai ekstrim terbaik berdasarkan nilai gabungan. Penentuan bobot
optimum dilakukan terhadap setiap kelompok data analisis dengan hasil disajikan
pada Tabel 3.
Tabel 3 Nilai RMSE pada kuantil
0.9 untuk setiap kelompok data analisis
Periode Analisis
GPD
Champernowne
termodifikasi
1 Jan.1985-31 Des.2008
1 Jan.1985-31 Mar.2009
1 Jan.1985-30 Jun.2009
1 Jan.1985-30 Sep.2009
1 Jan.1985-31 Des.2009
1 Jan.1985-31 Mar.2010
1 Jan.1985-31 Jun.2010
1 Jan.1985-30 Sep.2010
3.878
3.675
3.733
3.604
3.624
3.700
3.645
3.410
8.067
8.848
9.081
8.775
7.266
8.756
8.779
9.325
Gabungan
2.361
2.445
2.451
2.341
1.988
2.371
2.375
2.311
0.285
0.244
0.244
0.245
0.302
0.252
0.247
0.217
12
Pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data empirik terhadap pola
(Gambar 9) menunjukkan bahwa nilai gabungan mampu menduga curah hujan
ekstrim di Darmaga Bogor dengan baik. Hasil pendugaan hampir secara tepat
berada pada garis linear. Hal ini menunjukkan keandalan nilai gabungan dalam
mengatasi bias ke atas pendugaan GPD dan bias ke bawah pendugaan sebaran
Champernowne termodifikasi.
Gambar 9 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan nilai
gabungan (
0.285) pada kuantil
0.9 periode analisis
1 Januari 1985-31 Desember 2008
Perhitungan simpangan galat antara nilai dugaan terhadap nilai aktual sangat
diperlukan untuk membandingan kebaikan antar metode pendugaan secara akurat.
Hasil pengukuran simpangan galat berdasarkan akar dari rata-rata jumlah kuadrat
galat (Root Mean Square Error/RMSE) pada Tabel 3 menunjukkan bahwa
pendugaan terbaik adalah pendugaan nilai gabungan dengan nilai RMSE paling
kecil dibandingkan GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi. Nilai RMSE
pendugaan nilai gabungan tidak terlalu jauh berbeda dengan pendugaan GPD
tetapi cukup jauh berbeda dengan pendugaan sebaran Champernowne
termodifikasi. Hal ini karena kebaikan pendugaan nilai gabungan sangat besar
dipengaruhi oleh kebaikan pendugaan GPD dan cukup kecil dipengaruhi oleh
sebaran Champernowne termodifikasi.
Pemilihan bobot optimum (
pendugaan nilai gabungan berdasarkan nilai
RMSE terkecil menunjukkan bahwa perolehan bobot optimum untuk setiap
kelompok periode analisis relatif sama. Bobot optimum yang diperoleh secara
rata-rata bernilai 0.254 menunjukkan pembobotan terhadap nilai dugaan sebaran
Champernowne termodifikasi rata-rata sebesar 0.254 sedangkan pembobotan
terhadap nilai dugaan GPD rata-rata sebesar 0.746. Pembobotan terhadap dugaan
GPD selalu lebih besar dibandingkan dugaan sebaran Champernowne
termodifikasi. Hal ini karena GPD mampu menduga nilai ekstrim lebih akurat
dibandingkan sebaran Champernowne termodifikasi. Nilai bobot optimum yang
diperoleh untuk setiap kelompok data analisis digunakan untuk meramalkan nilai
ekstrim berdasarkan pendugaan nilai gabungan.
13
Peramalan Curah Hujan Ekstrim
Peramalan berdasarkan nilai tingkat pengembalian (return level) ditujukan
untuk menduga curah hujan maksimum yang secara rata-rata mungkin terjadi
selama
hari ke depan. Untuk menentukan pendugaan terbaik maka dihitung
nilai RMSEP antara nilai ramalan dengan nilai aktual pada setiap kelompok data
validasi. Penentuan
akan mempengaruhi ketepatan peramalan sehingga dalam
penelitian ini diterapkan beberapa nilai
yang berbeda dengan tujuan mencari
jangka waktu peramalan terbaik.
Tabel 4
Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian
Curah hujan
ekstrim
Periode Analisis
1985-31 Des.2008
1985-31 Mar.2009
1985-30 Jun.2009
1985-30 Sep.2009
Nilai aktual
1985-31 Des.2009
1985-31 Mar.2010
1985-31 Jun.2010
1985-30 Sep.2010
1985-31 Des.2008
1985-31 Mar.2009
1985-30 Jun.2009
1985-30 Sep.2009
GPD
1985-31 Des.2009
1985-31 Mar.2010
1985-31 Jun.2010
1985-30 Sep.2010
RMSEP
1985-31 Des.2008
1985-31 Mar.2009
1985-30 Jun.2009
1985-30 Sep.2009
Champernowne
1985-31 Des.2009
termodifikasi
1985-31 Mar.2010
1985-31 Jun.2010
1985-30 Sep.2010
RMSEP
1985-31 Des.2008
1985-31 Mar.2009
1985-30 Jun.2009
1985-30 Sep.2009
Nilai gabungan 1985-31 Des.2009
1985-31 Mar.2010
1985-31 Jun.2010
1985-30 Sep.2010
RMSEP
Ramalan bulan ke depan, dengan :
1
2
3
6
9
76.00 76.00
76.00 104.70 104.70
62.10 97.05 104.70 104.70 104.70
38.75 38.75
38.75 74.00 79.70
59.10 74.00
74.00 79.70 91.15
48.30 77.60
78.40 91.15 122.80
10.90 62.90
86.20 122.80 122.80
53.40 83.80 122.25 122.25 122.25
61.25 69.60
69.60 75.00 94.40
62.94 77.27
86.25 100.41 108.35
61.97 77.70
86.18 100.36 108.27
62.96 78.37
86.74 100.77 108.47
62.69 77.71
86.43 100.27 108.13
62.64 76.91
85.86 100.01 107.96
61.89 77.59
86.04 100.13 107.98
62.55 77.85
86.17 100.14 107.81
62.66 77.70
86.43 100.30 108.20
21.39 16.87
23.84 19.03 15.73
60.48 70.57
77.14 88.56 95.75
59.94 71.14
77.42 88.94 96.16
60.51 71.42
77.61 89.02 96.04
60.45 71.15
77.63 88.94 96.15
60.75 71.36
78.32 90.47 98.18
59.80 70.97
77.23 88.72 95.92
60.25 71.14
77.33 88.74 95.78
60.40 71.10
77.58 88.88 96.09
20.36 16.30
23.37 19.72 17.70
62.24 75.36
83.65 97.03 104.76
61.48 76.10
84.04 97.57 105.31
62.36 76.67
84.51 97.91 105.43
62.14 76.11
84.28 97.49 105.20
62.07 75.23
83.58 97.13 105.00
61.36 75.92
83.82 97.26 104.94
61.98 76.19
83.99 97.33 104.84
62.17 76.26
84.51 97.83 105.57
21.12 16.43
23.46 18.80 15.51
14
Penentuan
hari kedepan akan lebih mudah berdasarkan jangka waktu
bulan ke depan. Sehingga dalam penelitian ini dipilih peramalan jangka waktu 1,
2, 3, 6 dan 9 bulan ke depan. Secara rinci hasil peramalan curah hujan
ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian untuk setiap peramalan bulan ke
depan disajikan pada Tabel 4. Grafik peramalan curah hujan ekstrim 3 bulan ke
depan (Gambar 10) menunjukkan dugaan sebaran Champernowne termodifikasi
memiliki pola yang mirip dengan dugaan sebaran GPD. Peramalan sebaran
Champernowne termodifikasi senantiasa berada dibawah nilai peramalan GPD
sedangkan nilai gabungan senantiasa berada diantara keduanya. Berdasarkan nilai
rataan, nilai curah hujan ekstrim aktual berada di sekitar 81.24 mm, hasil
peramalan GPD berada di sekitar 86.26 mm,
hasil peramalan sebaran
Champernowne termodifikasi berada di sekitar 77.53 mm, dan hasil nilai
gabungan berada di sekitar 84.05 mm. Kedekatan nilai gabungan terhadap
ramalan GPD dikarenakan pemberian bobot terhadap GPD lebih besar
dibandingkan sebaran Champernowne termodifikasi. Grafik peramalan jangka
waktu lainnya disajikan pada Lampiran 2. Secara keseluruhan curah hujan ekstrim
berdasarkan hasil peramalan GPD senantiasa berada di atas pusat data aktual
dengan jarak relatif sangat dekat, nilai gabungan senantiasa berada di atas pusat
data aktual dengan jarak relatif sangat dekat, dan hasil peramalan sebaran
Champernowne termodifikasi senantiasa berada di bawah pemusatan curah hujan
ekstrim aktual dengan jarak relatif cukup dekat.
140
122.25
120
104.7
Curah hujan (mm)
100
86.2
80 76
74
78.4
69.6
60
38.75
40
20
0
Jan-Mar Apr-Jun
2009
2009
Nilai aktual
Jul-Sep
2009
Okt-Des Jan-Mar Apr-Jun
2009
2010
2010
GPD
Champernowne termodifikasi
Jul-Sep
2010
Okt-Des
2010
Nilai gabungan
Gambar 10 Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan
periode tertentu jangka waktu 3 bulan ke depan
Pada penelitian ini, hasil peramalan bulan ke depan berdasarkan nilai
RMSEP yang paling kecil (Gambar 11) menunjukkan bahwa peramalan 1, 2 dan 3
bulan ke depan sangat baik diduga oleh sebaran Champernowne termodifikasi.
15
Sedangkan peramalan 6 dan 9 bulan ke depan sangat baik diduga oleh GPD serta
nilai gabungan. Hasil nilai gabungan diperoleh berdasarkan rata-rata bobot
optimum sebesar 0.254 untuk dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dan
0.746 untuk dugaan GPD. Peramalan jangka waktu 2 dan 9 bulan ke depan
menghasilhan nilai RMSEP yang lebih kecil untuk setiap metode peramalan
dibandingkan dengan jangka waktu lainnya dengan rata-rata RMSEP sebesar
16.53 dan 16.31. Hal ini menunjukkan bahwa peramalan jangka pendek lebih baik
diduga berdasarkan 2 bulan ke depan dan jangka panjang lebih baik diduga
berdasarkan 9 bulan ke depan.
30
25
23.47
20.51
18.83
RMSEP
20
15.87
15.52
15
10
5
0
1
2
3
6
9
Bulan
GPD
Champernowne termodifikasi
Gabungan
Gambar 11 Nilai RMSEP hasil peramalan bulan ke depan
16
SIMPULAN
Sebaran Champernowne termodifikasi mampu menduga curah hujan
ekstrim maksimum cukup baik dengan kemiripan pola pendugaan terhadap
sebaran Pareto terampat (GPD). Hasil pendugaan GPD cenderung bias ke atas
sedangkan pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke
bawah. Penggabungan kedua nilai dugaan berdasarkan pembobotan menghasilkan
dugaan nilai ekstrim yang lebih akurat dengan rata-rata bobot optimum sebesar
0.254 untuk dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dan 0.746 untuk
dugaan GPD. Pada penelitian ini, peramalan terbaik untuk jangka pendek adalah
peramalan selama 2 bulan ke depan menggunkan sebaran Champernowne
termodifikasi dan untuk jangka panjang selama 9 bulan ke depan menggunakan
GPD dan nilai gabungan.
DAFTAR PUSTAKA
Aunudin. 1989. Analisis Data. Bogor (ID): Pusat Antar Universitas Ilmu Hayat,
Institut Pertanian Bogor.
Buch-Kromann T. 2006. Estimation of large insurance losses: a case study.
Journal of Actuarial Practice. 13(1):191-211.
Buch-Larsen T, Nielsen JP, Guillen M, Bolance C. 2005. Kernel density
estimation for heavy-tailed distribution using the Champernowne
transformation. Statistics. 39(6):503-518. doi:10.1080/02331880500439782.
Coles, S. 2001. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values.
London (GB): Springer.
Djuraidah A dan Wigena AH. 2011. Regresi kuantil untuk eksplorasi pola curah
hujan di Kabupaten Indramayu. Jurnal Ilmu Dasar. 12(1):50-56.
Gilli M, Kellezi E. 2003. An Application of Extreme Value Theory for Measuring
Financial Risk. Computational Economics. 27(1):1-23. doi:10.1007/s10614006-9025-7.
Irfan M. 2011. Sebaran Pareto Terampat untuk menentukan curah hujan ekstrim
(studi kasus: curah hujan periode 2001-2010 pada Stasiun Darmaga) [skripsi].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Prang JD. 2006. Sebaran Nilai Ekstrim Terampat dalam fenomena curah hujan
[tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Sadik K. 1999. Pemodelan Nilai Ekstrim Terampat untuk proses lingkungan (studi
kasus pada curah hujan harian) [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
17
Lampiran 1 Uji Kolmogorov-Smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor
Periode Analisis
1 Jan.1985-31 Des.2008
1 Jan.1985-31 Mar.2009
1 Jan.1985-30 Jun.2009
1 Jan.1985-30 Sep.2009
1 Jan.1985-31 Des.2009
1 Jan.1985-31 Mar.2010
1 Jan.1985-31 Jun.2010
1 Jan.1985-30 Sep.2010
Nilai Statistik Uji D
GPD
Champernowne
0.0152*
0.0170*
0.0179*
0.0226*
0.0130*
0.0187*
0.0156*
0.0241*
0.0146*
0.0191*
0.0138*
0.0226*
0.0143*
0.0230*
0.0137*
0.0253*
Tabel Kolmogorov
Smirnov (
0.0462
0.0457
0.0457
0.0453
0.0451
0.0448
0.0446
0.0444
*) Tidak nyata pada taraf nyata 5% artinya data aktual mengikuti sebaran teoritik
Lampiran 2 Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan
periode tertentu jangka waktu bulan ke depan
(a)
Jangka waktu 1 bulan ke depan
80
76
70
62.1
Curah hujan (mm)
61.25
59.1
60
53.4
48.3
50
38.75
40
30
20
10.9
10
0
Jan 2009 Apr 2009 Jul 2009 Okt 2009 Jan 2010 Apr 2010 Jul 2010 Okt 2010
Nilai aktual
GPD
Champernowne termodifikasi
Nilai gabungan
18
Lampiran 2 (Lanjutan 2)
(b)
Jangka waktu 2 bulan ke depan
120
97.05
Curah hujan (mm)
100
83.8
80
76
74
77.6
69.6
62.9
60
38.75
40
20
0
Jan-Feb Apr-Mei Jul-Ags Okt-Nov Jan-Feb Apr-Mei Jul-Ags Okt-Nov
2009
2009
2009
2009
2010
2010
2010
2010
Nilai aktual
(c)
GPD
Champernowne termodifikasi
Nilai gabungan
Jangka waktu 6 bulan ke depan
140
122.8
122.25
120
Curah hujan (mm)
104.7
104.7
100
91.15
74
80
79.7
75
60
40
20
0
Jan-Jun
2009
Apr-Sep
2009
Nilai aktual
Jul-Des Okt 2009- Jan-Jun
2009 Mar2010 2010
GPD
Apr-Sep
2010
Champernowne termodifikasi
Jul-Des Okt 20102010 Mar 2011
Nilai gabungan
19
Lampiran 2 (Lanjutan 3)
(d)
Jangka waktu 9 bulan ke depan
140
122.8
122.8
122.25
120
Curah hujan (mm)
104.7
104.7
100
91.15
94.4
79.7
80
60
40
20
0
Jan-Sep Apr-Des Jul 2009- Okt 2009- Jan-Sep Apr-Des Jul 2010- Okt 20102009
2009 Mar 2010 Jun 2010 2010
2010 Mar 2011 Jun 2011
Nilai aktual
GPD
Champernowne termodifikasi
Nilai gabungan
20
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kuningan, Jawa Barat pada tanggal 13 Juni 1991
sebagai anak pertama dari empat bersaudara pasangan Didi Kurnadi dan Tuti.
Penulis telah menempuh masa studi mulai dari TK Pertiwi, SDN 1
Padamenak lulus pada tahun 2003, SMPN 1 Cilimus lulus pada tahun 2006 dan
SMAN 1 Kuningan lulus pada tahun 2009. Selanjutnya, penulis diterima di
Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB pada tahun 2009.
Selama menjalani studi di IPB, penulis aktif menjadi pengurus Himpunan
Profesi Statistika Gamma Sigma Beta sebagai anggota divisi Analisis Data pada
periode 2011/2012. Penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan Himpunan
Profesi seperti Statistika Ria, Study Tour of Statistics. Penulis juga aktif menjadi
pengurus HIMARIKA (Himpunan Mahasiswa Aria Kamuning Kuningan) dan
pernah menjabat sebagai ketua divisi kerohanian pada periode 2010/2011. Penulis
melaksanakan kegiatan praktik lapang di Pusat Aplikasi Teknologi Isotop dan
Radiasi (PATIR BATAN) pada bulan Februari-Maret 2013.