Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov
DINAMIKA PINDAHAN ENERGI DALAM PROTEIN ALFA
HELIKS PADA SUHU FISIOLOGIS DENGAN MODEL
DAVYDOV
ADIETYA LANDRAS PRATAMA
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Dinamika Pindahan Energi dalam
Protein Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidakditerbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian
Bogor.
Bogor, September 2013
Adietya Landras Pratama
NIM G74080009
ABSTRAK
ADIETYA LANDRAS PRATAMA. Dinamika Pindahan Energi dalam Protein
Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov. Dibimbing oleh
FAOZAN AHMAD dan HUSIN ALATAS.
Proses pindahan energi yang dihasilkan hidrolisis ATP, selalu terlibat dalam
fenomena biologi seperti transpor aktif, kerja mekanis dan reaksi biosintetik.
Model Davydov menggunakan pendekatan teori zat padat dengan kelemahan
solitonnya hanya terbentuk pada suhu 0K dan untuk parameter tertentu. Pada
penelitian ini ditinjau pengaruh variasi suhu, konstanta pegas ikatan hidrogen, dan
konstanta interaksi eksiton-fonon terhadap dinamika energi soliton serta
menentukan persamaan gerak nonlinier dengan tinjauan kuantum untuk
menjelaskan dinamika energi tersebut. Persamaan energi didapat dari penuruan
persamaan gerak Euler-Lagrange dengan sistem Hamiltonian, kemudian
dilakukan analisis numerik dengan metode Runga Kutta orde empat menggunakan
perngkat lunak MATLAB R2008b. Variasi suhu dan konstanta interaksi eksitonfonon berpengaruh pada aliran energi soliton. Variasi konstanta pegas ikatan
hidrogen berpengaruh pada lokalisasi energi soliton.
Kata kunci: Alfa heliks, ansatz I, Davydov, soliton, suhu
ABSTRACT
ADIETYA LANDRAS PRATAMA. Energy Transfer Dynamics in Alpha Helix
Proteins at Physiological Temperature with Davydov Model. Supervised by
FAOZAN AHMAD and HUSIN ALATAS.
ATP hydrolysis energy transfer process always involve in biological
phenomena such as active transport, mechanical work and biosynthetic reactions.
Davydov models used the solid theory with a weakness, the soliton only formed at
0K and for certain parameters. In this research was reviewed the effect of
variation in terms of temperature, hydrogen bond spring constant, and excitonphonon interaction constants of the energy dynamics of solitons and nonlinear
equations of motion determine the quantum review to explain the dynamics of the
energy. Energy equation derived from the the Euler-Lagrange equations of motion
with Hamiltonian system. Then numerical analysis methods performed with the
fourth-order Runga Kutta using MATLAB R2008b. Variations of temperatures
and constant of exciton-phonon interaction affects the the flow of energy soliton.
Variations of spring constants of hydrogen bonding affects the energy soliton
localization.
Keywords: Alpha helix, ansatz I, Davydov, soliton, temperature
DINAMIKA PINDAHAN ENERGI DALAM PROTEIN ALFA
HELIKS PADA SUHU FISIOLOGIS DENGAN MODEL
DAVYDOV
ADIETYA LANDRAS PRATAMA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi: Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu
Fisiologis dengan Model Davydov
: Adietya Landras Pratama
Nama
: G74080009
NIM
Disetujui oleh
Dr Husin Alatas, MSi
Pembimbing II
Tanggal Lulus:
0 3 OCT 2013
Judul Skripsi : Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu
Fisiologis dengan Model Davydov
Nama
: Adietya Landras Pratama
NIM
: G74080009
Disetujui oleh
Faozan Ahmad, MSi
Pembimbing I
Dr Husin Alatas, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Akhiruddin Maddu
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2010 ini ialah
kekeringan, dengan judul Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks
pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Faozan Ahmad, MSi dan
Bapak Dr Husin Alatas selaku pembimbing, serta Bapak Hanedi Darmasetiawan,
MSi selaku editor yang telah membantu menyempurnakan penulisan skripsi.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga,
atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2013
Adietya Landras Pratama
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
Manfaat Penelitian
1
Hipotesis
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Fungsi Protein
2
Protein Alfa-heliks
2
Model Davydov
2
Ansatz
4
Pengaruh Suhu terhadap Model Davydov
4
METODE PENELITIAN
5
Waktu dan Tempat
5
Alat
5
Metode
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Hamiltonian Rata-Rata Sistem
6
Persamaan Gerak Euler-Lagrange
7
Hasil Metode Numerik
9
Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen
10
Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon
11
Dinamika soliton terhadap variasi suhu
12
SIMPULAN DAN SARAN
13
Simpulan
13
Saran
14
DAFTAR PUSTAKA
14
v
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1 Parameter fisis protein
2 Persentase error rata-rata perhitungan energi Hamiltonian total
10
10
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
Protein alfa-heliks
Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen
Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon
Dinamika soliton terhadap variasi suhu
3
11
12
13
DAFTAR LAMPIRAN
1 Metode Runga-Kutta orde 4
2 Sintaks program untuk solusi numerik
16
17
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses pindahan energi yang dihasilkan hidrolisis ATP, selalu terlibat dalam
fenomena biologi seperti transpor aktif, kerja mekanis dan reaksi biosintetik1.
Banyak model yang diusulkan, salah satunya adalah model milik ilmuwan Soviet,
A.S. Davydov. Pada tahun 1973 A.S. Davydov mengusulkan teori energi getaran
tereksitasi (vibrational excited energy) yang memodelkan pindahan dan
penyimpanan energi protein alfa-heliks menggunakan pendekatan teori zat padat.
Eksperimen secara langsung untuk membuktikan teori ini masih sulit dilakukan
karena kompleknya struktur protein, tidak benar-benar peiodik dan tidak
membentuk kristal tunggal2.
Model Davydov memiliki sedikit kelemahan, yaitu soliton terjadi pada
parameter tertentu dan pada suhu 0K3. Bahkan muncul pro-kontra tentang
keberadaan soliton Davydov pada suhu tertentu, khususnya pada suhu
fisiologis3,4. Hal ini menyebabkan munculnya sebuah pertanyaan, seperti apa
pengaruh suhu terhadap soliton Davydov, dalam kondisi yang mendekati
fenomena aslinya.
Pada penelitian ini akan ditinjau pengaruh variasi suhu, konstanta pegas
ikatan hidrogen, dan konstanta interaksi eksiton-fonon terhadap dinamika energi
soliton pada protein alfa-heliks berdasarkan model Davydov menggunakan
gelombang uji ansatz I.
Perumusan Masalah
Berdasarkan model Daydov, energi yang mengalir disepanjang alfa-heliks
adalah gelombang soliton yang merupakan salah satu fenomena fisika nonlinier.
Seperti apakah persamaan gerak nonlinier yang akan didapat dan bagaimana
dinamika energi molekuler protein alpha-helix pada suhu fisiologis?
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menjelaskan dinamika energi protein
alfa-heliks dengan variasi suhu, khususnya pada suhu fisiologis dan menentukan
persamaan gerak nonlinier dengan tinjauan kuantum untuk menjelaskan dinamika
energi tersebut.
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat menjadi jawaban dari rasa ingin tahu
terhadap fenomena-fenomena makromolekul yang sangat kompleks dan bisa
menjadi dasar bagi teknologi di masa depan, dalam bidang nanoteknologi.
2
Hipotesis
a.
b.
c.
Hipotesis yang dapat dibentuk dalam penelitian ini antara lain :
Persamaan gerak nonlinier dapat ditentukan dengan menggunakan model
Davydov dan tiga persamaan operator energi.
Dinamika energi molekuler protein dapat dibuktikan dengan persamaan
nonlinier Davydov dengan tiga operator energi.
Pindahan energi melalui protein alfa heliks bersifat solitonik
TINJAUAN PUSTAKA
Fungsi Protein
Protein merupakan polimer dari asam-asam amino (polipeptida) yang
mempunyai bermacam-macam fungsi, antara lain : sebagai katalisator reaksireaksi biokimia dalam sel, pengangkut molekul-molekul kecil dan ion, berperan di
dalam sistem pergerakan yang terkoordinasi, komponen sistem kekebalan tubuh,
feromon, pengatur ekspresi genetik, penerus impuls syaraf, dan komponen
pendukung kekuatan-regang (tensile strength) pada kulit dan tulang5. Sesuai
dengan fungsinya yang beragam, protein sangat beragam strukturnya, setiap jenis
protein memiliki bentuk tiga dimensi atau konformasi yang unik. Struktur protein
dibagi menjadi empat tingkatan, dan alfa heliks merupakan struktur protein
sekunder6.
Protein Alfa-heliks
Alfa-helix merupakan bentuk sekunder dari sebuah protein akibat interaksi
intermolekul dan distabilkan oleh ikatan hidrogen dan dibentuk antar ikatan C=O
dan N-H. Kelompok alfa-heliks mempunyai 3,6 asam amino setiap putaran pilinan
dan tiga ikatan hidrogen yang menghubungkan satu site ke site yang lain. Dengan
demikian, garis alfa heliks muncul seperti tiga rantai kelompok asam amino
melalui ikatan hidrogen yang dihubungkan oleh ikatan kovalen satu sama lain7.
Model Davydov
Berdasarkan struktur atomik dari sebuah protein alfa-heliks dapat dilihat
pada Gambar 1, model Davydov dapat dijelaskan sebagai berikut. Energi vibrasi
pada peregangan C=O (atau osilator amida-I) yang terlokasir pada bentuk alfa
heliks melalui efek kopling fonon merubah bentuk struktur alfa heliks. Perubahan
reaksi alfa heliks yang melewati kopling fonon menjebak energi osilasi amida-I
mencegahnya dari dispersi. Pengaruh ini disebut lokalisasi diri (self-localization)
atau penangkapan diri (self-trapping). Energi bebas yang terlepas di dalam
hidrolisis ATP adalah sekitar 0.42 eV dan ini sekitar dua kuanta C=O energi
osilator. Asumsi dasar model davydov adalah energi yang dilepaskan reaksi ATP
pada awalnya menyimpan gaya C=O tertentu. Interaksi antara eksitasi
3
Gambar 1 Protein alfa-heliks
terlokalisasi, seperti eksitasi elektronik atau vibrasi molekul dengan frekuensi
tinggi dan frekuensi rendah fonon atau kisi dapat mengakibatkan lokalisasi energi
dalam zat padat. Davydov mengklaim bioenergi itu dipindahkan dalam
biomolekul protein dalam gelombang soliton. Protein dapat dilihat pada C=O
yang digabungkan pada ikatan hidrogen. Melalui gabungan antara C=O dan ikatan
hidrogen, bioenergi menyimpan ikatan C=O dan menggerakkan gelombang
soliton yang lain8.
Berdasarkan asumsi tersebut Davydov mengusulkan bahwa energi total dari
sistem terdiri atas eksiton, fonon, dan interaksi eksiton-fonon9, dengan
menggunakan sistem Hamiltonian yang secara matematis dapat ditulis
H=Hex +Hph +Hint .................................................................................... (2.1)
dengan Hex adalah Hamiltonian eksiton, Hph adalah Hamiltonian fonon, dan Hint
adalah Hamiltonian interaksi eksiton-fonon. Operator Hamiltonian eksiton dapat
didefinisikan sebagai
†
†
†
Hex = ∑N
n E0 Bn Bn - Jn+1 Bn Bn+1 -Jn-1 Bn Bn-1 ................................................ (2.2)
dengan n (=1,2,…,N) menunjukan molekul ke-n dalam satu kanal protein.
Sehingga pasangan indeks (n) menunjukan spesifikasi asam amino tertentu; E0
†
adalah energi dasar eksiton; Bn dan Bn masing-masing merupakan operator kreasi
dan anhilasi boson untuk osilator amida-I. Kedua operator tersebut juga
merupakan operator jumlah (numbering operator) yang akan menghitung jumlah
4
†
eksitasi pada setiap molekul. Bn Bn±1 menyatakan pindahan eksiton dari molekul
ke-n menuju n±1. J adalah kopling dipol antar unit terdekat untuk kanal yang
berbeda. Sedangkan operator Hamiltonian fononnya
†
N-1
Hph = ∑k-1 ℏωk bk bk +
1
2
........................................................................ (2.3)
dengan ωak adalah frekuensi fonon (vibrasi)
ωk =2
w
m
/
| sin kl/2| ........................................................................... (2.4)
†
l adalah jarak kisi, bk dan bk masing-masing adalah operator kreasi dan anhilasi.
Serta operator Hamiltonian interaksinya
*
Hint = ∑N
a Bnk ∑k bnk ( t) +bnk ( t ) .............................................................. (2.5)
Bnk =-2iχ
ℏ
2Nmωk
1
2
sin( kl) e-iknl ............................................................... (2.6)
dengan χ adalah parameter kopling eksiton-fonon, yang mempengaruhi tingkat
nonlinieritas dan | bnk ( t) | 2 menyatakan probabilitas ditemukannya fonon.
Ansatz
Pada model ini juga dikenalkan sebuah persamaan gelombang uji coba (trial
wave) atau yang disebut ansatz., yang merupakan hasil dari perkalian fungsi
gelombang eksiton dan fungsi gelombang fonon. Terdapat dua buah ansatz, yaitu
ansatz I dan ansatz II8. Pada penelitian ini, ansatz I yang akan digunakan dalam
permodelan Davydov, yang persamaannya adalah
†
|D1 〉= ∑n an ( t) Un |0〉Bn |0〉 ....................................................................... (2.7)
†
Un |0〉=exp ∑k bnk ( t) bk ( t) -b*nk ( t) bk (t)
|0〉 .......................................... (2.8)
dengan | ank ( t) | 2 menyatakan probabilitas ditemukannya fonon dan Un |0〉 adalah
operator transformasi uniter yang mentransformasi keadaan dasar atau vakum ke
keadaan kuasi-statik10
Pengaruh Suhu terhadap Model Davydov
Adanya variabel suhu berpengaruh pada bentuk ansatz yang digunakan dan
mengubah sistem Hamiltonian. Perubahan bentuk tersebut diakibatkan oleh
penggunaan metode rataan Hamiltonian11, sehingga bentuk ansatz I pada
persamaan 5 menjadi
5
†
|D1,v 〉= ∑n an ( t) Un |v〉Bn |0〉 ................................................................... (2.9)
dengan | v〉 adalah distribusi fonon yang berubah-ubah
|v〉= ∏k
( bk ) vk
vk !
|0〉 .................................................................................... (2.10)
Sedangkan pada sistem Hamiltonian, digunakan Hamiltonian yang
bergantung pada suhu yang merupakan rata-rata pada harga keseimbangan termal,
dinyatakan sebagai berikut
H( T) =
∑n D1 H D1
-
Z= ∑v' v' e
-
ve
Z
Hph +Hex
kB T
v
............................................................... (2.11)
Hph +Hex
kB T
v' ........................................................................... (2.12)
dengan Hph adalah Hamiltonian fonon, Hex adalah Hamiltonian eksiton, Z adalah
fungsi partisi dari eksiton dan fonon, kB adalah konstanta Blotzmann, dan T
adalah suhu.
METODE PENELITIAN
Waktu dan Tempat
Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Febuari 2012 sampai dengan
Maret 2013. Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi,
Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor (IPB).
Alat
Alat-alat yang digunakan berupa alat tulis, komputer jinjing (laptop)
AXIOO NEON MNC yang dilengkapi dengan perangkat lunak Matlab 2008b
dalam proses pembuatan simulasi.
Metode
Langkah awal yang dilakukan dalam penelitian ini adalah dengan
melakukan studi pustaka untuk memahami mekanisme dinamika molekuler
protein sehingga mempermudah penurunan persamaan dan perancangan simulasi
serta mempermudah analisis hasil yang diperoleh dari simulasi. Kemudian
dilakukan penurunan persamaan (2.1), selanjutnya dilakukan penurunan
persamaan gerak Euler-Lagrange12
6
d ∂L
dt ∂q̇ ( t)
-
∂L
∂q( t)
=0......................................................................................... (3.1)
dengan L adalah Lagrangian dalam representasi Hamiltonian dengan bentuk
persamaan
L= Ψ
iℏ ⃡
∂
2 ∂t
Ψ - Ψ H Ψ ........................................................................ (3.2)
dengan H adalah persamaan Hamiltonian yang telah diturunkan. Sehingga
persamaan 2 menjadi
d ∂L
∂L
dt ∂q̇ t
∂q( t)
( )
Ψ
iℏ ⃡
∂
2 ∂t
Ψ =-
∂ΨHΨ
∂q ( t)
........................................................ (3.3)
kemudian persamaan 4 akan diturunkan untuk memperoleh persamaan akhir yang
akan disimulasikan dengan perangkat lunak MATLAB R2008b.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hamiltonian Rata-Rata Sistem
Hamiltonian total merupakan harga ekspetasi dari oprator hamiltonian
terhadap ansatz I
H = D1 H D1
(4.1)
kemudian dilakukan penurunan persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4) menggunakan
persamaan (2.7) sehingga didapat
†
†
†
†
Hex |D1 〉= ∑n E0 an ( t) Bn Bn Bn Un |0〉- ∑n Jn an ( t) Bn Bn+1 Bn Un |0〉 +
†
†
- ∑n Jn an ( t) Bn Bn-1 Bn Un |0〉
†
2
D1 Hex D1 = ∑n E0 |an ( t) | - ∑n Jn a*n ( t) an+1 ( t) 〈0|Un Un+1 |0〉 +
†
- ∑n Jn a*n ( t) an-1 ( t) 〈0|Un Un-1 |0〉
Hph |D1 〉= ∑n ∑k an ( t) ℏω
b*nk bnk +
†
1
Un Bn |0〉
2
D1 Hph D1 = ∑n,k an ( t) a*n ( t) ℏωk b*nk ( t) bnk ( t) +
†
†
Hint |D1 〉 = ∑n,k an ( t) Bnk bk +bk Bn Bn
1
2
†
Un |0〉Bn |0〉
7
2
D1 Hint D1 = ∑n,k |an ( t) | Bnk bnk ( t) +b*nk ( t)
yang telah diturunkan sebelumnya, dimasukan ke dalam persamaan (2.1) sehingga
didapat Hamiltonian totalnya
H = D1 H D1 = D1 Hex D1 + D1 Hph D1 + D1 Hint D1
†
2
= ∑n E0 |an ( t) | -Jn ∑n a*n ( t) an+1 ( t) 〈0|Un Un+1 |0〉 +
†
-Jn ∑n a*n ( t) an-1 ( t) 〈0|Un Un-1 |0〉 +
∑n,k an ( t) a*n ( t) ℏωk
b*nk ( t) bnk ( t) +
1
2
+
∑n,k |an ( t) |2 Bnk bnk ( t) +b*nk ( t) ...................................................... (4.2)
menggunakan metode yang sama tetapi dengan persamaan (2.9), dapat diperoleh
Hamilonian bergantung suhu
v exp -
H( T) = ∑v ρv ( T) D1,v H D1,v ; ρv ( T) =
Hph
kB T
∑v' v' exp -
Hph
kB T
v
v'
†
2
=ρv ( T) ∑n,a E0 |an ( t) | -Jn ∑n,a a*n ( t) an+1 ( t) 〈v|Un,a Un+1,a |v〉
†
-Jn ∑n,a a*n ( t) an-1 ( t) 〈v|Un,a Un-1,a |v〉 +
∑n,k an ( t) a*n ( t) ℏωak
b*nak ( t) bnak ( t) +
∑n,a,k |an ( t) |2 Bnak bnak ( t) +b*nak ( t)
1
2
+
(4.3)
8
Persamaan Gerak Euler-Lagrange
Persamaan gerak Euler-Lagrange diturunkan dengan memasukan persamaan
(4.2) ke dalam persamaan (3.3)
d
∂Lt
dt ∂a*ṅ (t)
-
∂Lt
∂a*n (t)
=-
∂H
∂a*n (t)
dengan
Lt = D1
⃡
δ iℏ
δt 2
D1 =
iℏ
2
iℏ
2
∑n aṅ ( t) a*n ( t) -an ( t) a*ṅ ( t)
+
*
∑n,k| an ( t)| 2 ḃ nk (t)b*nk (t)-bnk (t)ḃ nk (t)
(4.4)
sehingga didapat persamaan gerak eksiton
iℏ ∑n aṅ ( t) = ∑n E0 an ( t) - ∑n Jn+ 1 an+ 1 ( t ) Un,n+ 1 + Jn-1 an-1 ( t ) Un,n-1 +
∑n,k an ( t) ℏωk
b*nk ( t) bnk ( t) +
1
2
+
*
iℏ
- ∑n,k an ( t) ḃ nk ( t) b*nk ( t) -bnk (t)ḃ nk (t) +
2
∑n,k an ( t) Bnk bnk ( t) +b*nk ( t)
............................................ (4.5)
Menggunakan metode yang sama, dipeoleh juga persamaan gerak fonon
d
∂Lt
dt ∂b*̇ (t)
nk
-
∂Lt
∂b*nk (t)
=-
∂H
∂b*nk (t)
........................................................................ (4.6)
a
iℏ ḃ nak (t) =- Jn+1,a n+1, bn+1k - bnk Un,n+1 +Jn-1,
an,
an-1,
an,a
bn-1,k - bnk Un,n-1 a*n, +
ℏωk bnk ( t) +Bnk .................................................................... (4.7)
Namun, karena adanya pengaruh suhu terhadap model Davydov, persamaan
di atas diturunkan kembali dengan faktor suhu, sehingga diperoleh
*
iℏ
iℏaṅ ( t) = ∑n E0 an ( t) - ∑n,k an ( t) ḃ nk ( t) b*nk ( t) -bnk (t)ḃ nk (t) +
2
- ∑n Jn+1 an+1 ( t) Un,n+1 (T)+Jn-1 an-1 ( t) Un,n-1 (T) +
9
∑n,k an ( t) ℏωk
b*nk ( t) bnk ( t) +
1
2
+
∑n,k an ( t) Bnk bnk ( t) +b*nk ( t) ................................................... (4.8)
a ( t)
iℏ ∑n,k ḃ nk (t) =- ∑n Jn+1 n+1( ) ( v+1) bn+1,k' ( t) -bn,k ( t) Un,n+1 ( T) +
a t
n
∑n Jn+1
an+1 ( t)
a n ( t)
- ∑n Jn-1
∑n Jn-1
an-1 ( t)
a n ( t)
an-1 ( t)
a n ( t)
( v) bn-1,k ( t) -bn,k ( t) Un,n+1 ( T) +
( v+1) bn-1,k' ( t) -bn,k ( t) Un,n-1 ( T) +
( v) bn+1,k ( t) -bn,k ( t) Un,n+1 ( T) +
- ∑n,k ℏωk bnk ( t) - ∑n,k Bnk ........................................... (4.9)
Un,n' ( T) = exp ∑k bnk ( t) -bn'k' ( t)
2
v+
1
2
+
bnk ( t) b*n'k' ( t) -b*nk ( t) bn'k' ( t)
2
dengan v adalah distribusi fonon
1
v=
exp
ℏωk
kB T
.......................................................................................... (4.6)
Hasil Metode Numerik
Dinamika soliton Davydov dievaluasi secara numerik menggunakan metode
Runga-Kutta orde 4 dengan menggunakan parameter fisis protein yang disajikan
pada Tabel 2 dan parameter yang divariasikan dalam metode numerik adalah
konstanta pegas ikatan hidrogen (w), kopling eksiton-fonon (χ) , dan suhu (T).
Selain dinamika soliton Davydov, ditinjau juga nilai persentase error dari
perhitungan energi Hamiltonian total berdasarkan persamaan (4.1) yang disajikan
pada Tabel 2. Hal ini dilakukan untuk memastikan fenomena yang terjadi
merupakan fenomena fisis, bukan suatu kesalahan perhitungan numerik dengan
syarat persentase error yang didapat tidak melebihi 20%.
10
Tabel 1 Parameter fisis protein
Parameter Deskripsi
w
Konstanta pegas ikatan Hidrogenb
Nilai
20 – 60
Satuan
N/m
M
Massa asam aminoa
5.7 x 10-25
kg
J
Dipol kopling antar sitea
1.55 x 10-22
J
Kopling eksiton-fononb
20 – 60
pN
l
T
Jarak kisi
a
Suhu (fisiologis)
-10
m
290 – 310
K
4.5 x 10
c
Sumber : aScott (1992), bForner (1991), cSparks et al.(2009)
Tabel 2 Persentase error rata-rata perhitungan energi Hamiltonian total
Parameter
Persentase
Error (%)
w (N/m)
χ (pN)
T (K)
6,7585
310
35
20
1,9953
310
35
25
1,0669
310
35
35
0,6998
310
35
40
1,8212
310
22
30
2,8979
310
35
30
5,3413
310
41
30
15,3098
310
55
30
6,7585
310
35
30
1,8922
305
35
30
2,5897
295
35
30
2,4632
290
35
30
Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen
Gambar 2 menyajikan dinamika soliton yang ditinjau dengan variasi
konstanta pegas ikatan hidrogen. Sumbu x menyatakan waktu dalam femtosekon,
sumbu y menyatakan site ke-n, dan indikator warna menunjukan besar sebaran
peluang ditemukannya eksiton (|an(t)|2). Parameter suhu dan kopling eksitonfonon dibuat tetap dengan masing-masing nilai 310K dan 35 pN11. Soliton yang
terbentuk dengan w sebesar 20 N/m (Gambar 2a) hanya menjangkau hingga site
ke-27 dan terlokalisasi pada site tersebut. Seiring besarnya nilai w, gelombang
soliton yang terjadi jangkauan site-nya bertambah dan mendekati bentuk
gelombang berjalan terdispersi. Hal ini disebabkan oleh pengaruh nilai w terhadap
persamaan (2.4). Semakin besar nilai ωk , semakin kecil nilai Bnk pada persamaan
(2.6) yang mempengaruhi pindahan energi dari eksiton ke fonon (kopling eksitonfonon). Bnk juga mempengaruhi dispersi dari soliton menjadi lebih meningkat.
Faktor dispersi inilah yang mempengaruhi perjalanan soliton untuk menuju site
yang lebih jauh14.
11
(a)
(b)
(b)
(d)
Gambar 2 Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen
(a) w = 20 N/m, (b) w = 25 N/m, (c) w = 35 N/m, (d) w = 40 N/m
Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon
Dinamika soliton yang terjadi terhadap variasi kopling eksiton-fonon dapat
dilihat pada Gambar 3. Saat nilai χ divariasikan, parameter suhu dan konstanta
ikatan hidrogen dibuat tetap dengan masing-masing nilai 310K dan 30 N/m. Saat
nilai χ sebesar 22 pN, gelombang yang teramati berupa soliton berjalan
terdispersi. Namun seiring meningkatnya nilai χ, jangkauan site dari soliton
tersebut semakin mengecil dan terlokalisasi. Selain itu dapat diamati juga pada
Gambar 2a sampai Gambar 2d, energi soliton pada waktu yang sama di site
sebelum terlokalisasi semakin membesar. Perubahan ini diakibatkan semakin
besarnya Bnk, seiring dengan semakin besar nilai χ seperti pada persamaan (2.6).
Hal ini menyebabkan turunnya faktor dispersi, sehingga faktor nonlinieritas naik
yang menyebabkan soliton menjadi terlokalisasi14.
12
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 3 Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon
(a) χ = 22 pN, (b) χ = 35 pN, (c) χ = 41 pN, (d) χ = 55 pN
Dinamika soliton terhadap variasi suhu
Gambar 4 memperlihatkan dinamika soliton terhadap variasi suhu dengan
mengambil nilai dari rentang suhu fisiologis13. Parameter w dan χ dibuat tetap
dengan masing-masing nilai 30 N/m dan 35 pN. Pada Gambar 4a (T = 290K)
jangkauan soliton bisa mencapai site ke-15 dan berupa gelombang terdispersi. Namun
seiring meningkatnya suhu, jangkauan site dari soliton tersebut mengecil hingga
hanya mencapai site ke-18 dan kemudian terlokalisasi. Pengaruh suhu membuat
soliton berkurang jangkauan site-nya dan menjadi lebih cepat terlokalisasi. Hal ini
dapat diamati terjadi karena suhu mempengaruhi fungsi distribusi fonon pada
persamaan (4.6) yang menyebabkan fonon sudah tereksitasi terlebih dahulu
sehingga interaksi kopling eksiton-fonon menjadi terganggu dan membuat soliton
menjadi tidak stabil.
13
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 4 Dinamika soliton terhadap variasi suhu (a) T = 290K, (b) T = 295K,
(c) T = 305K, (d) T = 310K
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Persamaan gerak nonlinier dari soliton Davydov yang diperoleh dapat
menjelaskan fenomena pindahan energi pada alfa heliks. Pada persamaan tersebut
terdapat faktor soliton Bnk yang mempengaruhi jangkauan gelombang soliton.
Persamaan gerak tersebut melibatkan fungsi distribusi fonon yang mempengaruhi
energi eksitasi fonon ketika berada pada suhu tertentu.
Variasi konstanta pegas ikatan hidrogen dalam afa-heliks mempengaruhi
stabilitas soliton Davydov. Begitu juga dengan variasi kopling eksiton-fonon dan
variasi suhu. Variabel suhu mempengaruhi soliton menjadi tidak stabil akibat
peningkatan energi eksitasi dari fonon sehingga tidak terjadi kopling eksitonfonon.
14
Saran
Asumsi dalam kajian ini, alfa-heliks masih berbentuk satu kanal dengan
kopling dipol (J) yang konstan. Perlu penelitian lanjutan dengan menggunakan
tiga buah kanal dan memvariasikan kopling dipol (J), agar kajian yang dilakukan
semakin mendekati fenomena aslinya. Selain secara teoritik, kajian eksperimental
juga perlu dilakukan agar teori yang ada dapat diaplikasikan dan dikembangkan
lebih lanjut.
DAFTAR PUSTAKA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Marks B, Marks A, Smith M. Biokimia Kedokteran Dasar : Sebuah
Pendekatan Klinis. Brahm U, Pendit, penerjemah; Suyono, Sadikin, Mandera
I, editor. Jakarta (ID) : EGC. Terjemahan dari: Basic Medical Biochemistry :
A Clinical Approach. 1996
Ahmad F, Zuliyatin, Alatas H. Dinamika soliton pada rantai protein alpha
heliks berdasarkan ansatz II model Davydov. Di dalam: Dahlan K, Muliyani
S, Nugrahani EH, Suryani, Kurnia A, June T, Miftahudin, Charlena, Sianturi
P, Wijaya SH, Sumaryada TI, Nurcholis W, Indahwati, Kusnanto A, editor.
Sains sebagai Landasan inovasi dalam bidang energi, lingkungan dan
pertanian berkelanjutan. Seminar Nasional Sains V; 2012 Nov 10; Bogor.
Indonesia. Bogor (ID): FMIPA IPB. 2012
Hanson LC. Mechanism of thermal desatbilization of the Davydov soliton.
Physical Review A. 45: 4111-4115. 1992
Lomdhal PS. Do Davydov soliton exist at 300K?. Physical Review Letters.
55:1235-1238.1985
Yuwono, Triwibowo. Biologi Molekular. Penerbit Erlangga: Jakarta. 2008
Campbell NA, Reece JB, Mitchell LG. Biologi Jilid I Edisi ke-5. Lestari R,
penerjemah; Safitri A, Simarmata L, Hardani HW, editor. Jakarta (ID):
Erlangga. Terjemahan dari Biology, Fifth Edition. 2002
Bresler, S. E. Introduction to Molecular Biology. Academic Press, Inc.: New
York. 1971
Scott A. Davydov’s soliton, launcing the soliton. Physics Report. 1:1-67.
1992
Förner W. Accuracy of Davydov’s | D1,v 〉 approximation for soliton dynamics
in proteins. Physical Review B. 53:6291-6317. 1996
Tannoudji CC, Diu B, Laloe F. Quantum Mechanics. John Willey & Sons:
France. 1977
Förner W. Davydov soliton in proteins: applications and calculation of
vibrational spectra. Journal of Molecular Modeling. 3:78-116. 1991.
Kobe DH. Lagrangian densities and principle of least action in nonrelativistic
quantum mechanics [internet]. [diacu 2012 Novemer 20]. Tersedia dari:
http://arxiv.org/abs/0712.1608. 2007
Sparks TH, Aasa A, Huber K, Wadsworth R. Changes and patterns in
biologically relevant temperatures in Europe 1941–2000. Climate Research.
39:191-207. doi:10.3354. 2009
15
14. Chawda BN, Tripati SBL. Solitons stems from the delicate balance of
“nonlinearity” and “dispersion” in the model equations. International Journal
of Research in Science and Thecnology. 1. 2011.
16
Lampiran 1 Metode Runga-Kutta orde 4
Metode Runga-Kutta adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk
memecahkan persamaan diferensial secara numerik. Metode Runga-Kutta sendiri
memiliki beberapa tingkatan (orde) dengan tingkat ketelitian yang semakin tinggi
dan kerumitan perhitungan yang semakin tinggi pula. Dalam penelitian ini,
digunakan orde ke-4 dari metode Runga-Kutta.
Karena penelitian ini menggunakan dua buah persamaan diferensial orde 1
yang saling berhubungan, akan dicontohkan metodenya sebagai berikut
x' = f(t,x,y)
y' = g(t,x,y)
dengan t adalah interval dari a sampai b. Diketahui kondisi awal dari x dan y, serta
jumlah langkah/iterasi (step) dari perhitungannya adalah n, maka
xawal=240;
yawal=0;
n=10;
h = (b-a)/n;
t(1) = a;
y(a)= yawal; x(a)= xawal;
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h;
k1x=h*fx(x(i), Q(i), T(i));
k1y=h*fy(x(i), Q(i), T(i));
k2x=h*fx(x(i)+h/2, Q(i)+k1x/2, T(i)+k1y/2);
k2y=h*fy(x(i)+h/2, Q(i)+k1x/2, T(i)+k1y/2);
k3x=h*fx(x(i)+h/2, Q(i)+k2x/2, T(i)+k2y/2);
k3y=h*fy(x(i)+h/2, Q(i)+k2x/2, T(i)+k2y/2);
k4x=h*fx(x(i)+h, Q(i)+k3x, T(i)+k3y);
k4y=h*fy(x(i)+h, Q(i)+k3x, T(i)+k3y);
x(i+1)=x(i)+1/6*(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x);
y(i+1)=y(i)+1/6*(k1y+2*k2y+2*k3y+k4y);
end
17
Lampiran 2 Sintaks program untuk solusi numerik
clear all
clc
for p=1:1
hbar=6.626e-34/(2*pi);
img = complex(0,1);
Je = (0.967e-3)*(1.602e-19);
ws = 20;
w=ws;
Chi=35e-12;
M=5.7e-25;
m=M;
n=40;
h=5e-15;
lgth=4.5e-10;
KB=1.380658e-23;
TEMP=310;
a1(n+1)=1e-2;
for j=1:n
a1(j)=1e-2;
a=(0.967e-3)*(1.602e-19);
Je(j)=a;
end
a1(40)=1;
for j=1:n+1
aa1(j)=0;
aa2(j)=0;
aa3(j)=0;
aa4(j)=0;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
ba1(j,k)=0;
ba2(j,k)=0;
ba3(j,k)=0;
ba4(j,k)=0;
bdot(k)=0;
b1(j,k)=0;
end
end
for i=2:2000
i;
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
18
sumH(i)=0;
sumy(i)=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
for j=2:n
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
Suma1=Suma1+(a1(j)*(bdot(k)*conj(b1(j,k))b1(j,k)*conj(bdot(k))));
Suma2=Suma2+((a1(j)*hbar*omega(k))*(conj(b1(j,k))*b1(j,k)));
Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*
lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*(b1(j,k)+conj(b1(j,k)))*a1(j);
end
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j+1,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j,k)*conj(b1(j+1,k))conj(b1(j,k))*b1(j+1,k))/2));
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j-1,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j,k)*conj(b1(j-1,k))-conj(b1(j,k))*b1(j1,k))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((-1)*(abs(b1(j+1,k)-b1(j,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j+1,k)*conj(b1(j,k))conj(b1(j+1,k))*b1(j,k))/2));
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs(b1(j-1,k)-b1(j,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j-1,k)*conj(b1(j,k))-conj(b1(j1,k))*b1(j,k))/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
ba1(j,k)=
h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*(a1(j+1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j+1,k)b1(j,k))*Unplus1)-((b1(j-1,k)-b1(j,k))*vp*Unxmin1)))+(Je(j1)*(a1(j-1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j-1,k)-b1(j,k))*Unmin1)((b1(j+1,k)b1(j,k))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*b1(j,k))+B);
end
aa1(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*a1(j+1)*Unplus1+Je(j-1)*a1(j1)*Unmin1)+(Suma2+Suma3));
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
19
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
Suma1=Suma1+((a1(j)+0.5*aa1(j))*(bdot(k)*conj((b1(j,k)+0.5*b
a1(j,k)))-(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))*conj(bdot(k))));
Suma2=Suma2+(((a1(j)+0.5*aa1(j))*hbar*omega(k))*(conj((b1(j,
k)+0.5*ba1(j,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))));
Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*
lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))+conj((
b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))))*(a1(j)+0.5*aa1(j));
end
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))-(b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))*conj((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))*(b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))/2))
;
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))(b1(j-1,k)+0.5*ba1(j-1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))*conj((b1(j-1,k)+0.5*ba1(j-1,k)))conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))*(b1(j-1,k)+0.5*ba1(j1,k)))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((1)*(abs((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))conj((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))/2))
;
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs((b1(j-1,k)+0.5*ba1(j1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j1,k)+0.5*ba1(j-1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))conj((b1(j-1,k)+0.5*ba1(j1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
ba2(j,k)=
h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*((a1(j+1)+(0.5)*aa1(j))/(a1(j)+(0.5)*aa1(j)))*(((vp+
1)*((b1(j+1,k)+(0.5)*ba1(j,k))-
20
(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*Unplus1)-(((b1(j1,k)+(0.5)*ba1(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*vp*Unxmin1)))+(Je(j-1)*((a1(j1)+(0.5)*aa1(j))/(a1(j)+(0.5)*aa1(j)))*(((vp+1)*((b1(j1,k)+(0.5)*ba1(j,k))-(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*Unmin1)(((b1(j+1,k)+(0.5)*ba1(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*(b1
(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))+B);
end
aa2(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*(a1(j+1)+0.5*aa1(j+1))*Unplus1+Je(j-1)*(a1(j1)+0.5*aa1(j-1))*Unmin1)+(Suma2+Suma3));
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
Suma1=Suma1+((a1(j)+0.5*aa2(j))*(bdot(k)*conj((b1(j,k)+0.5*b
a2(j,k)))-(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))*conj(bdot(k))));
Suma2=Suma2+(((a1(j)+0.5*aa2(j))*hbar*omega(k))*(conj((b1(j,
k)+0.5*ba2(j,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))));
Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*
lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))+conj((
b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))))*(a1(j)+0.5*aa2(j));
end
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))-(b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))*conj((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))*(b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))/2))
;
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))(b1(j-1,k)+0.5*ba2(j-1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))*conj((b1(j-1,k)+0.5*ba2(j-1,k)))-
21
conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))*(b1(j-1,k)+0.5*ba2(j1,k)))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((1)*(abs((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))conj((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))/2))
;
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs((b1(j-1,k)+0.5*ba2(j1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j1,k)+0.5*ba2(j-1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))conj((b1(j-1,k)+0.5*ba2(j1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
ba3(j,k)=
h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*((a1(j+1)+(0.5)*aa2(j))/(a1(j)+(0.5)*aa2(j)))*(((vp+
1)*(((b1(j+1,k)+(0.5)*ba2(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*Unplus1)-(((b1(j1,k)+(0.5)*ba2(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*vp*Unxmin1)))+(Je(j-1)*(a1(j1)+(0.5)*aa2(j))/(a1(j)+(0.5)*aa2(j))*(((vp+1)*((b1(j1,k)+(0.5)*ba2(j,k))-(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*Unmin1)(((b1(j+1,k)+(0.5)*ba2(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*vp*Unxplus1)))))+(hbar*omega(k)*(b
1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))+B);
end
aa3(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*(a1(j+1)+0.5*aa2(j+1))*Unplus1+Je(j-1)*(a1(j1)+0.5*aa2(j-1))*Unmin1)+(Suma2+Suma3));
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
Suma1=Suma1+((a1(j)+aa3(j))*(bdot(k)*conj((b1(j,k)+ba3(j,k))
)-(b1(j,k)+ba3(j,k))*conj(bdot(k))));
Suma2=Suma2+(((a1(j)+aa3(j))*hbar*omega(k))*(conj((b1(j,k)+b
a3(j,k)))*(b1(j,k)+ba3(j,k))));
Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*
22
lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*((b1(j,k)+ba3(j,k))+conj((b1(j
,k)+ba3(j,k))))*(a1(j)+aa3(j));
end
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))/2));
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((1)*(abs((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))^2
*(vp+0.5)+ ((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k))*conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))conj((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))*(b1(j,k)+ba3(j,k)))/2));
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs((b1(j-1,k)+ba3(j1,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j-1,k)+ba3(j1,k))*conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))-conj((b1(j-1,k)+ba3(j1,k)))*(b1(j,k)+ba3(j,k)))/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
ba4(j,k)=
h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*((a1(j+1)+aa3(j))/(a1(j)+aa3(j)))*(((vp+1)*((b1(j+1,
k)+ba3(j,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))*Unplus1)-(((b1(j1,k)+ba3(j,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))*vp*Unxmin1)))+(Je(j1)*(a1(j-1)+aa3(j))/(a1(j)+aa3(j))*(((vp+1)*((b1(j1,k)+ba3(j,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))*Unmin1)(((b1(j+1,k)+ba3(j,k))(b1(j,k)+ba3(j,k)))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*(b1(j,k)+
ba3(j,k)))+B);
end
aa4(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*(a1(j+1)+aa3(j+1))*Unplus1+Je(j-1)*(a1(j-1)+aa3(j1))*Unmin1)+(Suma2+Suma3));
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
a1(j)=a1(j)+(aa1(j)+2*aa2(j)+2*aa3(j)+aa4(j))/6;
23
asq1(j,i)=abs(a1(j))^2;
sumH(i)=sumH(i)+asq1(j,i);
SumHamiltonian(1)=1;
sumza=0;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j+1,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j,k)*conj(b1(j+1,k))conj(b1(j,k))*b1(j+1,k))/2));
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j-1,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j,k)*conj(b1(j-1,k))-conj(b1(j,k))*b1(j1,k))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((-1)*(abs(b1(j+1,k)-b1(j,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j+1,k)*conj(b1(j,k))conj(b1(j+1,k))*b1(j,k))/2));
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs(b1(j-1,k)-b1(j,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j-1,k)*conj(b1(j,k))-conj(b1(j1,k))*b1(j,k))/2));
b1(j,k)=b1(j,k)+(ba1(j)+2*ba2(j)+2*ba3(j)+ba4(j))/6;
asp1(j,i)=abs(b1(j,k))^2;
bdot(k)=
1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*(a1(j+1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j+1,k)b1(j,k))*Unplus1)-((b1(j-1,k)-b1(j,k))*vp*Unxmin1)))+(Je(j1)*(a1(j-1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j-1,k)-b1(j,k))*Unmin1)((b1(j+1,k)b1(j,k))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*b1(j,k))+B);
sumza=sumza+asp1(j,i);
end
sumy(i)=sumy(i)+sumza;
end
sumHf=sum(asp1);
sumH1=0;
sumH2=0;
sumH3=0;
sumH4=0;
sumH5=0;
for j=2:n
sumH1=sumH1+(asq1(j,i));
end
for j=2:n
Unplus1=1;
Unmin1=1;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
24
Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))/2));
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))/2));
end
sumH2=sumH2+(Je(j)*a1(j)*conj(a1(j+1))*Unplus1);
sumH3=sumH3+(Je(j)*a1(j)*conj(a1(j+1))*Unmin1);
end
for j=2:n
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
end
sumH4=sumH4+(asq1(j,i)*hbar*omega(k)*(asp1(j,i)+0.5));
end
for j=2:n
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
sumH5=sumH5+(asq1(j,i))*B*((b1(j,k))+(conj(b1(j,k))));
end
end
SumHamiltonian(i)=sumH1-(sumH2)-(sumH3)+sumH4+sumH5;
persen(i)=(abs(SumHamiltonian(i)SumHamiltonian(1))/SumHamiltonian(1))*100;
persenabs=abs(persen);
SumHamiltonianAbs=abs(SumHamiltonian);
end
asq1(1,1)=abs(a1(1))^2;
asq1(n+1,1)=abs(a1(n+1))^2;
figure(p)
mesh(asq1);
xlabel('t(1xfs)');
ylabel('n(site)');
zlabel('abs(a)');
figure(p+1)
subplot(2,1,1); plot(sumH); xlabel('t(1xfs)'); ylabel('a
abs');
subplot(2,1,2); plot(sumHf); xlabel('t(1xfs)'); ylabel('b
abs');
end
25
RIWAYAT HIDUP
Putra dari pasangan Djoeanda dan Een Hendriawati ini lahir di Subang 6
Mei 1991, 7 tahun sebelum adik perempuan penulis lahir. Penulis menamatkan
program wajib belajar 12 tahun di kota asalnya, Pamanukan. Penulis melanjutkan
studi dan mengambil bidang fisika di Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008
melalui jalur Undangan Seleksi Mahasiswa IPB (USMI).
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung dalam organisasi
kemahasiswaan, seperti menjadi ketua bidang Instrumen dan Teknologi (Instek)
Himpunan Mahasiswa Fisika (HIMAFI) IPB dan menjadi sekretaris organisasi
mahasiswa daerah Subang. Selain aktif dalam organisasi, penulis juga pernah
menjadi asisten dalam perkuliahan. Pada tahun ajaran 2009/2010 menjadi asisten
praktikum mata kuliah Fisika Dasar, pada tahun ajaran 2010/2011 menjadi asisten
praktikum mata kuliah Eksperimen Fisika I dan Eksperimen Fisika II, pada tahun
ajaran 2011/2012 menjadi asisten praktikum matakuliah Fisika Modern. Selain di
kampus S1 IPB, penulis juga pernah menjadi asisten dosen matakuliah Instalasi
Jaringan Komputer dan matakuliah Sistem Keamanan Jaringan Komputer di
kampus D3 IPB pada tahun ajaran 2011/2012. Penulis pun pernah mendapatkan
dana penelitian dengan topik pembuatan sel surya berbasis film tipis CdS, dalam
Program Kreatifitas Mahasiswa tahun 2010.
HELIKS PADA SUHU FISIOLOGIS DENGAN MODEL
DAVYDOV
ADIETYA LANDRAS PRATAMA
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Dinamika Pindahan Energi dalam
Protein Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidakditerbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian
Bogor.
Bogor, September 2013
Adietya Landras Pratama
NIM G74080009
ABSTRAK
ADIETYA LANDRAS PRATAMA. Dinamika Pindahan Energi dalam Protein
Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov. Dibimbing oleh
FAOZAN AHMAD dan HUSIN ALATAS.
Proses pindahan energi yang dihasilkan hidrolisis ATP, selalu terlibat dalam
fenomena biologi seperti transpor aktif, kerja mekanis dan reaksi biosintetik.
Model Davydov menggunakan pendekatan teori zat padat dengan kelemahan
solitonnya hanya terbentuk pada suhu 0K dan untuk parameter tertentu. Pada
penelitian ini ditinjau pengaruh variasi suhu, konstanta pegas ikatan hidrogen, dan
konstanta interaksi eksiton-fonon terhadap dinamika energi soliton serta
menentukan persamaan gerak nonlinier dengan tinjauan kuantum untuk
menjelaskan dinamika energi tersebut. Persamaan energi didapat dari penuruan
persamaan gerak Euler-Lagrange dengan sistem Hamiltonian, kemudian
dilakukan analisis numerik dengan metode Runga Kutta orde empat menggunakan
perngkat lunak MATLAB R2008b. Variasi suhu dan konstanta interaksi eksitonfonon berpengaruh pada aliran energi soliton. Variasi konstanta pegas ikatan
hidrogen berpengaruh pada lokalisasi energi soliton.
Kata kunci: Alfa heliks, ansatz I, Davydov, soliton, suhu
ABSTRACT
ADIETYA LANDRAS PRATAMA. Energy Transfer Dynamics in Alpha Helix
Proteins at Physiological Temperature with Davydov Model. Supervised by
FAOZAN AHMAD and HUSIN ALATAS.
ATP hydrolysis energy transfer process always involve in biological
phenomena such as active transport, mechanical work and biosynthetic reactions.
Davydov models used the solid theory with a weakness, the soliton only formed at
0K and for certain parameters. In this research was reviewed the effect of
variation in terms of temperature, hydrogen bond spring constant, and excitonphonon interaction constants of the energy dynamics of solitons and nonlinear
equations of motion determine the quantum review to explain the dynamics of the
energy. Energy equation derived from the the Euler-Lagrange equations of motion
with Hamiltonian system. Then numerical analysis methods performed with the
fourth-order Runga Kutta using MATLAB R2008b. Variations of temperatures
and constant of exciton-phonon interaction affects the the flow of energy soliton.
Variations of spring constants of hydrogen bonding affects the energy soliton
localization.
Keywords: Alpha helix, ansatz I, Davydov, soliton, temperature
DINAMIKA PINDAHAN ENERGI DALAM PROTEIN ALFA
HELIKS PADA SUHU FISIOLOGIS DENGAN MODEL
DAVYDOV
ADIETYA LANDRAS PRATAMA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi: Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu
Fisiologis dengan Model Davydov
: Adietya Landras Pratama
Nama
: G74080009
NIM
Disetujui oleh
Dr Husin Alatas, MSi
Pembimbing II
Tanggal Lulus:
0 3 OCT 2013
Judul Skripsi : Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu
Fisiologis dengan Model Davydov
Nama
: Adietya Landras Pratama
NIM
: G74080009
Disetujui oleh
Faozan Ahmad, MSi
Pembimbing I
Dr Husin Alatas, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Akhiruddin Maddu
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2010 ini ialah
kekeringan, dengan judul Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks
pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Faozan Ahmad, MSi dan
Bapak Dr Husin Alatas selaku pembimbing, serta Bapak Hanedi Darmasetiawan,
MSi selaku editor yang telah membantu menyempurnakan penulisan skripsi.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga,
atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2013
Adietya Landras Pratama
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
Manfaat Penelitian
1
Hipotesis
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Fungsi Protein
2
Protein Alfa-heliks
2
Model Davydov
2
Ansatz
4
Pengaruh Suhu terhadap Model Davydov
4
METODE PENELITIAN
5
Waktu dan Tempat
5
Alat
5
Metode
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Hamiltonian Rata-Rata Sistem
6
Persamaan Gerak Euler-Lagrange
7
Hasil Metode Numerik
9
Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen
10
Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon
11
Dinamika soliton terhadap variasi suhu
12
SIMPULAN DAN SARAN
13
Simpulan
13
Saran
14
DAFTAR PUSTAKA
14
v
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1 Parameter fisis protein
2 Persentase error rata-rata perhitungan energi Hamiltonian total
10
10
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
Protein alfa-heliks
Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen
Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon
Dinamika soliton terhadap variasi suhu
3
11
12
13
DAFTAR LAMPIRAN
1 Metode Runga-Kutta orde 4
2 Sintaks program untuk solusi numerik
16
17
vi
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses pindahan energi yang dihasilkan hidrolisis ATP, selalu terlibat dalam
fenomena biologi seperti transpor aktif, kerja mekanis dan reaksi biosintetik1.
Banyak model yang diusulkan, salah satunya adalah model milik ilmuwan Soviet,
A.S. Davydov. Pada tahun 1973 A.S. Davydov mengusulkan teori energi getaran
tereksitasi (vibrational excited energy) yang memodelkan pindahan dan
penyimpanan energi protein alfa-heliks menggunakan pendekatan teori zat padat.
Eksperimen secara langsung untuk membuktikan teori ini masih sulit dilakukan
karena kompleknya struktur protein, tidak benar-benar peiodik dan tidak
membentuk kristal tunggal2.
Model Davydov memiliki sedikit kelemahan, yaitu soliton terjadi pada
parameter tertentu dan pada suhu 0K3. Bahkan muncul pro-kontra tentang
keberadaan soliton Davydov pada suhu tertentu, khususnya pada suhu
fisiologis3,4. Hal ini menyebabkan munculnya sebuah pertanyaan, seperti apa
pengaruh suhu terhadap soliton Davydov, dalam kondisi yang mendekati
fenomena aslinya.
Pada penelitian ini akan ditinjau pengaruh variasi suhu, konstanta pegas
ikatan hidrogen, dan konstanta interaksi eksiton-fonon terhadap dinamika energi
soliton pada protein alfa-heliks berdasarkan model Davydov menggunakan
gelombang uji ansatz I.
Perumusan Masalah
Berdasarkan model Daydov, energi yang mengalir disepanjang alfa-heliks
adalah gelombang soliton yang merupakan salah satu fenomena fisika nonlinier.
Seperti apakah persamaan gerak nonlinier yang akan didapat dan bagaimana
dinamika energi molekuler protein alpha-helix pada suhu fisiologis?
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menjelaskan dinamika energi protein
alfa-heliks dengan variasi suhu, khususnya pada suhu fisiologis dan menentukan
persamaan gerak nonlinier dengan tinjauan kuantum untuk menjelaskan dinamika
energi tersebut.
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat menjadi jawaban dari rasa ingin tahu
terhadap fenomena-fenomena makromolekul yang sangat kompleks dan bisa
menjadi dasar bagi teknologi di masa depan, dalam bidang nanoteknologi.
2
Hipotesis
a.
b.
c.
Hipotesis yang dapat dibentuk dalam penelitian ini antara lain :
Persamaan gerak nonlinier dapat ditentukan dengan menggunakan model
Davydov dan tiga persamaan operator energi.
Dinamika energi molekuler protein dapat dibuktikan dengan persamaan
nonlinier Davydov dengan tiga operator energi.
Pindahan energi melalui protein alfa heliks bersifat solitonik
TINJAUAN PUSTAKA
Fungsi Protein
Protein merupakan polimer dari asam-asam amino (polipeptida) yang
mempunyai bermacam-macam fungsi, antara lain : sebagai katalisator reaksireaksi biokimia dalam sel, pengangkut molekul-molekul kecil dan ion, berperan di
dalam sistem pergerakan yang terkoordinasi, komponen sistem kekebalan tubuh,
feromon, pengatur ekspresi genetik, penerus impuls syaraf, dan komponen
pendukung kekuatan-regang (tensile strength) pada kulit dan tulang5. Sesuai
dengan fungsinya yang beragam, protein sangat beragam strukturnya, setiap jenis
protein memiliki bentuk tiga dimensi atau konformasi yang unik. Struktur protein
dibagi menjadi empat tingkatan, dan alfa heliks merupakan struktur protein
sekunder6.
Protein Alfa-heliks
Alfa-helix merupakan bentuk sekunder dari sebuah protein akibat interaksi
intermolekul dan distabilkan oleh ikatan hidrogen dan dibentuk antar ikatan C=O
dan N-H. Kelompok alfa-heliks mempunyai 3,6 asam amino setiap putaran pilinan
dan tiga ikatan hidrogen yang menghubungkan satu site ke site yang lain. Dengan
demikian, garis alfa heliks muncul seperti tiga rantai kelompok asam amino
melalui ikatan hidrogen yang dihubungkan oleh ikatan kovalen satu sama lain7.
Model Davydov
Berdasarkan struktur atomik dari sebuah protein alfa-heliks dapat dilihat
pada Gambar 1, model Davydov dapat dijelaskan sebagai berikut. Energi vibrasi
pada peregangan C=O (atau osilator amida-I) yang terlokasir pada bentuk alfa
heliks melalui efek kopling fonon merubah bentuk struktur alfa heliks. Perubahan
reaksi alfa heliks yang melewati kopling fonon menjebak energi osilasi amida-I
mencegahnya dari dispersi. Pengaruh ini disebut lokalisasi diri (self-localization)
atau penangkapan diri (self-trapping). Energi bebas yang terlepas di dalam
hidrolisis ATP adalah sekitar 0.42 eV dan ini sekitar dua kuanta C=O energi
osilator. Asumsi dasar model davydov adalah energi yang dilepaskan reaksi ATP
pada awalnya menyimpan gaya C=O tertentu. Interaksi antara eksitasi
3
Gambar 1 Protein alfa-heliks
terlokalisasi, seperti eksitasi elektronik atau vibrasi molekul dengan frekuensi
tinggi dan frekuensi rendah fonon atau kisi dapat mengakibatkan lokalisasi energi
dalam zat padat. Davydov mengklaim bioenergi itu dipindahkan dalam
biomolekul protein dalam gelombang soliton. Protein dapat dilihat pada C=O
yang digabungkan pada ikatan hidrogen. Melalui gabungan antara C=O dan ikatan
hidrogen, bioenergi menyimpan ikatan C=O dan menggerakkan gelombang
soliton yang lain8.
Berdasarkan asumsi tersebut Davydov mengusulkan bahwa energi total dari
sistem terdiri atas eksiton, fonon, dan interaksi eksiton-fonon9, dengan
menggunakan sistem Hamiltonian yang secara matematis dapat ditulis
H=Hex +Hph +Hint .................................................................................... (2.1)
dengan Hex adalah Hamiltonian eksiton, Hph adalah Hamiltonian fonon, dan Hint
adalah Hamiltonian interaksi eksiton-fonon. Operator Hamiltonian eksiton dapat
didefinisikan sebagai
†
†
†
Hex = ∑N
n E0 Bn Bn - Jn+1 Bn Bn+1 -Jn-1 Bn Bn-1 ................................................ (2.2)
dengan n (=1,2,…,N) menunjukan molekul ke-n dalam satu kanal protein.
Sehingga pasangan indeks (n) menunjukan spesifikasi asam amino tertentu; E0
†
adalah energi dasar eksiton; Bn dan Bn masing-masing merupakan operator kreasi
dan anhilasi boson untuk osilator amida-I. Kedua operator tersebut juga
merupakan operator jumlah (numbering operator) yang akan menghitung jumlah
4
†
eksitasi pada setiap molekul. Bn Bn±1 menyatakan pindahan eksiton dari molekul
ke-n menuju n±1. J adalah kopling dipol antar unit terdekat untuk kanal yang
berbeda. Sedangkan operator Hamiltonian fononnya
†
N-1
Hph = ∑k-1 ℏωk bk bk +
1
2
........................................................................ (2.3)
dengan ωak adalah frekuensi fonon (vibrasi)
ωk =2
w
m
/
| sin kl/2| ........................................................................... (2.4)
†
l adalah jarak kisi, bk dan bk masing-masing adalah operator kreasi dan anhilasi.
Serta operator Hamiltonian interaksinya
*
Hint = ∑N
a Bnk ∑k bnk ( t) +bnk ( t ) .............................................................. (2.5)
Bnk =-2iχ
ℏ
2Nmωk
1
2
sin( kl) e-iknl ............................................................... (2.6)
dengan χ adalah parameter kopling eksiton-fonon, yang mempengaruhi tingkat
nonlinieritas dan | bnk ( t) | 2 menyatakan probabilitas ditemukannya fonon.
Ansatz
Pada model ini juga dikenalkan sebuah persamaan gelombang uji coba (trial
wave) atau yang disebut ansatz., yang merupakan hasil dari perkalian fungsi
gelombang eksiton dan fungsi gelombang fonon. Terdapat dua buah ansatz, yaitu
ansatz I dan ansatz II8. Pada penelitian ini, ansatz I yang akan digunakan dalam
permodelan Davydov, yang persamaannya adalah
†
|D1 〉= ∑n an ( t) Un |0〉Bn |0〉 ....................................................................... (2.7)
†
Un |0〉=exp ∑k bnk ( t) bk ( t) -b*nk ( t) bk (t)
|0〉 .......................................... (2.8)
dengan | ank ( t) | 2 menyatakan probabilitas ditemukannya fonon dan Un |0〉 adalah
operator transformasi uniter yang mentransformasi keadaan dasar atau vakum ke
keadaan kuasi-statik10
Pengaruh Suhu terhadap Model Davydov
Adanya variabel suhu berpengaruh pada bentuk ansatz yang digunakan dan
mengubah sistem Hamiltonian. Perubahan bentuk tersebut diakibatkan oleh
penggunaan metode rataan Hamiltonian11, sehingga bentuk ansatz I pada
persamaan 5 menjadi
5
†
|D1,v 〉= ∑n an ( t) Un |v〉Bn |0〉 ................................................................... (2.9)
dengan | v〉 adalah distribusi fonon yang berubah-ubah
|v〉= ∏k
( bk ) vk
vk !
|0〉 .................................................................................... (2.10)
Sedangkan pada sistem Hamiltonian, digunakan Hamiltonian yang
bergantung pada suhu yang merupakan rata-rata pada harga keseimbangan termal,
dinyatakan sebagai berikut
H( T) =
∑n D1 H D1
-
Z= ∑v' v' e
-
ve
Z
Hph +Hex
kB T
v
............................................................... (2.11)
Hph +Hex
kB T
v' ........................................................................... (2.12)
dengan Hph adalah Hamiltonian fonon, Hex adalah Hamiltonian eksiton, Z adalah
fungsi partisi dari eksiton dan fonon, kB adalah konstanta Blotzmann, dan T
adalah suhu.
METODE PENELITIAN
Waktu dan Tempat
Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Febuari 2012 sampai dengan
Maret 2013. Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi,
Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor (IPB).
Alat
Alat-alat yang digunakan berupa alat tulis, komputer jinjing (laptop)
AXIOO NEON MNC yang dilengkapi dengan perangkat lunak Matlab 2008b
dalam proses pembuatan simulasi.
Metode
Langkah awal yang dilakukan dalam penelitian ini adalah dengan
melakukan studi pustaka untuk memahami mekanisme dinamika molekuler
protein sehingga mempermudah penurunan persamaan dan perancangan simulasi
serta mempermudah analisis hasil yang diperoleh dari simulasi. Kemudian
dilakukan penurunan persamaan (2.1), selanjutnya dilakukan penurunan
persamaan gerak Euler-Lagrange12
6
d ∂L
dt ∂q̇ ( t)
-
∂L
∂q( t)
=0......................................................................................... (3.1)
dengan L adalah Lagrangian dalam representasi Hamiltonian dengan bentuk
persamaan
L= Ψ
iℏ ⃡
∂
2 ∂t
Ψ - Ψ H Ψ ........................................................................ (3.2)
dengan H adalah persamaan Hamiltonian yang telah diturunkan. Sehingga
persamaan 2 menjadi
d ∂L
∂L
dt ∂q̇ t
∂q( t)
( )
Ψ
iℏ ⃡
∂
2 ∂t
Ψ =-
∂ΨHΨ
∂q ( t)
........................................................ (3.3)
kemudian persamaan 4 akan diturunkan untuk memperoleh persamaan akhir yang
akan disimulasikan dengan perangkat lunak MATLAB R2008b.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hamiltonian Rata-Rata Sistem
Hamiltonian total merupakan harga ekspetasi dari oprator hamiltonian
terhadap ansatz I
H = D1 H D1
(4.1)
kemudian dilakukan penurunan persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4) menggunakan
persamaan (2.7) sehingga didapat
†
†
†
†
Hex |D1 〉= ∑n E0 an ( t) Bn Bn Bn Un |0〉- ∑n Jn an ( t) Bn Bn+1 Bn Un |0〉 +
†
†
- ∑n Jn an ( t) Bn Bn-1 Bn Un |0〉
†
2
D1 Hex D1 = ∑n E0 |an ( t) | - ∑n Jn a*n ( t) an+1 ( t) 〈0|Un Un+1 |0〉 +
†
- ∑n Jn a*n ( t) an-1 ( t) 〈0|Un Un-1 |0〉
Hph |D1 〉= ∑n ∑k an ( t) ℏω
b*nk bnk +
†
1
Un Bn |0〉
2
D1 Hph D1 = ∑n,k an ( t) a*n ( t) ℏωk b*nk ( t) bnk ( t) +
†
†
Hint |D1 〉 = ∑n,k an ( t) Bnk bk +bk Bn Bn
1
2
†
Un |0〉Bn |0〉
7
2
D1 Hint D1 = ∑n,k |an ( t) | Bnk bnk ( t) +b*nk ( t)
yang telah diturunkan sebelumnya, dimasukan ke dalam persamaan (2.1) sehingga
didapat Hamiltonian totalnya
H = D1 H D1 = D1 Hex D1 + D1 Hph D1 + D1 Hint D1
†
2
= ∑n E0 |an ( t) | -Jn ∑n a*n ( t) an+1 ( t) 〈0|Un Un+1 |0〉 +
†
-Jn ∑n a*n ( t) an-1 ( t) 〈0|Un Un-1 |0〉 +
∑n,k an ( t) a*n ( t) ℏωk
b*nk ( t) bnk ( t) +
1
2
+
∑n,k |an ( t) |2 Bnk bnk ( t) +b*nk ( t) ...................................................... (4.2)
menggunakan metode yang sama tetapi dengan persamaan (2.9), dapat diperoleh
Hamilonian bergantung suhu
v exp -
H( T) = ∑v ρv ( T) D1,v H D1,v ; ρv ( T) =
Hph
kB T
∑v' v' exp -
Hph
kB T
v
v'
†
2
=ρv ( T) ∑n,a E0 |an ( t) | -Jn ∑n,a a*n ( t) an+1 ( t) 〈v|Un,a Un+1,a |v〉
†
-Jn ∑n,a a*n ( t) an-1 ( t) 〈v|Un,a Un-1,a |v〉 +
∑n,k an ( t) a*n ( t) ℏωak
b*nak ( t) bnak ( t) +
∑n,a,k |an ( t) |2 Bnak bnak ( t) +b*nak ( t)
1
2
+
(4.3)
8
Persamaan Gerak Euler-Lagrange
Persamaan gerak Euler-Lagrange diturunkan dengan memasukan persamaan
(4.2) ke dalam persamaan (3.3)
d
∂Lt
dt ∂a*ṅ (t)
-
∂Lt
∂a*n (t)
=-
∂H
∂a*n (t)
dengan
Lt = D1
⃡
δ iℏ
δt 2
D1 =
iℏ
2
iℏ
2
∑n aṅ ( t) a*n ( t) -an ( t) a*ṅ ( t)
+
*
∑n,k| an ( t)| 2 ḃ nk (t)b*nk (t)-bnk (t)ḃ nk (t)
(4.4)
sehingga didapat persamaan gerak eksiton
iℏ ∑n aṅ ( t) = ∑n E0 an ( t) - ∑n Jn+ 1 an+ 1 ( t ) Un,n+ 1 + Jn-1 an-1 ( t ) Un,n-1 +
∑n,k an ( t) ℏωk
b*nk ( t) bnk ( t) +
1
2
+
*
iℏ
- ∑n,k an ( t) ḃ nk ( t) b*nk ( t) -bnk (t)ḃ nk (t) +
2
∑n,k an ( t) Bnk bnk ( t) +b*nk ( t)
............................................ (4.5)
Menggunakan metode yang sama, dipeoleh juga persamaan gerak fonon
d
∂Lt
dt ∂b*̇ (t)
nk
-
∂Lt
∂b*nk (t)
=-
∂H
∂b*nk (t)
........................................................................ (4.6)
a
iℏ ḃ nak (t) =- Jn+1,a n+1, bn+1k - bnk Un,n+1 +Jn-1,
an,
an-1,
an,a
bn-1,k - bnk Un,n-1 a*n, +
ℏωk bnk ( t) +Bnk .................................................................... (4.7)
Namun, karena adanya pengaruh suhu terhadap model Davydov, persamaan
di atas diturunkan kembali dengan faktor suhu, sehingga diperoleh
*
iℏ
iℏaṅ ( t) = ∑n E0 an ( t) - ∑n,k an ( t) ḃ nk ( t) b*nk ( t) -bnk (t)ḃ nk (t) +
2
- ∑n Jn+1 an+1 ( t) Un,n+1 (T)+Jn-1 an-1 ( t) Un,n-1 (T) +
9
∑n,k an ( t) ℏωk
b*nk ( t) bnk ( t) +
1
2
+
∑n,k an ( t) Bnk bnk ( t) +b*nk ( t) ................................................... (4.8)
a ( t)
iℏ ∑n,k ḃ nk (t) =- ∑n Jn+1 n+1( ) ( v+1) bn+1,k' ( t) -bn,k ( t) Un,n+1 ( T) +
a t
n
∑n Jn+1
an+1 ( t)
a n ( t)
- ∑n Jn-1
∑n Jn-1
an-1 ( t)
a n ( t)
an-1 ( t)
a n ( t)
( v) bn-1,k ( t) -bn,k ( t) Un,n+1 ( T) +
( v+1) bn-1,k' ( t) -bn,k ( t) Un,n-1 ( T) +
( v) bn+1,k ( t) -bn,k ( t) Un,n+1 ( T) +
- ∑n,k ℏωk bnk ( t) - ∑n,k Bnk ........................................... (4.9)
Un,n' ( T) = exp ∑k bnk ( t) -bn'k' ( t)
2
v+
1
2
+
bnk ( t) b*n'k' ( t) -b*nk ( t) bn'k' ( t)
2
dengan v adalah distribusi fonon
1
v=
exp
ℏωk
kB T
.......................................................................................... (4.6)
Hasil Metode Numerik
Dinamika soliton Davydov dievaluasi secara numerik menggunakan metode
Runga-Kutta orde 4 dengan menggunakan parameter fisis protein yang disajikan
pada Tabel 2 dan parameter yang divariasikan dalam metode numerik adalah
konstanta pegas ikatan hidrogen (w), kopling eksiton-fonon (χ) , dan suhu (T).
Selain dinamika soliton Davydov, ditinjau juga nilai persentase error dari
perhitungan energi Hamiltonian total berdasarkan persamaan (4.1) yang disajikan
pada Tabel 2. Hal ini dilakukan untuk memastikan fenomena yang terjadi
merupakan fenomena fisis, bukan suatu kesalahan perhitungan numerik dengan
syarat persentase error yang didapat tidak melebihi 20%.
10
Tabel 1 Parameter fisis protein
Parameter Deskripsi
w
Konstanta pegas ikatan Hidrogenb
Nilai
20 – 60
Satuan
N/m
M
Massa asam aminoa
5.7 x 10-25
kg
J
Dipol kopling antar sitea
1.55 x 10-22
J
Kopling eksiton-fononb
20 – 60
pN
l
T
Jarak kisi
a
Suhu (fisiologis)
-10
m
290 – 310
K
4.5 x 10
c
Sumber : aScott (1992), bForner (1991), cSparks et al.(2009)
Tabel 2 Persentase error rata-rata perhitungan energi Hamiltonian total
Parameter
Persentase
Error (%)
w (N/m)
χ (pN)
T (K)
6,7585
310
35
20
1,9953
310
35
25
1,0669
310
35
35
0,6998
310
35
40
1,8212
310
22
30
2,8979
310
35
30
5,3413
310
41
30
15,3098
310
55
30
6,7585
310
35
30
1,8922
305
35
30
2,5897
295
35
30
2,4632
290
35
30
Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen
Gambar 2 menyajikan dinamika soliton yang ditinjau dengan variasi
konstanta pegas ikatan hidrogen. Sumbu x menyatakan waktu dalam femtosekon,
sumbu y menyatakan site ke-n, dan indikator warna menunjukan besar sebaran
peluang ditemukannya eksiton (|an(t)|2). Parameter suhu dan kopling eksitonfonon dibuat tetap dengan masing-masing nilai 310K dan 35 pN11. Soliton yang
terbentuk dengan w sebesar 20 N/m (Gambar 2a) hanya menjangkau hingga site
ke-27 dan terlokalisasi pada site tersebut. Seiring besarnya nilai w, gelombang
soliton yang terjadi jangkauan site-nya bertambah dan mendekati bentuk
gelombang berjalan terdispersi. Hal ini disebabkan oleh pengaruh nilai w terhadap
persamaan (2.4). Semakin besar nilai ωk , semakin kecil nilai Bnk pada persamaan
(2.6) yang mempengaruhi pindahan energi dari eksiton ke fonon (kopling eksitonfonon). Bnk juga mempengaruhi dispersi dari soliton menjadi lebih meningkat.
Faktor dispersi inilah yang mempengaruhi perjalanan soliton untuk menuju site
yang lebih jauh14.
11
(a)
(b)
(b)
(d)
Gambar 2 Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen
(a) w = 20 N/m, (b) w = 25 N/m, (c) w = 35 N/m, (d) w = 40 N/m
Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon
Dinamika soliton yang terjadi terhadap variasi kopling eksiton-fonon dapat
dilihat pada Gambar 3. Saat nilai χ divariasikan, parameter suhu dan konstanta
ikatan hidrogen dibuat tetap dengan masing-masing nilai 310K dan 30 N/m. Saat
nilai χ sebesar 22 pN, gelombang yang teramati berupa soliton berjalan
terdispersi. Namun seiring meningkatnya nilai χ, jangkauan site dari soliton
tersebut semakin mengecil dan terlokalisasi. Selain itu dapat diamati juga pada
Gambar 2a sampai Gambar 2d, energi soliton pada waktu yang sama di site
sebelum terlokalisasi semakin membesar. Perubahan ini diakibatkan semakin
besarnya Bnk, seiring dengan semakin besar nilai χ seperti pada persamaan (2.6).
Hal ini menyebabkan turunnya faktor dispersi, sehingga faktor nonlinieritas naik
yang menyebabkan soliton menjadi terlokalisasi14.
12
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 3 Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon
(a) χ = 22 pN, (b) χ = 35 pN, (c) χ = 41 pN, (d) χ = 55 pN
Dinamika soliton terhadap variasi suhu
Gambar 4 memperlihatkan dinamika soliton terhadap variasi suhu dengan
mengambil nilai dari rentang suhu fisiologis13. Parameter w dan χ dibuat tetap
dengan masing-masing nilai 30 N/m dan 35 pN. Pada Gambar 4a (T = 290K)
jangkauan soliton bisa mencapai site ke-15 dan berupa gelombang terdispersi. Namun
seiring meningkatnya suhu, jangkauan site dari soliton tersebut mengecil hingga
hanya mencapai site ke-18 dan kemudian terlokalisasi. Pengaruh suhu membuat
soliton berkurang jangkauan site-nya dan menjadi lebih cepat terlokalisasi. Hal ini
dapat diamati terjadi karena suhu mempengaruhi fungsi distribusi fonon pada
persamaan (4.6) yang menyebabkan fonon sudah tereksitasi terlebih dahulu
sehingga interaksi kopling eksiton-fonon menjadi terganggu dan membuat soliton
menjadi tidak stabil.
13
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 4 Dinamika soliton terhadap variasi suhu (a) T = 290K, (b) T = 295K,
(c) T = 305K, (d) T = 310K
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Persamaan gerak nonlinier dari soliton Davydov yang diperoleh dapat
menjelaskan fenomena pindahan energi pada alfa heliks. Pada persamaan tersebut
terdapat faktor soliton Bnk yang mempengaruhi jangkauan gelombang soliton.
Persamaan gerak tersebut melibatkan fungsi distribusi fonon yang mempengaruhi
energi eksitasi fonon ketika berada pada suhu tertentu.
Variasi konstanta pegas ikatan hidrogen dalam afa-heliks mempengaruhi
stabilitas soliton Davydov. Begitu juga dengan variasi kopling eksiton-fonon dan
variasi suhu. Variabel suhu mempengaruhi soliton menjadi tidak stabil akibat
peningkatan energi eksitasi dari fonon sehingga tidak terjadi kopling eksitonfonon.
14
Saran
Asumsi dalam kajian ini, alfa-heliks masih berbentuk satu kanal dengan
kopling dipol (J) yang konstan. Perlu penelitian lanjutan dengan menggunakan
tiga buah kanal dan memvariasikan kopling dipol (J), agar kajian yang dilakukan
semakin mendekati fenomena aslinya. Selain secara teoritik, kajian eksperimental
juga perlu dilakukan agar teori yang ada dapat diaplikasikan dan dikembangkan
lebih lanjut.
DAFTAR PUSTAKA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Marks B, Marks A, Smith M. Biokimia Kedokteran Dasar : Sebuah
Pendekatan Klinis. Brahm U, Pendit, penerjemah; Suyono, Sadikin, Mandera
I, editor. Jakarta (ID) : EGC. Terjemahan dari: Basic Medical Biochemistry :
A Clinical Approach. 1996
Ahmad F, Zuliyatin, Alatas H. Dinamika soliton pada rantai protein alpha
heliks berdasarkan ansatz II model Davydov. Di dalam: Dahlan K, Muliyani
S, Nugrahani EH, Suryani, Kurnia A, June T, Miftahudin, Charlena, Sianturi
P, Wijaya SH, Sumaryada TI, Nurcholis W, Indahwati, Kusnanto A, editor.
Sains sebagai Landasan inovasi dalam bidang energi, lingkungan dan
pertanian berkelanjutan. Seminar Nasional Sains V; 2012 Nov 10; Bogor.
Indonesia. Bogor (ID): FMIPA IPB. 2012
Hanson LC. Mechanism of thermal desatbilization of the Davydov soliton.
Physical Review A. 45: 4111-4115. 1992
Lomdhal PS. Do Davydov soliton exist at 300K?. Physical Review Letters.
55:1235-1238.1985
Yuwono, Triwibowo. Biologi Molekular. Penerbit Erlangga: Jakarta. 2008
Campbell NA, Reece JB, Mitchell LG. Biologi Jilid I Edisi ke-5. Lestari R,
penerjemah; Safitri A, Simarmata L, Hardani HW, editor. Jakarta (ID):
Erlangga. Terjemahan dari Biology, Fifth Edition. 2002
Bresler, S. E. Introduction to Molecular Biology. Academic Press, Inc.: New
York. 1971
Scott A. Davydov’s soliton, launcing the soliton. Physics Report. 1:1-67.
1992
Förner W. Accuracy of Davydov’s | D1,v 〉 approximation for soliton dynamics
in proteins. Physical Review B. 53:6291-6317. 1996
Tannoudji CC, Diu B, Laloe F. Quantum Mechanics. John Willey & Sons:
France. 1977
Förner W. Davydov soliton in proteins: applications and calculation of
vibrational spectra. Journal of Molecular Modeling. 3:78-116. 1991.
Kobe DH. Lagrangian densities and principle of least action in nonrelativistic
quantum mechanics [internet]. [diacu 2012 Novemer 20]. Tersedia dari:
http://arxiv.org/abs/0712.1608. 2007
Sparks TH, Aasa A, Huber K, Wadsworth R. Changes and patterns in
biologically relevant temperatures in Europe 1941–2000. Climate Research.
39:191-207. doi:10.3354. 2009
15
14. Chawda BN, Tripati SBL. Solitons stems from the delicate balance of
“nonlinearity” and “dispersion” in the model equations. International Journal
of Research in Science and Thecnology. 1. 2011.
16
Lampiran 1 Metode Runga-Kutta orde 4
Metode Runga-Kutta adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk
memecahkan persamaan diferensial secara numerik. Metode Runga-Kutta sendiri
memiliki beberapa tingkatan (orde) dengan tingkat ketelitian yang semakin tinggi
dan kerumitan perhitungan yang semakin tinggi pula. Dalam penelitian ini,
digunakan orde ke-4 dari metode Runga-Kutta.
Karena penelitian ini menggunakan dua buah persamaan diferensial orde 1
yang saling berhubungan, akan dicontohkan metodenya sebagai berikut
x' = f(t,x,y)
y' = g(t,x,y)
dengan t adalah interval dari a sampai b. Diketahui kondisi awal dari x dan y, serta
jumlah langkah/iterasi (step) dari perhitungannya adalah n, maka
xawal=240;
yawal=0;
n=10;
h = (b-a)/n;
t(1) = a;
y(a)= yawal; x(a)= xawal;
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h;
k1x=h*fx(x(i), Q(i), T(i));
k1y=h*fy(x(i), Q(i), T(i));
k2x=h*fx(x(i)+h/2, Q(i)+k1x/2, T(i)+k1y/2);
k2y=h*fy(x(i)+h/2, Q(i)+k1x/2, T(i)+k1y/2);
k3x=h*fx(x(i)+h/2, Q(i)+k2x/2, T(i)+k2y/2);
k3y=h*fy(x(i)+h/2, Q(i)+k2x/2, T(i)+k2y/2);
k4x=h*fx(x(i)+h, Q(i)+k3x, T(i)+k3y);
k4y=h*fy(x(i)+h, Q(i)+k3x, T(i)+k3y);
x(i+1)=x(i)+1/6*(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x);
y(i+1)=y(i)+1/6*(k1y+2*k2y+2*k3y+k4y);
end
17
Lampiran 2 Sintaks program untuk solusi numerik
clear all
clc
for p=1:1
hbar=6.626e-34/(2*pi);
img = complex(0,1);
Je = (0.967e-3)*(1.602e-19);
ws = 20;
w=ws;
Chi=35e-12;
M=5.7e-25;
m=M;
n=40;
h=5e-15;
lgth=4.5e-10;
KB=1.380658e-23;
TEMP=310;
a1(n+1)=1e-2;
for j=1:n
a1(j)=1e-2;
a=(0.967e-3)*(1.602e-19);
Je(j)=a;
end
a1(40)=1;
for j=1:n+1
aa1(j)=0;
aa2(j)=0;
aa3(j)=0;
aa4(j)=0;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
ba1(j,k)=0;
ba2(j,k)=0;
ba3(j,k)=0;
ba4(j,k)=0;
bdot(k)=0;
b1(j,k)=0;
end
end
for i=2:2000
i;
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
18
sumH(i)=0;
sumy(i)=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
for j=2:n
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
Suma1=Suma1+(a1(j)*(bdot(k)*conj(b1(j,k))b1(j,k)*conj(bdot(k))));
Suma2=Suma2+((a1(j)*hbar*omega(k))*(conj(b1(j,k))*b1(j,k)));
Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*
lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*(b1(j,k)+conj(b1(j,k)))*a1(j);
end
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j+1,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j,k)*conj(b1(j+1,k))conj(b1(j,k))*b1(j+1,k))/2));
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j-1,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j,k)*conj(b1(j-1,k))-conj(b1(j,k))*b1(j1,k))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((-1)*(abs(b1(j+1,k)-b1(j,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j+1,k)*conj(b1(j,k))conj(b1(j+1,k))*b1(j,k))/2));
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs(b1(j-1,k)-b1(j,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j-1,k)*conj(b1(j,k))-conj(b1(j1,k))*b1(j,k))/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
ba1(j,k)=
h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*(a1(j+1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j+1,k)b1(j,k))*Unplus1)-((b1(j-1,k)-b1(j,k))*vp*Unxmin1)))+(Je(j1)*(a1(j-1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j-1,k)-b1(j,k))*Unmin1)((b1(j+1,k)b1(j,k))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*b1(j,k))+B);
end
aa1(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*a1(j+1)*Unplus1+Je(j-1)*a1(j1)*Unmin1)+(Suma2+Suma3));
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
19
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
Suma1=Suma1+((a1(j)+0.5*aa1(j))*(bdot(k)*conj((b1(j,k)+0.5*b
a1(j,k)))-(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))*conj(bdot(k))));
Suma2=Suma2+(((a1(j)+0.5*aa1(j))*hbar*omega(k))*(conj((b1(j,
k)+0.5*ba1(j,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))));
Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*
lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))+conj((
b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))))*(a1(j)+0.5*aa1(j));
end
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))-(b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))*conj((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))*(b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))/2))
;
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))(b1(j-1,k)+0.5*ba1(j-1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))*conj((b1(j-1,k)+0.5*ba1(j-1,k)))conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))*(b1(j-1,k)+0.5*ba1(j1,k)))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((1)*(abs((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))conj((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))/2))
;
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs((b1(j-1,k)+0.5*ba1(j1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j1,k)+0.5*ba1(j-1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))conj((b1(j-1,k)+0.5*ba1(j1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
ba2(j,k)=
h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*((a1(j+1)+(0.5)*aa1(j))/(a1(j)+(0.5)*aa1(j)))*(((vp+
1)*((b1(j+1,k)+(0.5)*ba1(j,k))-
20
(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*Unplus1)-(((b1(j1,k)+(0.5)*ba1(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*vp*Unxmin1)))+(Je(j-1)*((a1(j1)+(0.5)*aa1(j))/(a1(j)+(0.5)*aa1(j)))*(((vp+1)*((b1(j1,k)+(0.5)*ba1(j,k))-(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*Unmin1)(((b1(j+1,k)+(0.5)*ba1(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*(b1
(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))+B);
end
aa2(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*(a1(j+1)+0.5*aa1(j+1))*Unplus1+Je(j-1)*(a1(j1)+0.5*aa1(j-1))*Unmin1)+(Suma2+Suma3));
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
Suma1=Suma1+((a1(j)+0.5*aa2(j))*(bdot(k)*conj((b1(j,k)+0.5*b
a2(j,k)))-(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))*conj(bdot(k))));
Suma2=Suma2+(((a1(j)+0.5*aa2(j))*hbar*omega(k))*(conj((b1(j,
k)+0.5*ba2(j,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))));
Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*
lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))+conj((
b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))))*(a1(j)+0.5*aa2(j));
end
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))-(b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))*conj((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))*(b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))/2))
;
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))(b1(j-1,k)+0.5*ba2(j-1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))*conj((b1(j-1,k)+0.5*ba2(j-1,k)))-
21
conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))*(b1(j-1,k)+0.5*ba2(j1,k)))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((1)*(abs((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))conj((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))/2))
;
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs((b1(j-1,k)+0.5*ba2(j1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j1,k)+0.5*ba2(j-1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))conj((b1(j-1,k)+0.5*ba2(j1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
ba3(j,k)=
h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*((a1(j+1)+(0.5)*aa2(j))/(a1(j)+(0.5)*aa2(j)))*(((vp+
1)*(((b1(j+1,k)+(0.5)*ba2(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*Unplus1)-(((b1(j1,k)+(0.5)*ba2(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*vp*Unxmin1)))+(Je(j-1)*(a1(j1)+(0.5)*aa2(j))/(a1(j)+(0.5)*aa2(j))*(((vp+1)*((b1(j1,k)+(0.5)*ba2(j,k))-(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*Unmin1)(((b1(j+1,k)+(0.5)*ba2(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*vp*Unxplus1)))))+(hbar*omega(k)*(b
1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))+B);
end
aa3(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*(a1(j+1)+0.5*aa2(j+1))*Unplus1+Je(j-1)*(a1(j1)+0.5*aa2(j-1))*Unmin1)+(Suma2+Suma3));
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
Suma1=Suma1+((a1(j)+aa3(j))*(bdot(k)*conj((b1(j,k)+ba3(j,k))
)-(b1(j,k)+ba3(j,k))*conj(bdot(k))));
Suma2=Suma2+(((a1(j)+aa3(j))*hbar*omega(k))*(conj((b1(j,k)+b
a3(j,k)))*(b1(j,k)+ba3(j,k))));
Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*
22
lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*((b1(j,k)+ba3(j,k))+conj((b1(j
,k)+ba3(j,k))))*(a1(j)+aa3(j));
end
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))/2));
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((1)*(abs((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))^2
*(vp+0.5)+ ((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k))*conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))conj((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))*(b1(j,k)+ba3(j,k)))/2));
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs((b1(j-1,k)+ba3(j1,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j-1,k)+ba3(j1,k))*conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))-conj((b1(j-1,k)+ba3(j1,k)))*(b1(j,k)+ba3(j,k)))/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
ba4(j,k)=
h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*((a1(j+1)+aa3(j))/(a1(j)+aa3(j)))*(((vp+1)*((b1(j+1,
k)+ba3(j,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))*Unplus1)-(((b1(j1,k)+ba3(j,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))*vp*Unxmin1)))+(Je(j1)*(a1(j-1)+aa3(j))/(a1(j)+aa3(j))*(((vp+1)*((b1(j1,k)+ba3(j,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))*Unmin1)(((b1(j+1,k)+ba3(j,k))(b1(j,k)+ba3(j,k)))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*(b1(j,k)+
ba3(j,k)))+B);
end
aa4(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*(a1(j+1)+aa3(j+1))*Unplus1+Je(j-1)*(a1(j-1)+aa3(j1))*Unmin1)+(Suma2+Suma3));
Suma1=0;
Suma2=0;
Suma3=0;
Unplus1=1;
Unmin1=1;
Unxplus1=1;
Unxmin1=1;
a1(j)=a1(j)+(aa1(j)+2*aa2(j)+2*aa3(j)+aa4(j))/6;
23
asq1(j,i)=abs(a1(j))^2;
sumH(i)=sumH(i)+asq1(j,i);
SumHamiltonian(1)=1;
sumza=0;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j+1,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j,k)*conj(b1(j+1,k))conj(b1(j,k))*b1(j+1,k))/2));
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j-1,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j,k)*conj(b1(j-1,k))-conj(b1(j,k))*b1(j1,k))/2));
Unxplus1=Unxplus1*exp((-1)*(abs(b1(j+1,k)-b1(j,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j+1,k)*conj(b1(j,k))conj(b1(j+1,k))*b1(j,k))/2));
Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs(b1(j-1,k)-b1(j,k))^2
*(vp+0.5)+
(b1(j-1,k)*conj(b1(j,k))-conj(b1(j1,k))*b1(j,k))/2));
b1(j,k)=b1(j,k)+(ba1(j)+2*ba2(j)+2*ba3(j)+ba4(j))/6;
asp1(j,i)=abs(b1(j,k))^2;
bdot(k)=
1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*(a1(j+1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j+1,k)b1(j,k))*Unplus1)-((b1(j-1,k)-b1(j,k))*vp*Unxmin1)))+(Je(j1)*(a1(j-1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j-1,k)-b1(j,k))*Unmin1)((b1(j+1,k)b1(j,k))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*b1(j,k))+B);
sumza=sumza+asp1(j,i);
end
sumy(i)=sumy(i)+sumza;
end
sumHf=sum(asp1);
sumH1=0;
sumH2=0;
sumH3=0;
sumH4=0;
sumH5=0;
for j=2:n
sumH1=sumH1+(asq1(j,i));
end
for j=2:n
Unplus1=1;
Unmin1=1;
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
24
Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))/2));
Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))^2
*(vp+0.5)+
((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))/2));
end
sumH2=sumH2+(Je(j)*a1(j)*conj(a1(j+1))*Unplus1);
sumH3=sumH3+(Je(j)*a1(j)*conj(a1(j+1))*Unmin1);
end
for j=2:n
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
end
sumH4=sumH4+(asq1(j,i)*hbar*omega(k)*(asp1(j,i)+0.5));
end
for j=2:n
for k=1:n-1
wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth);
omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2*
n*M*omega(k))^(1/2);
sumH5=sumH5+(asq1(j,i))*B*((b1(j,k))+(conj(b1(j,k))));
end
end
SumHamiltonian(i)=sumH1-(sumH2)-(sumH3)+sumH4+sumH5;
persen(i)=(abs(SumHamiltonian(i)SumHamiltonian(1))/SumHamiltonian(1))*100;
persenabs=abs(persen);
SumHamiltonianAbs=abs(SumHamiltonian);
end
asq1(1,1)=abs(a1(1))^2;
asq1(n+1,1)=abs(a1(n+1))^2;
figure(p)
mesh(asq1);
xlabel('t(1xfs)');
ylabel('n(site)');
zlabel('abs(a)');
figure(p+1)
subplot(2,1,1); plot(sumH); xlabel('t(1xfs)'); ylabel('a
abs');
subplot(2,1,2); plot(sumHf); xlabel('t(1xfs)'); ylabel('b
abs');
end
25
RIWAYAT HIDUP
Putra dari pasangan Djoeanda dan Een Hendriawati ini lahir di Subang 6
Mei 1991, 7 tahun sebelum adik perempuan penulis lahir. Penulis menamatkan
program wajib belajar 12 tahun di kota asalnya, Pamanukan. Penulis melanjutkan
studi dan mengambil bidang fisika di Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008
melalui jalur Undangan Seleksi Mahasiswa IPB (USMI).
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung dalam organisasi
kemahasiswaan, seperti menjadi ketua bidang Instrumen dan Teknologi (Instek)
Himpunan Mahasiswa Fisika (HIMAFI) IPB dan menjadi sekretaris organisasi
mahasiswa daerah Subang. Selain aktif dalam organisasi, penulis juga pernah
menjadi asisten dalam perkuliahan. Pada tahun ajaran 2009/2010 menjadi asisten
praktikum mata kuliah Fisika Dasar, pada tahun ajaran 2010/2011 menjadi asisten
praktikum mata kuliah Eksperimen Fisika I dan Eksperimen Fisika II, pada tahun
ajaran 2011/2012 menjadi asisten praktikum matakuliah Fisika Modern. Selain di
kampus S1 IPB, penulis juga pernah menjadi asisten dosen matakuliah Instalasi
Jaringan Komputer dan matakuliah Sistem Keamanan Jaringan Komputer di
kampus D3 IPB pada tahun ajaran 2011/2012. Penulis pun pernah mendapatkan
dana penelitian dengan topik pembuatan sel surya berbasis film tipis CdS, dalam
Program Kreatifitas Mahasiswa tahun 2010.