Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
Hutahaean
Vol. 14 No. 1 Januari 2007
urnal
TEKNIK SIPIL
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan
Kekekalan Energi
Syawaluddin H1)
Abstrak
Paper ini menyajikan pengerjaan hukum kekekalan energi pada pemodelan hidrodinamika gelombang pendek.
Pengerjaan hukum kekekalan energi dilakukan dengan mensuperposisikan persamaan kontinuitas yang
dihasilkan dari kekekalan masa dengan persamaan kekekalan energi dan menghasilkan persamaan kontinuitas
baru yang sesuai dengan hukum kekekalan masa dan kekekalan energi. Penelitian secara numeris menunjukkan
bahwa persamaan dapat digunakan untuk memodelkan gelombang dengan tinggi gelombang terbesar pada
periodanya. Persamaan juga dapat memodelkan refraksi, difraksi dan shoaling dengan baik.
Kata-kata Kunci: Persamaan kontinuitas, hukum kekekalan masa dan hukum kekekalan energi.
Abstract
This paper presents application of energy conservation law for short wave modelling. The application is done by
superimposing continuity equation that resulted from mass conservation and the equation of energy conservation. The superimposing gives a new form of continuity equation that agree with the mass and energy conservation law. The new equation can model wave with the height as high as the real wave in nature. The model also
can simulate other wave dynamic such as refraction-diffraction and shoaling by bathymetry and diffraction in
breakwater gap.
Keywords: Continuity equation, mass conservation and energy conservation law.
1. Latar Belakang
2. Perumusan Persamaan
Persamaan gelombang Airy, walaupun dikenal sebagai
persamaan gelombang panjang dapat digunakan juga
untuk memodelkan gelombang pendek, walaupun
dengan tinggi gelombang yang sangat kecil
(Syawaluddin, H., dkk., 2005).
2.1 Bentuk umum
Persamaan kontinuitas pada persamaan gelombang
panjang Airy diperoleh dari pengerjaan hukum
kekekalan masa. Walaupun persamaan tersebut
diturunkan dari hukum kekekalan masa, tetapi
terdapat peristiwa transportasi energi pada persamaan
ini, yaitu terjadinya perubahan energi kinetik menjadi
energi potensial. Perubahan dari energi potensial
dinyatakan pada perubahan elevasi muka air. Jadi
persamaan kontinuitas selain mewakili hukum
kekekalan masa, juga harus mewakili hukum
kekekalan energi.
wz+δz/2
vy+δy/2
δz
Dengan persamaan kontinuitas yang bersifat seperti
ini maka diharapkan dapat digunakan untuk
memodelkan gelombang untuk tinggi gelombang yang
besar, sesuai dengan keadaan di alam.
vy-δy/2
ux-δx/2
wz-δz/2
ux+δx/2
δy
δx
Gambar 2.1. Persamaan kekekalan energi
1. Staf Pengajar KK Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan-ITB.
Catatan : Usulan makalah dikirimkan pada 15 Desember 2006 dan dinilai oleh peer reviewer pada tanggal 13 Pebruari 2007 13 Maret 2007. Revisi penulisan dilakukan antara tanggal 6 Maret 2007 hingga 16 Maret 2007.
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 59
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
Energi kinetik pada satu satuan masa air pada aliran
air adalah Ekx = ρ
u2 ,
v2 ,
w2
Eky = ρ
Ekz = ρ
2g
2g
2g
dimana ρ adalah rapat masa air, u, v dan w adalah
kecepatan arus pada arah x, y dan z. Pada ruang
tinjauan pada Gambar 2.1, terdapat input-output
energi kinetik pada selang waktu δt, yaitu:
(
ρ δx δz δt (v
ρ δz δz δt (w
IO = ρ δy δz δt u x - δx/2 E x- δx/2 − u x + δx/2 E x + δx/2
kx
ky
y - δy/2
kx
− v y + δy/2 E
)+
)+
)
ky
y + δy/2
y - δy/2
E
z - δz/2
E zkz- δz/2 − w z + δz/2 E zkz+ δz/2
Perubahan energi kinetik pada sistim adalah
∆E = ρ δx δy δz
(δE
kx
+ δEky + δE kz )
h
Gambar 2.2. Sket muka air akibat gelombang
Aturan Leibniz (Dean, Robert G., and Dalrymple),
β
∫
α
η
∫
-h
Dengan membagi ruas kiri dan kanan persamaan
kekekalan dengan ρ δx δy δz dan δt serta dengan
mengambil δx δy δz dan δt mendekati nol, maka
diperoleh persamaan kekekalan energi adalah
∂ E kx ∂ E ky ∂ E kx ∂ uE kx ∂ vE ky ∂ wE kz
+
+
+
+
+
=0
∂t
∂t
∂t
∂y
∂x
∂z
(1)
Persamaan (1) adalah persamaan kekekalan energi
dalam bentuk umum.
2.2 Bentuk terintegrasi terhadap kedalaman
Analisis hidrodinamik akan lebih mudah bila
dilakukan dengan analisis terintegrasi terhadap
kedalaman, terutama untuk analisis pada perairan
dangkal. Pada metoda ini digunakan kecepatan ratarata kedalaman dimana kecepatan vertikal (w)
tereliminir sehingga hanya ada dua kecepatan yaitu
kecepatan horizontal ara x dan y yaitu ū dan⎯v .
Sebagai contoh dari persamaan yang terintegrasi
terhadap kedalaman adalah persamaan gelombang
panjang dari Airy (Dean, Robert G., and Dalrymple).
Agar persamaan kekekalan energi dapat diaplikasikan
pada analisis hidrodinamika yang terintegrasi terhadap
kedalaman, maka diperlukan bentuk persamaan
kekekalan energi yang juga terintegrasi terhadap
kedalaman yang akan dirumuskan pada bagian
berikut. Persamaan (1) diintegrasikan terhadap
kedalaman,
⎛ ∂ E kx ∂ E ky ∂ E kx ∂ uE kx ∂ vE ky ∂ wE kz
+
+
+
+
+
∂y
∂z
∂t
∂t
∂x
∂t
-h
60 Jurnal Teknik Sipil
∫ f dz - f β
α
η
∫E
kx
dz - Eηkx
-h
⎞
⎟⎟ dz = 0
⎠
∂α
∂β
+ fα
∂x
∂x
(2)
∂ (-h)
∂η
(3)
+ E kx-h
∂t
∂t
Euler,
persamaan
pada
Syarat batas dinamik adalah bahwa tekanan pada
permukaan adalah sama pada semua permukaan yaitu
bekerja tekanan atmosfir. Fluktuasi muka air
memberikan perbedaan tekanan atmosfir yang sangat
kecil, sehingga pada seluruh permukaan mempunyai
tekanan atmosfir yang sama yaitu pη = patm, sehingga
∂pn/∂x = 0. Dengan demikian persamaan Euler pada
permukaan menjadi
⎛∂u
∂u⎞
∂u
∂u
⎜⎜
⎟ =0
+w
+v
+u
∂ z ⎟⎠ z =η
∂y
∂x
⎝ ∂t
Perhitungan dengan persamaan ini akan menghasilkan
kecepatan permukaan uη yang sangat kecil, hampir
mendekati nol. Oleh karena itu energi kinetik pada
permukaan (Ekxη) dikalikan dengan ∂η/∂t.
∂η , ⎛ η ∂η ⎞
⎜ E kx
⎟
∂t ⎝
∂t ⎠
pada Persamaan (3) adalah bilangan yang sangat
kecil yang dapat diabaikan. Selanjutnya, pada analisis
ini kedalaman adalah suatu harga yang konstan
terhadap waktu, sehingga
∂ (-h)
= 0.
∂t
Dengan demikian Persamaan (3) menjadi
η
-h
∫ ⎜⎜⎝
∂ Ekx ∂
=
∂t
∂t
β
⎛∂u
1 ∂ pη
∂u⎞
∂u
∂u
⎜⎜
⎟⎟ = +w
+v
+u
ρ ∂x
∂ z ⎠ z =η
∂y
∂x
⎝ ∂t
∫
η = fluktuasi muka air terhadap muka air diam
η
∂
∂ f
dz =
∂x
∂x
Berdasarkan persamaan
permukaan adalah
Berdasarkan hukum kekekalan, maka
IO = ∆E
Muka air diam
η
∂ E kx
∂
=
∂t
∂t
η
∫E
-h
kx
1 ∂
dz =
2g ∂ t
η
∫u
2
dz
-h
Sesuai dengan formulasi persamaan gelombang
panjang dari Airy (Dean, Robert G., and Dalrymple),
Hutahaean
didefinisikan
η
2
2
∫ u dz = α (η + h ) u
η
-h
-h
∫
dimana ū adalah kecepatan rata-rata kedalaman pada
arah x, sedangkan α adalah suatu koefisien yang
berharga 0.5 – 1, dalam hal ini digunakan α = 1.
η
∫
-h
η
∫
-h
η
∂ E kz
1 ⎛ ∂η ⎞
∂
dz =
Ek z dz ⎟
⎜
∫
∂t
∂ t -h
2g ⎝ ∂ t ⎠
Selanjutnya didefinisikan
η
∫
∂ E kx
1 ∂
(η + h ) u 2
=
2g ∂ t
∂t
-h
∂ Ekx
∂ Ekx
∂η
∂
+ Ekx
= (η + h) Ekx = (η + h)
∂t
∂t
∂t
∂t
η
(4a)
-h
η
∫
-h
∂ E ky
∂t
= (η + h )
∂ E ky
∂t
+ E ky
η
Selanjutnya, akan diselesaikan
∫
-h
η
∫
-h
η
∂ E kz
∂
dz =
∂t
∂t
∫
-h
∂η
∂t
∫
∫
-h
∂η 1 ⎛ ∂η ⎞
1 η
E kz + E kz- h
⎜
⎟
∂ t 2g ⎝ ∂ t ⎠
2
(
η
∂η
E kz dz − E kz
∂t
∂ uE kx
dz dan
∂x
∫
η
-h
η
∫
-h
∂ uEkx
∂
dz =
∂x
∂x
η
uη E kx
bilangan yang sangat kecil yang dapat diabaikan,
sehingga syarat batas kinematik permukaan menjadi
∫u
(5) wη =
E =
η
(5)
η
n ∂η
∫-h Ekz dz - E kz ∂ t
2g
∂ η , maka
∂t
η
∫
∂ vE ky
∂y
-h
η
∫ uE
kx
dz
dz − uη Ekxη
-h
∂η
∂η
− u -h Ekx-h
∂x
∂x
3
∂ η uη ∂ η
=
≈0
∂ x 2g ∂ x
dimana seperti pada persamaan
3
dz = β (η + h) u 3 , dimana β adalah suatu konstanta.
-h
∫
-h
∂ uE kx
∂
dz = β
(η + h ) u E kx − u -h E kx- h ∂ h
∂x
∂x
∂x
(7a)
Dengan cara yang sama akan diperoleh
η
dengan
)
3
Didefinisikan
η
n
kz
3
Dengan uη bilangan yang sangat kecil, maka
∂η
∂η
dan vη
adalah
∂x
∂y
wη2
)
Selanjutnya pada bagian berikut diselesaikan
∂η
∂η
∂η
+ uη
+ vη
∂t
∂y
∂x
∂η
wη =
∂t
η
∂ E kz
∂
∫- h ∂ t dz = ∂ t
3
∂ E kz
(η + h ) ∂ Ekzη + ⎛ η + h ⎞ ∂ E kz− h +
dz =
⎜
⎟
∂t
∂t
2
2
⎝ 2 ⎠ ∂t
(4b)
Dengan menggunakan anggapan uη dan vη adalah
bilangan yang sangat kecil (seperti telah dibahas pada
bagian terdahulu), maka
uη
1 ⎛ ∂η ⎞
∫-h w dz − 2g ⎜⎝ ∂ t ⎟⎠
2
(
∫
Syarat batas kinematik
wη =
η
∂ E kz
1 ⎛ ∂η ⎞
∂ (η + h ) η
E kz + E kz- h −
dz =
⎜
⎟
2g ⎝ ∂ t ⎠
2
∂t
∂t
-h
∂ E kz
dz
∂t
(η + h )
2
∂ E kz
1 ∂
dz =
∂t
2g ∂ t
η
Dengan cara yang sama akan diperoleh
wη2 + w−2h
w 2 dz =
dimana untuk perairan dangkal pendekatan ini masih
cukup baik.
η
dimana E adalah energi kinetik pada kecepatan ratarata kedalaman.
3
∫
-h
∂ vE ky
∂y
dz = β
η
Selanjutnya
∫
-h
∂
(η + h ) v E ky − v-h E ky-h ∂ h
∂y
∂y
∂ wE kz
dz =
∂z
(7b)
η
∫ ∂wE
kz
-h
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 61
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
η
wη3
∫ ∂wE kz =
2g
-h
η
∫ ∂wE
kz
-h
1
=
2g
-
w-3h
2g
Persamaan (8) adalah persamaan kekekalan energi
yang terintegrasi terhadap kedalaman.
1 3
⎛ ∂η ⎞
w-h
⎟ ⎜
2g
⎝ ∂t ⎠
3
(7c)
Dari Persamaan-persamaan (4a), (4b), (6), (7a), (7b)
dan (7c), maka
⎛ ∂ Ekx ∂ Eky ∂ Ekx ∂ uEkx ∂ vEky ∂ wEkz ⎞
∫-h ⎜⎜⎝ ∂ t + ∂ t + ∂ t + ∂ x + ∂ y + ∂ z ⎟⎟⎠ dz = 0
η
menjadi
∂E
(η + h ) ∂ E kx + E kx ∂ η + (η + h ) ky + E ky ∂ η
∂t
∂t
∂t
∂t
η + h ⎛ ∂ Ekzη
2
+β
∂ Ekz− h
⎜
+
⎜ ∂t
∂t
⎝
⎞ 1 η
∂η 1 ⎛ ∂η ⎞
⎟ + E kz + E kz-h
⎟
⎜
⎟ 2
∂ t 2g ⎝ ∂ t ⎠
⎠
(
)
3
∂
(η + h) uEkx + β ∂ (η + h) vEky - u-h Ekx-h ∂ h
∂x
∂y
∂x
3
- v −h E
Didefinisikan kedalaman total H = η + h dan
persamaan dibagi dengan H, serta ū , v ,
E kx dan Eky
ditulis sebagai u, v, Ekx dan Eky,
persamaan menjadi
⎛ Ekx Eky ⎞ ∂ η ∂ Ekx ∂ Eky 1 ∂ Ekzη
⎜⎜
⎟
+
+
+
+
+
2 ∂t
∂t
∂t
H ⎟⎠ ∂ t
⎝ H
1 ∂ Ekz-h β ∂ uHEkx β ∂ vHEky
+
+
+
H ∂y
H ∂x
2 ∂t
⎛ 3 ∂ Ekz 3 ∂ E
1 ∂ uHEkx 1 ∂ vHEky ⎞
⎟
+
+
+
∂x
2 ∂t
H
H ∂ y ⎟⎠
⎝2 ∂t
-h
kz
∂h 1 3 ⎞
∂h
1 ⎛
⎜⎜ 3 u -h E kx- h
w-h ⎟⎟ = 0
+ 3 v- h E ky- h
H ⎝
∂ y 2g
∂x
⎠
(8)
62 Jurnal Teknik Sipil
⎛
∂h⎞
∂h
⎟
+ v-h
w- h = - ⎜⎜ u -h
∂ y ⎟⎠
∂x
⎝
Pada perairan dangkal, dapat dilakukan pendekatan u-h
= u dan v-h = v. Pada perairan yang datar atau landai
dimana
∂h ∂h
≈0
,
∂x ∂y
maka w-h ≈ 0, sehingga suku yang mengandung w-h
ataupun
3. Penggunaan
Energi
Persamaan
Kekekalan
Dengan anggapan Ekzη dan Ekz−η, u-h, v-h serta w-h,
adalah bilangan yang sangat kecil, maka Persamaan
(8) menjadi
Dengan mengerjakan diferensial parsial pada
∂ Eky
∂ Ekx
3⎛
1 3 1 - h ⎞ ∂η
+3
+3
⎜ Ekx + Eky + Ekz + Ekz ⎟
∂t
∂t
H⎝
2
2
⎠ ∂t
+ ⎜⎜
Syarat batas kinematik dasar perairan
1 ∂ uHE kx 1 ∂ vHE ky
+
=0
H
H ∂y
∂x
Penelitian menunjukkan bahwa persamaan akan
menjadi lebih baik bila semua suku dibagi dengan β
dan diambil harga β = 1/3.
η
∂ wη 1 ∂ η ∂ 2 η
∂ Ekzη
1 ∂ 2 1
=
wη = wη
=
∂t
2g ∂ t
g
g ∂ t ∂ t2
∂t
3
(E kx + E ky ) ∂ η + 3 ∂ E kx + 3 ∂ E ky +
∂t
H
∂t
∂t
∂h
∂h 1 3
−
- v −h E ky−h
w-h = 0
∂x
∂ y 2g
- u − h E kx− h
∂η
maka
∂t
∂h
∂h
dapat diabaikan.
atau
∂x
∂y
1 3
∂ h 1 ⎛ ∂η ⎞
w-h = 0
+
⎟ −
⎜
2g
∂ y 2g ⎝ ∂ t ⎠
−h
kz
dengan wη =
∂ uHE kx dan ∂ vHE ky , maka
∂y
∂x
3
(E kx + E ky ) ∂ η + 3 ∂ E kx + 3 ∂ E ky +
∂t
∂t
∂t
H
E kx ∂ uH E ky ∂ vH
+
H ∂y
H ∂x
+ u
∂ E ky
∂ E kx
=0
+v
∂y
∂x
(9)
Persamaan (9) akan digunakan untuk analisis
hidrodinamika gelombang pendek, dengan mensuperposisikan dengan persamaan gelombang panjang dari
Airy.
Hutahaean
Persamaan gelombang panjang dari Airy adalah
(Dean, Robert G., and Dalrymple),
∂ (vH)
∂η
∂ (uH)
+
=0
+
∂t
∂x
∂y
(10a)
∂u
∂u
∂u
∂η
+u
+v
+g
=0
∂t
∂x
∂y
∂x
(10b)
∂v
∂η
∂v
∂v
+g
+v
+u
=0
∂y
∂t
∂x
∂y
(10c)
Keterbatasan persamaan ini adalah bahwa untuk
gelombang pendek persamaan hanya dapat digunakan
pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, A < 0.1
m (Syawaluddin, H., dkk., 2005).
Persamaan kontinuitas, Persamaan (10a), diturunkan
berdasarkan hukum kekekalan masa saja. Sementara
itu fluktuasi muka air η adalah merupakan perubahan
energi potensial. Oleh karena itu pada saat muka air
naik ( ∂η / ∂τ > 0 ) diperlukan suplai energi,
sedangkan pada saat air turun terjadi pelepasan energi.
Pada Persamaan (10a), tidak terlihat adanya suplai
energi maupun tempat pelepasan energi. ∂uΗ / ∂x dan
∂uΗ / ∂y hanyalah sumber masa air saja. Oleh karena
itu dengan mensuperposisikan Persamaan (9) dengan
Persamaan (10a), akan diperoleh persamaan yang
dapat mensuplai masa dan energi. Persamaan (9)
dijumlahkan dengan Persamaan (10a) diperoleh
3E + 3E ky
⎛
⎜⎜ 1 + kx
H
⎝
⎞ ∂η ⎛
E ⎞ ∂ uH
⎟⎟
+
+ ⎜ 1 + kx ⎟
H ⎠ ∂x
⎠ ∂t ⎝
E ⎞ ∂ vH ∂ E kx ∂ E ky
⎛
⎜⎜ 1 + ky ⎟⎟
+
+
H ⎠ ∂y
∂t
∂t
⎝
∂ E ky
∂ E kx
+v
+ u
=0
∂y
∂x
3 ∂ E kx 3 ∂ E ky
∂η
(12a)
−
= P (t )
k ∂t
k ∂t
∂t
E ky ∂ vH ⎞
E ⎞ ∂ uH ⎛
1 ⎛⎛
⎟+
+ ⎜⎜ 1 +
P (t ) = − ⎜⎜ ⎜ 1 + kx ⎟
H ∂ y ⎟⎠
c ⎝⎝
H ⎠ ∂x ⎝
∂ E ky ⎞
∂ E kx
⎟
+v
+u
∂ y ⎟⎠
∂x
⎛ 3 E kx 3 E ky ⎞
⎟⎟
k = 1 + ⎜⎜
+
H
H
⎝
⎠
∂u
= Q (t )
∂t
∂v
= R (t )
∂t
(12b)
(12c)
⎛ ∂u
∂η ⎞
∂u
⎟
Q (t ) = − ⎜⎜ u
+g
+v
∂ x ⎟⎠
∂y
⎝ ∂x
⎛ ∂v
∂η ⎞
∂v
⎟
R (t ) = − ⎜⎜ u
+g
+v
∂ y ⎟⎠
∂y
⎝ ∂x
Selanjutnya Persamaan (12a), (12b) dan (12c)
diintegrasikan terhadap waktu, diperoleh
t2
η =η + ∫ P (t ) dt −
t2
t1
t1
3
3 t2
(
Ekx − Ekxt1 ) − (Ekyt2 − Ekyt1 )
k
k
t2
u t2 = u t1 + ∫ Q (t ) dt
t1
t2
v t2 = v t1 + ∫ R (t ) dt
t1
(11)
Dengan menggunakan persamaan kontinuitas yang
baru Persamaan (11), sedangkan persamaan momentum tetap seperti Persamaan (10b) dan (10c)
dikembangkan model numeris.
4. Metoda Numeris
t2
∫ P (t ) dt ,
t2
t2
t1
∫ Q (t ) dt dan
t1
t1
dapat diselesaikan secara numerik dengan mendekati
P (t), Q (t) dan R (t) dengan polinomial Lagrange
[Syawaluddin, H., dkk., 2005]. Untuk integrasi dari t1
= t - δt sampai t2 = t + δt, dimana terdapat 3 titik
integrasi yaitu t - δt, t dan t + δt, maka
t + δt
Metoda numeris yang digunakan untuk diskritisasi
ruang adalah metoda selisih hingga berbasis pada polinomial Lagrange (Syawaluddin, H., 2006). Sedangkan
diferensial waktu diselesaikan dengan metoda integrasi atau dapat disebut juga dengan metoda prediktor-korektor (Syawaluddin, H., dkk., 2005).
Persamaan kontinuitas, Persamaan (11) dapat ditulis
dalam bentuk
∫ R (t ) dt
∫δ P (t ) dt = δt (c
1
P t -δt + c 2 P t + c3 P t +δt
)
t− t
dimana c1 = 1/3, c2 = 4/3 dan c3 = 1/3. Begitu juga
t + δt
t + δt
t + δt
t− t
∫ Q (t ) dt dan
∫δ R (t ) dt
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 63
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
∂P
δt
P =P +
∂t
∂Q
δt
Qt+δt = Qt +
∂t
∂R
Rt+δt = Rt +
δt
∂t
t+δt
t
0.20
0.15
0.10
muka air (m)
Pada saat t = t, dimana ηt+δt, ut+δt dan vt+δt tidak
diketahui, maka Pt+δt, Qt+δt dan Rt+δt juga belum
diketahui. Oleh karena itu pada tahap awal dilakukan
prediksi
0.05
0.00
-0.05
-0.10
-0.15
-0.20
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
x (m)
Gambar 4.1. Perbandingan panjang gelombang
Dengan harga-harga hasil prediksi tersebut dapat
dihitung harga ηt+δt, ut+δt dan vt+δt prediksi. Karena itu
tahap ini dapat disebut dengan tahap prediksi.
t+ δt
yang baru tersebut dihitung
Dengan harga (η, u, v)
lagi harga (P, Q, R) t+ δt yang baru dan dengan menyelesaikan integrasi diperoleh (η, u, v) t+ δt yang lebih
baru lagi dan dilakukan pemeriksaan konvergensi
yaitu
t +δt
t +δt
η old
- η new
= ε begitu juga pada u dan v.
Dalam hal syarat konvergensi terpenuhi
t +δt
η new
t +δ t
t +δ t
, u new dan v new
adalah hasil yang dicari, bila belum konvergen, maka
dengan harga (η, u, v) t+ δt yang baru dilakukan
perhitungan (η, u, v) t+ δt yang lebih baru lagi, karena
itu tahap ini disebut dengan tahap korektor.
5. Hasil Model
5.1 Panjang gelombang
Pada Gambar (4.1) disajikan perbandingan antara
panjang gelombang dari teori gelombang linier, panjang gelombang model dan panjang gelombang dari
persamaan gelombang Airy. Hal ini dikarenakan
penggunaan tekanan hidrodinamis gelombang panjang
⎛ ∂η
∂η ⎞
⎜g
dan g
⎟
⎝ ∂x
∂ y ⎟⎠
yang dianggap merata pada seluruh kedalaman.
Apabila tekanan tersebut dikalikan dengan suatu
bilangan yang lebih kecil dari satu, maka akan
diperoleh panjang gelombang yang lebih pendek,
semakin kecil bilangan pengali tersebut, maka akan
semakin kecil panjang gelombangnya. (Syawaluddin,
H., 2006).
64 Jurnal Teknik Sipil
5.2 Tinggi gelombang
Salah satu tujuan dari pengembangan model adalah
agar diperoleh persamaan yang dapat mensimulasikan
gelombang pendek dengan tinggi gelombang yang
besar. Tinggi gelombang terbesar untuk suatu periode
gelombang pada perairan dalam diberikan oleh
persamaan Pierson-Moskowitz (Sarpkaya T. and
Iseacson, Micheal, 1981), yaitu T2 / 2A = 19.66,
dimana 2A = tinggi gelombang. Jadi untuk periode
gelombang 6 detik, tinggi gelombang terbesarnya
(2A)max = 0.81 m. Pada Gambar (4.2) ditunjukkan
bahwa model dapat mensimulasikan gelombang
tersebut dengan baik.
5.3 Shoaling
Pengujian shoaling dilakukan pada perairan dengan
kemiringan dasar perairan 0.02, dengan kedalaman
mula-mula 10 m. Gelombang yang digunakan adalah
gelombang dengan perioda 6 detik, dengan tinggi
gelombang mula-mula 0.2 m. Pada Gambar (4.3)
disajikan perbandingan antara hasil model dengan
hasil shoaling dari teori gelombang linier, terlihat
bahwa hasil model lebih tinggi dari hasil teori
gelombang linier.
Hal ini dikarenakan penggunaan tekanan gelombang
⎛ ∂η
∂η ⎞
⎜⎜ g
⎟
dan g
∂x
∂ y ⎟⎠
⎝
panjang
yang bekerja sama
besar pada seluruh kedalaman, sehingga energi
gelombang pada persamaan yang digunakan menjadi
terlalu besar. Oleh karena itu ketika gelombang (dari
model) memasuki perairan yang lebih dangkal terjadi
pemampatan energi yang besar baik akibat
berkurangnya kedalaman maupun akibat pemendekan
gelombang sehingga dihasilkan pembesaran tinggi
gelombang yang lebih besar dari yang seharusnya.
Hutahaean
panjang gelombang dari model menjadi terlalu
panjang dan shoaling yang dihasilkan menjadi terlalu
besar karena kelebihan energi.
1.00
0.80
muka air (m)
0.60
0.40
5.4 Refraksi-difraksi
0.20
0.00
-0.20
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
x (m)
Gambar 4.2. Performance model pada tinggi
gelombang 0.85 m, periode 6 detik, kedalaman
perairan 30 m
0.50
0.40
Muka air (m)
0.30
0.20
0.10
0.00
-0.10
-0.20
-0.30
Untuk mengamati kemampuan model dalam
mensimulasikan fenomena refraksi-difraksi, model
dikerjakan pada suatu kawasan perairan dengan
batimetri berpola seperti tanjung (Gambar 4.4).
Gelombang yang digunakan adalah gelombang
dengan perioda 6 detik dengan tinggi gelombang
mula-mula 1.2 m.
Telah diketahui bahwa pada batimetri seperti ini
gelombang akan terefraksi ke arah pusat tanjung,
sehingga akibat refraksi yang konvergen ini disertai
dengan shoaling, pada pusat tanjung akan terjadi
pembesaran gelombang. Kondisi gelombang pada
detik ke 24, terlihat bahwa tinggi gelombang pada
pusat tanjung jauh lebih besar dari yang lainnya. Pada
Gambar (4.6) diperlihatkan kontur tinggi gelombang
terbesar pada daerah yang telah dilewati gelombang.
Gambar-gambar tersebut menunjukkan terjadinya
refraksi konvergen atau pemusatan energi gelombang
pada pusat tanjung.
-0.40
6. Kesimpulan dan Saran
-0.50
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
x (m)
Gambar 4.3. Perbandingan shoaling antara teori
gelombang linier dan model
Tekanan pada persamaan momentum diperoleh
dengan mengintegrasikan persamaan Euler arah z
yaitu
η
η
⎛∂w
∂ w⎞
∂w
⎟ dz + ∫ ∂ ww + ∫ g dz
+v
+u
p = ∫ ⎜⎜
∂ y ⎟⎠
∂x
∂t
ρ
-h ⎝
-h
-h
1
η
Analisis numerik penyelesaian persamaan Euler
(Syawaluddin, H., 2006), memberikan hasil bahwa
distribusi kecepatan horizontal terhadap kedalaman
adalah seragam. Hal ini dikarenakan tekanan
hidrodinamis yang disebabkan oleh η hasil
η
∫
g dz
-h
bekerja sama besar pada seluruh kedalaman.
Tekanan hidrodinamis dari teori gelombang linier
(Dean, Robert G., and Dalrymple) adalah phyd = gη
cosh k (h + z) / cosh kh. Terlihat bahwa tekanan
hidrodinamik gη adalah berubah terhadap kedalaman.
Oleh karena itu pada model yang dikembangkan
hanya menggunakan tekanan hidrodinamik gη yang
dianggap bekerja pada seluruh kedalaman. Karena itu
Berdasarkan hasil model numeris yang dikembangkan,
maka dapat disimpulkan bahwa pada pengembangan
persamaan hidrodinamika sebaiknya dikerjakan juga
persamaan kekekalan energi. Hal ini terbukti bahwa
pengerjaan hukum kekekalan energi pada persamaan
gelombang panjang dari Airy menjadikan persamaan
dapat memodelkan gelombang pendek dengan baik.
Contoh lain dari penggunaan hukum kekekalan energi
pada pengembangan model hidrodinamika adalah
teori gelombang linier, dimana pada formulasinya
dikerjakan persamaan kekekalan energi dari Bernoulli
(Dean, Robert G., and Dalrymple).
Panjang gelombang yang dihasilkan oleh gelombang
lebih panjang dari panjang gelombang dari teori
gelombang linier, terlebih lagi terhadap panjang
gelombang teori gelombang Stoke. Shoaling yang
dihasilkan lebih besar dari pada shoaling dari teori
gelombang linier. Kedua hal tersebut dikarenakan
penggunaan tekanan gelombang panjang yang bekerja
pada seluruh kedelaman. Oleh karena itu untuk
mengembangkan model yang lebih baik lagi perlu
digunakan tekanan hidrodinamis yang lebih tepat,
dimana yang berpotensi digunakan adalah tekanan
yang dirumuskan dari persamaan Euler secara lengkap
atau dari persamaan Bernoulli.
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 65
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
100
80
60
40
20
(m)
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
20
40
60
80
(m)
100
120
140
Gambar 4.4. Batimetri tanjung
Gambar 4.5. Kondisi gelombang pada detik ke 24
66 Jurnal Teknik Sipil
160
180
200
Hutahaean
100
80
60
40
20
(m)
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
(m)
Gambar 4.6. Kontur tinggi gelombang terbesar setelah detik ke 24
Daftar Pustaka
Dean, Robert G., and Dalrymple, “Water Wave
Mechanics for Engineers and Scientists”.
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Syawaluddin, H., 2006, ”Koefisien pada Persamaan
Euler pada Analisis Gelombang Pendek”,
Jurnal Teknik Sipil, Vol. 13, No. 4,
Departemen Teknik Sipil, ITB.
Sarpkaya T. and Iseacson, Micheal, 1981, “Mechanics
of Wave Forces on Offshore Structures”, Van
Nostrand Reinhold Company.
Shen, S. F., 1977, “Finite Element Method in Fluid
Mechanics”, Ann. Rev. Fluid Mech., Vol. 9.
Syawaluddin, H., dkk., 2005, “Model Difraksi dengan
Persamaan Gelombang Airy yang Disempurnakan”, Thesis S3, Departemen Teknik Sipil,
ITB.
Syawaluddin, H., dkk., 2005, “Integrasi Numeris
dengan Manggunakan Polinomial Lagrange”,
Jurnal Teknik Sipil, Vol. 12, No. 2, Departemen Teknik Sipil, ITB.
Syawaluddin, H., 2006, ”Penyelesaian Persamaan
Differensial dengan Menggunakan Polinomial
Lagrange Seri I (1 Dimensi)”, Jurnal Teknik
Sipil, Vol. 13, No. 2, Departemen Teknik Sipil,
ITB.
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 67
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
68 Jurnal Teknik Sipil
Vol. 14 No. 1 Januari 2007
urnal
TEKNIK SIPIL
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan
Kekekalan Energi
Syawaluddin H1)
Abstrak
Paper ini menyajikan pengerjaan hukum kekekalan energi pada pemodelan hidrodinamika gelombang pendek.
Pengerjaan hukum kekekalan energi dilakukan dengan mensuperposisikan persamaan kontinuitas yang
dihasilkan dari kekekalan masa dengan persamaan kekekalan energi dan menghasilkan persamaan kontinuitas
baru yang sesuai dengan hukum kekekalan masa dan kekekalan energi. Penelitian secara numeris menunjukkan
bahwa persamaan dapat digunakan untuk memodelkan gelombang dengan tinggi gelombang terbesar pada
periodanya. Persamaan juga dapat memodelkan refraksi, difraksi dan shoaling dengan baik.
Kata-kata Kunci: Persamaan kontinuitas, hukum kekekalan masa dan hukum kekekalan energi.
Abstract
This paper presents application of energy conservation law for short wave modelling. The application is done by
superimposing continuity equation that resulted from mass conservation and the equation of energy conservation. The superimposing gives a new form of continuity equation that agree with the mass and energy conservation law. The new equation can model wave with the height as high as the real wave in nature. The model also
can simulate other wave dynamic such as refraction-diffraction and shoaling by bathymetry and diffraction in
breakwater gap.
Keywords: Continuity equation, mass conservation and energy conservation law.
1. Latar Belakang
2. Perumusan Persamaan
Persamaan gelombang Airy, walaupun dikenal sebagai
persamaan gelombang panjang dapat digunakan juga
untuk memodelkan gelombang pendek, walaupun
dengan tinggi gelombang yang sangat kecil
(Syawaluddin, H., dkk., 2005).
2.1 Bentuk umum
Persamaan kontinuitas pada persamaan gelombang
panjang Airy diperoleh dari pengerjaan hukum
kekekalan masa. Walaupun persamaan tersebut
diturunkan dari hukum kekekalan masa, tetapi
terdapat peristiwa transportasi energi pada persamaan
ini, yaitu terjadinya perubahan energi kinetik menjadi
energi potensial. Perubahan dari energi potensial
dinyatakan pada perubahan elevasi muka air. Jadi
persamaan kontinuitas selain mewakili hukum
kekekalan masa, juga harus mewakili hukum
kekekalan energi.
wz+δz/2
vy+δy/2
δz
Dengan persamaan kontinuitas yang bersifat seperti
ini maka diharapkan dapat digunakan untuk
memodelkan gelombang untuk tinggi gelombang yang
besar, sesuai dengan keadaan di alam.
vy-δy/2
ux-δx/2
wz-δz/2
ux+δx/2
δy
δx
Gambar 2.1. Persamaan kekekalan energi
1. Staf Pengajar KK Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan-ITB.
Catatan : Usulan makalah dikirimkan pada 15 Desember 2006 dan dinilai oleh peer reviewer pada tanggal 13 Pebruari 2007 13 Maret 2007. Revisi penulisan dilakukan antara tanggal 6 Maret 2007 hingga 16 Maret 2007.
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 59
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
Energi kinetik pada satu satuan masa air pada aliran
air adalah Ekx = ρ
u2 ,
v2 ,
w2
Eky = ρ
Ekz = ρ
2g
2g
2g
dimana ρ adalah rapat masa air, u, v dan w adalah
kecepatan arus pada arah x, y dan z. Pada ruang
tinjauan pada Gambar 2.1, terdapat input-output
energi kinetik pada selang waktu δt, yaitu:
(
ρ δx δz δt (v
ρ δz δz δt (w
IO = ρ δy δz δt u x - δx/2 E x- δx/2 − u x + δx/2 E x + δx/2
kx
ky
y - δy/2
kx
− v y + δy/2 E
)+
)+
)
ky
y + δy/2
y - δy/2
E
z - δz/2
E zkz- δz/2 − w z + δz/2 E zkz+ δz/2
Perubahan energi kinetik pada sistim adalah
∆E = ρ δx δy δz
(δE
kx
+ δEky + δE kz )
h
Gambar 2.2. Sket muka air akibat gelombang
Aturan Leibniz (Dean, Robert G., and Dalrymple),
β
∫
α
η
∫
-h
Dengan membagi ruas kiri dan kanan persamaan
kekekalan dengan ρ δx δy δz dan δt serta dengan
mengambil δx δy δz dan δt mendekati nol, maka
diperoleh persamaan kekekalan energi adalah
∂ E kx ∂ E ky ∂ E kx ∂ uE kx ∂ vE ky ∂ wE kz
+
+
+
+
+
=0
∂t
∂t
∂t
∂y
∂x
∂z
(1)
Persamaan (1) adalah persamaan kekekalan energi
dalam bentuk umum.
2.2 Bentuk terintegrasi terhadap kedalaman
Analisis hidrodinamik akan lebih mudah bila
dilakukan dengan analisis terintegrasi terhadap
kedalaman, terutama untuk analisis pada perairan
dangkal. Pada metoda ini digunakan kecepatan ratarata kedalaman dimana kecepatan vertikal (w)
tereliminir sehingga hanya ada dua kecepatan yaitu
kecepatan horizontal ara x dan y yaitu ū dan⎯v .
Sebagai contoh dari persamaan yang terintegrasi
terhadap kedalaman adalah persamaan gelombang
panjang dari Airy (Dean, Robert G., and Dalrymple).
Agar persamaan kekekalan energi dapat diaplikasikan
pada analisis hidrodinamika yang terintegrasi terhadap
kedalaman, maka diperlukan bentuk persamaan
kekekalan energi yang juga terintegrasi terhadap
kedalaman yang akan dirumuskan pada bagian
berikut. Persamaan (1) diintegrasikan terhadap
kedalaman,
⎛ ∂ E kx ∂ E ky ∂ E kx ∂ uE kx ∂ vE ky ∂ wE kz
+
+
+
+
+
∂y
∂z
∂t
∂t
∂x
∂t
-h
60 Jurnal Teknik Sipil
∫ f dz - f β
α
η
∫E
kx
dz - Eηkx
-h
⎞
⎟⎟ dz = 0
⎠
∂α
∂β
+ fα
∂x
∂x
(2)
∂ (-h)
∂η
(3)
+ E kx-h
∂t
∂t
Euler,
persamaan
pada
Syarat batas dinamik adalah bahwa tekanan pada
permukaan adalah sama pada semua permukaan yaitu
bekerja tekanan atmosfir. Fluktuasi muka air
memberikan perbedaan tekanan atmosfir yang sangat
kecil, sehingga pada seluruh permukaan mempunyai
tekanan atmosfir yang sama yaitu pη = patm, sehingga
∂pn/∂x = 0. Dengan demikian persamaan Euler pada
permukaan menjadi
⎛∂u
∂u⎞
∂u
∂u
⎜⎜
⎟ =0
+w
+v
+u
∂ z ⎟⎠ z =η
∂y
∂x
⎝ ∂t
Perhitungan dengan persamaan ini akan menghasilkan
kecepatan permukaan uη yang sangat kecil, hampir
mendekati nol. Oleh karena itu energi kinetik pada
permukaan (Ekxη) dikalikan dengan ∂η/∂t.
∂η , ⎛ η ∂η ⎞
⎜ E kx
⎟
∂t ⎝
∂t ⎠
pada Persamaan (3) adalah bilangan yang sangat
kecil yang dapat diabaikan. Selanjutnya, pada analisis
ini kedalaman adalah suatu harga yang konstan
terhadap waktu, sehingga
∂ (-h)
= 0.
∂t
Dengan demikian Persamaan (3) menjadi
η
-h
∫ ⎜⎜⎝
∂ Ekx ∂
=
∂t
∂t
β
⎛∂u
1 ∂ pη
∂u⎞
∂u
∂u
⎜⎜
⎟⎟ = +w
+v
+u
ρ ∂x
∂ z ⎠ z =η
∂y
∂x
⎝ ∂t
∫
η = fluktuasi muka air terhadap muka air diam
η
∂
∂ f
dz =
∂x
∂x
Berdasarkan persamaan
permukaan adalah
Berdasarkan hukum kekekalan, maka
IO = ∆E
Muka air diam
η
∂ E kx
∂
=
∂t
∂t
η
∫E
-h
kx
1 ∂
dz =
2g ∂ t
η
∫u
2
dz
-h
Sesuai dengan formulasi persamaan gelombang
panjang dari Airy (Dean, Robert G., and Dalrymple),
Hutahaean
didefinisikan
η
2
2
∫ u dz = α (η + h ) u
η
-h
-h
∫
dimana ū adalah kecepatan rata-rata kedalaman pada
arah x, sedangkan α adalah suatu koefisien yang
berharga 0.5 – 1, dalam hal ini digunakan α = 1.
η
∫
-h
η
∫
-h
η
∂ E kz
1 ⎛ ∂η ⎞
∂
dz =
Ek z dz ⎟
⎜
∫
∂t
∂ t -h
2g ⎝ ∂ t ⎠
Selanjutnya didefinisikan
η
∫
∂ E kx
1 ∂
(η + h ) u 2
=
2g ∂ t
∂t
-h
∂ Ekx
∂ Ekx
∂η
∂
+ Ekx
= (η + h) Ekx = (η + h)
∂t
∂t
∂t
∂t
η
(4a)
-h
η
∫
-h
∂ E ky
∂t
= (η + h )
∂ E ky
∂t
+ E ky
η
Selanjutnya, akan diselesaikan
∫
-h
η
∫
-h
η
∂ E kz
∂
dz =
∂t
∂t
∫
-h
∂η
∂t
∫
∫
-h
∂η 1 ⎛ ∂η ⎞
1 η
E kz + E kz- h
⎜
⎟
∂ t 2g ⎝ ∂ t ⎠
2
(
η
∂η
E kz dz − E kz
∂t
∂ uE kx
dz dan
∂x
∫
η
-h
η
∫
-h
∂ uEkx
∂
dz =
∂x
∂x
η
uη E kx
bilangan yang sangat kecil yang dapat diabaikan,
sehingga syarat batas kinematik permukaan menjadi
∫u
(5) wη =
E =
η
(5)
η
n ∂η
∫-h Ekz dz - E kz ∂ t
2g
∂ η , maka
∂t
η
∫
∂ vE ky
∂y
-h
η
∫ uE
kx
dz
dz − uη Ekxη
-h
∂η
∂η
− u -h Ekx-h
∂x
∂x
3
∂ η uη ∂ η
=
≈0
∂ x 2g ∂ x
dimana seperti pada persamaan
3
dz = β (η + h) u 3 , dimana β adalah suatu konstanta.
-h
∫
-h
∂ uE kx
∂
dz = β
(η + h ) u E kx − u -h E kx- h ∂ h
∂x
∂x
∂x
(7a)
Dengan cara yang sama akan diperoleh
η
dengan
)
3
Didefinisikan
η
n
kz
3
Dengan uη bilangan yang sangat kecil, maka
∂η
∂η
dan vη
adalah
∂x
∂y
wη2
)
Selanjutnya pada bagian berikut diselesaikan
∂η
∂η
∂η
+ uη
+ vη
∂t
∂y
∂x
∂η
wη =
∂t
η
∂ E kz
∂
∫- h ∂ t dz = ∂ t
3
∂ E kz
(η + h ) ∂ Ekzη + ⎛ η + h ⎞ ∂ E kz− h +
dz =
⎜
⎟
∂t
∂t
2
2
⎝ 2 ⎠ ∂t
(4b)
Dengan menggunakan anggapan uη dan vη adalah
bilangan yang sangat kecil (seperti telah dibahas pada
bagian terdahulu), maka
uη
1 ⎛ ∂η ⎞
∫-h w dz − 2g ⎜⎝ ∂ t ⎟⎠
2
(
∫
Syarat batas kinematik
wη =
η
∂ E kz
1 ⎛ ∂η ⎞
∂ (η + h ) η
E kz + E kz- h −
dz =
⎜
⎟
2g ⎝ ∂ t ⎠
2
∂t
∂t
-h
∂ E kz
dz
∂t
(η + h )
2
∂ E kz
1 ∂
dz =
∂t
2g ∂ t
η
Dengan cara yang sama akan diperoleh
wη2 + w−2h
w 2 dz =
dimana untuk perairan dangkal pendekatan ini masih
cukup baik.
η
dimana E adalah energi kinetik pada kecepatan ratarata kedalaman.
3
∫
-h
∂ vE ky
∂y
dz = β
η
Selanjutnya
∫
-h
∂
(η + h ) v E ky − v-h E ky-h ∂ h
∂y
∂y
∂ wE kz
dz =
∂z
(7b)
η
∫ ∂wE
kz
-h
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 61
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
η
wη3
∫ ∂wE kz =
2g
-h
η
∫ ∂wE
kz
-h
1
=
2g
-
w-3h
2g
Persamaan (8) adalah persamaan kekekalan energi
yang terintegrasi terhadap kedalaman.
1 3
⎛ ∂η ⎞
w-h
⎟ ⎜
2g
⎝ ∂t ⎠
3
(7c)
Dari Persamaan-persamaan (4a), (4b), (6), (7a), (7b)
dan (7c), maka
⎛ ∂ Ekx ∂ Eky ∂ Ekx ∂ uEkx ∂ vEky ∂ wEkz ⎞
∫-h ⎜⎜⎝ ∂ t + ∂ t + ∂ t + ∂ x + ∂ y + ∂ z ⎟⎟⎠ dz = 0
η
menjadi
∂E
(η + h ) ∂ E kx + E kx ∂ η + (η + h ) ky + E ky ∂ η
∂t
∂t
∂t
∂t
η + h ⎛ ∂ Ekzη
2
+β
∂ Ekz− h
⎜
+
⎜ ∂t
∂t
⎝
⎞ 1 η
∂η 1 ⎛ ∂η ⎞
⎟ + E kz + E kz-h
⎟
⎜
⎟ 2
∂ t 2g ⎝ ∂ t ⎠
⎠
(
)
3
∂
(η + h) uEkx + β ∂ (η + h) vEky - u-h Ekx-h ∂ h
∂x
∂y
∂x
3
- v −h E
Didefinisikan kedalaman total H = η + h dan
persamaan dibagi dengan H, serta ū , v ,
E kx dan Eky
ditulis sebagai u, v, Ekx dan Eky,
persamaan menjadi
⎛ Ekx Eky ⎞ ∂ η ∂ Ekx ∂ Eky 1 ∂ Ekzη
⎜⎜
⎟
+
+
+
+
+
2 ∂t
∂t
∂t
H ⎟⎠ ∂ t
⎝ H
1 ∂ Ekz-h β ∂ uHEkx β ∂ vHEky
+
+
+
H ∂y
H ∂x
2 ∂t
⎛ 3 ∂ Ekz 3 ∂ E
1 ∂ uHEkx 1 ∂ vHEky ⎞
⎟
+
+
+
∂x
2 ∂t
H
H ∂ y ⎟⎠
⎝2 ∂t
-h
kz
∂h 1 3 ⎞
∂h
1 ⎛
⎜⎜ 3 u -h E kx- h
w-h ⎟⎟ = 0
+ 3 v- h E ky- h
H ⎝
∂ y 2g
∂x
⎠
(8)
62 Jurnal Teknik Sipil
⎛
∂h⎞
∂h
⎟
+ v-h
w- h = - ⎜⎜ u -h
∂ y ⎟⎠
∂x
⎝
Pada perairan dangkal, dapat dilakukan pendekatan u-h
= u dan v-h = v. Pada perairan yang datar atau landai
dimana
∂h ∂h
≈0
,
∂x ∂y
maka w-h ≈ 0, sehingga suku yang mengandung w-h
ataupun
3. Penggunaan
Energi
Persamaan
Kekekalan
Dengan anggapan Ekzη dan Ekz−η, u-h, v-h serta w-h,
adalah bilangan yang sangat kecil, maka Persamaan
(8) menjadi
Dengan mengerjakan diferensial parsial pada
∂ Eky
∂ Ekx
3⎛
1 3 1 - h ⎞ ∂η
+3
+3
⎜ Ekx + Eky + Ekz + Ekz ⎟
∂t
∂t
H⎝
2
2
⎠ ∂t
+ ⎜⎜
Syarat batas kinematik dasar perairan
1 ∂ uHE kx 1 ∂ vHE ky
+
=0
H
H ∂y
∂x
Penelitian menunjukkan bahwa persamaan akan
menjadi lebih baik bila semua suku dibagi dengan β
dan diambil harga β = 1/3.
η
∂ wη 1 ∂ η ∂ 2 η
∂ Ekzη
1 ∂ 2 1
=
wη = wη
=
∂t
2g ∂ t
g
g ∂ t ∂ t2
∂t
3
(E kx + E ky ) ∂ η + 3 ∂ E kx + 3 ∂ E ky +
∂t
H
∂t
∂t
∂h
∂h 1 3
−
- v −h E ky−h
w-h = 0
∂x
∂ y 2g
- u − h E kx− h
∂η
maka
∂t
∂h
∂h
dapat diabaikan.
atau
∂x
∂y
1 3
∂ h 1 ⎛ ∂η ⎞
w-h = 0
+
⎟ −
⎜
2g
∂ y 2g ⎝ ∂ t ⎠
−h
kz
dengan wη =
∂ uHE kx dan ∂ vHE ky , maka
∂y
∂x
3
(E kx + E ky ) ∂ η + 3 ∂ E kx + 3 ∂ E ky +
∂t
∂t
∂t
H
E kx ∂ uH E ky ∂ vH
+
H ∂y
H ∂x
+ u
∂ E ky
∂ E kx
=0
+v
∂y
∂x
(9)
Persamaan (9) akan digunakan untuk analisis
hidrodinamika gelombang pendek, dengan mensuperposisikan dengan persamaan gelombang panjang dari
Airy.
Hutahaean
Persamaan gelombang panjang dari Airy adalah
(Dean, Robert G., and Dalrymple),
∂ (vH)
∂η
∂ (uH)
+
=0
+
∂t
∂x
∂y
(10a)
∂u
∂u
∂u
∂η
+u
+v
+g
=0
∂t
∂x
∂y
∂x
(10b)
∂v
∂η
∂v
∂v
+g
+v
+u
=0
∂y
∂t
∂x
∂y
(10c)
Keterbatasan persamaan ini adalah bahwa untuk
gelombang pendek persamaan hanya dapat digunakan
pada amplitudo gelombang yang sangat kecil, A < 0.1
m (Syawaluddin, H., dkk., 2005).
Persamaan kontinuitas, Persamaan (10a), diturunkan
berdasarkan hukum kekekalan masa saja. Sementara
itu fluktuasi muka air η adalah merupakan perubahan
energi potensial. Oleh karena itu pada saat muka air
naik ( ∂η / ∂τ > 0 ) diperlukan suplai energi,
sedangkan pada saat air turun terjadi pelepasan energi.
Pada Persamaan (10a), tidak terlihat adanya suplai
energi maupun tempat pelepasan energi. ∂uΗ / ∂x dan
∂uΗ / ∂y hanyalah sumber masa air saja. Oleh karena
itu dengan mensuperposisikan Persamaan (9) dengan
Persamaan (10a), akan diperoleh persamaan yang
dapat mensuplai masa dan energi. Persamaan (9)
dijumlahkan dengan Persamaan (10a) diperoleh
3E + 3E ky
⎛
⎜⎜ 1 + kx
H
⎝
⎞ ∂η ⎛
E ⎞ ∂ uH
⎟⎟
+
+ ⎜ 1 + kx ⎟
H ⎠ ∂x
⎠ ∂t ⎝
E ⎞ ∂ vH ∂ E kx ∂ E ky
⎛
⎜⎜ 1 + ky ⎟⎟
+
+
H ⎠ ∂y
∂t
∂t
⎝
∂ E ky
∂ E kx
+v
+ u
=0
∂y
∂x
3 ∂ E kx 3 ∂ E ky
∂η
(12a)
−
= P (t )
k ∂t
k ∂t
∂t
E ky ∂ vH ⎞
E ⎞ ∂ uH ⎛
1 ⎛⎛
⎟+
+ ⎜⎜ 1 +
P (t ) = − ⎜⎜ ⎜ 1 + kx ⎟
H ∂ y ⎟⎠
c ⎝⎝
H ⎠ ∂x ⎝
∂ E ky ⎞
∂ E kx
⎟
+v
+u
∂ y ⎟⎠
∂x
⎛ 3 E kx 3 E ky ⎞
⎟⎟
k = 1 + ⎜⎜
+
H
H
⎝
⎠
∂u
= Q (t )
∂t
∂v
= R (t )
∂t
(12b)
(12c)
⎛ ∂u
∂η ⎞
∂u
⎟
Q (t ) = − ⎜⎜ u
+g
+v
∂ x ⎟⎠
∂y
⎝ ∂x
⎛ ∂v
∂η ⎞
∂v
⎟
R (t ) = − ⎜⎜ u
+g
+v
∂ y ⎟⎠
∂y
⎝ ∂x
Selanjutnya Persamaan (12a), (12b) dan (12c)
diintegrasikan terhadap waktu, diperoleh
t2
η =η + ∫ P (t ) dt −
t2
t1
t1
3
3 t2
(
Ekx − Ekxt1 ) − (Ekyt2 − Ekyt1 )
k
k
t2
u t2 = u t1 + ∫ Q (t ) dt
t1
t2
v t2 = v t1 + ∫ R (t ) dt
t1
(11)
Dengan menggunakan persamaan kontinuitas yang
baru Persamaan (11), sedangkan persamaan momentum tetap seperti Persamaan (10b) dan (10c)
dikembangkan model numeris.
4. Metoda Numeris
t2
∫ P (t ) dt ,
t2
t2
t1
∫ Q (t ) dt dan
t1
t1
dapat diselesaikan secara numerik dengan mendekati
P (t), Q (t) dan R (t) dengan polinomial Lagrange
[Syawaluddin, H., dkk., 2005]. Untuk integrasi dari t1
= t - δt sampai t2 = t + δt, dimana terdapat 3 titik
integrasi yaitu t - δt, t dan t + δt, maka
t + δt
Metoda numeris yang digunakan untuk diskritisasi
ruang adalah metoda selisih hingga berbasis pada polinomial Lagrange (Syawaluddin, H., 2006). Sedangkan
diferensial waktu diselesaikan dengan metoda integrasi atau dapat disebut juga dengan metoda prediktor-korektor (Syawaluddin, H., dkk., 2005).
Persamaan kontinuitas, Persamaan (11) dapat ditulis
dalam bentuk
∫ R (t ) dt
∫δ P (t ) dt = δt (c
1
P t -δt + c 2 P t + c3 P t +δt
)
t− t
dimana c1 = 1/3, c2 = 4/3 dan c3 = 1/3. Begitu juga
t + δt
t + δt
t + δt
t− t
∫ Q (t ) dt dan
∫δ R (t ) dt
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 63
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
∂P
δt
P =P +
∂t
∂Q
δt
Qt+δt = Qt +
∂t
∂R
Rt+δt = Rt +
δt
∂t
t+δt
t
0.20
0.15
0.10
muka air (m)
Pada saat t = t, dimana ηt+δt, ut+δt dan vt+δt tidak
diketahui, maka Pt+δt, Qt+δt dan Rt+δt juga belum
diketahui. Oleh karena itu pada tahap awal dilakukan
prediksi
0.05
0.00
-0.05
-0.10
-0.15
-0.20
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
x (m)
Gambar 4.1. Perbandingan panjang gelombang
Dengan harga-harga hasil prediksi tersebut dapat
dihitung harga ηt+δt, ut+δt dan vt+δt prediksi. Karena itu
tahap ini dapat disebut dengan tahap prediksi.
t+ δt
yang baru tersebut dihitung
Dengan harga (η, u, v)
lagi harga (P, Q, R) t+ δt yang baru dan dengan menyelesaikan integrasi diperoleh (η, u, v) t+ δt yang lebih
baru lagi dan dilakukan pemeriksaan konvergensi
yaitu
t +δt
t +δt
η old
- η new
= ε begitu juga pada u dan v.
Dalam hal syarat konvergensi terpenuhi
t +δt
η new
t +δ t
t +δ t
, u new dan v new
adalah hasil yang dicari, bila belum konvergen, maka
dengan harga (η, u, v) t+ δt yang baru dilakukan
perhitungan (η, u, v) t+ δt yang lebih baru lagi, karena
itu tahap ini disebut dengan tahap korektor.
5. Hasil Model
5.1 Panjang gelombang
Pada Gambar (4.1) disajikan perbandingan antara
panjang gelombang dari teori gelombang linier, panjang gelombang model dan panjang gelombang dari
persamaan gelombang Airy. Hal ini dikarenakan
penggunaan tekanan hidrodinamis gelombang panjang
⎛ ∂η
∂η ⎞
⎜g
dan g
⎟
⎝ ∂x
∂ y ⎟⎠
yang dianggap merata pada seluruh kedalaman.
Apabila tekanan tersebut dikalikan dengan suatu
bilangan yang lebih kecil dari satu, maka akan
diperoleh panjang gelombang yang lebih pendek,
semakin kecil bilangan pengali tersebut, maka akan
semakin kecil panjang gelombangnya. (Syawaluddin,
H., 2006).
64 Jurnal Teknik Sipil
5.2 Tinggi gelombang
Salah satu tujuan dari pengembangan model adalah
agar diperoleh persamaan yang dapat mensimulasikan
gelombang pendek dengan tinggi gelombang yang
besar. Tinggi gelombang terbesar untuk suatu periode
gelombang pada perairan dalam diberikan oleh
persamaan Pierson-Moskowitz (Sarpkaya T. and
Iseacson, Micheal, 1981), yaitu T2 / 2A = 19.66,
dimana 2A = tinggi gelombang. Jadi untuk periode
gelombang 6 detik, tinggi gelombang terbesarnya
(2A)max = 0.81 m. Pada Gambar (4.2) ditunjukkan
bahwa model dapat mensimulasikan gelombang
tersebut dengan baik.
5.3 Shoaling
Pengujian shoaling dilakukan pada perairan dengan
kemiringan dasar perairan 0.02, dengan kedalaman
mula-mula 10 m. Gelombang yang digunakan adalah
gelombang dengan perioda 6 detik, dengan tinggi
gelombang mula-mula 0.2 m. Pada Gambar (4.3)
disajikan perbandingan antara hasil model dengan
hasil shoaling dari teori gelombang linier, terlihat
bahwa hasil model lebih tinggi dari hasil teori
gelombang linier.
Hal ini dikarenakan penggunaan tekanan gelombang
⎛ ∂η
∂η ⎞
⎜⎜ g
⎟
dan g
∂x
∂ y ⎟⎠
⎝
panjang
yang bekerja sama
besar pada seluruh kedalaman, sehingga energi
gelombang pada persamaan yang digunakan menjadi
terlalu besar. Oleh karena itu ketika gelombang (dari
model) memasuki perairan yang lebih dangkal terjadi
pemampatan energi yang besar baik akibat
berkurangnya kedalaman maupun akibat pemendekan
gelombang sehingga dihasilkan pembesaran tinggi
gelombang yang lebih besar dari yang seharusnya.
Hutahaean
panjang gelombang dari model menjadi terlalu
panjang dan shoaling yang dihasilkan menjadi terlalu
besar karena kelebihan energi.
1.00
0.80
muka air (m)
0.60
0.40
5.4 Refraksi-difraksi
0.20
0.00
-0.20
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
x (m)
Gambar 4.2. Performance model pada tinggi
gelombang 0.85 m, periode 6 detik, kedalaman
perairan 30 m
0.50
0.40
Muka air (m)
0.30
0.20
0.10
0.00
-0.10
-0.20
-0.30
Untuk mengamati kemampuan model dalam
mensimulasikan fenomena refraksi-difraksi, model
dikerjakan pada suatu kawasan perairan dengan
batimetri berpola seperti tanjung (Gambar 4.4).
Gelombang yang digunakan adalah gelombang
dengan perioda 6 detik dengan tinggi gelombang
mula-mula 1.2 m.
Telah diketahui bahwa pada batimetri seperti ini
gelombang akan terefraksi ke arah pusat tanjung,
sehingga akibat refraksi yang konvergen ini disertai
dengan shoaling, pada pusat tanjung akan terjadi
pembesaran gelombang. Kondisi gelombang pada
detik ke 24, terlihat bahwa tinggi gelombang pada
pusat tanjung jauh lebih besar dari yang lainnya. Pada
Gambar (4.6) diperlihatkan kontur tinggi gelombang
terbesar pada daerah yang telah dilewati gelombang.
Gambar-gambar tersebut menunjukkan terjadinya
refraksi konvergen atau pemusatan energi gelombang
pada pusat tanjung.
-0.40
6. Kesimpulan dan Saran
-0.50
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
x (m)
Gambar 4.3. Perbandingan shoaling antara teori
gelombang linier dan model
Tekanan pada persamaan momentum diperoleh
dengan mengintegrasikan persamaan Euler arah z
yaitu
η
η
⎛∂w
∂ w⎞
∂w
⎟ dz + ∫ ∂ ww + ∫ g dz
+v
+u
p = ∫ ⎜⎜
∂ y ⎟⎠
∂x
∂t
ρ
-h ⎝
-h
-h
1
η
Analisis numerik penyelesaian persamaan Euler
(Syawaluddin, H., 2006), memberikan hasil bahwa
distribusi kecepatan horizontal terhadap kedalaman
adalah seragam. Hal ini dikarenakan tekanan
hidrodinamis yang disebabkan oleh η hasil
η
∫
g dz
-h
bekerja sama besar pada seluruh kedalaman.
Tekanan hidrodinamis dari teori gelombang linier
(Dean, Robert G., and Dalrymple) adalah phyd = gη
cosh k (h + z) / cosh kh. Terlihat bahwa tekanan
hidrodinamik gη adalah berubah terhadap kedalaman.
Oleh karena itu pada model yang dikembangkan
hanya menggunakan tekanan hidrodinamik gη yang
dianggap bekerja pada seluruh kedalaman. Karena itu
Berdasarkan hasil model numeris yang dikembangkan,
maka dapat disimpulkan bahwa pada pengembangan
persamaan hidrodinamika sebaiknya dikerjakan juga
persamaan kekekalan energi. Hal ini terbukti bahwa
pengerjaan hukum kekekalan energi pada persamaan
gelombang panjang dari Airy menjadikan persamaan
dapat memodelkan gelombang pendek dengan baik.
Contoh lain dari penggunaan hukum kekekalan energi
pada pengembangan model hidrodinamika adalah
teori gelombang linier, dimana pada formulasinya
dikerjakan persamaan kekekalan energi dari Bernoulli
(Dean, Robert G., and Dalrymple).
Panjang gelombang yang dihasilkan oleh gelombang
lebih panjang dari panjang gelombang dari teori
gelombang linier, terlebih lagi terhadap panjang
gelombang teori gelombang Stoke. Shoaling yang
dihasilkan lebih besar dari pada shoaling dari teori
gelombang linier. Kedua hal tersebut dikarenakan
penggunaan tekanan gelombang panjang yang bekerja
pada seluruh kedelaman. Oleh karena itu untuk
mengembangkan model yang lebih baik lagi perlu
digunakan tekanan hidrodinamis yang lebih tepat,
dimana yang berpotensi digunakan adalah tekanan
yang dirumuskan dari persamaan Euler secara lengkap
atau dari persamaan Bernoulli.
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 65
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
100
80
60
40
20
(m)
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
20
40
60
80
(m)
100
120
140
Gambar 4.4. Batimetri tanjung
Gambar 4.5. Kondisi gelombang pada detik ke 24
66 Jurnal Teknik Sipil
160
180
200
Hutahaean
100
80
60
40
20
(m)
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
(m)
Gambar 4.6. Kontur tinggi gelombang terbesar setelah detik ke 24
Daftar Pustaka
Dean, Robert G., and Dalrymple, “Water Wave
Mechanics for Engineers and Scientists”.
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Syawaluddin, H., 2006, ”Koefisien pada Persamaan
Euler pada Analisis Gelombang Pendek”,
Jurnal Teknik Sipil, Vol. 13, No. 4,
Departemen Teknik Sipil, ITB.
Sarpkaya T. and Iseacson, Micheal, 1981, “Mechanics
of Wave Forces on Offshore Structures”, Van
Nostrand Reinhold Company.
Shen, S. F., 1977, “Finite Element Method in Fluid
Mechanics”, Ann. Rev. Fluid Mech., Vol. 9.
Syawaluddin, H., dkk., 2005, “Model Difraksi dengan
Persamaan Gelombang Airy yang Disempurnakan”, Thesis S3, Departemen Teknik Sipil,
ITB.
Syawaluddin, H., dkk., 2005, “Integrasi Numeris
dengan Manggunakan Polinomial Lagrange”,
Jurnal Teknik Sipil, Vol. 12, No. 2, Departemen Teknik Sipil, ITB.
Syawaluddin, H., 2006, ”Penyelesaian Persamaan
Differensial dengan Menggunakan Polinomial
Lagrange Seri I (1 Dimensi)”, Jurnal Teknik
Sipil, Vol. 13, No. 2, Departemen Teknik Sipil,
ITB.
Vol. 14 No. 1 Januari 2007 67
Pemodelan Dinamika Gelombang dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi
68 Jurnal Teknik Sipil