Penerapan Persamaan Klein Gordon Untuk Menentukan Tingkat Energi Dari Atom Pion

PENERAPAN PERSAMAAN KLEIN GORDON UNTUK

MENENTUKAN TINGKAT ENERGI DARI ATOM PION

SKRIPSI

ROLAS D NAINGGOLAN

080801037

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

PENERAPAN PERSAMAAN KLEIN GORDON UNTUK

MENENTUKAN TINGKAT ENERGI DARI ATOM PION

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ROLAS D NAINGGOLAN

080801037

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

PERSETUJUAN

Judul : PENERAPAN PERSAMAAN KLEIN – GORDON (KG) UNTUK MENENTUKAN TINGKAT

ENERGI DARI ATOM PION

Kategori : SKRIPSI

Nama : ROLAS D NAINGGOLAN

Nomor Induk Mahasiswa : 080801037

Program Studi : SARJANA (S1) FISIKA

Departemen : FISIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 17 Juli 2012 Komisi Pembimbing :

Pembimbing II Pembimbing I

TUA RAJA SIMBOLON, S.Si, M.Si Drs. TENANG GINTING, M.Si NIP. 197211152000121001 NIP. 1948061101976031003

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Fisika FMIPA USU Ketua,

DR. MARHAPOSAN SITUMORANG NIP. 19551030119800031003

PERNYATAAN

PENERAPAN PERSAMAAN KLEIN GORDON (KG) UNTUK MENENTUKAN TINGKAT ENERGI DARI ATOM PION

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 17 Juli 2012

ROLAS D NAINGGOLAN 080801037

PENGHARGAAN

Terpuji dan termulialah Yesus Kristus yang sampai saat ini, Dia masih tetap memberikan yang terbaik dalam kehidupan saya, terutama dalam penulisan skripsi ini. Saya sangat menyadari dan percaya tanpa campur tanganNya perjalanan perkuliahan saya dan penulisan skripsi ini tidak akan pernah dapat selesai.

Saya menyadari bahwa tidak akan pernah ada keberhasilan tanpa adanya dukungan, oleh karena itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada mereka yang telah mendukung saya bahkan sampai pada penyelesaian skripsi ini. 1. Kepada Bapak Drs. Tenang ginting, M.S dan bapak Tua raja Simbolon, S.Si,

M.Si selaku pembimbing saya pada penyelesaian skripsi ini yang selalu terbuka dalam memberikan bimbingan maupun motivasi dalam penulisan skripsi ini. Saya juga dalam kesempatan ini sangat berharap kepada Mereka supaya hal ini terus ditingkatkan untuk adek – adek yang akan dibimbing kemudian,

2. Kepada Bapak ibu Dosen Departemen Fisika yang telah mengajari saya kurang lebih 4 tahun, terimakasih untuk setiap ilmu yang telah diberikan dan yang telah saya dapat,

3. Kepada admininistratif departemen Fisika USU, mulai dari Bapak Dr. Marhaposan Situmorang sebagai Ketua Departemen Fisika USU beserta staff pegawai di Kantor departemen Fisika USU yang senantiasa membantu Penulis didalam melengkapi administrasi.

4. Kepada orang tua saya, ayah M. Nainggo lan dan Ibu St. M Sibagariang yang selalu memberikan kasih sayang yang tak ternilai dan juga nasehat – nasehat yang telah membagun kepribadian saya sampai saat ini. Thanks Dad and Mom…

5. Kepada abang Sardinius Nainggolan, Tator Nainggolan, kakak Romasi Nainggolan, Romian Nainggolan dan Rosda Nainggolan serta adek saya Gomgom P Nainggolan, terimakasih untuk setiap dukungan dan doanya,

6. Kepada sahabat – sahabat saya FISKOLA yang saya sayangi mulai dari appara Mengara, Perdana, Indra, Asman, Bheg an, Roni, Hiras, Albert, Triandes, Martin, Metar, Eben, Donal, Zulkar, Ervina, Borasida, Elizabeth, Nya Daniaty, Putri, Yosephin, Teresia, Nytha, Melly, Ardo, terimakasih untuk setiap kebersamaan yang kita lalui bersama dan untuk setiap dukungan dan doanya. Kepada kawan – kawan di Fisika FMIPA USU ada Sabam dan kawan – kawan (09), Faisal dan kawan – kawan (10) dan Togar dan kawan (11) terimakasih untuk doanya.

7. Kepada kelompok kecil saya di KMKS Glory In Exelcess(GIE) ada K’Sondang, Hana, B’Eko dan Ervina, terimaksih untuk setiap kebersamaan dan bimbingan Rohani yang telah saya dapat.

8. Dan kepada mereka yang tidak saya sebutkan namanya yang telah mendukung penulisan skripsi, saya ucapkan terimasih

Penulis menyadari dalam penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat diharapkan untuk penyempurnaan karya – karya penulis selanjutnya.

Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat terutama bagi penulis dan pembaca, terutama juga kepada mereka yang ingin melanjutkan penelitian ini. Terimakasih. Syalom……..

Medan, September 2011

ABSTRAK

Persamaan Klein-Gordon (KG) merupakan suatu persamaan dalam mekanika kuantum yang sangat berguna untuk fisika partikel. Persamaan ini muncul ketika efek relativistik diperhitungkan (v~c). Kesulitan dalam persamaan ini adalah ditemukannya energi yang bernilai positif dan negatif. Dimana hal ini dimunculkan untuk masing – masing partikel tunggal dan partikel bebas. Persamaan Klein – Gordon (KG) dapat digunakan untuk menyelesaikan koreksi relativistik terhadap atom pion, dimana persamaan ini hanya dapat diterapkan untuk kelas partikel yang hanya memiliki spin – 0 dan oleh karena itu persamaan ini tidak dapat dengan langsung diterapkan untuk atom hidrogen. Sehingga persamaan ini hanya dapat diterapkan untuk pion dan Kaoni (K). Dengan menggunakan persamaan Klein – Gordon (KG) akan didapatkan tingkat energi dari atom pion.

APPLYING KLEIN – GORDON (KG) EQUATION TO OBTAIN ENERGY LEVEL OF PIONIC ATOM

ABSTRACT

Klein – Gordon (KG) equation is a useful quantum mechanical equation for certain class of particles. This equation actually arise when relativistic effect followed (v~c). The difficulty with the Klein – Gordon (KG) equation is that is has both positif and negatif energi solution. This can be shown for one particle and free particle. The Klein – Gordon (KG) equation can be used to solve the pionic atom in a relativistically correct way, it is only appropriate for particle with spin – 0 and thus does not apply directly to hidrogen atom. It is useful for pionic and kaonik (K). With help of Klein – Gordon (KG) equation will obtain the energy level of pionic atom.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar isi vii

Daftar simbol ix

Daftar konstanta x

Daftar Lampiran xi

BAB I Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Rumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 2

1.5 Manfaat Penelitian 3

1.6 Sistematika Penulisan 3

BAB II Tinjauan Pustaka

2.1 Atom Pion 4

2.1.1 Massa Atom Pion 5

2.1.2 Katerlambatan Ditemukanya Atom Pion 6

2.2 Persamaan Schrodinger 7

2.2.1 Persamaan Schrodinger Bergantung waktu 7 2.2.2 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung waktu 8 2.2.3 Energi Sistem Mantap Terkuantisasi 9 2.2.4 Harga – Energi dan Fungsi – Eigen 9

2.3 Transformasi Lorentz 10

2.3.1 Transformasi Galilie 10

2.3.2 Transformasi Kecepatan Galilei 11 2.3.3 Kegagalan Transformasi Galilie 11

2.3.4 Transformasi Lorenzt 12

2.3.5 Transformasi Balik untuk x 12

2.3.6 Transformasi t 12

2.3.7 Rumus Transformasi Lorenzt 14

2.4 Persamaan Klein Gordon (KG) 14

BAB III Metodologi Penelitian

3.1 Rancangan Penelitian 20

3.2 Diagram Alir Penelitian 21

BAB IV Hasil Dan Pembahasan

4.1 Penentuan persamaan KG dengan Pengaruh Medan

Elekromagnetik Luar 22

4.2 Solusi Persamaan KG 22

4.2.1 Solusi Keadaan State Persamaan KG 23

4.2.2 Pemisahan Variabel 24

4.2.3 Solusi Persamaan untuk Arah Radial (R) 27 4.3 Aplikasi dari Persamaan KG 29

4.3.1 Untuk Atom Pion 29

4.3.2 Untuk Photon 29

BAB V Kesimpulan Dan Saran

5.1 Kesimpulan 30

5.2 Saran 31

DAFTAR SIMBOL – SIMBOL

= Operator del = konstanta Planck E = Energi

t = waktu

= konstanta Planck = massa elektron c = kecepatan cahaya

= frekuensi sudut = panjang gelombang = momentum

= fungsi gelombang Schrodinger = permitivitas ruang hampa = operator (D’alembert)

= konjugat dari fungsi gelombang Schrodinger

= arus probabilitas = potensial skalar A = potensial skalar

= sudut zenit yang dibentuk oleh sumbu ZY pada koordinat bola

= sudut azimut yang dibentuk oleh sumbu XY pada koordinat bola Z= nomor atom

= kuantitas yang menyatakan l= bilangan kuantum kuantum orbital n= bilangan kuantum utama

= bilangan kuantum magnetik

= massa atom pion

DAFTAR KONSTANTA

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran I Solusi untuk persamaan KG yang tegantung terhadap 33 Lampiran II Solusi untuk persamaan KG yang tergantung pada 34 Lampiran III Solusi untuk persamaan radial atom hidrogen 35 Lampiran IV Pembuktian persamaan (4.27) menjadi (4.28) 37

ABSTRAK

Persamaan Klein-Gordon (KG) merupakan suatu persamaan dalam mekanika kuantum yang sangat berguna untuk fisika partikel. Persamaan ini muncul ketika efek relativistik diperhitungkan (v~c). Kesulitan dalam persamaan ini adalah ditemukannya energi yang bernilai positif dan negatif. Dimana hal ini dimunculkan untuk masing – masing partikel tunggal dan partikel bebas. Persamaan Klein – Gordon (KG) dapat digunakan untuk menyelesaikan koreksi relativistik terhadap atom pion, dimana persamaan ini hanya dapat diterapkan untuk kelas partikel yang hanya memiliki spin – 0 dan oleh karena itu persamaan ini tidak dapat dengan langsung diterapkan untuk atom hidrogen. Sehingga persamaan ini hanya dapat diterapkan untuk pion dan Kaoni (K). Dengan menggunakan persamaan Klein – Gordon (KG) akan didapatkan tingkat energi dari atom pion.

APPLYING KLEIN – GORDON (KG) EQUATION TO OBTAIN ENERGY LEVEL OF PIONIC ATOM

ABSTRACT

Klein – Gordon (KG) equation is a useful quantum mechanical equation for certain class of particles. This equation actually arise when relativistic effect followed (v~c). The difficulty with the Klein – Gordon (KG) equation is that is has both positif and negatif energi solution. This can be shown for one particle and free particle. The Klein – Gordon (KG) equation can be used to solve the pionic atom in a relativistically correct way, it is only appropriate for particle with spin – 0 and thus does not apply directly to hidrogen atom. It is useful for pionic and kaonik (K). With help of Klein – Gordon (KG) equation will obtain the energy level of pionic atom.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persamaan Schrödinger yang dikemukakan oleh fisikawan Erwin Schrödinger (1925), telah terbukti dapat digunakan untuk mencari energi yang ditimbulkan dari suatu sistem fisika yang ditinjau. Seperti misalnya untuk menyelesaikan kasus – kasus dalam fisika seperti partikel bebas dalam kotak, osilator harmonik, atom hidrogen dan lain – lain. Tapi perlu diperhatikan disini bahwa perumusan untuk mencari energi dari kasus – kasus seperti diatas pada umumnya masih dalam ruang lingkup non – relativistik.

Ketika efek relativitas diperhitungkan maka persamaan Schrodinger tersebut akan berubah menjadi persamaan Klein – Gordon, yang dikemukakan oleh fisikawan Oskar Klein dan Walter Gordon pada tahun 1927. Persamaan ini sangat cocok diterapkan untuk partikel – partikel elementer karena partikel elementer dapat bergerak dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya (v~c). Dalam tugas akhir ini penerapan persamaan KG akan diterapkan pada atom pion. Atom pion adalah penyusun atom yang hampir sama dengan muon dimana menurut Hideki Yukawa (1935) partikel inilah yang bertanggung jawab terhadap adanya gaya nuklir. Partikel ini dapat bermuatan positif, negatif dan normal.

Dengan menerapkan persamaan KG pada atom pion maka akan ditemukan persamaan energi untuk partikel tersebut. Dalam penerapannya untuk atom pion, prinsipnya akan sama dengan penerapan persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen, dimana potensial yang bekerja untuk atom ini sama juga untuk potensial pada atom hidrogen yaitu potensial yang disebabkan oleh adanya medan listrik yang disebabkan oleh muatan listrik. Hal yang menarik yang akan ditemui dalam penerapan persamaan

KG ini adalah akan ditemukanya interpretasi energi yang bernilai positif dan negatif. Energi negatif dimunculkan ketika persamaan tersebut diberlakukan untuk partikel tunggal. Partikel tunggal maksudnya disini adalah partikel yang memiliki interaksi dengan partikel lain, sehingga untuk partikel tunggal terdapat beda potensial yang konstan yang diakibatkan oleh interaksi tadi. Sedangkan energi positif akan dimunculkan untuk partikel bebas, yaitu partikel yang berdiri sendiri (tidak ada interaksi dengan partikel lain).

Atom pion sebagaimana yang telah diketahui hanya ber – spin nol (0) akan sangat cocok diaplikasikan untuk persamaan KG. Karena sesuai dengan syarat dalam penerapan persamaan KG bahwa pertikel yang terlibat harus memiliki spin nol (0). Hal inilah yang menyebabkan penerapan persamaan KG pada atom hidrogen tidak serta merta bisa diterapkan. Dengan bantuan persamaan KG maka akan diharapkan penyelesaian pada atom pion akan menghasilkan persamaan energi yang bernilai negatif sebagaimana yang dijelaskan sebelumnya bahwa interpretasi energi negatif menggambarkan partikel yang ditinjau adalah partikel tunggal.

1.2Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang diajukan dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana bentuk persamaan energi relativistik dari atom pion dengan mennggunakan persamaan KG.

1.3Batasan Penelitian

Adapun batasan masalah dalam penulisan skripsi ini adalah:

1. Permasalahan yang disajikan adalah kajian terhadap atom pion yang berspin nol

2. Potensial yang dialami oleh atom pion adalah konstan

1.4Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam tugas akhir ini adalah: 1. Mengetahui konstruksi persamaan KG untuk atom pion

1.5Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian dari tugas akhir ini adalah: 1. Sebagai sumber pustaka mengenai persamaan KG

2. Sebagai penambah wawasan bagi penulis maupun pembaca mengenai penerapan persamaan KG untuk atom pion

1.6Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut:

BAB I Pendahuluan

Bab ini mencakup latar belakang penelitian, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan tugas akhir ini.

BAB II Tinjauan pustaka

Bab ini berisi teori yang mendasari penelitian.

BAB III Metodologi Penelitian

Bab ini membahas tentang metode yang digunakan dan diagram alir penelitian.

BAB IV Hasil dan pembahasan

Bab ini membahas tentang hasil penelitian dan menganalisis data yang diperoleh dari penelitian.

BAB V Kesimpulan dan Saran

Menyimpulkan hasil-hasil yang didapat dari penelitian dan memberikan saran pada peneltian berikutnnya.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Atom Pion

Atom pion sama seperti atom hidrogen hanya elektron – nya diganti menjadi sebuah pion negatif. Partikel ini telah diteliti sekitar empat puluh tahun yang lalu, tetapi penyelidikanya dengan serius dilakukan baru – baru ini. Seorang fisikawan Jepang Hideki Yukawa (1935) menyatakan bahwa terdapat partikel dengan besar massa antara elektron dan nukleon yang bertanggung jawab atas adanya gaya nuklir. Dan Dia menamakan partikel tersebut sebagai pion. Pion dapat bermuatan positif ( ), negative ( ) dan netral ( ), dan merupakan anggota kelas partikel elementer yang secaca kolektif disebut meson (kata pion merupakan singkatan dari meson). Menurut Yukawa, setiap nukleon terus menerus memancarkan dan menyerap pion. Jika terdapat nukleon lain didekatnya, pion yang dipancarkan dapat menyeberang alih – alih kembali kenukleon induknya; transfer momentum yang menyertainya setara dengan aksi gaya. Atom pion hanya memiliki spin nol (0).

Gaya nuklir saling tolak – menolak pada jangkauan sangat pendek dan saling tarik - menarik pada jarak nukleon – nukleon yang agak jauh, karena jika tidak demikian nukleon dalam inti akan menyatu, dan salah satu kekuatan teori meson untuk gaya seperti itu ialah kedua aspek itu tercakup. Tidak terdapat cara sederhana untuk menunjukkan yang pertama secara formal, tetapi analogi yang kasar dapat mengurangi misteri konsep tersebut. Marilah kita bayangkan dua orang anak saling tukar bola basket. Jika mereka saling menukar bola basket tersebut, anak itu bergerak mundur, dan ketika mereka menangkap bola yang dilemparkan kepadanya, momentum mundurnya bertambah. Jadi metode pertukaran bola basket ini menghasilkan efek yang sama sebagai gaya tolak antara anak – anak itu. Jika anak – anak itu saling mengambil bola basket dari tangan anak lainnya, hasilnya ialah gaya

tarik timbul diantara mereka. Suatu persoalan pokok timbul disini. Jika nukleon berkesinambungan memancarkan dan menyerap pion, mengapa proton dan neutron tidak pernah didapatkan mempunyai massa yang lain dari massa biasanya? Jawabanya terletak pada prinsip ketidakpastian, hukum fisika hanya mengacu pada kuantitas terukur, dan prinsip ketidakpastian membatasi ketetapan suatu kombinasi pengukuran yang dapat dilakukan. Pemancaran pion oleh sebuah nukleon yang tidak berubah massanya merupakan pelanggaran terhadap hukum kekekalan energi dapat terjadi asal saja nukleon itu menyerap kembali pion lain yang dipancarkan oleh nukleon tetangga, sehingga secara prinsip tidak dapat ditentukan apakah sebenarnya terjadi perubahan massa.

2.1.1 Massa Atom Pion

Dari prinsip ketidakpastian dalam bentuk

(2.1)

Suatu kejadian dimana sejumlah energi tak kekal tidak dilarang, asal saja selang waktu kejadian itu tidak melebihi . Persyaratan ini dapat dipakai untuk memperkirakan massa pion. Jika dianggap sebuah pion bergerak diantara nukleon – nukleon dengan kelajuan v~c; ini berarti pemancaran pion bermassa menyatakan penyimpangan energi sementara sebesar ~ (energi kinetik pion diabaikan dan bahwa ). Gaya nuklir memiliki jangkauan maksimum r sekitar 1,5 fm, dan waktu yang diperlukan jarak sejauh itu adalah:

(2.2)

sehingga diperoleh

(2.3)

dan menghasilkan

(2.4)

Besaran itu kira – kira 230 kali massa diam elektron . Beberapa tahun setelah usulan Yukawa, partikel yang sifatnya telah diramalkan betul – betul ditemukan. Massa pion bermuatan adalah 273 dan pion netral adalah 264 tidak jauh dari perkiraan diatas.

2.1.2 Keterlambatan Ditemukanya Atom Pion

Terdapat dua faktor yang menyebabkan ditemukannya pion bebas agak terlambat. Pertama, harus terdapat energi yang cukup untuk diberikan pada nukleon sehingga pemancaran sebuah pion memenuhi kekekalan energi. Jadi sekurang – kurang energi sebesar atau sekitar 140 MeV diperlukan. Untuk menyediakan energi sebesar itu untuk nukleon dalam suatu tumbukan, partikel yang datang harus berenergi lebih besar dari supaya momentum dan energinya kekal. Partikel dengan energi kinetik beberapa ratus MeV diperlukan untuk menghasilkan pion bebas dan partikel seperti itu terdapat dalam alam hanya dalam arus difusi radiasi kosmik yang datang kebumi. Jadi penemuan pion harus menunggu perkembangan metode yang cukup peka dan tepat dalam penelitian interaksi sinar kosmik. Baru – baru ini pemercepat (akselerator) mulai bekerja; alat ini dapat menghasilkan energi partikel yang diperlukan, dan pion yang terjadi dapat dipelajari langsung. Penyebab kedua tertundanya penemuan eksperimental dari pion adalah ketakmantapan; umur rata – rata pion bermuatan adalah 2,6 x 10-8 s dan pion netral adalah 8,4 x 10-17 s. Umur demikian pendeknya sehingga keberadaanya baru didapatkan secara menyakinkan pada tahun 1950. (Beiser, 1987)

2.2 Persamaan Schrodinger

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam persamaan gerak gelombang umumnya. Namun, tidak seperti y bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita akan menganggap dalam arah x dinyatakan oleh

(2.5) dengan adalah bilangan imajiner (khayal) yang nilainya

Jika pada persamaan diatas diganti dengan ( adalah frekuensi) dan dengan , maka diperoleh

(2.6) yang bentuknya menguntungkan, karena telah diketahui hubungan antara dan dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diberikan oleh . Karena

dan (2.7) diperoleh

(partikel bebas) (2.8)

Persamaan (2.8) diatas merupakan pemerian matematis gelombang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan momentum p yang bergerak dalam arah +x, yang juga merupakan pemerian dari pergeseran harmonik gelombang yang bergerak bebas sepanjang tali terpentang.

Salah satu cara untuk memperoleh persamaan Schrodinger bergantung waktu adalah dengan mendiferensialkan persamaan (2.8) dua kali terhadap x, menghasilkan

sehingga (2.9)

dan sekali terhadap t, menghasilkan

sehingga (2.10)

Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari energi kinetik dan energi potensial V, dengan V pada umunya merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t, dan dengan langsung menjadikan kedua ruasnya dengan fungsi gelombang menghasilkan

(2.11)

Dengan mensubstitusi persamaan (2.9) dan (2.10) kedalam persamaan (2.11) dipeoleh

(2.12)

Persamaan diatas merupakan persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi.

2.2.2 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung waktu

Untuk memperoleh persamaan Schrodinger yang tidak bergantung terhadap waktu dapat dilakukan dengan kembali menuliskan persamaan (2.8) dalam bentuk

Hal ini berarti bahwa merupakan hasil kali antara fungsi yang bergantung waktu dengan fungsi yang bergantung kedudukan. Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya tunak mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas. Dengan mensubstitusikan dari persamaan (2.13) ke persamaan schrodinger yang bergantung terhadap waktu, didapat

(2.14)

Persamaan diatas merupakan persamaan Schrodinger tak bergantung waktu (keadaan tunak). (Scherrer, 2005)

2.2.3 Energi Sistem Mantap Terkuantisasi

Pada umumnya, persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan hanya untuk harga Ε tertentu saja. Memecahkan persamaan Schrodinger untuk suatu sistem berarti memperoleh suatu fungsi gelombang yang tidak saja memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada, tetapi juga harus memenuhi syarat bisa diterimanya fungsi gelombang yaitu turunanya harus kontinu, berhingga dan berharga tunggal. Jadi kuantisasi energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori tadi, dan kuantisasi energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai gejala universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.

2.2.4 Harga – Energi dan Fungsi – Eigen

Harga energi didapat dari persamaan keadaan – tunak Schrodinger yang dapat dipecahkan disebut harga – eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian disebut fungsi eigen. (Istilah ini berasal dari bahasa Jerman Eigenwert, yang berarti “harga karakterisasi yang sesungguhnya”, dan eigenfunktion yaitu “fungsi karakterisasi yang

sesungguhnya”. Misalnya untuk tingkat energi diskrit atom hidrogen yang merupakan sekelompok harga – eigen dirumuskan:

(2.15) Begitu juga tingkat energi (harga eigen) yang diperoleh untuk partikel dalam kotak dirumuskan:

(2.16)

2.3 Transformasi Lorentz

2.3.1 Transformasi Galilie

Andaikata kita berada dalam kerangka acuan S yang memiliki koordinat kejadian S (x,y,z,t). Pengamatan berada pada kerangka acuan lain S’ (x’,y’,z’,t’) yang bergerak dengan kecepatan v. Ditinjau arah kecepatan v yang searah dengan sumbu x. Selanjutnya akan ditentukan hubungan antara hasil pengukuran x, y, z, t dengan x’, y’, z’, t’.

y y’

S x S x’

z z

Gambar 2.1. Kerangka S’ bergerak dengan kecepatan v terhadap kerangka S

Jika waktu kedua sistem diukur dari saat ketika titik awal S dan S’ berimpit, pengukuran dalam arah x yang dilakukan di S akan melebihi yang di S’ dengan vt menyatakan jarak yang ditempuh S’ dalam arah x, sehingga :

x' = x – vt (2.17) Pada arah y dan z tidak terdapat gerak relatif sehingga :

y' = y (2.18) z' = z (2.19) Dalam hal ini tidak terdapat indikasi yang bertentangan dengan pengalaman sehari-hari sehingga :

t' = t (2.20) Persamaan (2.17) sampai dengan (2.18) dikenal sebagai transformasi Galilei.

2.3.2 Transformasi Kecepatan Galilei

Transformasi kecepatan Galilei dapat diperoleh dengan diferensiasi x’, y’, dan z’ terhadap waktu. v v dt dx v _x i i

x = = − (2.21)

_y i i y v dt dy

v = = (2.22)

_z i i z v dt dy

v = = (2.23)

2.3.3 Kegagalan Transformasi Galilei

Selama transformasi Galilei dan transfromasi kecepatan menghasilkan sesuatu yang cocok dengan ekspektasi intuisi kita maka transformasi tersebut melanggar kedua postulat relativitas khusus. Postulat pertama mensyaratkan persamaan yang sama kedua persamaan fisis tersebut baik dalam kerangka S maupun S’, ternyata persamaan pokok dalam kelistrikan dan kemagnetan memiliki bentuk yang berbeda jika digunakan transformasi Galilei untuk mengubah kuantitas yang terukur pada suatu kerangka acuan ke kuantitas yang setara dalam kerangka acuan lain. Postulat kedua mensyaratkan harga yang sama untuk kelajuan cahaya c baik dalam kerangka S maupun S’. Jika dilakukan pengukuran kelajuan cahaya dalam arah x maka dalam sistem S adalah c, sedangkan dalam sistem S’ menjadi c’ = c-v. bertolak dari kedua

kenyataan tersebut maka transformasi Galilei gagal sebagai cara penggambaran gejala relativistik secara taat asas.

2.3.4Transformasi Lorentz

Kaitan antara x dan x’ yang rasional adalah memenuhi:

x' = k (x – vt) (2.24) dengan k menyatakan faktor pembanding yang tak tergantung dari besaran x atau t tetapi dapat merupakan fungsi v. Pemilihan persamaan (2.24) sebagai alternatif transformasi adalah didasarkan pada pertimbangan-pertimbangan sebagai berikut : a. Persamaan tersebut linear terhadap x dan x’, sehingga suatu kejadian dalam

kerangka S bersesuaian dengan kejadian tunggal dalam kerangka S’, seperti seharusnya.

b. Bentuk persamaan tersebut cukup sederhana, sehingga pemecahannya mudah dipahami.

c. Persamaan tersebut dapat direduksi menjadi bentuk persamaan (2.17) yang dapat dibuktikan kebenarannya dalam persamaan-persamaan mekanika klasik.

2.3.5Transformasi Balik untuk x

Berpijak pada postulat pertama relativitas khusus maka persamaan fisika harus berbentuk sama dalam kerangka S dan S’, sehingga kaitan x sebagai fungsi x’ dan t’ dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:

x = k (x’ + vt’) (2.25) Sedangkan pada arah koordinat y’ dan z’ memenuhi persamaan :

y' = y (2.26) z' = z (2.27)

2.3.6Transformasi t

Koodinat t dan t’ tidak sama, hal ini dapat dilihat dengan mensubstitusikan x’ yang diperoleh dari persamaan (2.24) ke persamaan (2.25), diperoleh :

x = k2(x – vt) + kvt’ (2.28) Dari persamaan ini tersebut dapat diperoleh :

x kv k l kt t _      − + = 2

' (2.29) Persamaan (2.24), (2,25) hingga persamaan (2.29) merupakan transformasi koordinat yang memenuhi postulat relativitas khusus.

Penentuan Faktor k :

Pada saat t =0, titik asal kedua kerangka S dan S’ berada pada tempat yang sama. Menurut persamaan awal t’ = 0 juga, dan pengamat pada masing-masing koordinat melakukan pengukuran kelajuan cahaya yang menuju ke titik itu. Kedua pengamat harus mendapatkan kelajuan yang sama yaitu c.

Dalam kerangka S :

x = ct (2.30) Sedangkan dalam kerangka S’ :

x‘ = ct’ (2.31) Substitusi x’ dan t’ pada persamaan (2.24) dan (2.29) ke persamaan (2.31), dihasilkan : cx kv k l ckt vt x k _      − + =

− ) 2

(

Kemudian dihitung nilai x :

c kv k l k vkt ckt x       − − + = 2                     − − + = ⇔ c kv k l k k v c k ct x 2                   ₋ − + = ⇔ v c k l l v c l ct x 1 2

Rumusan x di atas sama dengan yang diberikan oleh persamaan (2.30) yaitu x = ct jika kuantitas dalam tanda kurung sama dengan satu, sehingga :

1 1 2 =       ₋ − + v c k l l c v l

Akhirnya diperoleh nilai k : 2 2 1 1 c v k −

= (2.31)

2.3.7Rumus Transformasi Lorentz

Dengan memasukkan nilai k ke dalam persamaan (2.24) diperoleh persamaan transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian dalam kerangka S terhadap pengukuran yang sesuai yang dilakukan dalam kerangka S’ :

2 2 1 ' c v vt x x − −

= (2.32)

2 2 2 1 ' c v c vx t t − −

= (2.33)

2.4 Persamaan Klein Gordon (KG)

Persamaan KG pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan Oskar Klein dan Walter Gordon pada tahun 1927. Persamaan Klein Gordon seperti yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diturunkan dari hubungan energi – momentum relativistik dengan mensubstitusikan operator – operator diferensial untuk energi E dan momentum yang diberikan dalam mekanika kuantum. Kita akan mengawali dengan menurunkan persamaan gelombang non relativistik.

Operator-operator diferensial dalam mekanika kuantum untuk energi E dan momentum diberikan oleh

(operator energi) (2.34a) (operator momentum) (2.34b)

Dalam limit non-relativistik, energi kinetik dari sebuah partikel bebas dengan massa m dan momentum diberikan oleh

(2.35)

Disini E adalah energi kinetik partikel. Jika operator-operator diferensial untuk energi dan momentum disubstitusikan ke persamaan (2.35) maka diperoleh

(2.36)

Analog dengan penurunan persamaan Schrodinger, sebuah persamaan kovarian (sama dalam setiap kerangka acuan) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan energi dan momentum 4-vektor relativistik dari sebuah partikel,

(2.37)

Operator-operator diferensial persamaan (2.34a) dan (2.34b) kemudian dapat dinyatakan dalam notasi 4-vektor

(2.38)

Dalam ungkapan ini, operator energi adalah komponen ke nol persamaan (2.38). Substitusi persamaan (2.38) ke persamaan (2.37), dengan mengingat bahwa operator selalu bekerja pada suatu keadaan (state), , persamaan (2.37) menghasilkan persamaan diferensial orde-2,

Persamaan (2.39) selanjutnya dinamakan persamaan Klein-Gordon (KG). Dengan memperkenalkan operator d’Alembert

(2.40) dengan

(2.41) Operator adalah invarian Lorentz, jadi persamaan KG adalah persamaan kovarian relativistik jika adalah fungsi skalar. Yaitu terhadap transformasi Lorentz

bertransformasi sebagai berikut

, (2.41) sehingga adalah invarian. Persamaan (2.39) adalah persamaan orde-2 dalam derivative waktu, sehingga mudah dilihat bahwa solusi persamaan KG adalah solusi gelombang bidang,

(2.42)

dimana adalah konstanta normalisasi. Jika disubstitusikan solusi gelombang bidang di atas ke persamaan KG maka solusi untuk energi dari persamaan ini memberikan dua buah nilai energi, yaitu energi positif dan energi negatif,

(2.43) diperoleh

Solusi energi negatif adalah sebuah permasalahan ketika ditafsirkan sebagai sebuah fungsi gelombang untuk partikel tunggal. Untuk sebuah partikel bebas, energi total E sepenuhnya dinyatakan oleh energi kinetiknya sehingga energinya konstan, karenanya dapat dipilih partikel dengan keadaan energi positif dan mengabaikan keadaan energi negatif. Namun ketika partikel berinteraksi, ada pertukaran energi dengan lingkungan yang berarti ada sejumlah energi yang diemisikan dalam proses. Kemudian energi dari sebuah partikel akan menuju ke keadaan energi negatif tak berhingga dan ini tidak mungkin terjadi untuk sebuah partikel tunggal jika ditafsirkan sebagai sebuah fungsi gelombang. Namun demikian kita tidak dapat mengabaikan begitu saja solusi energi negatif sebagai solusi tidak fisis. Karena solusi ini diperlukan untuk mendefinisikan kelengkapan suatu keadaan. Berbeda halnya jika ditafsirkan sebagai sebuah medan kuantum, kedua solusi energi bukan masalah. Solusi energi positif dan negatif terkait dengan operator-operator untuk partikel tercipta atau teranihilasi. Permasalahan kedua dengan tafsiran fungsi gelombang yang muncul adalah ketika kita mencoba untuk merealisasikan

rapat probabilitas. Dalam persamaan Schrodinger, jika adalah fungsi gelombang

maka rapat probabilitas, , diberikan oleh

(2.45)

Karena probabilitas adalah kekal maka haruslah memenuhi persamaan kontinuitas = 0 (2.46) dimana adalah arus probabilitas. Arus probabilitas yang memenuhi persamaan kontinuitas ini adalah

) (2.47)

Akan tetapi, rapat probabilitas yang didefinisikan oleh persamaan (2.44) tidak kekal dalam persamaan KG. Ini karena persamaan KG adalah persamaan orde-2 dalam derivative waktu, serupa dengan persamaan gerak Newton dalam mekanika. Syarat awal untuk menyelesaikan persamaan gerak Newton adalah posisi awal dan kecepatan

turunannya pada persamaan KG. Untuk kasus partikel bebas relativistik maka persamaan rapat probabilitas dan arus probabilitas haruslah melibatkan komponen waktu sehingga kedua besaran ini akan bertransformasi sebagai sebuah vektor (4-vektor). Dalam kasus ini persamaan kontinuitas dapat dinyatakan secara kovarian,

(2.48) dimana (ρ , )_. Karena itu secara relativistik, rapat probabilitas bukan sebuah kuantitas skalar tetapi komponen ke nol dari sebuah 4-vektor. Agar persamaan kontinuitas dipenuhi maka ρ dan dapat dipilih sebagai berikut

(2.48a)

(2.48b)

Tampak perbedaan yang jelas antara persamaan (2.48a) dan (2.45). Pada kasus tak relativistik rapat arus probabilitas memiliki nilai definitif positif

sedangkan dalam kasus relativistik tidak definitif positif , karena kita masih bisa memilih E bernilai negatif. Akibatnya arus tidak memberikan tafsiran ρ sebagai rapat probabilitas (karena tidak definitif positif) seperti dalam persamaan Schrodinger.

(Sokolov, 1966)

2.4.1 Interaksi dengan Medan Elektromagnetik Luar

Untuk menghitung efek dari suatu medan elektromagnetik luar dengan potensial A, kita harus membuat pergantian

(2.49a)

(2.49b) Maka diperoleh

(2.50)

Dengan mengambil partikel yang digambarkan oleh fungsi gelombang yang memiliki muatan .

Dengan substitusi

(r,t)

(2.51)

Persamaan (2.50) menjadi

+

= [ (2.52)

Andaikan

(2.53)

Dan dengan meniadakan dengan membagi dengan persamaan (2.52) menjadi

(2.54)

Yang merupakan persamaan elektromegnetik schrodinger nonrelativistik. (Bethe, 1986)

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Metodologi penelitian

Adapun metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah persamaan Schrodinger tak bergantung waktu dikonstruksi menjadi persamaan KG dengan memasukkan efek relativitas dan mengganti energi dengan operator energi dan momentum dengan operator momentum kemudian dengan mengganti koordinat koordinat dalam koordinat bola dan memasukkan potensial listrik diperoleh persamaan KG dalam koordinat bola, karena yang dihitung adalah energi maka diambil persamaan dalam arah radial saja. Untuk lebih jelas dapat dilihat pada diagram alir dibawah ini.

3.2 Diagram Alir Penelitian

Persamaan Gelombang Schrödinger

E2 = p2c2 + m2c4

Persamaan Klein Gordon (KG)

dalam koordinat Bola

Solusi (E)

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penentuan persamaan KG dengan Pengaruh Medan Elekromagnetik Luar

Dengan mensubstitusikan hubungan antara energi relativistik dengan momentum relativistik yang pengaruh medan magnetik luar kedalam persamaan Schrödinger, maka akan didapatkan persamaan KG seperti tertulis dalam persamaan (2.50), yaitu :

(4.1)

Persamaan ini berlaku untuk partikel dengan pengaruh medan elektromagnetik luar.

4.2 Solusi Persamaan KG

Dengan mengalikan fungsi gelombang dalam bentuk pada persamaan KG pada persamaan (4.1) diatas dapat dituliskan dalam bentuk :

(4.2)

dimana kembali dijelaskan bahwa adalah potensial skalar dan adalah vektor potensial.

4.2.1 Solusi Keadaan State Persamaan KG

Andaikan bahwa dan tidak bergantung terhadap waktu, maka solusi keadaan state dari persamaan (4.2) diatas memiliki bentuk

(4.3) Dengan mensubstitusikan persamaan (4.3) ini kedalam persamaan (4.2) diperoleh

(4.4)

Dalam keadaan ini, (didasarkan pada prinsip bahwa potensial hanya dipengaruhi oleh adanya jarak , sehingga potensial vektornya dianggap tidak berpengaruh) sedangkan adalah dalam simetris bola. Maka persamaan diatas menjadi

(4.5)

Persamaan ini akan tereduksi menjadi persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen jika efek relativistik ditiadakan dalam bentuk

(4.6) dengan

4.2.2 Pemisahan Variabel

Dengan memilih (laplace) dalam koordinat bola dan dalam bentuk .

Gambar 4.1 Koordinat bola

(laplace) dalam koordinat bola

(4.8)

dengan memasukkan nilai dan pada persamaan (4.5) diperoleh

(4.9)

(4.10)

Dengan mengalikan persamaan (4.10) diatas dengan diperoleh

(4.10)

dengan melakukan pemisahan variabel pada persamaan diatas dalam bentuk

(4.11) dengan

adalah fungsi untuk r saja adalah fungsi untuk saja adalah fungsi untuk saja

Fungsi akan menunjukkan bagaimana variasi dari fungsi gelombang sepanjang vektor jari – jari dari nukleon saat dan kosntan. Fungsi akan menunjukkan bagaimana variasi dari fungsi gelombang dengan sudut zenith sepanjang putaran terhadap nukleon saat dan kosntan sedangkan akan menunjukkan bagaimana variasi dari fungsi gelombang dengan sudut azemuth sepanjang putaran terhadap sumbu OZ saat dan kosntan.

dari persamaan (4.11) diperoleh

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Perubahan dari turunan parsial menjadi turunan biasa dapat dilakukan karena masing – masing fungsi bergantung dari variabel berturut – turut .

Dengan mensubstitusikan untuk dan persamaan (4.12), (4.13) dan (4.14) kedalam persamaan (4.10) diperoleh

(4.15)

persamaan diatas dibagi dengan diperoleh

(4.16)

(4.17)

Persamaan ruas kanan dari persamaan (4.17) hanya bergantung pada saja, sehingga persamaan diatas benar jika ruas kanan dan ruas kiri memiliki konstanta yang sama. Dan andaikan konstanta tersebut adalah . Maka diperoleh

(4.18)

sehingga dapat dituliskan bahwa

(4.19)

(4.20)

(4.21)

Dapat dilihat persamaan (4.21) diatas ruas kiri hanya bergantung pada saja dan ruas kanan terhadap saja, sehingga kedua ruas harus memiliki konstanta yang sama dan misalkan konstanta tersebut adalah maka diperoleh

(4.22)

sehingga dapat dituliskan

(4.23)

sehingga diperoleh 3 persamaan yang berbentuk

Persamaan untuk (4.24)

Persamaan untuk Q (4.25)

Persamaan untuk R

(4.26)

Pemecahan persamaan (4.24) dan (4.25) dapat dilihat pada lampiran.

4.2.3 Solusi Persamaan untuk Arah Radial (R)

Jika persamaan (4.25) diselesaikan (lampiran) maka akan dihasilkan nilai sehingga persamaan dalam arah radial (R) menjadi

(4.26)

(4.27)

(4.28)

andaikan

(4.29)

(4.30)

(4.31)

maka persamaan diatas akan tereduksi menjadi persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen dalam bentuk:

(4.32) dimana solusi dari persamaan ini memiliki bentuk (dapat dilihat dilampiran)

(4.33)

dimana n disini adalah bersesuaian dengan bilangan kuantum yang dapat diambil dengan nilai 1,2,3,…., sehingga dengan menyamakan energinya diperoleh

(4.34)

dimana , dengan melakukan ekspansi pada persamaan (4.31) dalam deret pangkat dalam bentuk

(4.36) Maka diperoleh

(4.37)

Suku kedua pada persamaan diatas adalah solusi energi persamaan schrodinger untuk atom hidrogen, dan suku yang lain menjadi koreksi relativistik

4.3 Aplikasi dari Persamaan KG

4.3.1 Untuk atom Pion

Atom pion sebagaimana yang telah diketahui memiliki 273 untuk atom pion bermuatan dan 264 untuk atom pion netral. Maka dengan memasukkan nilai ini pada persamaan (4.33) dan mengambil nilai pada suku kedua saja maka diperoleh: (untuk pion bermuatan) (4.38) (untuk pion netral) (4.39)

4.3.2 Untuk Photon

Sebagaimana yang telah diketahui bahwa photon tidak memiliki massa dan tidak bermuatan maka persamaan (4.5) menjadi

(4.40)

dengan mensubstitusi kembali operator energi diperoleh

(4.42)

Persamaan (4.43) diatas merupakan medan elektromagnetik dalam ruang vakum, baik untuk potensial skalar maupun potensial vektor.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 KESIMPULAN

Kesimpulan yang diperoleh dari hasil pembahasan dalam Bab IV adalah

1. Konstruksi persamaan Klein Gordon (KG) untuk atom pion prinsipnya sama dengan konstruksi persamaan Schrodinger tak bergantung waktu untuk atom hindrogen, hanya saja dalam konstruksi persamaan Klein Gordon (KG) terhadap atom pion efek relativitik telah dilibatkan. Dan dengan memperkenalkan operator Energi dan Operator Momentum maka telah diperoleh persamaan Klein Gordon (KG) untuk atom pion (persamaan 4.1).

2. Pemecahan persamaan Klein Gordon (KG) untuk atom pion yang telah diberikan dapat dilakukan dengan membandingkan solusi energi persamaan Schrodinger tak bergantung waktu untuk atom hindrogen dengan energi yang diperoleh untuk atom pion (persamaan 4.37) dan dapat dilihat bahwa persamaan energi tersebut merupakan tingkatan energi yang bersesuaian dengan bilangan kuantum utama (n) yang dapat bernilai 1,2,3…, sehingga dengan mengambil suku kedua dari persamaan tersebut telah diperoleh tingkatan energi untuk atom pion bermuatan dan untuk atom pion tak bermuatan (persamaan 4.38 dan 4.39).

5.2 SARAN

Berbicara mengenai atom – atom, maka tidak bisa dilepaskan dengan yang namanya bilangan – bilangan kuantum. Oleh karena itu diharapkan untuk peneliti – peneliti selanjutnya dapat mengkaji bagaimana pengaruh dari bilangan – bilangan kuantum ini dalam terhadap keadaan (“state”) dari atom – atom ketika adanya pengaruh dari luar, serta karena dalam pengkajian ini banyak menggunakan matematika diharapkan untuk peneliti yang ingin mengambangkan penelitian ini menguasai matematika terutama fungsi – fungsi khusus dalam fisika.

DAFTAR PUSTAKA

Anugraha, R., 2005, Pengantar Teori Relativitas dan kosmologi, UGM PRESS, Yogyakarta.

Beiser Arthur, 1999, Konsep Fisika Modern, Edisi Keempat, Erlangga, Jakarta. Bethe, Hans Albrecht. 1986. Intermediate Quantum Mechanics.Third Edition.

Benjamin Cummings Publishing, New York.

Pauling, Wilson. 1935. Introduction to Quantum Mechanics With Application to Chemistry. McGRAW-HILL BOOK COMPANY: New York.

Schiff, Leonard, 1939, Quantum Mechanics, Second edition. McGRAW-HILL BOOK COMPANY: New York.

Soedojo Peter, 2000, Azas-azas Mekanika Analitik, Universitas Gajah Mada Press, Yogyakarta

Sokolov, Loskutov. 1966. Quantum Mechanics. Publishing House of the Ministry of Education of RSFSR, Moscow.

LAMPIRAN

1. Solui untuk persamaan yang bergantung terhadap

Dengan menuliskan kembali persamaan yang bergantung terhadap

1

Solusi dari persamaan ini adalah

2

dimana A adalah konstanta dan (bilangan imajiner). Fungsi gelombang harus memiliki sebuah nilai tunggal untuk nilai yang diberikan dan harus tidak berubah jika diubah dengan radians (karena hal ini akan menyebabkan kembali keposisi semula). Sehingga kondisi untuk syarat ini adalah

3

diperoleh

4

dengan menggunakan rumus Euler

5

diperoleh

6

dengan mengambil bagian realnya diperoleh

7

diperoleh

8

Parameter selanjutnya disebut sebagai Bilangan Kuantum Magnetik

Persamaan untuk adalah

9

Dengan melakukan substitusi

10

11

12

13

persamaan 11 dapat juga ditulis dalam bentuk

14

dengan mensubstitusikan persamaan – persamaan ini (10, 11, 12, 13, 14) kepersamaan (9) diperoleh

15

16

17

18

persamaan diatas akan berubah menjadi persamaan Legendre jika bernilai nol, sehingga persamaan diatas menjadi

19

dimana persamaan ini dipenuhi jika nilai

20

dengan

21

selanjutnya disebut Bilangan Kuantum Orbital . 3. Solusi untuk persamaan Radial atom hidrogen

22

dengan sedikit modifikasi

23

dimana bisa tidak bilangan bulat.

Untuk menyelesaikan persamaan diatas pertama harus diketahui sifat persamaan tersebut untuk nilai yang kecil. Potensial Coulomb dapat diabaikan dibandingkan dengan “sentrifugal barrier” atau turunan kedua sehingga yang diambil hanya yang ada dalam tanda kurung. Untuk untuk .

24

sehingga diperoleh Diperoleh nilai

Nilai yang terakhir tersebut singular untuk Karenanya, untuk Dengan menuliskan dimana Persamaan menjadi 25

Untuk solusi “bound state” dituliskan untuk Untuk nilai pergeseran yang besar didominasi oleh turunan kedua karena untuk pergeseran yang kecil tidak memiliki peranan dalam , kerenanya

26

Sifat dari pergeseran yang besar kemudian menjadi

Dapat juga ditulis Dengan mensubstitusikan bentuk ini kedalam persamaan (22) diperoleh

27

Dengan menyederhanakanya

28

Dengan mengambil dalam bentuk polinom dalam ,

29

persamaan diferensial (28) menjadi

30

dengan mengumpulkan koefisien dari , memberikan hubungan rekursi dalam bentuk

31

dengan mengambil

32

Urutan menjadi polinom, untuk beberapa nilai . Sehingga diinginkan

33

Dengan mengingat kembali persamaan yang mengandung dapat ditemukaan persamaan kuantisasi untuk energi

34

35

dimana dan yang bersesuaian dengan

bersesuaian dengan bilangan kuantum bilangan utama. 3. Pembuktian (4.27) menjadi persamaan (4.280

36

37

38

39

40

Untuk lebih menyederhanakan persamaan ini, diandaikan

41

perlu diperhatikan bahwa meskipun dalam persamaan ini hadir kuantitas c, bukan berarti persamaan ini adalah kasus relativistik. Sekali lagi hal ini dimaksudkan agar persamaan lebih sederhana. Dengan mensubstitusikan persamaan (41) kepersamaan (40) diperoleh

DAFTAR PUSTAKA

Anugraha, R., 2005, Pengantar Teori Relativitas dan kosmologi, UGM PRESS, Yogyakarta.

Beiser Arthur, 1999, Konsep Fisika Modern, Edisi Keempat, Erlangga, Jakarta. Bethe, Hans Albrecht. 1986. Intermediate Quantum Mechanics.Third Edition.

Benjamin Cummings Publishing, New York.

Pauling, Wilson. 1935. Introduction to Quantum Mechanics With Application to Chemistry. McGRAW-HILL BOOK COMPANY: New York.

Schiff, Leonard, 1939, Quantum Mechanics, Second edition. McGRAW-HILL BOOK COMPANY: New York.

Soedojo Peter, 2000, Azas-azas Mekanika Analitik, Universitas Gajah Mada Press, Yogyakarta

Sokolov, Loskutov. 1966. Quantum Mechanics. Publishing House of the Ministry of Education of RSFSR, Moscow.

LAMPIRAN 1. Solui untuk persamaan yang bergantung terhadap

Dengan menuliskan kembali persamaan yang bergantung terhadap

1

Solusi dari persamaan ini adalah

2

dimana A adalah konstanta dan (bilangan imajiner). Fungsi gelombang harus memiliki sebuah nilai tunggal untuk nilai yang diberikan dan harus tidak berubah jika diubah dengan radians (karena hal ini akan menyebabkan kembali keposisi semula). Sehingga kondisi untuk syarat ini adalah

3

diperoleh

4

dengan menggunakan rumus Euler

5

diperoleh

6

dengan mengambil bagian realnya diperoleh

7

diperoleh

8

Parameter selanjutnya disebut sebagai Bilangan Kuantum Magnetik

Persamaan untuk adalah

9

Dengan melakukan substitusi

10

11

12

13

persamaan 11 dapat juga ditulis dalam bentuk

14

dengan mensubstitusikan persamaan – persamaan ini (10, 11, 12, 13, 14) kepersamaan (9) diperoleh

15

16

17

18

persamaan diatas akan berubah menjadi persamaan Legendre jika bernilai

19

dimana persamaan ini dipenuhi jika nilai

20

dengan

21

selanjutnya disebut Bilangan Kuantum Orbital . 3. Solusi untuk persamaan Radial atom hidrogen

22

dengan sedikit modifikasi

23

dimana bisa tidak bilangan bulat.

Untuk menyelesaikan persamaan diatas pertama harus diketahui sifat persamaan tersebut untuk nilai yang kecil. Potensial Coulomb dapat diabaikan

dibandingkan dengan “sentrifugal barrier” atau turunan kedua sehingga yang diambil hanya yang ada dalam tanda kurung. Untuk untuk .

24

sehingga diperoleh Diperoleh nilai

Nilai yang terakhir tersebut singular untuk Karenanya, untuk Dengan menuliskan dimana Persamaan menjadi

25

Untuk solusi “bound state” dituliskan untuk Untuk nilai pergeseran yang besar didominasi oleh turunan kedua karena untuk pergeseran yang kecil tidak memiliki peranan dalam , kerenanya

26

Sifat dari pergeseran yang besar kemudian menjadi

Dapat juga ditulis Dengan mensubstitusikan bentuk ini kedalam persamaan (22) diperoleh

27

Dengan menyederhanakanya

28

Dengan mengambil dalam bentuk polinom dalam ,

29

persamaan diferensial (28) menjadi

30

dengan mengumpulkan koefisien dari , memberikan hubungan rekursi dalam bentuk

31

dengan mengambil

32

Urutan menjadi polinom, untuk beberapa nilai . Sehingga diinginkan

33

Dengan mengingat kembali persamaan yang mengandung dapat ditemukaan persamaan kuantisasi untuk energi

34

35

dimana dan yang bersesuaian dengan

bersesuaian dengan bilangan kuantum bilangan utama. 3. Pembuktian (4.27) menjadi persamaan (4.280

36

37

38

39

40

Untuk lebih menyederhanakan persamaan ini, diandaikan

41

perlu diperhatikan bahwa meskipun dalam persamaan ini hadir kuantitas c, bukan berarti persamaan ini adalah kasus relativistik. Sekali lagi hal ini dimaksudkan agar persamaan lebih sederhana. Dengan mensubstitusikan persamaan (41) kepersamaan (40) diperoleh