Graf Jaringan GRAF DAN JARINGAN

12

II.1. Graf

Graf adalah kumpulan simpul atau verteks yang dihubungkan dengan garis atau busur. Definisi 2.1 Graf adalah himpunan busur dan simpul yang banyaknya berhingga dan busur- busurnya menghubungkan sebagian atau keseluruhan pasangan dari simpul- simpulnya. C.L. Liu Graf GV, E terdiri atas himpunan simpul yang dinyatakan dengan V = {v 1 ,v 2 , v 3 , ..., v n } dan himpunan busur yang dinyatakan dengan E = {e 1 , e 2 , e 3 , ..., e n } dengan e i = v i , v j merupakan busur yang menghubungkan simpul v i dan simpul v j . Dalam menggambarkan graf, simpul digambarkan dengan lingkaran kecil atau titik tebal dan busur digambarkan dengan garis, dan arah panah pada garis melambangkan arah dari garis tersebut. Nomor atau nama simpul dapat diletakkan di dalam lingkaran kecil atau di tepi titik tebal. Busur i,j disebut busur berarah jika terdapat suatu aliran dari simpul i menuju ke simpul j. Dalam hal ini simpul i disebut simpul awal, sumber atau pangkal dan simpul j disebut simpul akhir, ujung, tujuan, atau terminal dari busur i, j. Jika tidak terdapat aliran dari simpul i ke simpul j, maka busur i, j disebut busur tidak berarah. i j i j i j a. busur tak berarah b. busur berarah c. busur dua arah Gambar 2.1 Penulisan simpul dan busur dari graf G V, E yang digunakan seperti Gambar 2.1. Jika simpul s telah diberi nomor i maka cukup ditulis i, dan jika simpul s telah diberi nomor j, maka cukup ditulis simpul j. Demikian juga busur yang menghubungkan simpul i dan j cukup ditulis busur i,j.

II.2. Jaringan

Suatu jaringan G V, E, W terdiri atas himpunan simpul yang dinyatakan dengan V = {v 1 ,v 2 , v 3 , ..., v n } dan himpunan busur yang menghubungkan simpul- 13 simpul ∈ V dinyatakan dengan E = {e 1 , e 2 , e 3 , ..., e n } = {v i , v j : v i V ∈ } dan setiap busur pada jaringan diberikan bobot W. Dengan kata lain, jaringan merupakan suatu graf yang memiliki bobot pada setiap busurnya. Oleh karena itu, pada umumnya graf dinotasikan dengan G V, E dan jaringan dinotasikan dengan GV, E, W. Jaringan komunikasi jika dibuat dalam bentuk graf, maka simpul melambangkan pusat komunikasi dan busur melambangkan link komunikasi. Contoh : Perusahaan memproduksi l tanaman, P 1 , P 2, ..., P l yang dibutuhkan m outlets atau pasar M 1 , M 2, ..., M m . Komoditas khusus disimpan pada n gudang, W 1 , W 2, ..., W n . Dalam graf, busur melambangkan hubungan transportasi dan simpul melambangkan produksi tanaman, gudang dan pasar. Pada tiap busur, akan ditentukan jumlah maksimum komoditas yang dapat ditransport sepanjang hubungan dan harga transport 1 unit. Pada simpul mewakili: Tanaman P i , i = 1, 2, ..., l . Kita dapat menentukan bobot sebagai rata-rata produksi tanaman dan harga produksi per unit untuk P i . Gudang W j , j = 1, 2, ..., n. Kita dapat menentukan bobot sebagai kemampuan penyimpanan pada gudang W j dan harga penyimpanan satu unit per waktu. Pasar M k , k = 1, 2, ..., m, kita dapat menentukan bobot sebagai permintaan per waktu, dan harga penjualan komoditas. Pembahasan selanjutnya tentang seberapa jauh penggunaan graf sebagai model struktural. Sekarang, kita akan membahas beberapa persoalan khusus yang muncul. Persoalan Penghubung Sebuah jaringan komunikasi contohnya, jaringan telepon yang menghubungkan n pusat atau kota T 1, T 2 , ..., T n harus diinstall. Masing-masing pusat mampu untuk menerima dan menyalurkan informasi. Jadi dua pusat dapat berkomunikasi secara langsung maupun tidak langsung. Diberikan contoh n × n matriks C = [c ij ] di mana c ij menyatakan harga penginstallan 14 jaringan komunikasi contohnya, jaringan telepon antara pusat T i dan T j , disusun menjadi sebuah jaringan untuk mencapai dua tujuan berikut : i sedikitnya dua pusat yang dapat berkomunikasi, dan ii jumlah biaya instalasi adalah minimum. Berdasarkan Persoalan Penghubung di atas, jika n = 6, dan matriks biayanya adalah : T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 0 5 10 ∞ ∞ 3 5 0 8 4 10 ∞ 10 8 0 5 15 ∞ ∞ 4 5 0 13 7 ∞ 10 15 13 0 2 3 ∞ ∞ 7 2 0 Tabel 2.1 Graf yang digambarkan berdasarkan matriks di atas adalah pada Gambar 2.2. di bawah ini : T 1 5 T 2 10 8 3 10 4 T 3 T 6 15 7 5 2 13 T 5 T 4 Gambar 2.2 Biaya yang bertanda ∞ artinya pusat yang berhubungan tidak dapat berkomunikasi secara langsung, sehingga kita dapat menghilangkan busur tersebut dari graf kita. Persoalan Lintasan Terpendek Perhatian khusus ditujukan untuk menemukan rute terpendek antara pasangan pusat dalam sebuah jaringan. Contohnya, sebuah perusahaan bisnis besar dengan kantor pusat di New York mempunyai beberapa cabang utama di negara-negara seluruh dunia. Kantor pusat mengkoordinasi seluruh kegiatan operasi perusahaan, dan setiap hari seluruh informasi meliputi permintaan, 15 penawaran dan biaya harus diberikan dari kantor pusat ke kantor-kantor cabang. Informasi yang ada dikirimkan via teleks. Diberikan biaya pengiriman pesan melalui teleks antara dua perusahaan, dan ditentukan rute komunikasi termurah dari kantor pusat dan setiap kantor cabang lainnya. Perusahaan perbankan dengan kantor pusat di New York NY dan kantor cabang di Paris P, Zurich Z, Berlin B, Tokyo T, HongkongHK dan Sydney S. Setiap hari informasi penting meliputi permintaan, penawaran dan biaya harus diberikan dari kantor pusat ke kantor-kantor cabang. Informasi yang ada dikirimkan via teleks. Biaya pengiriman pesan antara dua kantor cabang diberikan dalam matriks di bawah ini : NY P Z B T HK S NY P Z B T HK S 0 8 10 12 10 15 20 8 0 2 1 10 10 10 10 2 0 3 12 12 15 12 1 3 0 10 10 10 10 10 12 10 0 3 5 15 10 12 10 3 0 5 20 10 15 10 5 5 0 Tabel 2.2 Graf yang digambarkan berdasarkan matriks di atas adalah pada Gambar 2.3. di bawah ini : 10 P 1 10 B 2 10 10 8 3 10 10 T 12 10 NY 20 5 15 3 10 S HK 5 Z 12 15 12 Gambar 2.3 Seperti contoh terdahulu, model graf ini memberikan himpunan semua hubungan yang mungkin dan permasalahannya adalah memilih sebuah 16 himpunan bagian dari himpunan ini yang menunjukkan bahwa jaringan yang ada sesuai dan jumlah biaya dari pengiriman informasi dari kantor pusat ke kantor cabang dapat diminimalkan. Persoalan Aliran Maksimum Persoalan dasar dimulai dengan menentukan jumlah aliran maksimum yang dapat dikirim antara pasangan pusat dalam jaringan. Sebagai contoh sebuah jaringan telepon menghubungkan n pusat sambungan telepon T 1, T 2 , ..., T n . Jumlah maksimum panggilan langsung yang disebut c ij dapat dibuat per unit waktu antara T i dan T j , tergantung jumlah saluran yang menghubungkan dua pusat. Setiap pusat tentu saja dapat menerima dan mengirim panggilan. Diberikan matriks C = [c ij ]. Permasalahannya adalah menentukan jumlah panggilan maksimum yang dapat terjadi antara dua pusat yang diberikan. Sesuai contoh jika n = 6 dan kapasitas matriks C diberikan seperti di bawah ini                     = 50 80 50 20 100 20 80 20 20 60 100 20 20 80 20 60 20 40 80 40 C Jaringan yang ada dapat digambarkan sebagai berikut : C 2 60 C 4 40 20 80 C 1 20 20 C 6 80 20 50 100 C 3 C 5 Gambar 2.4 Perkembangan teori graf diawali dari teka-teki puzzle. Salah satu teka- tekinya adalah masalah jembatan Konigsberg. Solusi dari teka-teki ini mengilhami beberapa konsep dasar dalam teori graf. 17 Sebuah rencana kota tua Konigsberg sekarang Kaliningrad di Prussia Timur dan sungai Pregel sekarang Pregolya dengan tujuh jembatan perentang ditunjukkan pada Gambar 2.5. Hal ini menunjukkan bahwa masyarakat Konigsberg dapat menghibur diri mereka dengan mengelilingi kota dan menyeberangi tujuh jembatan tepat satu kali. Pada tahun 1736 Leonhard Euler, seorang matematikawan dari Swiss, dalam artikel perdananya mengembangkan sebuah metode untuk menyelesaikan persoalan umum ini. Gambar 2.5 Metode Euler menjelaskan bahwa setiap daratan dinyatakan dengan simpul dan setiap jembatan dinyatakan dengan busur yang menghubungkan simpul-simpul. Berdasarkan informasi tersebut, dapat dibuat graf seperti di bawah ini : C A B D Gambar 2.6 Hal inilah yang membuat hasil kerja Euler memberikan konsep penting dalam “graf Eulerian” yang muncul dalam kehidupan modern sekarang. Aplikasi hal ini dalam teori graf seperti pengiriman surat, pengeplotan mesin dan masih banyak lagi. Aplikasi ini akan dibahas dalam Bab 6. A C D B 18 LATIHAN SOAL 1. Sebuah perusahaan minuman mempunyai 3 jenis minuman B 1 , B 2 , dan B 3 . Masing-masing minuman mempunyai kapasitas produksi 5000 karton per bulan. Perusahaan mempunyai outlet di Louisville M 1 , Plains M 2 , Pittsburg M 3 dan St. Louis M 4 yang membutuhkan 1.500, 3.500, 2.000, dan 2.500 karton per bulan. Biaya pengiriman per 100 karton minuman B i , i = 1, 2, 3, ke outlet-outlet M j , j = 1, 2, 3, 4 diberikan dalam matriks di bawah ini : M 1 M 2 M 3 M 4           25 20 35 12 17 18 25 8 20 15 30 5 3 2 1 B B B a. Gambarkan graf berbobot untuk menunjukkan situasi di atas b. Permasalahan optimasi apa yang akan muncul ? 2. Seorang penjual koran bertanggung jawab dalam mengirimkan koran-koran ke rumah-rumah yang ditunjukkan dalam map ini pada sore hari. Karena kemacetan lalu lintas, dia tidak dapat menyeberang jalan kembali dan tidak dapat mengirimkan koran ke rumah-rumah di seberang jalan. Jadi ia harus berjalan sebanyak dua kali. Apakah mungkin bagi penjual koran untuk menentukan rute terpendek agar ia dapat berjalan di jalan itu tepat hanya satu kali ? 19 3. Air dikirimkan dari sumber penampungan utama D ke sebuah penampungan cabang lainnya, R, melalui sebuah saluran pipa yang terdiri atas 5 stasiun pemompa P 1 , P 2 , ..., P 5 . Rata-rata air yang dialirkan antara berbagai stasiun per hari dalam jutaan liter disajikan dalam tabel di bawah ini. D P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 R                       250 200 150 180 160 200 100 170 200 230 5 4 3 2 1 R P P P P P D Permasalahannya adalah untuk memaksimumkan aliran air per hari dari sumber penampungan utama ke penampungan cabang lainnya. a Gambarkan jaringannya b Dimisalkan sebuah penampungan R` ditambahkan ke dalam jaringan. Stasiun pemompa P 3 , P 4 dan P 5 dihubungkan ke R` dengan saluran pipa yang mempunyai kapasitas 50, 75, dan 100 juta liter per hari. Bagaimana perubahan yang terjadi pada jaringan? Permasalahan optimasi apa yang muncul ? c Dimisalkan pompa P 4 mempunyai kapasitas maksimum 280 juta liter per hari dan kapasitas pipa tidak berubah. Bagaimana jaringan dalam soal a akan berubah ? 4. Perpustakaan universitas dikelompokkan ke dalam empat fasilitas, dengan nama Catalog C, Photocopy P, Jurnal J dan Buku baru B. Sebuah investigasi menjelaskan permintaan harian, dan jumlah peredaran setiap pasangan fasilitas : E C P J B                 − − − − − 26 19 42 32 26 64 125 80 19 64 77 4 42 125 77 200 32 80 4 200 B J P C E 20 E menyatakan jalan masuk. Diputuskan untuk mengatur fasilitas-fasilitas ke dalam bentuk jalan, dengan tujuan memaksimumkan jumlah nilai pasangan fasilitas yang berdampingan. Gambarkan model graf untuk persoalan ini 5. Sebuah universitas mensponsori seminar setengah hari tentang Optimasi Kombinatorial. Ada tujuh pembicara, masing-masing dari mereka berbicara selama 1 jam. Seminar ini memerlukan waktu lebih dari 4 jam dan oleh karena itu beberapa pembicara harus menjadwalkan waktunya pada jam yang sama. Matriks berikut memberikan hubungan antara para pembicara dalam seminar. “1” menunjukkan pembicara tidak dapat menjadwalkan pada waktu yang sama dan “-“ menunjukkan tidak ada hubungan. 1 2 3 4 5 6 7                       − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 6 5 4 3 2 1 a. Gambarkan matriks di atas ke dalam bentuk graf b. Dapatkan seminar diatur dalam waktu yang spesifik ? 21

BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF