2
a a b c
d e a
b b
e c
d e
c d a b
Gambar 1.1 Hasil pol yang diadakan
Sebagai ilustrasi lain, misalkan sejumlah kota dihubungkan oleh jalan- jalan raya. Bila diberikan peta jalan-jalan raya tersebut, kita mungkin ingin
mengetahui apakah ada rute jalan raya antara kedua kota pada peta tersebut. Dalam berbagai masalah yang berkaitan dengan benda-benda diskret dan relasi
biner, representasi grafik seringkali merupakan bentuk penyajian yang memudahkan. Hal ini menuntun kita pada pembelajaran tentang teori graf, suatu
pembelajaran tentang aplikasi dari Matematika Diskret.
I.2. Penerapan Graf Dalam Persoalan Matematika Diskret
Graf dapat didefinisikan sebagai kumpulan simpul-simpul yang dihubungkan dengan garis. Simpul biasa dinyatakan dengan istilah verteks dan
garis biasa dinyatakan dengan istilah edges atau busur. Contoh :
1.1 Struktur kimia adalah kumpulan atom-atom yang terikat menurut aturan
ikatan kimia tertentu. Sebagai contoh, CH
4
Metana merupakan ikatan kimia yang terdiri dari 1 atom C dan 4 atom H, sehingga terbentuk ikatan seperti di bawah ini.
H H C H
H CH
4
Metana Model Graf
Gambar 1.2
3 Dari ikatan yang ada pada Gambar 1.2, dapat diubah ke dalam model graf
seperti gambar di sampingnya. 1.2
Jaringan komunikasi adalah kumpulan beberapa pusat atau stasiun yang dapat berkomunikasi secara langsung.
Subscriber Group Switching
Centre Local exchange
Gambar 1.3 Jaringan Telepon
Switching Center Model Graf
Gambar 1.4 Jaringan Switching
1.3 Jaringan lalu lintas adalah kumpulan jalan yang saling berhubungan. Jika
digambar dalam bentuk graf, simpul melambangkan persimpangan dan
busur melambangkan arah lalu lintas.
4 Contoh :
Gambar 1.5 Jaringan Lalu Lintas
Gambar 1.6 Model Graf Jaringan Lalu Lintas
1.4 Sebuah papan sirkuit adalah kumpulan komponen yang dihubungkan
dengan sebuah lintasan konduktor. Jika digambar dalam bentuk graf, simpul melambangkan simpangan dan busur melambangkan terminal dari
komponen. Model alternatif lainnya adalah simpul melambangkan komponen dan busur melambangkan lintasan konduktor antara terminal-
terminal dalam komponen.
Gambar 1.7 Sirkuit dan Model Grafnya
5 Contoh-contoh di atas merupakan beberapa contoh tentang aplikasi graf
dalam sistem model yang nyata. Dalam setiap persoalan, graf memberikan sebuah sruktur model tentang sistem yang kita pelajari, menjelaskan interaksi dan
hubungan antara berbagai komponen dalam sistem. Sedangkan dalam berbagai persoalan, masalah yang sering muncul dalam pelaksanaannya adalah
mendapatkan sebuah penyusunan yang memenuhi semua permintaan, dan optimal menurut beberapa kriteria seperti harga, pengeluaran atau penampilan.
Masalah dasar yang sering muncul pada Matematika Diskret yaitu : 1.
Masalah eksistensi Apakah sedikitnya ada satu penyusunan dalam tipe khusus ?
2. Masalah perhitungan
Berapa banyak penyusunan dari tipe khusus yang ada ? 3.
Masalah optimisasi Diperoleh dengan memilih bentuk dari semua penyusunan yang mungkin
untuk tipe yang pasti dan terbaik menurut beberapa kriteria. Kita dapat mengilustrasikan masalah-masalah ini ke dalam contoh berikut :
Contoh 1.5 :
Masalah Alokasi :
Pada permasalahan pengalokasian frekuensi pengangkutan ke stasiun pengirim, dimisalkan ada m saluran frekuensi yang mungkin digunakan oleh n
stasiun pengirim. Stasiun yang dialokasikan dekat dengan stasiun yang lain dan tidak dapat menggunakan saluran yang sama tanpa menyebabkan percampuran.
Jadi, diberikan dua stasiun yang dapat atau tidak dapat dinyatakan bahwa kedua stasiun itu menggunakan saluran yang sama. Sejumlah persoalan terjadi.
Masalah Eksistensi :
Apakah mungkin untuk mengalokasikan sebuah saluran pada setiap gardu di mana untuk dua stasiun yang berbeda saluran harus mempunyai saluran yang
berbeda? Jika ya, bagaimana cara mendapatkan alokasi tersebut ?
Masalah Perhitungan :
Berapa banyak alokasi yang sesuai ?
6
Masalah Optimasi :
Berapa jumlah saluran minimum yang memenuhi kondisi alokasi ? Bagaimana kita dapat memodelkan situasi ini ? Sebuah model graf dapat
dikembangkan sebagai berikut. Setiap stasiun dihubungkan oleh simpul dan 2 simpul dihubungkan oleh 1 busur jika dan hanya jika stasiun yang berhubungan
tidak menggunakan saluran yang sama. Sebagai contoh, dimisalkan ada 5 stasiun dan informasi yang ada
dinyatakan dalam hubungan matriks berikut. 1 2 3 4 5
1 2
3 4
5 - 1 0 0 1
1 - 1 1 0 0 1 - 1 1
0 1 1 - 1 1 0 1 1 -
Tabel 1.1
1 menunjukkan adanya hubungan Gardu tidak bisa diberikan pada channel yang sama dan
0 menunjukkan tidak ada hubungan. Dari informasi yang ada, dapat dibuat model graf seperti di bawah ini.
1
5 2
4 3
Gambar 1.8
Penggambaran matriks konflik yang ada ke dalam bentuk graf tentu saja
tidak menyelesaikan masalah. Tetapi, aspek visual dari model graf tersebut
7 memberikan beberapa pandangan. Sebagai contoh, pembuatan segitiga ke dalam
bentuk graf, menunjukkan bahwa kita membutuhkan sedikitnya tiga saluran yang berbeda. Dapatkah kita membuat alokasi, jika kita hanya mempunyai tiga saluran?
Bagaimana kita menyelesaikan masalah eksistensi jika kita hanya punya m saluran? Sebuah alokasi mungkin terjadi hanya jika kita dapat mempartisi simpul
dalam graf menjadi m himpunan di mana tidak ada dua simpul dalam himpunan yang sama terhubung oleh sebuah busur. Hal inilah yang membawa kita ke konsep
pewarnaan. Sebuah graf dikatakan Graf k-colourable jika simpul-simpul dalam graf
dapat diwarnai dengan syarat 2 simpul yang adjacent berdampingan diwarnai berbeda. Sebagai contoh Graf G
i
, i = 1, 2, 3, 4, ... yang disajikan ke dalam Gambar 1.8 mempunyai i-pewarnaan.
G
1
G
2
G
3
G
4
Gambar 1.9
Sebuah Combinatorial Design merupakan cara memilih himpunan bagian dari suatu himpunan berhingga jika dan hanya jika beberapa kondisi khusus
terpenuhi. Kondisi khusus ini disebut dengan mengeliminasi bias. Contoh 1.6 :
Sebuah percobaan yang dilakukan untuk menguji efek samping dari 5 jenis obat terhadap 5 subyek.
Dimisalkan obat-obat yang ada diberi label 1,2,3,4,5 dan subyeknya diberi nama A,B,C,D,E.
Kemungkinan 1 : A B C D E 1 2 3 4 5
Subyek A diberi obat berlabel 1, subyek B diberi obat berlabel 2, dan seterusnya.
Apa yang salah dengan kemungkinan 1 ?
8 Beberapa subyek mungkin alergi terhadap obat tertentu sehingga hasilnya akan
bias. Kemungkinan 2 : Memberi setiap subyek setiap jenis obat, 5 hari berturut-turut.
HARI Senin
Selasa Rabu Kamis Jumat A
1 2
3 4
5 B
1 2
3 4
5 C
1 2
3 4
5 D
1 2
3 4
5 S
U B
Y E
K E
1 2
3 4
5
Tabel 1.2
Apakah solusi ini benar ? Hasilnya dapat mengakibatkan bias, karena : i
Hari-hari tertentu, obat diberikan Tiap hari sama obat ii
Efek dari obat pertama dapat mempengaruhi efek obat terakhir Bagaimana cara menghilangkan bias ?
Untuk menghilangkan bias, tidak ada 2 subyek yang mendapatkan jenis obat yang sama pada hari yang sama. Jadi muncul tepat 1 kali pada setiap baris
dan kolom. HARI
Senin Selasa Rabu Kamis Jumat
A 1
2 3
4 5
B 2
3 4
5 1
C 3
4 5
1 2
D 4
5 1
2 3
S U
B Y
E K
E 5
1 2
3 4
Tabel 1.3
Inilah solusi yang terbaik. Sejumlah persoalan akan timbul, seperti : 1.
Apakah solusinya tunggal ? 2.
Apa yang terjadi, jika kita hanya punya 4 subyek ? Bentuk matriks yang diberikan di atas dapat disebut dengan istilah Latin
Square. Latin square didefinisikan sebagai suatu bentuk matriks di mana antara
satu baris dan satu kolom tidak ada yang sel yang sama.
9
LATIHAN SOAL
1. Gambarkan sebuah graf yang mewakili setiap komponen kimia berikut
a
H H
H H
H C C
C C H
H H
H H
C
4
H
10
Butana b
H
H C
H H
H H C
C C
H H
H H
C
4
H
10
Iso-butane
Susunan di atas mempunyai komposisi yang sama tetapi berbeda bentuk. Dapatkah kamu menjelaskan mengapa hal ini dapat terjadi ?
2. Untuk masing-masing graf di bawah ini, tentukan minimum warna yang
dibutuhkan untuk mewarnai simpul-simpul dibawah ini sehingga simpul yang berdampingan dapat diwarnai berbeda.
a b
c
10 3.
Tentukan Latin Square dengan order : a
2 b
3 c
4
4. Dua Latin Square A = a
ij
dan B = b
ij
dari n order yang sama dikatakan ortogonal jika n
2
order yang berpasangan a
ij
, b
ij
semuanya berbeda. Tentukan sepasang Latin Square ortogonal order 3
11
BAB II GRAF DAN JARINGAN
