Pendugaan parameter model dinamik dengan metode robust kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN METODE
ROBUST KUADRAT TERKECIL TERTIMBANG DAN
SIMPANGAN MUTLAK
Oleh :
LISA TANIKA
G54102049
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIA N BOGOR
2006
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN METODE
ROBUST KUADRAT TERKECIL TERTIMBANG DAN
SIMPANGAN MUTLAK
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut P ertanian Bogor
Oleh :
LISA TANIKA
G54102049
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
RINGKASAN
LISA TANIKA, Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust Kuadrat Terkecil
Tertimbang dan Simpangan Mutlak. Dibimbing oleh N. K. KUTHA ARDANA dan I G. PUTU
PURNABA.
Misalkan diketahui segugus data yang mengandung pencilan dan representasi model
dinamiknya maka secara umum hasil pendugaan parameter model tersebut dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil kurang memuaskan. Hal tersebut karena metode kuadrat terkecil sangat
sensitif dengan keberadaan pencilan. Jadi perlu dicari metode lain yang lebih tahan dengan
keberadaan pencilan. Metode tersebut adalah metode robust. Ada beberapa jenis metode robust
antara lain metode kuadrat terkecil tertimbang dan metode simpangan mutlak.
Setiap amatan pada metode kuadrat terkecil diberi penimbang yang sama. Sedangkan pada
metode kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak, setiap amatan diberi penimbang sesuai
dengan besar sisaannya. Semakin besar sisaannya maka penimbang yang diberikan akan semakin
kecil. Karena itulah metode kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak lebih tahan
terhadap pencilan.
Pendugaan parameter metode kuadrat terkecil, kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan
mutlak dari kedua model dalam tulisan ini diimplementasikan ke dalam pemprograman fungsional
berbasis sistem aljabar komputer seperti Mathematica.
Model yang digunakan untuk mengkaji ket iga metode pendugaan parameter tersebut adalah
model logistik dan model SEI. Hasil yang didapat adalah grafik dengan parameter dugaan metode
robust dari kedua model akan mengikuti tebaran data secara umum. Selain itu sisaan relatif yang
didapat menggunakan metode robust juga lebih terkonsentrasi dibandingkan metode kuadrat
terkecil. Hal tersebut memperlihatkan bahwa metode robust lebih tahan terhadap pencilan
dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil.
Judul
Nama
NIM
: Pendugaan Parame ter Model Dinamik dengan Metode Robust
Kuadrat Terkecil Tertimbang dan Simpangan Mutlak
: Lisa Tanika
: G54102049
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc.
NIP. 131 842 412
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP. 131 878 945
Mengetahui,
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.
NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus : …………………..
PRAKATA
Segenap puji dan syukur penulis ucapkan atas rahmat Tuhan Yang Maha Esa sehingga
penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Penulisan tugas akhir ini merupakan salah satu syarat
untuk memperoleh gelar sarjana di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan alam, Institut Pertanian Bogor.
Pada kesempatan ini, penulis mengucapakan terima kasih kepada Bapak Ir. N. K. Kutha
Ardana, M.Sc selaku pembimbing I dan Bapak Dr. Ir. I G. Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing
II atas segala bantuan dan arahannya selama penyusunan tugas akhir ini. Penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno selaku dosen penguji pada saat
sidang tugas akhir yang telah memberikan saran–sarannya. Selain itu juga kepada Papa, Mama,
dan Adik yang selalu mendukung dengan kasih sayang. Tidak lupa juga penulis mengucapkan
terima kasih kepada teman–teman Matematika ’39, KMBA, dan KMBB ’02 serta kepada semua
pihak yang telah memberikan keceriaan dan kerjasamanya.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan di dalam penulisan tugas akhir ini seperti
kata pepatah ”Tak ada gading yang tak retak ”, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran
serta kritik dari semua pihak. Semoga tugas akhir ini dapat menjadi informasi yang bermanfaat
bagi semua pihak yang membacanya.
.
Bogor, 16 Mei 2006
Penulis
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Semarang tanggal 24 Desember 1983 sebagai putri pertama dari tiga
bersaudara pasangan Linggo Sapto dan Hesti Kusumawati.
Penulis memulai pendidikan di SD bernardus Semarang, kemudian pada tahun 1999
lulus dari SLTP Domenico Savio Semarang, dan melanjutkan ke SMU Sedes Sapientiae
Semarang dan lulus pada tahun 2002.
Penulis diterima sebagai mahasiswa IPB tahun 2002 selalui jalur SPMB di Departemen
Matematika. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa
Matematika IPB sebagai anggota departemen kaderisasi pada tahun 2003/2004 Selain itu penulis
juga aktif dalam Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Keluarga Mahasiswa Buddhis Adhitthana IPB
tahun 2003 dan 2004. Penulis juga pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus II
tahun 2004.
DAFTAR ISI
Halaman
PRAKATA ...........................................................................................................................................
RIWAYAT HIDUP ............................................................................................................................
DAFTAR ISI ........................................................................................................................................
DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................................................
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................................................
DAFTAR TABEL ...............................................................................................................................
I PENDAHULUAN .......................................................................................................................
1.1. Latar Belakang .............................................................................................................
1.2 Tujuan penulisan .........................................................................................................
II LANDASAN TEORI ..................................................................................................................
2.1 Sistem Persamaan Diferensial ...................................................................................
2.2 Solusi Sistem Persamaan Diferensial ......................................................................
2.3 Matriks Hessian ...........................................................................................................
2.4 Peminimuman Fungsi .................................................................................................
2.5 Pencilan .........................................................................................................................
2.6 Metode Kuadrat Terkecil ...........................................................................................
2.7 Metode Robust .............................................................................................................
2.8 Ukuran Akurasi Model ...............................................................................................
III MODEL DAN DATA ................................................................................................................
3.1 Model ............................................................................................................................
3.2 Data ...............................................................................................................................
IV METODE ANALISIS ................................................................................................................
V PROSEDUR PENDUGAAN PARAMETER ............................................................................
5.1 Prosedur Pendugaan Parameter ................................................................................
5.2 Implementasi Dengan Mathematica .......................................................................
VI HASIL DAN PERBANDINGAN ANTAR METODE ........................................................
6.1 Hasil ..............................................................................................................................
6.1.1 Hasil Model Logistik .....................................................................................
6.1.2 Hasil Model SEI .............................................................................................
6.2 Perbandingan Antar Metode ....................................................................................
BAB VII SIMPULAN ..........................................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................................................
LAMPIRAN .........................................................................................................................................
1
1
1
1
5
5
6
7
7
7
8
9
9
9
10
12
14
15
16
DAFTAR LAMPIRAN
Hal aman
Lampiran 1 : Teknik Pencarian Garis ..............................................................................................
Lampiran 2 : Pengaruh Jumlah dan Letak Pencilan
.........................................................
Lampiran 3 : Diagram Kotak ............................................................................................................
Lampiran 4 : Implementasi Pendugaan Perameter Model Dinamik dengan Mathematica .....
Lampiran 4 : Pendugaan Parameter Model Logistik ........................................................................
Lampiran 5 : Pendugaan Parameter Model SEI .............................................................................
15
16
17
18
19
25
DAFTAR GAMBAR
Halaman
: Komponen – komponan data amatan yi ...................................................................
: Skema model SEI .........................................................................................................
: Skema alur metode analisis ........................................................................................
: Tebaran data hipotetik model logistik ......................................................................
: Grafik Y(t) dengan parameter dugaan menggunakan metode kuadrat terkecil ..
: Grafik Y(t) dengan parameter dugaan menggunakan metode kuadrat terkecil
tertimbang .....................................................................................................................
Gambar 7 : Grafik Y(t) dengan parameter dugaan menggunakan metode simpangan
Mutlak ............................................................................................................................
Gambar 8 : Tebaran data proporsi populasi kelompok rentan ..................................................
Gambar 9 : Tebaran data proporsi populasi kelompok tak terlindungi ...................................
Gambar 10 : Tebaran data proporsi populasi kelompok terinfeksi .............................................
Gambar 11 : Grafik S(t) dengan metode kuadrat terkecil pada kelompok rentan ....................
Gambar 12 : Grafik E(t) dengan metode kuadrat terkecil pada kelompok tak terlindungi ....
Gambar 13 : Grafik I(t) dengan metode kuadrat terkecil pada kelompok terinfeksi ...............
Gambar 14 : Grafik S(t) dengan metode kuadrat terkecil tertimbang pada kelompok
rentan ..............................................................................................................................
Gambar 15 : Grafik E(t) dengan metode kuadrat terkecil tertimbang pada kelompok
tak terlindungi ...............................................................................................................
Gambar 16 : Grafik I(t) dengan metode kuadrat terkecil tertimbang pada kelompok
terinfeksi ........................................................................................................................
Gambar 17 : Grafik S(t) dengan metode simpangan mutlak pada kelompok rentan ...............
Gambar 18 : Grafik E(t) dengan metode simpangan mutlak pada kelompok tak terlindungi
Gambar 19 : Grafik I(t) dengan metode simpangan mutlak pada kelompok terinfeksi ..........
Gambar 20 : Grafik Y(t) menggunakan ketiga metode untuk model logistik ...........................
Gambar 21 : Grafik S(t) menggunakan ketiga metode pada kelompok rentan .........................
Gambar 22 : Grafik E(t) menggunakan ketiga metode pada kelompok tak terlindungi .........
Gambar 23 : Grafik I(t) menggunakan ketiga metode pada kelompok terinfeksi ....................
Gambar 24 : Diagram kotak ..............................................................................................................
Gambar 25 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model logistik ......................................
Gambar 26 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model SEI untuk kelompok rentan .
Gambar 27 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model SEI untuk kelompok
tak terlindungi ...............................................................................................................
Gambar 28 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model SEI untuk kelompok
terinfeksi ........................................................................................................................
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
Gambar 4
Gambar 5
Gambar 6
16
17
18
19
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
1 : Parameter dugaan untuk masing – masing metode model logistik ............................
2 : Parameter dugaan untuk masing – masing metode model SEI ................................
3 : MRE, R 12, RMSE untuk metode kuadrat terkecil model SEI .....................................
4 : MRE dan R22 untuk metode kuadrat terkecil tertimbang model SEI .........................
5 : MRE dan MAE untuk metode simpangan mutlak model SEI ....................................
16
17
18
19
25
ROBUST KUADRAT TERKECIL TERTIMBANG DAN
SIMPANGAN MUTLAK
Oleh :
LISA TANIKA
G54102049
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIA N BOGOR
2006
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN METODE
ROBUST KUADRAT TERKECIL TERTIMBANG DAN
SIMPANGAN MUTLAK
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut P ertanian Bogor
Oleh :
LISA TANIKA
G54102049
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
RINGKASAN
LISA TANIKA, Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust Kuadrat Terkecil
Tertimbang dan Simpangan Mutlak. Dibimbing oleh N. K. KUTHA ARDANA dan I G. PUTU
PURNABA.
Misalkan diketahui segugus data yang mengandung pencilan dan representasi model
dinamiknya maka secara umum hasil pendugaan parameter model tersebut dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil kurang memuaskan. Hal tersebut karena metode kuadrat terkecil sangat
sensitif dengan keberadaan pencilan. Jadi perlu dicari metode lain yang lebih tahan dengan
keberadaan pencilan. Metode tersebut adalah metode robust. Ada beberapa jenis metode robust
antara lain metode kuadrat terkecil tertimbang dan metode simpangan mutlak.
Setiap amatan pada metode kuadrat terkecil diberi penimbang yang sama. Sedangkan pada
metode kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak, setiap amatan diberi penimbang sesuai
dengan besar sisaannya. Semakin besar sisaannya maka penimbang yang diberikan akan semakin
kecil. Karena itulah metode kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak lebih tahan
terhadap pencilan.
Pendugaan parameter metode kuadrat terkecil, kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan
mutlak dari kedua model dalam tulisan ini diimplementasikan ke dalam pemprograman fungsional
berbasis sistem aljabar komputer seperti Mathematica.
Model yang digunakan untuk mengkaji ket iga metode pendugaan parameter tersebut adalah
model logistik dan model SEI. Hasil yang didapat adalah grafik dengan parameter dugaan metode
robust dari kedua model akan mengikuti tebaran data secara umum. Selain itu sisaan relatif yang
didapat menggunakan metode robust juga lebih terkonsentrasi dibandingkan metode kuadrat
terkecil. Hal tersebut memperlihatkan bahwa metode robust lebih tahan terhadap pencilan
dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil.
Judul
Nama
NIM
: Pendugaan Parame ter Model Dinamik dengan Metode Robust
Kuadrat Terkecil Tertimbang dan Simpangan Mutlak
: Lisa Tanika
: G54102049
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc.
NIP. 131 842 412
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP. 131 878 945
Mengetahui,
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.
NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus : …………………..
PRAKATA
Segenap puji dan syukur penulis ucapkan atas rahmat Tuhan Yang Maha Esa sehingga
penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Penulisan tugas akhir ini merupakan salah satu syarat
untuk memperoleh gelar sarjana di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan alam, Institut Pertanian Bogor.
Pada kesempatan ini, penulis mengucapakan terima kasih kepada Bapak Ir. N. K. Kutha
Ardana, M.Sc selaku pembimbing I dan Bapak Dr. Ir. I G. Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing
II atas segala bantuan dan arahannya selama penyusunan tugas akhir ini. Penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno selaku dosen penguji pada saat
sidang tugas akhir yang telah memberikan saran–sarannya. Selain itu juga kepada Papa, Mama,
dan Adik yang selalu mendukung dengan kasih sayang. Tidak lupa juga penulis mengucapkan
terima kasih kepada teman–teman Matematika ’39, KMBA, dan KMBB ’02 serta kepada semua
pihak yang telah memberikan keceriaan dan kerjasamanya.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan di dalam penulisan tugas akhir ini seperti
kata pepatah ”Tak ada gading yang tak retak ”, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran
serta kritik dari semua pihak. Semoga tugas akhir ini dapat menjadi informasi yang bermanfaat
bagi semua pihak yang membacanya.
.
Bogor, 16 Mei 2006
Penulis
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Semarang tanggal 24 Desember 1983 sebagai putri pertama dari tiga
bersaudara pasangan Linggo Sapto dan Hesti Kusumawati.
Penulis memulai pendidikan di SD bernardus Semarang, kemudian pada tahun 1999
lulus dari SLTP Domenico Savio Semarang, dan melanjutkan ke SMU Sedes Sapientiae
Semarang dan lulus pada tahun 2002.
Penulis diterima sebagai mahasiswa IPB tahun 2002 selalui jalur SPMB di Departemen
Matematika. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa
Matematika IPB sebagai anggota departemen kaderisasi pada tahun 2003/2004 Selain itu penulis
juga aktif dalam Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Keluarga Mahasiswa Buddhis Adhitthana IPB
tahun 2003 dan 2004. Penulis juga pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus II
tahun 2004.
DAFTAR ISI
Halaman
PRAKATA ...........................................................................................................................................
RIWAYAT HIDUP ............................................................................................................................
DAFTAR ISI ........................................................................................................................................
DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................................................
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................................................
DAFTAR TABEL ...............................................................................................................................
I PENDAHULUAN .......................................................................................................................
1.1. Latar Belakang .............................................................................................................
1.2 Tujuan penulisan .........................................................................................................
II LANDASAN TEORI ..................................................................................................................
2.1 Sistem Persamaan Diferensial ...................................................................................
2.2 Solusi Sistem Persamaan Diferensial ......................................................................
2.3 Matriks Hessian ...........................................................................................................
2.4 Peminimuman Fungsi .................................................................................................
2.5 Pencilan .........................................................................................................................
2.6 Metode Kuadrat Terkecil ...........................................................................................
2.7 Metode Robust .............................................................................................................
2.8 Ukuran Akurasi Model ...............................................................................................
III MODEL DAN DATA ................................................................................................................
3.1 Model ............................................................................................................................
3.2 Data ...............................................................................................................................
IV METODE ANALISIS ................................................................................................................
V PROSEDUR PENDUGAAN PARAMETER ............................................................................
5.1 Prosedur Pendugaan Parameter ................................................................................
5.2 Implementasi Dengan Mathematica .......................................................................
VI HASIL DAN PERBANDINGAN ANTAR METODE ........................................................
6.1 Hasil ..............................................................................................................................
6.1.1 Hasil Model Logistik .....................................................................................
6.1.2 Hasil Model SEI .............................................................................................
6.2 Perbandingan Antar Metode ....................................................................................
BAB VII SIMPULAN ..........................................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................................................
LAMPIRAN .........................................................................................................................................
1
1
1
1
5
5
6
7
7
7
8
9
9
9
10
12
14
15
16
DAFTAR LAMPIRAN
Hal aman
Lampiran 1 : Teknik Pencarian Garis ..............................................................................................
Lampiran 2 : Pengaruh Jumlah dan Letak Pencilan
.........................................................
Lampiran 3 : Diagram Kotak ............................................................................................................
Lampiran 4 : Implementasi Pendugaan Perameter Model Dinamik dengan Mathematica .....
Lampiran 4 : Pendugaan Parameter Model Logistik ........................................................................
Lampiran 5 : Pendugaan Parameter Model SEI .............................................................................
15
16
17
18
19
25
DAFTAR GAMBAR
Halaman
: Komponen – komponan data amatan yi ...................................................................
: Skema model SEI .........................................................................................................
: Skema alur metode analisis ........................................................................................
: Tebaran data hipotetik model logistik ......................................................................
: Grafik Y(t) dengan parameter dugaan menggunakan metode kuadrat terkecil ..
: Grafik Y(t) dengan parameter dugaan menggunakan metode kuadrat terkecil
tertimbang .....................................................................................................................
Gambar 7 : Grafik Y(t) dengan parameter dugaan menggunakan metode simpangan
Mutlak ............................................................................................................................
Gambar 8 : Tebaran data proporsi populasi kelompok rentan ..................................................
Gambar 9 : Tebaran data proporsi populasi kelompok tak terlindungi ...................................
Gambar 10 : Tebaran data proporsi populasi kelompok terinfeksi .............................................
Gambar 11 : Grafik S(t) dengan metode kuadrat terkecil pada kelompok rentan ....................
Gambar 12 : Grafik E(t) dengan metode kuadrat terkecil pada kelompok tak terlindungi ....
Gambar 13 : Grafik I(t) dengan metode kuadrat terkecil pada kelompok terinfeksi ...............
Gambar 14 : Grafik S(t) dengan metode kuadrat terkecil tertimbang pada kelompok
rentan ..............................................................................................................................
Gambar 15 : Grafik E(t) dengan metode kuadrat terkecil tertimbang pada kelompok
tak terlindungi ...............................................................................................................
Gambar 16 : Grafik I(t) dengan metode kuadrat terkecil tertimbang pada kelompok
terinfeksi ........................................................................................................................
Gambar 17 : Grafik S(t) dengan metode simpangan mutlak pada kelompok rentan ...............
Gambar 18 : Grafik E(t) dengan metode simpangan mutlak pada kelompok tak terlindungi
Gambar 19 : Grafik I(t) dengan metode simpangan mutlak pada kelompok terinfeksi ..........
Gambar 20 : Grafik Y(t) menggunakan ketiga metode untuk model logistik ...........................
Gambar 21 : Grafik S(t) menggunakan ketiga metode pada kelompok rentan .........................
Gambar 22 : Grafik E(t) menggunakan ketiga metode pada kelompok tak terlindungi .........
Gambar 23 : Grafik I(t) menggunakan ketiga metode pada kelompok terinfeksi ....................
Gambar 24 : Diagram kotak ..............................................................................................................
Gambar 25 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model logistik ......................................
Gambar 26 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model SEI untuk kelompok rentan .
Gambar 27 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model SEI untuk kelompok
tak terlindungi ...............................................................................................................
Gambar 28 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model SEI untuk kelompok
terinfeksi ........................................................................................................................
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
Gambar 4
Gambar 5
Gambar 6
16
17
18
19
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
1 : Parameter dugaan untuk masing – masing metode model logistik ............................
2 : Parameter dugaan untuk masing – masing metode model SEI ................................
3 : MRE, R 12, RMSE untuk metode kuadrat terkecil model SEI .....................................
4 : MRE dan R22 untuk metode kuadrat terkecil tertimbang model SEI .........................
5 : MRE dan MAE untuk metode simpangan mutlak model SEI ....................................
16
17
18
19
25