Pendugaan parameter distribusi rayleigh dengan metode kuadrat terkecil dan metode kemungkinan maksimum

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh :

Skolastika Augustia Sarasvati NIM: 133114026

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

THE PARAMETER ESTIMATION OF RAYLEIGH DISTRIBUTION USING LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD

A Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Skolastika Augustia Sarasvati Student Number: 133114026

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu memberkati dan memberikan kemudahan lewat orang-orang baik hati yang berada di sekelilingku terutama dalam perjuanganku menyelesaikan skripsi ini.

Kedua orangtuaku Bonaventura Saptono Arko dan Teresia Atik Solikhati

Adik-adikku, yaitu Ano, Awgia, Sekal, Zita.

Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing skripsi yang terbaik. Semua orang yang akan membaca skripsi saya.

ABSTRAK

Distribusi Rayleigh dengan parameter tunggal memiliki satu parameter yaitu parameter . Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dapat dilakukan dengan berbagai metode. Dalam skripsi ini dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood.

Pendugaan parameter distribusi Rayleigh diterapkan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dipilih sebagai kriteria pembanding kedua metode penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat yang minimum. Dari hasil penerapan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang menunjukkan bahwa Metode Kemungkinan Maksimum lebih baik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh.

Kata kunci: distribusi Rayleigh, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.

ABSTRACT

Rayleigh distribution with single parameter has a parameter namely parameter b. The parameter of Rayleigh distribution can be estimated using several methods. In this final assignment, writter will estimated the parameter estimation of Rayleigh distribution using two methods which are Least Square Method and Maximum Likelihood Method. In general, Least Square Method estimate the parameter by selecting the regression line that best fit among all data which minimizes the Sum of Square Error. Meanwhile the concept of Maximum Likelihood Method is to estimate the parameter distribution that maximizes the likelihood function.

The parameter estimation of Rayleigh distribution is implemented on the data of

the annual biggest wave’s height in Kalukalukuang Island’s offshore, South Sulawesi.

Mean Square Error is chosen as the comparasm criteria for both methods. Method which has minimum Mean Square Error is the best one. From our attempts on the

annual biggest wave’s height data in Kalukalukuang Island’s offshore shows that Maximum Likelihood Method is a better method to estimate the parameter of Rayleigh distribution.

Keywords: Rayleigh distribution, parameter estimation, Least Square Method, Maximum Likelihood Method, Mean Square Error

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Skripsi yang berjudul “Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh Dengan Metode Kuadrat Terkecil Dan Kemungkinan Maksimum” ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mendapat banyak dukungan dan bantuan dalam proses menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh karena itu, dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir yang dengan penuh kesabaran telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta memberikan masukan, arahan, bimbingan, dan nasihat kepada penulis. 2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi.

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil ketua program studi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu memberikan arahan yang berkaitan dengan perkuliahan.

4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen program studi matematika yang telah membagikan ilmu dan pengalaman selama masa perkuliahan.

6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administrasi. 7. Kedua orang tuaku yang selalu memberikan doa, semangat, dukungan, arahan,

DAFTAR ISI

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ... vii

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR TABEL ... xiv

DAFTAR GAMBAR ... xv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 2

C. Batasan Masalah ... 3

D. Tujuan Penulisan ... 3

E. Manfaat penulisan ... 3

F. Metode Penulisan... 4

G. Sistematika Penulisan ... 4

BAB IILANDASAN TEORI ... 6

A. Distribusi Probabilitas ... 6

B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya... 13

C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen ... 18

E. Selang Kepercayaan... 25

F. Ukuran Penduga Yang Baik ... 29

G. Metode Kuadrat Terkecil ... 31

H. Metode Kemungkinan Maksimum ... 35

I. Uji Kolmogorov-Smirnov ... 39

J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov ... 41

BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM ... 44

A. Distribusi Rayleigh ... 44

B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter ... 47

C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil .. 49

D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum ... 51

E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh ... 53

Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh ... 58

BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH 61 A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Squared Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. ... 61

B. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum ... 65

C. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov ... 69

D. Perbandingan Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum ... 71

BAB V PENUTUP ... 73

A. Kesimpulan ... 73

B. Saran ... 74

DAFTAR PUSTAKA ... 75

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Data Contoh 2.10 ... 34

Tabel 2.2 Data Contoh 2.13 ... 42

Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13 ... 42

Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut ... 62 Tabel 4.2 Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov pada data tinggi gelombang laut. 69

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma ... 17

Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square ... 18

Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan = . ... 28

Gambar 2. 4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil ... 35

Gambar 2. 5 Grafik _� dan _� ... 43

Gambar 3. 1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai b = . , . , , . , , . ... 45

Gambar 3. 2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh ... 46

Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala b = . ... 65

Gambar 4. 2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayeligh dengan b = . 67 Gambar 4. 3 Grafik _� dan _� ... 70

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Rayleigh adalah salah satu distribusi peluang kontinu yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang diterima. Distribusi ini juga merupakan distribusi penting dalam statistik dan diterapkan di beberapa bidang seperti kesehatan, pertanian, biologi, dan ilmu-ilmu lainnya.

Variabel acak dikatakan mempunyai distribusi Reyleigh dengan satu parameter bila fungsi densitasnya

; = (− ), , >

Pendugaan parameter merupakan salah satu persoalan yang penting dalam bidang statistika. Pendugaan adalah bidang dari statistika yang berhubungan dengan menduga nilai-nilai karakteristik dari populasi (parameter) berdasarkan data yang diukur atau data empiris yang memiliki komponen acak. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai dari sampel. Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation).

1. Penduga titik (Point Estimation)

Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya.

2. Penduga Selang (Interval Estimation)

Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter sebenarnya.

Dalam skripsi ini, pendugaan parameter distribusi Rayleigh dilakukan dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood.

Selain itu, dalam skripsi ini juga akan dilakukan perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum untuk menduga parameter distribusi Rayleigh. Untuk menentukan metode mana yang lebih baik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh penulis akan menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) sebagai kriteria pembanding. Rata-Rata-Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga. Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum.

B. Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah: 1. Bagaimana sifat-sifat distribusi Rayleigh?

2. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil?

3. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum?

4. Bagaimana memilih metode terbaik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh?

C. Batasan Masalah

Skripsi ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:

1. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas penduga titik dan penduga selang distribusi Rayleigh dengan satu parameter. 2. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas

pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

3. Penulis tidak membahas perluasan dari distribusi Rayleigh.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah dapat menduga parameter distribusi Rayleigh satu parameter dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

E. Manfaat penulisan

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Dapat mempelajari metode untuk pendugaan parameter distribusi Rayleigh yaitu dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

2. Dapat mengetahui seberapa baik Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan satu parameter.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan distribusi Rayleigh dan metode-metode yang digunakan dalam pendugaan parameter.

G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas

B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya

C. Momen dan Fungsi Pembangkit Moment

D. Penduga Parameter E. Selang Kepercayaan

F. Ukuran Penduga Yang Baik G. Metode Kuadrat Terkecil

H. Metode Kemungkinan Maksimum

I. Uji Kolmogorov-Smirnov

J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov

BAB III ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN ME-TODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh

B. Sifat-Sifat Distribusi Rayleigh

C. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil

D. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum

BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI

RAYLEIGH BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan B. Saran

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam proses pembuatan skripsi ini diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dalam ilmu statistika. Berikut akan dijelaskan beberapa teori yang berkaitan dengan pendugaan parameter, antara lain distribusi probabilitas, distribusi Gamma dan sifat-sifatnya, momen dan fungsi pembangkit momen, pendugaan parameter, selang kepercayaan dan sebagainya.

A. Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas berkaitan erat dengan variabel random, jenis distribusi probabilitas, fungsi distribusi kumulatif dan karakteristik distribusi probabilitas yang akan dijelaskan pada subbab ini.

1. Variabel Random Definisi 2.1

Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel.

Huruf kapital, misalnya , adalah notasi untuk variabel random dan huruf kecil , menyatakan nilainya.

Definisi 2.2

Variabel dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang. Jika tidak memenuhi hal tersebut maka variabel acak dikatakan kontinu.

Contoh:

a. Banyaknya mahasiswa matematika setiap tahun mulai dari tahun 2010. b. Banyaknya kecelakaan mobil di Kabupaten Magelang setiap bulan selama satu tahun.

2. Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit yang dilambangkan dengan dan distribusi probabilitas kontinu (fungsi densitas) yang dilambangkan dengan .

a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3

Himpunan pasangan terurut , adalah distribusi probabilitas dari variabel random diskrit jika

1) untuk setiap

2) ∑ =

Contoh 2.1

Distribusi Geometrik

= − − _{, = , , , . . .}

Akan ditunjukkan bahwa distribusi Geometrik memenuhi definisi 2.3

1) Diketahui = − − untuk = , , , .. maka diperoleh

positif untuk setiap . Jadi terbukti untuk setiap . 2) Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan merupakan suku pertama dan merupakan rasio antar suku adalah _∞=

− . Dengan menggunakan jumlah deret tak hingga dari deret geometri _∞=

− maka

diperoleh = dan = − sehingga

∑ _{= − − = .}

b. Distribusi Probabilitas Kontinu

Dalam beberapa literatur istilah distribusi probabilitas kontinu disebut juga fungsi densitas (density function).

Definisi 2.4

Fungsi adalah distribusi probabilitas untuk variabel random kontinu , jika

1) ,untuk setiap ∈

2) ∫_−∞∞ =

Contoh 2.2

a) Distribusi Normal =

� √ �exp [− ( � ) − ] , −∞ < < ∞ Akan ditunjukkan bahwa distribusi Normal memenuhi definisi 2.4

1) Untuk setiap ∈ , terbukti bahwa .

2) ∫

� √ �exp [− � − ] =

∞

−∞ ∫ � √ �

− �−�_{� = .} ∞

−∞

Misalkan = −

� , = � , � = , misalkan = ∫

� √ � − _� ∞ −∞ = ∫ √ � − ∞ −∞ ∫ √ � − ∞ −∞ = � ∬ − + ∞ −∞ � �, ∞ = �, = � � = �∫ ∫� ∞ − ( �+ � � |�| � |�| = | � �� � � � �� � �

| = |− � � cos �_{cos � sin �|} = | − � � sin � − cos � cos � |

= |− � � − �| = |− | | � � + �| = = �∫ ∫� ∞ − �+ � � �

= _�∫ ∫� ∞ − �

Misal = , = , =

= �∫ [∫� ∞ − ] �

= �∫ � |− − |∞ � =

�∫ − − �

�

= �∫ − − ��

= �∫ � = �|�|� � = � � − =

Jadi,

= → = ∫

� √ �

− _�

∞

−∞ = .

b) Distribusi Eksponensial

= − _{, > ,}

Akan ditunjukkan bahwa distribusi Eksponensial memenuhi definisi 2.4

1) untuk setiap ∈ , terbukti bahwa .

2) ∫_−∞∞ = ∫∞ −

= | − ₍− _{) |}∞ = − | − _|∞

3. Fungsi Ditribusi Kumulatif Definisi 2.5

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah va-riabel random diskrit dan kontinu didefinisikan sebagai berikut

= =

{ ∑

∀ ≤

, jika diskrit

∫

−∞ , jika kontinu

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas dicirikan oleh adanya konstanta mean dan variansi yang merupakan karakteristiknya.

a. Mean Definisi 2.6

Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random X dino-tasikan sebagai atau didefinisikan sebagai

= { ∑

∀

,jika diskrit

∫∞

−∞ , jika kontinu

b. Variansi Definisi 2.7

Jika adalah variabel random, maka variansi dari ditulis didefini-sikan sebagai

= [ − ].

Teorema 2.1

Bukti:

= [ − ]

= − +

= − + (

= − ( ∎ Contoh 2.3

a) Jika berdistribusi Geometrik

= − − _{, = , , , . . .}

Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Geometrik

= ∑ ∀

= ∑ − −

∞

=

= ∑ − −

∞

=

= [ + − + − + − +. . . ]

− = [ − + − + − + − +. . . ]

( − − = [ + − + − + − + − +. . . ].

Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan merupakan suku pertama dan merupakan rasio antar suku adalah _∞=

− . Dengan menggunakan deret geometri tersebut diperoleh = dan = −

sehingga jumlah deret tak hingga dari [ + − + − +

− + − +. . . ] dapat ditulis kembali menjadi

_{= − −}

= .

Jadi, = .

Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Geometrik

Telah ditunjukkan pada contoh di atas berdasarkan definisi 2.6 bahwa = ,

maka untuk mencari yang perlu dihitung terlebih dahulu adalah

= ∑ ∀ = ∑ − − ∞ = = ∑ − − ∞ =

Misalkan = − , = − , ∑ − = +

− ∞ = = ∑ − ∞ = = ( ₋+ ) = ( + − ) = − . Jadi, variansi distribusi Geometrik adalah

= − [ ] = − − ( ) = − − = − .

b) Jika berdistribusi Normal =

� √ �exp [− ( � ) − ] , −∞ < < ∞ Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Normal

= ∫∞ −∞ = � √ �∫ − −� ∞ −∞ = � √ �∫ − � − ∞ −∞

Misalkan = − , = , = +

= � √ � ∫ + − � ∞ −∞ = +_{� √ �}∫ ∞ − � −∞ = .

Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Normal

= [ − ] = ∫∞ −

=

� √ �∫ − − � ( −

∞ −∞

Misalkan = − , = , = + ,

=

� √ �∫ − � (

∞ −∞

Misal = , = , = − � ( , = −� − � (

=

� √ �| (−� − � ( )| ∞

−

� √ �∫ −� − � ( ∞

−∞ = + � .

= � .

Jadi, variansi dari distribusi Normal adalah = � . B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya

Definisi 2.8

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

� = ∫∞ − −

Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistika karena dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit momen, variansi, rata-rata dan momen.

Teorema 2.2

Fungsi Gamma memiliki sifat

1. � = − � − untuk setiap > Bukti:

Berdasarkan definisi 2.8

� = ∫∞ − − _,

� = − ∫ ∞

= lim_→∞[− − − _{] − ∫ − −}∞ − −

= lim_→∞[− − − _{] + − ∫}∞ − −

= lim_→∞[− − − _{] + − ∫}∞ − − −

= lim_→∞ − + − � −

= − lim_→∞[exp − ln ] + − � − = − lim_→∞[exp − ln − ] + − � −

= − lim_→∞{exp [ − (ln − )]} + − � − = − � − .

2. � = − ! Dengan bilangan bulat positif. Bukti:

Berdasarkan sifat Gamma

� = − � − ,

sehingga diperoleh

� = − � −

= − − � −

= − − − � −

= − − − − … � . Berdasarkan definisi 2.8 maka diperoleh

= lim_→∞∫ − = lim_→∞[− − _] =

Persamaan . menjadi

� = − − − − … � = − !.

3. � = √�

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa � = √�

Berdasarkan definisi 2.8

� = ∫∞ − − _,

misalkan = , =

� = ∫∞ − −

= ∫∞ − −

= ∫∞ − −

ketika − = maka = ,

sehingga diperoleh � ( ) = ∫∞ −

[� ( )] = [� ( )] [� ( )]

= ∫∞ − _∫∞ −

Integral tersebut dapat diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar. Misalkan = cos �, = sin � maka

+ = � + � �

= � + � �

=

[� ( )] = ∫ ∫ −

� ∞

= ∫ ∫ −

� ∞

= (∫ � �

) ∫∞ −

misalkan = , =

= � − lim_→∞∫ − = −� lim_→∞[− − _] = −� −

= �. Definisi 2.9

Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter > dan > jika dan hanya jika fungsi densitas adalah

= {

− −

� , > , > , > , selainnya

Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma

Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.1

Definisi 2.10

Misal adalah sebuah bilangan bulat positif. Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas jika dan hanya jika merupakan variabel random yang berdistribusi Gamma dengan parameter = dan = . Fungsi densitasnya adalah

= {

− −

� , > , selainnya

0 5 10 15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 5 10 15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 5 10 15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 5 10 15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 5 10 15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 5 10 15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 5 10 15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x) ß=1,a=2 ß=2,a=2 ß=3,a=2 ß=5,a=1 ß=9,a=0.5 ß=7.5,a=1 ß=0.5,a=1

Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square

Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.2

C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen Definisi 2.11

Momen ke – dari variabel random di sekitar titik asal didefinisikan sebagai dan dinotasikan dengan ′ .

Contoh 2.4

Tentukan momen saat k=1 dan saat k=2. Jawab:

0 2 4 6 8 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 2 4 6 8 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 2 4 6 8 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 2 4 6 8 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 2 4 6 8 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x)

0 2 4 6 8 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f( x) v=1 v=2 v=3 v=4 v=6 v=9

Untuk k=1, = ′= . Untuk k=2, = ′. Hal ini dapat berguna saat

mencari variansi, berdasarkan Teorema 2.1 = − (

= ′_{− .}

Definisi 2.12

Fungsi pembangkit momen untuk variabel random didefinisikan sebagai = . Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah konstanta positif berhingga untuk | | .

Definisi 2.13

Fungsi Pembangkit Momen dari variabel random adalah dan dinyatakan

dengan . Sehingga

= {

∑ ,

∀

jika diskrit

∫∞ ,

−∞ jika kontinu

Contoh 2.5

1. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Normal = ∫∞

−∞

= ∫ −

�√ � − −

� ∞

misalkan = −

= ∫

�√ � −

� ∞

=

�√ �∫

− � ∞

=

�√ �∫ − �

∞

=

�√ �∫ − � + �

� ∞

=

�√ �∫ − � ( − � ∞

= �

� _{�√ �}∫ − � ( − � ∞

= �√ �

�

∫∞ − � ∙ − � ( − �

= �√ �

�

∫∞ − � ( − � +�

= � ∫ − � ( − � +�

�√ � ∞

= � ∫

�√ �

−( −�_� ∞

= �

Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Normal adalah = � .

2. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Gamma = ∫∞

−∞

= ∫∞ _� − −

= ∫∞ _� − −

= _� ∫∞ − − +

= _� ∫∞ − − ( − )

misalkan = −

= _� ∫∞ − −

= _� [� ]

=

Ingat = − = − , maka =

−

= − _{= − ∙ = −}

Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah

= _{= ( ) = ( − ) = −} − _.

Teorema 2.3

Sifat-sifat Fungsi Pembangkit Momen

1. Jika adalah variabel random dan adalah sebuah konstanta, maka

= .

2. Jika adalah variabel random dan adalah sebuah konstanta, maka

+ = ∙ .

3. Jika adalah variabel random dan & adalah dua buah konstanta, maka

Bukti:

1. = ( = ( = .

2. ₊ = ( + = ( = ∙ .

3. �+ = (

�+

) = ( ��+ � ) = ( �� � ) = �∙ .

Teorema 2.4 Teorema Ketunggalan

Misalkan dan adalah fungsi pembangkit momen dari variabel

acak dan . Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan =

untuk semua nilai dari , maka dan mempunyai distribusi probabilitas yang sama.

Bukti:

Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi. Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu

= ( � _,

dengan � adalah bilangan kompleks.

Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen (FPM) adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu

∫∞ �

−∞ = ∫

� _{∀ ∈ ℝ,} ∞

−∞

maka = . (Skripsi halaman 54).

Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas ∎

Teorema 2.5

Misalkan , , … , adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi

pembangkit momen , , … , _� . Jika = + + ⋯ + ,

maka

� = × × … × � .

Bukti:

� = �

= ( + +⋯+ �

= … �

= × × … × �

= × × … × _� ∎

D. Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter adalah bidang dari statistika yang berhubungan dengan menduga nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur atau data empiris yang memiliki komponen random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai dari sampel.

Definisi 2.15

Parameter adalah suatu konstanta yang menggambarkan (merupakan karakteristik) populasi.

Sebuah keluarga parametrik fungsi densitas adalah kumpulan fungsi densitas yang diindeks oleh suatu kuantitas yang disebut parameter.

Contoh 2.6:

1. Populasi berdistribusi Normal dengan fungsi densitasnya adalah = _{� √ �}exp [− _� − ] , −∞ < < ∞ memiliki parameter dan � , dengan merupakan rata-rata populasi dan � merupakan variansi populasi.

2. Populasi berdistribusi Eksponensial fungsi densitasnya adalah ; = − _{, dengan > . Maka untuk setiap > , ; adalah fungsi densitas.} Kumpulan dari ; adalah keluarga parametrik dari fungsi densitas. Definisi 2.16

Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam suatu rumus yang digunakan untuk menghitung nilai dari pendugaan yang didasarkan atas pengukuran di dalam sampel.

Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation).

Definisi 2.17

Penduga Titik (Point Estimation)

Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya.

Contoh 2.7

Rata-rata sampel yang dinyatakan dalam suatu rumus

̅ = ∑ � �=

Definisi 2.18

Penduga Selang (Interval Estimation)

Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter sebenarnya.

E. Selang Kepercayaan

Penduga selang adalah metode yang digunakan untuk menghitung 2 nilai yang akan membentuk titik-titik batas interval. Idealnya hasil dari interval akan memiliki 2 sifat. Pertama ia akan memuat parameter �, kedua, intervalnya akan relatif sempit. Kedua titik batas dari interval merupakan fungsi dari pengukuran sampel yang akan bervariasi secara acak dari sampel yang satu dengan sampel yang lain. Jadi, panjang dan letak dari interval bersifat random. Kita tidak dapat secara pasti mengetahui letak dari parameter �, tapi kita tahu bahwa letaknya di dalam selang tersebut. Jadi tujuan kita adalah ingin menentukan interval yang relatif sempit tetapi mempunyai peluang yang besar untuk memuat parameter �.

Penduga selang sering disebut dengan Selang Kepercayaan (Confidence Interval). Titik batas atas dan titik batas bawah dari selang kepercayaan disebut juga batas atas dan batas bawah kepercayaan. Peluang bahwa selang kepercayaan akan memuat parameter � disebut koefisien kepercayaan. Dari sudut pandang praktis, koefisien kepercayaan mengidentifikasi berapakah � dalam sampling berulang, selang yang terbentuk akan memuat parameter � yang menjadi sasaran. Contoh, misal koefisien kepercayannya 95% , artinya jika ada sampling sebanyak 100 kali maka 95 selang yang terbentuk akan memuat �. Jika diketahui bahwa koefisien kepercayaan yang terkait dengan penduga itu tinggi, maka dapat dipercaya bahwa setiap selang kepercayaan yang dibangun dengan menggunakan hasil dari sampel tunggal akan memuat parameter �.

Misalkan �̂_� dan �̂_� secara berturut-turut merupakan batas atas dan batas bawah selang kepercayaan random untuk parameter �.

Maka, jika (�̂_� � �̂_� = − , peluang − adalah koefisien kepercayaan. Interval random yang didefinisikan dengan [�̂_�, �̂_�] disebut selang kepercayaan dua sisi.

Memungkinkan juga untuk membentuk selang kepercayaan satu sisi batas bawah yaitu

(�̂� � = − ,

selang kepercayaannya adalah [�̂_�, ∞ . Dengan cara yang sama, dapat dibentuk selang kepercayaan satu sisi batas atas yaitu

(� �̂� = − , selang kepercayaannya adalah (−∞, �̂_�].

Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan disebut metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri:

1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter �, dengan � adalah kuantitas yang tidak diketahui.

2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter �. Jika distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui, maka logika berikut dapat digunakan untuk bentuk penduga selang. Jika merupakan variabel

random, > adalah konstan, dan = . ; maka jelas bahwa

= . . Dengan cara yang sama untuk setiap konstan ,

+ + + = . . Peluang kejadian tidak

dipengaruhi dengan perubahan skala atau translasi dari .

Contoh 2.8

Diberikan suatu populasi, dengan variabel random Y, memiliki distribusi Eksponensial dengan mean θ. Dengan menggunakan , buatlah selang kepercayaan bagi � dengan koefisien kepercayaan 0.90.

Jawab:

Fungsi densitas untuk Y adalah sebagai berikut = {(θ) −θ,

, selainnya

Dengan menggunakan metode Pivot, akan ditunjukkan bahwa U =

θ memenuhi syarat sebagai kuantitas Pivot.

� = _{= (θ ) =} θ = � θ . � y = ∫

−∞ = ∫ θ−∞

−θ _{= −} −θ _.

Dari . dan . diperoleh

� θ = − − �θ _{= −} −θ

f = � ′ = � ′ θ = −

U =_θ adalah kuantitas Pivot, karena

1. U merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter � yang tidak diketahui.

2. f tidak bergantung pada �.

Karena akan dibuat penduga selang dengan koefisien kepercayaan sama dengan

Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan = .

< = ∫ − _{= . dan > = ∫}∞ − _{= .}

Maka, − − = . − = .

− _{= − .} − _{= ln .}

− _{= . − = − .}

ln − _{= ln . = .}

− = − . = .

Diperoleh = . dan = . sehingga = .

menjadi

. . = .

( . _� . ) = .

( . _� . ) = .

( . � _. ) = .

( . � _. ) = .

0.05

0.05 0.90

Jadi, selang kepercayaan bagi � dengan koefisien kepercayaan . adalah

( . � _. ) = . .

F. Ukuran Penduga Yang Baik

Penduga yang baik adalah penduga yang mendekati nilai parameter yang sebenarnya. Ciri-ciri penduga yang baik adalah penduga yang tak bias atau memiliki bias yang sekecil mungkin.

Bias dan Rata-rata Galat dari Penduga Titik Definisi 2.19

Misalkan �̂ adalah penduga titik dari parameter �, maka �̂ adalah penduga tak bias jika �(θ̂ = θ. Jika �(θ̂ ≠ θ, maka θ̂ disebut bias.

Definisi 2.20

Bias dari penduga titik �̂ didefinisikan sebagai �(�̂ = (�̂ − �. Contoh 2.9

Diberikan , , , … , merupakan sampel random dari populasi memiliki fungsi densitas sebagai berikut

= {(θ + ) − θ+ , > , � > − , selainnya

Tentukan penduga yang tak bias bagi �. Apakah ̅ merupakan penduga yang tak bias bagi �?

Jawab:

̅ = ∑�= � _{= (∑} � �=

) = ∑ � = � + = � + .

Jadi ̅ bias.

Biasnya dari ̅ adalah 1, maka ̅ = � +

̅ − = �

Jadi, ̅ − adalah penduga tak bias dari �. Definisi 2.21

Rata-rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik �̂ adalah (�̂ = [(�̂ − � ].

Rata-rata Kuadrat Galat dari sebuah penduga �̂ adalah fungsi dari variansi dan biasnya.

Teorema 2.6

(�̂ = (�̂ + [�(�̂ ] Bukti:

(�̂ = [(�̂ − � ]

= [ �̂ − (�̂ + ( (�̂ − � ]

= [ �̂ − (�̂ + �̂ − (�̂ ( (�̂ − � + ( (�̂ − � ]

= [ �̂ − (�̂ ] + [ �̂ − (�̂ ( (�̂ − � ] + [( (�̂ − � ] = (�̂ + [ �̂ − (�̂ �(�̂ ] + [�(�̂ ]

= (�̂ + �(�̂ [ �̂ − (�̂ ] + [�(�̂ ] = (�̂ + �(�̂ (�̂ − [ (�̂ ] + [�(�̂ ]

= (�̂ + + [�(�̂ ] = (�̂ + [�(�̂ ] ∎ G. Metode Kuadrat Terkecil

Regresi linear adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat (dependen; ) dengan satu atau lebih variabel bebas (independen; ).

Definisi 2.22

Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai � = + �+ �, � = , , , … ,

dengan _� = pengamatan ke- � variabel dependen � = pengamatan ke- � variabel independen

= intersep (konstanta) = parameter regresi

� = galat (error) dari pengamatan ke-�

Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter model regresi. Misalkan _�, _� pasangan sampel random berukuran pengamatan dari suatu populasi, berdasarkan definisi 2.22 maka persamaan garis regresinya adalah

� = + �+ �.

Metode Kuadrat Terkecil bertujuan untuk menentukan penduga dari dan , yaitu ̂ dan ̂. Dengan asumsi _� = persamaan regresi akan diduga dengan

�

̂ = ̂ + ̂ �.

Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan dari dan yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE).

Definisi 2.23

Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE) didefinisikan sebagai berikut

= ∑ �− ̂ = ∑[� � − ( ̂ + ̂ � ] . �=

�=

Jumlah Kuadrat Galat (SSE) akan memiliki nilai minimum jika nilai ̂ dan ̂ memenuhi persamaan ����

� ̂ = dan ����

� ̂ = . Dengan menggunakan turunan parsial terhadap ̂ dan ̂, maka diperoleh

� �̂ = � ∑ [�= �− ( ̂ + ̂ � ] �̂ = = − ∑ [ �− ( ̂ + ̂ � ] �= = = − (∑ � − ∑( ̂ + ̂ � �= �= ) = = (∑ � − ̂ − ̂ ∑ � �= �= ) = ∑ � = ̂ + ̂ ∑ � �= �= . dan � �̂ = � ∑ [�= �− ( ̂ + ̂ � ] �̂ = = − ∑_�= [ _� − ( ̂ + ̂ _� ] _� = = − (∑_{�= � �}− ̂ ∑_{�= �} − ̂ ∑_{�= �} = = (∑_{�= � �}− ̂ ∑_{�= �} − ̂ ∑_{�= �} = ∑ � � = ̂ ∑ � �= + ̂ ∑ � �= �= .

Persamaan . dan . dapat diselesaikan dengan metode Eliminasi maka akan diperoleh ̂ dan ̂ sebagai berikut

̂ = ∑�= � � − ∑�= � ∑�= � ∑�= � − ∑�= �

= ∑�=_∑ �− ̅ � − ̅ � − ̅

�= .

̂ = − ∑�= � �∑�= �+ ∑�= � ∑�= � ∑�= � − ∑�= �

= ∑�= � ∑�= �− ∑�= � �∑�= � ∑�= � − ∑�= �

= ∑�= � ∑�= � − ∑�= � − ∑�= � � − ∑�= � ∑�= � ∑�= � ∑�= � − ∑�= �

= ∑�= � ∑�= �− ∑�= � ∑�= � − ∑�= � �∑�= � + ∑�= � ∑�= � ∑_{�= �} − ∑�= �

= ∑ �

�=

−∑�= � �− ∑�= �∑�= � ∑�= � − ∑�= �

( ∑ � �=

) = ̅ − ̂ ̅ .

Penduga ̂ dan ̂ pada persamaan . dan . adalah penduga yang memiliki jumlah kuadrat galat yang paling minimum, maka ̂ dan ̂ adalah titik minimum.

Contoh 2.10

Tentukan koefisien dari garis lurus dengan model ̂ = ̂ + ̂_{� �} untuk = titik data yang diberikan dalam tabel di bawah ini dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.

Tabel 2.1 Data Contoh 2.10

No _{Roe ( �) Gaji ( �)}

1 14.1 1095

2 _{10.9 1001}

3 23.5 1122

4 5.9 578

5 13.8 1368

6 20.0 1145

7 16.4 1078

8 _{16.3 1094}

9 10.5 1237

10 26.3 833

11 25.9 567

12 26.8 933

13 14.8 1339

14 _{22.3 937}

15 56.3 2011

Sumber data: Wooldridge, Jeffrey M. (2009). Introduction Econometrics (4th Edition). South-Western: Cengage Learning. Halaman: 37.

Jawab:

Dengan menggunakan persamaan kuadrat terkecil yang dimiliki, maka diperoleh hasil

̂ = ∑�= � � − ∑�= � ∑�= � ∑�= � − ∑�= �

= . − .

. − .

= .

̂ = ̅ − ̂ ̅ = . − . ∗ . = .

Gambar 2.4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil

Penyelesaian contoh 2.10 dan Grafik diproduksi dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3.

H. Metode Kemungkinan Maksimum

Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna.

Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel random menghasilkan dua bola merah, dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara random adalah

0 10 20 30 40 50 60

0

500

1000

1500

2000

X

( (

( =

Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara random adalah

(

( =

Oleh karena itu dipilih tiga sebagai perkiraan jumlah bola merah di dalam kotak, karena perkiraan ini memaksimumkan peluang dari sampel yang diamati. Tentu saja, ada kemungkinan bahwa kotak hanya berisi dua bola merah, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan lebih bahwa ada tiga bola merah di dalam kotak.

Contoh ini mengilustrasikan suatu metode untuk menemukan suatu penduga yang dapat diaplikasikan di berbagai situasi. Metode ini disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).

Definisi 2.24

Misalkan , , . . . , adalah variabel random kontinu berukuran dengan fungsi densitas ; � dan � adalah parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dari sampel random adalah fungsi densitas bersama dari variabel random dan merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood

dinotasikan dengan |� dan didefinisikan sebagai |� =

∏�= �; � , dengan �; � adalah notasi fungsi probabilitas dari � dengan parameter �.

Definisi 2.25

Bila fungsi kemungkinan � bergantung pada buah parameter yaitu � , � , . . . , � maka tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah

, , . . . , |� , � , . . . , � atau ekuivalen dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood |� dengan = ln |� .

Nilai parameter � dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood. Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE �̂ merupakan penyelesaian persamaan ��

��= �. Misalkan terdapat parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan �_� dengan Metode Kemungkinan Maksimum

��

��� = dengan =ln � , � , . . . , � dan � = , , , … , .

Contoh 2.11

Misalkan , , . . . , adalah sampel random berdistribusi Normal dengan rata-rata dan variansi � . Tentukan ̂ dan �̂ dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum.

Jawab:

, , . . . , adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan rata-rata dan variansi � maka fungsi probabilitas densitasnya didefinisikan sebagai berikut

=

� √ �exp [− ( � ) − ], − ∞ < < ∞ Berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh

|� = ∏ �; , � �=

= , , . . . , ; , �

= | , � × | , � × … × | , �

= [

� √ �exp − ( � ) − ] × …

×

= (� �) exp[−( � )∑ �− �=

]

Fungsi log-likelihood dari persamaan di atas adalah

ln[ |� ] = ln {(� �) exp[−( � )∑ � − �=

]} = [ln (� �)] − � ∑ �−

�=

= ln � − ln � − � ∑ � − �=

Penduga Kemungkinan Maksimum dari dan � adalah penduga yang memaksimumkan ln[ |� ], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap dan � , maka diperoleh

∂ln[ |� ]

� = � ∑_�= �− . ∂ln[ |� ]

�� = − � + � ∑_�= �− . Jika persamaan . diselesaikan maka akan diperoleh

� ∑_�= � − =

∑ �− �=

=

∑ � −

�=

=

dan jika persamaan . diselesaikan maka akan diperoleh − � + � ∑ �−

�=

= � ∑ � −

�= = �

� ∑ � − �=

=

�̂ = ∑ � − �=

Dengan substitusi hasil dari persamaan . yaitu = ̅ maka hasil dari persamaan . menjadi � = ∑_{�= �}− ̅ . Jadi, penduga kemungkinan maksimum untuk ̂ dan �̂ adalah ̂ = ̅ dan �̂ = ∑_{�= �} − ̅ .

I. Uji Kolmogorov-Smirnov

Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data. Uji kecocokan (goodness of fit test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang tidak diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Pada dasarnya uji ini mencakup perhitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi dibawah distribusi teoritisnya.

Misalkan variabel random , , … , berasal dari distribusi yang tidak diketahui , dan dimisalkan < < . . < adalah statistik terurut, akan diuji hipotesis bahwa adalah sama dengan suatu distribusi tertentu

Definisi 2.26

Misalkan , , … , adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris didefinisikan sebagai

= ∑ �

�=

Contoh 2.12

Diberikan 10 sampel random yang memuat = . , = . , =

. , = . , = . , = . , = . , = . , =

. , = . .

Berdasarkan definisi 2.26 fungsi distribusi empirisnya adalah

( � = ∑ ( � �

�=

Dengan _� adalah statistik terurut dari _�, �=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Maka akan diperoleh

� 0.203 0.329 0.382 0.477 0.480 0.503 0.554 0.581 0.621 0.71

( � 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Definisi 2.27

Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov didefinisikan sebagai

= +, −

+ = − ( �

− = ( � − − �

Dengan � = , , … , .

Hipotesis uji Kolmogorov-Smirnov adalah

Untuk setiap dengan adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan

: ≠

Jika yang diberikan oleh tabel Kolmogorov-Smirnov, maka

ditolak pada tingkat signifikansi . adalah nilai kritis Kolmogorov-Smirnov pada tingkat dan ukuran sampel . Tabel dapat dilihat pada lampiran A.4.

J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov

Uji Kolmogorov-Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji apakah data berdistribusi Rayleigh atau tidak. Uji distribusi Rayleigh dengan Kolmogorov-Smirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Rayleigh.

Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut

1. = data berdistribusi Rayleigh 2. = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tentukan tingkat signifikansi 4. Statistik Uji: = max ₊ , ₋ 5. Wilayah kritis

ditolak jika

6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar

b) Hitunglah berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh

c) Berdasarkan definisi 2.26 hitunglah fungsi distribusi empiris

d) Berdasarkan definisi 2.27 hitunglah nilai ₊ dan ₋ dan tentukan

maksimum dari = max ₊ , ₋

Contoh 2.13

Ujilah apakah data berikut berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala = Tabel 2.2 Data Contoh 2.13

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

� 2 0.2 1 1.8 2.7 5 3.6 1.4 4.7 1.5

No 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

� 4.2 3 2.1 2.4 3.1 4 2.8 3.2 4.1 2.6

Jawab:

1. = data berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala = 2. = data tidak berdistribusi Rayleigh

3. Tingkat signifikansi = . 4. Statistik Uji: = max ₊ , ₋ 5. Wilayah kritis

ditolak jika = .

6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar

b) Akan dihitung berdasarkan definisi fungsi distribusi kumulatif dari

distribusi Rayleigh, yaitu = − exp −

c) Akan dihitung fungsi distribusi empiris berdasarkan definisi 2.26 d) Akan dihitung nilai ₊ dan ₋ berdasarkan definisi 2.27 dan menentukan

maksimum dari = max ₊ , ₋

Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13

� � ( � ( � − ( � + −

1 0.20 0.0050 0.0500 0.0000 0.0450 0.0050

2 1.00 0.1175 0.1000 0.0500 -0.0175 0.0675

3 1.40 0.2173 0.1500 0.1000 -0.0673 0.1173

4 1.50 0.2452 0.2000 0.1500 -0.0452 0.0952

5 1.80 0.3330 0.2500 0.2000 -0.0830 0.1330

6 2.00 0.3935 0.3000 0.2500 -0.0935 0.1435

8 2.40 0.5132 0.4000 0.3500 -0.1132 0.1632

9 2.60 0.5704 0.4500 0.4000 -0.1204 0.1704

10 2.70 0.5980 0.5000 0.4500 -0.0980 0.1480

11 2.80 0.6247 0.5500 0.5000 -0.0747 0.1247

12 3.00 0.6753 0.6000 0.5500 -0.0753 0.1253

13 3.10 0.6992 0.6500 0.6000 -0.0492 0.0992

14 3.20 0.7220 0.7000 0.6500 -0.0220 0.0720

15 3.60 0.8021 0.7500 0.7000 -0.0521 0.1021

16 4.00 0.8647 0.8000 0.7500 -0.0647 0.1147

17 4.10 0.8777 0.8500 0.8000 -0.0277 0.0777

18 4.20 0.8897 0.9000 0.8500 0.0103 0.397

19 4.70 0.9368 0.9500 0.9000 0.0132 0.0368

20 5.00 0.9561 1.000 0.9500 0.0439 0.0061

Maksimum 0.0450 0.1704

Gambar 2.5 Grafik ( _� dan ( _�

Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.5. 7. Kesimpulan

diterima sebab = . . = . , maka data di atas

berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala = .

1 2 3 4 5

0

.0

0

.2

0

.4

0

.6

0

.8

Xi

F

F0(xi) Fn(xi)

BAB III

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM

A. Distribusi Rayleigh Definisi 3.1

Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Rayleigh dengan satu parameter bila fungsi probabilitasnya

; )={ (− ), , > , selainnya dengan adalah parameter skala (scale parameter).

Berdasarkan definisi 2.4, akan ditunjukkan bahwa fungsi probabilitas distribusi Rayleigh merupakan fungsi densitas.

1) , ,untuk setiap ∈

Jelas bahwa untuk setiap ∈ .

2) ∫_−∞∞ , =

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ∫_−∞∞ =

Misalkan = maka =

∫∞ = ∫ ∞ −( )

= lim_→∞∫ − _{= lim} →∞−

− _| = lim_→∞ − − _{+ = .}

Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut

Gambar 3.1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai = . , . , , . , , . Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.6

Definisi 3.3

Jika diketahui bahwa fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh seperti yang diberikan pada definisi 3.2, maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka diperoleh

= ∫

= ∫ −( )

Misalkan = maka =

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x f( x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x f( x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x f( x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x f( x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x f( x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x f( x) b=0.5 b=0.8 b=1 b=1.5 b=2 b=3

= ∫ −( )

= ∫ −

= ∫ exp − = −exp − |

= −exp − |

= − exp − .

Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah − exp − .

Gambar 3.2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.7

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F (x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F (x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F (x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F (x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F (x)

0 2 4 6 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F (x) b=0.5 b=0.8 b=1 b=1.5 b=2 b=3

B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter

Karakteristik distribusi Rayleigh dicirikan dengan adanya konstanta rata-rata (mean) dan variansi.

a. Rata-rata (Mean) Berdasarkan definisi 2.6,

= ∫∞ . −∞

= lim_→∞∫ −( )

= lim_→∞∫ . −( )

= [ ∫ −( ) ] − lim_→∞∫ −( )

= [ − − lim_→∞∫ −( ) ]

= − lim_→∞∫ −( )

=√ �

√ � lim→∞∫

−( )

Dengan mengingat contoh 2.2 bahwa ∫

� √ �

− �−�_{� = ,} ∞

−∞ atau

� √ �∫

− �−�_{� =}

� √ �(� √ � = , ∞

−∞ maka ∫

−(� ) ∞

akan memiliki

penyelesaian √ � , sehingga =√ �

√ � . √ �

= √�.

Jadi, rata-rata distribusi Rayleigh adalah = √�, dengan � = , .

b. Variansi

Berdasarkan teorema 2.1,

= − [ ] ,

diketahui = √�, maka untuk mencari akan dihitung terlebih dahulu

= ∫∞ . −∞

= lim_→∞∫ −( )

= lim_→∞∫ −( ) − lim_→∞∫ −( )

= −( )|

∞

− lim_→∞∫ −( )

= − − lim_→∞∫ −( )

= − −( )|

∞

= − − =

sehingga diperoleh

= − [ ] = − √� = − � = − � .

Jadi, variansi distribusi Rayleigh adalah = − � , dengan � = , .

C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil Pendugaan parameter distribusi Rayleigh yaitu menduga parameter skala , pendugaan parameter dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya adalah Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat Terkecil adalah metode untuk menduga parameter dari sebuah model linear.

Diketahui fungsi kumulatif distribusi Rayleigh adalah

= − exp (− ).

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh merupakan fungsi nonlinear. Agar Metode Kuadrat Terkecil dapat digunakan untuk menduga parameter distribusi Rayleigh maka persamaan tersebut harus diubah menjadi persamaan linear dengan menggunakan transformasi logaritma sebagai berikut

� = − exp (− )

exp (− ) = − �

ln exp (− ) = ln( − �

− = ln( − �

= − ∙ ln( − �

Persamaan 3.1 tersebut dapat diubah menjadi persamaan _� = + _� dengan

� = �, = , = , dan

� = √− ∙ ln( − � , dengan � = , , … , .

Dalam skripsi ini penulis hanya menduga satu parameter saja maka berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 yaitu

∑ � = ̂ + ̂ ∑ �

�= �=

∑ � � = ̂ ∑ � �=

+ ̂ ∑ �

�= �=

dan diketahui untuk β̂ yang merupakan penduga dari β = maka β̂ tidak akan dihitung, sehingga diperoleh persamaan berikut

∑ � � = ∑ � �=

+ ̂ ∑ �

�= �=

∑ � � = + ̂ ∑ � �=

�=

̂ = ∑_∑�= � � �

�= . Karena ̂ merupakan penduga dari = , maka ̂ = ̂ kemudian nilai _� = _�,

̂ =∑�= √− ∙ ln( − � � ∑�= √− ∙ ln( − �

=

∑�= √− ∙ ln( − � �

∑ (− ∙ ln( −�= � .

_� pada persamaan . tidak diketahui maka akan diduga dengan ̂ _� .

Karena − _� > maka _� < dengan demikian _� diduga dengan

̂ _{� =} �

+ , bukan dengan ∑�= � sebagaimana definisi 2.26.

D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum

Metode Kemungkinan Maksimum merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menduga paramater. Prinsip dasar metode ini adalah menentukan penduga parameter �̂, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh adalah menduga parameter skala . Menurut definisi 3.2, fungsi distribusi probabilitas distribusi Rayleigh satu parameter adalah

; )={ (− ), , > , selainnya Menurut definisi 2.24, fungsi likelihood adalah

|� = ∏ �; � �=

Oleh karena itu, fungsi likelihood untuk distribusi Rayleigh adalah

, , . . . , | = ∏ � ; �=

Untuk selanjutnya , , . . . , | akan ditulis dengan . Misalkan , , . . . , merupakan sampel random dari observasi dari populasi Rayleigh, maka fungsi kemungkinan maksimum untuk sampel tersebut yaitu

= ∏ � �=

(− � ₎

= ∏�= � − ∑ �

= − ∑ � ∏ �

�= . Penduga parameter ̂ dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood-nya. Untuk menduga akan dilakukan pendugaan terhadap terlebih dahulu, yaitu ̂. Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya. Sebelum dicari turunan parsial pertamanya, gunakan logaritma pada kedua ruas agar persamaan . tersebut menjadi persamaan linear

ln = ln − ∑ � ∏ �

�=

ln = −ln + ln − ∑ � + ln (∏ � �= ) ln = − ln +− ∑ � + ∑ �

�= ln = − ln −∑ � + ∑ �

�=

. Setelah diperoleh persamaan linearnya, kemudian persamaan 3.4 akan dicari turunan parsial pertamanya terhadap dan nilai dari turunannya disama dengankan nol, maka akan diperoleh

ln

= (− ln −∑ � + ∑ �

�=

) =

= − ln + −∑ � + (∑ �

�=

) =

= − +∑ � = . Persamaan 3.5 tersebut mempunyai penyelesaian

− +∑ � =

= ∑ �

= ∑ �

̂ = ∑ � _. Karena ̂ merupakan penduga dari ̂ = ∑ � , maka penduga bagi adalah

̂ = √∑ � _.

E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh

Akan dicari fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh karena akan berguna untuk mencari fungsi densitas dari ̂. Berdasarkan definisi 2.13, maka diperoleh

= ∫∞ −∞

= ∫∞ − −∞

= lim_→∞∫ −

= lim_→∞∫ −

= lim_→∞∫ − +

= lim_→∞∫ − −

= lim_→∞∫ −

Misalkan = , = √ , = , = =

√ = lim_→∞∫ √ −

√ = lim_→∞∫ −

= �

=

Ingat = − = − , sehingga, =

− .

= − = ₋ ∙ = ₋ = − −

Jadi, fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh adalah = − − _.

Teorema 3.1

Distribusi probabilitas atau fungsi densitas dari ̂ adalah sebagai berikut

(̂ = {

(̂ − − ̂_̂ ̂

− ! < Bukti:

Akan dicari fungsi pembangkit moment dari ̂ = ∑ � . Terlebih dahulu akan dicari fungsi pembangkit momen dari ∑_{�= �} , dengan _� merupakan sampel random dari distribusi Rayleigh. Jika _� diasumsikan independen, maka _∑

� dapat dicari berdasarkan teorema 2.4 yaitu fungsi pembangkit momen dari

jumlahan variabel random yang independen sama dengan perkalian fungsi pembangit momen dari masing-masing suku jumlah,

� = × × … × � .

Dari persamaan . diketahui fungsi pembangkit momen dari _� yang merupakan sampel random distribusi Rayleigh yaitu

= − −

maka

∑ _� = × × … × �

= − − _{× −} − _{× … × −} −

= − � −

Dengan menggunakan teorema 2.3 sifat 1 dari fungsi pembangkit momen, yaitu

� = �

dengan merupakan fungsi dari dan adalah sebuah konstanta, akhirnya

diperoleh fungsi pembangkit momen dari ̂ =∑ � sebagai berikut

̂ = ∑ _�

= ∑ _� ( )

= −

−

Berdasarkan fungsi pembangkit momen dari ̂ di atas dapat diidentifikasi bahwa itu adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai tertentu. Akan dicari nilai tertentu dari distribusi Gamma yang akan menghasilkan fungsi pembangkit momen yang identik dengan fungsi pembangkit momen dari ̂. Pertama berdasarkan definisi 2.9 fungsi densitas dari distribusi Gamma adalah

= {

− −

� <

Pada parameter dan akan dikenakan suatu nilai, misal = dan = dengan adalah ukuran sampel dan adalah parameter distribusi Rayleigh. Sehingga, distribusi Gamma akan menjadi

= {

− −

( ) � <

Berdasarkan teorema 2.2 sifat ke-2 bahwa fungsi Gamma memiliki sifat � = � = − ! dengan selalu bilangan bulat positif, maka diperoleh

= {

− −

( ) − ! <

Kemudian akan dicari fungsi pembangkit momen dari sebagai berikut

= ∫ −

−

− _{− !}

∞

= ∫ −

−

− _{− !}

∞

= ∫ −

−

− _{− !}

∞

= ∫ −

− −

− _{− !}

∞

dengan memisalkan = − , maka diperoleh

= ∫ −

−

− _{− !}

∞

= � ₋ �

= ₋

=

Ingat bahwa = − = − maka =

−

= ( − ) = ₋ ∙ = ₋ ∙ = ₋

=

− = −

−

Jadi,

= = −

−

.

Telah ditujukkan bahwa persamaan . yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai = dan = identik dengan fungsi pembangkit momen dari ̂. Oleh karena itu, menurut Teorema 2.3 (Teorema Ketunggalan) dapat disimpulkan bahwa fungsi densitas dari ̂ adalah fungsi densitas Gamma dengan = dan = . Jadi, fungsi densitas dari ̂ adalah

(̂ = {

(̂ − − ̂_̂ ̂

− !

Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh

Pendugaan selang atau selang kepercayaan distribusi Rayleigh adalah menduga selang kepercayaan terhadap parameter , menduga selang kepercayaan rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh. Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan adalah Metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri:

1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter , dengan adalah kuantitas yang tidak diketahui.

2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter . Karena Metode Pivot bergantung pada kuantitas Pivot maka dipilih variabel

random = ̂ dengan = sebagai kuantitas Pivot. Untuk memenuhi ciri kuantitas Pivot yang kedua maka akan dicari terlebih dahulu distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot.

Berdasarkan teorema 3.1 diketahui bahwa fungsi densitas dari ̂ adalah sebagai berikut

(̂ = {

(̂ − − ̂_̂ ̂

− ! <

Telah dipilih variabel random = ̂ , dengan = .

= {

−

� <

Fungsi diatas berdasarkan definisi 2.10 dikenal sebagai distribusi (Chi-Square)

adalah derajat bebas. Karena variabel random = ̂ merupakan kuantitas Pivot akan ditunjukan bahwa memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot yaitu

1. merupakan fungsi dari pengukuran sampel (melalui ̂) dan parameter yang tidak diketahui.

2. f tidak bergantung pada

Jadi, memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot. Kemudian akan diproses untuk memperoleh selang kepercayaan.

Selang Kepercayaan terhadap parameter �

Untuk membentuk selang kepercayaan terhadap parameter , terlebih dahulu akan dibentuk selang kepercayaan terhadap parameter . Karena distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui yaitu distribusi (Chi-Square) dengan derajat bebas , maka selang kepercayaan (Chi-Square) dapat digunakan untuk membentuk selang kepercayaan terhadap parameter .

Misalkan tingkat signifikansi sebesar − = . , maka selang kepercayaan bagi akan ditentukan sebagai berikut

�r [ . ; < ̂ < . ; ] = . �r [ ̂_{. ;} < < ̂_{. ;} ] = . Karena ̂ = ∑ � =∑ � , kemudian diperoleh

�r [ ∑_. � _; < < ∑_. � _; ] = .

Untuk bentuk umum dari setiap tingkat signifikansi diperoleh

�r [

∑ _�

( + − _; < <

∑ _�

( − − _;

]

Jadi, selang kepercayaan terhadap parameter untuk bentuk umum dari setiap signifikansi adalah

�r [

√ ∑ �

( + ; )) < < √

∑ �

( ; )) ]

= − .

Selang Kepercayaan terhadap rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh Diketahui bahwa rata-rata distribusi Rayleigh misalkan adalah = √� dan variansi adalah � = − � . Dengan menggunakan selang kepercayaan terhadap parameter untuk bentuk umum dari setiap signifikansi , hal ini

memungkinkan untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi rata-rata = √�, yaitu

�r [

� ∑ �

[ + ; ])

⁄

< < � ∑ �

[ ; ])

⁄

]

= −

dan variansi � = − �

�r [ − � ∑ �

( + ; )< � <

− � ∑ �

( ; ) ] = −

Jadi diperoleh selang kepercayaan bagi , rata-rata , dan variansi � , yang merupakan parameter dasar dari distribusi Rayleigh.

BAB IV

PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH

Pada Bab IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada kasus data tinggi gelombang laut. Data yang digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh adalah data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas

Pantai P.Kalukalukuang dikutip dari “Pengolahan Data Angin dan Pasang Surut” Laporan Tugas Akhir (Kl-4020) Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe Deck On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan.

A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan.

Tabel 4.1 di bawah ini berupa data sebaran gelombang laut di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang menyajikan informasi mengenai jumlah kejadian satu-tahunan variasi tinggi gelombang laut. Data yang digunakan adalah data tinggi gelombang laut terbesar berdasarkan arah angin dalam periode 14 tahun (1991-2004) dengan jumlah sampel = . Tujuan dari subbab ini adalah menduga parameter dari data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan.

Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut dalam (m)

Gelombang Terbesar Tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang (Diramal Berdasarkan Data Angin dari Stasiun Makassar)

No Tahun Utara Selatan Barat

Daya Barat

Barat Laut

Tinggi Gelombang

Terbesar �

1 1991 0.56 0.23 0.34 1.27 1.13 1.27

2 1992 1.61 0.67 0.49 1.49 0.94 1.61

3 1993 0.69 0.94 1.09 2.47 1.03 2.47

4 1994 1.38 1.27 1.94 1.00 1.68 1.94

5 1995 1.2 0.56 0.76 1.45 1.27 1.45

6 1996 1.13 0.41 0.56 1.80 2.00 2.00

7 1997 1.09 0.41 0.58 1.16 4.04 4.04

8 1998 0.94 0.55 0.50 1.00 1.68 1.68

9 1999 3.49 0.59 0.93 1.29 1.48 3.49

10 2000 1.16 0.4 0.44 1.00 1.38 1.38

11 2001 2.1 0.59 0.95 1.06 2.24 2.24

12 2002 2.36 0.76 1.09 2.15 1.34 2.36

13 2003 1.48 1.28 1.47 2.33 3.15 3.15

14 2004 1.29 0.65 1.19 2.75 3.54 3.54

1. Transformasi Model Regresi Distribusi Rayleigh

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah fungsi nonlinear. Oleh karena itu, dilakukan transformasi ke fungsi linear dengan menggunakan transformasi logaritma. Berdasarkan persamaan 3.1 transformasi logaritma dari distribusi Rayleigh adalah

= √− ∙ ln( − �

Data tinggi gelombang yang mengikuti distribusi Rayleigh akan ditransformasikan dalam bentuk regresi linear sederhana yang diberikan oleh

dengan _� = _�, = , = , dan _� = √− ∙ ln( − _� , dengan � = , , … , , _�= tinggi gelombang laut terbesar.

Misalkan untuk � =

= √− ∙ ln( − =

Dengan langkah yang sama, maka akan di dapatkan dan sampai dan .

2. Pendugaan Parameter

Berdasarkan persamaan 3.2 penduga dari adalah

̂ =∑�= √− ∙ ln( − � �

∑ (− ∙ ln( −�= �

karena − _� > maka _� < dengan demikian _� diduga dengan yaitu ̂ _{� =} �

+ , bukan dengan ∑�= � sebagaimana definisi 2.26.

Jadi pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang diduga dengan ̂, sehingga diperoleh hasil

̂ =∑�= √− ∙ ln( − � �

∑ (− ∙ ln( −�= � = ._.

= .

sehingga fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh diperoleh sebagai berikut

) =

.

( _.− )

Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.8.

Arti ) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) menyatakan distribusi peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu

) =∫ _. ( .− )

.

= . ∫ .−

.

Misal = −

. maka =

−

. ,

.

− = , lalu akan dihitung

terlebih dahulu

∫ .− = ∫ .

− =

.

− ∫ = − . +

= − . .− + sehingga

)_{= .} ∫ −.

.

= − _.. .− |

.

= − . ( − .. − .− )

= − . ( − . ₋ − .

= − . . − .

= − . − .

= .

Jadi, peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] adalah 0.171202.

Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala = .

Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.9.

B. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum

Pendugaan parameter distribusi Rayleigh juga dapat dilakukan dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Prinsip dasar Metode Kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Berdasarkan persamaan 3.3 fungsi likelihood dari distribusi Rayleigh adalah

, , . . . , ; = ∏ � , =

− ∑ �

∏ �

�= �=

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0

.1

0

0

.1

5

0

.2

0

0

.2

5

0

.3

0

0

.3

5

Xi

f

dist Rayleigh data asli

Berdasarkan persamaan 3.6 penduga dari yaitu

̂ = √∑ �

Pendugaan parameter data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan Metode Kemungkinan Maksimum dilakukan dengan Ms. Excel, berikut ini adalah hasil pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum

̂ = √∑ � _{= √} .

∙ = . .

Jadi fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh adalah

)=

.

( _.− )

Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.10.

Arti ) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum menyatakan distribusi peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu

) =∫ _. ( .− )

.

= . ∫ .−

.

Misal = −

. maka =

−

. ,

.

− = , lalu akan

Lampiran A.11 : Program untuk Gambar 4.2 > data=read.csv(file.choose(),header=T)

> data gelombang 1 1.27 2 1.38 3 1.45 4 1.61 5 1.68 6 1.94 7 2.00 8 2.24 9 2.36 10 2.47 11 3.15 12 3.49 13 3.54 14 4.04 > b=1.757045 > xi=data[,1]

> fMKM=xi/(b^2)*(exp((-xi^2)/(2*b^2)))

> plot(xi,fMKM, xlab="Xi", ylab="f",col="green",type="o") > x=seq(0,4.04,length.out=14)

> f=x/(b^2)*(exp((-x^2)/(2*b^2))) > lines(x,f,col="black",type="l")

>legend("topright",c("dist Rayleigh","data asli"),col=c("green", "black"),pch=22:21, lty=1:1)

Lampiran A.12 : Tabel Chi-Square

d.f. 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01

1 0 0 0 0 0.02 2.71 3.84 5.02 6.63

2 0.01 0.02 0.05 0.1 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 4 0.21 0.3 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.2 10.64 12.59 14.45 16.81 7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 18.55 21.03 23.34 26.22 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 15 4.6 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25 27.49 30.58 16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.3 28.85 32 17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.2 30.14 32.85 36.19 20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 24 9.89 10.86 12.4 13.85 15.66 33.2 36.42 39.36 42.98 26 11.16 12.2 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64 28 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.6 40.26 43.77 46.98 50.89 32 15.13 16.36 18.29 20.07 22.27 42.58 46.19 49.48 53.49 34 16.5 17.79 19.81 21.66 23.95 44.9 48.6 51.97 56.06 38 19.29 20.69 22.88 24.88 27.34 49.51 53.38 56.9 61.16 42 22.14 23.65 26 28.14 30.77 54.09 58.12 61.78 66.21 46 25.04 26.66 29.16 31.44 34.22 58.64 62.83 66.62 71.2 50 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 63.17 67.5 71.42 76.15 55 31.73 33.57 36.4 38.96 42.06 68.8 73.31 77.38 82.29

60 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 74.4 79.08 83.3 88.38 65 39.38 41.44 44.6 47.45 50.88 79.97 84.82 89.18 94.42 70 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 85.53 90.53 95.02 100.43 75 47.21 49.48 52.94 56.05 59.79 91.06 96.22 100.84 106.39 80 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 96.58 101.88 106.63 112.33 85 55.17 57.63 61.39 64.75 68.78 102.08 107.52 112.39 118.24 90 59.2 61.75 65.65 69.13 73.29 107.57 113.15 118.14 124.12 95 63.25 65.9 69.92 73.52 77.82 113.04 118.75 123.86 129.97 100 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 118.5 124.34 129.56 135.81

Lampiran A.13 : Program untuk Gambar 4.3 > data=read.csv(file.choose(),header=T)

> data

i Xi f0 Fn Fn.1 D. D..1 1 1 1.27 0.2299 0.0714 0.0000 -0.1585 0.2299 2 2 1.38 0.2654 0.1429 0.0714 -0.1225 0.1940 3 3 1.45 0.2886 0.2143 0.1429 -0.0743 0.1457 4 4 1.61 0.3428 0.2857 0.2143 -0.0571 0.1285 5 5 1.68 0.3669 0.3571 0.2857 -0.0097 0.0812 6 6 1.94 0.4564 0.4286 0.3571 -0.0278 0.0993 7 7 2.00 0.4768 0.5000 0.4286 0.0232 0.0483 8 8 2.24 0.5563 0.5714 0.5000 0.0151 0.0563 9 9 2.36 0.5943 0.6429 0.5714 0.0486 0.0228 10 10 2.47 0.6277 0.7143 0.6429 0.0866 -0.0151 11 11 3.15 0.7995 0.7857 0.7143 -0.0138 0.0852 12 12 3.49 0.8609 0.8571 0.7857 -0.0038 0.0752 13 13 3.54 0.8686 0.9286 0.8571 0.0600 0.0115 14 14 4.04 0.9289 1.0000 0.9286 0.0711 0.0003 > f0=data[,3]

> fn=data[ ,4] > xi=data[,2]

> plot(xi,f0,type="l",col="blue") > lines(xi,fn,col="red")

>legend("topleft",c("Grafik F0(xi)","Grafik Fn(xi)"), cex=0.8,col=c("blue","red"), pch=21:22, lty=1:2)

Lampiran A.14 : Perhitungan MSE untuk data tinggi gelombang terbesar di Pantai P. Kalukalukuang

> data=read.csv(file.choose(),header=T) > data

gelombang F.xi. 1 1.27 0.06666667 2 1.61 0.13333333 3 2.47 0.20000000 4 1.94 0.26666667 5 1.45 0.33333333 6 2.00 0.40000000 7 4.04 0.46666667 8 1.68 0.53333333 9 3.49 0.60000000 10 1.38 0.66666667 11 2.24 0.73333333 12 2.36 0.80000000 13 3.15 0.86666667 14 3.54 0.93333333 > xi=data[,1]

> Fxi=data[,2] > b=1.715623

> FMKT=1-exp(-((xi^2)/(2*b^2))) > n=14

> MSE=(1/n)*sum((Fxi-FMKT)^2) > MSE

[1] 0.06203295 > bMLE=1.757045

> FMLE=1-exp(-((xi^2)/(2*bMLE^2))) > MSE2=(1/n)*sum((Fxi-FMLE)^2) > MSE2