Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust Median Absolute Deviation (MAD)
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE ROBUST MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
(MAD)
LENY YUSTIE WIDIASARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Robust Median Absolute Deviation (MAD) adalah
benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Leny Yustie Widiasari
NIM G54100031
ABSTRAK
LENY YUSTIE WIDIASARI. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan
Metode Robust Median Absolute Deviation (MAD). Dibimbing oleh NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Jika diketahui segugus data pada suatu model dinamik yang belum diketahui
nilai-nilai parameternya, maka metode yang paling umum digunakan untuk
menduga parameter adalah metode Least Square. Namun, metode ini sangat sensitif
terhadap pencilan. Untuk mengatasi pencilan digunakan metode yang tahan
terhadap pencilan, yaitu metode robust. Ada beberapa metode robust antara lain
metode Least Absolute Deviation dan metode Median Absolute Deviation.
Pendugaan parameter dengan metode Least Absolute Deviation dan Median
Absolute Deviation relatif sama untuk banyaknya pencilan yang kecil. Sedangkan
untuk banyaknya pencilan yang besar, metode Median Absolute Deviation paling
tahan terhadap pencilan. Model yang parameternya diduga pada karya ilmiah ini
yaitu model dinamik logistik dan model dinamik SEI (Susceptible, Exposed, dan
Infectious) dengan data berupa data hipotetik. Keakuratan pendugaan parameter
diukur dari nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
Kata kunci: Least Absolute Deviation, Least Square, Median Absolute Deviation,
pencilan, robust
ABSTRACT
LENY YUSTIE WIDIASARI. Parameter Estimation of Dynamical Model using
Robust Median Absolute Deviation (MAD) Method. Supervised by NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Given a data set in a dynamical model with unknown parameter values, the
most commonly used method for parameter estimation is the least square method.
However, this method is very sensitive to outliers. Because of this, a robust method
to handle outliers is used. There are several robust methods such as Least Absolute
Deviation method and Median Absolute Deviation method. When the number of
outliers is relatively small, the result of parameter estimation using Least Absolute
Deviation method and Median Absolute Deviation method are relatively similar.
However, when the number of outliers is relatively large, the Median Absolute
Deviation method is the most robust method to outliers. The dynamical models used
in this manuscript are logistic and SEI (Susceptible, Exposed, and Infectious)
models with hypothetical data. The accuracy of parameter estimation was measured
by the value of Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
Keywords: Least Absolute Deviation, Least Square, Median Absolute
Deviation, outliers, robust
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE ROBUST MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
(MAD)
LENY YUSTIE WIDIASARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini
juga tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1 Keluarga: Mama, Bapak, dan kakak-kakak atas semua doa, dukungan, semangat,
pengorbanan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya.
2 Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto,
MSi masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas
semua ilmu yang diberikan, kesabarannya dalam membimbing penulis, dan
bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini.
3 Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas saran
dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah.
4 Dosen, staf penunjang Departemen Matematika, dan Bu Susi atas semua ilmu,
kebaikannya, dan bantuannya.
5 Teman-teman Matematika 47, kakak-kakak Matematika 46, adik-adik
Matematika 48, dan teman kosan (Rike dan Anggun) atas semua bantuannya,
saran, ilmunya, dukungan dan motivasinya selama ini.
6 Semua pihak-pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang turut membantu
dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Oktober 2014
Leny Yustie Widiasari
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
METODE PENELITIAN
4
Model Analisis
4
Data Pengamatan
5
Metode Analisis
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pendugaan Parameter Model Logistik
6
Pendugaan Parameter Model SEI
8
SIMPULAN
11
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
48
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik
Parameter dugaan untuk setiap metode pada model logistik
Parameter dugaan untuk setiap metode pada model SEI
Nilai MAPE untuk setiap metode pada model logistik dan SEI
Nilai MAPE untuk setiap metode pada state variabel model SEI
6
7
10
11
47
DAFTAR GAMBAR
1 Bentuk umum boxplot
2 Tebaran data hipotetik model logistik tanpa pencilan
3 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
4 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
5 Tebaran data hipotetik model SEI tanpa pencilan
6 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
7 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
8 Boxplot APE ketiga metode pada data hipotetik model logistik dengan
pencilan 10%
9 Boxplot APE ketiga metode pada data hipotetik model logistik dengan
pencilan 40%
10 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
11 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
12 Boxplot APE metode LS pada data hipotetik model SEI dengan pencilan
10%
13 Boxplot APE metode LS pada data hipotetik model SEI dengan pencilan
40%
14 Boxplot APE metode LAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 10%
15 Boxplot APE metode LAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 40%
16 Boxplot APE metode MAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 10%
17 Boxplot APE metode MAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 40%
4
6
7
7
8
9
9
10
10
44
45
46
46
46
46
46
46
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
logistik
2 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
SEI
3 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model
logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD
4 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model SEI
dengan metode LS, LAD, dan MAD
5 Boxplot untuk setiap metode pada model SEI
6 Nilai MAPE untuk setiap metode pada state variabel model SEI
12
22
43
44
45
46
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kajian tentang model dinamik biasanya hanya terfokus pada masalah titik
tetap, kestabilan, dan analisisnya dengan nilai-nilai parameter yang sudah diberikan
atau dipilih sembarang. Kenyataannya, beberapa model dinamik belum diketahui
nilai-nilai parameternya. Kesulitan mendapatkan nilai parameter dikarenakan
kekurangan data real dari lapangan.
Jika diberikan suatu gugus data pada model dinamik yang belum diketahui
nilai parameternya, maka masalah yang sering kali dihadapi yaitu menentukan
metode untuk pendugaan parameter model tersebut. Ingin diduga nilai-nilai
parameter yang bersifat robust (tahan) terhadap adanya pencilan data.
Pendugaan parameter model dinamik dapat dilakukan secara tidak langsung
ataupun langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung
dimulai dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan
dengan melakukan regresi. Namun, tidak semua model dinamik dapat ditentukan
solusi analitiknya. Untuk mengatasi hal ini, diperkenalkan pendugaan secara
langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara langsung dimulai dengan
mencari solusi dari model dinamik. Solusi ini dapat berupa solusi analitik maupun
solusi numerik. Setelah didapat solusinya, maka parameternya dapat diduga
langsung menggunakan beberapa metode yang telah ada.
Metode yang paling umum digunakan untuk menduga nilai parameter dari
suatu model dengan menggunakan segugus data pengamatan yaitu dengan cara
meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Metode ini disebut metode Least Square
(LS). Namun, metode LS ternyata tidak tahan dan sangat sensitif terhadap pencilan
(Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan digunakan metode yang robust terhadap
adanya pencilan data. Metode robust yang akan digunakan yaitu metode Least
Absolute Deviation (LAD) dan Median Absolute Deviation (MAD). Metode LAD
merupakan metode yang dikenal luas sebagai alternatif dari metode LS. Sebagai
gantinya mengurangi jumlah galat kuadrat, metode LAD meminimumkan jumlah
nilai absolut dari galat. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode LAD
telah diaplikasikan pada beberapa model dinamik (Tanika 2006). Berbeda dengan
metode LAD, metode MAD meminimumkan median nilai mutlak selisih antara
galat dengan median galat. Pada karya ilmiah ini, metode robust yang digunakan
akan dibandingkan dengan metode LS.
Model dinamik yang akan digunakan pada karya ilmiah ini adalah model
logistik dan model SEI (Susceptible, Exposed, dan Infectious). Model logistik
menggambarkan pertumbuhan suatu populasi sedangkan model SEI merupakan
salah satu model epidemik. Model epidemik merupakan model matematika yang
digunakan untuk mengetahui penyebaran penyakit menular. Pada karya ilmiah ini,
model logistik dan model SEI akan diduga parameternya berdasarkan data hipotetik
(bangkitan) dan dicari galatnya.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu:
1 Mengkaji pendugaan parameter model dinamik dengan metode Least Square
(LS) dan metode robust yaitu Least Absolute Deviation (LAD) dan Median
Absolute Deviation (MAD).
2 Membandingkan metode Least Square (LS), Least Absolute Deviation (LAD),
dan Median Absolute Deviation (MAD) dalam pendugaan parameter model
dinamik.
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan n state variabel , , … , �
yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada
waktu t dinyatakan sebagai berikut:
,…, �
̇ =
⋮
(1)
̇� = � , … , �
atau
̇=
�� �
=
,� .
̇=
�� �
=
, �, � .
��
Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya dapat
dinyatakan sebagai berikut:
��
(2)
(Strogatz 2000)
Peminimuman Fungsi
Salah satu metode peminimuman fungsi yang lazim digunakan yaitu metode
Newton. Misalkan diberikan fungsi n variabel f(x) dan diberikan titik awal ,
selanjutnya dicari hampiran titik yang meminimumkan fungsi f dengan
menggunakan formula iterasi metode Newton sebagai berikut:
−
� = , , ,…
� ,
�+ = � − (∇
� ) ∇
dengan
��
∇
�
=
dan kriteria kekonvergenan ‖∇
��
��
��
��
( ���
�+
⋮
,
)
‖ < �.
� = , ,…
(Bertsekas 2003)
3
Pencilan (Outlier)
Pencilan merupakan suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang
sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data lainnya. Oleh karena itu, suatu
pencilan patut diperiksa secara cermat untuk mengetahui alasan atau penyebab
terdapatnya pencilan.
(Draper dan Smith 1992)
Misalkan terdapat n buah pengamatan data , , … , � . Q1 merupakan
kuartil pertama dan Q3 merupakan kuartil ketiga. Pencilan antara lain dapat
dideteksi dengan aturan metode Tukey yaitu pengamatan yang lebih besar dari Q3
+ 1.5 (Q3 – Q1) atau lebih kecil dari Q1 − 1.5 (Q3 – Q1).
(Seo 2002)
Metode Least Square (LS)
Misalkan dari persamaan (2) diperoleh solusi ̂ �, � dan dari data
pengamatan diperoleh suatu model � = ( �, � ) + � untuk i = 1, 2, ... , n. Maka
p dapat diduga dengan cara berikut:
�
dengan
min ∑
�=
�
− ̂�
̂� = ( ̂ �, � ).
(Draper dan Smith 1992)
Metode Robust
Metode penduga parameter lainnya yang bersifat robust terhadap pencilan
yaitu metode Weighted Least Square (WLS), metode Least Absolute Deviation
(LAD), metode Least Trimmed Square (LTS), metode Least Median of Square
(LMS) (Yafee 2002). Keempat metode tersebut sudah diterapkan pada karya ilmiah
sebelumnya. Metode robust lainnya yaitu metode Median Absolute Deviation
(MAD).
(Ripley 1992)
Metode Least Absolute Deviation (LAD)
Kriteria peminimuman pada metode LAD tidak menggunakan bentuk kuadrat,
melainkan bentuk mutlak sehingga menjadi sebagai berikut:
min ∑��= | � − ̂� |.
(3)
(Yafee 2002)
Persamaan (3) dapat ditulis ke dalam bentuk
�
min ∑
�=
�
= min ∑
�=
|
|
− ̂� |
|
� − ̂� |
|
�
�
− ̂� |
�
− ̂� |
�
− ̂� .
4
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median| � − ̂� − median � − ̂� |.
(Ripley 1992)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) didefinisikan sebagai berikut:
MAPE =
�
�
∑|
�=
�
− ̂�
�
|.
(Moreno et al. 2013)
dengan
n = banyaknya pengamatan,
� = data aktual (data yang sebenarnya) ke-i,
̂� = penduga data ke-i,
Keakuratan suatu penduga parameter dapat dilihat dari nilai MAPE. Semakin kecil
nilai yang diperoleh maka pendugaan parameter akan memiliki nilai yang semakin
akurat. Untuk melihat sebaran APE (Absolute Percentage Error), akan ditampilkan
dalam diagram kotak (boxplot).
Pencilan
Whisker
Q3 (kuartil ketiga)
M (median)
Q1 (kuartil kesatu)
Whisker
Pencilan
Gambar 1 Bentuk umum boxplot
(Weisstein 1999)
METODE PENELITIAN
Model Analisis
Model yang digunakan pada tulisan ini yaitu model logistik dan model SEI.
1 Model Logistik
5
Suatu populasi seringkali meningkat secara eksponensial pada awalnya tetapi
melambat pada akhirnya dan mendekati kapasitas tampungnya karena sumberdaya
yang terbatas dapat direpresentasikan dengan model logistik. Model logistik yang
kontinu terhadap waktu dijelaskan dalam persamaan diferensial sebagai berikut:
��
��
=
�� �−�
�
,
dengan P merupakan populasi, r dan K merupakan parameter yang akan diduga.
(Strogatz 2000)
2 Model SEI
Model SEI yaitu model yang mengamati perubahan jumlah populasi terhadap
waktu. Banyaknya individu di suatu populasi pada waktu t dinyatakan dengan N
dan dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok rentan (susceptible), tak
terlindungi (exposed), dan kelompok terinfeksi (infectious). Kelompok rentan yaitu
kelompok yang mempunyai potensi untuk tertular oleh suatu penyakit. Kelompok
tak terlindungi yaitu kelompok yang telah terinfeksi tetapi belum dapat digolongkan
sebagai kelompok terinfeksi. Kelompok terinfeksi yaitu kelompok yang telah
positif mengidap suatu penyakit.
Model SEI yang digunakan dalam karya ilmiah ini yaitu model SEI dengan
insidensi simple mass action dan reproduksi seragam. Model tersebut merupakan
penurunan dari model umum SEI yang dirumuskan dalam sistem persamaan
diferensial berikut:
��
��
��
��
��
��
=�
− � − ��� + ��
=�
−� − �+
= ��� + �� − � + � �
(4)
+� �+ �
� =�+�+� = ,
dengan S proporsi kelompok rentan, E proporsi kelompok tak terlindungi, I proporsi
kelompok terinfeksi, dan parameter yang akan diduga yaitu α, β, b, dan k.
(Gao et al. 1995)
Data Pengamatan
Data yang digunakan merupakan data bangkitan atau hipotetik dengan
bantuan software Mathematica 9. Data hipotetik diperoleh berdasarkan solusi
numerik model dinamik dengan memberikan nilai parameter awal dan nilai awal
seperti pada Tabel 1.
6
Tabel 1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik
Model Dinamik
Nilai Parameter Awal
Nilai Awal
Model logistik
� = 0.200
� = 3.000
� = 100.000
Model SEI
= 100.500
� = 0.600
= 102.910
� = 0.400
� = 2.000
� = 0.000
� = 500.000
� = 1.000
Kemudian dari solusi yang diperoleh ditambahkan bilangan antara -3 sampai 3
secara acak. Langkah-langkah membangun data hipotetik dapat dilihat secara rinci
di Lampiran 1 dan Lampiran 2.
Metode Analisis
Dalam menduga parameter digunakan metode Least Square (LS), metode
robust Least Absolute Deviation (LAD), dan metode robust Median Absolut
Deviation (MAD). Penduga parameter model yang diperoleh digunakan untuk
menghitung akurasi model dengan Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yang
ditampilkan pada boxplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendugaan Parameter Model Logistik
�
Misalkan terdapat model logistik �′ = �� − . Data hipotetik yang
�
digunakan terdiri dari dua jenis, yaitu data hipotetik tanpa pencilan dan data
hipotetik dengan pencilan. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada
Gambar 2.
Pt
100
80
60
40
20
20
40
60
80
100
t
Gambar 2 Tebaran data hipotetik model logistik tanpa pencilan
Parameter r dan K diduga dengan menggunakan tiga metode yaitu metode LS,
LAD, dan MAD. Dengan menggunakan ketiga metode, untuk data hipotetik tanpa
pencilan diperoleh plot seperti pada Gambar 3. Plot hasil pendugaan dengan ketiga
metode terlihat hampir saling berhimpit.
7
Pt
100
80
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
60
40
20
20
40
60
80
100
t
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD,
dan MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
Sedangkan untuk data hipotetik dengan pencilan diperoleh plot seperti pada
Gambar 4. Pada gambar tersebut, terlihat bahwa plot hasil pendugaan dengan
metode LS cenderung tertarik ke arah pencilan. Plot hasil pendugaan dengan
metode LAD dan MAD sama sekali tidak terpengaruh oleh pencilan dan keduanya
hampir saling berhimpit.
Pt
100
80
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
60
40
20
20
40
60
80
100
t
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD,
dan MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
Pengaruh jumlah pencilan pada plot hasil pendugaan dengan ketiga metode model
logistik dapat dilihat pada Lampiran 3.
Nilai hasil dugaan yang diperoleh dari masing-masing metode adalah seperti
pada Tabel 2.
Tabel 2 Parameter dugaan untuk setiap metode pada model logistik
Data Hipotetik
Tanpa pencilan
Dengan pencilan
10%
Dengan pencilan
40%
Parameter
Nilai
Parameter
Awal
Metode
LS
LAD
MAD
r
0.200
0.201
0.201
0.196
K
100.000
100.056
100.335
99.031
r
0.200
0.213
0.202
0.196
K
100.000
91.509
99.327
98.984
r
0.200
0.199
0.201
0.197
K
100.000
93.916
100.424
99.127
8
Pendugaan Parameter Model SEI
Model SEI yang digunakan adalah seperti pada persamaan (2). Data hipotetik
yang digunakan terdiri dari dua jenis, yaitu data hipotetik tanpa pencilan dan data
hipotetik dengan pencilan. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada
Gambar 5.
St
Et
1.0
0.9
0.06
0.8
0.04
0.7
0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.02
0.04
0.08
0.10
0.06
0.08
0.10
t
It
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.02
0.04
0.06
t
Gambar 5 Tebaran data hipotetik model SEI tanpa pencilan
Pendugaan parameter α, β, b, dan k pada model SEI juga menggunakan
metode LS, LAD, dan MAD. Pendugaan dengan ketiga metode untuk data hipotetik
tanpa pencilan diperoleh plot pendugaan seperti pada Gambar 6. Sedangkan untuk
data hipotetik dengan pencilan diperoleh plot pendugaan seperti pada Gambar 7.
Pada Gambar 7 terlihat bahwa plot pendugaan dengan metode LS cenderung
tertarik ke arah pencilan. Sedangkan untuk metode LAD dan MAD, keduanya sama
sekali tidak terpengaruh oleh pencilan dan keduanya hampir saling berhimpit.
9
St
Et
1.0
0.9
0.06
0.8
0.04
0.7
0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
It
0.35
0.30
0.25
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
0.20
0.15
0.10
0.05
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
Gambar 6 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
Et
St
1.0
0.5
0.4
0.8
0.3
0.6
0.2
0.1
0.4
0.0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.1
It
0.7
0.6
0.5
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
0.4
0.3
0.2
0.1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
Gambar 7 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
Pengaruh jumlah pencilan pada plot hasil pendugaan dengan ketiga metode
model SEI dapat dilihat pada Lampiran 4.
Nilai hasil dugaan yang diperoleh dari masing-masing metode adalah seperti
pada Tabel 3.
10
Tabel 3 Parameter dugaan untuk setiap metode pada model SEI
Data
Parameter
Nilai
Metode
Hipotetik
Parameter
LS
LAD
MAD
Awal
Tanpa
α
100.500
103.010
103.637
99.712
pencilan
β
102.910
109.217
147.802
102.000
b
2.000
2.481
14.370
1.900
k
500.000
637.833
685.428
499.000
Dengan
α
100.500
77.095
101.436
99.783
pencilan
β
102.910
113.058
106.346
101.839
10%
b
2.000
6.306
0.891
2.000
k
500.000
428.105
588.212
505.000
Dengan
α
100.500
47.080
89.435
99.628
pencilan
β
102.910
2753.480
995.634
99.790
40%
b
2.000
485.309
232.075
2.000
k
500.000
1064.900
899.976
516.534
Cara lain untuk membandingkan ketiga metode dalam karya ilmiah ini yaitu
dengan menggunakan diagram kotak (boxplot). Selisih Q3 dan Q1 menggambarkan
tingkat keragaman suatu data, semakin besar nilainya maka data semakin beragam.
Data yang digunakan dalam boxplot ini adalah absolute percentage error. Gambar
8 dan Gambar 9 memperlihatkan perbandingan boxplot dari ketiga metode pada
model logistik.
MAPE
Gambar 8 Boxplot APE ketiga metode Gambar 9
pada data hipotetik model
logistik dengan pencilan
10%
Boxplot APE ketiga metode
pada data hipotetik model
logistik dengan pencilan
40%
Boxplot dari ketiga metode pada model SEI dapat dilihat pada Lampiran 5.
Untuk lebih memperjelas seberapa besar nilai MAPE yang diperoleh, dapat
dilihat pada Tabel 4.
11
Tabel 4 Nilai MAPE untuk setiap metode pada model logistik dan SEI
Model
Data Hipotetik
Metode
MAPE
Logistik
Tanpa Pencilan
LS
0.036143
LAD
0.036066
MAD
0.040168
Dengan Pencilan 10%
LS
0.210077
LAD
0.184185
MAD
0.186596
Dengan Pencilan 40%
LS
0.340046
LAD
0.340676
MAD
0.338281
SEI
Tanpa Pencilan
LS
0.763271
LAD
0.783988
MAD
0.945532
Dengan Pencilan 10%
LS
2.545946
LAD
0.938613
MAD
0.988469
Dengan Pencilan 40%
LS
6.052416
LAD
1.316777
MAD
0.974245
Nilai MAPE pada model SEI secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6. Dari
tabel di atas dapat dilihat bahwa nilai MAPE dari metode LS cukup besar
dibandingkan dengan metode LAD dan MAD untuk data dengan pencilan pada
model logistik dan model SEI. Nilai MAPE dari metode LAD dan MAD relatif
sama untuk model logistik dan SEI dengan data pencilan 10%. Namun, untuk model
logistik dan model SEI dengan data pencilan 40% nilai MAPE dari metode LAD
dan MAD relatif tidak sama. Nilai MAPE dari metode LAD lebih besar
dibandingkan dengan metode MAD.
SIMPULAN
Pengaruh pencilan terhadap pendugaan parameter model dinamik dikaji
dengan metode LS, LAD, dan MAD. Pendugaan parameter model dinamik dengan
metode LS tidak tahan atau sensitif terhadap pencilan. Sedangkan pendugaan
parameter model dinamik dengan metode LAD dan MAD relatif sama untuk
banyaknya pencilan yang kecil. Untuk banyaknya pencilan yang besar, metode
MAD paling tahan terhadap pencilan.
12
DAFTAR PUSTAKA
Bertsekas DP. 2003. Nonlinear Programming. United States (US): Athena
Scientific. Ed ke-2.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Sumantri B, penerjemah.
Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression
Analysis. Ed ke-2.
Gao LQ, Lorca JM, Hethcote HW. 1995. Four SEI endemic models with periodicity
and
separatrices.
Mathematical
Biosciences.
128(1):157184.doi:10.1016/0025-5564(94)00071-7
Moreno JJM, Pol AP, Abad AS, Blasco BC. 2013. Using R-MAPE index as a
resistant measure of forecast accuracy. Psicothema. 25(4):500-506.doi:
10.7334/psicothema2013.23.
Ripley BD. 1992. Robust statistics. Applied Statistics MT2004. [diunduh 2013 Des
5]. Tersedia pada: http://www.stats.ox.ac.uk/pub/StatMeth/Robust.pdf.
Seo S. 2002. A review and comparison of methods for detecting outliers in
univariate data sets [tesis]. United States: University of Pittsburgh.
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus
Books Publishing, LLC.
Tanika L. 2006. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode robust
kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak [skripsi]. Bogor: Institut
Pertanian Bogor.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [diunduh 2014 Feb 10].
Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-and-WhiskerPlot.html.
Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package
options. Statistics, Social Science, and Mapping Group [diunduh 2014 Mar
19]. Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/Robust%20reg2.pdf.
13
Lampiran 1 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
logistik
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Lampiran 2 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
SEI
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
Lampiran 3 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model
logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
Gambar L1 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD,
dan MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
45
Lampiran 4 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model SEI
dengan metode LS, LAD, dan MAD
Et
St
1.0
0.6
0.8
0.5
0.6
0.4
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
It
0.6
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
0.4
0.2
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
Gambar L2 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
46
Lampiran 5 Boxplot untuk setiap metode pada model SEI
MAPE
Gambar L3 Boxplot APE metode LS Gambar L4 Boxplot APE metode LS
pada data hipotetik model
pada data hipotetik model
SEI dengan pencilan 10%
SEI dengan pencilan 40%
Gambar L5 Boxplot APE metode LAD Gambar L6 Boxplot APE metode LAD
pada data hipotetik model
pada data hipotetik model
SEI dengan pencilan 10%
SEI dengan pencilan 40%
Gambar L7 Boxplot APE metode MAD Gambar L8 Boxplot APE metode MAD
pada data hipotetik model
pada data hipotetik model
SEI dengan pencilan 10%
SEI dengan pencilan 40%
47
Lampiran 6 Nilai MAPE untuk setiap metode pada state variabel model SEI
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Metode
LS
LAD
MAD
Dengan Pencilan 10%
LS
LAD
MAD
Dengan Pencilan 40%
LS
LAD
MAD
State Variabel
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
MAPE
0.139325
0.680359
1.470130
0.135812
0.796813
1.419340
0.132238
0.960429
1.743930
0.427649
2.126260
5.083930
0.513238
0.678770
1.623830
0.515548
0.802208
1.647650
0.798397
9.850860
7.507990
1.041210
1.635660
1.273460
1.123520
0.563536
1.235680
48
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Purwokerto pada tanggal 24 April 1992 sebagai anak
keenam dari pasangan Sarimin Hadi dan Surati. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA
Negeri 2 Purwokerto dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif berorganisasi sebagai sekretaris
divisi Informasi dan Komunikasi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA)
pada tahun 2012. Penulis juga aktif mengikuti kepanitian, antara lain yaitu sebagai
staf divisi PDD (Publikasi, Dokumentasi, dan Dekorasi) pada acara IMC (IPB
Mathematics Challenge) pada tahun 2012 dan 2013. Pada tahun 2013, sebagai ketua
divisi DDD (Desain, Dokumentasi, dan Dekorasi) Matematika Ria dalam rangkaian
acara PSN (Pesta Sains Nasional) IPB.
METODE ROBUST MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
(MAD)
LENY YUSTIE WIDIASARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Robust Median Absolute Deviation (MAD) adalah
benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Leny Yustie Widiasari
NIM G54100031
ABSTRAK
LENY YUSTIE WIDIASARI. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan
Metode Robust Median Absolute Deviation (MAD). Dibimbing oleh NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Jika diketahui segugus data pada suatu model dinamik yang belum diketahui
nilai-nilai parameternya, maka metode yang paling umum digunakan untuk
menduga parameter adalah metode Least Square. Namun, metode ini sangat sensitif
terhadap pencilan. Untuk mengatasi pencilan digunakan metode yang tahan
terhadap pencilan, yaitu metode robust. Ada beberapa metode robust antara lain
metode Least Absolute Deviation dan metode Median Absolute Deviation.
Pendugaan parameter dengan metode Least Absolute Deviation dan Median
Absolute Deviation relatif sama untuk banyaknya pencilan yang kecil. Sedangkan
untuk banyaknya pencilan yang besar, metode Median Absolute Deviation paling
tahan terhadap pencilan. Model yang parameternya diduga pada karya ilmiah ini
yaitu model dinamik logistik dan model dinamik SEI (Susceptible, Exposed, dan
Infectious) dengan data berupa data hipotetik. Keakuratan pendugaan parameter
diukur dari nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
Kata kunci: Least Absolute Deviation, Least Square, Median Absolute Deviation,
pencilan, robust
ABSTRACT
LENY YUSTIE WIDIASARI. Parameter Estimation of Dynamical Model using
Robust Median Absolute Deviation (MAD) Method. Supervised by NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Given a data set in a dynamical model with unknown parameter values, the
most commonly used method for parameter estimation is the least square method.
However, this method is very sensitive to outliers. Because of this, a robust method
to handle outliers is used. There are several robust methods such as Least Absolute
Deviation method and Median Absolute Deviation method. When the number of
outliers is relatively small, the result of parameter estimation using Least Absolute
Deviation method and Median Absolute Deviation method are relatively similar.
However, when the number of outliers is relatively large, the Median Absolute
Deviation method is the most robust method to outliers. The dynamical models used
in this manuscript are logistic and SEI (Susceptible, Exposed, and Infectious)
models with hypothetical data. The accuracy of parameter estimation was measured
by the value of Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
Keywords: Least Absolute Deviation, Least Square, Median Absolute
Deviation, outliers, robust
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE ROBUST MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
(MAD)
LENY YUSTIE WIDIASARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini
juga tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1 Keluarga: Mama, Bapak, dan kakak-kakak atas semua doa, dukungan, semangat,
pengorbanan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya.
2 Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto,
MSi masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas
semua ilmu yang diberikan, kesabarannya dalam membimbing penulis, dan
bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini.
3 Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas saran
dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah.
4 Dosen, staf penunjang Departemen Matematika, dan Bu Susi atas semua ilmu,
kebaikannya, dan bantuannya.
5 Teman-teman Matematika 47, kakak-kakak Matematika 46, adik-adik
Matematika 48, dan teman kosan (Rike dan Anggun) atas semua bantuannya,
saran, ilmunya, dukungan dan motivasinya selama ini.
6 Semua pihak-pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang turut membantu
dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Oktober 2014
Leny Yustie Widiasari
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
METODE PENELITIAN
4
Model Analisis
4
Data Pengamatan
5
Metode Analisis
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pendugaan Parameter Model Logistik
6
Pendugaan Parameter Model SEI
8
SIMPULAN
11
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
48
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik
Parameter dugaan untuk setiap metode pada model logistik
Parameter dugaan untuk setiap metode pada model SEI
Nilai MAPE untuk setiap metode pada model logistik dan SEI
Nilai MAPE untuk setiap metode pada state variabel model SEI
6
7
10
11
47
DAFTAR GAMBAR
1 Bentuk umum boxplot
2 Tebaran data hipotetik model logistik tanpa pencilan
3 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
4 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
5 Tebaran data hipotetik model SEI tanpa pencilan
6 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
7 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
8 Boxplot APE ketiga metode pada data hipotetik model logistik dengan
pencilan 10%
9 Boxplot APE ketiga metode pada data hipotetik model logistik dengan
pencilan 40%
10 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
11 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
12 Boxplot APE metode LS pada data hipotetik model SEI dengan pencilan
10%
13 Boxplot APE metode LS pada data hipotetik model SEI dengan pencilan
40%
14 Boxplot APE metode LAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 10%
15 Boxplot APE metode LAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 40%
16 Boxplot APE metode MAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 10%
17 Boxplot APE metode MAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 40%
4
6
7
7
8
9
9
10
10
44
45
46
46
46
46
46
46
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
logistik
2 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
SEI
3 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model
logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD
4 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model SEI
dengan metode LS, LAD, dan MAD
5 Boxplot untuk setiap metode pada model SEI
6 Nilai MAPE untuk setiap metode pada state variabel model SEI
12
22
43
44
45
46
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kajian tentang model dinamik biasanya hanya terfokus pada masalah titik
tetap, kestabilan, dan analisisnya dengan nilai-nilai parameter yang sudah diberikan
atau dipilih sembarang. Kenyataannya, beberapa model dinamik belum diketahui
nilai-nilai parameternya. Kesulitan mendapatkan nilai parameter dikarenakan
kekurangan data real dari lapangan.
Jika diberikan suatu gugus data pada model dinamik yang belum diketahui
nilai parameternya, maka masalah yang sering kali dihadapi yaitu menentukan
metode untuk pendugaan parameter model tersebut. Ingin diduga nilai-nilai
parameter yang bersifat robust (tahan) terhadap adanya pencilan data.
Pendugaan parameter model dinamik dapat dilakukan secara tidak langsung
ataupun langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung
dimulai dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan
dengan melakukan regresi. Namun, tidak semua model dinamik dapat ditentukan
solusi analitiknya. Untuk mengatasi hal ini, diperkenalkan pendugaan secara
langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara langsung dimulai dengan
mencari solusi dari model dinamik. Solusi ini dapat berupa solusi analitik maupun
solusi numerik. Setelah didapat solusinya, maka parameternya dapat diduga
langsung menggunakan beberapa metode yang telah ada.
Metode yang paling umum digunakan untuk menduga nilai parameter dari
suatu model dengan menggunakan segugus data pengamatan yaitu dengan cara
meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Metode ini disebut metode Least Square
(LS). Namun, metode LS ternyata tidak tahan dan sangat sensitif terhadap pencilan
(Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan digunakan metode yang robust terhadap
adanya pencilan data. Metode robust yang akan digunakan yaitu metode Least
Absolute Deviation (LAD) dan Median Absolute Deviation (MAD). Metode LAD
merupakan metode yang dikenal luas sebagai alternatif dari metode LS. Sebagai
gantinya mengurangi jumlah galat kuadrat, metode LAD meminimumkan jumlah
nilai absolut dari galat. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode LAD
telah diaplikasikan pada beberapa model dinamik (Tanika 2006). Berbeda dengan
metode LAD, metode MAD meminimumkan median nilai mutlak selisih antara
galat dengan median galat. Pada karya ilmiah ini, metode robust yang digunakan
akan dibandingkan dengan metode LS.
Model dinamik yang akan digunakan pada karya ilmiah ini adalah model
logistik dan model SEI (Susceptible, Exposed, dan Infectious). Model logistik
menggambarkan pertumbuhan suatu populasi sedangkan model SEI merupakan
salah satu model epidemik. Model epidemik merupakan model matematika yang
digunakan untuk mengetahui penyebaran penyakit menular. Pada karya ilmiah ini,
model logistik dan model SEI akan diduga parameternya berdasarkan data hipotetik
(bangkitan) dan dicari galatnya.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu:
1 Mengkaji pendugaan parameter model dinamik dengan metode Least Square
(LS) dan metode robust yaitu Least Absolute Deviation (LAD) dan Median
Absolute Deviation (MAD).
2 Membandingkan metode Least Square (LS), Least Absolute Deviation (LAD),
dan Median Absolute Deviation (MAD) dalam pendugaan parameter model
dinamik.
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan n state variabel , , … , �
yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada
waktu t dinyatakan sebagai berikut:
,…, �
̇ =
⋮
(1)
̇� = � , … , �
atau
̇=
�� �
=
,� .
̇=
�� �
=
, �, � .
��
Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya dapat
dinyatakan sebagai berikut:
��
(2)
(Strogatz 2000)
Peminimuman Fungsi
Salah satu metode peminimuman fungsi yang lazim digunakan yaitu metode
Newton. Misalkan diberikan fungsi n variabel f(x) dan diberikan titik awal ,
selanjutnya dicari hampiran titik yang meminimumkan fungsi f dengan
menggunakan formula iterasi metode Newton sebagai berikut:
−
� = , , ,…
� ,
�+ = � − (∇
� ) ∇
dengan
��
∇
�
=
dan kriteria kekonvergenan ‖∇
��
��
��
��
( ���
�+
⋮
,
)
‖ < �.
� = , ,…
(Bertsekas 2003)
3
Pencilan (Outlier)
Pencilan merupakan suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang
sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data lainnya. Oleh karena itu, suatu
pencilan patut diperiksa secara cermat untuk mengetahui alasan atau penyebab
terdapatnya pencilan.
(Draper dan Smith 1992)
Misalkan terdapat n buah pengamatan data , , … , � . Q1 merupakan
kuartil pertama dan Q3 merupakan kuartil ketiga. Pencilan antara lain dapat
dideteksi dengan aturan metode Tukey yaitu pengamatan yang lebih besar dari Q3
+ 1.5 (Q3 – Q1) atau lebih kecil dari Q1 − 1.5 (Q3 – Q1).
(Seo 2002)
Metode Least Square (LS)
Misalkan dari persamaan (2) diperoleh solusi ̂ �, � dan dari data
pengamatan diperoleh suatu model � = ( �, � ) + � untuk i = 1, 2, ... , n. Maka
p dapat diduga dengan cara berikut:
�
dengan
min ∑
�=
�
− ̂�
̂� = ( ̂ �, � ).
(Draper dan Smith 1992)
Metode Robust
Metode penduga parameter lainnya yang bersifat robust terhadap pencilan
yaitu metode Weighted Least Square (WLS), metode Least Absolute Deviation
(LAD), metode Least Trimmed Square (LTS), metode Least Median of Square
(LMS) (Yafee 2002). Keempat metode tersebut sudah diterapkan pada karya ilmiah
sebelumnya. Metode robust lainnya yaitu metode Median Absolute Deviation
(MAD).
(Ripley 1992)
Metode Least Absolute Deviation (LAD)
Kriteria peminimuman pada metode LAD tidak menggunakan bentuk kuadrat,
melainkan bentuk mutlak sehingga menjadi sebagai berikut:
min ∑��= | � − ̂� |.
(3)
(Yafee 2002)
Persamaan (3) dapat ditulis ke dalam bentuk
�
min ∑
�=
�
= min ∑
�=
|
|
− ̂� |
|
� − ̂� |
|
�
�
− ̂� |
�
− ̂� |
�
− ̂� .
4
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median| � − ̂� − median � − ̂� |.
(Ripley 1992)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) didefinisikan sebagai berikut:
MAPE =
�
�
∑|
�=
�
− ̂�
�
|.
(Moreno et al. 2013)
dengan
n = banyaknya pengamatan,
� = data aktual (data yang sebenarnya) ke-i,
̂� = penduga data ke-i,
Keakuratan suatu penduga parameter dapat dilihat dari nilai MAPE. Semakin kecil
nilai yang diperoleh maka pendugaan parameter akan memiliki nilai yang semakin
akurat. Untuk melihat sebaran APE (Absolute Percentage Error), akan ditampilkan
dalam diagram kotak (boxplot).
Pencilan
Whisker
Q3 (kuartil ketiga)
M (median)
Q1 (kuartil kesatu)
Whisker
Pencilan
Gambar 1 Bentuk umum boxplot
(Weisstein 1999)
METODE PENELITIAN
Model Analisis
Model yang digunakan pada tulisan ini yaitu model logistik dan model SEI.
1 Model Logistik
5
Suatu populasi seringkali meningkat secara eksponensial pada awalnya tetapi
melambat pada akhirnya dan mendekati kapasitas tampungnya karena sumberdaya
yang terbatas dapat direpresentasikan dengan model logistik. Model logistik yang
kontinu terhadap waktu dijelaskan dalam persamaan diferensial sebagai berikut:
��
��
=
�� �−�
�
,
dengan P merupakan populasi, r dan K merupakan parameter yang akan diduga.
(Strogatz 2000)
2 Model SEI
Model SEI yaitu model yang mengamati perubahan jumlah populasi terhadap
waktu. Banyaknya individu di suatu populasi pada waktu t dinyatakan dengan N
dan dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok rentan (susceptible), tak
terlindungi (exposed), dan kelompok terinfeksi (infectious). Kelompok rentan yaitu
kelompok yang mempunyai potensi untuk tertular oleh suatu penyakit. Kelompok
tak terlindungi yaitu kelompok yang telah terinfeksi tetapi belum dapat digolongkan
sebagai kelompok terinfeksi. Kelompok terinfeksi yaitu kelompok yang telah
positif mengidap suatu penyakit.
Model SEI yang digunakan dalam karya ilmiah ini yaitu model SEI dengan
insidensi simple mass action dan reproduksi seragam. Model tersebut merupakan
penurunan dari model umum SEI yang dirumuskan dalam sistem persamaan
diferensial berikut:
��
��
��
��
��
��
=�
− � − ��� + ��
=�
−� − �+
= ��� + �� − � + � �
(4)
+� �+ �
� =�+�+� = ,
dengan S proporsi kelompok rentan, E proporsi kelompok tak terlindungi, I proporsi
kelompok terinfeksi, dan parameter yang akan diduga yaitu α, β, b, dan k.
(Gao et al. 1995)
Data Pengamatan
Data yang digunakan merupakan data bangkitan atau hipotetik dengan
bantuan software Mathematica 9. Data hipotetik diperoleh berdasarkan solusi
numerik model dinamik dengan memberikan nilai parameter awal dan nilai awal
seperti pada Tabel 1.
6
Tabel 1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik
Model Dinamik
Nilai Parameter Awal
Nilai Awal
Model logistik
� = 0.200
� = 3.000
� = 100.000
Model SEI
= 100.500
� = 0.600
= 102.910
� = 0.400
� = 2.000
� = 0.000
� = 500.000
� = 1.000
Kemudian dari solusi yang diperoleh ditambahkan bilangan antara -3 sampai 3
secara acak. Langkah-langkah membangun data hipotetik dapat dilihat secara rinci
di Lampiran 1 dan Lampiran 2.
Metode Analisis
Dalam menduga parameter digunakan metode Least Square (LS), metode
robust Least Absolute Deviation (LAD), dan metode robust Median Absolut
Deviation (MAD). Penduga parameter model yang diperoleh digunakan untuk
menghitung akurasi model dengan Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yang
ditampilkan pada boxplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendugaan Parameter Model Logistik
�
Misalkan terdapat model logistik �′ = �� − . Data hipotetik yang
�
digunakan terdiri dari dua jenis, yaitu data hipotetik tanpa pencilan dan data
hipotetik dengan pencilan. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada
Gambar 2.
Pt
100
80
60
40
20
20
40
60
80
100
t
Gambar 2 Tebaran data hipotetik model logistik tanpa pencilan
Parameter r dan K diduga dengan menggunakan tiga metode yaitu metode LS,
LAD, dan MAD. Dengan menggunakan ketiga metode, untuk data hipotetik tanpa
pencilan diperoleh plot seperti pada Gambar 3. Plot hasil pendugaan dengan ketiga
metode terlihat hampir saling berhimpit.
7
Pt
100
80
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
60
40
20
20
40
60
80
100
t
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD,
dan MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
Sedangkan untuk data hipotetik dengan pencilan diperoleh plot seperti pada
Gambar 4. Pada gambar tersebut, terlihat bahwa plot hasil pendugaan dengan
metode LS cenderung tertarik ke arah pencilan. Plot hasil pendugaan dengan
metode LAD dan MAD sama sekali tidak terpengaruh oleh pencilan dan keduanya
hampir saling berhimpit.
Pt
100
80
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
60
40
20
20
40
60
80
100
t
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD,
dan MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
Pengaruh jumlah pencilan pada plot hasil pendugaan dengan ketiga metode model
logistik dapat dilihat pada Lampiran 3.
Nilai hasil dugaan yang diperoleh dari masing-masing metode adalah seperti
pada Tabel 2.
Tabel 2 Parameter dugaan untuk setiap metode pada model logistik
Data Hipotetik
Tanpa pencilan
Dengan pencilan
10%
Dengan pencilan
40%
Parameter
Nilai
Parameter
Awal
Metode
LS
LAD
MAD
r
0.200
0.201
0.201
0.196
K
100.000
100.056
100.335
99.031
r
0.200
0.213
0.202
0.196
K
100.000
91.509
99.327
98.984
r
0.200
0.199
0.201
0.197
K
100.000
93.916
100.424
99.127
8
Pendugaan Parameter Model SEI
Model SEI yang digunakan adalah seperti pada persamaan (2). Data hipotetik
yang digunakan terdiri dari dua jenis, yaitu data hipotetik tanpa pencilan dan data
hipotetik dengan pencilan. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada
Gambar 5.
St
Et
1.0
0.9
0.06
0.8
0.04
0.7
0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.02
0.04
0.08
0.10
0.06
0.08
0.10
t
It
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.02
0.04
0.06
t
Gambar 5 Tebaran data hipotetik model SEI tanpa pencilan
Pendugaan parameter α, β, b, dan k pada model SEI juga menggunakan
metode LS, LAD, dan MAD. Pendugaan dengan ketiga metode untuk data hipotetik
tanpa pencilan diperoleh plot pendugaan seperti pada Gambar 6. Sedangkan untuk
data hipotetik dengan pencilan diperoleh plot pendugaan seperti pada Gambar 7.
Pada Gambar 7 terlihat bahwa plot pendugaan dengan metode LS cenderung
tertarik ke arah pencilan. Sedangkan untuk metode LAD dan MAD, keduanya sama
sekali tidak terpengaruh oleh pencilan dan keduanya hampir saling berhimpit.
9
St
Et
1.0
0.9
0.06
0.8
0.04
0.7
0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
It
0.35
0.30
0.25
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
0.20
0.15
0.10
0.05
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
Gambar 6 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
Et
St
1.0
0.5
0.4
0.8
0.3
0.6
0.2
0.1
0.4
0.0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.1
It
0.7
0.6
0.5
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
0.4
0.3
0.2
0.1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
Gambar 7 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
Pengaruh jumlah pencilan pada plot hasil pendugaan dengan ketiga metode
model SEI dapat dilihat pada Lampiran 4.
Nilai hasil dugaan yang diperoleh dari masing-masing metode adalah seperti
pada Tabel 3.
10
Tabel 3 Parameter dugaan untuk setiap metode pada model SEI
Data
Parameter
Nilai
Metode
Hipotetik
Parameter
LS
LAD
MAD
Awal
Tanpa
α
100.500
103.010
103.637
99.712
pencilan
β
102.910
109.217
147.802
102.000
b
2.000
2.481
14.370
1.900
k
500.000
637.833
685.428
499.000
Dengan
α
100.500
77.095
101.436
99.783
pencilan
β
102.910
113.058
106.346
101.839
10%
b
2.000
6.306
0.891
2.000
k
500.000
428.105
588.212
505.000
Dengan
α
100.500
47.080
89.435
99.628
pencilan
β
102.910
2753.480
995.634
99.790
40%
b
2.000
485.309
232.075
2.000
k
500.000
1064.900
899.976
516.534
Cara lain untuk membandingkan ketiga metode dalam karya ilmiah ini yaitu
dengan menggunakan diagram kotak (boxplot). Selisih Q3 dan Q1 menggambarkan
tingkat keragaman suatu data, semakin besar nilainya maka data semakin beragam.
Data yang digunakan dalam boxplot ini adalah absolute percentage error. Gambar
8 dan Gambar 9 memperlihatkan perbandingan boxplot dari ketiga metode pada
model logistik.
MAPE
Gambar 8 Boxplot APE ketiga metode Gambar 9
pada data hipotetik model
logistik dengan pencilan
10%
Boxplot APE ketiga metode
pada data hipotetik model
logistik dengan pencilan
40%
Boxplot dari ketiga metode pada model SEI dapat dilihat pada Lampiran 5.
Untuk lebih memperjelas seberapa besar nilai MAPE yang diperoleh, dapat
dilihat pada Tabel 4.
11
Tabel 4 Nilai MAPE untuk setiap metode pada model logistik dan SEI
Model
Data Hipotetik
Metode
MAPE
Logistik
Tanpa Pencilan
LS
0.036143
LAD
0.036066
MAD
0.040168
Dengan Pencilan 10%
LS
0.210077
LAD
0.184185
MAD
0.186596
Dengan Pencilan 40%
LS
0.340046
LAD
0.340676
MAD
0.338281
SEI
Tanpa Pencilan
LS
0.763271
LAD
0.783988
MAD
0.945532
Dengan Pencilan 10%
LS
2.545946
LAD
0.938613
MAD
0.988469
Dengan Pencilan 40%
LS
6.052416
LAD
1.316777
MAD
0.974245
Nilai MAPE pada model SEI secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6. Dari
tabel di atas dapat dilihat bahwa nilai MAPE dari metode LS cukup besar
dibandingkan dengan metode LAD dan MAD untuk data dengan pencilan pada
model logistik dan model SEI. Nilai MAPE dari metode LAD dan MAD relatif
sama untuk model logistik dan SEI dengan data pencilan 10%. Namun, untuk model
logistik dan model SEI dengan data pencilan 40% nilai MAPE dari metode LAD
dan MAD relatif tidak sama. Nilai MAPE dari metode LAD lebih besar
dibandingkan dengan metode MAD.
SIMPULAN
Pengaruh pencilan terhadap pendugaan parameter model dinamik dikaji
dengan metode LS, LAD, dan MAD. Pendugaan parameter model dinamik dengan
metode LS tidak tahan atau sensitif terhadap pencilan. Sedangkan pendugaan
parameter model dinamik dengan metode LAD dan MAD relatif sama untuk
banyaknya pencilan yang kecil. Untuk banyaknya pencilan yang besar, metode
MAD paling tahan terhadap pencilan.
12
DAFTAR PUSTAKA
Bertsekas DP. 2003. Nonlinear Programming. United States (US): Athena
Scientific. Ed ke-2.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Sumantri B, penerjemah.
Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression
Analysis. Ed ke-2.
Gao LQ, Lorca JM, Hethcote HW. 1995. Four SEI endemic models with periodicity
and
separatrices.
Mathematical
Biosciences.
128(1):157184.doi:10.1016/0025-5564(94)00071-7
Moreno JJM, Pol AP, Abad AS, Blasco BC. 2013. Using R-MAPE index as a
resistant measure of forecast accuracy. Psicothema. 25(4):500-506.doi:
10.7334/psicothema2013.23.
Ripley BD. 1992. Robust statistics. Applied Statistics MT2004. [diunduh 2013 Des
5]. Tersedia pada: http://www.stats.ox.ac.uk/pub/StatMeth/Robust.pdf.
Seo S. 2002. A review and comparison of methods for detecting outliers in
univariate data sets [tesis]. United States: University of Pittsburgh.
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus
Books Publishing, LLC.
Tanika L. 2006. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode robust
kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak [skripsi]. Bogor: Institut
Pertanian Bogor.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [diunduh 2014 Feb 10].
Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-and-WhiskerPlot.html.
Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package
options. Statistics, Social Science, and Mapping Group [diunduh 2014 Mar
19]. Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/Robust%20reg2.pdf.
13
Lampiran 1 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
logistik
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Lampiran 2 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
SEI
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
Lampiran 3 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model
logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
Gambar L1 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD,
dan MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
45
Lampiran 4 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model SEI
dengan metode LS, LAD, dan MAD
Et
St
1.0
0.6
0.8
0.5
0.6
0.4
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
It
0.6
_____ LS
_____ LAD
_____ MAD
0.4
0.2
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t
Gambar L2 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
46
Lampiran 5 Boxplot untuk setiap metode pada model SEI
MAPE
Gambar L3 Boxplot APE metode LS Gambar L4 Boxplot APE metode LS
pada data hipotetik model
pada data hipotetik model
SEI dengan pencilan 10%
SEI dengan pencilan 40%
Gambar L5 Boxplot APE metode LAD Gambar L6 Boxplot APE metode LAD
pada data hipotetik model
pada data hipotetik model
SEI dengan pencilan 10%
SEI dengan pencilan 40%
Gambar L7 Boxplot APE metode MAD Gambar L8 Boxplot APE metode MAD
pada data hipotetik model
pada data hipotetik model
SEI dengan pencilan 10%
SEI dengan pencilan 40%
47
Lampiran 6 Nilai MAPE untuk setiap metode pada state variabel model SEI
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Metode
LS
LAD
MAD
Dengan Pencilan 10%
LS
LAD
MAD
Dengan Pencilan 40%
LS
LAD
MAD
State Variabel
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
S
E
I
MAPE
0.139325
0.680359
1.470130
0.135812
0.796813
1.419340
0.132238
0.960429
1.743930
0.427649
2.126260
5.083930
0.513238
0.678770
1.623830
0.515548
0.802208
1.647650
0.798397
9.850860
7.507990
1.041210
1.635660
1.273460
1.123520
0.563536
1.235680
48
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Purwokerto pada tanggal 24 April 1992 sebagai anak
keenam dari pasangan Sarimin Hadi dan Surati. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA
Negeri 2 Purwokerto dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif berorganisasi sebagai sekretaris
divisi Informasi dan Komunikasi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA)
pada tahun 2012. Penulis juga aktif mengikuti kepanitian, antara lain yaitu sebagai
staf divisi PDD (Publikasi, Dokumentasi, dan Dekorasi) pada acara IMC (IPB
Mathematics Challenge) pada tahun 2012 dan 2013. Pada tahun 2013, sebagai ketua
divisi DDD (Desain, Dokumentasi, dan Dekorasi) Matematika Ria dalam rangkaian
acara PSN (Pesta Sains Nasional) IPB.