Perbandingan metode kuadrat terkecil dan metode kemungkinan maksimum dalam pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.

ABSTRAK

Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama seperti distribusi probabilitas lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean, variansi dan momen. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Metode yang digunakan dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat Terkecil menduga parameter distribusi Weibull yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Metode kemung-kinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood . Pemilihan metode terbaik diantara keduanya didasarkan pada perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error). Metode yang lebih baik adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Perbandingan kedua metode diterapkan pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dan Sumenep.

Kata kunci: distribusi Weibull, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.

ABSTRACT

Weibull distribution is one of the continuous probability density function. Similar to other continuous probability function, Weibull distribution characterized by mean, variance, and moment. The most important thing in analyzing a distribution is parameter estimation. The method used in estimation of the two Weibull distribution parameters is Least Square Method and Maximum Likelihood Method. Least Square Method estimate the Weibull parameter distribution that minimizes the Sum of Square Error. Maximum Likelihood Method is a estimation method that maximizes the likelihood function . Choosing the best method of the two is done by comparising the mean square error. The better method has the minimum Mean Square Error. The comparison of the two method is applied to the monthly average data of wind velocity in Enugu and Sumenep.

Keyword: Weibull distribution, parameter estimation, Least Square Method, Maximum Likelihood Method, Mean Square Error

i

PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER

DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika

Oleh:

Roswita Putri Arcelia Hede NIM: 123114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

ii

COMPARISON OF LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD FOR ESTIMATING THE TWO PARAMETER

WEIBULL DISTRIBUTION Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics

By:

Roswita Putri Arcelia Hede Student Number: 123114005

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY 2016

'''

"1:;-.+'

PERBAIIDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE

KEMT]NGKINAIY MAKSIMTIM DALAM PNIYDUGAAFI PARAMETER

Dgsen Pembimbing

6rrh^/./*'q

(Ir. Ig.Aris Dwiatmoko, M. Sc.) Tanggal: Juni 2016

lll

A}TDUAPARAMETER

fl**

m*{

d

**@-gg

SKRIPSI

PERBANDINGAI\I METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE

KEMUNGKINAI{ NNA(SNVTUM DALAM PENDUGAAI\ PARAMETER

DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

Disiapkan dan ditulis oleh: Roswita Putri Arcelia Hede

NIM:123114005

Telah dipertahankan dihadapan Panitia Penguj i Pada tanggal 22 Juni 20 | 6

Dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji Nama lengkap

Ketua: Y. G. Hartono Ph.D.

Sekretaris: Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan Anggota: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Se.

Yogyakarta,

lJ J u

_/i

_2o

1

6

Fakultas Sains dan Teknoloei

,/'oL

tv

Yg

frTT^'{

9A

fr#

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Bagi Tuhan tak ada yang mustahil

Lukas 1:37

Skripsi ini dipersembahkan untuk

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai dan memberkatiku dengan berkatNya yang melimpah

Kedua orang tua Yohanes Hede dan Elisabet M. Adat

Nenek Lusia D. Bunga

Adik-adik tercinta Marry Grace Florensia Hede dan Alm. Hendrikus Alvian Hede

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 16 Mei 2016

Penulis

Roswita Putri Arcelia Hede

vii ABSTRAK

Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama seperti distribusi probabilitas lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean, variansi dan momen. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Metode yang digunakan dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat Terkecil menduga parameter distribusi Weibull yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Metode kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood . Pemilihan metode terbaik diantara keduanya didasarkan pada perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error). Metode yang lebih baik adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Perbandingan kedua metode diterapkan pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dan Sumenep.

Kata kunci: distribusi Weibull, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.

viii ABSTRACT

Weibull distribution is one of the continuous probability density function. Similar to other continuous probability function, Weibull distribution characterized by mean, variance, and moment. The most important thing in analyzing a distribution is parameter estimation. The method used in estimation of the two Weibull distribution parameters is Least Square Method and Maximum Likelihood Method. Least Square Method estimate the Weibull parameter distribution that minimizes the Sum of Square Error. Maximum Likelihood Method is a estimation method that maximizes the likelihood function . Choosing the best method of the two is done by comparising the mean square error. The better method has the minimum Mean Square Error. The comparison of the two method is applied to the monthly average data of wind velocity in Enugu and Sumenep.

Keyword: Weibull distribution, parameter estimation, Least Square Method, Maximum Likelihood Method, Mean Square Error

LEMBAR PERTANYAAN PERSETUJUAN PT]BLIKASI KARYA

ILMIAII

UNTTiK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan dibawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama

: R0swita Putri Arcelia Hede

Nomer

Mahasiswa

;123114005

Demi pengembangan

ilmu

pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAI\ MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER

DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan

dalam bentuk media

lain,

mengelolanya

dalam bentuk

pangkalan data, mendistribusikannya secara tetbatas, dan mempublikasikannya di intemet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta

Padatanggal: 16 Mei 2016 Yang menyatakan

(Roswita Putri Arcelia Hede)

x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik.

Skripsi yang berjudul “Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan

Dua Parameter” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana

Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, tentunya penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupum materil dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan trima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko. M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan nasihat dan arahan kepada penulis.

2. Bapak Hartono Ph. D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.

3. Serta bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma. 4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam

perkuliahan terutama dalam penulisan skripsi ini.

5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran, serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan.

xi

6. Bapa dan Mama yang penulis cintai dan banggakan, nenek Lusia D. Bunga, serta adik Marry Grace Florensia Hede yang telah banyak memberikan dukungan dan pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.

7. Teman-teman angkatan 2012 Program Studi Matematika yaitu Sila, Risma, Happy, Bobi, Tika, Ajeng, Oksi, Juli, Ferni, Arum, Ilga, Lia, Noni, Dewi, Manda , Anggun, Budi, Rian, Ega, yang telah memberikan dukungan dan semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.

8. Teman-Teman kos Cintia: Archa, Lisa, Nova, Tia, Mb. Ela, Mb. Ria, Mb Ketrin, Mb. Intan, Awang, Hera, Tanti dan juga Asri dan Digna yang selalu memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, maka saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.

Yogyakarta, 16 Mei 2016 Penulis

xii DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

HALAMAN ABSTRAK ... vii

HALAMAN ABSTRACT ... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR TABEL ... xv

DAFTAR GAMBAR ... xvi

BAB I PENDAHULUAN ... 1

Latar Belakang Masalah ... 1

A. Rumusan Masalah ... 3

B. Pembatasan Masalah ... 4

C. Tujuan Penulisan ... 4

D. Manfaat Penulisan ... 4

E. Metode Penulisan ... 5

F. Sistematika Penulisan ... 5

BAB II LANDASAN TEORI ... 9

A. Distribusi Probabilitas ... 9

1. Variabel Random ... 9

2. Fungsi Probabilitas ... 9

a. Distribusi Probabilitas Diskrit ... 9

xiii

3. Fungsi Distribusi Kumulatif ... ₁₀

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ... 10

a. Mean ... 10

b. Variansi ... 11

c. Momen ... 11

d. Fungsi Pembangkit Momen ... 12

B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya ... 13

1. Mean ... 18

2. Variansi ... 19

3. Fungsi Pembangkit Momen ... 20

C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ... 21

1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ... 23

a. Mean ... 24

b. Variansi ... 24

c. Momen ... 25

2. Grafik Distribusi Weibull ... 26

D. Pendugaan Parameter ... 32

1. Penduga Titik ... 33

2. Penduga Interval ... 33

E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik ... 33

F. Metode Kuadrat Terkecil ... 35

1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil ... 38

G. Uji Kolmogorov Smirnov ... 53

H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov ... 56

I. Metode Kemungkinan Maksimum ... 58

J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana ... 63

K. Metode Newton Raphson ... 67

BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM ... 72

xiv

A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ... 72

B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil ... 72

C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum ... 85

BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER ... 95

A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu ... 95

1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull ... 96

2. Estimasi Parameter ... 97

B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu ... 98

C. Uji Distribusi Weibull ... 101

D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum ... 103

E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep ... 104

F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep ... 106

G. Uji Distribusi Weibull ... 108

H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum ... 110

BAB V PENUTUP ... 112

A. Kesimpulan ... 112

B. Saran ... 113

DAFTAR PUSTAKA ... 114

xv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku ... 52

Tabel 2.2 Data Contoh 2.2 ... 56

Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan Di Kolkata ... 80

Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan Di Enugu ... 95

xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan dan ... 27 Gambar 3.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ... 81 Gambar 3.2 Grafik dan ... 83 Gambar 3.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ... 91 Gambar 4.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ... 98 Gambar 4.2 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ... 101 Gambar 4.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ... 106 Gambar 4.4 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ... 108

1 BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empi-ris yang berasal dari sampel acak. Tujuan dari statistik adalah menggunakan informasi yang terkandung dalam sampel untuk membuat kesimpulan tentang populasi dari mana sampel tersebut di ambil. Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan (merupakan karakteristik) populasi. Penduga berupaya untuk mengaproksimasi parameter yang diketahui tersebut menggunakan pengukuran.

Dalam mengkaji suatu distribusi hal yang paling penting adalah masalah menduga parameternya. Dalam teori probabilitas, distribusi Weibull adalah distri-busi probabilitas kontinu dan merupakan satu dari distridistri-busi yang digunakan pada praktek ilmu teknik. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh ilmuwan dari Swedia yang bernama Waloddi Weibull. Walodi Weibull menemukan distribusi Weibull pada tahun 1937 dan disampaikan pada jurnal Hallmark Amerika pada tahun 1950 meskipun pertama kali diidentifikasi oleh Fréchet (1927) dan pertama kali diterapkan oleh Rosin dan Rammler (1933) untuk menggambarkan distribusi ukuran partikel. Weibull mengklaim bahwa distribusi ini dapat diaplikasikan pada berbagai masalah. Distribusi ini pada awalnya mendapat tanggapan negatif dari para ahli.

Selama lebih dari setengah abad distribusi Weibull telah menarik perhatian para ahli statistika yang mempelajari teori dan metode dalam berbagai bidang penerapan statistika. Ditribusi Weibull akhirnya menjadi orientasi dari ahli statis-tika karena kelebihannya yakni dapat digunakan dalam berbagai bidang mulai dari uji hidup (life testing), peramalan cuaca, serta observasi antara lain dalam bidang ekonomi, administrasi bisnis, hidrologi, biologi, dan ilmu-ilmu rekayasa.

Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull bila fungsi probabilitasnya :

{ ( )

dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala (scale parameter).

Distribusi Weibull termasuk dalam keluarga distribusi Eksponensial, hal itu dapat dilihat dari persamaan di atas. Jika maka fungsi densitas probabilitas tersebut menjadi :

{ ( )

Dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter, penulis menggunakan Metode Pendugaan Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat Terkecil adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga dalam pemodelan regresi yang meminimumkan

jumlah kuadrat galat. Sedangkan Metode Kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood .

Sesuai dengan uraian diatas, maka penulis ingin mempelajari lebih jauh tentang distribusi Weibull dan sifat-sifatnya dan membandingkan pendugaan pa-rameter distribusi Weibull dengan dua papa-rameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) untuk menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distri-busi Weibull dengan dua parameter. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran ke-akuratan dari penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah 1. Bagaimana sifat-sifat statistis distribusi Weibull?

2. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil?

3. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum?

4. Bagaimana membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter?

C. Pembatasan Masalah

Adapun beberapa hal yang dibatasi penulis dalam tulisan ini adalah

1. Dalam mengestimasi parameter distribusi, penulis hanya akan membahas pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

2. Penulis tidak membahas pendugaan interval dari distribusi Weibull dengan dua parameter.

3. Penulis tidak akan mengkaji generalisasi dan modifikasi dari distribusi Weibull.

4. Penulis tidak mencantumkan semua teori yang digunakan, tetapi hanya diba-tasi oleh teori yang digunakan secara langsung.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan ini adalah ingin meng-estimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method) serta membandingkan kedua metode tersebut untuk menentukan metode terbaik dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat mempelajari sifat-sifat distribusi Weibull dan metode pendugaan distribusi

Weibull dengan dua parameter serta menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku atau jurnal yang berkaitan dengan estimasi parameter distribusi Weibull.

G. Sistematika Penulisan

BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisa BAB II. LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random 2. Fungsi probabilitas

a. Distribusi Probabilitas Diskret b. Distribusi Probabilitas Kontinu

3. Fungsi Distribusi Kumulatif

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean

b. Variansi c. Momen

d. Fungsi Pembangkit Momen B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya

1. Mean 2. Variansi

3. Fungsi Pembangkit Momen

C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter a. Mean

b. Variansi c. Momen 2. Grafik Distribusi D. Estimasi Parameter

E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat Galat dari Penduga Titik F. Metode Kuadrat Terkecil

1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil G. Uji Kolmogorov-Smirnov

H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov I. Metode Kemungkinan Maksimum

J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana

K. Metode Newton Raphson

BAB III. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL

A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil

C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum

BAB IV. APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL

A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Enugu

1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull 2. Estimasi Parameter

B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-tan Angin di Enugu

C. Uji Distribusi Weibull

D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungki-nan Maksimum

E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Su-menep

F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-tan Angin di Sumenep

G. Uji Distribusi Weibull

H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungki-nan Maksimum

BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

9 BAB II

LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random

Definisi 2.1

Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel. Dengan X adalah notasi untuk variabel random dan x menyatakan nilainya.

Definisi 2.2

Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskret jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.

2. Fungsi Probabilitas

Fungsi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinu.

a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3

Himpunan pasangan terurut )) adalah fungsi probabilitas dari variabel random diskrit jika

10

1) ) untuk setiap 2) ∑ )

b. Distribusi Probabilitas Kontinu Definisi 2.4

Fungsi ) adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel random kontinu , jika

1) ) 2) ∫ )

3. Fungsi Ditribusi Kumulatif Definisi 2.5

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah va-riabel random diskret dan kontinu didefinisikan sebagai berikut

) ) {

∑ )

∫ )

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean

Definisi 2.6

Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random dinota-sikan sebagai atau ) didefinisikan sebagai

11

) {

∑ )

∫ )

b. Variansi Definisi 2.7

Jika adalah variabel random, maka variansi dari ditulis ) didefinisikan sebagai

) [ )) ]

Teorema 2.1

) ) ( ))

Bukti

) [ )) ]

) )) ) ) ) ( )) ) _{) ( ))}

c. Momen

Definisi 2.8

Momen ke-k dari variabel random Y di sekitar titik asal dinotasikan dengan didefinisikan sebagai

12

d. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Definisi 2.9

Fungsi pembangkit momen ) dari sebuah variabel random Y didefinisikan sebagai ) ). Fungsi pembangkit moment dari Y dikatakan ada jika terdapat konstanta positif b sedemikian sehingga m(t) berhingga untuk | |

.

Teorema 2.2

Diberikan ) dan ) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel random dan . Jika ) ) maka dan mempunyai distribusi yang sama.

Bukti

Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu

) ₎

dengan adalah bilangan kompleks

Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu

∫ ₎

∫

₎

13

Maka ) ) (skripsi hal 54).

Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya

Distribusi probabilitas (fungsi densitas) merupakan representasi dari populasi yang dicirikan dengan suatu konstanta yang disebut parameter.

Definisi 2.10

Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan karakteristik populasi.

Definisi 2.11

Statistik adalah sebarang fungsi dari elemen pada sampel random yang tidak bergantung pada paremeter yang tidak diketahui. Contohnya ̅ ∑

Definisi 2.12

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

14

Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistik karena dapat di-gunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit momen, variansi, mean dan momen.

Teorema 2.3

Fungsi Gamma memiliki sifat

1. ) ) ) untuk setiap Bukti

Berdasarkan definisi 2.12

) ∫

Misalkan

_{maka ) dan maka}

) ∫

[ _{] ∫ )}

[ _{] ) ∫}

[ _{] ) ∫} )

15

( ) ) ) ) [ ( ) )] ) ) { [ ) ( _)]} ) ) ) )

2. ) ) dengan n bilangan bulat positif Bukti

Berdasarkan sifat Gamma

) ) )

Sehingga diperoleh

) ) )

) ) )

) ) ) )

) ) ) ) ) ) )

Berdasarkan definisi 2.12 maka diperoleh

) ∫

∫

[ _]

16

diperoleh

) ) ) ) ) ) ) )

3. √

Bukti

Akan di buktikan bahwa √ Berdasarkan definisi 2.12

) ∫

Misalkan

) ∫

∫

Ketika maka Sehingga diperoleh

( _{) ∫}

[ ( _)] [ ( _{)] [ ( )]}

17

∫ ∫ )

Integral tersebut diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar.

Misalkan maka

)

[ (

)] ∫ ∫

∫ ∫

(∫ ) ∫

Misalkan

∫

[ _]

)

18

Definisi 2.13

Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter

jika dan hanya jika fungsi probabilitas adalah

) {

)

dengan ) ∫

1. Mean

Jika berdistribusi Gamma dengan parameter , maka

)

Bukti

Berdasarkan definisi 2.6

) ∫ )

∫ ₎

Berdasarkan definisi fungsi probabilitas

19

∫ _{) (2.1)}

) _∫ ) ) ∫

) )

Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan persamaan 2.1

Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka ) ), maka diperoleh

) ) )

2. Variansi

Jika Y berdistribusi Gamma dengan parameter , maka variansi dari distribusi Gamma adalah

)

Bukti

Berdasarkan teorema 2.1

) ) ( )) ) ∫ ₎

20

∫ ₎

) ∫

Berdasarkan persamaan 2.1 dan teorema 2.3, maka diperoleh

) _{) )}

) ) )

) ) ) )

Maka

) ) ( )) ) ) )

3. Fungsi Pembangkit Momen

Berdasarkan definisi 2.9, maka

21

∫ _[

) ]

) ∫

) ∫ ( )

) ∫

( ₎

) ∫

Berdasarkan definisi 2.12 dan persamaan 2.1, maka diperoleh

)

) ( ) )

)

C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Definisi 2.14

Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter

, bila fungsi probabilitasnya:

{ ( )

22

dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala (scale parameter).

Akan ditunjukkan berdasarkan definisi 2.4 bahwa persamaan di atas merupakan fungsi probabilitas. Jelas bahwa ) untuk setiap . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ∫ )

Misalkan maka

∫ ) _∫ ( )

∫

[ _]

₎

Jadi terbukti bahwa ) adalah fungsi probabilitas

Definisi 2.15

Bila telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull seperti yang diberikan pada definisi 2.14 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka

23

) ∫ [ _]

Misalkan

( ₎

) ∫ )

∫ )

[ )]

[ ( ) ]

( ( ₎ )

Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah

( ( ₎ )

1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

Sifat-sifat statistis dari distribusi Weibull antara lain adalah rata-rata (mean), variansi dan fungsi pembangkit momen (moment generating function)

24

a. Mean

Berdasarkan definisi 2.6

) ∫ )

∫ ( )

Misalkan maka dan

∫

∫

∫

berdasarkan fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh

) ( ₎

b. Variansi

Berdasarkan teorema 2.1

) ) ( )) ) (

) ) ∫ )

25

∫ ( )

Misalkan maka

∫

∫ ( )

∫

Berdasarkan subsitusi fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh

) ( ₎ ) ) ( ))

( _{) [ ( )]} ( ₎ ( ₎ ( _{) ( )}

c. Momen (Moment)

Berdasarkan definisi 2.8 momen ke- didefinisikan sebagai

)

26

) ∫ )

∫ ( )

Misalkan maka dan

∫

( )

∫

Berdasarkan definisi 2.12, maka diperoleh

( ₎

2. Grafik Distribusi Weibull

Grafik dari distribusi Weibull sangat beragam. Grafik distribusi Weibull bergantung pada nilai parameter dan yang dipilih, sehingga grafik akan memiliki berbagai macam bentuk. Jika parameter yang akan diubah-ubah adalah parameter skala dengan menganggap parameter bentuk konstan, maka akan diperoleh grafik fungsi probabilitas ) . Hal ini juga terjadi ketika

27

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 f( x) a=0.5 a=1 a=1.5 a=5

grafik fungsi distribusi Weibull

f(

x)

parameter yang diubah adalah parameter bentuk dan mengganggap parameter skala konstan.

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa nilai yang berbeda-beda akan membentuk grafik yang berbeda-beda pula. Ketika maka akan diperoleh grafik dari distribusi Eksponensial. Gambar 2.1 diproduksi dari program R pada lampiran A.1.

Teorema 2.4

Misalkan ), jika maka berdistribusi Chi Squre dengan derajat bebas .

Bukti

Fungsi probabilitas dari adalah )

√

28

) ) ) ( √ )

( √ √ ) (√ ) ( √ ) ) _[ (√ ) ( √ )]

(√ ) ( √ )

_√ (√ ) _√ ( √ )

_{√ √}

√

)

Sehingga diperoleh ) adalah fungsi probabilitas dari distribusi Gamma dengan dan dan ) juga adalah fungsi probabilitas distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Maka fungsi pembangkit momen dari adalah

29

Teorema 2.6

Misalkan variabel random independen berdistribusi Normal dengan

) dan ) untuk dan misalkan adalah konstanta. Jika ∑ maka variabel random berdistribusi Normal dengan

) ∑

dan

) ∑

Bukti

Karena berdistribusi Normal dengan ) dan ) , fungsi pembangkit momen adalah

)

Maka fungsi pembangkit momen dari adalah

) ₎

)

Karena variabel random independen, maka variabel random juga independen untuk , maka

30

) ) ) )

( ∑

∑

)

) merupakan FPM dari distribusi Normal dengan rata-rata rata-rata ∑

dan variansi ∑

Maka berdasarkan teorema ketunggalan berdistribusi Normal dengan rata-rata

∑ dan variansi ∑

Teorema 2.6

Misalkan adalah variabel random independen dengan ). Jika

∑ , maka berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas

Bukti

Berdasarkan teorema 2.4 fungsi pembangkit momen dari adalah ) Karena independen, maka

) ) ) )

) ) ) )

31

) ) adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma

dengan dan atau dan juga fungsi pembangkit momen dari distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Sehingga menurut teorema ketunggalan

)

Teorema 2.7

Jika ) dan adalah matriks simetri idempoten dengan rank maka

)

Bukti

Karena simetri maka dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal maka diperoleh

[

]

Selanjutnya, karena idempoten maka nilai akar karakteristiknya adalah dan , maka dapat dipilih sedemikian sehingga

Dimensi dari matriks identitas akan sama dengan rank dari , karena banyaknya akar tak nol adalah rank dari matriks dan karena trace dari matriks adalah jumlah dari akar, maka dimensi juga sama dengan trace dari .

32

) ) ) ) )

Maka berdasarkan teorema 2.5 )

Misalkan distribusi dari menggunakan transformasi dari . Karena matriks ortogonal, maka invers dari sama dengan transpose dari

)

Maka diperoleh

∑

∑

∑

adalah jumlah kuadrat dari variabel normal standar. Berdasarkan teorema

2.6 maka berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas

D. Pendugaan Parameter

Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empiris yang

33

berasal dari sampel random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel.

Definisi 2.16

Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengu-kuran yang termuat di dalam sampel.

Pendugaan dibagi menjadi dua yaitu penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation).

1. Penduga Titik (Point Estimator)

Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya.

2. Penduga Interval (Interval Estimator)

Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter yang sebenarnya.

E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik Definisi 2.17

Misalkan ̂ adalah penduga titik dari parameter , maka ̂ adalah penduga tak bias jika ( ̂ ) .

34

Definisi 2.18

Bias dari penduga titik ̂ didefinisikan sebagai ( ̂ ) ( ̂)– Definisi 2.19

Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik ̂ adalah

( ̂ ) ( ̂ )

Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga ̂ adalah fungsi dari variansi dan biasnya.

Teorema 2.8

( ̂ ) ( ̂) ( ̂)

Bukti

̂ ̂ ( ̂) ( ( ̂) ) ( ̂ ) ̂ ( ̂) ( ( ̂) )

( ̂ ) ̂ ( ̂) ̂ ( ̂) ( ( ̂) ) ( ( ̂) ) ( ̂ ) [ ̂ ( ̂) ] ̂ ( ̂) ( ̂)) [ ( ̂)] ( ̂ ) ( ̂) [ ( ̂)]

35

F. Metode Kuadrat Terkecil

Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat (dependen; ) dengan satu atau lebih variabel bebas (independen; ).

Definisi 2.20

Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai

dengan pengamatan ke- variabel dependen

= intersep (intercept)

= parameter regresi (slope)

= pengamatan ke- variabel independen

= galat (error) dari pengamatan

ke-Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi. Misalkan ) sampel random berukuran n dari sebuah populasi, berdasarkan definisi 2.20 maka persamaan garis regresinya adalah

Metode Kuadrat Terkecil bertujuan menentukan penduga dari yaitu

36

̂ ̂ ̂ .

Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan penduga dari yang akan meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error).

Definisi 2.21

Jumlah kuadrat galat (Sum of Squares Error) didefinisikan sebagai

∑ ̂)

∑[ ( ̂ ̂ )]

Jumlah Kuadrat Galat minimum diperoleh dengan menggunakan turunan parsial terhadap ̂ ̂ maka

̂ ∑ [ ( ̂ ̂ )] ̂ ∑ [ ( ̂ ̂ )] (∑ ̂ ̂ ∑ ) ∑ ̂ ̂ ∑ ∑ ̂ ̂ ∑ (2.2)

37 ̂ ∑ [ ( ̂ ̂ )] ̂ ∑ {[ ( ̂ ̂ )] } (∑ ̂ ∑ ̂ ∑ ) ∑ ̂ ∑ ̂ ∑ ∑ ̂ ∑ ̂ ∑ (2.3)

Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.2 dan persamaan 2.3 maka diperoleh ̂ ∑ _∑∑ ∑ ∑ ∑ ) (2.4) ̂ ∑ _∑ ∑ ∑ ∑ ) (2.5)

Penduga ̂ dan ̂ pada persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 adalah penduga yang memiliki jumlah kuadrat galat paling minimum, karena

̂ dan

̂ dan

̂ dan

38

1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil

Sifat dari penduga Metode Kuadrat Terkecil dalam Regresi Linear Sederhana adalah

a. Penduga ̂ dan ̂ tak bias, yaitu ( ̂) untuk . Bukti

Sebuah penduga dikatakan merupakan penduga tak bias jika ( ̂) . Dan mengunakan fakta bahwa ) .

Berdasarkan persamaan 2.4

̂ ∑ _∑∑ ∑ ∑

∑ )

̂ ) ∑ ∑ _∑ ) ∑ ∑ )

∑ )

∑ ∑ ) ∑ (∑ ))

∑ ∑ )

∑ ∑ ∑ ∑ ) ∑ ∑ ∑ ∑ )

∑ ∑ ) ∑ ∑ ) ∑ ∑ ) )

39

Maka ̂ adalah penduga tak bias bagi . Berdasarkan persamaan 2.5

̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ )

̂ ) ∑ _∑ ) ∑ ∑ )

∑ )

∑ ) ∑ ∑ ) ∑ ∑ )

∑ ∑ ∑ ∑ )

∑ ∑ )

∑ ∑ ) ∑ ∑ ) ∑ ∑ ) )

∑ ∑ )

40

b. ( ̂ ) dengan

∑ ̅) dan adalah parameter yang tidak

diketahui. Bukti

Persamaan 2.5 dapat ditulis dalam bentuk seperti dibawah ini

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑ )

∑ ∑

∑

∑ ∑ _∑

∑ ̅ ∑

∑ ̅ ∑

Berdasarkan lampiran A.2, bentuk alternatif dari ̂ adalah

Jika ∑ ̅) , maka diperoleh

̂ ∑ _∑ ̅) _̅) ̅)

∑ ̅) ̅ ̅) ∑ ̅)

̂ ∑ _∑ ̅) _̅)

41

c. ( ̂ ) _dengan ∑

∑ ̅) dan adalah parameter yang

tidak diketahui. Bukti

Berdasarkan persamaan 2.3

̂ ) ∑ _∑ ̅) ̅)

∑ ̅) (∑ ̅) )

∑ ̅) ∑ ̅) )

∑ ̅)

∑

̂ ∑

̂ ∑

∑

̂ ∑ ̂ ∑ ̅ ̅ ̂ ̅ ̂ ̅

̅ ̂ ̂ ̅ (2.6)

̅ ̂ ) (∑ ∑ ( ̅) ∑ ( ̅) )

42

Karena dan independen dimana , maka ( )

̅ ̂ )

dari persamaan 2.6 diperoleh

̂ ̅ ̂ ̅

∑ ∑ ( ̅)

( ̅)

( )

̂ ) ̅ ̂ ̅)

̅) ( ̂ ̅) ̅ ̂ ̅) ̅) ̅ ( ̂ ) ̅ ̅ ̂ )

̅ ∑ ̅) ̅ ̅ ̂ )

̅ ∑ ̅) ∑ ̅) ̅

∑ ̅)

∑ ̅ ̅ ) ̅ ∑ ̅)

∑ ∑ ̅)

43

d. ( ̂ ̂ ) dengan _∑ ̅

̅)

dan adalah parameter yang

tidak diketahui.

Bukti

Berdasarkan persamaan 2.6, diperoleh

̂ ̅ ̂ ̅

∑ ) _{̂ ̅}

̅ ̅ ̂ ̅ ( ̂ ) ̅ ̅ ̂ ̅ ( ̂ ) ̅

maka

( ̂ ̂ ) [ ̂ ) ̂ )]

[( ̅ ( ̂ ) ̅) ̂ )] ̅( ̂ ) ̅( ̂ )

karena [ ̂ ]

̅( ̂ ) ̅ ( ̂ ) _∑ ̅

̅)

44

e. Penduga tak bias dari adalah

dengan ∑ [

( ̂ ̂ )] . Bukti

Akan dibuktikan

adalah penduga tak bias dari

) [( _{) ]} ( _{) )}

) [∑[ ( ̂ ̂ )]

]

[∑[ ̅ ̂ ̅ ̂ ]

]

[∑ ̅) ̂ ̅)

]

[∑ ̅) ̂ ̅)

̂ ̅) ̅)]

karena ∑ ̅) ̅) ∑ ̅) ̂ , maka diperoleh

) [∑ ̅) ̂ ̅)

]

∑ [ ̅) ]

∑ ̅)

̂ )

45 ) ∑ ) ̅ ) ∑ ̅) ̂ )

Untuk sebarang variabel random berlaku ) ) [ )] , maka diperoleh ) ∑[ ) [ )] ] [ ̅) [ ̅)] ] ∑ ̅) ( ̂ ) [ ( ̂ )] ∑[ ) ] ̅) ∑ ̅) ∑ ̅) ∑[ ] ̅ ̅ ∑ ̅) ∑ ∑ ̅ ̅ ∑ ̅) ) ∑ ̅ ∑ ̅)

46

Karena ∑ ̅) ∑ ̅ , maka diperoleh

) ∑

̅ [∑

̅ ]

) ∑

̅ ∑

̅ )

) ) )

Maka adalah penduga tak bias dari .

Jika untuk berdistribusi Normal, maka f. ̂ dan ̂ berdistribusi Normal.

Bukti

Pada model regresi linear sederhana , bentuk galat tidak bergantung pada dengan rata-rata ) dan variansi ) . Bentuk dari distribusi sampling untuk ̂ dan ̂ bergantung pada distri-busi dari galat . Maka jika berdistribusi Normal, maka berdistribusi Normal dengan rata-rata dan variansi , karena ̂ dan ̂ adalah fungsi linear dari , maka ̂ berdistribusi Normal dengan rata-rata

47

dan variansi ∑

∑ ̅) dan ̂ berdistribusi Normal dengan rata-rata

dan variansi ∑

∑ ̅) .

g. Variabel random ) berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas . Bukti

Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai

Jika ditulis ke dalam bentuk matriks, maka model regresi linear sederhana dapat ditulis sebagai

[ ] [

] [ ] [ ]

Bentuk lain dari model regresi linear sederhana adalah

dengan [ ] [

] [ ] dan [ ]

Penduga kuadrat terkecil dari yaitu ̂, dapat dinotasikan dengan notasi matriks

̂ )

48

̂ ̂

Galat dari model regresi linear sederhana adalah

̂

)

) ₎

dengan ) ) adalah matriks simetri idempoten.

Akan dibuktikan adalah matriks simetri dan idempoten Bukti

) ₎

) [ ) _]

)

Jadi adalah matriks simetri.

) ) _{) ) )}

) _{) ) ) )}

) _{) ) )}

) _{) )}

)

49

Jadi adalah matriks idempoten. Akan dibuktikan

) _{) )}

) ) ₎

) ₎

)

)

̂

Akan dibuktikan

) )

) ) ₎

) ) ₎

) ) ₎

) )

Statistik didefinisikan sebagai

50

∑

Akan dibuktikan ) berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas

) )

Variabel random berdistribusi normal standar dengan rata-rata nol dan variansi . Karena matriks adalah matriks simetri dan idempoten, maka berdasarkan teorema 2.7 berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas .

Jadi ) berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas h. Statistik tidak bergantung pada ̂ dan ̂

Bukti

51

∑ [ ( ̂ ̂ )]

∑ [ ( ̅ ̂ ̅ ̂ )]

∑ [ ̅ ̂ ̅ ̂ ]

∑ [ ̅) ̂ ̅)]

∑ ̅) ̂ ̅) ̅) ̂ ̅)

∑ ̅) ̂ ̅) ̅) ̂ ̅) ̅)

∑ ̅) ̂ ̅) ̅)

karena ̂ ∑ ̅)

∑ ̅) , maka diperoleh

∑ ̅) ∑ ̅)

∑ ̅) ̅) ̅)

∑ ̅) ̅) ∑ ̅) ∑ ̅) ̅) ∑ ̅) )

Jadi, tidak bergantung pada ̂ dan ̂

Contoh 2.1

Auditor sering diminta untuk membandingkan hasil audit dari item penyimpanan buku (atau terdaftar). Jika sebuah perusahaan selalu memperbaharui penyimpanannya

52

dan buku up to date, maka pasti terdapat hubungan linear antara nilai audit dan nilai buku. Sebuah perusahaan mengambil sampel sepuluh item inventori dan memperoleh nilai audit dan buku yang diberikan pada tabel di bawah ini.

Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku Item Nilai Audit

( )

Nilai Buku ( )

1 9 10

2 14 12

3 7 9

4 29 27

5 45 47

6 109 112

7 40 36

8 238 241

9 60 59

10 170 167

Gunakan model untuk data di dalam tabel tersebut. Jawab

Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 diperoleh

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑ )

)

53

̂ ∑ _∑∑ ∑ ∑

∑ )

)

Jadi, penduga kuadrat terkecil dari dan adalah ̂ dan ̂

Sehingga diperoleh model persamaan regresi Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3.

G. Uji Kolmogorov Smirnov

Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data (atau variabel random). Uji kecocokan (goodness of fit test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang tidak diketahui untuk menguji hipotesis nol bahwa fungsi distribusi yang tidak diketahui sebenarnya dikenal atau diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Kecocokan (goodness of fit) dapat di uji dengan berbagai metode, diantaranya uji Kolmogorov Smirnov, uji Chi Square dan uji Anderson Darling. Pada tugas akhir ini, hanya akan dibahas uji kecocokan dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov.

Pada dasarnya uji kecocokan berdasarkan pada salah satu dari dua elemen distribusi, yaitu fungsi distribusi kumulatif (Cumulative Ditribution Function) atau

54

fungsi probabilitas (Probability Density Function). Uji Chi Square berdasarkan pada fungsi probabilitas sedangkan uji Kolmogorov Simirnov dan uji Anderson Darling berdasarkan pada fungsi distribusi kumulatif. Uji Kolmogorov Smirnov disarankan pertama kali oleh Kolmogorov pada tahun 1933.

Misalkan variabel random berasal dari distribusi yang tidak diketahui ), dan misalkan _{) ) )} adalah statistik terurut. akan diuji hipotesis bahwa ) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu ).

Definisi 2.22

Statistik uji Kolmogorov Smirnov didefinisikan sebagai

) (2.7)

[ ) ( ))]

[ ( )) )]

dengan , ) adalah fungsi distribusi empiris. Fungsi distribusi empiris berguna sebagai penduga dari fungsi distribusi yang tidak diketahui ).

Definisi 2.23

Misalkan adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris ) di definisikan sebagai

55

) {

)

) ) )

Hipotesis uji Kolmogorov Smirnov adalah

) )

untuk setiap dengan ) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan

) )

Jika lebih dari yang diberikan oleh tabel Kolmogorov Smirnov maka ditolak pada tingkat signifikansi .

H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov

Uji Kolmogorov Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data berdistribusi Weibull atau tidak. Uji distribusi Weibull dengan Kolmogorov Smirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Weibull.

Langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov untuk distribusi Weibull adalah sebagai berikut

1. ))

2. Tentukan tingkat signifikansi 3. Statistik uji

56

4. Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar

5. Hitunglah ) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull 6. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah fungsi distribusi empiris )

7. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah nilai dan , dan tentukan maksimum dari ( )

8. Daerah keputusan :

ditolak jika 9. Kesimpulan

Contoh 2.2

Diberikan data dalam tabel 2.2 di bawah ini. Ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan .

Tabel 2.2 Data Contoh 2.2

No 1 2 3 4 5 6

1.43 4.115 7.578 8.02 10.429 11.722

Jawab

1.

2. 3. Statistik uji

57

)

4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah

) ( ( ₎ )

5. Daerah keputusan :

di tolak jika 6. Perhitungan

) ) )

1 1.43 0.091 0.167 0.000 0.075 0.091 2 4.115 0.315 0.333 0.167 0.019 0.148 3 7.578 0.566 0.500 0.333 -0.066 0.233 4 8.02 0.593 0.667 0.500 0.073 0.093 5 10.429 0.718 0.833 0.667 0.115 0.051 6 11.722 0.771 1.000 0.833 0.229 -0.062

Maksimum 0.229 0.233

)

7. Kesimpulan

Karena maka diterima. Data tersebut berdistribusi

58

I. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation Method)

Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna.

Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel random menghasilkan dua bola merah. Dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah

Jika terdapat tiga bola merah pada kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara acak adalah

Oleh karena itu dipilih tiga sebagai penduga dari banyaknya bola merah pada kotak karena tiga merupakan penduga yang memaksimumkan probabilitas dari sampel yang diamati bandingkan dengan dua yang probabilitasnya (lebih kecil).

59

Kemungkinan terdapat dua bola merah pada kotak juga benar, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan lebih untuk tiga bola merah dalam kotak. Contoh ini mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).

Metode Kemungkinan Maksimum pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher pada tahun 1912. Metode ini menghasilkan penduga yang sangat baik bagi untuk sampel yang sangat besar.

Definisi 2.24

Misalkan adalah variabel random kontinu berukuran dengan fungsi probabilitas ) dan adalah parameter yang tidak diketahui, fungsi likelihood dari sampel random adalah densitas bersama dari variabel random dan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan dengan

) dan didefinisikan sebagai

) ∏ )

Definisi 2.25

Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator) ̂ dari memaksimumkan likelihood | ) atau ekuivalen dengan memaksimumkan log-likelihood | ) dengan ).

60

Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk :

)

Nilai parameter dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE ̂ merupakan penyelesaian dari persamaan berikut :

Misalkan terdapat parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter dengan Metode Kemungkinan Maksimum

dengan )

Contoh 2.3

Misalkan adalah sampel random berdistribusi Normal dengan mean dan variansi . Temukan ̂ dan ̂ dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum.

61

Jawab

adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan mean dan variansi maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai

)

√ [( )] )

berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh

) | )

| ) | ) | ) √

)

_√

) ( ) [ ∑ )

]

Fungsi log-likelihood dari persamaan diatas adalah

[ )] {(

) [ ∑ ) ]}

[ ( )] ∑ )

∑ )

Penduga kemungkinan maksimum dari dan adalah penduga yang memaksimum-kan [ )], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap dan , maka diperoleh

62

[ )]

∑ ) [ )]

∑ )

Jika turunan parsial terhadap dan disamakan dengan nol, maka akan diperoleh

∑ )

∑ )

∑

∑ ̅

∑ )

∑ )

∑ )

∑ )

63

∑ ̅)

Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk dan adalah

̅ dan ∑ ̅) .

J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai

Tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana adalah untuk menduga vektor parameter

[ ]

Untuk mencari Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dengan meng-gunakan asumsi bahwa galat ( ) independen dan berdistribusi Normal ( ). Misalkan variabel random independen dan berdistribusi Normal ) untuk .

Fungsi probabilitas dari distribusi Normal dengan mean dan variansi adalah

)

√ [ ) ]

Berdasarkan definisi 2.24 diperoleh

) ∏ √

64

(

√ ) ∏ [ ) ]

(

√ ) [ ∑ ) ]

Maka diperoleh fungsi log-likelihood sebagai berikut

[ )] {(

√ ) [ ∑ ) ]}

√ ∑ )

∑ )

∑ )

Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial [ )] terhadap , dan dan menyamakan dengan nol, maka diperoleh

[ ∑ ) ]

∑ )

∑ )

65

[ ∑ ) ]

∑ ) )

( )

∑ )

(2.10)

[ ∑ ) ]

∑ )

(2.11)

Berdasarkan persamaan 2.9 diperoleh

∑ )

∑ )

∑

∑

(2.12)

Berdasarkan persamaan 2.10 diperoleh

∑ )

66

∑

∑ ∑

(2.13)

Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.12 dan 2.13, maka diperoleh

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ) (2.14) ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ) (2.15)

Berdasarkan persamaan 2.11 diperoleh

∑ )

∑ )

_{∑ )}

∑ ) _(2.16)

Persamaan 2.14 dan 2.15 menunjukkan bahwa Pendugaan Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana menghasilkan penduga (estimator) yang sama dengan penduga yang dihasilkan dengan Metode Kuadrat Terkecil. Penduga Kemungkinan

67

Maksimum dari yang ditulis dalam persamaan 2.16 adalah rata-rata kuadrat galat sampel.

K. Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear. Dalam menduga parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum menghasilkan fungsi log-likelihood yang non linier, maka penyelesaian dari fungsi tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson merupakan penerapan dari deret Taylor.

Misalkan mempunyai akar pada suatu interval real dan akan dicari nilai pendekatan akarnya. Deret Taylor disekitar adalah

) ) ) ) ) )

Untuk yang cukup dekat dengan maka suku-suku nonlinear dapat diabaikan, maka akan diperoleh pendekatan

) ) ) )

Jika adalah akar dari maka )

) ) ) ) ) )

68

)₎

Oleh karena itu diperoleh skema iterasi ke metode Newton Raphson adalah

)₎

Contoh 2.34

Tentukan akar persamaan nonlinear ) dengan metode Newton Raphson jika diketahui nilai awal dengan toleransi

Jawab

Diketahui ) maka )

Diketahui skema iterasi metode Newton Raphson adalah

)₎

Ketika maka diperoleh

)₎ )

69

)₎

)

Ketika maka diperoleh

)₎ )

Ketika maka diperoleh

)₎

)

Ketika maka diperoleh

)₎

70

)

Karena ) , maka akar persamaan fungsi ) adalah

Di bawah ini adalah program menghitung akar persamaan ) menggu-nakan R.

> newton<-function(f,tol=1e-7, x0 = 1, N = 100){ + h <-1e-7

+ i = 1; x1 = x0 + p = numeric(N) + while (i <= N) {

+ df.dx = (f(x0 + h) - f(x0))/h + x1 = (x0 - (f(x0) / df.dx)) + p[i] = x1

+ i = i + 1

+ if (abs(x1 - x0) < tol) break + x0 = x1

+ }

+ return(p[1 : (i-1)]) + }

71

> h <-1e-7

> df.dx <- function(x){(f(x + h) - f(x)) / h} > df.dx(1);df.dx(2)

[1] 2 [1] 4

> app <- newton(f, x0 = 1) > app

[1] 2.000000 1.750000 1.732143 1.732051 1.732051

> f(app[length(app)])

72 BAB III

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Definisi 3.1

Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter

bila fungsi probabilitasnya

{ ( )

, , selainnya

dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala (scale parameter)

B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil

Pendugaan parameter distribusi Weibull dapat dilakukan dengan berbagai metode, diantaranya adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method). Metode Kuadrat Terkecil merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi linear.

Model regresi linear didefinisikan sebagai

73

dengan

pengamatan ke- variabel dependen = intersep (intercept)

= gradien (slope)

= pengamatan ke- variabel independen

galat (error) dari observasi ke- di mana memuat setiap faktor selain yang mempengaruhi

Metode kuadrat terkecil akan menentukan penduga dari

̂ ̂ yang akan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan

adalah sampel random dengan ukuran dari distribusi dan misalkan adalah nilai dari sebuah sampel random. Untuk menduga para-meter distribusi Weibull, perlu diketahui fungsi distribusi kumulatifnya. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah

( ( ₎ )

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull merupakan fungsi non linear. Transformasi logaritma dilakukan untuk mendekati Metode Kuadrat Terkecil.

74

( ( ₎ )

[ ( ) ] ( ₎ [ (( ₎ )] (

) ( )

[ ( _)] [( ₎ ]

[ ( _)] (3.2)

Persamaan 3.2 dapat dinyatakan dalam bentuk regresi linear sederhana yaitu:

(3.3)

dengan

, ,

Diasumsikan bahwa nilai harapan galat dari populasi sama dengan nol sehingga diperoleh penduga regresi linear sederhana adalah

̂ ̂ ̂ (3.4)

dengan

̂= penduga model (estimator)

̂ = penduga dari

75

Misalkan adalah statistik terurut dari dan misalkan adalah observasi terurut. pada persa-maan 3.2 tidak diketahui, maka menurut Ivana Pobocikova (Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83):4137-4149), nilai dari

di estimasi dengan mean rank yaitu

̂( ) (3.5)

dengan adalah x urutan ke-i.

Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 penduga dari

̂ dan ̂ dari parameter regresi dan adalah

̂ ∑ _∑∑ ∑ ∑

∑

̂ ∑ _∑ ∑ ∑

∑

Selanjutnya nilai

dan disubsitusikan ke persamaan

> MSE_MKT [1] 0.0247503 > alpha1=3.3923 > beta1=5.8419

> C=(xi/beta1)^alpha1 > Fx_MLE=1-exp(-C) > D=(Fx_MLE-Fxi)^2 > MSE_MLE=sum(D) > MSE_MLE

[1] 0.06035996

Lampiran B1: Uji Kolmogorov-Smirnov pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu

1 1.5 0.014 0.014 0.006 0.000 -0.008 0.014 2 1.7 0.036 0.035 0.013 0.006 -0.023 0.029 3 1.7 0.036 0.035 0.019 0.013 -0.016 0.023 4 1.7 0.036 0.035 0.026 0.019 -0.010 0.016 5 1.7 0.036 0.035 0.032 0.026 -0.003 0.010 6 1.8 0.055 0.054 0.038 0.032 -0.015 0.021 7 1.8 0.055 0.054 0.045 0.038 -0.009 0.015 8 1.8 0.055 0.054 0.051 0.045 -0.002 0.009 9 1.8 0.055 0.054 0.058 0.051 0.004 0.002 10 1.9 0.082 0.079 0.064 0.058 -0.015 0.021 11 1.9 0.082 0.079 0.071 0.064 -0.008 0.015 12 1.9 0.082 0.079 0.077 0.071 -0.002 0.008 13 1.9 0.082 0.079 0.083 0.077 0.005 0.002

14 2 0.120 0.113 0.090 0.083 -0.023 0.030 15 2 0.120 0.113 0.096 0.090 -0.017 0.023 16 2 0.120 0.113 0.103 0.096 -0.011 0.017 17 2 0.120 0.113 0.109 0.103 -0.004 0.011 18 2 0.120 0.113 0.115 0.109 0.002 0.004 19 2 0.120 0.113 0.122 0.115 0.009 -0.002 20 2 0.120 0.113 0.128 0.122 0.015 -0.009 21 2.1 0.172 0.158 0.135 0.128 -0.024 0.030 22 2.1 0.172 0.158 0.141 0.135 -0.017 0.024 23 2.1 0.172 0.158 0.147 0.141 -0.011 0.017 24 2.1 0.172 0.158 0.154 0.147 -0.004 0.011 25 2.1 0.172 0.158 0.160 0.154 0.002 0.004 26 2.1 0.172 0.158 0.167 0.160 0.008 -0.002 27 2.1 0.172 0.158 0.173 0.167 0.015 -0.008 28 2.1 0.172 0.158 0.179 0.173 0.021 -0.015 29 2.1 0.172 0.158 0.186 0.179 0.028 -0.021 30 2.1 0.172 0.158 0.192 0.186 0.034 -0.028 31 2.1 0.172 0.158 0.199 0.192 0.041 -0.034 32 2.1 0.172 0.158 0.205 0.199 0.047 -0.041 33 2.1 0.172 0.158 0.212 0.205 0.053 -0.047 34 2.1 0.172 0.158 0.218 0.212 0.060 -0.053 35 2.1 0.172 0.158 0.224 0.218 0.066 -0.060 36 2.1 0.172 0.158 0.231 0.224 0.073 -0.066 37 2.2 0.243 0.216 0.237 0.231 0.021 -0.015 38 2.2 0.243 0.216 0.244 0.237 0.028 -0.021 39 2.2 0.243 0.216 0.250 0.244 0.034 -0.028 40 2.2 0.243 0.216 0.256 0.250 0.041 -0.034 41 2.2 0.243 0.216 0.263 0.256 0.047 -0.041 42 2.3 0.338 0.287 0.269 0.263 -0.017 0.024 43 2.3 0.338 0.287 0.276 0.269 -0.011 0.017 44 2.3 0.338 0.287 0.282 0.276 -0.005 0.011 45 2.3 0.338 0.287 0.288 0.282 0.002 0.005 46 2.3 0.338 0.287 0.295 0.288 0.008 -0.002 47 2.3 0.338 0.287 0.301 0.295 0.015 -0.008 48 2.3 0.338 0.287 0.308 0.301 0.021 -0.015 49 2.3 0.338 0.287 0.314 0.308 0.027 -0.021

50 2.3 0.338 0.287 0.321 0.314 0.034 -0.027 51 2.3 0.338 0.287 0.327 0.321 0.040 -0.034 52 2.3 0.338 0.287 0.333 0.327 0.047 -0.040 53 2.3 0.338 0.287 0.340 0.333 0.053 -0.047 54 2.4 0.463 0.371 0.346 0.340 -0.024 0.031 55 2.4 0.463 0.371 0.353 0.346 -0.018 0.024 56 2.4 0.463 0.371 0.359 0.353 -0.012 0.018 57 2.4 0.463 0.371 0.365 0.359 -0.005 0.012 58 2.4 0.463 0.371 0.372 0.365 0.001 0.005 59 2.4 0.463 0.371 0.378 0.372 0.008 -0.001 60 2.4 0.463 0.371 0.385 0.378 0.014 -0.008 61 2.4 0.463 0.371 0.391 0.385 0.020 -0.014 62 2.4 0.463 0.371 0.397 0.391 0.027 -0.020 63 2.4 0.463 0.371 0.404 0.397 0.033 -0.027 64 2.4 0.463 0.371 0.410 0.404 0.040 -0.033 65 2.5 0.626 0.465 0.417 0.410 -0.049 0.055 66 2.5 0.626 0.465 0.423 0.417 -0.042 0.049 67 2.5 0.626 0.465 0.429 0.423 -0.036 0.042 68 2.5 0.626 0.465 0.436 0.429 -0.029 0.036 69 2.5 0.626 0.465 0.442 0.436 -0.023 0.029 70 2.5 0.626 0.465 0.449 0.442 -0.017 0.023 71 2.5 0.626 0.465 0.455 0.449 -0.010 0.017 72 2.5 0.626 0.465 0.462 0.455 -0.004 0.010 73 2.5 0.626 0.465 0.468 0.462 0.003 0.004 74 2.5 0.626 0.465 0.474 0.468 0.009 -0.003 75 2.5 0.626 0.465 0.481 0.474 0.015 -0.009 76 2.5 0.626 0.465 0.487 0.481 0.022 -0.015 77 2.5 0.626 0.465 0.494 0.487 0.028 -0.022 78 2.5 0.626 0.465 0.500 0.494 0.035 -0.028 79 2.5 0.626 0.465 0.506 0.500 0.041 -0.035 80 2.5 0.626 0.465 0.513 0.506 0.047 -0.041 81 2.5 0.626 0.465 0.519 0.513 0.054 -0.047 82 2.5 0.626 0.465 0.526 0.519 0.060 -0.054 83 2.5 0.626 0.465 0.532 0.526 0.067 -0.060 84 2.5 0.626 0.465 0.538 0.532 0.073 -0.067 85 2.5 0.626 0.465 0.545 0.538 0.079 -0.073

86 2.5 0.626 0.465 0.551 0.545 0.086 -0.079 87 2.5 0.626 0.465 0.558 0.551 0.092 -0.086 88 2.6 0.837 0.567 0.564 0.558 -0.003 0.009 89 2.6 0.837 0.567 0.571 0.564 0.003 0.003 90 2.6 0.837 0.567 0.577 0.571 0.010 -0.003 91 2.6 0.837 0.567 0.583 0.577 0.016 -0.010 92 2.6 0.837 0.567 0.590 0.583 0.023 -0.016 93 2.6 0.837 0.567 0.596 0.590 0.029 -0.023 94 2.6 0.837 0.567 0.603 0.596 0.035 -0.029 95 2.6 0.837 0.567 0.609 0.603 0.042 -0.035 96 2.6 0.837 0.567 0.615 0.609 0.048 -0.042 97 2.6 0.837 0.567 0.622 0.615 0.055 -0.048 98 2.6 0.837 0.567 0.628 0.622 0.061 -0.055 99 2.6 0.837 0.567 0.635 0.628 0.068 -0.061 100 2.6 0.837 0.567 0.641 0.635 0.074 -0.068 101 2.6 0.837 0.567 0.647 0.641 0.080 -0.074 102 2.6 0.837 0.567 0.654 0.647 0.087 -0.080 103 2.6 0.837 0.567 0.660 0.654 0.093 -0.087 104 2.6 0.837 0.567 0.667 0.660 0.100 -0.093 105 2.7 1.107 0.669 0.673 0.667 0.004 0.003 106 2.7 1.107 0.669 0.679 0.673 0.010 -0.004 107 2.7 1.107 0.669 0.686 0.679 0.016 -0.010 108 2.7 1.107 0.669 0.692 0.686 0.023 -0.016 109 2.7 1.107 0.669 0.699 0.692 0.029 -0.023 110 2.7 1.107 0.669 0.705 0.699 0.036 -0.029 111 2.7 1.107 0.669 0.712 0.705 0.042 -0.036 112 2.7 1.107 0.669 0.718 0.712 0.048 -0.042 113 2.7 1.107 0.669 0.724 0.718 0.055 -0.048 114 2.7 1.107 0.669 0.731 0.724 0.061 -0.055 115 2.7 1.107 0.669 0.737 0.731 0.068 -0.061 116 2.7 1.107 0.669 0.744 0.737 0.074 -0.068 117 2.7 1.107 0.669 0.750 0.744 0.081 -0.074 118 2.8 1.449 0.765 0.756 0.750 -0.009 0.015 119 2.8 1.449 0.765 0.763 0.756 -0.002 0.009 120 2.8 1.449 0.765 0.769 0.763 0.004 0.002 121 2.8 1.449 0.765 0.776 0.769 0.010 -0.004

122 2.8 1.449 0.765 0.782 0.776 0.017 -0.010 123 2.8 1.449 0.765 0.788 0.782 0.023 -0.017 124 2.8 1.449 0.765 0.795 0.788 0.030 -0.023 125 2.8 1.449 0.765 0.801 0.795 0.036 -0.030 126 2.8 1.449 0.765 0.808 0.801 0.042 -0.036 127 2.8 1.449 0.765 0.814 0.808 0.049 -0.042 128 2.9 1.879 0.847 0.821 0.814 -0.027 0.033 129 2.9 1.879 0.847 0.827 0.821 -0.020 0.027 130 2.9 1.879 0.847 0.833 0.827 -0.014 0.020 131 2.9 1.879 0.847 0.840 0.833 -0.008 0.014 132 2.9 1.879 0.847 0.846 0.840 -0.001 0.008 133 2.9 1.879 0.847 0.853 0.846 0.005 0.001 134 2.9 1.879 0.847 0.859 0.853 0.012 -0.005 135 3 2.415 0.911 0.865 0.859 -0.045 0.052 136 3 2.415 0.911 0.872 0.865 -0.039 0.045 137 3 2.415 0.911 0.878 0.872 -0.032 0.039 138 3 2.415 0.911 0.885 0.878 -0.026 0.032 139 3 2.415 0.911 0.891 0.885 -0.020 0.026 140 3 2.415 0.911 0.897 0.891 -0.013 0.020 141 3 2.415 0.911 0.904 0.897 -0.007 0.013 142 3 2.415 0.911 0.910 0.904 0.000 0.007 143 3 2.415 0.911 0.917 0.910 0.006 0.000 144 3.1 3.079 0.954 0.923 0.917 -0.031 0.037 145 3.1 3.079 0.954 0.929 0.923 -0.024 0.031 146 3.1 3.079 0.954 0.936 0.929 -0.018 0.024 147 3.2 3.895 0.980 0.942 0.936 -0.037 0.044 148 3.2 3.895 0.980 0.949 0.942 -0.031 0.037 149 3.2 3.895 0.980 0.955 0.949 -0.025 0.031 150 3.2 3.895 0.980 0.962 0.955 -0.018 0.025 151 3.2 3.895 0.980 0.968 0.962 -0.012 0.018 152 3.2 3.895 0.980 0.974 0.968 -0.005 0.012 153 3.3 4.891 0.992 0.981 0.974 -0.012 0.018 154 3.3 4.891 0.992 0.987 0.981 -0.005 0.012 155 3.5 7.561 0.999 0.994 0.987 -0.006 0.012 156 3.6 9.315 1.000 1.000 0.994 0.000 0.006

Lampiran B.2: Uji Kolmogorov-Smirnov pada data kecepatan angin perbulan di Sumenep

2.093 1 0.051 0.049 0.042 0.000 -0.008 0.049 2.533 2 0.088 0.084 0.083 0.042 -0.001 0.042 2.871 3 0.126 0.118 0.125 0.083 0.007 0.035 2.929 4 0.133 0.125 0.167 0.125 0.042 0.000 3.613 5 0.244 0.216 0.208 0.167 -0.008 0.050 3.8 6 0.282 0.246 0.250 0.208 0.004 0.038 3.867 7 0.297 0.257 0.292 0.250 0.035 0.007 3.871 8 0.298 0.257 0.333 0.292 0.076 -0.034 4.387 9 0.427 0.348 0.375 0.333 0.027 0.014 4.516 10 0.464 0.371 0.417 0.375 0.045 -0.004 4.8 11 0.553 0.425 0.458 0.417 0.033 0.008 5.233 12 0.710 0.508 0.500 0.458 -0.008 0.050 5.452 13 0.799 0.550 0.542 0.500 -0.009 0.050 5.767 14 0.940 0.609 0.583 0.542 -0.026 0.068 5.935 15 1.021 0.640 0.625 0.583 -0.015 0.056 6.065 16 1.087 0.663 0.667 0.625 0.004 0.038 6.467 17 1.308 0.730 0.708 0.667 -0.021 0.063 6.645 18 1.414 0.757 0.750 0.708 -0.007 0.049 7.097 19 1.710 0.819 0.792 0.750 -0.027 0.069 7.1 20 1.712 0.819 0.833 0.792 0.014 0.028 7.143 21 1.742 0.825 0.875 0.833 0.050 -0.009 7.258 22 1.824 0.839 0.917 0.875 0.078 -0.036 7.742 23 2.197 0.889 0.958 0.917 0.069 -0.028 8.355 24 2.737 0.935 1.000 0.958 0.065 -0.023