Penentuan Angka Harapan Hidup

PENENTUAN ANGKA HARAPAN HIDUP

AFNI SULISTIANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

PENENTUAN ANGKA HARAPAN HIDUP

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika

AFNI SULISTIANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007

Judul

: Penentuan Angka Harapan Hidup

Nama

: Afni Sulistiani

NIM

: G 54103045

Menyetujui :

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. Siswadi, M.Sc.
NIP 130 938 651

Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.
NIP 131 430 804

Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.
NIP 131 473 999

Tanggal Lulus :

ABSTRAK
AFNI SULISTIANI. Penentuan Angka Harapan Hidup. Dibimbing oleh SISWADI dan HADI
SUMARNO.

Demografi adalah ilmu yang mempelajari secara ilmiah tentang populasi manusia, terutama
yang berhubungan dengan umur, struktur dan perkembangannya. Salah satu komponen utama
demografi yang berpengaruh terhadap struktur dan jumlah penduduk adalah kematian. Angka
Harapan Hidup (AHH) merupakan indikator kematian yang umum dipakai. Terdapat empat
macam AHH yaitu AHH periode, AHH kohort, The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL)
dan Rata-rata AHH Kohort (RAK). Dengan menggunakan data angka kematian Amerika Serikat
1901-1991
diperoleh
bahwa
laju
kematian
sesaat
µ (a, t ) = exp(−5.3377 − 0.0016a + 0.0006a 2 − 0.0164t ) , di mana a adalah umur dan t adalah
tahun, merupakan fungsi yang paling menggambarkan angka kematian Amerika Serikat. Fungsi
tersebut digunakan untuk menghitung ke empat AHH tahun 1901-1991 dan dapat memprediksi
AHH beberapa tahun ke depan. RAK adalah indikator yang baik digunakan untuk menghitung
AHH dibandingkan dengan AHH periode dan CAL. RAK [ RAK (t ) ] dan AHH kohort [ ec (0, t ) ]
dapat
diduga
melalui

AHH
periode
[ e p (0, t ) ]
dengan
persamaan
RAK (t ) = −1.7526 + 1.0765e p (0, t ) dan ec (0, t ) = 8.0697 + 1.0789e p (0, t ) .

ABSTRACT
AFNI SULISTIANI. Determination of Life Expectancy. Supervised by SISWADI and HADI
SUMARNO.
Demography is the scientific study of human populations, primarily with respect to their size,
structure, and development. One of the prime demography components which influential to
population structure and size is mortality. Life Expectancy (LE) is generally used as indicator of
mortality. There are four kinds of LE i.e. period LE, cohort LE, The Cross-Sectional Average
Length of Life (CAL) and Average Cohort LE (ACLE). By using data of United States mortality in
1901-1991
we
found
that
the

force
of
mortality
µ (a, t ) = exp(−5.3377 − 0.0016a + 0.0006a 2 − 0.0164t ) where a is age and t is time, is the best
function for describing mortality rate in United States. That function is used to calculate the four
kinds of LE in years 1901-1991 and predict LE in the future. ACLE is a good indicator for
calculating LE compared to period LE and CAL. ACLE [ ACLE (t ) ] and cohort LE [ ec (0, t ) ] can
be estimated by using period LE [ e p (0, t ) ] with equation ACLE (t ) = −1.7526 + 1.0765e p (0, t ) and
ec (0, t ) = 8.0697 + 1.0789e p (0, t ) .

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 7 Desember 1984 sebagai anak kedua dari tiga
bersaudara pasangan Bapak Sutrisno dan Ibu Yuli Afiah.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN 05 Pagi Jakarta lulus pada tahun 1997,
SLTPN 223 Jakarta lulus pada tahun 2000, SMUN 39 Jakarta lulus pada tahun 2003 dan pada
tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor, melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa
Baru).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar privat pada mata kuliah
Kalkulus I (2005). Pada tahun 2007 penulis memenangi Sesi Poster Semester Genap 2006/2007

sebagai juara harapan II. Penulis juga aktif mengikuti beberapa kepanitian di antaranya Pesta Sains
2006 sebagai Koordinator Konsumsi Pusat, MUSWIL 2006 sebagai Divisi Dana Usaha, MISOTO
2006 sebagai Koordinator Voli, Seminar Sains 2006 sebagai Sekretaris, Lets Make Money + 2005
sebagai Sekretaris, MISOTO 2005 sebagai Koordinator Humas.

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga skripsi
ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah Demografi dengan judul Penentuan Angka
Harapan Hidup. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Terima kasih penulis ucapkan kepada :
ƒ Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. dan Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen
pembimbing yang telah memberi bimbingan, masukan, dorongan, nasihat serta segala
bantuan sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan.
ƒ Ayah, ibu, kakak dan adik yang selalu memberi kasih sayang, perhatian dan dukungan
moril atau materi.
ƒ Seseorang yang selalu memberikan inspirasi, semangat, doa, kasih sayang, perhatian,
dukungan moril atau materi dan bantuan yang tidak pernah putus.
ƒ Semua staf dosen pengajar Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu yang
bermanfaat selama menuntut ilmu di Departemen Matematika.

ƒ Orang tua kedua di Bogor yang memberikan perhatian dan kegembiraan.
ƒ Sahabat yang selalu memberi kebahagiaan, semangat, tantangan, perhatian, dan bantuan.
ƒ Sahabat dan teman seperjuangan Matematika ’40 yang tidak bisa disebutkan satu persatu.
Terima kasih atas segala persahabatan yang telah kita jalin selama empat tahun ini dan
mohon maaf apabila ada kesalahan yang disengaja ataupun tidak disengaja serta terima
kasih atas segalanya.
Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari kesempurnaan dan penulis sangat
menghargai segala saran dan kritik yang membangun dari pembaca. Penulis juga mengharapkan
tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan. Terima kasih.

Bogor, Agustus 2007

Penulis

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ..........................................................................................................................
DAFTAR TABEL ..................................................................................................................
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................
DAFTAR LAMPIRAN .........................................................................................................

i
ii
iii
iv

I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ............................................................................................
B. Tujuan .........................................................................................................
C. Bahan dan Metode ......................................................................................

1
1
1

II. DEFINISI DAN NOTASI ..........................................................................................

1

III. MODEL DAN KARAKTERISTIKNYA

A. AHH Kohort ................................................................................................
B. AHH Periode ...............................................................................................
C. CAL ..............................................................................................................
D. RAK .............................................................................................................

5
5
5
6

IV. PENERAPAN MODEL
A. Penentuan Laju Kematian Sesaat ................................................................. 8
B. Penentuan Angka Harapan Hidup ............................................................... 10
V. KESIMPULAN............................................................................................................. 15
VI. DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 16
VII. LAMPIRAN ................................................................................................................. 17

ii

DAFTAR TABEL

Halaman
Tabel 1 Nilai AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK tahun 1901-1991 .......................... 13
Tabel 2 Nilai prediksi AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK AS .................................. 13
Tabel 3 Pendekatan empirik untuk AHH periode ................................................................... 14
Tabel 4 Nilai µ (a, t ) AS per umur per tahun 1901-1991 dan µ (a, t ) Model II ..................... 18

iii

DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1 Daerah angka kematian yang digunakan dalam perhitungan AHH periode, AHH
kohort, dan CAL ....................................................................................................

6

Gambar 2 Daerah Angka Kematian RAK ...............................................................................

7

Gambar 3 Laju kematian sesaat AS per umur per tahun dari 1901 sampai 1991.....................

8

Gambar 4 Kurva µ (a, t ) Model I ...........................................................................................

9

Gambar 5 Kurva µ (a, t ) Model II ..........................................................................................

9

Gambar 6 Kurva gabungan untuk t = 0 ..................................................................................

9

Gambar 7 Kurva gabungan untuk t = 30 .................................................................................

9

Gambar 8 Kurva gabungan untuk t = 60 ................................................................................ 10
Gambar 9 Kurva gabungan untuk t = 90 ................................................................................. 10
Gambar 10 AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK menggunakan µ (a, t ) yang paling
sesuai dengan µ (a, t ) AS....................................................................................... 13

iv

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 Tabel 4 Nilai µ (a, t ) AS per umur per tahun 1901-1991 dan µ (a, t ) Model II .. 18
Lampiran 2 Pembuktian

∂
t p x = − t p x µ x + t ........................................................................ 20
∂t

Lampiran 3 Pembuktian f (t ) = t px µ x + t adalah fkp ............................................................... 21
x

Lampiran 4 Pembuktian A x = A 0 exp[− ∫ µ y dy ] ........................................................................ 22
0

Lampiran 5 Perhitungan empat indikator dalam Mathematica 5.2 ......................................... 23

1

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Demografi adalah kajian mengenai
kependudukan yang menyangkut berbagai
faktor seperti jumlah, struktur usia, kepadatan,
kelahiran, kematian, pertumbuhan, serta
variabel sosial dan ekonomi. Komponen
utama demografi yang berpengaruh terhadap
struktur dan jumlah penduduk adalah fertilitas
(kelahiran), mortalitas (kematian), dan migrasi
(perpindahan penduduk).
Mortalitas atau kematian dapat menimpa
siapa saja, tua, muda, kapan, dan di mana saja.
Kasus kematian terutama dalam jumlah
banyak berkaitan dengan masalah sosial,
ekonomi, adat istiadat maupun masalah
kesehatan lingkungan. Tinggi rendahnya
kematian diukur menggunakan indikator.
Indikator ini berguna untuk memonitor kinerja
pemerintah pusat maupun lokal dalam
peningkatan
kesejahteraan
masyarakat.
Indikator kematian yang umum dipakai adalah
angka kematian kasar, angka kematian bayi,
angka kematian balita, angka kematian anak,
angka kematian ibu, dan angka harapan hidup.
Angka Harapan Hidup (AHH) pada suatu
umur tertentu didefinisikan sebagai rata-rata
tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang
yang telah berhasil mencapai umur tersebut
dalam situasi kematian yang berlaku di
lingkungan masyarakatnya. Semakin tinggi
kematian maka semakin rendah AHH. AHH
dapat
digunakan
sebagai
indikator
pembangunan ekonomi. Semakin baik
pembangunan ekonomi di suatu wilayah,
maka semakin tinggi AHH.
AHH yang biasa dikenal adalah AHH
periode dan AHH kohort. Nilai AHH periode
bervariasi karena perubahan angka kematian.
Sedangkan AHH kohort tidak dihitung
sesering AHH periode karena untuk
menghitung AHH kohort diperlukan data
dalam jangka waktu bertahun-tahun hingga
kohort melengkapi kematiannya. Kemudian

tahun 1986, Brouard memperkenalkan The
Cross-sectional Average Length of Life (CAL)
sebagai indikator kematian alternatif. CAL
melengkapi AHH kohort atau AHH periode.
Tetapi CAL tidak menyertakan kematian
setelah periode tertentu. Sembilan tahun
kemudian, Schoen dan Canudas-Romo
memperkenalkan indikator kematian yang
baru yaitu Rata-rata AHH Kohort (RAK).
Indikator ini diharapkan dapat memberikan
gambaran terbaik dari AHH.
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk
mencari persamaan yang menggambarkan
laju kematian sesaat, kemudian menghitung
AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK
dengan menggunakan persamaan tersebut.
Bahan dan Metode
Data yang digunakan adalah data angka
kematian Amerika Serikat (AS) tahun 19011991
(WWW.demog.berkeley.edu/~bmd/states.html)
Untuk mendapatkan laju kematian sesaat
yang sesuai dengan data AS yang pertama
dilakukan adalah mencoba beberapa model
yang diperkirakan dapat merepresentasikan
data tersebut. Kebermaknaan (significancy)
dugaan parameter dalam model dan koefisien
determinasi (yang disesuaikan banyaknya
parameter) akan digunakan dalam pemilihan.
Kemudian model terpilih tersebut akan
digunakan untuk menghitung AHH periode,
AHH kohort, CAL dan RAK. Untuk
menunjukkan bahwa model terpilih tersebut
menyesuaikan data dengan baik, diberikan
nilai AHH periode dari pendekatan empirik.
Selanjutnya dihitung Proportionate Error
(PE) sebagai ukuran kecocokan data dengan
model.

DEFINISI DAN NOTASI
Definisi 1 Penduduk [Population]
Penduduk adalah jumlah orang yang
mendiami suatu daerah pada waktu tertentu.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 2 Kelahiran Hidup [Birth Life]
Kelahiran
hidup
adalah
peristiwa
keluarnya bayi dari rahim ibunya, tanpa
memperdulikan lama kehamilan, dan setelah

itu bayi bernafas atau menunjukkan tandatanda kehidupan yang lain seperti detak
jantung, denyut nadi atau gerakan nyata yang
disengaja, baik bila tali pusat dipotong atau
masih melekat dengan plasenta.
(Lucas, 1984)

2

Definisi 3 Kematian [Mortality]
Kematian adalah hilangnya semua tandatanda kehidupan secara permanen yang dapat
terjadi setiap saat setelah kelahiran hidup.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 4 Dinamika Penduduk [Population
Dynamics]
Dinamika penduduk adalah proses
perubahan secara terus menerus yang
mempengaruhi penduduk seperti kelahiran,
kematian dan perpindahan penduduk.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 5 Angka Pertumbuhan Penduduk
[Population Growth Rate]
Angka pertumbuhan penduduk adalah
angka yang menunjukkan peningkatan atau
penurunan jumlah penduduk suatu daerah dari
waktu ke waktu. Dalam angka ini semua
konponen
yang
berhubungan
dengan
pertumbuhan penduduk seperti kelahiran,
kematian dan migrasi diperhitungkan.
Angka pertumbuhan penduduk yang minus
berarti jumlah penduduk yang ada pada suatu
daerah mengalami penurunan yang bisa
disebabkan oleh banyak hal. Pertumbuhan
penduduk meningkat jika jumlah kelahiran
dan perpindahan penduduk dari luar ke dalam
lebih besar dari jumlah kematian dan
perpindahan penduduk dari dalam ke luar.
(www.organisasi.org, 9 Agustus 2006)
Definisi 6 Umur Tepat [Exact Age]
Umur tepat adalah umur yang dihitung
pada saat hari ulang tahun seseorang.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 7 Angka Kematian Menurut Umur
[Age Spesific Death Rate]
Angka kematian menurut umur adalah
jumlah kematian menurut kelompok umur
tertentu dibagi jumlah penduduk dalam
kelompok umur yang sama.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 8 Kohort [Cohort]
Kohort adalah sekelompok orang yang
mempunyai pengalaman waktu yang sama
(biasanya satu tahun) dari suatu peristiwa
tertentu.
(Utomo, 1985)
Definisi 9 Periode [Period]
Periode adalah mengenai peristiwa yang
terjadi pada sebagian penduduk atau
keseluruhan selama satu waktu tertentu.

Misalnya angka kematian seluruh penduduk
Indonesia dalam tahun 1990.
(Utomo, 1985)
Definisi 10 Kohort Kelahiran [Birth Cohort]
Kohort kelahiran adalah banyaknya
kelahiran hidup yang terjadi dalam suatu
periode tertentu.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 11 Angka Tahunan [Annual Rate]
Angka tahunan adalah periode dalam
waktu 12 bulan.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 12 Bertahan Hidup [Survival]
Bertahan hidup adalah suatu kondisi
terutama di mana seorang individu atau suatu
kelompok tetap hidup setelah interval waktu
yang ditentukan.
(Shrestha, 2006)
Definisi 13 Tabel Hayat [Life Table]
Tabel
hayat
adalah
tabel
yang
menggambarkan ketahanan hidup dari
kelahiran hidup.
(Brown, 1997)
Definisi 14 Angka Harapan Hidup [Life
Expectancy]
Angka harapan hidup pada suatu umur
tertentu didefinisikan sebagai rata-rata tahun
hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang
telah berhasil mencapai umur tersebut dalam
situasi kematian yang berlaku di lingkungan
masyarakatnya.
(Utomo, 1985)
Definisi 15 Umur Panjang [Longevity]
Umur panjang adalah lamanya hidup.
“Rata-rata umur panjang” biasanya berkenaan
dengan AHH.
(Shrestha, 2006)
Definisi 16 Notasi dan Rumus
Satu variabel
• x adalah umur.
• A x + n adalah banyaknya orang yang
bertahan hidup hingga umur x + n .
• n d x adalah banyaknya orang yang
meninggal antara umur x dan x + n .
• t px adalah peluang bertahan hidup dari
umur x hingga x + t .
• n qx adalah peluang seseorang berumur x
meninggal sebelum mencapai x + n .
• mx adalah angka kematian umur x .

3

•

Lx adalah banyaknya tahun hidup yang
dijalani antara umur x dan x + n oleh
penduduk berumur x .
• Tx adalah total waktu yang dijalani
penduduk berumur x sampai akhir
hayatnya.
• ex adalah AHH umur x .
n

n

e(a, t ) adalah AHH umur a pada tahun
t.
d ( a, t )
m( a , t ) =
L( a, t )
n

d (a, t ) = A(a, t ) − A(a + n, t )

n

q ( a, t ) =

d ( a, t )
A ( a, t )

n

dx = A x − A x+n

A x +t
t px =
Ax

∞

∞

y=a

a

T (a, t ) = ∑ n L( y, t ) = ∫ A( s, t )ds

∫ A ds
s

x

mx =

∫ A(s, t )ds

=

a

x+n

Lx =

a+n
n L( a, t )

n dx
n qx =
Ax

n

•

dx
Lx
∞

∞

y=x

x

Tx = ∑ Ly = ∫ A s ds
∞ Lx = Tx

T
ex = x
Ax
untuk n = 1 , notasi selanjutnya dapat ditulis
sebagai berikut :
d x , px , qx , dan Lx .

Dua variabel
• a adalah umur.
• t adalah tahun.
• A(a, t ) adalah banyaknya orang yang
bertahan hidup hingga tepat berumur a
pada tahun t .
• n d (a, t ) adalah banyaknya orang yang
meninggal antara umur a dan a + n pada
tahun t .
• n p (a, t ) adalah peluang bertahan hidup
dari umur a pada tahun t hingga a + n .
• n q ( a, t )
adalah peluang seseorang
berumur tepat a tahun pada tahun t
meninggal sebelum mencapai a + n .
• m(a, t ) adalah angka kematian umur a
tahun t .
• n L(a, t ) adalah tahun hidup yang dijalani
antara umur a dan a + n oleh penduduk
berumur a pada tahun t .
• T (a, t ) adalah total waktu yang dijalani
penduduk berumur a pada tahun t
sampai akhir hayatnya.

T ( a, t )
e( a, t ) =
A ( a, t )
untuk n = 1 , notasi selanjutnya dapat ditulis
sebagai berikut :
d (a, t ) , q (a, t ) , dan L(a, t ) .
(Brown, 1997)

Definisi 17 Laju Kematian Sesaat [The
Force of Mortality]
d
Diketahui d x = A x − A x +1 dan qx = x dari
Ax
definisi sebelumnya untuk n = 1 , sehingga
dapat ditulis :
jika
ukuran
ini
qx A x = d x = A x − A x +1 ,
dipengaruhi oleh suatu periode waktu yang
singkat, sepanjang ∆t , maka rumusnya akan
menjadi :
qx*A x ∆t = ∆t d x = A x − A x + ∆t
atau
A − A x +∆t
qx* = x
A x .∆t

di mana qx* menotasikan angka kematian
yang berlaku yang didasarkan pada aktivitas
kematian dalam interval kecil dari x ke
x + ∆t . Jika kemudian kita limitkan
persamaan di atas dengan ∆t → 0 , kita
mempunyai suatu ukuran yang dinamakan laju
kematian sesaat (dinotasikan µ x ), yaitu

µ x = lim

∆t → 0

A x − A x +∆t
A x .∆t

A x + ∆t − A x
= DA x
∆t
(turunan dari A x ), sehingga diperoleh

didefinisikan

µx =

− DA x
Ax

= − D ln A x

bahwa

lim

∆t → 0

4

untuk dua variabel :
µ (a, t ) = − D ln A(a, t )
µ (a, t ) adalah laju kematian sesaat umur a
tahun t .
(Brown, 1997)

Definisi 18 Erfi (z)
Didefinisikan fungsi galat Erf (z) adalah
z
2
−t2
Erf (z) =
∫ e dt

π

0

Sehingga Erfi (z) adalah fungsi galat imajiner
dengan rumus :
Erfi (z)= Erf (iz)/i
(Mathematica, 2005)

MODEL DAN KARAKTERISTIKNYA
Angka Harapan Hidup (AHH) pada suatu
umur tertentu didefinisikan sebagai rata-rata
tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang
yang telah berhasil mencapai umur tersebut
dalam situasi kematian yang berlaku di
lingkungan masyarakatnya. AHH waktu lahir
misalnya, merupakan rata-rata tahun hidup
yang akan dijalani oleh bayi yang baru lahir.
AHH umur lima tahun berarti rata-rata tahun
hidup yang akan dijalani oleh mereka yang
telah mencapai umur lima tahun. AHH pada
suatu umur merupakan indikator yang baik
untuk menunjukkan tingkat sosial ekonomi
secara umum.
AHH umur x yang dinotasikan dengan ex
menyatakan rata-rata waktu yang akan dijalani
setelah umur x . Secara khusus AHH
didefinisikan sebagai total waktu yang dijalani
banyaknya orang yang bertahan hidup dari
umur x sampai akhir hayatnya dibagi dengan
jumlah orang yang bertahan hidup hingga
umur x .
Lx didefinisikan sebagai banyaknya tahun
hidup yang dijalani antara umur x dan x + 1
oleh A x . Sebagai kemungkinan lain Lx dapat
didefinisikan sebagai rata-rata banyaknya
orang yang masih hidup antara umur x dan
x + 1 , di mana diberikan nilai rata-rata A x + t
dari t = 0 sampai dengan t = 1 . Sehingga Lx
dapat ditulis
1

Lx = ∫ A x + t dt

akan diperoleh :
∞

Tx = ∫ A x + t dt
0

Sehingga AHH dapat ditulis sebagai
∞

ex =

∫A

x +t

dt

0

Ax

Ekspresi ex dapat diperoleh dengan
menggunakan beberapa pendekatan yang
berhubungan dengan statistik. Harapan waktu
hidup yang akan dijalani orang yang berumur
x dinotasikan dengan ex , dan T adalah
variabel acak untuk waktu hidup yang akan
dijalani, kemudian ex adalah nilai harapan
dari

T , dinotasikan Ε(T ) . Diketahui bahwa

f (t ) = t px µ x + t (Bukti di Lampiran 3) adalah

fungsi kepekatan peluang dari T , sehingga
nilai harapan dari T diberikan oleh :
∞

∞

0

0

ex = E [T ] = ∫ tf (t )dt = ∫ t t p x µ x + t dt

dengan menggunakan :
∂
t px = − t px µ x + t
∂t
(Bukti di Lampiran 2)
akan diperoleh :
∞

∫t

∞

t

∞

Tx = ∑ Ly
y=x

∞

0

0

0

0

Sehingga ex dapat ditulis sebagai

0

sebagai hubungan yang tepat antara Lx dan
A x , di mana A x diasumsikan kontinu dan nilai
integralnya diasumsikan ada. Kemudian
apabila diberikan

∞

px µ x + t dt = −t t px | + ∫ t px dt = ∫ t px dt
∞

∫0 A x +t dt
A x +t
e x = ∫ t px dt = ∫
dt =
Ax
Ax
0
0
Dengan demikian dapat pula dirumuskan
ragam dari T yaitu :
∞

∞

∞

Var (T ) = ∫ t 2 t px µ x + t dt − (ex ) 2 , dengan
0

Var (T ) = E[T 2 ] − ( E[T ]) 2

5

Sebelum memperkenalkan ukuran baru,
akan dibahas indikator yang ada terlebih
dahulu.
Indikator Kematian
AHH Kohort
AHH kohort adalah AHH yang
menggunakan angka kematian bukan dari satu
tahun, tetapi dari serangkaian tahun di mana
individunya akan mencapai umur tertinggi.
AHH kohort mewakili satu kohort. AHH
kohort pada kelahiran pada waktu t
dirumuskan oleh :
ω

ec (0, t ) =

Tc (0, t )
=
A c (0, t )

∫A

c

(a, t )da

0

ω

T (0, t − a )
ec (0, t − a) = c
=
A c (0, t − a)

c

( x, t − a)dx

0

A c (0, t − a)

dengan A c ( a, t − a ) adalah peluang bertahan
hidup dari lahir hingga umur a untuk kohort
kelahiran pada waktu
dengan
t−a
A c (0, t − a ) = 1 .
AHH Periode
AHH periode adalah AHH pada tahun
yang diberikan menggunakan angka kematian
sebenarnya atau harapan pada setiap umur
untuk tahun tersebut. AHH periode pada
kelahiran pada waktu t dapat diekspresikan
sebagai :

A c (0, t )

Anggap A c (0, t ) = 1 , sehingga dapat dilihat
bahwa A c ( a, t ) adalah peluang bertahan hidup
dari lahir hingga umur a untuk kohort
kelahiran pada waktu t dan ω adalah umur
tertinggi yang dicapai.
Dengan menggunakan rumus :

∫A

ω

e p (0, t ) =

Tp (0, t )
A p (0, t )

=

∫A

p

(a, t )da

0

A p (0, t )

dengan A p (0, t ) = 1 , sehingga A p (a, t ) adalah
peluang bertahan hidup dari lahir hingga umur
a . Peluang ini dirumuskan sebagai :
a

A p ( a, t ) = A p (0, t ) exp[ − ∫ µ ( x, t )dx ]

x

A x = A 0 exp[ − ∫ µ y dy ]

0

0

a

(Bukti di Lampiran 4)
akan diperoleh :

= exp[ − ∫ µ ( x, t )dx ]
0

a

A c ( a, t ) = A c (0, t ) exp[ − ∫ µ ( x, t + x )dx ]
0
a

= exp[ − ∫ µ ( x, t + x )dx ]
0

Simbol c dalam persamaan di atas
digunakan untuk menandai AHH kohort. Pada
teks lainnya, simbol p digunakan untuk
mengindentifikasi AHH periode.
AHH kohort mencerminkan kejadian nyata
dari masing-masing individu. Meskipun
dikatakan lebih baik untuk kenyataan, AHH
kohort tidak dihitung sesering AHH periode
karena untuk menghitung AHH kohort
diperlukan data dalam jangka waktu bertahuntahun lamanya hingga kohort melengkapi
kematiannya. Selain itu, perusahaan asuransi
jarang menggunakan indikator ini karena
asuransi perlu mencari informasi dalam waktu
yang singkat mengenai AHH seseorang. Di
samping
itu,
AHH
kohort
tidak
mendefinisikan secara tepat pertumbuhan
penduduk karena angka pertumbuhan
penduduk dipengaruhi oleh banyaknya kohort,
dan perbandingan dari satu kohort kurang
dapat menggambarkan dinamika penduduk
seluruhnya. AHH kohort pada kelahiran pada
waktu t − a dirumuskan oleh :

AHH periode menyediakan metode untuk
meringkas kondisi sekarang ini karena data
yang diperlukan tersedia dengan waktu yang
tidak terlalu lama. Akan tetapi, AHH periode
bervariasi karena angka kematian berubah dari
waktu ke waktu.
CAL
The Cross-Sectional Average Length of
Life (CAL) adalah gabungan dari bermacammacam kejadian kohort dalam suatu model
sewaktu atau ukuran kematian yang menunjuk
kepada satu periode dalam asumsi suatu
penduduk mempunyai angka kelahiran
konstan, tetapi kematian bervariasi pada setiap
umur dan waktu. Indikator ini melengkapi
AHH periode dan AHH kohort. CAL pada
kelahiran pada waktu t dirumuskan sebagai
berikut :
ω

T (0, t − a)
CAL(t ) = cal
=
A c (0, t − a )

∫ A (a, t − a)da
c

0

A c (0, t − a )

dengan A c ( a, t − a ) adalah peluang bertahan
hidup dari lahir hingga umur a untuk kohort
kelahiran pada waktu
dengan
t−a

6

A c (0, t − a ) = 1 . Peluang
dirumuskan sebagai :
A c (a, t − a )

A c (a, t − a )

dapat

a

= A c (0, t − a ) exp[− ∫ µ ( x, t − a + x)dx]
0

a

= exp[ − ∫ µ ( x, t − a + x )dx ]

Secara umum, CAL lebih rendah dari AHH
periode karena beberapa kematian populasi
seumur pada masa lalu biasanya lebih besar
dibanding kematian masa kini pada waktu t .
Sehingga peluang bertahan hidup untuk
menghasilkan CAL lebih rendah daripada
AHH periode. CAL juga tidak menyertakan
kematian setelah periode tertentu.

0

CAL menggabungkan kematian masa lalu
dengan kematian sekarang dari semua kohort.
AHH Periode

Umur (a)

AHH Kohort

µ ( a, t )

CAL

Waktu (t)

Gambar 1 Daerah angka kematian yang digunakan dalam perhitungan AHH periode, AHH
kohort, dan CAL.
(Guillot 2003)
Gambar 1 menunjukkan daerah angka
kematian yang digunakan dalam perhitungan
AHH periode pada kelahiran pada waktu t
[ ep (0, t) ], AHH kohort pada kelahiran pada
waktu t [ ec (0, t) ] , dan The Cross-Sectional
Average Length of Life (CAL) pada waktu t
[ CAL(t) ].

tersebut,

A c (a, t − a ) .

yaitu

Misalkan

RAK (t ) menandai rata-rata AHH kohort
pada kelahiran pada waktu t dan dirumuskan
sebagai berikut :
ω

∫ e (0, t − a)A
c

RAK (t ) =

c

(a, t − a)da

0

ω

∫A

c

(a, t − a )da

0

RAK : Indikator Kematian Baru
Pada tahun 2005, Schoen dan CanudasRomo memperkenalkan indikator kematian
baru yang mencakup rata-rata AHH dari
kohort yang hidup pada waktu yang diberikan.
Pendekatan secara langsung : Schoen dan
Canudas-Romo merinci rata-rata terboboti
dari AHH kohort dengan kohort kelahiran
t − a [ ec (0, t − a ) ]. Bobot diperlukan karena
tidak beralasan untuk memberikan tekanan
yang sama antara anggota populasi yang baru
lahir dan anggota populasi masing-masing
umur yang bertahan hidup hingga umur tinggi.
Pada setiap umur, bobot yang diajukan adalah
peluang bertahan hidup sebenarnya dari umur

ω

∫ e (0, t − a)A
c

=

c

(a, t − a)da

0

CAL(t )
ω

= ∫ ec (0, t − a)CCAL (a, t − a )da
0

di mana CCAL ( a, t − a ) adalah distribusi
kepadatan dari peluang bertahan hidup kohort,
A (a, t − a )
.
CCAL ( a, t − a ) = c
CAL(t )
Nilai dari RAK (t ) adalah rata-rata dari
AHH kohort dalam tahun t yang diboboti
oleh peluang bertahan hidup sebenarnya dari
umur tertentu. Untuk mencari RAK,

7

diperlukan AHH dari semua kohort, data ini
tidak tersedia dengan cepat karena perlu
menunggu
kohort
untuk
melengkapi
kematiannya. Sekalipun begitu, data kohort
yang diperlukan tidak dapat dihindari lagi,
karena ukuran yang dimaksud digunakan
untuk menentukan rata-rata AHH.
RAK menyediakan ukuran yang tepat dan
jelas secara konsep karena didasarkan dari

AHH kohort. Gambar di bawah ini
menunjukkan daerah angka kematian yang
digunakan dalam perhitungan rata-rata AHH
kohort pada waktu t [ RAK(t) ] .

AHH Kohort
Umur (a)

µ ( a, t )
RAK

Waktu (t)

Gambar 2 Daerah angka kematian RAK.

8

PENERAPAN MODEL
Penentuan Laju Kematian Sesaat

1

Laju kematian sesaat umur x ( µ x )
diperoleh dari data angka kematian umur x
( mx ) dengan menggunakan asumsi laju
kematian sesaat adalah konstan ( µ x = µ ).
Sehingga dapat dibuktikan bahwa mx = µ x .
Bukti :
d
dan
Apabila
diketahui
mx = x
Lx

=

∫

(Lampiran

3)

x + t µ x + t dt

=

0

1

∫A

∫A

x + t µ dt

0
1

∫A

x + t dt

0

x + t dt

0

1

∫

µ A x + t dt
=

=µ

0
1

∫A

1

d x = A x +t µ x + t dt

∫A

1

x + t dt

0

maka

mx = µ = µ x
Terbukti.
Berdasarkan asumsi di atas kurva laju
kematian sesaat AS diberikan pada Gambar 3.

0

diperoleh :
d
mx = x
Lx
1,40

1,20

Laju Kematian Sesaat

1,00

0,80

0,60

0,40

0,20

0,00
0

1

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95 100 105

Umur
1901

1911

1921

1931

1941

1951

1961

1971

1981

1991

Gambar 3 Laju kematian sesaat AS per umur per tahun dari 1901 sampai 1991
Kurva ini menggambarkan laju kematian
sesaat AS per umur per tahun yang
dinotasikan dengan µ (a, t ) antara tahun 1901
sampai 1991. Berdasarkan kurva di atas pada
tahun t selang umur 0-5 tahun µ (a, t )
mengalami penurunan. Hal ini dikarenakan
tingginya angka kematian anak di bawah lima
tahun yang disebabkan kegagalan proses
kelahiran, lemahnya daya tahan tubuh anak,
penyakit bawaan orang tua, dan kondisi

kesehatan lingkungan tempat tinggalnya.
Selang umur 5-60 tahun µ (a, t ) mengalami
kenaikan yang tidak terlalu besar karena
manusia melakukan penyesuaian daya tahan
tubuh terhadap lingkungan sekitar. Sedangkan
untuk umur di atas 60 tahun µ (a, t )
mengalami kenaikan yang cukup besar karena
faktor penyakit dan daya tahan tubuh manusia
yang semakin menurun. Secara umum,
µ (a, t ) dari tahun ke tahun mengalami

9

γˆ = 0.0001 ( p − value = 0.000) ,
εˆ = −0.0009 ( p − value = 0.000) ,

3,50

3,00

2,50

2,00

1,50

1,00

0,50

dengan koefisien determinasi R 2 = 0.818
dan R 2 yang disesuaikan ( R 2 adjusted)
Ra 2 = 0.816 .
Kurva yang diperoleh dari model tersebut
diberikan pada Gambar 4.

0,00
0

1

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95 100 105

Umur

t=0

t=10

t=20

t=30

t=40

t=50

t=60

t=70

t=80

t=90

Gambar 5 Kurva µ (a, t ) Model II
Berikut ini akan dibandingkan kurva laju
kematian sesaat AS dengan Model II untuk t
tertentu.

0,40

0,30

0,20
3 ,0 0

0,10

Laju Kematian Sesaat

2 ,5 0

10
0

80

90

-0,10

-0,20

2 ,0 0

1 ,5 0

1 ,0 0

0 ,5 0

Umur

dengan R 2 = 0.880 dan Ra 2 = 0.878 .

95

10
5

95

75

10
5

Data

Model II

Gambar 6 Kurva gabungan untuk t = 0
3 ,0 0

Laju Kematian Sesaat

2 ,5 0

2 ,0 0

1 ,5 0

1 ,0 0

0 ,5 0

75

85

65

55

45

35

25

5

15

0 ,0 0
0

γˆ = 0.0006 ( p − value = 0.000) ,
εˆ = −0.0164 ( p − value = 0.000) ,

65

Umur

Gambar 4 Kurva µ (a, t ) Model I
Dari kurva di atas, Model I dapat
menghasilkan µ (a, t ) yang negatif. Hal ini
tidak mungkin terjadi, oleh karena itu fungsi
kuadratik tidak dapat digunakan untuk
mendekati µ (a, t ) AS.
¾ Model II
µ (a, t ) = exp(α + β a + γ a 2 + ε t )
Dari hasil analisis regresi diperoleh :
αˆ = −5.3377 ( p − value = 0.000) ,
βˆ = −0.0016 ( p − value = 0.778) ,

85

0 ,0 0
45

t=9

55

t=4

t=8

35

t=3

t=7

25

t=2

t=6

15

t=1

t=5

0

t=0

5

70

60

50

40

30

20

0

0,00
10

Laju Kematian Sesaat

Nilai µ (a, t ) untuk a = {0,1,5,10,15,...,105}
dan t = {0,10, 20,30,...,90} Model II disajikan
dalam Tabel 4 (Lampiran 1). Kurva yang
diperoleh dari model tersebut diberikan pada
Gambar 5.

Laju Kematian Sesaat

penurunan yang artinya indikator kesehatan di
AS dari tahun ke tahun semakin baik.
Gambar 3 mempunyai bentuk kurva
seperti fungsi kuadratik, untuk mendapatkan
µ (a, t ) yang paling sesuai dengan data,
dicoba model kuadratik untuk fungsi µ (a, t ) ,
yaitu :
¾ Model I
µ ( a, t ) = α + β a + γ a 2 + ε t
Dari hasil analisis regresi diperoleh :
αˆ = 0.1238 ( p − value = 0.000) ,
βˆ = −0.0085 ( p − value = 0.000) ,

Umur
Data

Model II

Gambar 7 Kurva gabungan untuk t = 30

10

Untuk mencari bentuk yang lebih
sederhana dari Model II akan dilihat
kebermaknaan dugaan parameter γ terhadap
model tersebut. P-value untuk peubah γ
dalam Model II adalah 0.000 . Hal ini berarti
peubah γ tidak dapat diabaikan sehingga
bentuk fungsi kuadratik dalam model II tidak
mungkin disederhanakan menjadi fungsi
linear.
Fungsi laju kematian sesaat yang paling
sesuai dengan data AS adalah :
µ (a, t ) = exp(−5.3377 − 0.0016a +

3,00

Laju Kematian Sesaat

2,50

2,00

1,50

1,00

0,50

95

10
5

75

85

65

45

55

35

25

15

0

5

0,00

Umur
Data

Model II

0.0006a 2 − 0.0164t )

Gambar 8 Kurva gabungan untuk t = 60

Penentuan Angka Harapan Hidup
3,00

Fungsi µ (a, t ) = exp(−5.3377 − 0.0016a +

Laju Kematian Sesaat

2,50

0.0006a 2 − 0.0164t ) akan digunakan untuk
menghitung AHH periode, AHH kohort, CAL,
dan RAK. Hal ini dilakukan untuk
memperoleh pengertian yang lebih baik
bagaimana ke empat indikator tersebut
berbeda
satu
sama
lainnya.

2,00

1,50

1,00

0,50

95

10
5

85

75

65

55

45

35

15

25

5

0

0,00

Umur
Data

Model II

Gambar 9 Kurva gabungan untuk t = 90

•

Penentuan AHH Kohort [ ec (0, t) ]
ω

ec (0,t) = ∫ A c (a, t )da
0

a

A c (a, t ) = exp[− ∫ µ ( x, t + x)dx]
0

a

∫

= exp[− exp(α + β x + γ x 2 + ε (t + x))dx]
0

a

∫

= exp[− exp(α + ε t ) exp(( β + ε ) x + γ x 2 )dx]
0

exp(−

= exp[− exp(α + ε t )
exp(α −

= exp[−

( β + ε )2
β +ε
β + ε + 2aγ
) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

(β + ε )2
β +ε
β + ε + 2aγ
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

]

]

11

ω

ec (0,t) = ∫ A c (a, t )da
0

exp(α −

ω

∫

= exp[−

β +ε
β + ε + 2aγ
( β + ε )2
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

0

•

Penentuan AHH Periode [ ep (0, t) ]
ω

ep (0,t) = ∫ A p (a, t )da
0

a

A p ( a, t ) = exp[ − ∫ µ ( x, t )dx ]
0

a

∫

= exp[− exp(α + β x + γ x 2 + ε t )dx]
0

a

∫

= exp[− exp(α + ε t ) exp( β x + γ x 2 )dx]
0

exp(−

= exp[− exp(α + ε t )
exp(α −

= exp[−

β2
β
β + 2aγ
) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

β2
β
β + 2aγ
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

]

ω

ep (0, t) = ∫ A p (a, t )da
0

ω

exp(α −

∫

= exp[−

β2
β
β + 2aγ
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

0

•

Penentuan CAL [ CAL(t) ]
ω

CAL(t) = ∫ A c (a, t − a )da
0
a

A c (a, t − a ) = exp[− ∫ µ ( x, t − a + x)dx]
0

a

∫

= exp[− exp(α + β x + γ x 2 + ε (t − a + x))dx]
0

a

∫

= exp[− exp(α + ε (t − a )) exp(( β + ε ) x + γ x 2 )dx]
0

]da

]

]da

12

exp(−
= exp[− exp(α + ε (t − a))
exp(α − ε a −
= exp[−

( β + ε )2
β +ε
β + ε + 2aγ
) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

( β + ε )2
β +ε
β + ε + 2aγ
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

]

]

ω

CAL(t) = ∫ A c (a, t − a )da
0

exp(α − ε a −

ω

= ∫ exp[−

(β + ε )2
β +ε
β + ε + 2aγ
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

0

•

]da

Penentuan RAK [ RAK (t ) ]
ω

∫ e (0, t − a)A
c

RAK (t )

ec (0,t −a)

=

c

(a, t − a)da

0

CAL(t )
ω

= ∫ A c ( x, t − a )dx
0

exp(α − ε a −

ω

= ∫ exp[−

(β + ε )2
β +ε
β + ε + 2 xγ
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

0

]dx

ω

∫ e (0, t − a)A
c

RAK (t )

=

(a, t − a)da

CAL(t )
ω ω

RAK (t )

c

0

exp(α − ε a −

= ( ∫ ( ∫ exp[−
0

0

exp(α − ε a −
exp[−

ω

∫

( exp[−
0

(β + ε )2
β +ε
β + ε + 2 xγ
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

(β + ε )2
β +ε
β + ε + 2aγ
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

exp(α − ε a −

]da )

( β + ε )2
β +ε
β + ε + 2aγ
+ ε t ) π (− Erfi[
] + Erfi[
])
4γ
2 γ
2 γ
2 γ

]dx)

]da)

13

pengintegralan numerik dalam Mathematica
5.2 (Lampiran 5). Hasilnya disajikan dalam
Gambar 10 dan Tabel 1 .

Rumus empat indikator di atas kemudian
ω = 110
dengan
dievaluasi
untuk
menggunakan
t ∈ [0,10, 20,30,...,90]
100

90

Nilai Indikator

80

70

60

50

40
0

10

20

30

40

50

60

70

90

80

Tahun
AHH Periode

AHH Kohort

CAL

RAK

Gambar 10 AHH periode, AHH kohort, CAL dan RAK menggunakan µ (a, t ) yang paling sesuai
dengan µ (a, t ) AS.
Tabel 1 Nilai AHH periode, AHH kohort,
CAL dan RAK tahun 1901-1991
t

AHH
Periode

AHH
Kohort

CAL

RAK
57.2691

0 (1901)

54.8072

66.9609

49.6524

10 (1911)

57.5468

70.0748

52.4174

60.2

20 (1921)

60.2311

73.0913

55.157

63.0804

30 (1931)

62.8555

76.0068

57.863

65.9042

40 (1941)

65.4168

78.8183

60.5284

68.6661

50 (1951)

67.9129

81.522

63.1473

71.3614

60 (1961)

70.343

84.1126

65.7152

73.9861

70 (1971)

72.7068

86.5832

68.2284

76.5357

80 (1981)

75.0051

88.9256

70.6846

79.0059

90 (1991)

77.2389

91.1312

73.0819

81.3915

Gambar 10 menunjukkan bahwa pada
tahun yang diberikan t , AHH kohort untuk
kelahiran tahun tersebut adalah yang tertinggi
dari empat indikator yang ada, diikuti RAK,
AHH periode dan CAL. Nilai CAL yang

diperoleh kecil. Hal ini juga terjadi pada
negara Inggris di mana CAL tahun 1910 ±
44 tahun dibanding dengan AHH periode ±
50 tahun (Schoen dan Canudas-Romo 2005).
Menggunakan laju kematian sesaat yang
telah diperoleh, dapat diprediksi AHH
periode, AHH kohort, CAL dan RAK untuk
AS beberapa tahun ke depan. Misalkan akan
diprediksi ke empat indikator tersebut untuk
AS tahun 2001 sampai dengan 2021 ( t = 100
s/d t = 120 ). Prediksi tersebut dapat dilihat
pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai prediksi AHH periode, AHH
kohort, CAL dan RAK AS
t

AHH
Periode

AHH
Kohort

CAL

RAK

100 (2001)

79.4099

93.1921

75.4195

83.6873

110 (2011)

81.5198

95.1019

77.6971

85.8876

120 (2021)

83.5703

96.8571

79.9151

87.9869

14

Tabel 2 menunjukkan AHH kohort sebagai
indikator tertinggi dibandingkan tiga indikator
lainnya.
Persamaan garis masing-masing indikator
adalah :
e p (0, t )* = 55.1856 + 0.2494t
ec (0, t )* = 67.6144 + 0.2691t
CAL(t )* = 49.9130 + 0.2608t
RAK (t )* = 57.6593 + 0.2685t
Dari persamaan garis tersebut, dicari
hubungan AHH periode dengan RAK dan
AHH kohort sehingga dapat diprediksi ke dua
indikator tersebut untuk beberapa tahun ke
depan menggunakan AHH periode karena
AHH periode paling mudah diperoleh
terutama dari ketersediaan data. Dengan
substitusi persamaan e p (0, t ) * ke persamaan

9

∑ | Model − Empirik |
i

PE =

i

i =0

9

∑ Empirik

i

i =0

(Bloom, 1982)
Bloom (1982) menyatakan bahwa model
secara umum memberikan kecocokan yang
baik dengan data apabila PE di bawah 10%.
Tabel 3 Pendekatan empirik untuk AHH
periode

ep (0,t) ep (0,t) Model-Empirik

i

t

0

0 (1901)

50.74

54.81

4.07

1

10 (1911)

53.70

57.55

3.85
1.74

Empirik

Model

2

20 (1921)

58.49

60.23

RAK (t ) * dan ec (0, t ) * diperoleh :

3

30 (1931)

61.68

62.86

1.18

RAK (t ) # = −1.7526 + 1.0765e p (0, t ) *

4

40 (1941)

66.24

65.42

-0.82

ec (0, t ) # = 8.0697 + 1.0789e p (0, t ) *

5

50 (1951)

69.49

67.91

-1.58

Selanjutnya, diberikan nilai AHH periode
dari pendekatan empirik serta dihitung
Proportionate Error (PE) sebagai ukuran
kecocokan data dengan model. PE
dirumuskan dengan :

6

60 (1961)

70.42

70.34

-0.08

7

70 (1971)

72.61

72.71

0.10

8

80 (1981)

74.71

75.01

0.30

9

90 (1991)

75.57

77.24

1.67

Dari Tabel 3 diperoleh PE = 0.0235 yang
menunjukkan bahwa Model II menyesuaikan
data dengan baik.

15

KESIMPULAN
AHH kohort, CAL dan RAK suatu negara
dapat dihitung apabila memiliki data angka
kematian per umur per tahun secara lengkap.
Negara Amerika Serikat memiliki data angka
kematian tahun 1901-1991. Data tersebut
digunakan untuk mendapatkan fungsi laju
kematian sesaat yang sesuai. Hasil yang
diperoleh :
µ (a, t ) = exp(−5.3377 − 0.0016a +
0.0006a 2 − 0.0164t )
di mana a adalah umur dan t adalah tahun
merupakan laju kematian sesaat yang paling
menggambarkan angka kematian AS.
Kemudian fungsi tersebut digunakan untuk
menghitung AHH periode, AHH kohort, CAL
dan RAK. Fungsi tersebut dapat pula
digunakan untuk memprediksi ke empat
indikator beberapa tahun ke depan.
Perhitungan AHH periode, AHH kohort,
CAL dan RAK menggunakan fungsi tersebut,
diketahui bahwa AHH kohort adalah indikator
dengan nilai tertinggi. Karena indikator ini
dapat dihitung setelah kohort melengkapi

kematiannya sehingga nilainya sesuai dengan
kenyataan.
RAK adalah indikator yang baik
digunakan
untuk
menghitung
AHH
dibandingkan dengan AHH periode dan CAL.
Indikator ini menyediakan ukuran yang tepat
dan jelas secara konsep karena didasarkan dari
AHH kohort. Dalam model dinamika
penduduk, RAK dapat diuji dengan model
kematian yang berbeda dan hasilnya
dibandingkan dengan indikator lainnya.
CAL menghasilkan nilai yang terkecil
karena kematian masa lalu lebih besar
dibanding masa kini.
Mengikuti kondisi kematian di AS, RAK
[ RAK (t ) # ] dan AHH kohort [ ec (0, t ) # ] dapat
diduga melalui AHH periode [ e p (0, t ) * ]
dengan persamaan :
RAK (t ) # = −1.7526 + 1.0765e p (0, t ) *
ec (0, t ) # = 8.0697 + 1.0789e p (0, t ) *

16

DAFTAR PUSTAKA
Ardana NKK. 2004. Panduan Penggunaan
Mathematica
(Ed
ke-1).
Bogor:
Departemen Matematika, FMIPA IPB.
Bloom DE. 1982. “What’s happening to the
age at first birth in the United States? A
study of recent cohorts”. Demography 19
(3): 351-370. Koleksi Jurnal HS-FMIPAIPB.
Bongaarts J, G Feeney. 2002. “How long do
we live?” Population and Development
Review 28(1): 13-29.
Brown RL. 1997. Introduction to The
Mathematics of Demography (Ed ke-3).
Connecticut : Actex Publications.
Draper NR, H Smith. 1992. Analisis Regresi
Terapan (Ed ke-2). Bambang S,
penerjemah. Jakarta: PT Gramedia
Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied
Regression Analysis.

(Ed ke-6). Upper Saddle River, NJ:
Pearson Education.
Lucas D et al. 1984. Pengantar
Kependudukan. Sumanto WB, R Saladi,
penerjemah. Yogyakarta: Gadjah Mada
University Press.
Mathematica 5.2. Copyright 1988-2005
Wolfram Research, Inc. United States of
America.
Schoen R, VC Romo. 2005. “Changing
mortality and average cohort life
expectancy”. Demographic Research 13:
117-142.
Shrestha LB. 2005. Life Expectancy in The
United States. Order Code RL32792. [7
Des 2006].
Utomo B. 1985. Mortalitas: Pengertian dan
Contoh Kasus di Indonesia. Jakarta:
Proyek Penelitian Morbiditas dan
Mortalitas UI.

Guillot M. 2003a. “The cross-sectional
average length of life (CAL), A crosssectional mortality measure that reflects
the experience of cohorts”. Population
Studies 57(1): 41-54.

Wirosuhardjo K et al. 1985. Kamus Istilah
Demografi. Jakarta: Pusat Pembinaan dan
Pengembangan Bahasa.

Hogg RV, JW McKean, AT Craig. 2005.
Introduction to Mathematical Statistics

WWW.demog.berkeley.edu/~bmd/states.html.
[17 Juni 2007].

LAMPIRAN

18

Lampiran 1
Tabel 4 Nilai µ (a, t ) AS per umur per tahun 1901-1991 dan µ (a, t ) Model II
t

a

AS

Model II

t

a

AS

Model II

t

a

AS

Model II

t

a

AS

Model II

t

a

AS

Model II

0

0

0.1220

0.0048

10

0

0.0939

0.0041

20

0

0.0665

0.0035

30

0

0.0539

0.0029

40

0

0.0376

0.0025

0

1

0.0155

0.0048

10

1

0.0113

0.0041

20

1

0.0069

0.0035

30

1

0.0043

0.0029

40

1

0.0020

0.0025

0

5

0.0038

0.0048

10

5

0.0031

0.0041

20

5

0.0022

0.0035

30

5

0.0015

0.0030

40

5

0.0009

0.0025

0

10

0.0027

0.0050

10

10

0.0023

0.0043

20

10

0.0018

0.0036

30

10

0.0013

0.0031

40

10

0.0008

0.0026

0

15

0.0041

0.0054

10

15

0.0040

0.0046

20

15

0.0031

0.0039

30

15

0.0022

0.0033

40

15

0.0014

0.0028

0

20

0.0061

0.0059

10

20

0.0061

0.0050

20

20

0.0044

0.0043

30

20

0.0031

0.0036

40

20

0.0021

0.0031

0

25

0.0067

0.0067

10

25

0.0068

0.0057

20

25

0.0047

0.0048

30

25

0.0035

0.0041

40

25

0.0022

0.0035

0

30

0.0080

0.0079

10

30

0.0077

0.0067

20

30

0.0051

0.0057

30

30

0.0042

0.0048

40

30

0.0026

0.0041

0

35

0.0089

0.0095

10

35

0.0083

0.0080

20

35

0.0065

0.0068

30

35

0.0053

0.0058

40

35

0.0036

0.0049

0

40

0.0104

0.0118

10

40

0.0098

0.0100

20

40

0.0078

0.0085

30

40

0.0068

0.0072

40

40

0.0051

0.0061

0

45

0.0128

0.0151

10

45

0.0116

0.0128

20

45

0.0104

0.0109

30

45

0.0095

0.0092

40

45

0.0075

0.0078

0

50

0.0161

0.0199

10

50

0.0153

0.0169

20

50

0.0143

0.0143

30

50

0.0135

0.0122

40

50

0.0114

0.0103

0

55

0.0227

0.0270

10

55

0.0219

0.0229

20

55

0.0191

0.0195

30

55

0.0189

0.0165

40

55

0.0168

0.0140

0

60

0.0325

0.0379

10

60

0.0296

0.0321

20

60

0.0291

0.0273

30

60

0.0278

0.0232

40

60

0.0239

0.0196

0

65

0.0461

0.0547

10

65

0.0449

0.0464

20

65

0.0430

0.0394

30

65

0.0399

0.0334

40

65

0.0346

0.0284

0

70

0.0698

0.0813

10

70

0.0693

0.0690

20

70

0.0660

0.0586

30

70

0.0614

0.0497

40

70

0.0538

0.0422

0

75

0.1035

0.1246

10

75

0.1010

0.1057

20

75

0.1010

0.0898

30

75

0.0984

0.0762

40

75

0.0834

0.0647

0

80

0.1591

0.1968

10

80

0.1551

0.1670

20

80

0.1564

0.1417

30

80

0.1424

0.1203

40

80

0.1254

0.1021

0

85

0.2251

0.3202

10

85

0.2110

0.2718

20

85

0.2268

0.2307

30

85

0.1996

0.1958

40

85

0.1876

0.1662

0

90

0.3288

0.5370

10

90

0.3085

0.4558

20

90

0.3314

0.3869

30

90

0.3013

0.3283

40

90

0.2804

0.2787

0

95

0.4573

0.9280

10

95

0.4291

0.7877

20

95

0.4602

0.6685

30

95

0.4470

0.5674

40

95

0.4066

0.4816

0

100

0.6069

1.6525

10

100

0.5750

1.4026

20

100

0.6139

1.1904

30

100

0.6101

1.0104

40

100

0.5535

0.8575

0

105

1.2667

3.0322

10

105

0.8605

2.5736

20

105

1.1500

2.1843

30

105

1.0238

1.8539

40

105

0.7784

1.5735

19

Tabel 4 (Lanjutan)
t

a

AS

Model II

t

a

AS

Model II

t

a

AS

Model II

t

a

AS

Model II

t

a

AS

Model
II

50

0

0.0276

0.0021

60

0

0.0238

0.0018

70

0

0.0159

0.0015

80

0

0.0106

0.0013

90

0

0.0083

0.0011

50

1

0.0012

0.0021

60

1

0.0009

0.0018

70

1

0.0007

0.0015

80

1

0.0005

0.0013

90

1

0.0004

0.0011

50

5

0.0005

0.0021

60

5

0.0004

0.0018

70

5

0.0004

0.0015

80

5

0.0003

0.0013

90

5

0.0002

0.0011

50

10

0.0005

0.0022

60

10

0.0004

0.0019

70

10

0.0004

0.0016

80

10

0.0003

0.0014

90

10

0.0003

0.0011

50

15

0.0010

0.0024

60

15

0.0010

0.0020

70

15

0.0010

0.0017

80

15

0.0008

0.0014

90

15

0.0008

0.0012

50

20

0.0014

0.0026

60

20

0.0013

0.0022

70

20

0.0014

0.0019

80

20

0.0011

0.0016

90

20

0.0011

0.0014

50

25

0.0014

0.0030

60

25

0.0014

0.0025

70

25

0.0013

0.0021

80

25

0.0012

0.0018

90

25

0.0012

0.0015

50

30

0.0017

0.0035

60

30

0.0017

0.0029

70

30

0.0015

0.0025

80

30

0.0014

0.0021

90

30

0.0016

0.0018

50

35

0.0025

0.0042

60

35

0.0024

0.0035

70

35

0.0021

0.0030

80

35

0.0018

0.0026

90

35

0.0020

0.0022

50

40

0.0039

0.0052

60

40

0.0037

0.0044

70

40

0.0032

0.0037

80

40

0.0026

0.0032

90

40

0.0027

0.0027

50

45

0.0061

0.0066

60

45

0.0059

0.0056

70

45

0.0051

0.0048

80

45

0.0040

0.0041

90

45

0.0038

0.0034

50

50

0.0097

0.0088

60

50

0.0091

0.0074

70

50

0.0078

0.0063

80

50

0.0064

0.0054

90

50

0.0057

0.0045

50

55

0.0143

0.0119

60

55

0.0134

0.0101

70

55

0.0119

0.0086

80

55

0.0101

0.0073

90

55

0.0090

0.0062

50

60

0.0213

0.0167

60

60

0.0207

0.0142

70

60

0.0180

0.0120

80

60

0.0155

0.0102

90

60

0.0143

0.0087

50

65

0.0315

0.0241

60

65

0.0298

0.0204

70

65

0.0263

0.0173

80

65

0.0237

0.0147

90

65

0.0221

0.0125

50

70

0.0470

0.0358

60

70

0.0438

0.0304

70

70

0.0389

0.0258

80

70

0.0353

0.0219

90

70

0.0323

0.0186

50

75

0.0729

0.0549

60

75

0.0678

0.0466

70

75

0.0586

0.0395

80

75

0.0533

0.0336

90

75

0.0496

0.0285

50

80

0.1148

0.0867

60

80

0.1061

0.0736

70

80

0.0903

0.0624

80

80

0.0814

0.0530

90

80

0.0776

0.0450

50

85

0.1684

0.1410

60

85

0.1681

0.1197

70

85

0.1397

0.1016

80

85

0.1259

0.0862

90

85

0.1226

0.0732

50

90

0.2523

0.2365

60

90

0.2474

0.2007

70

90

0.2083

0.1704

80

90

0.1928

0.1446

90

90

0.1916

0.1227

50

95

0.3645

0.4087

60

95

0.3489

0.3469

70

95

0.2988

0.2944

80

95

0.2838

0.2499

90

95

0.2856

0.2121

50

100

0.4966

0.7278

60

100

0.4804

0.6177

70

100

0.4109

0.5243

80

100

0.3915

0.4450

90

100

0.3933

0.3777

50

105

0.6748

1.3355

60

105

0.6625

1.1335

70

105

0.5703

0.9620

80

105

0.5421

0.8165

90

105

0.5448

0.6930

20

Lampiran 2

Diketahui :

− DA x
∂
∂ A x +t
dan µ x =
t px =
Ax
∂t
∂t Ax
∂
Akan dibuktik