Algoritma Interior Point Untuk Menyelesaikan Program Integer

ALGORITMA INTERIOR POINT UNTUK
MENYELESAIKAN PROGRAM
INTEGER

TESIS

Oleh

SATRIAWAN TARUNA
087021019/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

ALGORITMA INTERIOR POINT UNTUK
MENYELESAIKAN PROGRAM
INTEGER

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

SATRIAWAN TARUNA
087021019/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: ALGORITMA INTERIOR POINT UNTUK
MENYELESAIKAN PROGRAM INTEGER
Nama Mahasiswa : Satriawan Taruna
Nomor Pokok
: 087021019
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Ketua

(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Pebruari 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 17 Pebruari 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
Anggota

: Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc

: 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
2. Dr. Marwan Ramli, M.Si
3. Dra. Mardiningsih, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Metode branch and bound dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan program integer dengan menyederhanakan persamaan program linier yang terdapat
dalam permasalahan tersebut. Penyelesaiannya dilakukan dengan proses relaksasi
program linier dari persoalan program integer tersebut.
Penelitian algoritma interior point untuk menyelesaikan permasalahan program integer telah banyak dilakukan. Tesis ini menjelaskan bagaimana metode
branch dan bound serta metode cutting plane, merupakan metode yang sangat
baik dalam penyelesaian masalah program integer yang akan dijelaskan secara
tegas. Kesulitan yang utama dalam penggunaan metode interior point dengan
menggunakan metode branch dan bound adalah teknik memodelkan persoalan
program integer dengan kendala yang dimiliki. Algoritma interior point menggambarkan beberapa kendala yang muncul sehingga teknik komputasi akhirnya dapat
digunakan untuk menyelesaikan persoalan program integer yang dimaksud.
Kata kunci : Program Integer, branch and bound, interior point.

i

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

TBranch-and-bound is a method of solving an program integer problem by solving
a sequence of linear programming problems. The subproblems can be regarded as
forming a tree, rooted at the linear programming relaxation of the integer programming problem.
Research on using interior point algorithms to solve integer programming
problems is surveyed. This thesis concentrates on branch and bound and cutting
plane methods, a potential function method is also briefly mentioned. The principal difficulty with using an interior point algorithm in a branch and cut method to
solve integer programming problems is in warm starting the algorithm efficiently.
Methods for overcoming this difficulty are described and other features of the algorithms are given. This thesis focuses on the techniques necessary to obtain an
efficient computational implementation.
Keywords : Integer programming, branch and bound, interior point.

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur kehadirat Allah SWT, atas segala Rahmat dan KaruniaNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis ini. Shalawat dan salam semoga

dilimpahkan kepada Rasulullah SAW.
Tesis ini ditulis dan diajukan sebagai pemenuhan salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Magister Sains dalam Program Study Magister Matematika
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera
Utara di Medan.
Penulis menyadari bahwa baik isi maupun cara penulisan Tesis ini masih
jauh dari sempurna, akibat kekurangmampuan penulis, oleh karena itu penulis
mengharapkan koreksi dan saran dari pembaca demi kesempurnaan Tesis ini.
Dalam rangka penyelesaian Tesis ini penulis telah banyak dibantu oleh berbagai pihak, dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
Bapak Prof.

Dr.

dr.

Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc.

(CTM),

Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan

kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang,MSIE selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc. selaku Sekretaris Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc. sebagai Pembimbing I yang telah
banyak memberi masukan-masukan yang bermanfaat dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. sebagai Pembimbing II yang penuh kesabaran
membimbing dan mengarahkan penulis sehingga tesis ini dapat selesai.
Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Si. sebagai Penguji yang juga banyak memiii
Universitas Sumatera Utara

berikan masukan dan arahan sehingga selesainya tesis ini.
Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si. sebagai Penguji yang juga banyak memberikan
masukan dan arahan sehingga selesainya tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah
membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.
Ibu Misiani, S.Si. selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti

pendidikan.
Seluruh rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU
tahun 2008. Khususnya Bapak Ardianta, Bapak Makmur Tarigan, Bapak
Benar Surbakti, Bapak Baihotma Sitompul, Bapak Gim Tarigan, Bapak Djakaria Sebayang, Ibu Rusmini Dewi, dan Ibu Sinek Malem Br.
Pinem, yang telah memberikan saran dan dorongan kepada penulis sehingga
Tesis ini dapat diselesaikan.
Istri tercinta Dini Sartika dan anak-anak tersayang Galuh Atika Nabila dan
Puan Abidah Nitisara, yang dengan penuh pengertian dan sabar memberikan
motivasi dan dorongan sehingga Tesis ini dapat diselesaikan.
Semua pihak yang tidak dapat disebut satu persatu yang telah memberikan bantuan baik moril maupun materil kepada penulis sehingga Tesis ini dapat selesai.
Akhirnya kepada Allah SWT penulis mohon ampun dan petunjuk, kiranya
Tesis yang tidak sempurna ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Medan, 17 Pebruari 2011
Penulis,

Satriawan Taruna

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Patumbak pada tanggal 19 Mei 1960, sebagai anak
kedua dari tujuh bersaudara dari orang tua, Salim Arief dan Rosani Simbolon.
Penulis menamatkan Sekolah Dasar di SD Negeri N0. 2 Batang Kuis ,lulus tahun
1972. Sekolah Menengah Pertama di SMP Ampera Bersubsidi Batang Kuis, lulus tahun 1975. Sekolah Menengah Atas di SMA Negeri 3 Medan, lulus tahun
1979. Pada tahun 1979 Penulis melanjutkan pendidikan sarjana di Universitas
Sumatera Utara pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika dan lulus pada tahun 1986. Dari tahun 1993 sampai sekarang
Penulis bertugas sebagai staff pengajar pada Politeknik Negeri Medan. Tahun
2008 penulis berkesempatan untuk melanjutkan program master pada Program
Studi Magister Matematika Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara
Medan.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

2

1.3 Tujuan Penelitian

2

1.4 Kontribusi Penelitian

3

1.5 Metodologi Penelitian

3

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA

4

2.1 Program Linier

4

2.2 Program Integer

6

2.3 Interior Point

6

2.4 Optimisasi dengan Algoritma Interior Point

8

BAB 3 ALGORITMA INTERIOR POINT

12

3.1 Algoritma Interior Point

12

vi
Universitas Sumatera Utara

3.2 Relaksasi Program Integer

15

BAB 4 INTERIOR POINT DENGAN BRANCH DAN BOUND

18

4.1 Metode Branch dan Bound

18

4.2 Algoritma dengan Iterasi Positif

20

4.3 Penentuan Solusi Layak

22

BAB 5 KESIMPULAN

24

DAFTAR PUSTAKA

25

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Metode branch and bound dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan program integer dengan menyederhanakan persamaan program linier yang terdapat
dalam permasalahan tersebut. Penyelesaiannya dilakukan dengan proses relaksasi
program linier dari persoalan program integer tersebut.
Penelitian algoritma interior point untuk menyelesaikan permasalahan program integer telah banyak dilakukan. Tesis ini menjelaskan bagaimana metode
branch dan bound serta metode cutting plane, merupakan metode yang sangat
baik dalam penyelesaian masalah program integer yang akan dijelaskan secara
tegas. Kesulitan yang utama dalam penggunaan metode interior point dengan
menggunakan metode branch dan bound adalah teknik memodelkan persoalan
program integer dengan kendala yang dimiliki. Algoritma interior point menggambarkan beberapa kendala yang muncul sehingga teknik komputasi akhirnya dapat
digunakan untuk menyelesaikan persoalan program integer yang dimaksud.
Kata kunci : Program Integer, branch and bound, interior point.

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

TBranch-and-bound is a method of solving an program integer problem by solving
a sequence of linear programming problems. The subproblems can be regarded as
forming a tree, rooted at the linear programming relaxation of the integer programming problem.
Research on using interior point algorithms to solve integer programming
problems is surveyed. This thesis concentrates on branch and bound and cutting
plane methods, a potential function method is also briefly mentioned. The principal difficulty with using an interior point algorithm in a branch and cut method to
solve integer programming problems is in warm starting the algorithm efficiently.
Methods for overcoming this difficulty are described and other features of the algorithms are given. This thesis focuses on the techniques necessary to obtain an
efficient computational implementation.
Keywords : Integer programming, branch and bound, interior point.

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Perkembangan baru yang paling dramatis dalam permasalahan optimisasi
adalah pendekatan titik interior untuk menyelesaikan permasalahan program linier. Penemuan interior point berhasil mengembangkan algoritma baru untuk
program linier. Algoritma interior point digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier yang kompleks, yaitu yang memiliki kendala fungsional dan
variabel keputusan, yang jumlahnya sangat besar. Karena, algoritma ini membutuhkan jumlah iterasi yang sedikit, sehingga dengan mempertimbangkan waktu hitungan rata-rata per-iterasi, maka waktu hitungan yang dibutuhkan untuk
menyelesaikan masalah tersebut sering kali lebih cepat dibandingkan dengan metode simplex, untuk masalah dengan ukuran yang sama (Mitchel, 1998). Saat ini
algoritma interior point terus dikembangkan dengan memasukkan model metode
simpleks dan variannya sehingga menyempurnakan metode interior point yang
dimaksud. Solusi penyelesaian dengan menggunakan algoritma interior point
adalah dengan menemukan solusi kunci dengan menentukan karakteristik yang
sama yaitu secara algoritma iteratif. Algoritma ini dimulai dengan mengidentifikasi solusi percobaan yang layak disetiap iterasi yang dilakukan, sehingga terjadi
perpindahan dari solusi percobaan saat ini menuju solusi percobaan lain yang lebih
baik dalam daerah layak. Kemudian proses ini berlanjut hingga mencapai solusi
percobaan yang optimal.
Program Linier dan program integer banyak ditemukan aplikasinya dalam
kehidupan sehari-hari. Persoalan yang berhubungan dengan program linier memiliki permasalahan yang lebih kompleks karena solusi yang digunakan ataupun data
yang digunakan lebih majemuk yaitu satuannya dapat berupa bilangan bulat, bilangan pecahan, ataupun bilangan rasional.
Sedangkan permasalahan yang dihadapi dalam persoalan program integer
1
Universitas Sumatera Utara

2
lebih sederhana karena satuan penyelesaian yang ditemukan dalam bentuk bilangan bulat yang lebih mudah.
Metode branch and bound dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan
program linier dengan cara melakukan relaksasi terhadap persoalan yang berhubungan dengan program linier sampai diperoleh penyelesaian persoalan yang
optimal serta solusi yang layak. Dalam beberapa persoalan program linier, pendekatan algoritma interior point akan diperoleh penyelesaian program linier yang
lebih baik dibandingkan dengan menggunakan metode simpleks (Mitchel, 1998).
Metode Branch and Cut untuk persoalan program linier merupakan gabungan antara metode cutting plane dengan metode branch and bound. Metode cutting plane dalam menyelesaikan persoalan program linier dengan menggunakan
relaksasi program linier sebagai solusi penyelesaian masalah. Jika solusi optimal
dari program linier terpenuhi dari persoalan program integer maka penyelesaian program integer terselesaikan dengan baik. Penyelesaian program linier dapat diselesaikan dengan menggunakan penambahan kolom sebagai kendala untuk
memperoleh solusi optimal sebagai solusi yang layak (Goffin & Vial, 1990)
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang dihadapi adalah kapan digunakan algoritma interior
point, dan saat yang bagaimana metode interior point biasanya digunakan untuk
menyelesaikan program integer. Penyelesaian program integer dengan algoritma
interior point dimulai dengan memodelkan persoalan dalam bentuk integer programming menggunakan metode branch and bound dan dikombinasikan dengan
metode cutting plane untuk memperoleh solusi optimal.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menunjukkan penggunaan algoritma interior
point dalam bentuk model optimisasi untuk menyelesaikan persoalan program
integer sehingga diperoleh solusi optimal. Dengan penggunaan algoritma inte-

Universitas Sumatera Utara

3
rior point maka permasalahan program integer dapat diselesaikan dengan model
optimisasi yang memuat fungsi tujuan dan kendala yang dimiliki.
1.4 Kontribusi Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada masalah yang
berhubungan dengan program integer terutama dengan menggunakan algoritma
interior point untuk menentukan solusi optimal dari persoalan optimisasi.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi literatur ataupun studi kepustakaan dengan
mengacu pada jurnal-jurnal internasional yang berhubungan dengan program integer serta penggunaan algoritma interior point dengan langkah-langkah metode
penelitian adalah :
1. Menjelaskan tentang program integer dan aplikasinya.
2. Mengumpulkan bahan-bahan kajian pustaka yang berhubungan dengan algoritma interior point serta hubungannya dengan program integer.
3. Menjelaskan penggunaan algoritma interior point dengan menggunakan metode Branch and Bound.
4. Menentukan penyelesaian program integer dengan algoritma interior point.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
KAJIAN PUSTAKA

2.1 Program Linier
Penyelesaian program linear dengan algoritma interior point dapat merupakan sebuah penyelesaian persoalan yang kompleks. Permasalahan dalam program linier mungkin saja persoalan tersebut memiliki banyak kendala. Penggunaan metode interior point dilakukan melalui proses relaksasi sampai pada tahapan persoalan program linier memiliki solusi yang baik dan layak serta merupakan
solusi optimal.
Permasalahan program linier yang kompleks, untuk menemukan solusi optimal yang merupakan daerah jawab dapat diselesaikan dengan melakukan kombinasi antara metode simpleks dengan algoritma interior point, (Bixby & Gregory,
1992).
Model interior point erat kaitannya dengan metode branch dan bound terutama yang berhubungan dengan permasalahan mencari solusi optimal dari persoalan
optimisasi. Permasalahan yang dihadapi dalam menyelesaikan permasalahan program linier adalah menentukan sistem penyelesaian dengan menggunakan algoritma interior point untuk memperoleh solusi yang optimal.
Kesulitan yang lain adalah bagaimana menggambarkan keseluruhan model
dengan sebuah algoritma interior point. Model algoritma interior point yang
dimaksud berfokus pada bagaimana teknik komputasi dilakukan dengan menggunakan beberapa referensi ataupun teori dasar yang berlaku.
Persoalan program integer dengan menggunakan algoritma interior point
yaitu branch dan cut method adalah pendekatan yang dilakukan dengan memadukan metode branch and bound dan cutting plane sebagai pendekatan model
program integer yang dimaksud.

4
Universitas Sumatera Utara

5
Kedua pendekatan tersebut adalah sebuah kombinasi yang baik untuk dapat
digunakan sebagai penyelesaian dalam persoalan program integer.
Model deterministik adalah salah satu model yang telah digunakan untuk
penyelesaian program integer. Model deterministik dapat didefinisikan sebagai
sebuah formula yang berdasarkan pada penentuan sebuah solusi terbaik dari permasalahan yang memiliki konfigurasi atau karakteristik tertentu. Model deterministik dapat dipakai untuk menentukan maksimum atau minimum jarak dari
suatu titik ke titik lain. Untuk menentukan maksimum atau minimum dari sebuah fungsi yang mempunyai kendala x dalam himpunan kendala X maka model
deterministiknya dapat ditulis sebagai sebuah model maksimum atau minimum.
Model deterministik dapat digunakan sebagai salah satu model pendekatan
untuk persoalan program integer dengan teknik membagi-bagi data kedalam kelompok yang sama. Sehingga diperoleh suatu nilai bulat yang dipilih mewakili masingmasing kelompok. Data yang bulat diinput terdiri dari parameter ρij yang menunjukkan kesamaan dari setiap pasang data integer (i, j) untuk setiap kelompok
program integer yang dimodelkan kepada bentuk interior point dengan algoritmanya. Model deterministik yang diperoleh akan lebih mudah digunakan karena
memuat koefisien-koefisien korelasi sebagai parameter yang sama untuk setiap
kelompok, tetapi masih terdapat kemungkinan faktor lain yang mempengaruhi
pemodelan program integer pada masing-masing kelompok. Pendekatan dengan
model deterministik tidak memberikan jaminan akan menghasilkan model serta
penyelesaian yang efisien, tetapi pada dasarnya menghasilkan indeks lebih baik
sebagai solusi optimal yang diinginkan untuk dicapai.
Metode penyelesaian yang menggunakan algoritma interior point selalu berhubungan dengan segmen garis yang bersifat maksimum atau minimum. Persoalan interior point erat hubungannya dengan konveksitas yang mengarah kepada
penyelesaian persoalan bersifat program integer.

Universitas Sumatera Utara

6
2.2 Program Integer
Program integer banyak ditemukan dalam persoalan-persoalan yang berhubungan dengan keadaan yang sebenarnya yang terjadi dialam. Program integer
menggunakan data yang bulat sesuai satuan data yang tidak dapat dipecah-pecah
menjadi data yang lebih kecil lagi. Program integer banyak dipakai didunia pemrograman komputer untuk menentukan nilai maksimum ataupun minimum dari
suatu proses yang akan dihitung.
Program integer tergolong pemrograman yang sederhana jika ditinjau dari
penggunaan satuan data yang digunakan. Hal ini membuat program integer menjadi program yang paling sering dijadikan program dasar untuk lebih memudahkan
perhitungan dengan bentuk data yang bulat atau tidak adanya pembulatan sehingga dipastikan keseluruhan data dapat diolah sedemikian rupa menjadi lebih
mudah.
Penyelesaian persoalan program integer salah satunya dengan menggunakan
algoritma interior point untuk menghitung nilai optimal dari sebuah persoalan optimisasi. Metode yang digunakan yaitu branch dan cut method yang merupakan
sebuah pendekatan yang dilakukan dengan memadukan metode branch and bound
dan cutting plane sebagai pendekatan model program integer yang dimaksud. Kedua pendekatan tersebut adalah sebuah kombinasi yang baik untuk dapat digunakan sebagai penyelesaian dalam persoalan program integer.
2.3 Interior Point
Interior point pada dasarnya adalah penggunaan metode cutting plane dan
metode branch and bound untuk menyelesaikan persoalan optimisasi yang bersifat program integer. Beberapa permasalahan program linier diselesaikan dengan
mengidentifikasi permasalahan menjadi zero variabel ataupun sampai tidak memiliki kendala lagi dalam penyelesaian persoalan program linier dengan menggunakan interior point, (El-Bakry et al, 1991). Algoritma interior point yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi terlebih dahulu disederhanakan

Universitas Sumatera Utara

7
dengan menghilangkan faktor-faktor ataupun kendala yang dapat dihilangkan dengan melakukan proses relaksasi dengan iterasi.
Pendekatan metode cutting plane dan metode branch and bound dapat
dikombinasikan menjadi sebuah algoritma yang disebut algoritma branch dan
cut dengan menggunakan tahapan tertentu sehingga menghasilkan metode interior point. Algoritma branch and cut tersebut kemudian dinamakan algoritma
interior point.
Model awal dari program integer dinyatakan dengan :
Min cT x
Kendala

(2.1)

Ax ≥ b
x∈Z

dimana x dan c adalah vektor berbasis n dan b adalah vector berbasis m dimana
A adalah matriks m × n, dan solusi penyelesaian diperoleh dari variable yang
bersifat biner. Untuk memperoleh penyelesaian yang layak dari persoalan diatas
dapat diselesaikan dengan mencari solusi persoalan program linier dari sebuah
polyhedron Q dengan min{cT x, x ∈ Q}.
Model iterasi program linier dengan primal dual untuk menentukan sebuah
titik sebagai solusi penyelesaian dapat ditentukan dengan pendekatan primal dual
sebagai alat koreksi untuk menentukan daerah jawab yang optimal sebagai jawab
akhir dari problema interior point (Lustig & Mehrota, 1992)
Dari penyelesaian tersebut diatas akan diperoleh beberapa solusi optimal
yang penyelesaiannya dapat menggunakan algoritma interior point. Kesulitan
daripada penggunaan model yang diekspresikan dengan polyhedron Q adalah
menjabarkannya menjadi metode cutting plane dengan menggunakan model relaksasi dengan program linier.
Model relaksasi program linier dapat ditulis :
Min cT x
Kendala

(2.2)

Ax ≥ b
0≤x≤e

Universitas Sumatera Utara

8
dimana e adalah sebuah vector dari salah satu solusi persoalan yang merupakan
solusi layak model optimisasi tersebut. Kemudian daerah penyelesaian yang lain
dapat ditentukan dengan :
QLP P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, 0 ≤ x ≤ e}

(2.3)

Sehingga diperoleh model :
Max
Kendala

bT y − eT w
AT y − w ≤ c

(2.4)

y, w ≥ 0
Dimana y adalah merupakan bagian dari m yaitu vektor baris dan w bagian dari
n yaitu vektor kolom.Selanjutnya diperoleh variable s = Ax − b yang merupakan
variabel slack dari primal program linier dan x = c − AT y + w dan x merupakan
bagian vektor n dengan diagonal matriks n × n dari Xii = xi . Matriks diagonal Y, W, Z dan S kemudian dapat diperoleh dengan melakukan iterasi terhadap
model :
XZe − µe = 0, SY e − µe = 0, (I − X)W e − µe = 0

(2.5)

Pendekatan yang digunakan dengan memakai µ sebagai dasar dari proses iterasi
yang dilakukan dengan menggunakan vector dan variable µ sebagai scalar.
2.4 Optimisasi dengan Algoritma Interior Point
Persoalan optimisasi program integer dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma cutting plane yaitu relaksasi program linier dengan menentukan
solusi optimal x yang ditentukan dengan model cutting plane adalah :
aT0 x = b0

(2.6)

dimana a0 adalah n vector dan b0 adalah sebuah scalar. Penentuan solusi layak
ditentukan dengan variable x
ˆ dari
ˆ < b0
aT0 x

Universitas Sumatera Utara

9
selanjutnya nilai x
ˆ yang memenuhi daerah jawab adalah
ˆ ≥ b0
aT0 x
Kendala aT0 x
ˆ ≥ b0 dimuat dalam model program linear dengan menggunakan
relaksasi program linear adalah :
Min cT x
Kendala

(2.7)

Aˆ
x≥b
ˆ ≥ b0
aT0 x
0≤x
ˆ≤e

Dengan menggunakan metode dual problem model optmisasi (2.7) dapat ditulis
menjadi :
Max
Kendala

bT y + b0y0 − eT w
AT y + a0y0 − w ≤ c
y, y0, w ≥ 0

dimana y0 adalah sebuah scalar dan proses iterasi dilakukan sehingga diperoleh x
ˆ
sebagai jawab solusi awal.
Pengembangan model cutting plane sebagai bagian dari algoritma interior
point dapat menggunakan metode analisis solusi daerah penyelesaian tertentu
yaitu menentukan daerah jawab berdasarkan persoalan optimisasi yang diselesaikan secara relaksasi. (Atkinson & Vaidya, 1992)
Metode yang sederhana untuk menyelesaikan persoalan optimisasi program
linier dengan menggunakan algoritma cutting plane adalah dengan menggunakan
algoritma dual simpleks. Untuk menyelesaikan persoalan optimisasi program linier dengan interior point, langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan
nilai interior yang memenuhi daerah jawab dari variable x sebagai solusi yang
diinginkan setelah melakukan iterasi dengan kendala yang telah ditetapkan. Kesulitan yang dihadapi adalah menentukan nilai variable y0 menjadi nilai positif
yang semakin kecil walaupun iterasi dual yang dilakukan mungkin tidak layak.

Universitas Sumatera Utara

10
Solusi layak dari persoalan interior point dapat digunakan untuk menyelesaikan
persoalan optimisasi program linier dengan melakukan primal atau dual iterasi.
Metode interior point diselesaikan dengan cara terlebih dahulu menentukan primal
dan dual slack.
Persoalan yang kompleks untuk optimisasi program linier diselesaikan dengan melakukan iterasi secara primal atau dual. Dengan melakukan proses iterasi
primal dan dual maka diperoleh solusi yang layak berupa daerah jawab sebagai
solusi yang merupakan nilai optimal yang disebut dengan titik optimal sebagai
jawab untuk interior point yang diinginkan dari persoalan optmisasi program integer.
Dalam beberapa kasus persoalan optimisasi program integer yang kompleks,
jika penyelesaian optimisasi dengan melakukan iterasi tidak memperoleh solusi
optimal, maka dapat digunakan metode cutting plane pada daerah jawab yang
mungkin belum memiliki solusi optimal. Jika solusi optimal belum diperoleh maka tahapan iterasi program integer dengan menggunakan konsep interior point
dari algoritma cutting plane dilakukan dengan tahapan sebagai berikut: Lakukan
proses inisialisasi, tentukan variable slack dan model primal dual yang akan dilakukan, selanjutnya lakukan proses relaksasi, dimana solusi yang layak diperoleh
dengan beberapa kali melakukan iterasi dengan menggunakan algoritma interior
point. Jika proses iterasi dilakukan sudah pada tahapan yang maksimal maka solusi yang akurat dan diinginkan sudah diperoleh sehingga proses iterasi berhenti.
Implementasi selanjutnya adalah dengan menggunakan metode cutting plane,
perhatikan beberapa kendala yang mungkin belum dipenuhi ketika sudah diperoleh solusi optimal, jika memang terdapat kendala yang belum terpenuhi maka
tahapan penggunaan metode cutting plane harus dilakukan. Proses penyelesaian
akhir yang dilakukan adalah proses relaksasi kembali seperti tahapan dua jika persoalan optimisasi program integer belum mempunyai daerah jawab sebagai solusi
optimal.

Universitas Sumatera Utara

11
Tahapan yang paling baik untuk menyelesaikan persoalan optimisasi program integer adalah dengan menggunakan primal dual yang dilakukan dengan
tahapan relaksasi melalui iterasi-iterasi dengan algoritma cutting plane. Beberapa persoalan algoritma interior point menggunakan iterasi primal dual seperti
yang dilakukan dalam penyelesaian optimisasi dengan menggunakan algoritma
cutting plane. Algoritma cutting plane dimulai dengan melakukan pemisahan secara bertahap dengan menyederhanakan variable-variabel yang kompleks menjadi
penyelesaian yang sederhana untuk mendapatkan hasil yang optimal.
Model penyelesaian yang paling penting adalah memperhatikan kendalakendala yang muncul pada tahapan relaksasi dengan melakukan iterasi untuk
memperoleh solusi optimal. Solusi yang diperoleh mungkin saja tidak menemukan
titik cutting plane, walaupun secara teknis diupayakan menemukan titik cutting
plane sebagai jawab layak dari permasalahan program integer yang diselesaikan.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
ALGORITMA INTERIOR POINT

3.1 Algoritma Interior Point
Algoritma interior point adalah algoritma yang dibangun dengan beberapa
iterasi dengan menentukan titik-titik interior yang masuk kedalam daerah solusi
penyelesaian jawaban yang diperoleh sebagai daerah layak. Algoritma interior
point berbeda dengan metode simpleks, dimana dalam metode simpleks iterasinya
menggunakan titik ekstrem untuk menentukan solusi daerah jawab.
Penyelesaian teknik komputasi dengan metode interior point umumnya menggunakan waktu penyelesaian yang lebih sederhana jika dibandingkan dengan metode branch dan bound yang penyelesaiannya lebih baik dibandingkan dengan
metode simpleks, terutama jika dipakai dalam penyelesaian permasalahan yang
kompleks serta memiliki banyak variabel sehingga memiliki banyak kendala yang
harus diselesaikan akan memiliki solusi optimal yang berada pada daerah penyelesaian.
Dalam penyelesaian masalah yang sebenarnya dengan menggunakan interior
point, perlu dimodifikasi serta ditentukan batasan penyelesaian masalah sehingga
diperoleh model program linier adalah :
Min cT x
Kendala

(3.1)

Ax = b
x≥0

Jika c dan x merupakan n vektor , dan b adalah m vektor maka A dapat dikatakan
menjadi fungsi barrier dengan model :
T

Min c x − µ

n
X

log(xi )

(3.2)

i=1

12
Universitas Sumatera Utara

13
Kendala

Ax = b
x≥0

Dengan µ adalah suatu konstanta positip
Sehingga diperoleh nilai optimalnya sebagai berikut :
Ax = b

(3.3)

AT y + z = c

(3.4)

XZe = µe

(3.5)

Dimana e adalah vektor gabungan dari seluruh vektor yang terdapat pada model
dan y adalah bagian dari vektor m serta z adalah vektor non negatif dari vektor
n.
Iterasi dari algoritma interior dalam penyelesaian persoalan program integer
terdiri dari tiga bagian yaitu :
a. Tahapan newton yaitu mencari solusi dari persoalan program linier dengan
mengkalkulasikan setiap nilai yang ingin diperoleh solusi optimalnya. Tahap
ini dikenal dengan nama tahap prediksi nilai solusi optimal yang layak.
b. Selanjutnya gunakan hasil perhitungan tersebut untuk memperoleh nilai µ
yang baru sesuai solusi yang diperoleh dari daerah jawab.
c. Tahapan selanjutnya adalah tahapan koreksi terhadap nilai yang diperoleh
serta ditentukan titik interior sebagai daerah jawab dari persoalan program
integer yang diselesaikan.
Nilai akhir yang diperoleh menyatakan nilai objektif dari fungsi yang telah dicari solusinya, sehingga tahapan-tahapan koreksi yang dilakukan akhirnya memperoleh titik interior sebagai daerah jawab terutama setelah dilakukan beberapa
iterasi sampai diperoleh titik optimal sebagai solusi penyelesaian.

Universitas Sumatera Utara

14
Salah satu metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan program integer adalah dengan model :
A△P x = 0

(3.6)

AT △p y + △p z = 0

(3.7)

Z△p x + X△p z = −XZe

(3.8)

Tahapan diatas merupakan tahapan tahapan yang dilakukan untuk menentukan
solusi optimal dari daerah jawab, selanjutnya model disederhanakan dengan :
AZ −1XAT △p y = −AXe

(3.9)

Dengan menyederhanakan model tersebut, selanjutnya diperoleh nilai µ yang diinginkan dari persoalan program integer yaitu :

2
µ+ = gp /xT z gp /n

(3.10)

Selanjutnya dilakukan iterasi-iterasi sampai diperoleh solusi yang layak serta memenuhi daerah jawab yaitu :
A△x = 0

(3.11)

AT △y + △z = 0

(3.12)

Z△x + X△z = µ+ − XZe − v p

(3.13)

Kemudian dihitung nilai x, y dan z dengan menggunakan metode primal dual
sebagai kelanjutan dari tahapan iterasi yang telah dilakukan untuk memperoleh
solusi optimal yang layak, sehingga nilai masing - masing ditentukan dengan model
:
x+ = x + αp △x

(3.14)

y + = y + αD △y

(3.15)

z + = z + αD △z

(3.16)

Setelah dilakukan beberapa iterasi maka disempurnakan dengan melakukan aproksimasi tahap kedua, sehingga diperoleh titik interior point yang diharapkan serta
memenuhi daerah jawab :


Z△x + X△z + v = µ+ − XZ e

Universitas Sumatera Utara

15
dimana v adalah vektor yang ditentukan dengan vi = △xi △zi .
3.2 Relaksasi Program Integer
Untuk menggunakan algoritma interior point dengan relaksasi program integer, pertama diasumsikan bahwa persoalan program integer memiliki korespondensi dual problem. Untuk menentukan titik interior x yang memenuhi daerah
ˆ ≥ b0 .
jawab Aˆ
x ≥ b dengan daerah batas penyelesaian adalah aT0 x
Selanjutnya untuk menentukan solusi optimal x yang ditentukan dengan
model cutting plane adalah :
aT0 x = b0
dimana a0 adalah n vektor dan b0 adalah sebuah scalar. Penentuan solusi layak
ditentukan dengan variable x
ˆ dari
ˆ < b0
aT0 x
selanjutnya nilai x
ˆ yang memenuhi daerah jawab adalah
ˆ ≥ b0
aT0 x
Kendala aT0 x
ˆ ≥ b0 dimuat dalam model program linear dengan menggunakan
relaksasi program integer adalah :
Min cT x
Kendala

Ax ≥ b
aT0 x
ˆ ≥ b0
0≤x
ˆ≤e

Dengan menggunakan metode dual problem model optimisasi tersebut dapat ditulis menjadi :
Max bT y + b0 y0 − eT w
Kendala

AT y + a0y0 − w ≤ c
y, y0, w ≥ 0

Universitas Sumatera Utara

16
dimana y0 adalah sebuah scalar dan proses iterasi dilakukan sehingga diperoleh
x sebagai jawab solusi awal. Model iterasi program integer dengan primal dual untuk menentukan sebuah titik sebagai solusi penyelesaian dapat ditentukan
dengan pendekatan primal dual sebagai alat koreksi untuk menentukan daerah
jawab yang optimal sebagai jawab akhir dari problema interior point (Lustig &
Mehrota, 1992)
Sedangkan persoalan program integer yang kompleks, untuk menemukan solusi optimal yang merupakan daerah jawab dapat diselesaikan dengan melakukan
kombinasi antara metode simpleks dengan algoritma interior point, (Bixby et al,
1992). Interior point digunakan sebagai salah satu teknik untuk menemukan solusi yang terbaik dari persoalan program integer yang tergolong kompleks ataupun
persoalan yang memiliki banyak kendala dan harus diselesaikan dengan menggunakan banyak relaksasi yang menggunakan iterasi sebagai proses penyederhanaan
permasalahan yang diinginkan dengan menggunakan algoritma interior point.
Dalam beberapa kasus persoalan optimisasi program integer yang kompleks,
jika penyelesaian optimisasi dengan melakukan iterasi tidak memperoleh solusi
optimal , maka dapat digunakan metode cutting plane pada daerah jawab yang
mungkin belum memiliki solusi optimal. Jika solusi optimal belum diperoleh maka
tahapan iterasi program integer dengan menggunakan konsep interior point dan
algoritma cutting plane dilakukan dengan tahapan sebagai berikut :
1. Lakukan proses inisialisasi, tentukan variable slack dan model primal dual
yang akan dilakukan.
2. Lakukan proses relaksasi, dimana solusi yang layak diperoleh dengan beberapa kali melakukan iterasi dengan menggunakan algoritma interior point.
Jika proses iterasi dilakukan sudah pada tahapan yang maksimal maka solusi
yang akurat dan diinginkan sudah diperoleh sehingga proses iterasi berhenti.
3. Gunakan metode cutting plane, perhatikan beberapa kendala yang mungkin
belum dipenuhi ketika sudah diperoleh solusi optimal, jika memang terdapat

Universitas Sumatera Utara

17
kendala yang belum terpenuhi maka tahapan penggunaan metode cutting
plane harus dilakukan.
4. Lakukan proses relaksasi kembali seperti tahapan dua jika persoalan optimisasi program linier belum mempunyai daerah jawab sebagai solusi optimal.
Dalam beberapa kasus permasalahan program linier diselesaikan dengan mengidentifikasi permasalahan menjadi zero variabel ataupun sampai tidak memiliki
kendala lagi dalam penyelesaian persoalan program integer dengan menggunakan
interior point. Algoritma interior point yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi terlebih dahulu disederhanakan dengan menghilangkan faktorfaktor ataupun kendala yang dapat dihilangkan dengan melakukan proses relaksasi dengan iterasi yang dilakukan secara bertahap.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
INTERIOR POINT DENGAN BRANCH DAN BOUND

4.1 Metode Branch dan Bound
Metode Branch dan bound adalah metode penyelesaian persoalan program
integer yang juga merupakan bahagian persoalan dari program linier. Permasalahan pada metode branch dan bound adalah menentukan model pohon dari relaksasi program linier yang lebih spesifik seperti yang terjadi pada persoalan program
integer.Variabel-variabel integer memiliki pergerakan nilai jika dengan menggunakan teknik interior point.
Ketika digunakan metode branch dan bound, satu dari empat kemungkinan
yang terjadi adalah adanya beberapa node dari pohon. Permasalahan tersebut
mungkin saja tidak memiliki daerah batas, tetapi ketika menggunakan metode
interior point permasalahan ini dapat dideteksi artinya solusi daerah jawab yang
tidak terbatas tersebut selanjutnya akan memiliki solusi jika digunakan metode
interior point.
Metode branch dan bound dengan menggunakan algoritma interior point,
diselesaikan dengan tahapan sebagai berikut :
1. Melakukan proses inisialisasi, yaitu melakukan relaksasi awal terhadap persoalan program integer yang akan dicari solusi daerah penyelesaiannya. Hal
tersebut dilakukan dengan cara memilih iterasi primal dual yang menggunakan tahapan inisialisasi awal saja dari persoalan yang ingin ditentukan
solusinya.
2. Pilih salah satu node dari pohon penyelesaian yang diperoleh setelah melakukan inisialisasi tahap awal dari persoalan program integer yang dimaksud.
3. Menentukan model penyelesaian dari metode interior point yang dimaksud,

18
Universitas Sumatera Utara

19
dengan cara melanjutkan iterasi sehingga diperoleh solusi optimal dari persoalan program integer yang dimaksud.
4. Memeriksa solusi yang diperoleh, pastikan solusi yang diperoleh merupakan
solusi yang praktis sesuai dengan yang diharapkan.
5. Melakukan pemisahan sehingga diperoleh dua buah node, dengan menggunakan metode primal dual.
Selanjutnya jika xki menyatakan komponen ke- i dari tahapan iterasi k dapat
ditentukan dengan :
/xki = 1
lim xk+1
i

jika xki 6→ 0

/xki = 0
lim xk+1
i

jika xki → 0

k→∞

k→∞

Kemudian ditentukan model optimisasi dari model program linier yang memuat
variabel x0 pada interval 0 dan 1 dengan model optimisasi :
cT x + c0 x0

min
kendala

Ax + a0x0 ≥ b
0 ≤ x, x0 ≤ e

Jika A adalah ukuran m ×n matriks , a0 dan b adalah m vektor , c0 dan x0 adalah
scalar, maka model optimisasinya berubah menjadi :
cT x

min
kendala

Ax ≥ ¯b
0≤x≤e

Dimana ¯b = b jika x0 tetap pada nol, dan ¯b = b − a0, jika x0 tetap pada satu
Selanjutnya diperoleh nilai dual problem menjadi:
max

bT y − eT w − w0

kendala

AT y − w ≤ c
aT0 − w0 ≤ c0
y, w, w0 ≥ 0

Universitas Sumatera Utara

20
Dan
min
kendala

¯bT y − eT w
AT y − w ≤ c
y, w ≥ 0

Saat ini algoritma interior point terus dikembangkan dengan memasukkan
model metode simpleks dan variannya sehingga menyempurnakan metode interior point yang dimaksud. Solusi penyelesaian dengan menggunakan algoritma
interior point adalah dengan menemukan solusi kunci dengan menentukan karakteristik yang sama yaitu secara algoritma iteratif. Algoritma ini dimulai dengan
mengidentifikasi solusi percobaan yang layak disetiap iterasi yang dilakukan, sehingga terjadi perpindahan solusi percobaan menuju solusi percobaan lain yang
lebih baik dan masih dalam penyelesaian optimisasi yang layak. Akhirnya setelah
selesai melakukan seluruh rangkaian iterasi maka diperoleh solusi optimal yang
layak sebagai jawaban dari persoalan optimisasi.
Perbedaan yang besar antara metode simpleks dan metode interior point
adalah pada sifat-sifat solusi percobaan yang ingin dicari jawab optimalnya. Dalam
metode simpleks solusi percobaan terus ditambahkan sehingga secara gerakan
berlangsung disepanjang batas daerah layak. Dalam algoritma interior point solusi percobaannya adalah titik interior yaitu titik-titik yang berada pada daerah
layak karena melibatkan variannya maka algoritma ini dikenal dengan nama algoritma interior point. Algoritma interior point juga sering disebut sebagai algoritma pembatas, karena perspektif pencarian memiliki solusi percobaan berupa
titik-titik interior yang merupakan batas kendala yang memenuhi solusi penyelesaian optimisasi yang akan ditentukan daerah layaknya.
4.2 Algoritma dengan Iterasi Positif
Algoritma primal dual dengan cutting plane, setelah menggunakan iterasi
maka diperoleh titik interior yang berada pada daerah jawab berdasarkan iterasiiterasi yang dilakukan secara bertahap. Solusi optimal dari persoalan tersebut

Universitas Sumatera Utara

21
adalah menentukan nilai optimal dari solusi yang berada pada daerah jawab dengan melakukan adaptasi dari setiap fungsi yang akan dilakukan iterasi dari persoalan program integer yang diinginkan.
Algoritma interior point dengan penyelesaian primal dual dilakukan dengan
menyederhanakan permasalahan program linier dengan melakukan iterasi secara
bertahap. Dari iterasi yang dilakukan akan diperoleh daerah jawab yang layak
dengan menggunakan iterasi secara bertahap sampai diperoleh solusi optimal.
Dari beberapa hasil penelitian yang dilakukan dengan menggunakan algoritma interior point persoalan yang kompleks untuk optimisasi program linier
diselesaikan dengan melakukan iterasi secara primal atau dual. Proses iterasi primal dual yang digunakan sebagai algoritma interior point akan diperoleh solusi
yang layak berupa daerah jawab sebagai solusi yang merupakan nilai optimal yang
disebut dengan titik optimal sebagai jawab untuk interior point yang diinginkan
dari persoalan optimisasi program linier . Jika penyelesaian optimisasi dengan
melakukan iterasi tidak memperoleh solusi optimal , maka dapat digunakan algoritma interior point pada daerah jawab yang mungkin belum memiliki solusi
optimal. Jika solusi optimal belum diperoleh maka tahapan iterasi program linier dengan menggunakan konsep algoritma dilakukan dengan tahapan sebagai
berikut : Lakukan proses inisialisasi, tentukan variable slack dan model primal
dual yang akan dilakukan, selanjutnya lakukan proses relaksasi, dimana solusi
yang layak diperoleh dengan beberapa kali melakukan iterasi dengan menggunakan algoritma interior point. Jika proses iterasi dilakukan sudah pada tahapan
yang maksimal maka solusi yang akurat dan diinginkan sudah diperoleh sehingga
proses iterasi berhenti.
Implementasi selanjutnya adalah dengan menggunakan metode cutting plane,
perhatikan beberapa kendala yang mungkin belum dipenuhi ketika sudah diperoleh solusi optimal, jika memang terdapat kendala yang belum terpenuhi maka
tahapan penggunaan algoritma interior point harus dilakukan. Proses penyelesaian akhir yang dilakukan adalah proses relaksasi kembali seperti tahapan dua
jika persoalan optimisasi program linier belum mempunyai daerah jawab sebagai

Universitas Sumatera Utara

22
solusi optimal. Metode interior point dengan beberapa model implementasi lain
yang menggunakan metode yang memakai slack pada algoritma cutting plane.
Tahapan yang paling baik untuk menyelesaikan persoalan optimisasi program linier adalah dengan menggunakan primal dual yang dilakukan dengan tahapan
relaksasi melalui iterasi-iterasi dengan algoritma cutting plane. Beberapa persoalan algoritma interior point menggunakan iterasi primal dual seperti yang dilakukan dalam penyelesaian optimisasi dengan menggunakan algoritma interior
point. Dengan menggunakan algoritma interior point maka penggunaan metode cutting plane akan direduksi secara dual problem dengan melakukan relaksasi
secara iterasi sampai diperoleh solusi optimal yang layak.
4.3 Penentuan Solusi Layak
Banyak perbedaan antara metode interior point dengan beberapa model implementasi lain yang menggunakan metode yang memakai slack pada algoritma interior point. Tahapan yang paling baik untuk menyelesaikan persoalan optimisasi
program integer adalah dengan menggunakan primal dual yang dilakukan dengan
tahapan relaksasi melalui iterasi-iterasi dengan algoritma interior point. Beberapa persoalan algoritma interior point menggunakan iterasi primal dual seperti
yang dilakukan dalam penyelesaian optimisasi harus diselesaikan dengan beberapa
tahap sampai diperoleh solusi optimal.
Algoritma interior point dimulai dengan melakukan pemisahan secara bertahap dengan menyederhanakan variable-variabel yang kompleks menjadi penyelesaian yang sederhana untuk mendapatkan hasil yang optimal. Teknik penyelesaiannya dengan menggunakan beberapa kali proses iterasi dengan menyelesaikan
permasalahan satu persatu secara relaksasi dan selanjutnya diperoleh iterasi yang
paling akhir sebagai model untuk memperoleh daerah jawab.
Tahapan yang paling penting adalah memperhatikan kendala-kendala yang
muncul pada tahapan relaksasi dengan melakukan iterasi untuk memperoleh solusi
optimal.

Universitas Sumatera Utara

23
Solusi yang diperoleh mungkin saja tidak menemukan titik interior point,
walaupun secara teknis diupayakan menemukan titik cutting plane sebagai jawab
layak dari permasalahan yang timbul.
Untuk menentukan kendala yang lainnya dalam proses iterasi, tahapan yang
dilakukan adalah menentukan daerah solusi layak sebagai solusi optimal dari persoalan program integer , dan kemungkinan dari daerah jawab tersebut terdapat
titik potong yang masih termasuk dalam daerah jawab sebagai algoritma interior
point. Jika pada tahapan iterasi pertama yang dilakukan dalam proses relaksasi
belum memperoleh daerah jawab, maka proses iterasi selanjutnya dilakukan lagi
sampai diperoleh solusi optimal untuk penyelesaian yang diharapkan.

Universitas Sumatera Utara

BAB 5
KESIMPULAN

Algoritma interior point dapat digunakan untuk menyelesaikan program integer, yaitu dengan cara menggunakan metode Branch and Bound, dan Cutting
plane, yang dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:
1. Melakukan proses inisialisasi, yaitu melakukan relaksasi awal terhadap persoalan program integer yang akan dicari solusi daerah penyelesaiannya. Hal
tersebut dilakukan dengan cara memilih iterasi primal dual yang menggunakan tahapan inisialisasi awal saja dari persoalan yang ingin ditentukan
solusinya.
2. Menentukan model penyelesaian dari metode interior point yang dimaksud,
dengan cara melanjutkan iterasi sehingga diperoleh solusi optimal dari persoalan program integer yang dimaksud.
3. Memeriksa solusi yang diperoleh, pastikan solusi yang diperoleh merupakan
solusi yang layak sesuai dengan yang diharapkan.

24
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Atkinson, D.S., & Vaidya, P.M., (1992), An analytic center based cutting plane
algorithm for convex programming. Technical Report, Departement of Mathematics , University of Illinois at Urbana-Champaign,
Bixby, R.E., Gregory, J.W., Lustig,I.J., Marsten, R.E., & Shanno, D.F., (1992).
Very large-scale linear programming: A Case study in combining interior
point and simplex methods 40:885-897
El-Bakry, A.S., Tapia, R.A., & Zhang, Y., (1992) : A Study of indicators for
identifying zero variables in interior point methods. Technical Report TR91-15, Dept. of Mathematical Sciences, Rice University, Houston
Goffin, J.L., & Vial, J.P., (1990), Cutting planes and column generation techniques
with the projective algorithm.Journal of Optimization Theory and Applications, 65:409-429
Kamath, A.P., Karmarkar, N.K., Ramakrishnan, K.G., & Resende, M.G.C.,
(1992). A Continuous Approach to Inductive inference. Mathematical Programming, 57: 215-238
Lustig, I.J., Marsten, R.E., & Shanno, D.F., (1992). On implementing Mehrotras predictor-corrector interior point method for linear programming, SIAM
Journal on Optimization, 2:435-449.
Mehrotra, S., & Sun, J., (1992). On implementation of a (primal- dual) interior
point method. SIAM Journal on optimization, 2(4):575-601.
Mitchell, J.E., (1994), Interior point Algorithms for Integer Programming , Department of Mathematical Sciences Rensselaer Polytechnic Institute Troy,
New York :1-37
Mitchell, J.E., Resende, M.G.C., &. Pardalos,P.M., (1998). Interior Point Methods
For Combinatorial Optimization, New York, 18-21

25
Universitas Sumatera Utara