Model Program Integer Untuk Problem Routing Dalam Jaringan Telekomunikasi

MODEL PROGRAM INTEGER UNTUK PROBLEM ROUTING

DALAM JARINGAN TELEKOMUNIKASI

SKRIPSI

RYANDI

080803052

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

MODEL PROGRAM INTEGER UNTUK PROBLEM ROUTING

DALAM JARINGAN TELEKOMUNIKASI

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains RYANDI

080803052

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2012

PERSETUJUAN

Judul : MODEL PROGRAM INTEGER UNTUK PROBLEM

ROUTING DALAM JARINGAN

TELEKOMUNIKASI

Kategori : SKRIPSI

Nama : RYANDI

Nomor Induk Mahasiswa : 080803052

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Diluluskan di Medan, Juni 2012 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. Prof. Dr. Herman Mawengkang NIP 196209011988031002 NIP 19461128 1974031 001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua.

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. NIP 196209011988031002

PERNYATAAN

MODEL PROGRAM INTEGER UNTUK PROBLEM ROUTING

DALAM JARINGAN TELEKOMUNIKASI

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2012

RYANDI 080803052

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, dengan dilimpahkan karunia-Nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih saya sampaikan kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang. selaku pembimbing I dan Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada saya sehingga skripsi ini dapat saya selesaikan.

2. Bapak Syahril Efendi, S.Si, M.IT dan Ibu Dra.Mardiningsih, M.Si selaku dosen penguji saya.

3. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. dan Ibu Dra.Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika.

4. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU.

6. Ayahanda Tahdian Lumintu dan Ibunda Tuty Chandrawaty yang memberikan peranan yang sangat penting melalui doa dan dorongan semangat dalam pengerjaan skripsi ini.

7. Adik tersayang Lymelda yang juga memberikan doa dan dorongan semangat dalam pengerjaan skripsi ini.

8. Teman terkasih Jessica Halim yang memberikan doa dan dorongan semangat dalam pengerjaan skripsi ini.

9. Seluruh teman di jurusan Matematika khususnya stambuk 2008, serta sahabat– sahabatku: M.Romi Syahputra, Windy, Wilya Karunia, Isnaini, Ningrum, Evi, Sherly, Meiliana, Alan, Lindo, yang telah memberikan semangat, dorongan dan saran dalam pengerjaan skripsi ini.

10.Seluruh adik-adik junior stambuk 2009, stambuk 2010, stambuk 2011, terutama Chrsitian dan Meiliani (2009).

11.Abang dan Kakak alumni, terutama Erwin (2006), Hindra (2004), Maspin Syahputra (TPL 2007), Alex (Biologi 2007).

Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan. Penulis mengharapkan semoga kiranya penulisan skripsi ini memberikan manfaat bagi para pembaca.

ABSTRAK

GRIP adalah suatu teknik global routing melalui program integer. GRIP mengoptimalkan wirelength dan biaya langsung tanpa melalui tahap penugasan lapisan tradisional. Calon rute yang mencakup semua lapisan logam yang dihasilkan dengan menggunakan fase pemograman harga linier yang secara formal bertanggung jawab atas dampak dari calon rute yang ada saat membuat yang baru. Untuk membuat pendekatan progam integer berbasis berlaku untuk kasus rute global berskala besar, masalah utama diuraikan menjadi submasalah yang lebih kecil sesuai dengan subregional berbentuk persegi panjang pada chip bersamaan dengan tugas masing. Fragmen rute jaringan yang terhubung dalam cara yang flexible. Dalam kasus overflow, GRIP menerapkan optimasi kedua fase yakni explicity yang meminimalkan overflow. Dengan menggunakan program interger secara efektif, GRIP memperoleh solusi yang berkualitas tinggi.

INTEGER PROGRAMMING MODEL FOR ROUTING PROBLEM IN TELECOMMUNICATION NETWORK

ABSTRACT

GRIP is a global routing technique via integer programming. GRIP optimizes wirelength and via cost directly without going through a traditional layer assignment phase. Candidate routes spanning all the metal layers are generated using a linier programming pricing phase that formally accounts for the impact of existing candidate routes when generating new ones. To make an integer programming based approach

applicable for today’s large scaled global routing instances, the original problem is

decomposed into smaller sub-problems corresponding to rectangular sub-regions on the chip together with their assignments. Routes fragments of nets are connected in a flexible manner. In case of overflow, GRIP applies a second-phase optimization that explicitly minimize overflow. By using integer programming in an effective manner, GRIP obtains high-quality solutions.

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Halaman Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 2

1.5 Manfaat Penelitian 3

1.6 Metodologi Penelitian 3

1.7 Tinjauan Pustaka 4

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Konsep Jaringan 7

2.1.1 Konsep Jaringan Berdasarkan Letak Geografis 7

2.1.2 Topologi Jaringan 8

2.2 Jaringan Telekomunikasi 10

2.2.1 Model Jaringan Telekomunikasi 11

2.3 Sinyal Digital dan Analaog 11

2.3.1 Sinyal Digital 11

2.3.2 Sinyal Analog 12

2.4 Media Telekomunikasi 12

2.5 Protokol dan Arsitektur Jaringan 13

2.6 Routing 13

2.6.1 Tabel Routing 14

2.6.2 Routed Protocol 15

2.6.3 Routing Protocol 15

2.6.4 Router 15

2.7 Program Linier 16

2.7.1 Formulasi Permasalahan 18

2.7.2 Pembentukan Model Matematik 18

2.8.2 Program Integer Campuran 23

2.8.3 Binary Integer Programming 23

2.9 Konsep Dasar Graf 24

2.10 Jenis-Jenis Graf 25

Bab 3 Pembahasan 27

3.1 Global Routing 27

3.1.1 Formulasi Global Routing 27

3.2 Program Integer dalam Program GR 29

3.3 Prosedur Solusi via Price and Branch 31

3.3.1 Coulumn Generation 32

3.3.2 Penyelesaian Pricing Problem 35

3.3.3 Branch and Bound 36

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 38

4.1 Kesimpulan 38

4.2 Saran 38

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Topologi Jaringan 9

Gambar 2.2 Klasifikasi Jaringan Telekomunikasi 10

Gambar 2.3 Jaringan Telekomunikasi 11

Gambar 2.4 Graf Sederhana 25

Gambar 2.5 Graf Ganda dan Graf Semu 25

Gambar 2.6 Graf Berarah 26

Gambar 2.7 Graf Tak Berarah 26

Gambar 2.8 Graf Berbobot 28

Gambar 3.1 Konstruksi Grid Graf dari Masalah Global Routing 28 Gambar 3.2 Flowchart Branch and Bound untuk Permasalahan GR 32 Gambar 3.3 Peningkatan Rute melalui Algoritma Jalur Terpendek 36

Bab 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Routing adalah proses dimana suatu router mem-forward paket jaringan yang dituju. Suatu router membuat keputusan berdasarkan IP address yang dituju oleh paket. Agar keputusan routing tersebut benar, router harus belajar bagaimana untuk mencapai tujuan. Dalam era globalisasi ini, seiring dengan berkembangnya teknologi dan informasi. Routing merupakan suatu komponen yang menjadi permasalahan penting dalam jaringan telekomunikasi. Dan tidak hanya itu, diperlukan jaringan telekomunikasi dimana pada beberapa pengaturan terdapat pengirim yang mengirimkan pesan atau informasi kepada penerima pesan melalui saluran yang terdiri dari beberapa medium. Jaringan telekomunikasi dikembangkan untuk meningkatkan

Quality of Service (QoS), dimana bila QoS meningkat maka jumlah pelanggan akan

meningkat yang mengakibatkan keuntungan operator meningkat. Untuk mencapai hal tersebut maka proses routing sangat berperan dimana proses ini adalah untuk menghubungkan suatu sentral dengan sentral lain yang menjadi tujuan. Dan tujuan proses routing ini adalah memperoleh pemakaian sirkit (link antara sentral) yang efisien sehingga pemakaian sirkit dapat dilakukan secara optimal. Dalam routing jika terdapat beban lebih pada sentral maka penggunaan peralatan pada sentral dan holding time akan mengalami peningkatan menyebabkan delay penyambungan akibat suatu peralatan menunggu peralatan lainnya yang menimbulkan kemacetan pada suatu sentral yang dapat menyebar ke sentral lainnya. Permasalahan inilah yang disebut

Model program integer sering ditemukan hampir pada setiap bidang aplikasi pemrograman matematika. Program integer memegang peranan penting dalam mendukung keputusan manjerial. Oleh karena itu Dimana penulis bermaksud untuk memodelkan proses routing dalam jaringan telekomunikasi tersebut ke dalam model program integer sehingga dapat memberikan formulasi yang tersedia ke dalam model dasar sehingga lebih mudah di mengerti.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang teleah dipaparkan sebelumnya didapat rumusan masalah, yaitu Bagaimanakah problem routing dalam jaringan telekomunikasi dapat di buat ke dalam model program integer.

1.3 Batasan Masalah

Agar pembahasan penelitian ini lebih terarah, maka masalah yang dibahas dibatasi pada masalah routing didalam jaringan telekomunikasi yang akan dimodelkan kedalam bentuk program integer.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk dapat memodelkan routing dalam jaringan telekomunikasi ke dalam program integer sehingga lebih mudah dalam menyusun urutan routing ke tujuan yang lebih tepat.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Dapat digunakan untuk memodelkan routing suatu jaringan sehingga mudah untuk diselesaikan.

2. Dapat dimanfaatkan untuk proses memodelkan tingkat tinggi lebih lanjt untuk proses permodelan routing dalam jaringan telekomunikasi.

3. Dapt digunakan untuk sebagai informasi tambahan dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.

1.6 Metodologi Penelitian

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah melakukan studi literatur dengan cara mencari jurnal-jurnal mengenai teori-teori integer programming sehingga dapat digunakan dalam memodelkan proses routing dalam jaringan telekomunikasi.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :

1. Menjelaskan tentang integer programming, jaringan telekomunikasi, proses

routing dan metode graf yang berkaitan dengan proses routing.

2. Menjelaskan penggunaan integer programming dalam proses routing jaringan

1.7 Tinjauan Pustaka

Agustina Pradjaningsih (2009) [5] dalam jurnalnya yang berjudul Simulasi Model Jaringan Seluler melalui Pemrograman Integer memodelkan jaringan seluler dimana Agustina Pradjaningsih memakai toplogi jaringan yang diilustrasikan kedalam bentuk pohon graf.

Andaikan menyatakan biaya total yang harus dianggarkan dalam pembuatan model jaringan seluler dengan biaya yang dikenalkan pada setiap sel yang melakukan rute koneksi dengan HUB atau terdapat link antara sel dengan HUB , sehingga dapat diilustrasikan sebagai :

{

Untuk dan

Permasalahan jaringan seluler pada persamaan (1) dapat dimodelkan dengan pemrograman integer berikut :

Meminimumkan :

∑ ∑

Dengan kendala :

1. ∑ , untuk semua

2. ∑ ∑ , untuk semua (4) 3. ∑ , untuk semua 4. atau 1 untuk semua

Dengan adalah pohon ; { }; untuk setiap dua pohon, ; adalah ; semua simpul HUB ditambah simpul akar MSC; Z adalah biaya total

tahunan dari pemasangan jaringan; antara sel ke HUB ; adalah rute koneksi antara sel dengan HUB (0 atau 1); adalah permintaan rute masing – masing sel guna dikirim ke MSC; adalah kapasitas link untuk koneksi antara sel dengan HUB ; adalah jumlah diversitas yang diperlukan pada masing – masing sel dengan ; adalah koefisien data tersembunyi; jika link terdapat pada lintasan dari MSC ke HUB , sebaliknya. Sel dengan diversitas 1 (

) artinya sel akan merutekan 100% jalur permintaan trafik secara langsung ke MSC. Sedangkan sel dengan diversitas 2 ( ) artinya sel akan membagi permintaan menjadi sama yaitu 50% trafik akan dirutekan ke simpul HUB yang lain ke simpul akar MSC. Dengan kata lain, sel tidak hanya merutekan pada simpul HUB yang berbeda tetapi simpul HUB ini harus pada pohon yang berbeda, dan memiliki akar si MSC, sehingga jika terdapat sebuah link antara sel dan Hub ada yang terputus maka hanya 50% trafik yang hilang.

Sang Putu Eka Kesuma Putra (2009) [7] dalam jurnalnya Vehicle Routing Problem (VRP) menggunakan model program integer dalam menyelesaikan persoalan

VRP. Parameter yang digunakan adalah Q sebagai kapasitas maksimum kendaraan, N sebagai jumlah Client atau pelanggan, menunjukkan jumlah demand (permintaan)

dan menyatakan jarak antara pelanggan dan pelanggan . Sedangkan variabelnya di definisikan sebagai :

{

Dimana { } Dengan fungsi tujuan :

∑ ∑

Dengan batasan:

∑

∑

{ } ∑ ∑

| | ∑ ∑

| |

Dapat dilihat bahwa tujuan dari model ini adalah meminimalkan total jarak

travel. Persamaan (2) dan (3) memastikan bahwa semua pelanggan dikunjungi oleh

kendaraan. Persamaan (4) untuk menunjukkan eliminasi subroute. Seperti route yang tidak berangkat dan kembali ke depot. Pada persamaan (5) digunakan untuk

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Konsep Jaringan

Dua buah komputer dikatakan terkoneksi jika bila komputer dapat saling bertukar informasi. Bentuk koneksinya tidak harus melalui kawat tembaga saja, melainkan dapat menggunakan serat optik, gelombang mikro, atau satelit.

Konsep jaringan dibedakan menjadi 2, yaitu:

1. Konsep jaringan berdasarkan letak geografis 2. Topologi jaringan

2.1.1 Konsep Jaringan Berdasarkan Letak Geografis LAN (Local Area Network)

LAN adalah jaringan komputer yang jaringannya hanya mencakup wilayah kecil;

seperti jaringan komputer kampus, gedung, kantor, dalam rumah, sekolah atau yang lebih kecil.

MAN (Metropolitan Area Network)

MAN adalah Suatu jaringan dalam suatu kota dengan transfer data berkecepatan

tinggi, yang menghubungkan berbagai lokasi seperti kampus, perkantoran, pemerintahan, dan sebagainya. Jaringan MAN adalah gabungan dari beberapa LAN.

Jangkauan dari MAN ini antar 10 hingga 50 km, MAN ini merupakan jaringan yang tepat untuk membangun jaringan antar kantor-kantor dalam satu kota antara pabrik/instansi dan kantor pusat yang berada dalam jangkauannya.

WAN (Wide Area Network)

WAN adalah jaringan komputer yang mencakup area yang besar sebagai contoh yaitu

jaringan komputer antar wilayah, kota atau bahkan negara, atau dapat didefinisikan juga sebagai jaringan komputer yang membutuhkan router dan saluran komunikasi

publik.

2.1.2 Topologi Jaringan

Topologi jaringan adalah, hal yang menjelaskan hubungan geometris antara unsur-unsur dasar penyusun jaringan, yaitu node, link, dan station. Topologi jaringan dapat dibagi menjadi 5 kategori utama seperti di bawah ini.

1. Topologi bintang

merupakan bentuk topologi jaringan yang berupa konvergensi dari node tengah ke setiap node atau pengguna. Topologi jaringan bintang termasuk topologi jaringan dengan biaya menengah

2. Topologi cincin

adalah topologi jaringan dimana setiap titik terkoneksi ke dua titik lainnya, membentuk jalur melingkar membentuk cincin. Pada topologi cincin, komunikasi data dapat terganggu jika satu titik mengalami gangguan.

3. Topologi Bus

adalah kedua unjung jaringan harus diakhiri dengan sebuah terminator. Barel connector dapat digunakan untuk memperluasnya. Jaringan hanya terdiri dari satu saluran kabel yang menggunakan kabel BNC. Komputer yang ingin terhubung ke jaringan dapat mengkaitkan dirinya dengan mentap Ethernetnya

sepanjang kabel. Linear Bus: Layout ini termasuk layout yang umum. Satu kabel utama menghubungkan tiap simpul, ke saluran tunggal komputer yang mengaksesnya ujung dengan ujung. Masing-masing simpul dihubungkan ke dua simpul lainnya, kecuali mesin di salah satu ujung kabel, yang masing-masing hanya terhubung ke satu simpul lainnya.

4. Topologi mesh

menerapkan hubungan antar sentral secara penuh. Jumlah saluran harus disediakan untuk membentuk jaringan Mesh adalah jumlah sentral dikurangi 1 (n-1, n = jumlah sentral). Tingkat kerumitan jaringan sebanding dengan meningkatnya jumlah sentral yang terpasang. Dengan demikian disamping kurang ekonomis juga relatif mahal dalam pengoperasiannya.

5. Topologi Pohon

disebut juga sebagai topologi jaringan bertingkat. Topologi ini biasanya digunakan untuk interkoneksi antar sentral denganhirarki yang berbeda. Untuk hirarki yang lebih rendah digambarkan pada lokasi yang rendah dan semakin keatas mempunyai hirarki semakin tinggi. Topologi jaringan jenis ini cocok digunakan pada sistem jaringan komputer .

2.2 Jaringan Telekomunikasi

Telekomunikasi adalah sebuah teknik yang mampu mengubah sistem teknologi informasi. Sangat penting bagi pengguna untuk mengerti beberapa karakteristik penting dari komponen dasar jaringan telekomunikasi. Hal tersebut dapat membantu pengguna untuk berpartisipasi secara efktif dalam membuat keputusan mengenai alternatif telekomunikasi.

Saluran telekomunikasi dapat diartikan sebagai data dan bentuk telekomunikasi yang ditransmisikan diantara pengirim dan penerima dalam suatu jaringan telekomunikasi.

Jaringan telekomunikasi secara garis besar dapat dikelompokkan kedalam dua kategori, yaitu jaringan komunikasi switch dan jaringan komunikasi broadcast. Jaringan switch dibagi lagi menjadi jaringan circuit-switching dan jaringan packet switching. Contoh jaringan circuit-switching adalah jaringan telepon, SDH dam jaringan wavelength routing optical. Kemudian jaringan packet switching dibagi lagi menjadi connection-oriented dan jaringan connectionless. Contoh utama jaringan

connectionless adalah jaringan IP.

 Jaringan telepon

 Jaringan wavelength routing

Gambar 2.2 Klasifikasi Jaringan Telekomunikasi

JARINGAN TELEKOMUNIKASI

JARINGAN KOMUNIKASI SWITCH

JARINGAN CIRCUIT SWITCH JARINGAN PAKET - SWITCH

JARINGAN KOMUNIKASI BROADCAST

KARINGAN CONNECTION - ORIENTED

JARINGAN CONNECTIONLESS

2.2.1 Model Jaringan Telekomunikasi

Secara umum jaringan telekomunikasi dibeberapa pengaturan dimana pengirim mengirimkan pesan kepada penerima melalui saluran yang terdiri dari beberapa tipe medium. Telekomunikasi memungkinkan setiap orang untuk saling berkomunikasi secara cepat dalam jarak yang jauh sekalipun.

Gambar 2.3. Jaringan Telekomunikasi (dari google picture)

Gambar diatas menggambarkan jaringan telekomunikasi yang terdiri dari 5 (lima) kategori komponen dasar:

a) Terminal

b) Telecommunications Processors

c) Media dan saluran telekomunikasi berakhir yang mana data diterima dan

dikirim.

d) Komputer

e) Software pengendali telekomunikasi

2.3 Sinyal Digital dan Analog 2.3.1 Sinyal Digital

Merupakan hasil teknologi yang mengubah sinyal tersebut menjadi kombinasi ututan bilangan 0 dan 1 untuk proses informasi yang mudah, cepat dan akurat. Sinyal tersebut disebut sebuah bit.

2.3.2 Sinyal Analog

Sinyal analog adalah merupakan pemanfaatan gelombang elektromagnetik. Proses pengiriman suara, misalnya pada teknologi telepon,dilewatkan melalui gelombang elektromagnetik .

2.4 Media Telekomunikasi

Jenis-Jenis Media Telekomunikasi: a) Twisted Pair Wire Cable

Komponen ini terdiri dari atas 2 jenis, yaitu Unshielded Twisted-Pair(UTP) dan Shielded (STP).

1. UTP terdiri atas 2,3,4 atau lebih pasang kabel. Tiap pasang kabel dipilin 6 kali per inchi. Hal ini dilakukan untuk menghindari listrik dan impedansi listrik. Sensitif terhadap interferensi listrik, seperti derau listrik oleh cahaya fluorescent atau elevator berjalan.Kabel jenis ini disebut juga dengan Kabel IBM jenis 3.

2. STP pada dasarnya memiliki karakteristik yang sama dengan UTP. Perbedaaannya terletak pada besar kawat dan adanya selubung isolasi yang berfungsi untuk menghindari interferensi listrik.

b) Coaxial Cable

Karakteristik kabel ini terdiri atas 2 kabel yang diselubungi oleh 2 tingkat isolasi. Isolasi pertama (isolasi dalam) adalah isolaso yang menyelubungi kawat tembaga pejal. Selain dilindungi oleh isolator, kawat tembaga pejal ini juga dilindungi oleh kertas timah yang dipasang diatas isolator, untuk melindungi dari pengaruh medan elektromagnet.

c) Fiber Optic Cable

Fiber Optic memiliki karakteristik sebagai berikut :

Data yang dikirimkan dalam bentuk pulsa cahaya kecepatan transmisinya paling tinggi. Tipis dan flesibel, sehingga mudah dipindahkan. Tidak terganggu oleh cuaca dan panas.

d) Wireless

Wireless memiliki karakteristik :

Tidak menggunakan kabel, kerna data dikirimkan dalam bentuk gelombang atau inframerah. Setiap workstation berhubungan dengan hub atau concentrator melalui gelombang radio atau inframerah.

2.5 Protokol dan Arsitektur Jaringan

Protokol adalah sebuah set standar dari aturan dan prosedur untuk mengendalikan komunikasi didalam jaringan. Standar-standar ini diperuntukkan hanya pada satu peralatan manufaktur saja atau satu macam jenis telekomunikasi. Bagian dari tujuan jaringan arsitektur telekomunikasi adalah untuk menciptakan suatu standarisasi lebih dan kecocokkan diantara protocol komunikasi.

Tujuan dari arsitektur jaringan adalah untuk mengenalkan sebuah keterbukaan, simple, fleksibel dan lingkungan telekomunikasi yang efisien. Hal ini akan menjadi sempurna dengan penggunaan protocol standar. Standar komunikasi yang berhubungan langsung antara hardware dan software, dan desain standar hubungan antara pengguna dan system computer.

2.6 Routing

Router adalah sebuah alat yang mengirimkan paket data melalui sebuah jaringan atau

internet menuju tujuannya, melalui sebuah proses yang dikenal sebagai routing.

menentukan jalur yang akan dilewati paket dari satu device ke device yang berada di jaringan lain. Definisi lain dari routing adalah proses untuk memilih jalur (path) yang

harus dilalui oleh paket. Jalur yang terbaik tergantung pada beban jaringan, panjang datagram, type of service requested dan pola trafik. Pada umumnya skema routing

hanya mempertimbangkan jalur terpendek (the shortest path). Sedangkan switching

merupakan perpindahan paket dari satu interface ke interface lain.

Didalam routing dikenal 2 bentuk routing, yaitu: 1. Direct Routing

Direct routing adalah paket dikirimkan dari satu mesin ke mesin lain secara langsung (host berada pada jaringan fisik yang sama) sehingga tidak perlu melalui mesin atau gateway.

2. Indirect Routing

Indirect routing adalah paet dikirimkan dari suatu mesin ke mesin lain yang tidak terhubung langsung (berbeda jaringan) sehingga paket akan melewati satu atau lebih gatewayatau networkyang lain sebelum sampai ke mesin yang dituju.

2.6.1 Tabel Routing

Router merekomendasikan tentang jalur yang digunakan untuk melewatkan oaket berdasarkan informasi yang terdapat pada table routing.

Informasi yang terdapat pada table routing dapat diperoleh secara static routingmelalui perantara administrator dengan cara mengisi table routing secara

manual ataupun secara dynamic routingmenggunakan protocol routing agar dapat

Table routing pada umumnya berisi informasi tentang:

1. Alamat network tujuan

2. Interface routeryang terdekat dengan network tujuan

3. Metric, yaitu sebuah nilai yang menunjukkan jarak untuk mencapai network tujuan. Metric tersebut menggunakan teknik berdasarkan jumlah lompatan (hop count).

2.6.2 Routed Protocol

Routed Protocol (protocol yang diroutingkan) maksudnya adalah protocol – protocol yang dirutekan oleh sebuah router. Jadi protocol ini tidak digunakan untuk membuild routing tables, melainkan dipakai untuk addressing (pengalamatan). Karena digunakan untuk addressing, maka yang menggunakan routed protocol adalah end devices(laptop, mobile phone desktop, dll). Router akan membaca informasi dari protocol ini sebagai dasar untuk mengirimkan paket. Contoh routed protocol adalah IP, NetbUI, IPX, Apple Talk dan DECNet.

2.6.3 Routing Protocol

Routing Protocol maksudnya adalah protocol yang merouting. Routing protocol

digunakan oleh router – router untuk memelihara / meng-updateisi routing table. Pada

dasarnya sebuah routing protocol menentukan jalur (path) yang dilalui oleh sebuah

paket melalui sebuah internetwork. Contoh routing protocol adalah RIP, IGRP,

EIGRP, dan OSPF.

2.6.4 Router

Router memiliki kemmpuan untuk melewatkan paket IP dari satu jaringan ke jaringan lain yang memiliki banyak jalur diantara keduanya. Router – router yang saling berhubungan dalam jaringan telekomunikasi turut serta dalam sebuah algoritma

routing terdistribusi unutk menentukan jalur terbaik yang dilalui paket IP dari satu system ke system lain. Router dapat digunakan untuk menghubungkan sejumlah LAN terisolasi dengan baik dari trafik yang dibangkitkan oleh LAN lain. Jika dua atau lebih LAN terhubung oleh router, setiap LAN dianggap sebagai subnetwork yang berbeda. Hamper sama dengan bridge, router dapat menghubungkan interface jaringan yang

berbeda.

Router umum dipakai terdiri dari dua jenis, yaitu dedicated (buatan pabrik) dan

PC router. PC dapat difungsikan sebagai router sepanjang ia memiliki lebih dari satu interface jaringan, mampu melewatkan paket IP, serta menjalankan program untuk mengatur routing paket.

2.7 Program Linier

Dalam matematika, pemograman linier adalah metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Dalam menyelesaikan suatu permasalahan, program linier juga menggunakan teknik optimasi yang melibatkan variabel-variabel linier. Dalam model pemograman linier dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi objektif (objective function) dan fungsi kendala (constraint variabel) yang linier.

Dalam pemrograman linier dikenal beberapa karakteristik dari pemrograman linier yaitu :

a. Sifat liniearitas

Sifat linearitas yaitu sifat dalam menyelesaikan suatu kasus dengan memeriksa keliniearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa dimana secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proposionalitas, addivitas, divisbilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.

b. Sifat proposional

Sifat proposional merupakan sifat yang akan dipenuhi jika kontribusi variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proposional terhadap level nilai variabel.

c. Sifat additivitas

Sifat addivitas yaitu sifat ini mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model, sifat ini berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala) akan dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat addivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepesentasikan dua produk substitusi, dimana penigkatan volume penjualam salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat addivitas tidak terpenuhi.

d. Sifat divisibilitas

Sifat divisibilitas merupakan unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan. e. Sifat kepastian

Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.

Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi, dalam pemrograman linier diperlukan analisi sensivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.

2.7.1 Formulasi Permasalahan

Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.

Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.

Pemograman linier dapat direpresentasikan dalam notasi matematis sebagai berikut :

Dalam hal ini, adalah vektor variabel, sedangkan dan adalah vektor koefisien dan adalah matrix koefisien. Fungsi objektifnya adalah ekspresi yang hendak dimaksimalkan atau diminimalkan (yaitu ). Persamaan adalah fungsi kendala yang menunjukkan polihedron konveks tempat fungsi objektifnya dioptimasi.

2.7.2 Pembentukan Model Matematik

Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang

matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.

Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau

pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta

(baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.

Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut : Fungsi tujuan :

Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Sumber daya yang membatasi :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn= /≤ / ≥ b1

a21x1 + a22x2+ … + a2nxn= /≤ / ≥ b2

…

am1x1 + am2x2+ … + amnxn= /≤ / ≥ bm

x1, x2, …, xn≥ 0

Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan

(xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan

untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing

variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel

keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah

masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn≥ 0) menunjukkan batasan non negatif.

Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.

Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus

hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.

Pemograman linier dapat diterapkan pada berbagai bidang studi. Metode ini paling banyak digunakan dalam bisnis dan ekonomi namun juga dapat dimanfaatkan dalam sejumlah perhitungan ilmu teknik. Misalnya dalam ekonomi, fungsi tujuan dapat berkaitan dengan pengaturan sevara optimal sumber-sumber daya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal sedangkan fungsi batasan menggambarkan batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang dialokasikan secara optimal keberbagai kegiatan. Industry yang memanfaatkan pemograman linier diantaranya adalah transportasi, energy, telekomunikasi dan manufaktur. Pemograman linier juga terbukti berguna dalam membuat model berbagai jenis masalah dalam perencanaan perancangan rute, penjadwalan, pemberian tugas dan desain.

2.8 Jenis – Jenis Program Integer

Banyak aplikasi kegunaan dari integer programming, misalnya dalam perhitungan produksi sebuah perusahaan manufaktur, dimana hasil dari perhitungannya haruslah bilangan bulat, karena perusahaan tidak dapat memproduksi produknya dalam bentuk setengah jadi. Misal perusahaan perakitan mobil tidak dapat merakit 5,3 mobil A dan 2,5 mobil B perhari, tetapi haruslah bilangan bulat, dengan metode pembulatan, bias kita hasilkan misalnya 5 mobil A dan 2 mobil B per hari, tetapi apakah metode pembulatan ini efisien?.

Terdapat 3 macam permasalahan dalam pemrograman integer, yaitu:

1. Pemrograman Bulat Murni, yaitu kasus dimana semua variabel keputusan harus berupa bilangan bulat.

2. Pemrograman Bulat Campuran, yaitu kasus dimana beberapa, tapi tidak semua, variabel keputusan harus berupa bilangan bulat.

3. Pemrograman Bulat Biner (Binary Integer), yaitu kasus dengan permasalahan

khusus dimana semua variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1.

2.8.1 Program Integer Murni (Pure Integer Programming)

Menurut Hillier dan Lieberman (1994), model matematika untuk pemrograman bilangan bulat sama dengan model pemrograman linear, dengan penambahan satu batasan yaitu batasan bahwa semua atau sebagian nilai variabelnya berupa bilangan bulat. Jika semua nilai variabelnya bilangan bulat, maka pemrograman ini disebut pemrograman bilangan bulat murni,

Program Integer dibutuhkan ketika keputusan harus dilakukan dalam bentuk bilangan bulat (bukan pecahan yang sering terjadi bila kita gunakan metode simpleks).Model matematis dari pemrograman bulat sebenarnya sama dengan model linier programming, dengan tambahan batasan bahwa variabelnya harus bilangan bulat.

Bentuk umum dari program integer murni adalah : Optimasikan

∑

Dengan kendala

∑

2.8.2 Program Integer Campuran

Program integer campuran adalah masalah integer programming dengan beberapa variabel keputusannya dibatasi sebagai bilangan bulat, dan sementara yang lain tidak. Bentuk umum dari program integer campuran adalah

Optimasikan

∑

∑

Dengan kendala

∑

∑

2.8.3 Binary Integer Programming

Model pemrograman bulat dapat juga digunakan untuk memecahkan masalah dengan jawaban ya atau tidak (yes or no decision), untuk model ini variabel dibatadi menjadi dua, misal 1 dan 0, jadi keputusan ya atau tidak diwakili oleh variabel, katakanlah, , menjadi :

{

Model ini sering disebut sebagai model pemrograman bulat biner. Adapun bentuk umum dari binary integer programming adalah Optimasikan

∑

2.9 Konsep Dasar Graf

Graf G didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan (V,E) yang dalam hal ini V =

{ } adalah himpunan tak kosong dan anggota-anggotanya dinamakan simpul (vertex) dan E = { } adalah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan sepasang simpul. Graf G dilambangkan dengan G = (V,E)

menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Jadi, sebuah

graf dimungkinkan tdak memiliki sisi satu pun, tetapi simpulnya harus ada minimal satu. Gelang (loop) adalah sebuah sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang

sama. Sisi paralel adalah dua buah sisi yang berbeda yang menghubungkan simpul yang sama. Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga (adjacent) bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, bertetangga dengan jika ( ) adalah sebuah sisi pada graf G.

Untuk sebarang sisi e =_{( )}, sisi e dikatakan bersisian (incident) dengan dan . Simpul terpencil (isolated vertex) adalah simpul yang tidak mempunyai sisi

yang bersisian dengannya atau dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang bertetangga dengan simpul-simpul lainnya. Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai graf kosong (null graph) dan ditulis

sebagai , yang dalam hal ini n adalah jumlah simpul.

Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakan subgraf G jika: a. V(H) V(H)

b. E(H) E(G)

2.10 Jenis – Jenis Graf

Graf sederhana (simple graph) adalah graf yang tidak mengandung gelang (loop)

maupun sisi ganda.

Gambar 2.4 Graf Sederhana

Graf tak sederhana (unsimple graph) adalah graf yang mengandung gelang (loop)

maupun sisi ganda. Ada 2 macam graf tak sederhana yaitu :

1. Graf ganda (multigraph), yaitu graf yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda

yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah. 2. Graf semu (pseudograph), yaitu graf yang mengandung gelang (loop).

Gambar 2.5 Graf Ganda dan Graf Semu

Graf berhingga (limited graph) adalah graf yang jumlah simpulnya berhingga.

Graf tak berhingga (unlimited graph) adalah graf yang jumlah simpulnya tidak berhingga banyaknya.

Graf berarah (directed graph) adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.

Kita sebut sisi berarah pada graf dengan sebutan busur. Pada graf berarah, _{( )} dan , _{( )} menyatakan dua buah busur yang berbeda, dengan kata lain _{( )}

( ). Untuk busur _{( )}, simpul dinamakan simpul asal dan simpul dinamakan simpul terminal (simpul akhir).

Gambar 2.6 Graf Berarah

Graf tak berarah (undirecred graph) adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, _{( ) ( )} adalah sisi yang sama.

Gambar 2.7 Graf Tak Berarah

Graf G dikatakan graf berbobot jika setiap sisinya diberi bobot (bilangan). Jika sisi diberi label k, maka bobot sisi adalah k.

Bab 3 PEMBAHASAN

3.1 Global Ruting

Global routing adalah langkah penting dalam mendesain aliran routing selam setiap jaringan yang masih mempertimbangkan penempatan informasi. Algoritma yang diusulkan untuk global routing adalah berdasarkan solusi (perkiraan) dari Integer Programming (IP). Penggunaan integer programming akan lebih efektif jika GRIP terurai dari permasalahan berskala besar menjadi subproblem berukuran lebih kecil. Setiap subprolem sesuai dengan sub regional yang dikonseptualisasikan dengan sub regional pada bidang (chip) bersamaan dengan penugasan jaringan tersebut (pemakaian Grid-graf). Subproblem yang yang diubah menjadi skala kecil diselesaikan secara individual. Tujuan penggunaan integer programming dalam memodelkan problem ruting dalam jaringan telekomunikasi adalah untuk meminimalkan cost daripada objek tujuan rute jaringan tersebut, dimana cost yang diperhitungkan adalah penjumlahan wirelength, disamping menghindari fase penugasan setiap lapisan. Prosedur solusi dimulai dengan tahap Column Generation (harga), diikuti dengan Branch and Bound.

3.1.1 Formulasi Global Routing

Permasalahan Global Routing (GR) dapat dikonseptualisasikan pada grid-graf karena seperti pada gambar 1. Setelah ditempatkan, chip dibagi menjadi daerah persegi panjang yang disebut global bins. Dengan setiap bin adalah simpul dalam grid graf.

Global Bins

Global Edges

Batas antara dua global bins yang berdekatan dimodelkan sebagai sisi . Dengan

setiap sisi dikaitkan sebagai kapasitas yang mencerminkan tersedianya rute terbanyak antara dua buah tempat yang berdekatan. Juga diberikan sebagai permasalahan yang diinput kedalam GR adalah sebuah set net (multi-terminal). Untuk setiap net didefinisikan oleh sebuah set simpul net di . Pada tingkat GR, kita asumsikan

terminal untuk net terletak pada pusat setiap global bin. Tujuan dari masalah GR adalah untuk menemukan sebuah pohon Steiner yang menghubungkan terminal dari setiap net

.

Ketika mengevaluasi solusi dari routing, biasanya digunakan dua metrik yaitu wirelength dan overflow. Wirelength adalah jumlah panjang pohon Steiner yang merutekan net . Overflow didefinisikan sebagai total jumlah yang meroutingkan permintaan yang melebihi kapasitas pada sisi.

Gambar 3.1. Konstruksi Grid Graf dari masalah Global Ruting

Biasanya, overflow harus diminimalkan (yang diinginkan adalah nol), karena langsung sesuai dengan routabilitas sebuah model. GR sering digunakan dalam desain fisik flow, sehingga runtime merupakan pertimbangan praktis yang penting untuk algoritma GR.

3.2 Program Integer dalam Problem GR

Dalam mendeskripsikan problem Global Routing menjadi model matematika, diberikan sebuah grid graf yang menggambarkan topologi jaringan, dimana merepresentasikan terminal yang dihubungkan oleh rute dan merepresentasikan jarak yang menghubungkan terminal dimana jarak tersebut diminimalkan oleh IP sehingga jarak yang diperoleh dapat optimal, sebuah set (multi terminal) dimisalkan _{ }, (dengan ), dan kapasitas sisi

dan bobot . Dinotasikan sebagai kumpulan dari semua pohon Steiner (rute) yang menghubungkan terminal di , dan di berikan parameter jika pohonSteiner memiliki sisi sebaliknya. Didefinisikan keputusan binervariabel-variabel sebesar jika dan hanya jika net dirutekan dengan rute

. Model Program Integer untuk problem Global Routing dapat dituliskan sebagai berikut

∑ ∑

∑

{

∑

∑ ∑ { }

Parameter adalah biaya rute untuk net yang dihitung dari total panjang rute 3D, ∑ , dimana notasi menunjukkan bahwa sisi terdapat dalam rute

.

Persamaan (1) berisi routing pada setiap net. Variabel keputusan akan positif jika

net tidak dirutekan, dan fungsi tujuan berasal dari total panjang rute dengan jumlah net yagn dirutekan. Biasanya dipilih cukup besar untuk memastikan bahwa semua

Persamaan (2) yang terdapat dalam model memastikan bahwa kapasitas sisi yang tidak terlampaui. Secara khusus, dipilih lebih besar dari maksimum wirelength yang rutenya dapat dalam solusi optimal – misalnya, jumlah sisi grid.

Ketika dipilih dengan caraini, formulasi eksplisit memaksimalkan jumlah net yang dialihkan, selain meminimalkan wirelength. Pilihan lain dari adalah mungkin jika

wirelength lebih penting daripada routing semua net yang diberikan.

Formulasi (ILP-GR) memiliki ciri-ciri sebagai berikut.

1. Syarat yang utama dari rute, sperti topologi dan lapisan logam dapat

dimasukkan kedalam “biaya” dari rute. Tujuannya adalah untuk

meminimalkan biaya ini. Formulasi ini dapat menangani masalah GR yang mencakup baik wirelength dan melalui biaya sebagai biaya rute. Yang

kemudian menghindari fase lapisan yang dapat menjadi sumber sub-optimal. 2. Formulasi tidak mengharuskan net menjadi apriori yang dipecah menjadi dua

terminal segmen. Membagi net sebelum melakukan ruting dapat menjadi sumber yang signifikan dari sub-optimal yang menjadi hasil akhi dalam ruting [1].

3. Slack variabel dan tujuannya sebagai penambahan fakor adalah bertujuan

untuk menghasilkan adanya overflow dari solusi rute. Model ini cukup fleksibel, karena dengan sedikit modifikasi, program integer dapat diatur untuk meminimalkan jumlah overflow.

Kelemahan signifikan dari formulasi (ILP-GR) adalah ukurannya. Pertama, untuk net diberikan, jumlah variabel keputusan untuk net tersebut adalah sama dengan| _| - jumlah pohon Steiner yang mungkin menghubungkan terminal di . Kedua, jumlah net mungkin juga akan sangat besar. Namun demikian, penulis menggunakan (ILP-GR) sebagai dasar dari algoritma GR. Untuk selanjutnya, penulis menguraikan bagaimana menyelesaikan masalah yang ditimbulkan oleh ukuran

3.3 Solusi via Price and Branch

Prosedur GRIP adalah untuk memperoleh solusi pendekatan untuk Integer Programming (IP) berskala besar yang terdiri dari dua tahap, seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.2. Pertama prosedur penetapan harga digunakan untuk menghasilkan satu set calon rute. Kedua, metode branch-and-bound diterapkan untuk memecahkan (ILP-GR) yang hanya menggunakan satu set calon rute yang dihasilkan. Prosedur heuristic dua fase ini umumnya dikenal sebagai price-and-branch.

Untuk menghasilkan satu set calon rute masing-masing net, GRIP memecahkan Linier Programming (LP) relaksasi (ILP-GR), sebuah relaksasi yang diperoleh dengan menggantikan persyaratan biner pada variabel _{{ }} dengan pebatasan kendala

. Program linier diselesaikan dengan prosedur kolom generasi (CG)

Gambar 3.2. Flowchart Branch-and-Bound untuk permasalahan GR

3.3.1 Coulumn Generation (Kolom Generasi)

Dalam kolom generasi (CG), kita mulai dengan mengganti (himpunan semua rute yang mungkin terdapat dalam net ) dalam relaksasi (ILP-GR) dengan himpunan

yang awalnya berisi satu rute untuk setiap net. Penulis kemudian memperluas selama iterasi dari CG, dimana menjamin rute ditambahkan menurunkan fungsi tujuan.

Untuk menggambarkan prosedur kolom generasi akan sangat mudah jika memperhatikan fungsi ganda (LPD-GR) dari linier program relaksasi (ILP-GR):

Step 0: mengatur calon rute menggunakan paket flute

Step 1: menyelesaikan (RMLP-GR) mneggunaka calon rute untuk mendapatkan nilai-nilai ganda untuk (LPD-GR)

Step 2: memecahkan masalah pricing untuk setiap

Rute Price

Yes (tambahkan sebagai rute

No

Sebagai calon rute baru

Solusi dengan pendekatan (ILP-GR) dengan memakai calon rute Branch

∑ ∑ ∑

Dalam prosedur kolom generasi, hanya sebagian kecil dari semua rute yang mungkin secara eksplisit dimasukkan dalam LP relaksasi (ILP-GR). Diberikan adalah himpunan rute yang berdasarkan pada net . Masalah utama (RMLP-GR)

untuk (ILP-GR) dimana penulis mempertimbangkan adalah

∑ ∑ ∑ { ∑ ∑ ∑

Penyelesaian (RMLP-GR) menghasilkan solusi (primal) _{̂ ̂} dan juga nilai-nilai

̂ dan _̂ untuk variabel ganda dalam (LPD-GR). Dengan sifat dualitas dari linier programming, jika solusi _{̂ ̂} memenuhi semua kendala ganda , maka

̂ ̂ adalah sebuah solusi optimal untuk relaksasi dari LP (ILP-GR). Jika tidak, maka kendala ganda tidak tepenuhi sehingga disarankan sebuah kolom (variabel rute baru) untuk ditambahkan ke (RMLP-GR) sehingga dapat mengurangi nilai tujuannya. Proses ini kemudian dapat mengulangi untuk mengidentifikasi lebih lanjut rute yang dapat mengurangi nilai objektif. Penyelesaian relaksasi LP melalui generasi kolom menjamin bahwa akan dihasilkan solusi optimal pada program linier, seakan-akan semua rute secara eksplisit dipertimbangkan.

Untuk menentukan apakah solusi ganda _{̂ ̂} adalah layak, harus menentukan ada setidaknya satu rute dengan _{̂ ∑ ̂} . Hal ini merupakan

masalah optimasi, yang dikenal dengan Pricing problem, yang dapat diuraikan menjadi masalah independen untuk setiap individu net Secara khusus, Model pricing problem untuk net adalah sebagai berikut:

{∑ ̂ |

}

Jika solusi optimal dari adalah cukup kecil _̂ , maka nilai _{̂ ̂} bukanlah nilai ganda yang layak. Secara spesifik, Misalkan menjadi solusi optimal untuk . Jika

∑ ̂ ̂

Kemudian mengidentifikasikan kendala dalam(LPD-GR). Solusi saat ini untuk (RMLP-GR) dengan demikian dapat ditingkatkan dengan nilai terbaru dengan disertakan sebagai kolom yang baru (calon rute).

Prosedur CG dapat diringkas sebagai berikut:

0. Untuk setiap , diinisialisasikan dengan setidaknya satu rute. (dalam penulisan ini penulis menggunakan rute yang dihasilkan untuk net [11]).

1. Pemecahan masalah(RMLP-GR), menghasilkan solusi optimal ̂ ̂ dan nilai ganda _{̂ ̂} .

2. Untuk setiap , penyelesaian , meghasilkan rute . Jika

̂ ∑ ̂ ∑ , maka { }.

3. Jika rute meningkatkan untuk beberapa net ditemukan, kembali ke langkah 1. Jika tidak, berhenti – solusi ̂ ̂ adalah sebuah solusi optimal untuk LP

3.3.2 Penyelesaian Pricing Problem

Pada tahap kedua dari prosedur CG, GRIP menyelesaikan untuk setiap net. Penulis menulis kembali ekspresi _{∑ ̂ ∑ ̂} , dimana

adalah biaya yang terkait dengan sisi (misalnya, ketika mempertimbangkan wirelength dan melalui hitungan).

Untuk meminimalkan tujuan diatas untuk net , GRIP menganggap graf berbobot dengan bobot _{̂ ̂} . Meminimalkan tujuan memerlukan

penemuan terkecil dari bobot pohon Steiner pada grafik tertimbang. Mencari pohon Steiner bobot minimum pada umumnya NP-Hard, sehingga GRIP mengadopsi pendekatan (heuristic) untuk menemukan kolom yang mengurangi nilai tujuan (RMLP-GR) berdasarkan pencarian lokal.

Dalam masalah harga, kondisi harus dievaluasi pada langkah 3 dari prosedur CG. Mengingat solusi ganda _{̂ ̂} , biaya pengurangan rute dari net adalah _{̅ ∑ ̂ ̂}. Masalah harga dapat dilihat sebagai prosedur untuk

mengidentifikasi sebuah pohon Steiner untuk net yang mengurangi biaya _̅ .

Dengan kondisi komplemen slack linier programming, untuk setiap solusi optimal

̂ ̂ untuk (RMLP-GR) dan nilai ganda yang sesuai _{̂ ̂} , maka reduce cost ̅

jika _̂ .

Dalam penyelesaian penulis menggunakan fakta dan pengamatan sederhana berikut. Mengingat rute , misalkan adalah himpunan simpul

di . Jika variabel , dan jika terdapat jalur dari beberapa terminal untuk simpul seperti bobot (terhadap bobot _̂) adalah kurang dari bobot pada jalur dimulai dari ke menggunakan sisi di , reduce cost dari pohon

adalah negatif. Jadi, menambahkan variabel yang sesuai untu rute untuk (RMLP-GR) dapat mengurangi nilai tujuannya. Gambar 3 menunjukkan bagaimana rute baru dapat dibangun dengan cara mencari jalur pendek dari

Pricing adalah sebuah rute baru dapat menggunakan berbagai titik Steiner dari rute asli.

Gambar 3.3 Peningkatan rute melalui algoritma jalur terpendek (shortest path) pada grid graf berbobot

3.3.3 Branch and Bound

Setelah prosedur CG untuk solusi dari LP relaksasi dari (ILP-GR) selesai, baik karena tidaka ada penemuan peningkatan rute dalam penetapan harga, atau karena tailing off terdeteksi, sebuah calon subset yang berisi rute yang telah terindentifikasi untuk setiap net . Dengan hanya memakai variabel rute ini, program integer (ILP-GR) diformulasikan dan diselesaikan dengan paket program integer. Solusi dikembalikan ke persamaan awal adalah solusi yang layak (feasible) untuk masalah ini.

GRIP memanfaatkan kolom generasi dalam menyelesaikan relaksasi dari LP (ILP-OV). Relaksasi dual dari LP (ILP-OV) adalah

∑

∑

{

∑

u

GRIP dimulai dengan bagian terkecil dari rute dan menyelesaikan batas utama pada kendala untuk (ILP-OV):

∑

{

∑

∑ ∑

Pada iterasi pertama, hanya memiliki satu rute per-net yang digunakan untuk mendapatkan solusi yang lengkap. GRIP menyelesaikan (RMLP-OV) untuk mendapatkan nilai-niali ganda (dual) _̂dan _̂. Masalah harga dapat diselesaikan untuk

mengidentifikasikan rute baru yang tidak sesuai dengan kendala pertama (LPD-OV) (yaitu _{̂ ∑ ̂} ), yang menunjukkan tujuan (RMLP-OV) yang

mungkin bias diperbaiki jika ditambahkan ke .

Ketika menyelesaikan permasalahan harga (Pricing) untuk mengidentifikasikan biaya negative dikurangi untuk masing-masing net, bobot dari sisi _{̂ ̂} digunakan. Perhatikan bahwa _̂ , maka ̂ , dan algoritma

shortest path Djikstra dapat digunakan untuk mengidentifikasikan rute yang baru. Hal yang sama untuk GRIP untuk pemecahan (ILP-GR), proses program linier memberikan solusi ketika tailing off diketahui. Rute yang diperoleh diberikan kepada solver branch and bound untuk menemukan solusi integer untuk (ILP-OV).

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

GRIP adalah suatu alat atau metode baru untuk menyelesaika problem global routing melalui program integer (IP). Hal ini didasarkan pada pemecahan formulasi IP dengan denerasi kolom diikuti dengan metode Branch-and-Bound untuk memilih rute baru pada masing-masing net. Netode ini menggunakan informasi dari nilai ganda (dual) dari relaksasi program integer untuk menghasilkan dinamik terbaru yang berkorelasi dengan kemacetan dan rute jalan untuk masing-masing net. GRIP bias juga menyelesaikan model 3D dari masalah ruting. Untuk mencapai runtime yang tepat untuk kasus berskala besar, GRIP menggunakan metode untuk menguraikan masalah menjadi sub-masalah yang berhubungan dengan ukuran dan menghubungkan solusi sub-problem dengan menggunakan IP. Dalam kasus overflow, berlaku prosedur pengurangan overflow (overflow reduction).

4.2 Saran

Meskipun telah selesai dirumuskan, GRIP masih memiliki kelemahan dalam ukurannya. Alangkah baiknya jika ada rekan-rekan mahasiswa yang ingin melanjutkan atau melakukan penelitian yang berkaitan dengan penelitian yang dilakukan oleh penulis disarankan untuk meneliti ukuran dari GRIP dan membuat contoh permasalahan dari problem routing ini mengingat penulis hanya memodelkan problem routing dalam jaringan telekomunikasi.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Jogensen, David Grove dan Meyling , Morten. A Branch-and-price algorithm for switch-box routing. Networks 40:13-26, 2002.

[2] Cynthia Barnhart, Ellis L. Johnson, George L. Nemhauser, Martin W. P. Savelsbergh, and Pamela H. Vance. Branch-and-price: Column generation for solving huge integer programs. Operation Research, 46:316-329, 1996.

[3] G. Dantzig dan P. Wolfe. Decomposition principle for liner program. Operation Research. 8:101-111, 1960.

[4] Jacques Desrosiers dan Marco E. LÜbbecke. A primer in coulumn generation. In

G. Desauliniers, J. Desrosiers, dan M. M. Solomon, editors, Couloumn Generation,chapter 1. Springer, 2005.

[5] Pradjaningsih, Agustina. 2009. “Simulasi Model Jaringan Seluler Melalui Pemogramming Integer”. Jurnal ILMU DASAR, Vol. 10 No 2 : 199 – 206.

Surabaya, Indonesia : Universitas Jember.

[6] Tai-Hsuan Wu, Azadeh Davoodi, and Jeff Linderoth. GRIP: scalable 3-D global routing using integer programming. In IEEE Design Automation Conf., pages 320–325, 2009.

[7] Sang Putu Eka Kesuma Putra. 2009. “Analisis dan Implementasi VRP Menggunakan Breadth First SearchdanBranch and Bound”. Indonesia : IT

Telkom.

[8] M. R. Garey and D. S. Johnson. The rectilinear Steiner tree problem is NP-complete. SIAM Journal of Applied Math, 32:826–834, 1977.

Untuk menentukan apakah solusi ganda _{̂ ̂} adalah layak, harus menentukan ada setidaknya satu rute dengan _{̂ ∑ ̂} . Hal ini merupakan masalah optimasi, yang dikenal dengan Pricing problem, yang dapat diuraikan menjadi masalah independen untuk setiap individu net Secara khusus, Model pricing problem untuk net adalah sebagai berikut:

{∑ ̂ |

}

Jika solusi optimal dari adalah cukup kecil _̂ , maka nilai _{̂ ̂} bukanlah nilai ganda yang layak. Secara spesifik, Misalkan menjadi solusi optimal untuk . Jika

∑ ̂ ̂

Kemudian mengidentifikasikan kendala dalam (LPD-GR). Solusi saat ini untuk (RMLP-GR) dengan demikian dapat ditingkatkan dengan nilai terbaru dengan disertakan sebagai kolom yang baru (calon rute).

Prosedur CG dapat diringkas sebagai berikut:

0. Untuk setiap , diinisialisasikan dengan setidaknya satu rute. (dalam penulisan ini penulis menggunakan rute yang dihasilkan untuk net [11]).

1. Pemecahan masalah (RMLP-GR), menghasilkan solusi optimal ̂ ̂ dan nilai ganda _{̂ ̂} .

2. Untuk setiap , penyelesaian , meghasilkan rute . Jika

̂ ∑ ̂ ∑ , maka { }.

3. Jika rute meningkatkan untuk beberapa net ditemukan, kembali ke langkah 1. Jika tidak, berhenti – solusi _{̂ ̂} adalah sebuah solusi optimal untuk LP relaksasi (ILP-GR).

3.3.2 Penyelesaian Pricing Problem

Pada tahap kedua dari prosedur CG, GRIP menyelesaikan untuk setiap net. Penulis menulis kembali ekspresi _{∑ ̂ ∑ ̂} , dimana adalah biaya yang terkait dengan sisi (misalnya, ketika mempertimbangkan wirelength dan melalui hitungan).

Untuk meminimalkan tujuan diatas untuk net , GRIP menganggap graf berbobot dengan bobot _{̂ ̂} . Meminimalkan tujuan memerlukan penemuan terkecil dari bobot pohon Steiner pada grafik tertimbang. Mencari pohon Steiner bobot minimum pada umumnya NP-Hard, sehingga GRIP mengadopsi pendekatan (heuristic) untuk menemukan kolom yang mengurangi nilai tujuan (RMLP-GR) berdasarkan pencarian lokal.

Dalam masalah harga, kondisi harus dievaluasi pada langkah 3 dari prosedur CG. Mengingat solusi ganda _{̂ ̂} , biaya pengurangan rute dari net adalah _{̅ ∑ ̂ ̂}. Masalah harga dapat dilihat sebagai prosedur untuk mengidentifikasi sebuah pohon Steiner untuk net yang mengurangi biaya _̅ . Dengan kondisi komplemen slack linier programming, untuk setiap solusi optimal

̂ ̂ untuk (RMLP-GR) dan nilai ganda yang sesuai _{̂ ̂} , maka reduce cost _̅ jika _̂ .

Dalam penyelesaian penulis menggunakan fakta dan pengamatan sederhana berikut. Mengingat rute , misalkan adalah himpunan simpul di . Jika variabel , dan jika terdapat jalur dari beberapa terminal untuk simpul seperti bobot (terhadap bobot _̂) adalah kurang dari bobot pada jalur dimulai dari ke menggunakan sisi di , reduce cost dari pohon

adalah negatif. Jadi, menambahkan variabel yang sesuai untu rute untuk (RMLP-GR) dapat mengurangi nilai tujuannya. Gambar 3 menunjukkan bagaimana rute baru dapat dibangun dengan cara mencari jalur pendek dari

Pricing adalah sebuah rute baru dapat menggunakan berbagai titik Steiner dari rute asli.

Gambar 3.3 Peningkatan rute melalui algoritma jalur terpendek (shortest path) pada grid graf berbobot

3.3.3 Branch and Bound

Setelah prosedur CG untuk solusi dari LP relaksasi dari (ILP-GR) selesai, baik karena tidaka ada penemuan peningkatan rute dalam penetapan harga, atau karena tailing off terdeteksi, sebuah calon subset yang berisi rute yang telah terindentifikasi untuk setiap net . Dengan hanya memakai variabel rute ini, program integer (ILP-GR) diformulasikan dan diselesaikan dengan paket program integer. Solusi dikembalikan ke persamaan awal adalah solusi yang layak (feasible) untuk masalah ini.

GRIP memanfaatkan kolom generasi dalam menyelesaikan relaksasi dari LP (ILP-OV). Relaksasi dual dari LP (ILP-OV) adalah

∑

∑

{

∑

u

GRIP dimulai dengan bagian terkecil dari rute dan menyelesaikan batas utama pada kendala untuk (ILP-OV):

∑

{

∑

∑ ∑

Pada iterasi pertama, hanya memiliki satu rute per-net yang digunakan untuk mendapatkan solusi yang lengkap. GRIP menyelesaikan (RMLP-OV) untuk mendapatkan nilai-niali ganda (dual) _̂ dan _̂. Masalah harga dapat diselesaikan untuk mengidentifikasikan rute baru yang tidak sesuai dengan kendala pertama (LPD-OV) (yaitu _{̂ ∑ ̂} ), yang menunjukkan tujuan (RMLP-OV) yang mungkin bias diperbaiki jika ditambahkan ke .

Ketika menyelesaikan permasalahan harga (Pricing) untuk mengidentifikasikan biaya negative dikurangi untuk masing-masing net, bobot dari sisi _{̂ ̂} digunakan. Perhatikan bahwa _̂ , maka ̂ , dan algoritma shortest path Djikstra dapat digunakan untuk mengidentifikasikan rute yang baru. Hal yang sama untuk GRIP untuk pemecahan (ILP-GR), proses program linier memberikan solusi ketika tailing off diketahui. Rute yang diperoleh diberikan kepada solver branch and bound untuk menemukan solusi integer untuk (ILP-OV).

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

GRIP adalah suatu alat atau metode baru untuk menyelesaika problem global routing melalui program integer (IP). Hal ini didasarkan pada pemecahan formulasi IP dengan denerasi kolom diikuti dengan metode Branch-and-Bound untuk memilih rute baru pada masing-masing net. Netode ini menggunakan informasi dari nilai ganda (dual) dari relaksasi program integer untuk menghasilkan dinamik terbaru yang berkorelasi dengan kemacetan dan rute jalan untuk masing-masing net. GRIP bias juga menyelesaikan model 3D dari masalah ruting. Untuk mencapai runtime yang tepat untuk kasus berskala besar, GRIP menggunakan metode untuk menguraikan masalah menjadi sub-masalah yang berhubungan dengan ukuran dan menghubungkan solusi sub-problem dengan menggunakan IP. Dalam kasus overflow, berlaku prosedur pengurangan overflow (overflow reduction).

4.2 Saran

Meskipun telah selesai dirumuskan, GRIP masih memiliki kelemahan dalam ukurannya. Alangkah baiknya jika ada rekan-rekan mahasiswa yang ingin melanjutkan atau melakukan penelitian yang berkaitan dengan penelitian yang dilakukan oleh penulis disarankan untuk meneliti ukuran dari GRIP dan membuat contoh permasalahan dari problem routing ini mengingat penulis hanya memodelkan problem routing dalam jaringan telekomunikasi.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Jogensen, David Grove dan Meyling , Morten. A Branch-and-price algorithm for switch-box routing. Networks 40:13-26, 2002.

[2] Cynthia Barnhart, Ellis L. Johnson, George L. Nemhauser, Martin W. P. Savelsbergh, and Pamela H. Vance. Branch-and-price: Column generation for solving huge integer programs. Operation Research, 46:316-329, 1996. [3] G. Dantzig dan P. Wolfe. Decomposition principle for liner program. Operation

Research. 8:101-111, 1960.

[4] Jacques Desrosiers dan Marco E. LÜbbecke. A primer in coulumn generation. In

G. Desauliniers, J. Desrosiers, dan M. M. Solomon, editors, Couloumn Generation,chapter 1. Springer, 2005.

[5] Pradjaningsih, Agustina. 2009. “Simulasi Model Jaringan Seluler Melalui

Pemogramming Integer”. Jurnal ILMU DASAR, Vol. 10 No 2 : 199 – 206. Surabaya, Indonesia : Universitas Jember.

[6] Tai-Hsuan Wu, Azadeh Davoodi, and Jeff Linderoth. GRIP: scalable 3-D global routing using integer programming. In IEEE Design Automation Conf., pages 320–325, 2009.

[7] Sang Putu Eka Kesuma Putra. 2009. “Analisis dan Implementasi VRP

Menggunakan Breadth First Search dan Branch and Bound”. Indonesia : IT Telkom.

[8] M. R. Garey and D. S. Johnson. The rectilinear Steiner tree problem is NP-complete. SIAM Journal of Applied Math, 32:826–834, 1977.