Algoritma Eksak Untuk Menyelesaikan Permasalahan Bin Covering

ALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN
PERSOALAN BIN COVERING

TESIS

Oleh
ERI SAPUTRA
097021080/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2012

Universitas Sumatera Utara

ALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN
PERSOALAN BIN COVERING
TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh
ERI SAPUTRA
097021080/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2012

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: ALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN
PERSOALAN BIN COVERING

Nama Mahasiswa : Eri Saputra
Nomor Pokok
: 097021080
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota

Dekan

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 19 Januari 2012

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 19 Januari 2012

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

: Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc

Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Drs. Sawaluddin, M.IT

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Tesis ini menjelaskan tentang algoritma eksak untuk menyelesaikan permasalahan
bin covering. Penyelesaiannya dengan menggunakan prosedur branch and bound
dan teknik generasi kolom. Dalam permasalahan integer programming, generasi
kolom digunakan untuk menyelesaikan linear programming relaksasi. Branch and
bound dapat digunakan untuk banyak kelas pada masalah skala besar seperti
sebuah prosedur yang dapat menjadi penghalang berat dalam hal total waktu
komputasi. Setelah diambil pendekatan untuk menguji pengurangan masalah
dimana sebagian besar variabel integer tetap konstan dan hanya sebagian kecil
diperbolehkan untuk bervariasi dalam langkah-langkah diskrit. Hal ini dapat di
implementasikan dalam struktur dari sebuah program dengan memperhatikan semua variabel integer pada batas solusi yang selanjutnya sebagai non basic dan
penyelesaian masalah berkurang dengan mempertahankan non basic.
Kata kunci

: Generasi kolom, Branch and bound, Program linear relaksasi,
Integer programming, Bin covering

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

This tesis present an exact algorithm for solving the problems of bin covering. Using the branch and bound procedures and the technique of column generation. In
the problem of integer programming, column generation is used to solve the relaxation of linear programming. While a straightforward branch and bound approach
could be adopted, for many classes of large scale problems such a procedure would
be prohibitively expensive in terms of total computing time. After have adopted the
approach of examining a reduced problem in which most of the integer variables
are held constant and only a small subset allowed to vary in discrete steps. This
may be implemented within the structure of a program by examining all integer
variables at their bounds at the continuous solution as nonbasic and solving the
reduced problem with these maintained nonbasic

Keyword

: Column generation, Branch and bound, Linear programming
relaxation, Integer programming, Bin covering

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah kehadirat ALLAH SWT, penulis panjatkan atas limpahan Rahmat dan KaruniaNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul : ”Algoritma Eksak Untuk Menyelesaikan Permasalahan Bin Covering”. Selawat dan salam kepada junjungan Nabi Muhammad SAW
beserta keluarga dan sahabat sekalian.
Tesis ini merupakan salah satu persyaratan penyelesaian studi pada Program
Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih dan penghargaan
yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti
Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan juga sebagai pembimbing pada
penulisan tesis ini yang berkat dorongan dan bantuan beliau sehingga penulisan
tesis ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc juga sebagai pembimbing dalam penulisan
tesis ini atas saran dan bantuan sehingga penulisan ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk

kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung.
Drs. Sawaluddin, M.IT selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk
kesempurnaan penulisan tesis ini.
iii
Universitas Sumatera Utara

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama
masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik
kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh sahabat serta rekan - rekan seperjuangan mahasiswa angkatan 2009
genap atas kebersamaan dan bantuan dalam mengatasi masalah selama perkuliahan berlangsung.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga dan penghargaan setinggi tingginya
penulis ucapkan kepada ayahanda H. Abubakar Yunus, SP dan Ibunda Hj.
Nurmiati, S.Pd yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada
penulis. Terima kasih juga kepada adik - adik penulis (Emira Laura Putri,
Evira Agustina Putri, Esar Alkautsar) dan buat seluruh keluarga yang telah
membantu, memberikan semangat dan dorongan kepada penulis hingga penulisan
tesis ini selesai.

Terima kasih juga kepada sahabat dan rekan - rekan lainnya yang tidak
dapat disebutkan satu persatu, yang telah membantu dan memberikan semangat
untuk penulis hingga tesis ini selesai.
Akhir kata penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna.
Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak pihak lainnya yang
memerlukannya.

Medan, Januari 2012
Penulis,

Eri Saputra
iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Penulis di lahirkan di Simpang Mulieng Kabupaten Aceh Utara pada tanggal
08 Oktober 1986 dan merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Dari ayah
H.Abubakar Yunus dan ibu Hj. Nurmiati. Penulis menamatkan Sekolah Dasar

(SD), SD Negeri Simpang Mulieng, Lulus tahun 1999. Sekolah Lanjutan Tingkat
Pertama (SLTP), SLTP Negeri 1 Syamtalira Aron, Lulus tahun 2002. Sekolah
Menengah Atas (SMA), SMA Negeri 1 Syamtalira Aron, Lulus tahun 2005. Pada
tahun 2005 penulis melanjutkan pendidikan sarjana di Universitas Islam Sumatera
Utara Pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Jurusan Pendidikan Matematika dan Lulus pada tahun 2009. Tahun 2009, penulis berkesempatan untuk
melanjutkan Program Master pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara Medan.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

3

1.5 Metode Penelitian

3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 3 LANDASAN TEORI

10

3.1 Program Linear Integer

10

3.2 Algoritma Eksak

11

3.3 Pemodelan Matematika

11

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

16

4.1 Algoritma Branch and Bound

16

4.2 Generasi Kolom

19

4.3 Algoritma Bin Covering Flow Exact

23

vi
Universitas Sumatera Utara

4.4 Heuristik Pencarian Sekitar Layak

24

BAB 5 KESIMPULAN

27

DAFTAR PUSTAKA

28

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Tesis ini menjelaskan tentang algoritma eksak untuk menyelesaikan permasalahan
bin covering. Penyelesaiannya dengan menggunakan prosedur branch and bound
dan teknik generasi kolom. Dalam permasalahan integer programming, generasi
kolom digunakan untuk menyelesaikan linear programming relaksasi. Branch and
bound dapat digunakan untuk banyak kelas pada masalah skala besar seperti
sebuah prosedur yang dapat menjadi penghalang berat dalam hal total waktu
komputasi. Setelah diambil pendekatan untuk menguji pengurangan masalah
dimana sebagian besar variabel integer tetap konstan dan hanya sebagian kecil
diperbolehkan untuk bervariasi dalam langkah-langkah diskrit. Hal ini dapat di
implementasikan dalam struktur dari sebuah program dengan memperhatikan semua variabel integer pada batas solusi yang selanjutnya sebagai non basic dan
penyelesaian masalah berkurang dengan mempertahankan non basic.
Kata kunci

: Generasi kolom, Branch and bound, Program linear relaksasi,
Integer programming, Bin covering

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

This tesis present an exact algorithm for solving the problems of bin covering. Using the branch and bound procedures and the technique of column generation. In
the problem of integer programming, column generation is used to solve the relaxation of linear programming. While a straightforward branch and bound approach
could be adopted, for many classes of large scale problems such a procedure would
be prohibitively expensive in terms of total computing time. After have adopted the
approach of examining a reduced problem in which most of the integer variables
are held constant and only a small subset allowed to vary in discrete steps. This
may be implemented within the structure of a program by examining all integer
variables at their bounds at the continuous solution as nonbasic and solving the
reduced problem with these maintained nonbasic

Keyword

: Column generation, Branch and bound, Linear programming
relaxation, Integer programming, Bin covering

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Permasalahan bin covering dinyatakan sebagai berikut : misalkan ada n
item (barang) dengan ukuran l1, l2, · · · , ln dan tidak terbatas persediaannya pada
bin dengan kapasitas C, untuk ukuran item antara nol dan satu menjadi jumlah
maksimum dari unit ukuran bin agar tingkat (ukuran total dari semua item yang
didapat) dari setiap bin sama atau melebihi kapasitas. Permasalahan bin covering pertama kali dipelajari oleh Assmann et al. (1984) sebagai permasalahan
dari dual bin packing pada persoalan kelas NP-Hard. Dalam prakteknya bin covering ditemukan dalam dunia industri, seperti industri transportasi, manajemen
operasional perusahaan dan lain sebagainya.
Permasalahan bin covering dapat dimodelkan dengan program integer dan
merupakan salah satu dari NP-Hard optimasi kombinatorial yang dapat dipecahkan oleh berbagai algoritma eksak seperti branch and bound dan generasi
kolom. Jen Clausen (1999) memecahkan masalah NP-Hard untuk optimalitas
seiring banyaknya pekerjaan yang membutuhkan algoritma yang sangat efisien,
dan paradigma branch and bound merupakan salah satu alat utama yang digunakan.Branch and bound merupakan teknik standar untuk menyelesaikan program
integer dengan barisan relaksasi dari problema asli yang diselesaikan untuk memperoleh solusi yang optimal. Algoritma branch and bound dapat digunakan pada
pencarian lengkap untuk solusi waktu yang terbaik.
Teknik-teknik generasi kolom pertama kali diperkenalkan pada awal tahun
enam puluhan sebagai bagian dari teknik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan program linier skala besar. Gilmore dan Gomory (1961, 1963) menggunakan generasi kolom untuk memecahkan masalah cutting stock. Percobaan tersebut menghasilkan kolom untuk menyelesaikan setiap langkah pada subproblem
knapsack. Masalah yang sebenarnya merupakan permasalahan Integer Programming (IP), kemudian generasi kolom digunakan untuk menyelesaikan permasala1
Universitas Sumatera Utara

2
han Linear Programming (LP) relaksasi. Relaksasi ini telah terbukti memberikan
batas bawah yang sangat baik dalam pelaksanaannya. Dua dekade kemudian,
Marcotte (1985) menunjukkan bahwa nilai optimal sangat sering menghasilkan
LP relaksasi.
Prosedur gabungan generasi kolom dan branch and bound telah digunakan
pada permasalahan lainnya, contohnya permasalahan rute dengan time windows
(Desrosier et al. 1984) dan masalah pewarnaan edge (Nemhauser and Park, 1991).
Secara umum, Implementasi prosedur gabungan metode branch and bound dan
generasi kolom untuk mengatasi kesulitan pada permasalahan loss (kehilangan)
”struktur” kendala percabangan yang ditambahkan ke Restricted Master Problem
(RMP), dan jenis subproblems yang harus diselesaikan pada setiap iterasi dapat
berubah.
Setelah penyelesaian akar node pada pohon pencarian yang sesuai untuk
penyelesaian linear programming relaksasi akan diperkenalkan kendala percabangan pada RMP. kolom dibangkitkan saat penyelesaian LP relaksasi cukup untuk
mendapatkan solusi integer. Namun, di dalam pohon branch and bound, satu
set kolom yang tidak di bangkitkan diperlukan untuk mendapatkan solusi optimal untuk node, dan jika ada himpunan yang hilang, solusi yang diperoleh tidak
optimal.
Generasi kolom pada setiap node dari pohon branch and bound terjadi setelah diperkenalkannya kendala percabangan dalam RMP. Dengan demikian subproblem berubah, dan solusi yang optimal dari subproblem asli yang mungkin
kolom seharusnya tidak diperkenalkan di dalam restricted master problem. kenyataannya, kolom tertentu yang diset ke nol oleh kendala percabangan berubah
menjadi kolom paling menarik yang dihasilkan oleh subproblem.
Pada kenyataannya pendekatan branch and bound dapat digunakan untuk
banyak kelas pada masalah skala besar seperti sebuah prosedur yang dapat menjadi penghalang berat dalam hal total waktu komputasi. Setelah diambil pendekatan untuk menguji pengurangan masalah dimana sebagian besar variabel
integer tetap konstan dan hanya sebagian kecil diperbolehkan untuk bervariasi

Universitas Sumatera Utara

3
dalam langkah-langkah diskrit. Hal ini dapat di implementasikan dalam struktur
dari sebuah program dengan memperhatikan semua variabel integer pada batas
solusi yang selanjutnya sebagai non basic dan penyelesaian masalah berkurang
dengan mempertahankan non basic.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana pelaksanaan
prosedur yang menggabungkan branch and bound dan generasi kolom untuk mengatasi kesulitan masalah kehilangan ”struktur” pada formulasi skala besar.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun yang menjadi tujuan penelitian ini adalah untuk menyelesaikan persoalan bin covering dengan algoritma eksak melalui metode heuristik pada pencarian sekitar layak. Dimana akan dilaksanakan prosedur yang menggabungkan
branch and bound dan generasi kolom.
1.4 Manfaat Penelitian
Konstribusi dari penelitian ini adalah ditemukannya suatu metode untuk
menyelesaikan permasalahan bin covering untuk mendapatkan solusi yang efisien,
serta menjadi acuan bagi peneliti lainnya dalam melakukan penelitian yang sama
atau lebih kompleks lagi.
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kajian pustaka.

Sedangkan

prosedur yang dilakukan adalah sebagai berikut :
1. Memperkenalkan perumusan bin covering dan memperkenalkan beberapa
kriteria untuk mengurangi variabel bilangan,
2. Membuat prosedur branch dan bound untuk formulasi skala besar,

Universitas Sumatera Utara

4
3. Prosedur column generation diberikan untuk memecahkan subproblem pada setiap simpul branch and bound dan algoritma bin covering flow exact
(BCFE),
4. Membuat langkah kerja pada prosedur heuristik pencarian sekitar layak.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Masalah Bin Covering dapat dinyatakan sebagai berikut : Misalkan ada n
item dengan ukuran l1, l2, . . . , ln dan nilainya tidak terbatas pada bin yang sama
dengan kapasitas C. Kumpulan item pada banyak tempat bin yang mungkin,
sehingga total ukuran setiap bin sama atau melebihi kapasitas.
Di asumsikan, bahwa :
l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥ ln
dan
lj < C, j = 1, . . . , n
Saat beberapa item dengan lj ≥ C dapat diberikan sendirian untuk satu bin, dan
n
X

lj ≥ 2C

(2.1)

j=1

Karena sebaliknya solusi nilai 0 atau 1 dapat dengan mudah ditetapkan.
Permasalahan Bin Covering dapat di modelkan sebagai program integer :

n
P

yi

(2.2)
max
z
=



i=1




n

P

 kendala
∀i = 1, · · · , n
(2.3)
lj xij > C yi ,



j=1

n
BC
P

xij 6 1,
∀j = 1, · · · , n
(2.4)



i=1





yi = 0 atau 1, ∀i = 1, · · · , n
(2.5)






xij = 0 atau 1, ∀i, j = 1, · · · , n
(2.6)


5
Universitas Sumatera Utara

6
Dimana :
n
1, jika bin i digunakan
yi = 0, sebaliknya
n
xij = 1,
0,

jika item j ditetapkan ke bin i
sebaliknya

C = Kapasitas masing-masing bin
lj = Ukuran item j
Andaikan :


n
P
t = min s :
lk < C
k=s

(

P (j) = min p :

j+p
P

lk ≥ C

k=j

)

forj = 1, . . . , τ = min

α = (0), α(k) =

k
P





1
n ,t− 1
2

p(j)for(k) = 1, . . . , τ

j=1

U2(K) = k +

$

n−a(k)
P
j=k+1

lj/
C

%

U2 = min 0≤k≤r {U2 (K)}
(
β
P
β(j) = min β : lj +

lk ≥ C

k=1,k6=j

β(j),
β(j) + 1,
$
%
n
P
1

q(j) =

U3 =



j=1

)

Jika β(j) ≥ j
sebaliknya

q(j)

U =min(U2, U3)

Universitas Sumatera Utara

7
Proposisi berikut sudah dibuktikan oleh Labbˆ
e et al. (1995)
Proposisi 1. : U berlaku batas atas pada z ∗ dan U ≤ 2z∗
Andaikan W = C + maxi {li } − 1
n 
P 
 li 

Proposisi 2. : Batas bawah pada BC adalah L =  i=1
W

Labbˆ
e et al, (1995) Menyatakan algoritma yang mampu untuk menyelesaikan secara optimal bin covering adalah algoritma branch and bound. Item
dipilih pada ukuran urutan yang tidak meningkat. Setiap node merupakan keputusan sebagai bin untuk menempatkan item kedalamnya. Pada setiap node, batas
bawah berdasarkan argumen kombinatorial dihitung, dan subproblem yang tersisa dikurangi dengan menggunakan dua kriteria pengurangan. Pada akar node,
himpunan heuristik diterapkan pada perintah untuk menghitung solusi awal dan
batas bawah.
Kendala (2.3) memastikan bahwa kuota terpenuhi untuk setiap bin yang
dipakai, dan kendala (2.4) memastikan item yang ditetapkan paling banyak satu
bin. Sebuah batas bawah untuk optimal dari masalah bin covering dapat diperoleh
dari LP relaksasi yang optimum, yang hasilnya dari substitisi dua kendala terakhir
untuk 0 ≤ yi ≤ 1 dan 0 ≤ xij ≤ 1
Sebuah metode klasik program integer (0 - 1) yang banyak digunakan untuk
menyelesaikan hard kombinatorial adalah dasar untuk memformulasi permasalahan set-partitioning. Hal ini biasanya di kerjakan untuk permasalahan penjadwalan crew (Hoffman et al, 1993), masalah vehicle routing (Desrochers et al,
1992), masalah bin packing (Villerio de Carvalho, 1999; Chan et al, 1998) dan
lain sebagainya.
Untuk masalah bin covering, andaikan F himpunan feasible columns, yaitu :
F = {α = (α1 , . . . , αn )T ∈ Rn :
n
X

li ai ≥ C, αi ∈ {0, 1}}

(2.7)

i=1

Universitas Sumatera Utara

8
Andaikan |F | menjadi kardinal F. Untuk lebih sederhana dapat di tunjukkan


F = ai : i = 1, . . . , |F |

jika dilihat pada permasalahan bin covering dapat dirumuskan sebagai :

BC





max











kendala



























|F |
P

yi

i=1
|F |
P

ai yi ≤ e,

i=1
|F |
P

yi ≤ U,

(2.8)

i=1
|F |
P

yi ≥ L,

i=1

yi ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , |F |

Dimana e = (1, . . . , 1)T ∈ Rn
Francois (Vanderbeck et al, 1996) menghasilkan algoritma eksak generasi
kolom untuk integer programming dengan sebuah nomor kolom besar. Masalah
terdekat yang dapat ditangani meliputi tidak hanya masalah partisi standar seperti masalah bin packing dan rute jarak tertentu di mana kolom yang dibangkitkan
harus 0 - 1 komponen dan sebelah kanan sisi vektor 1, tetapi juga masalah cutting
stock yang mana kolom dan sebelah kanan sisi adalah vektor integer non negatif
Chen dan Yao (2001) mengajukan suatu model baru persoalan bin covering satu-dimensi serta menyelesaikan model ini dengan menggabungkan metodemetode branch and bound dan metode generasi kolom. Namun untuk skala besar
metode penelitian ini perlu di modifikasi.
Bansal et al., (2006) mempergunakan pendekatan ”set covering” yang telah
dimodifikasi berdasarkan kombinasi pembulatan acak dari penyelesaian optimal
relaksasi program linear untuk menyelesaikan persoalan bin covering multi-dimensi.
Strategi branch and bound juga diajukan oleh Fukunaga dan Korf (2007) untuk

Universitas Sumatera Utara

9
mengatasi persoalan bin covering yang di implementasikan dalam multi-container
packing.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
LANDASAN TEORI

3.1 Program Linear Integer
Jika variabel tak diketahui diharuskan integer maka problema ini disebut
program integer atau program linier integer. Perbedaan dengan program linier
adalah dapat diselesaikan lebih efisien pada kasus yang tidak layak ataupun nilai optimal tidak tercapai. Program integer 0-1 adalah kasus yang khusus dari
program integer dimana variabel diharuskan nol atau satu. Masalah ini juga
diklasifikasikan sebagai masalah hard non polynomial.
IP adalah salah satu pemodelan untuk pencarian suatu solusi yang optimal
dari suatu permasalahan dan juga merupakan bentuk dari program linier dimana
asumsi divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena dalam kenyataannya tidak semua variabel keputusan dapat berubah berupa
bilangan pecahan. Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian dari variabel
keputusan harus berupa bilangan integer dan sebagian lainnya boleh berupa bilangan pecahan.
Terdapat tiga tipe dasar model pemrograman integer yaitu:
a. Model integer total(pure), semua variabel keputusan harus bernilai bilangan
bulat.
b. Model integer 0-1 (binery), semua variabel keputusan harus bernilai 0 atau
1.
c. Model integer campuran (mixed), dari semua variabel keputusan, hanya
beberapa (tidak semua) yang harus bernilai bilangan bulat.
Penyelesaian permasalahan bin covering dalam bentuk program linear integer tidak selalu mudah, dimana ada satu permasalahan yaitu dalam memodelkan
program linear integer harus mendaftarkan semua pola.
10
Universitas Sumatera Utara

11
3.2 Algoritma Eksak
Umumnya program linear integer diselesaikan dengan menggunakan algoritma eksak. Algoritma eksak yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah
bin covering di bagi menjadi dua bagian yaitu :
1. Metode branch and bound
Metode Branch and bound memakai strategi dimana daerah layak di bagi
menjadi himpunan bagian yang lebih kecil. Setiap himpunan bagian berurutan diperiksa sehingga penyelesaian yang layak menghasilkan nilai optimal
dari fungsi objektif yang diperoleh.
2. Metode generasi kolom
Generasi kolom telah menjadi teknik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan program linear skala besar. Konsep dasar dari pembangkit kolom
adalah menyelesaikan program linier dengan membangkitkan hanya himpunan bagian dari variabel yang dijamin merupakan solusi optimalitas atas
keseluruhan variabel.
Hasil dari algoritma eksak ini adalah sebuah solusi optimal. Artinya, bahwa tidak
terdapat penyelesaian lain dengan nilai objektifnya lebih baik.
3.3 Pemodelan Matematika
Karena ada lebih dari satu item dengan ukuran yang sama tanpa kehilangan persamaan umumnya, andaikan P adalah himpunan item dengan ukuran
yang berbeda di L. Misalkan P = {l1, l2, . . . , lm } dan l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥ lm . Jumlah
masing-masing ukuran dinotasikan sebagai b1 , b2, . . . , bm berturut-turut. Hal ini
juga dapat dimodelkan dengan cara graps G = (V, A) dengan V = {0, 1, 2, . . . , W }
dan A = (i, j)| 0 ≤ i ≤ j ≤ W dan j − i = lk , untuk setiap k ≤ m. Untuk nomor
arc adalah 0 (mW).
Selanjutnya dilakukan penambahan arc diantara
(i, i+1), i = C, C + 1, . . . , W - 1

Universitas Sumatera Utara

12
sesuai dengan fungsi kosong yang keluar dari bin. Pembuktiannya bahwa jika ada
feasible column memungkinkan ada path diantara titik 0 dan W . Panjangnya arc
merupakan path untuk menentukan ukuran item pada cover.
Misalkan pada gambar 1 menunjukkan graph yang terkait dengan sebuah
contoh bin dari kapasitas C = 5 dan ukuran item 3 dan 2

Gambar 3.1 Graph and a cutting pattern (Villerio., 1999)
Pada gambar bagian pertama item dengan ukuran 2 dimulai dari bin 1,
path antara 0 - 1 adalah loss sedangkan 1 - 5 terpenuhi. Sedangkan item ukuran
3 dimulai dari bin 0, path antara 3 - 5 adalah loss sedangkan 0 - 3 terpenuhi.
Untuk item ukuran 3 dimulai dari bin 1, path antara 1 - 4 terpenuhi sedangkan
0 - 1 dan 4 - 5 adalah loss. Pada gambar bagian kedua, yaitu penjelasan dari
gambar bagian pertama, path ditampilkan sesuai untuk ukuran item 2 dan 1 unit
loss. Arti dari loss disini adalah bagian yang belum terisi (kosong).
Gambar diatas telah digunakan untuk model knapsack sebagai masalah penentuan path terpanjang pada graph berarah. Pendekatan ini dapat dilihat pada

Universitas Sumatera Utara

13
Shapiro (1968). Jika solusi covering dari sebuah bin tunggal sesuai dengan flow
dari 1 unit antara titik 0 dan W , maka sebuah path yang membawa flow yang lebih
besar akan sesuai untuk menggunakan solusi cover yang sama pada banyaknya bin.
Dengan flow decomposition properties, setiap flow yang tidak negatif pada
grap diatas dapat digambarkan oleh path connecting lebih dari node 0 hingga
defisit node W . Permasalahan bin covering dapat dirumuskan sebagai masalah
untuk menentukan flow maksimum antara vertex 0 dan vertex W dengan kendala
tambahan diketahui bahwa setiap item akan digunakan paling banyak satu kali.
Dianggap pengambilan variabel biner xij yang menghubungkan dengan arc yang
diberikan diatas sesuai untuk nilai pada ukuran j − i ditempatkan dalam bin
pada jarak i unit dari permulaan bin. Variabel z dapat dinotasikan sebagai x(W 0).
berikut ini adalah pemodelannya.

max
z



−z jika j = 0






P
P

0 jika j = 1, 2, ..., W − 1

xjk =
xij −
kendala




(jk)∈A
(i,j)∈A


z jika j = W


BCF
P

x(k,k+pd ) ≤ bd
d = 1, 2,..., m



(k,k+pd )∈A





xij ≥ 0
∀(i, j) ∈ A





xij integer
∀(i, j) ∈ A

Matriks yang mendefinisikan masalah ini tidak memiliki bentuk umum, se-

tiap properti khusus menjamin bahwa solusi basic yang diperoleh adalah integer
dan mungkin perlu untuk menggunakan branch and bound setelah menyelesaikan
LP relaksasi. Dengan menggunakan variabel yang diberikan sejauh ini, memungkinkan banyak solusi alternatif dengan item yang persis sama pada masing-masing
bin. Dilakukan percobaan untuk mereduksikan kedua kedua simetri pada ruang
solusi dan ukuran model dengan mempertimbangkan hanya arc himpunan bagian
dari A.
Jika pencarian solusi dimana item yang diperintah dalam menurunkan nilai
jarak, berikut kriteria yang dapat digunakan untuk mengurangi jumlah arc yang
diperhitungkan :

Universitas Sumatera Utara

14
Kriteria 1. Sebuah arc dengan ukuran le dibuat oleh xk,k+le hanya dapat memiliki
bagian belakang pada node k itu juga bagian depan arc yang lain dengan ukuran
ld , xk−ld ,k untuk ld ≥ le untuk lainnya dari node 0, yaitu batas kiri pada bin.
Contoh (Chen dan Yao., 2001) :
Diberikan sebuah contoh dengan bin kapasitas C = 7 dan P = {6, 5, 3, 2, 1} B =
(b1 , b2, · · · , bm ) = (1, 1, 3, 1). Menerapkan kriteria diatas pada A:
A˜ = {(0,1), (0,2), (0,3), (0,5), (0,6), (1,2), (2,3), (2,4), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5),(4,6),
(5,6), (5,7), (5,8), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,11), (6,12), (7,8), (7,9), (8,9), (8,10),
(8,11), (9,10), (9,11), (9,12), (10,11), (10,12), (11,12)}

Suatu item tidak diperlukan untuk dimasukkan ke dalam bin yang sudah
berisi. Pada flow model, kriterianya dapat diberikan sebagai berikut:
Kriteria 2. Bagian belakang dari arc kurang dari C.
Sesuai dengan kriteria, A dimodifikasi:
A˜ = {(0,1), (0,2), (0,3), (0,5), (0,6), (1,2), (2,3), (2,4), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5),
(4,6), (5,6), (5,7), (5,8), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,11), (6,12)}

Secara umum, dibatasi oleh sejumlah item yang memiliki ukuran yang sama
n j ko
dalam covering, yakni tidak lebih dari min bd , lwd . Meskipun sulit untuk

terpenuhi seperti yang diinginkan. Berikut kriteria yang berguna untuk memenuhi
permintaan approksimasi.
Kriteria 3. Node k adalah bagian depan arc yang lain dengan ukuran ld (ld > le )
atau k = 0, hanya berlaku arc untuk ukuran le dimulai dari node k + ile , i =
0, 1, · · · , be −1 dan k + ile ≤ W
Oleh kriteria ini, A˜ berubah menjadi
A˜ = {(0,1), (0,2), (0,3), (0,5), (0,6), (2,3), (2,4), (3,4), (3,5), (4,5), (4,6), (5,6),
(5,7), (5,8), (6,7), (6,8), (6,9), (6,11)}

Universitas Sumatera Utara

15
Pada kondisi kriteria diatas sebuah arc tidak valid dimana jika ada kekurangan arc yang tidak dapat digunakan untuk konstruksi sebuah flow dengan busur.
Andaikan
(

Ti = max 0, C −

m
X

j=i+1

bj l j

)

, i = 1, ..., m − 1

Kriteria 4. Bagian depan setiap arc dimana jarak li tidak kurang dari Ti .
˜ Maka A˜ adalah sebagai
Sesudah diaplikasikan pada kriteria di atas untuk A.
berikut :
A˜ = {(0,2), (0,3), (0,5), (0,6), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7), (5,8), (6,7), (6,8), (6,9),
(6,11)}

Himpunan dari arc yang tersisa setelah di aplikasikan pada kriteria diatas
dinotasikan sebagai A˜ ⊂ A.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Algoritma Branch and Bound
Algoritma branch and bound merupakan pendekatan umum untuk menyelesaikan masalah kombinatorial tujuan tunggal. Metode branch and bound merupakan metode pencarian terstruktur dalam ruang solusi yang layak. Ruang solusi
di partisi secara berulang-ulang menjadi himpunan bagian yang lebih kecil, dan sebuah batas atas dari fungsi objektif dihiitung dalam setiap subset, subset-subset
dengan bound yang diluar solusi terbaik akan di keluarkan dari proses partisi
berikutnya.
Dalam permasalahan tujuan ganda, batas haruslah dikembangkan untuk setiap percabangan yang bisa diukur hanya bila didominasi oleh penyelesaian yang
layak, yaitu bila batas bawah dari semua tujuan sama dengan atau lebih besar
dari tujuan penyelesaian yang ada. Aspek penting lainnya dalam keberhasilan
implementasi branch and bound adalah rangkaian percabangan. Dalam masalah tujuan-tunggal, secara umum lebih menginginkan pengembangan satu penyelesaian parsial ketimbang yang lainnya berdasarkan pada batas yang dihitung.
Karena beberapa batas dihasilkan untuk setiap node dalam masalah multitujuan,
kaidah preferensi yang berbeda haruslah diajukan.
Permasalahan optimasi dipecahkan sebagai urutan masalah keputusan di
mana akan dicari ada atau tidaknya solusi integer dengan nilai objektif sama
dengan lebih kecil dari batas bawah yang di ketahui yang selalu akan menjadi
nilai integer, dinotasikan sebagai U.
Pada urutan untuk mendapatkan solusi eksak pada Bin Covering Flow (BCF)
algoritma branch and bound,

16
Universitas Sumatera Utara

17


max z



−z jika j = 0






P
P

0 jika j = 1, 2, ..., W − 1

xij −
xjk =
kendala




(i,j)∈A
(jk)∈A


z jika j = W


BCF
P

x(k,k+pd ) ≤ bd
d = 1, 2,..., m



(k,k+pd )∈A





xij ≥ 0
∀(i, j) ∈ A





xij integer
∀(i, j) ∈ A

setiap node pencarian depth-first akan di gunakan dengan kendala percabangan,
berikut adalah tipenya :
xij ≤ ⌊xij ⌋

(4.1)

xij ≥ ⌈xij ⌉

(4.2)

dimana, xlij variabel pecahan tunggal untuk solusi pada node yang sekarang, dengan demikian penyelesaian programming berikut digolongkan pada kendala kardinalitas yang timbul dari percabangan.
Branch and bound node u, RMP adalah sebagai berikut (Chen dan Yao.,
2001):

 max
z



−z, jika j = 0







P
P


0, jika j = 1, 2, ..., W − 1

x
xjk =
kendala
+
−
ij




˜
˜

(i,j)∈A
(j,k)∈A

 z, jika j = W







P
x(k,k+pd ) ≤ bd d = 1, 2,..., m
u
BCF
˜

(k,k+p
)∈
A
d



 l


x
xij

≤
∀l ∈ Gu
ij



 l



xij
x
∀l ∈ H u
≥

ij





xij ≥ 0
∀(i, j) ∈ A¯


Universitas Sumatera Utara

18
dimana, Gu dan H u merupakan index himpunan dari kendala percabangan pada
node u dari tipe (4.1) dan (4.2). RMP yang diformulasikan dalam bentuk arc flow.
Perhatikan bahwa pada setiap iterasi terdapat satu himpunan arc yang dimiliki
RMP, sementara sisanya bisa keluar hasil secara satu persatu.
Remark 1. Pada akar node
Gu = H u = ∅
Setelah kendala percabangan di tambahkan, masalah percabangan di optimalkan kembali, jika salah satu kasus berikut terjadi:

1. Solusinya adalah integer dengan nilai sama dengan U, yang berarti adalah
optimal
2. Solusinya adalah pecahan dengan nilai besar dari U, sehingga perlu diperkenalkan kendala percabangan yang baru
3. Solusinya memiliki nilai yang kurang dari U, node adalah terukur.

Manfaat pendekatan branch and bound adalah pasti tersedia batas atas
maupun batas bawah pada penyelesaian integer terbaik yang mungkin. Asumsikan fungsi tujuan minimum, batas atas di peroleh dari penyelesaian integer
layak terbaik saat ini, dan batas bawah di berikan dari penyelesaian terbaik integral parsial dari subproblem lainnya. Biasanya proses branch and bound berakhir
jika beda di antara dua batas ini berada pada toleransi yang ditetapkan.
Remark 2. Pada kenyataannya, jika didapat sebuah solusi layak dan nilai objektif
lebih besar atau sama dengan U, dapat dilakukan pencarian depth-first tanpa
menemukan solusi optimal dari node saat ini.
Batas atas pertama dari nilai objektif adalah U dan jika solusi integer tidak
ada dalam pencarian tree, batas atas harus dikurangi dengan satu unit, yakni U
= U-1, dan prosedur harus di ulangi. Jadi, solusi pertama adalah optimal.

Universitas Sumatera Utara

19
4.2 Generasi Kolom
Generasi kolom telah menjadi teknik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan program linier skala besar. Konsep dasar dari generasi kolom adalah
menyelesaikan program linier dengan membangkitkan hanya himpunan bagian
dari variabel yang dijamin merupakan solusi optimalitas atas keseluruhan variabel.
Untuk model permasalahan algoritma eksak untuk penyelesaian bin covering akan digunakan generasi kolom untuk menyelesaikan relaksasi program linier. Selanjutnya akan digunakan RMP untuk menandakan versi terbatas dari
relaksasi program linier yang mengandung hanya himpunan bagian dari variabel.
Permasalahan optimisasi akan diselesaikan dengan problema pricing untuk mengidentifikasi kolom yang akan ditambahkan dalam RMP. Dari teori program linier,
diketahui bahwa biaya reduksi untuk setiap variabel pada solusi optimal adalah
tak negatif untuk minimasi.
Generasi kolom menyediakan penguraian dari sebuah permasalahan menjadi
master dan sub problem. Penguraian ini memungkinkan adanya penafsiran dalam
pengaturan kontektual untuk penambahan beberapa batasan penting, terdapat
beberapa kesulitan dalam penggunaan teknik column generation untuk LP dalam
solusi IP, yaitu :
1. Integer programming konvensional bercabang pada variabel yang mungkin
tidak efektif karena memperbaiki variabel dapat merusak struktur princing
problem. Menyelesaikan LP dan subproblem menjadi optimal mungkin menjadi tidak efisien, dimana beberapa aturan berbeda akan digunakan untuk
menangani tree branch and price.
2. Linear programming relaxation dari master problem di selesaikan dengan
generasi kolom, mungkin tidak memiliki solusi optimal integral, dan menggunakan prosedur standar branch and bound untuk master problem pada
kolom yang ada, tidak seperti halnya mencari solusi optimal, atau yang
baik atau layak terhadap permasalahan sebenarnya.

Universitas Sumatera Utara

20
Masalah krusial pada pembahasan prosedur branch and bound adalah bagaimana menyelesaikan BCF u lebih efektif pada node u pada percabangan tree
(branching tree). Dalam Vanderbeck et al.,(1996) generasi kolom dapat digunakan
sebagai pertimbangan rangkaian pemrograman dengan subset variabel untuk meningkatkan subset variabel. Dapat dirumuskan sebagai berikut :

max
z




−z, jika j = 0







P
P


0, jika j ∈ J˜

xij −
xjk =
kendala +




˜
˜

(i,j)∈A
(j,k)∈A

 z, jika j = W







P
u
x(k,k+pd ) ≤ bd
d = 1, 2,..., m
SBCF
˜

(k,k+p
)∈
A
d



 



xij ≤ xlij
∀l ∈ Gu ∩ A˜




 


xij ≥ xlij

∀l ∈ H u ∩ A˜






xij ≥ 0
∀(i, j) ∈ A¯


Dimana A˜ masih berlaku variabel himpunan yang telah dipertimbangkan. J˜
adalah himpunan kardinat pada vertex yang dianggap bagian subproblem. Seij
W
tiap xij ∈ A˜ dapat disamakan untuk kolom Aij
dengan Aij
i ∈ R
i = −1 ; Ai = 1
dan 0 untuk komponen lain.
Setelah menambahkan kendala percabangan dan mengoptimalkan kembali
pemrograman SBCF u diduga solusi optimal sangat kurang dari U. Andaikan π =
(u, v) menjadi vektor variabel ganda yang berhubungan dengan konservasi flow
dan jumlah kendala item dan µ, v vektor dari variabel ganda yang berhubungan
dengan kendala percabangan dari tipe (4.1) dan (4.2) berturut turut
Dari teori ganda dapat meningkatkan hasil variabel xij pada node u adalah
C˜ ij = 0 − (ui + uj + vd ) −

P

l∈Gu
(i,j)

µl +

P

vl

l∈H u
(i,j)

Setiap solusi dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear non negatif pada path,
oleh karena itu dapat menghasilkan arc tunggal, himpunan arc dihubungkan dengan path tunggal dapat digenerasikan dimulai pada node 0 dan berakhir pada

Universitas Sumatera Utara

21
node W , dan P semua himpunan path valid. Kolom Aij merupakan atraktif jika
dinaikkan hasil c˜ij lebih besar dari nol. Untuk menentukan path yang paling attraktif, subproblem adalah penyelesaian yang sesuai untuk path terpanjang pada
acyclic digraph dengan hasil arc yang tergantung pada nilai variabel ganda. Pemrograman itu biasanya nilai yang keluar path atraktif, memiliki sifat integralitas
dan dapat dilihat seperti berikut ini :

P
max
+
C¯ ij xij



¯
(i,j)∈A







−1, jika j = 0








0, jika j = 1, 2, ..., W − 1
 kendala + P x − P x =
ij
jk
u

ABCF
¯
¯

(i,j)∈A
(j,k)∈A
 1, jika j = W








xij ≥ 0
∀(i, j) ∈ A¯






xij integer
∀(i, j) ∈ A¯


Karena semua arc pada SBCF u ada yang tidak positif hasilnya direduksi,

berikut kondisi yang digunakan.
Proposisi 4.1. Terdapat sebuah path atraktif seandainya sebuah arc dengan
hasil positif dinaikkan pada keluaran dari RMP.
Proposisi 4.2. Nilai yang direduksi pada path p adalah sama dengan :

C¯ p = 1 −

X

X

vd −

l∈Gu
(i,j)

(i,j)∈p

µl +

X

vl

(4.3)

l∈H u
(i,j)

Proof. Nilai yang direduksi dari path p adalah sama dengan jumlah arc
C¯ p =

P

(i,j)∈p

C¯ ij = −

P

(−ui + uj + vd ) −

(i,j)∈p

P

l∈Gu
(i,j)

µl +

P

vl

l∈Gu
(i,j)

flow penyimpanan variabel ganda yang keluar diabaikan untuk semua node, keP
vd −
cuali untuk dua terminal node. Oleh karena itu C¯ p = −(−u0 + uw ) −
(i,j)∈p
P
P
µl +
vl . Maka (−u0 + uw ) sesuai untuk pengurangan biaya untuk nilai

l∈Gu
(i,j)

l∈H u
(i,j)

−1.

Universitas Sumatera Utara

22
Corollary 1. Himpunan arc sesuai untuk path p attraktif jika :

X

vd +

(i,j)∈p

X

l∈Gu
(i,j)

µl −

X

vl < 1

(4.4)

l∈H u
(i,j)

Remark 3. Sebagai aturan permasalahan percabangan SBCF u dan subproblem
ABCF u harus kompatibel. Diberikan node u pada branch and bound tree, terdapat himpunan kendala percabangan yang diterapkan pada RMP. Untuk memastikan kecocokan, variabel di masukkan pada masalah percabangan SBCF u menggunakan generasi kolom tidak harus membuat sebuah point yang layak untuk ruang solusi pada master problem ini bertentangan dengan kendala percabangan
yang diterapkan sebelumnya. Oleh karena itu, kolom path dijelaskan pada RMP
tidak perlu dimasukkan secara bebas sebagai variabel non negatif.
Kriteria 5. Variabel (arc) yang sudah di set untuk nol pada SBCF u dapat diregenerasikan oleh sub-problem ABCF u sabagai bagian dari path atraktif. Untuk
menghindari regenerasi, arc dapat dihapus dari subproblem ABCF u untuk dapat
diterapkan sebagai contoh dengan menerapkan biaya sampai −∞
Kriteria 6. Andaikan Ad = {(i, j)|j − i = ld } , d = 1, 2, ..., m, merupakan himpunan arc yang valid untuk urutan ld . Misalkan terdapat himpunan Aˆd ⊂ Ad dari
arc sedemikian rupa sehingga jumlah dari batas bawah diterapkan pada jumlah
P
xij = bd dimana Hdu ⊂ H u
sampai dengan permintaan yang dibutuhkan, yaitu
l∈Hdu

adalah himpunan kendala percabangan diterapkan pada arc yang panjang sampai
Aˆd . Tidak ada solusi optimal
. dengan kelebihan produksi. Oleh karena itu, semua
arc yang tersisa (i, j) ∈ Ad Aˆd dapat di hapus untuk subproblem ABCF u.
Kriteria 6 diatas equivalent dengan observasi 8 dalam Vanderbeck et al.

(1996).
Proposisi 4.3. Jika nilai objektif SBCF u kurang dari U dan tidak ada path
atraktif proses generasi mungkin ditinggalkan, dan sesuai branch and bound node
u terukur, meskipun masih terdapat atraktif arc dengan menurunkan biaya positif
yang keluar dari RMP.

Universitas Sumatera Utara

23
Itu diketahui dengan adanya kurang optimal point ekstrim yang memiliki
basis yang optimal dan basis yang masih memiliki variabel atraktif. Intuitif, jika
mengabaikan atraktif arc cadangan dari turunan pivot sebelum menyimpulkan
bahwa point extreme adalah optimal.
4.3 Algoritma Bin Covering Flow Exact
Algoritma Bin Covering Flow Exact (BCFE) adalah sebuah algoritma dimana akan dibahas bagaimana mendapatkan model arc flow yang baru dengan
cara menggunakan prosedure algoritma branch and bound dan column generation.
Berikut langkah-langkah untuk menyelesaikan algoritma BCFE (Chen dan Yao.
2001) :
Langkah 1. Berdasarkan kriteria 1-4 dapat dibuat himpunan yang valid pada
¯ Seandainya Gu = H u = ∅. u=1, k(u)=0
arc A.
Langkah 2. Memilih Subset A˜ ⊂ A¯
Langkah 3. Menyelesaikan program SBCF u dan di peroleh solusi x˜ dan
nilai objektif z˜u
Langkah 4. Jika z˜u ≥ U,
˜
Maka jika xuij ∈ Z 1 Untuk setiap Aij ∈ A.
Maka x˜u adalah solusi optimal, stop dan keluar solusinya.
Jika ada yang lain x˜uij merupakan pecahan, andaikan
d = 2k(u) +2(u − 1) + 1.
k(d) = k(u) + 1
xuij }
Gd = Gu ∪{¯
Hd = Hu
d = 2k +2(u − 1) + 1.

Universitas Sumatera Utara

24
Gd = Gu
xuij }
H d = H u ∪{¯
Andaikan Gu = H u = ∅ dan pilihan node p terpenuhi oleh Gp atau H p 6= ∅.
Andaikan u = p lanjut kelangkah 3. Kalau tidak lanjut ke langkah 5
Langkah 5. ABCF u diselesaikan dan diperoleh solusi x˜a, yang sesuai untuk
path dari 0 ke vertex W . jika nilai objektif lebih besar dari 0, maka andaikan


A˜ = A˜ ∪ x˜a : x˜a 6= 0 kembali ke langkah 3.
ij

ij

Langkah 6. Misalkan Gu = H u = ∅ dan jika terdapat sebuah node p ter-

penuhi Gp atau H p 6= ∅, misalkan u = p kembali kelangkah 2.
Langkah 7. Andaikan U=U-1, kembali ke langkah 1.
u
Menurut
 n  penelitian Kojima et al. (1989), SBCF dapat diselesaikan dalam
P 
 3  li 
) waktu. Dari kalkulasi yang simpel, dapat dilihat bahwa algoritma
0(A¯  i=1
W


 
¯
BCFE akan diambil (U − z ∗ ) 2|A|+1 −2 + A¯ iterasi, dan bahwa setiap iterasi
 n 
P 
 3  i=1 li 
akan diambil tidak kurang dari 0(A¯  W ) waktu. Sebenarnya hampir se-

mua waktu komputasi dihabiskan dalam memecahkan mixed integer subproblem
ABCF u. Ternyata algoritma diatas berakhir pada langkah terbatas.
4.4 Heuristik Pencarian Sekitar Layak

Pada kenyataannya pendekatan branch and bound dapat digunakan untuk
banyak kelas pada masalah skala besar seperti sebuah prosedur yang dapat menjadi penghalang berat dalam hal total waktu komputasi. Setelah diambil pendekatan untuk menguji pengurangan masalah dimana sebagian besar variabel
integer tetap konstan dan hanya sebagian kecil diperbolehkan untuk bervariasi
dalam langkah-langkah diskrit.
Hal ini dapat di implementasikan dalam struktur dari sebuah program dengan memperhatikan semua variabel integer pada batas solusi yang selanjutnya

Universitas Sumatera Utara

25
sebagai non basic dan penyelesaian masalah berkurang dengan mempertahankan
non basic.
Berikut adalah langkah-langkah prosedurnya :
Langkah 1. Penyelesaian masalah mengabaikan syarat integralitas
Langkah 2. Mendapatkan (sub-optimal) integer solusi layak, menggunakan
pembulatan heuristic dari solusi berkelanjutan
Langkah 3. Membagi himpunan l pada variabel integer kedalam himpunan
l1 pada batas yang non basic pada solusi selanjutnya dan pada himpunan l2.
l = l1 + l2
Langkah 4. Melakukan pencarian pada fungsi objektif, mempertahankan variabel pada l1 non basic dan mungkin hanya perubahan diskret pada nilai variabel
l2
Langkah 5. Solusi yang didapat pada langkah 4, di uji untuk mengurangi
biaya pada variabel l1
Jika salah satu harus dikeluarkan dari aturan, maka tambahkan untuk himpunan l2 dan ulangi dari langkah 4, jikalau tidak berhenti.
Ringkasan diatas memberikan kerangka kerja untuk pengembangan strategi
khusus untuk masalah kelas tertentu. Contohnya, pembulatan heuristik pada
langkah kedua dapat disesuaikan dengan sifat dasar dari kendala, dan langkah 5
dapat melibatkan dengan hanya menambahkan satu variabel pada suatu waktu
kehimpunan l2
Pada tingkat yang mudah, implementasi prosedur memerlukan pilihan beberapa tingkat toleransi pada batasan dari variabel dan itu juga tidak mungkin
integer. Pencarian pada langkah 4 sangat di pengaruhi oleh pertimbangan yang
demikian. Sebagai langkah diskrit dalam variabel integer super basic hanya dapat terjadi jika semua basic integer tetap berada dalam toleransi yang ditentukan
kelayakan integer.

Universitas Sumatera Utara

26
Secara umum, kecuali struktur kendala mempertahankan integer layak pada
variabel integer basic untuk perubahan diskrit dalam super basic integer dalam
himpunan l2 harus dibuat super basic. Ini selalu dapat dicapai karena diasumsikan himpunan lengkap dari variabel berkurang (slack variabel) termasuk dalam
masalah

Universitas Sumatera Utara

BAB 5
KESIMPULAN

Dari hasil penelitian dapat disimpulkan :
1. Metode branch and bound merupakan metode pencarian terstruktur dalam
ruang solusi yang layak. Ruang solusi di partisi secara berulang-ulang menjadi himpunan bagian yang lebih kecil, dan sebuah batas atas dari fungsi
objektif dihitung dalam setiap subset. Subset-subset dengan bound yang
diluar solusi terbaik akan di keluarkan dari proses partisi berikutnya.
2. Metode generasi kolom digunakan untuk menyelesaikan program linear relaksasi.
3. Metode heuristik pencarian sekitar layak dapat menyelesaikan permasalahan
bin covering. Metode ini mengambil pendekatan branch and bound untuk
banyak kelas pada skala besar seperti sebuah prosedur yang dapat menjadi
penghalang berat dalam hal total waktu komputasi.
4. Ringkasan pada heuristik pencarian sekitar layak memberikan kerangka kerja untuk pengembangan strategi khusus untuk masalah kelas tertentu.

27
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Assmann, S. F. Johnson, D.S. Kleitman, D.J. dkk. (1984). On a dual version of
the one-dimensional Bin packing problem. journal Of Algorithms 5: 502-525.
Bansal, Nikhil. Caprara, Alberto. Sviridenko, Maxim. (2009). A New Approximation Method for Set Covering Problems, with Applications to Multidimensional Bin Packing. SIAM Journal on Computing 39(4) : 1256-1278
Chan, L. Simehi-Levi, D. Bramel, J. (1998). Worst case analyses, linear programming and the bin packing problem. Mathematical Programming, 83:213-217
Chen, Feng. and Yao, Enyu. (2001). Exact algorithm for bin covering. Jurnal of
Zhejiang University, 3:241-246
Clausen, Jens. (1999). Branch and bound algorithm prinsiples and examples. Departemen of Computer Sains, University Of Copenhagen
Desrochers, M., Desrosiers, J., Solomon, M., (1992). A new optimization algorithm for the vehicle routing problem with time windows. Operation Research,
40:342
Desrosiers, J. F. Soumis, M. Desrochers. (1984). Routing with time windows bycolumn generation. Networks 14, 545-565.
Fukunaga, Alex S. and Korf, Richard E. (2007). Bin completion algorithms for multicontainer packing, knapsack, and covering problems. Journal of Artificial
Intelligence Research 28, 393-429
Fukunaga, A. (2005). Bin-Completion Algorithms for One Dimensional, Multicontainer Packing Problems. Ph.D. thesis, UCLA.
Gilmore, P.C. dan Gomory, R.E. (1961). A linear programming approach to the
cutting stock problem. Operations Research 9, 849-859
Gilmore, P.C. dan Gomory, R.E. (1963). A linear programming approach to the
cutting stock problem Part II.. Operations Research 11, 863-888
Hooffman, K.L. Padberg, M. (1993). Solving airline crew scheduling problems by
branch and cut. Management Sciens, 39:657-682
Kojima, M. Mizuno, S. Yoshise, A. (1989). A primal dual interior point method
for linear programming, In: N. Meggido (ed.), Progress in Mathematical Programming. Spinger-Verlag, New York, p. 29 47
Labbˆ
e, M. Laporte, G. Martello, S. (1995). An exact algorithm for the dual bin
packing problem. Operation Research Letter, 17 : 9 -18.
Mawengkang, H. and Murtagh, B.A., (1986) . Solving nonlinear integer program
with large-scale optimizations software. Annals of Operations Research 5 :
425 - 437
Nemhauser, G. dan Park, S. (1991). A polyhedral approachto edge coloring, Operation Research Letter 10, 315 322.
28
Universitas Sumatera Utara

29
Shapiro, J.F. (1968). Dynamic programming algorithm for the integer programming problem I: The integer programming problem viewed as a knapsack
type problem, operations research 16, 103-121.
Srisuannapa, Chanin. Charnsethikul, Peerayuth. (2007). An exact algorithm for
the unbounded knapsack problem with minimizing maximum processing
time. Jurnal of Computer Science 3,3:138-143
Taha, A. Hamdy. (2003). Operations Research: An Introduction, Seventh Edition,
Prent