Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan
PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE
GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA
PEMANENAN KONSTAN
HASANNUDIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perilaku Dinamis
Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda
Pemanenan Konstan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Hasannudin
NIM G54110004
ABSTRAK
HASANNUDIN. Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang
Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan. Dibimbing oleh ALI
KUSNANTO dan JAHARUDDIN.
Terdapat beberapa model matematis untuk memodelkan peristiwa mangsapemangsa. Salah satu model yang cukup banyak penerapannya adalah model
mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum dengan mempertimbangkan waktu
tunda dan sebuah parameter pemanenan konstan. Analisis kestabilan dilakukan
terhadap model tanpa dan dengan waktu tunda. Untuk model tanpa waktu tunda
diperoleh titik tetap yang salah satunya bersifat spiral stabil, sedangkan titik tetap
pada model dengan waktu tunda terdapat titik tetap yang bersifat spiral stabil/tidak
stabil. Untuk model dengan waktu tunda, semakin besar nilai waktu tunda
mengakibatkan munculnya limit cycle, dan terjadi bifurkasi Hopf superkritis saat
kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak
stabil.
Kata kunci: bifurkasi Hopf superkritis, mangsa-pemangsa tipe Gause yang
diperumum, waktu tunda
ABSTRACT
HASANNUDIN. Dynamic Behavior of Generalized Gause Type Prey-Predator
Model with a Constant Time Delay Harvesting. Supervised by ALI KUSNANTO
and JAHARUDDIN.
There are several mathematical models to describe prey-predator events.
One model that has many applications is the generalized Gause type prey-predator
model by considering a time delay and a constant harvesting parameter in both
prey-predator populations. We performed stability analysis to both models
without time delay and with time delay. For the model without time delay, we
obtained three equilibrium points with one is spiral stable, while model with time
delay possesses equilibrium points which can be either spiral stable or spiral
unstable. In addition to the model with time delay, when the value of time delay
increases, this causes the appearance of a limit-cycle and supercritical Hopf
bifurcation occurs when the equilibrium stability change from spiral stable to
spiral unstable.
Keywords: generalized Gause type prey-predator model, supercritical Hopf
bifurcation, time delay
PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE
GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA
PEMANENAN KONSTAN
HASANNUDIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang
Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan
Nama
: Hasannudin
NIM
: G54110004
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing I
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga
karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Perilaku
Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu
Tunda Pemanenan Konstan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan
beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya,
2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman,
3 keluarga tercinta: Ibunda Riesa Pri Handayani dan Ayahanda Cecep Supriyanto
yang selalu memberikan doa, motivasi dan kasih sayang tiada henti,
4 keluarga besar Bapak A Soehartoyo dan keluarga besar Bapak Djoko (alm),
5 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku dosen
pembimbing, terima kasih atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya
selama membimbing menulis, serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen
penguji,
6 staf tata usaha Departemen Matematika IPB,
7 Widyawati atas kasih sayang, doa, semangat dan kebersamaanya selama ini,
8 keluarga Wisma Hijau tercinta: Ahmad, Ibrahim, Noorul Amin, Prahditya,
Yoppy, Firman, Arman, dan keluarga C1 Lorong 1 yang telah memberikan
motivasi, bantuan, keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis,
9 sahabat-sahabat penulis: Parara, Ikhwan A, Adam, Deva, Dedi H, Dedy S,
Dwinanda, Rachman, Arli, Firi, Arpi, Fakhri, Dinar, Rizky, Hendar, Imam,
Ariyanto P, dan Fiki terimakasih atas semangat, motivasi, dan doanya,
10 teman-teman satu bimbingan: Mutammimul Ula dan Anif Lailil A yang
senantiasa saling mengingatkan dan memberikan motivasi dalam penyusunan
karya ilmiah ini,
11 teman-teman satu perwalian: Intan Fitria dan Vina A yang senantiasa saling
mengingatkan,
12 teman-teman seperjuangan: Alfi, Sabila, Putri, Dinita, Riefdah, Sifa, Riski,
Rika, Andini, Lidya, Dyah Ayu, Siti, Dini, Deby, Henny, Disti, Giovanni dan
Intan Mugi terima kasih atas motivasi dan keceriaannya selama ini,
13 teman-teman asisten praktikum: Resty, Ariyanto H, Atikah, dan Restu A terima
kasih atas bantuannya dan kebersamaannya,
14 teman-teman mahasiswa Matematika 48, Matematika 49, BPH Gumatika
2012/2013 dan Kestari Gumatika 2013/2014 terimakasih atas doa, semangat,
serta kebersamaannya selama ini,
15 teman-teman satu lulusan: M Reza, Ichsan Rayyan, Nurul M, Annisa N, Ria N,
dan Lingga Detia terima kasih atas kebersamaannya,
16 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini, terima
kasih.
Bogor, Mei 2015
Hasannudin
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pemodelan
6
Pembahasan
7
Model 1
7
Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
7
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
8
Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis
10
Bifurkasi Hopf
12
Model 2
13
Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
13
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
14
Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis
16
Bifurkasi Hopf
17
Simulasi Numerik
18
SIMPULAN DAN SARAN
26
Simpulan
26
Saran
26
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
28
RIWAYAT HIDUP
50
DAFTAR TABEL
1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat
2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama
3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua
19
20
21
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Bidang fase saat
Bidang solusi mangsa saat
Bidang solusi pemangsa saat
Bidang fase model pertama saat
Bidang solusi mangsa model pertama saat
Bidang solusi pemangsa model pertama saat
Bidang fase model kedua saat
Bidang solusi mangsa model kedua saat
Bidang solusi pemangsa model kedua saat
Bidang fase model pertama saat
Bidang solusi mangsa model pertama saat
Bidang solusi pemangsa model pertama saat
Bidang fase model pertama saat
Bidang solusi mangsa model pertama saat
Bidang solusi pemangsa model pertama saat
Bidang fase model kedua saat
Bidang solusi mangsa model kedua saat
Bidang solusi pemangsa model kedua saat
Bidang fase model kedua saat
Bidang solusi mangsa model kedua saat
Bidang solusi pemangsa model kedua saat
19
20
20
21
21
21
22
22
22
22
23
23
23
23
23
24
24
24
25
25
25
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama
2 Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi
3 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda
model pertama
4 Penentuan tundaan waktu kritis model pertama
5 Penjabaran fungsi sign model pertama
6 Penjabaran kondisi transversal model pertama
7 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua
8 Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi
9 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda
model kedua
10 Penentuan tundaan waktu kritis model kedua
11 Penjabaran fungsi sign model kedua
28
29
32
34
35
37
38
39
42
44
45
12 Penjabaran kondisi transversal model kedua
13 Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1)
14 Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda
(Gambar 2)
15 Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda
(Gambar 3)
46
47
48
49
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada kehidupan nyata, setiap makhluk hidup melakukan proses
interaksi dengan makhluk hidup lainnya. Dalam konteks memenuhi
kebutuhan makanan, proses interaksi tersebut memunculkan proses rantai
makanan yaitu peristiwa makan dan dimakan untuk mempertahankan
jumlah populasi. Interaksi yang dilakukan oleh spesies pemangsa (predator)
memengaruhi jumlah dari spesies mangsa (prey). Peristiwa rantai makanan
atau makan dan dimakan menjadi latar belakang bidang pemodelan
matematika untuk meniru perilaku dinamika sistem mangsa-pemangsa
tersebut agar diperoleh jumlah mangsa-pemangsa dipertahankan seimbang.
Alfred Lotka pada tahun 1925 dan Vito Volterra pada tahun 1927
mengembangkan sepasang persamaan diferensial yang menggambarkan
fenomena mangsa-pemangsa untuk pertama kali dikenal sebagai model
Lotka-Volterra (Bacaer 2011). Kemudian Holling pada tahun 1959
memperkenalkan fungsi respons. Dalam hal ini fungsi respons dibagi atas
tiga macam, yaitu fungsi respons tipe I, tipe II, dan tipe III. Fungsi respons
tipe I terjadi pada pemangsa yang memiliki karakteristik pasif atau lebih
suka menunggu mangsanya, sebagai contoh pemangsanya adalah hewan
penyaring yaitu sponge (Garrott et al. 2009). Fungsi respons tipe II terjadi
pada pemangsa yang berkarakteristik aktif dalam mencari mangsa sebagai
contoh pemangsanya adalah serigala (Skalski 2001). Fungsi respons tipe III
terjadi pada pemangsa yang mencari populasi mangsa yang lain ketika
populasi mangsa yang dimakan mulai berkurang atau pemangsa beralih
mencari mangsa lain. Sebagai contoh pada tikus yang bertindak sebagai
pemangsa dengan kepompong ngengat gipsi sebagai mangsa.
Pada suatu sistem, perubahan populasi tidak selalu monoton. Hal ini
disebabkan makhluk hidup tidak dapat melahirkan terus menerus dan ada
beberapa makhluk hidup belum mampu berkembang biak. Penyebabnya
yaitu karena fasilitas yang terbatas. Gejala ini merupakan suatu fenomena
dimana suatu makhluk hidup memerlukan tenggang atau tundaan waktu
(time delay). Salah satu bentuk model mangsa-pemangsa yaitu model
mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum (generalized Gause-type).
Kemudian Beretta dan Kuang (1996) serta Ruan (2009) menambahkan
komponen perlambatan agar model mangsa-pemangsa lebih realistis.
Asumsi dasar dari model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum
yaitu terdapat pengaruh interaksi antara mangsa dengan pemangsa dan
terdapat komponen perlambatan yang didefinisikan bahwa jumlah populasi
makhluk hidup saat ini bergantung pada jumlah populasi makhluk hidup
pada waktu terdahulu atau waktu yang dibutuhkan makhluk hidup untuk
mempersiapkan tahap tertentu.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang perilaku dinamis terhadap
model mangsa pemangsa dengan perlambatan. Model yang dibahas adalah
model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum. Dalam setiap model
akan ditambahkan pemanenan yang konstan.
2
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
membangun model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan waktu
tunda serta pemanenan konstan yang dituliskan oleh Martin dan
Ruan (2001),
menganalisis kestabilan model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan
waktu tunda serta pemanenan konstan,
memelajari pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem, dan
memelajari keberadaan bifurkasi Hopf pada model mangsapemangsa.
1.
2.
3.
4.
LANDASAN TEORI
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai:
̇
dengan
[
(1)
] dan
[
].
Jika
fungsi tak linear terhadap
, maka sistem persamaan
diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear dan jika
fungsi linear, maka sistem persamaan diferensial (1) disebut
persamaan diferensial linear (Braun 1983). Jika sistem persamaan
diferensial (1) tidak memuat variabel waktu secara eksplisit, maka disebut
sebagai persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis:
Titik
̇
.
disebut titik tetap atau titik kritis atau titik keseimbangan, jika
.
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial dengan dua
persamaan dan dua peubah seperti berikut:
̇
Andai
̇
adalah titik tetap dari persamaan (2), maka
.
(2)
dan
3
Misalkan
dan
̇
, maka didapatkan:
̇
.
Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi , maka didapatkan
sistem sebagai berikut:
̇
dengan
suku sebelumnya.
memiliki nilai yang cukup kecil dibandingkan suku-
Dengan cara yang sama diperoleh:
̇
̇
Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi , maka didapatkan
sistem sebagai berikut:
̇
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan:
̇
Matriks A yaitu:
̇
[
]
[
]
disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap
, maka didapatkan persamaan linear:
̇
̇
[
]
. Karena
Bentuk (3) disebut pelinearan dari sistem persamaan (2) (Strogatz 1994).
(3)
4
Beberapa tundaan dapat digabungkan
persamaan diferensial tundaan sebagai berikut
(
dengan
menggunakan
)
dengan
sebagai parameter waktu tunda (Murray 2002). Persamaan
diferensial tundaan atau delayed differential equation adalah suatu
persamaan diferensial dengan turunan dari fungsi yang tidak diketahui untuk
beberapa waktu tunda yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai fungsi
pada waktu sebelumnya.
Misal A adalah sebuah matriks berukuran n x n, maka sebuah vektor
tak nol di
dinamakan vektor eigen dari A, jika
adalah kelipatan
skalar dari yaitu:
untuk suatu skalar . Skalar ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan
dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka
dituliskan kembali
sebagai:
atau
(4)
dengan merupakan matriks identitas. Persamaan (4) akan memunyai
penyelesaian tak nol jika dan hanya jika:
(5)
Persamaan (5) dinamakan persamaan karakteristik
(Anton 1987).
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial memiliki bentuk seperti
berikut:
̇
̇
sehingga matriks koefisien dari sistem persamaan diferensial di atas ialah:
Berdasarkan persamaan (5), maka persamaan karakteristiknya menjadi:
5
atau
dengan:
dan
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A adalah:
√
Nilai eigen
akan memenuhi kondisi:
1. Jika
, maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda
sehingga titik tetap merupakan titik sadel.
2. Jika
, maka nilai eigen dapat berupa bilangan real dengan
tanda yang sama (titik tetap berupa simpul) atau bilangan kompleks
conjugate (titik tetap berupa spiral atau center). Jika
,
maka berupa simpul dan jika
, maka berupa spiral.
Persamaan parabola
adalah garis batas antara simpul
dan spiral; star nodes dan degenerate nodes berada pada parabola ini.
3. Ketika
, kedua nilai eigen memiliki tanda yang negatif,
sehingga titik tetap stabil. Spiral dan simpul tak stabil memiliki
. Titik stabil netral atau center berada pada garis
, dimana
nilai eigen adalah imajiner murni.
4. Jika
, setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol,
maka titik tetap merupakan titik tak terisolasi (Strogatz 1994).
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif
dari suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari
parameter sistem dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi.
Bifurkasi adalah perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik
kestabilan) dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika terjadinya
bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Salah satu jenis bifurkasi yaitu Bifurkasi
Hopf.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dalam
suatu sistem dinamis. Limit cycle sendiri merupakan orbit tertutup yang
terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau
menjauhi siklus limit. Hal ini terjadi pada saat kesetimbangan mengalami
perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil atau
sebaliknya. Titik bifurkasi terjadi pada saat sistem melalui sepasang nilai
eigen murni imajiner. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang
mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Bifurkasi Hopf
bersifat superkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari
spiral stabil menjadi spiral tak stabil, sedangkan bifurkasi Hopf bersifat
subkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral tak
stabil menjadi spiral stabil (Strogatz 1994).
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan
Dalam karya ilmiah ini akan dibangun dua model mangsa-pemangsa,
yaitu model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 (model
pertama) yang merupakan model mangsa-pemangsa dengan pemanenan
mangsa dan waktu tunda pada mangsa, dan model mangsa-pemangsa tipe
Gause yang diperumum 2 (model kedua) yang merupakan model mangsapemangsa dengan pemanenan mangsa dan waktu tunda pada pemangsa
(Martin dan Ruan 2001).
Berikut ini adalah uraian dari kedua model mangsa-pemangsa tersebut.
Model 1 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1
Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa,
pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada tingkat
pertumbuhan mangsa yang berpengaruh pada laju perubahan mangsa
terhadap waktu. Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 1:
[ (
di mana
[
, dan konstanta
)
(
(
)
)]
(6)
]
, dengan
: banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi),
: banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi),
: faktor pengali (tanpa dimensi),
: banyaknya populasi mangsa minimum yang dibutuhkan pemangsa
agar stabil (populasi),
: tingkat pertumbuhan spesifik mangsa berupa suatu fungsi
sembarang (1/waktu),
: koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu
fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)),
: respons fungsional dengan
berupa suatu fungsi
sembarang (1/waktu),
: waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan
: upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu).
7
Model 2 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 2
Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa,
pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada respons
fungsional yang berpengaruh pada laju perubahan pemangsa terhadap waktu.
Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 2:
[ (
di mana
)
(
[
)]
(
, dan konstanta
, dengan
(7)
)]
: banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi),
: banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi),
: laju mengonsumsi mangsa oleh pemangsa (tanpa dimensi),
: laju kematian pemangsa (1/waktu),
: tingkat pertumbuhan spesifik mangsa (1/waktu),
: koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu
fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)),
: respons fungsional dengan
berupa suatu fungsi
sembarang (1/waktu),
: waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan
: upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu).
Pada saat
parameter
, persamaan (6) ekivalen dengan persamaan (7) di mana nilai
sama dengan dan
sama dengan .
Pembahasan
Model 1
Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
Titik tetap didapat dari
(6) diperoleh
[
dan
[
]
Karena
dan
terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu
dengan
dan nilai
, sehingga dari persamaan
]
diperoleh dari penyelesaian persamaan
, maka hanya
dan
8
Agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai
positif, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
Kemudian, agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai
positif, maka batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
(bukti lampiran 1)
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada
persamaan (6) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di
titik tetap . Untuk itu dimisalkan
dan
Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (6) dan
disederhanakan, maka
[
]
(8)
(bukti lampiran 2)
Analisis kestabilan di titik tetap
pada model (8) ekivalen dengan
analisis kestabilan dari titik tetap pada model persamaan (6) setelah
dilinearisasi. Berikut ini akan ditentukan persamaan karakteristik untuk
model persamaan (8). Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada
persamaan (8) diturunkan terhadap
dan
, maka diperoleh
[
]
9
Jika penyelesaian
titik tetap
berbentuk
digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi di
(
)
Penyelesaian persamaan karakteristik
, menghasilkan
(9)
dengan
(10)
(bukti lampiran 3)
Analisis kestabilan dilakukan dengan mencari nilai eigen pada
masing-masing titik tetap. Dengan diperoleh persamaan (9), kita dapat
menganalisis kestabilan dalam bentuk umum. Jika nilai
maka
diperoleh
sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu
√
1. Jika titik tetap
maka diperoleh
disubstitusikan ke dalam persamaan (10),
dengan
sehingga diperoleh nilai eigen berikut
√
atau
dan
Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap
bersifat tak terisolasi.
10
2. Jika titik tetap
maka diperoleh
disubstitusikan ke dalam persamaan (10),
dengan
sehingga diperoleh nilai eigen
√
(11)
Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (11) dengan
kemungkinan, yaitu:
i.
ii.
iii.
sehingga
tetap bersifat simpul stabil jika
sehingga
tetap bersifat spiral stabil jika
sehingga
tetap bersifat spiral tidak stabil jika
Agar titik tetap
terdapat 3
. Dalam hal ini titik
.
. Dalam hal ini titik
.
. Dalam hal ini titik
.
stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga
√
atau
.
Jadi diperoleh nilai eigen yang negatif, maka titik tetap
stabil. Jenis
kestabilan titik tetap
didasarkan pada kemungkinan di atas.
Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis
Model mangsa-pemangsa untuk waktu tunda
pada persamaan
(6) titik tetapnya bersifat spiral (stabil atau tidak stabil), sehingga nilai eigen
dari matriks Jacobi dimisalkan
dengan
dan
Untuk memeroleh nilai
maka nilai eigen
disubstitusikan ke dalam persamaan (9) sehingga didapatkan persamaan
karakteristik
atau
(12)
dengan
.
11
Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan
(12) diperoleh
atau ekivalen dengan
(13)
Kuadratkan persamaan (13), diperoleh
Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan
sesuai pangkat
dengan
maka diperoleh
polinomial berderajat empat
(14)
Dari persamaan (14) dapat dilihat dua hal, yang pertama bahwa suku
yang memuat fungsi trigonometri tereliminasi dan waktu tunda juga tidak
muncul. Kemudian yang kedua, persamaan (14) merupakan polinomial
berderajat genap, bila didefinisikan
sebagai akar dari persamaan (14)
maka diperoleh
(
√
)
(15)
Menurut aturan tanda Descartes, persamaan (14) akan memiliki
paling tidak satu akar real positif jika variasi perubahan tanda koefisien
polinomnya lebih dari satu atau sama dengan satu. Dari persamaan (15)
dapat diketahui jika
menyebabkan persamaan polinom (14) tidak memiliki variasi perubahan
tanda koefisien sehingga persamaan (15) tidak memiliki akar real positif.
Dalam hal ini akan ditinjau jika
dan
12
akan ada satu solusi positif dari persamaan (15). Dengan demikian
persamaan (14) memiliki akar imajiner murni
Sehingga dengan
mensubstitusikan
ke persamaan (13) diperoleh nilai tundaan kritis
(bukti lampiran 4)
Bifurkasi Hopf
Teorema Kar (2003)
Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga
berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika
[
)
titik tetap bersifat stabil dan
[
titik tetap bersifat tidak
stabil, maka sistem akan terjadi bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk
Berdasarkan persamaan (6), titik tetap
stabil untuk
. Untuk
membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi
transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik
tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah
dan
Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (9)
diturunkan terhadap
(
atau
)
(16)
Dari
persamaan
karakteristik
(9),
didapat
disubstitusikan pada persamaan (16) didapat
Oleh karena itu,
(
)
(
)
lalu
13
(
)
(bukti lampiran 5)
Untuk nilai
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Untuk nilai
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi,
merupakan
perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (8) sehingga terjadi
bifurkasi Hopf.
(bukti lampiran 6)
Model 2
Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
Dari persamaan (7) diperoleh
[
[
]
]
14
Terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu
dengan
dan nilai
dan
diperoleh dari penyelesaian persamaan
Batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
Kemudian, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
(bukti lampiran 7)
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada
persamaan (7) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di
titik tetap . Untuk itu dimisalkan
dan
.
Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (7), maka
[
]
(17)
(bukti lampiran 8)
Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (17)
diturunkan terhadap
dan
, maka diperoleh
[
]
15
Jika penyelesaian
digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi
Penyelesaian persamaan karakteristik
, menghasilkan
(18)
dengan
(19)
(bukti lampiran 9)
Jika nilai
pada persamaan (18), maka diperoleh
sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu
√
1. Jika titik tetap
maka diperoleh
disubstitusikan ke dalam persamaan (19),
dengan
sehingga diperoleh nilai eigen berikut
√
atau
dan
Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap
bersifat tak terisolasi.
2. Jika titik tetap
maka diperoleh
dengan
disubstitusikan ke dalam persamaan (19),
16
sehingga diperoleh nilai eigen
√
(20)
Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (20) dengan
kemungkinan, yaitu:
i.
ii.
iii.
sehingga
simpul stabil jika
.
sehingga
spiral stabil jika
.
sehingga
spiral tidak stabil jika
Agar titik tetap
terdapat 3
. Dalam hal ini titik tetap bersifat
. Dalam hal ini titik tetap bersifat
. Dalam hal ini titik tetap bersifat
.
stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga
√
atau
Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis
Untuk memeroleh nilai , maka nilai eigen
disubstitusikan
ke dalam persamaan (18) sehingga didapatkan persamaan karakteristik
atau
(21)
dengan
.
Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan
(21) diperoleh
atau ekivalen dengan
(22)
Kuadratkan persamaan (22), diperoleh
Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan
sesuai pangkat dengan
maka diperoleh
(23)
17
Bila didefinisikan
diperoleh
sebagai akar dari persamaan (23) maka
(
)
√
(24)
Karena
maka akan ada satu solusi positif dari persamaan
(24). Sehingga dengan mensubstitusikan
ke persamaan (22) diperoleh
nilai tundaan kritis
(
)
(bukti lampiran 10)
Bifurkasi Hopf
Berdasarkan persamaan (7), titik tetap
stabil untuk
. Untuk
membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi
transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik
tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah
dan
Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (18)
diturunkan terhadap
(
atau
)
(25)
Dari
persamaan
karakteristik
(18),
lalu
didapat
disubstitusikan pada persamaan (25) didapat
Oleh karena itu,
(
)
(
(
)
)
(bukti lampiran 11)
18
Untuk nilai
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Untuk nilai
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi,
merupakan
perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (17) sehingga terjadi
bifurkasi Hopf.
(bukti lampiran 12)
Simulasi Numerik
Dinamika populasi mangsa pemangsa digambarkan oleh kurva
dalam bidang fase dan bidang solusi untuk menentukan kestabilan populasi
mangsa pemangsa pada waktu . Simulasi numerik dilakukan dengan cara
mensubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan ke dalam persamaan
model matematika mangsa-pemangsa dengan tundaan waktu dan
pemanenan konstan. Pada simulasi ini, didefinisikan
dan
di mana konstanta
, dengan
: laju intrinsik dari populasi mangsa (1/waktu),
: daya dukung lingkungan, yang ditentukan oleh sumber daya
yang tersedia (populasi), dan
: tingkat kejenuhan pemangsaan (populasi).
19
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa Tanpa dan dengan Waktu
Tunda Pemanenan Konstan
Untuk model tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, diambil
sembarang beberapa parameter tetap yaitu:
dengan nilai awal
.
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Pada saat
model mangsa-pemangsa tipe Gause yang
diperumum 1 ekivalen dengan model mangsa-pemangsa tipe Gause yang
diperumum 2. Dengan menggunakan parameter-parameter yang diberikan,
diperlukan titik tetap, nilai eigen dan kestabilan pada saat
dan
diberikan dalam Tabel 1
Tabel 1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat
Titik Tetap
Luaran
Batas nilai
Jenis kestabilan
Tak
Terisolasi
Tak
Terisolasi
Spiral Stabil
Titik tetap yang diperoleh ada tiga untuk model pertama dan kedua, terdapat
pada Tabel 1. Gambar 1 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan
simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap
atau .
Gambar 1 Bidang fase saat
20
x
y
16.0
20.5
15.5
20.0
15.0
19.5
20
40
60
Gambar 2 Bidang solusi mangsa
saat
80
t
20
40
60
80
t
Gambar 3 Bidang solusi pemangsa
saat
Gambar 2 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model
pertama dan kedua, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis.
Kemudian, pertumbuhan mangsa mengalami osilasi namun semakin lama
simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju
. Gambar 3 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi
pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan.
Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama
simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju
.
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Model 1
Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk
memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai
berikut
Tabel 2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama
Menurut Teorema Kar (2003), titik tetap
stabil ketika
dikatakan
21
Gambar 4 Bidang fase model pertama saat
x
y
17
26
16
24
15
22
14
20
13
18
20
40
60
80
Gambar 5 Bidang solusi mangsa
model pertama saat
100
t
20
40
60
80
100
t
Gambar 6 Bidang solusi pemangsa
model pertama saat
Gambar 4 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point
atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak secara spiral
menjauhi titik tetap
. Gambar 5 dan 6 menunjukkan kedua populasi
terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu
tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap
pertumbuhan.
Model 2
Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk
memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai
berikut
Tabel 3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua
22
Gambar 7 Bidang fase model kedua saat
y
x
20
18
25
16
14
20
12
10
50
100
150
200
t
8
50
Gambar 8 Bidang solusi mangsa
model kedua saat
100
150
200
t
Gambar 9 Bidang solusi pemangsa
model kedua saat
Gambar 7 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point
atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak secara spiral
menjauhi titik tetap
. Gambar 8 dan 9 menunjukkan kedua populasi
terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu
tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap
pertumbuhan.
Perbandingan dan Pengaruh Waktu Tunda Kedua Model
Model 1
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Gambar 10 Bidang fase model pertama saat
23
x
y
16.0
21.0
20.5
15.5
20.0
15.0
19.5
20
40
60
80
Gambar 11 Bidang solusi mangsa
model pertama saat
t
20
40
60
80
t
Gambar 12 Bidang solusi pemangsa
model pertama saat
Gambar 10 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap
. Gambar 11
memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami
penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan
mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju
. Gambar 12
memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami
penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan
pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju
. Terlihat pula pada
Gambar 10 kerapatan spiral kecil, menandakan bahwa terjadi sedikit osilasi
tetapi cepat menuju kestabilan pada populasi mangsa dan pemangsa.
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Gambar 13 Bidang fase model pertama saat
y
x
16.0
21.5
21.0
15.5
20.5
20.0
15.0
19.5
50
19.0
50
100
150
200
Gambar 14 Bidang solusi mangsa
model pertama saat
100
150
200
t
t
Gambar 15 Bidang solusi pemangsa
model pertama saat
24
Gambar 13 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap
. Gambar 14
memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami
penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan
mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju
. Gambar 15
memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami
penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan
pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju
. Terlihat pula pada
Gambar 13 kerapatan spiral sedang, menandakan bahwa terjadi banyak
osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi
mangsa dan pemangsa.
Kemunculan limit cycle pada Gambar 4 menunjukkan bahwa terjadi
bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari
keadaan stabil saat
menjadi tidak stabil saat
.
Model 2
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Gambar 16 Bidang fase model kedua saat
y
x
16.0
21.0
15.5
20.5
15.0
20.0
19.5
14.5
200
400
600
800
Gambar 17 Bidang solusi mangsa
model kedua saat
t
200
400
600
800
t
Gambar 18 Bidang solusi pemangsa
model kedua saat
Gambar 16 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap
. Gambar 17
memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami
penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan
25
mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju
. Gambar 18
memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami
penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan
pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju
. Terlihat pula pada
Gambar 16 kerapatan spiral tinggi, menandakan bahwa terjadi banyak
osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi
mangsa dan pemangsa.
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Gambar 19 Bidang fase model kedua saat
y
x
26
18
24
16
22
14
20
12
18
20
40
60
80
Gambar 20 Bidang solusi mangsa
model kedua saat
100
t
20
40
60
80
100
t
Gambar 21 Bidang solusi pemangsa
model kedua saat
Gambar 19 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point atau
nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi
titik tetap . Gambar 20 dan 21 menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi
terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam
pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan.
Kemunculan limit cycle pada Gambar 19 menunjukkan bahwa terjadi
bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari
keadaan stabil saat
menjadi tidak stabil saat
.
26
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan
tanpa waktu tunda diperoleh tiga titik tetap positif di setiap model. Pada
model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, kestabilan
titik tetap pertama dan kedua bersifat tak terisolasi, sedangkan titik tetap
ketiga bersifat spiral stabil. Dinamika populasi mangsa-pemangsa pada
model juga dipengaruhi oleh waktu tunda dalam masa kelahiran untuk
kestabilan titik tetap. Waktu tunda yang didapat pada model mangsa
pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 lebih besar dibandingkan dengan
model mangsa pemangsa tipe Gause yang diperumum 2. Perubahan
parameter waktu tunda dari kecil ke besar menyebabkan perubahan
kestabilan titik tetap dari stabil menjadi tidak stabil. Hal ini menandakan
bahwa pada model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan
dan waktu tunda menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf superkritis.
Saran
Pada karya ilmiah ini, dipilih fungsi adalah fungsi pertumbuhan
logistik dan fungsi adalah fungsi respons Holling-Tanner tipe II. Untuk
penelitian selanjutnya, dapat digunakan fungsi
lainnya, pengaruh waktu
tunda dapat diperluas, dan pemanenan dapat berupa fungsi tidak konstan.
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta (ID): Erlangga.
Bacaer N. 2011. A Short History of Mathematical Population Dynamics.
New York (US): Springer-Verlag.
Beretta E, Kuang Y. 1996. Convergence Results in a Well-Known Delayed
Predator-Prey System. J. Math. Anal. Appl. 204:840-853.
doi:10.1006/jmaa.1996.0471.
Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York
(US): Springer-Verlag.
Garrott RA, White PJ, Watson FGR. 2009. The Ecology of Large Mammals
in Central Yellowstone Sixteen Years of Integrated Field Studies. San
Diego (US): Elsevier.
Kar TK. 2003. Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time
Delay. Mathematical and Computer Modelling. 38:449-458.
doi:10.1016/S0895-7177(03)00232-2.
Martin A, Ruan S. 2001. Predator-Prey Models with Delay and Prey
Harvesting. J. Math. Biol. 43:247-267. doi:10.1007/s002850100095
Murray JD. 2002. Mathematical Biology. I. An Introduction Third Edition.
New York (US): Springer-Verlag.
27
Ruan S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with
Discrete Delay. Math. Model. Nat. Phenom. 4:140-188.
doi:10.1051/mmnp/20094207.
Skalski GT, Gilliam JF. 2001. Functional Response with Predator
Interference: Viable Alternatives to the Holling Type II Model. Ecology.
82:3083-3092. doi:10.2307/2679836.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to
Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US):
Addison-Wesley Publishing Company.
28
LAMPIRAN
Lampiran 1
Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama
Titik tetap didapat dari
(6) diperoleh
[
dan [
]
dan
]
[
Jadi, diperoleh titik tetap
[
]
[
Jadi, diperoleh titik tetap
]
Nilai
dan [
[
, sehingga dari persamaan
diperoleh dari persamaan
]
]
]
dengan didefinisikan
Agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai
diperoleh
positif, maka dari titik tetap
sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
29
Lampiran 2
Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi
Tinjau persamaan (6) berikut
[ (
[
)
(
(
)
)]
]
Persamaan (6) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut:
dan
.
Dengan
dan
, adalah parameter perturbasi. Tinjau
persamaan pertama dari persamaan (6) berikut
Jika variabel
diperoleh
[
[ (
dan
)
(
)]
disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka
][
[
]
]
Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan
persamaan sebagai berikut:
dengan
dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi
30
Persamaan pertama sebelumnya menjadi
[
[
[
]
]
]
[
[
[
]
]
]
asumsikan
(
Karena fungsi tak linear dan karena
maka berimplikasi pada
persamaan pertama tersebut menjadi
Karena
)
dan
(
)
sehingga
maka
]
[
[
]
Dengan
dan
, adalah parameter perturbasi. Tinjau
persamaan kedua dari persamaan (6) berikut
Jika variabel
diperoleh
[
[
dan
[
(
)
]
disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka
][[
][
]
]
]
31
Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan
persamaan sebagai berikut:
dengan
dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi
Persamaan kedua sebelumnya menjadi
[
[
]
]
[
]
[
asumsikan
Karena fungsi tak linear dan karena
(
)
maka berimplikasi pada
sehingga persamaan kedua tersebut menjadi
Karena
dan
maka
]
32
Lampiran 3
Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model
pertama
Tinjau persamaan (8) berikut
[
]
Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (8)
diturunkan terhadap
dan
, maka diperoleh
[
Jika penyelesaian
]
digunakan, maka diperoleh
dan
sehingga
Dengan disubstitusikan
ke dalam persamaan turunan kedua
di atas, diperoleh
[
]
33
sehingga didapat matriks Jacobi
(
)
Penyelesaian persamaan karakteristik
[
[
jika dimisalkan
maka diperoleh
, menghasilkan
|
]
[
]
]
|
34
Lampiran 4
Penentuan tundaan waktu kritis model pertama
Dari persamaan (13) diperoleh
Untuk persamaan pertama pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk
Untuk persamaan kedua pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk
Eliminasi kedua ruas menjadi
diperoleh
35
Lampiran 5
Penjabaran fungsi sign model pertama
(
(
)
)
Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar
mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign
Bagian
karena bagian
Bagian
Bagian
karena bagian
maka hasilnya nol.
maka
36
Sehingga
Dari persamaan (14) diketahui bahwa
maka diperoleh
Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji
pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat
genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga
37
Lampiran 6
Penjabaran kondisi transversal model pertama
Dari persamaan (16) diketahui
sehingga
√
Untuk nilai
√
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Untuk nilai
√
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
√
38
Lampiran 7
Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua
Titik tetap didapat dari
(7) diperoleh
[
dan [
]
dan
]
[
Jadi, diperoleh titik tetap
Jadi, diperoleh titik tetap
persamaan
]
Nilai
dan [
[
, sehingga dari persamaan
diperoleh dari persamaan
]
]
Nilai
dan
diperoleh dari
Agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai
positif, maka dari titik tetap
dengan
diperoleh
sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
39
Lampiran 8
Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi
Tinjau persamaan (7) berikut
[ (
)
[
(
)]
(
)]
Persamaan (7) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut:
dan
.
Dengan
dan
, adalah parameter perturbasi. Tinjau
persamaan pertama dari persamaan (7) berikut
Jika variabel
diperoleh
[
[ (
dan
)
(
)]
disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka
][
[
]
]
Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan
persamaan sebagai berikut:
dengan
dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi
40
Persamaan pertama sebelumnya menjadi
[
]
[
[
]
]
[
[
[
]
]
]
asumsikan
Karena fungsi tak linear dan
(
maka berimplikasi pada
persamaan pertama tersebut menjadi
Karena
)
(
dan
)
sehingga
maka
[
]
[
]
Dengan
dan
, adalah parameter perturbasi. Tinjau
persamaan kedua dari persamaan (7) berikut
Jika variabel
diperoleh
[
[
dan
(
)]
disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka
][
[
]
]
41
Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan
persamaan sebagai berikut:
dengan
dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi
Persamaan kedua sebelumnya menjadi
[
]
[
]
[
]
[
]
asumsikan
(
Karena fungsi tak linear dan karena
maka berimplikasi pada
sehingga persamaan kedua tersebut menjadi
karena
dan
maka
)
42
Lampiran 9
Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model
kedua
Tinjau persamaan (17) berikut
[
]
Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (18)
diturunkan terhadap
dan
, maka diperoleh
[
Jika penyelesaian
]
digunakan, maka diperoleh
dan
sehingga
Dengan disubstitusikan
ke dalam persamaan turunan kedua
di atas, diperoleh
[
]
43
sehingga didapat matriks Jacobi
Penyelesaian persamaan karakteristik
[
|
[
jika dimisalkan
maka diperoleh
, menghasilkan
]
]
|
44
Lampiran 10
Penentuan tundaan waktu kritis model kedua
Dari persamaan (22) diperoleh
Untuk persamaan pertama pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk
Untuk persamaan kedua pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk
Eliminasi kedua ruas menjadi
diperoleh
(
)
45
Lampiran 11
Penjabaran fungsi sign model kedua
(
)
Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar
mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign
Bagian
karena bagian
maka
Bagian
karena bagian
maka hasilnya nol.
Sehingga
Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji
pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat
genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga
46
Lampiran 12
Penjabaran kondisi transversal model kedua
Dari persamaan (24) diketahui
sehingga
√
Untuk nilai
√
diperoleh
(
sehingga terpenuhi bahwa
Untuk nilai
(√
√
)
)
diperoleh
(
sehingga terpenuhi bahwa
( √
√
)
)
47
Lampiran 13
Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1)
f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10;
Manipulate[Module[{plt1,plt2,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol
=NDSolve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t
,0,50}];
plt1=ParametricPlot[{x[t],y[t]}/.sol,{t,0,50},PlotR
angeAll, AspectRatio0.6,
PlotStyle{RGBColor[1,0,1], Thick}, AxesLabel{x,
y}];
start = Graphics[Locator[Dynamic[{xx0, yy0}],
BackgroundYellow, LocatorRegionAutomatic],
PlotRangeAll];
plt2={plt1, start};
Show[plt2,ImageSize {450,400}]],
Style["Persamaan differensial :",Bold],
Style["x = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold],
Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold],
Delimiter,
Style["parameters",Bold,10],
{{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
{{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{,0,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
Delimiter,
Style["initial
conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS
izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5
0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"},
ControlPlacement
Left,SynchronousUpdatingFalse]
48
Lampiran 14
Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda
(Gambar 2)
f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10;
Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo
lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t
,0,80}];
plt1=ParametricPlot[{t,x[t]}/.sol,{t,0,80},PlotRang
eAll, AspectRatio0.6,
PlotStyle{RGBColor[1,0,0], Thick},
AxesLabel{“t”,“x”}];
Show[plt1,ImageSize {450,400}]],
Style["Persamaan differensial :",Bold],
Style["x = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold],
Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold],
Delimiter,
Style["parameters",Bold,10],
{{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
{{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{,0,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
Delimiter,
Style["initial
conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS
izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5
0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"},
ControlPlacement
Left,SynchronousUpdatingFalse]
49
Lampiran 15
Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda
(Gambar 3)
f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10;
Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo
lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t
,0,80}];
plt1=ParametricPlot[{t,y[t]}/.sol,{t,0,80},PlotRang
eAll, AspectRatio0.6,
PlotStyle{RGBColor[0,1,0], Thick},
AxesLabel{“t”,“y”}];
Show[plt1,ImageSize {450,400}]],
Style["Persamaan differensial :",Bold],
Style["x = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold],
Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold],
Delimiter,
Style["parameters",Bold,10],
{{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
{{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{,0,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
Delimiter,
Style["initial
conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS
izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5
0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"},
ControlPlacement
Left,SynchronousUpdatingFalse]
50
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 2 April 1993 dari ibunda
Riesa Pri Handayani dan ayahanda Cecep Supriyanto. Pada tahun 2011
penulis lulus dari SMA Negeri 3 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis
lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi
Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan dan
diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus
Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) sebagai Sekretaris II Badan
Pengurus Harian (BPH) 2012/2013, sebagai Ketua Biro Kesekretariatan
2013/2014 dan
GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA
PEMANENAN KONSTAN
HASANNUDIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perilaku Dinamis
Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda
Pemanenan Konstan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Hasannudin
NIM G54110004
ABSTRAK
HASANNUDIN. Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang
Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan. Dibimbing oleh ALI
KUSNANTO dan JAHARUDDIN.
Terdapat beberapa model matematis untuk memodelkan peristiwa mangsapemangsa. Salah satu model yang cukup banyak penerapannya adalah model
mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum dengan mempertimbangkan waktu
tunda dan sebuah parameter pemanenan konstan. Analisis kestabilan dilakukan
terhadap model tanpa dan dengan waktu tunda. Untuk model tanpa waktu tunda
diperoleh titik tetap yang salah satunya bersifat spiral stabil, sedangkan titik tetap
pada model dengan waktu tunda terdapat titik tetap yang bersifat spiral stabil/tidak
stabil. Untuk model dengan waktu tunda, semakin besar nilai waktu tunda
mengakibatkan munculnya limit cycle, dan terjadi bifurkasi Hopf superkritis saat
kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak
stabil.
Kata kunci: bifurkasi Hopf superkritis, mangsa-pemangsa tipe Gause yang
diperumum, waktu tunda
ABSTRACT
HASANNUDIN. Dynamic Behavior of Generalized Gause Type Prey-Predator
Model with a Constant Time Delay Harvesting. Supervised by ALI KUSNANTO
and JAHARUDDIN.
There are several mathematical models to describe prey-predator events.
One model that has many applications is the generalized Gause type prey-predator
model by considering a time delay and a constant harvesting parameter in both
prey-predator populations. We performed stability analysis to both models
without time delay and with time delay. For the model without time delay, we
obtained three equilibrium points with one is spiral stable, while model with time
delay possesses equilibrium points which can be either spiral stable or spiral
unstable. In addition to the model with time delay, when the value of time delay
increases, this causes the appearance of a limit-cycle and supercritical Hopf
bifurcation occurs when the equilibrium stability change from spiral stable to
spiral unstable.
Keywords: generalized Gause type prey-predator model, supercritical Hopf
bifurcation, time delay
PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE
GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA
PEMANENAN KONSTAN
HASANNUDIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang
Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan
Nama
: Hasannudin
NIM
: G54110004
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing I
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga
karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Perilaku
Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu
Tunda Pemanenan Konstan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan
beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya,
2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman,
3 keluarga tercinta: Ibunda Riesa Pri Handayani dan Ayahanda Cecep Supriyanto
yang selalu memberikan doa, motivasi dan kasih sayang tiada henti,
4 keluarga besar Bapak A Soehartoyo dan keluarga besar Bapak Djoko (alm),
5 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku dosen
pembimbing, terima kasih atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya
selama membimbing menulis, serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen
penguji,
6 staf tata usaha Departemen Matematika IPB,
7 Widyawati atas kasih sayang, doa, semangat dan kebersamaanya selama ini,
8 keluarga Wisma Hijau tercinta: Ahmad, Ibrahim, Noorul Amin, Prahditya,
Yoppy, Firman, Arman, dan keluarga C1 Lorong 1 yang telah memberikan
motivasi, bantuan, keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis,
9 sahabat-sahabat penulis: Parara, Ikhwan A, Adam, Deva, Dedi H, Dedy S,
Dwinanda, Rachman, Arli, Firi, Arpi, Fakhri, Dinar, Rizky, Hendar, Imam,
Ariyanto P, dan Fiki terimakasih atas semangat, motivasi, dan doanya,
10 teman-teman satu bimbingan: Mutammimul Ula dan Anif Lailil A yang
senantiasa saling mengingatkan dan memberikan motivasi dalam penyusunan
karya ilmiah ini,
11 teman-teman satu perwalian: Intan Fitria dan Vina A yang senantiasa saling
mengingatkan,
12 teman-teman seperjuangan: Alfi, Sabila, Putri, Dinita, Riefdah, Sifa, Riski,
Rika, Andini, Lidya, Dyah Ayu, Siti, Dini, Deby, Henny, Disti, Giovanni dan
Intan Mugi terima kasih atas motivasi dan keceriaannya selama ini,
13 teman-teman asisten praktikum: Resty, Ariyanto H, Atikah, dan Restu A terima
kasih atas bantuannya dan kebersamaannya,
14 teman-teman mahasiswa Matematika 48, Matematika 49, BPH Gumatika
2012/2013 dan Kestari Gumatika 2013/2014 terimakasih atas doa, semangat,
serta kebersamaannya selama ini,
15 teman-teman satu lulusan: M Reza, Ichsan Rayyan, Nurul M, Annisa N, Ria N,
dan Lingga Detia terima kasih atas kebersamaannya,
16 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini, terima
kasih.
Bogor, Mei 2015
Hasannudin
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pemodelan
6
Pembahasan
7
Model 1
7
Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
7
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
8
Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis
10
Bifurkasi Hopf
12
Model 2
13
Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
13
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
14
Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis
16
Bifurkasi Hopf
17
Simulasi Numerik
18
SIMPULAN DAN SARAN
26
Simpulan
26
Saran
26
DAFTAR PUSTAKA
26
LAMPIRAN
28
RIWAYAT HIDUP
50
DAFTAR TABEL
1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat
2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama
3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua
19
20
21
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Bidang fase saat
Bidang solusi mangsa saat
Bidang solusi pemangsa saat
Bidang fase model pertama saat
Bidang solusi mangsa model pertama saat
Bidang solusi pemangsa model pertama saat
Bidang fase model kedua saat
Bidang solusi mangsa model kedua saat
Bidang solusi pemangsa model kedua saat
Bidang fase model pertama saat
Bidang solusi mangsa model pertama saat
Bidang solusi pemangsa model pertama saat
Bidang fase model pertama saat
Bidang solusi mangsa model pertama saat
Bidang solusi pemangsa model pertama saat
Bidang fase model kedua saat
Bidang solusi mangsa model kedua saat
Bidang solusi pemangsa model kedua saat
Bidang fase model kedua saat
Bidang solusi mangsa model kedua saat
Bidang solusi pemangsa model kedua saat
19
20
20
21
21
21
22
22
22
22
23
23
23
23
23
24
24
24
25
25
25
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama
2 Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi
3 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda
model pertama
4 Penentuan tundaan waktu kritis model pertama
5 Penjabaran fungsi sign model pertama
6 Penjabaran kondisi transversal model pertama
7 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua
8 Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi
9 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda
model kedua
10 Penentuan tundaan waktu kritis model kedua
11 Penjabaran fungsi sign model kedua
28
29
32
34
35
37
38
39
42
44
45
12 Penjabaran kondisi transversal model kedua
13 Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1)
14 Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda
(Gambar 2)
15 Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda
(Gambar 3)
46
47
48
49
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada kehidupan nyata, setiap makhluk hidup melakukan proses
interaksi dengan makhluk hidup lainnya. Dalam konteks memenuhi
kebutuhan makanan, proses interaksi tersebut memunculkan proses rantai
makanan yaitu peristiwa makan dan dimakan untuk mempertahankan
jumlah populasi. Interaksi yang dilakukan oleh spesies pemangsa (predator)
memengaruhi jumlah dari spesies mangsa (prey). Peristiwa rantai makanan
atau makan dan dimakan menjadi latar belakang bidang pemodelan
matematika untuk meniru perilaku dinamika sistem mangsa-pemangsa
tersebut agar diperoleh jumlah mangsa-pemangsa dipertahankan seimbang.
Alfred Lotka pada tahun 1925 dan Vito Volterra pada tahun 1927
mengembangkan sepasang persamaan diferensial yang menggambarkan
fenomena mangsa-pemangsa untuk pertama kali dikenal sebagai model
Lotka-Volterra (Bacaer 2011). Kemudian Holling pada tahun 1959
memperkenalkan fungsi respons. Dalam hal ini fungsi respons dibagi atas
tiga macam, yaitu fungsi respons tipe I, tipe II, dan tipe III. Fungsi respons
tipe I terjadi pada pemangsa yang memiliki karakteristik pasif atau lebih
suka menunggu mangsanya, sebagai contoh pemangsanya adalah hewan
penyaring yaitu sponge (Garrott et al. 2009). Fungsi respons tipe II terjadi
pada pemangsa yang berkarakteristik aktif dalam mencari mangsa sebagai
contoh pemangsanya adalah serigala (Skalski 2001). Fungsi respons tipe III
terjadi pada pemangsa yang mencari populasi mangsa yang lain ketika
populasi mangsa yang dimakan mulai berkurang atau pemangsa beralih
mencari mangsa lain. Sebagai contoh pada tikus yang bertindak sebagai
pemangsa dengan kepompong ngengat gipsi sebagai mangsa.
Pada suatu sistem, perubahan populasi tidak selalu monoton. Hal ini
disebabkan makhluk hidup tidak dapat melahirkan terus menerus dan ada
beberapa makhluk hidup belum mampu berkembang biak. Penyebabnya
yaitu karena fasilitas yang terbatas. Gejala ini merupakan suatu fenomena
dimana suatu makhluk hidup memerlukan tenggang atau tundaan waktu
(time delay). Salah satu bentuk model mangsa-pemangsa yaitu model
mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum (generalized Gause-type).
Kemudian Beretta dan Kuang (1996) serta Ruan (2009) menambahkan
komponen perlambatan agar model mangsa-pemangsa lebih realistis.
Asumsi dasar dari model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum
yaitu terdapat pengaruh interaksi antara mangsa dengan pemangsa dan
terdapat komponen perlambatan yang didefinisikan bahwa jumlah populasi
makhluk hidup saat ini bergantung pada jumlah populasi makhluk hidup
pada waktu terdahulu atau waktu yang dibutuhkan makhluk hidup untuk
mempersiapkan tahap tertentu.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang perilaku dinamis terhadap
model mangsa pemangsa dengan perlambatan. Model yang dibahas adalah
model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum. Dalam setiap model
akan ditambahkan pemanenan yang konstan.
2
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
membangun model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan waktu
tunda serta pemanenan konstan yang dituliskan oleh Martin dan
Ruan (2001),
menganalisis kestabilan model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan
waktu tunda serta pemanenan konstan,
memelajari pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem, dan
memelajari keberadaan bifurkasi Hopf pada model mangsapemangsa.
1.
2.
3.
4.
LANDASAN TEORI
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai:
̇
dengan
[
(1)
] dan
[
].
Jika
fungsi tak linear terhadap
, maka sistem persamaan
diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear dan jika
fungsi linear, maka sistem persamaan diferensial (1) disebut
persamaan diferensial linear (Braun 1983). Jika sistem persamaan
diferensial (1) tidak memuat variabel waktu secara eksplisit, maka disebut
sebagai persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis:
Titik
̇
.
disebut titik tetap atau titik kritis atau titik keseimbangan, jika
.
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial dengan dua
persamaan dan dua peubah seperti berikut:
̇
Andai
̇
adalah titik tetap dari persamaan (2), maka
.
(2)
dan
3
Misalkan
dan
̇
, maka didapatkan:
̇
.
Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi , maka didapatkan
sistem sebagai berikut:
̇
dengan
suku sebelumnya.
memiliki nilai yang cukup kecil dibandingkan suku-
Dengan cara yang sama diperoleh:
̇
̇
Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi , maka didapatkan
sistem sebagai berikut:
̇
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan:
̇
Matriks A yaitu:
̇
[
]
[
]
disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap
, maka didapatkan persamaan linear:
̇
̇
[
]
. Karena
Bentuk (3) disebut pelinearan dari sistem persamaan (2) (Strogatz 1994).
(3)
4
Beberapa tundaan dapat digabungkan
persamaan diferensial tundaan sebagai berikut
(
dengan
menggunakan
)
dengan
sebagai parameter waktu tunda (Murray 2002). Persamaan
diferensial tundaan atau delayed differential equation adalah suatu
persamaan diferensial dengan turunan dari fungsi yang tidak diketahui untuk
beberapa waktu tunda yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai fungsi
pada waktu sebelumnya.
Misal A adalah sebuah matriks berukuran n x n, maka sebuah vektor
tak nol di
dinamakan vektor eigen dari A, jika
adalah kelipatan
skalar dari yaitu:
untuk suatu skalar . Skalar ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan
dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka
dituliskan kembali
sebagai:
atau
(4)
dengan merupakan matriks identitas. Persamaan (4) akan memunyai
penyelesaian tak nol jika dan hanya jika:
(5)
Persamaan (5) dinamakan persamaan karakteristik
(Anton 1987).
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial memiliki bentuk seperti
berikut:
̇
̇
sehingga matriks koefisien dari sistem persamaan diferensial di atas ialah:
Berdasarkan persamaan (5), maka persamaan karakteristiknya menjadi:
5
atau
dengan:
dan
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A adalah:
√
Nilai eigen
akan memenuhi kondisi:
1. Jika
, maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda
sehingga titik tetap merupakan titik sadel.
2. Jika
, maka nilai eigen dapat berupa bilangan real dengan
tanda yang sama (titik tetap berupa simpul) atau bilangan kompleks
conjugate (titik tetap berupa spiral atau center). Jika
,
maka berupa simpul dan jika
, maka berupa spiral.
Persamaan parabola
adalah garis batas antara simpul
dan spiral; star nodes dan degenerate nodes berada pada parabola ini.
3. Ketika
, kedua nilai eigen memiliki tanda yang negatif,
sehingga titik tetap stabil. Spiral dan simpul tak stabil memiliki
. Titik stabil netral atau center berada pada garis
, dimana
nilai eigen adalah imajiner murni.
4. Jika
, setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol,
maka titik tetap merupakan titik tak terisolasi (Strogatz 1994).
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif
dari suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari
parameter sistem dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi.
Bifurkasi adalah perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik
kestabilan) dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika terjadinya
bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Salah satu jenis bifurkasi yaitu Bifurkasi
Hopf.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dalam
suatu sistem dinamis. Limit cycle sendiri merupakan orbit tertutup yang
terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau
menjauhi siklus limit. Hal ini terjadi pada saat kesetimbangan mengalami
perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil atau
sebaliknya. Titik bifurkasi terjadi pada saat sistem melalui sepasang nilai
eigen murni imajiner. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang
mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Bifurkasi Hopf
bersifat superkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari
spiral stabil menjadi spiral tak stabil, sedangkan bifurkasi Hopf bersifat
subkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral tak
stabil menjadi spiral stabil (Strogatz 1994).
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan
Dalam karya ilmiah ini akan dibangun dua model mangsa-pemangsa,
yaitu model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 (model
pertama) yang merupakan model mangsa-pemangsa dengan pemanenan
mangsa dan waktu tunda pada mangsa, dan model mangsa-pemangsa tipe
Gause yang diperumum 2 (model kedua) yang merupakan model mangsapemangsa dengan pemanenan mangsa dan waktu tunda pada pemangsa
(Martin dan Ruan 2001).
Berikut ini adalah uraian dari kedua model mangsa-pemangsa tersebut.
Model 1 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1
Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa,
pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada tingkat
pertumbuhan mangsa yang berpengaruh pada laju perubahan mangsa
terhadap waktu. Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 1:
[ (
di mana
[
, dan konstanta
)
(
(
)
)]
(6)
]
, dengan
: banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi),
: banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi),
: faktor pengali (tanpa dimensi),
: banyaknya populasi mangsa minimum yang dibutuhkan pemangsa
agar stabil (populasi),
: tingkat pertumbuhan spesifik mangsa berupa suatu fungsi
sembarang (1/waktu),
: koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu
fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)),
: respons fungsional dengan
berupa suatu fungsi
sembarang (1/waktu),
: waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan
: upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu).
7
Model 2 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 2
Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa,
pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada respons
fungsional yang berpengaruh pada laju perubahan pemangsa terhadap waktu.
Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 2:
[ (
di mana
)
(
[
)]
(
, dan konstanta
, dengan
(7)
)]
: banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi),
: banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi),
: laju mengonsumsi mangsa oleh pemangsa (tanpa dimensi),
: laju kematian pemangsa (1/waktu),
: tingkat pertumbuhan spesifik mangsa (1/waktu),
: koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu
fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)),
: respons fungsional dengan
berupa suatu fungsi
sembarang (1/waktu),
: waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan
: upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu).
Pada saat
parameter
, persamaan (6) ekivalen dengan persamaan (7) di mana nilai
sama dengan dan
sama dengan .
Pembahasan
Model 1
Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
Titik tetap didapat dari
(6) diperoleh
[
dan
[
]
Karena
dan
terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu
dengan
dan nilai
, sehingga dari persamaan
]
diperoleh dari penyelesaian persamaan
, maka hanya
dan
8
Agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai
positif, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
Kemudian, agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai
positif, maka batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
(bukti lampiran 1)
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada
persamaan (6) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di
titik tetap . Untuk itu dimisalkan
dan
Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (6) dan
disederhanakan, maka
[
]
(8)
(bukti lampiran 2)
Analisis kestabilan di titik tetap
pada model (8) ekivalen dengan
analisis kestabilan dari titik tetap pada model persamaan (6) setelah
dilinearisasi. Berikut ini akan ditentukan persamaan karakteristik untuk
model persamaan (8). Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada
persamaan (8) diturunkan terhadap
dan
, maka diperoleh
[
]
9
Jika penyelesaian
titik tetap
berbentuk
digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi di
(
)
Penyelesaian persamaan karakteristik
, menghasilkan
(9)
dengan
(10)
(bukti lampiran 3)
Analisis kestabilan dilakukan dengan mencari nilai eigen pada
masing-masing titik tetap. Dengan diperoleh persamaan (9), kita dapat
menganalisis kestabilan dalam bentuk umum. Jika nilai
maka
diperoleh
sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu
√
1. Jika titik tetap
maka diperoleh
disubstitusikan ke dalam persamaan (10),
dengan
sehingga diperoleh nilai eigen berikut
√
atau
dan
Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap
bersifat tak terisolasi.
10
2. Jika titik tetap
maka diperoleh
disubstitusikan ke dalam persamaan (10),
dengan
sehingga diperoleh nilai eigen
√
(11)
Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (11) dengan
kemungkinan, yaitu:
i.
ii.
iii.
sehingga
tetap bersifat simpul stabil jika
sehingga
tetap bersifat spiral stabil jika
sehingga
tetap bersifat spiral tidak stabil jika
Agar titik tetap
terdapat 3
. Dalam hal ini titik
.
. Dalam hal ini titik
.
. Dalam hal ini titik
.
stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga
√
atau
.
Jadi diperoleh nilai eigen yang negatif, maka titik tetap
stabil. Jenis
kestabilan titik tetap
didasarkan pada kemungkinan di atas.
Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis
Model mangsa-pemangsa untuk waktu tunda
pada persamaan
(6) titik tetapnya bersifat spiral (stabil atau tidak stabil), sehingga nilai eigen
dari matriks Jacobi dimisalkan
dengan
dan
Untuk memeroleh nilai
maka nilai eigen
disubstitusikan ke dalam persamaan (9) sehingga didapatkan persamaan
karakteristik
atau
(12)
dengan
.
11
Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan
(12) diperoleh
atau ekivalen dengan
(13)
Kuadratkan persamaan (13), diperoleh
Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan
sesuai pangkat
dengan
maka diperoleh
polinomial berderajat empat
(14)
Dari persamaan (14) dapat dilihat dua hal, yang pertama bahwa suku
yang memuat fungsi trigonometri tereliminasi dan waktu tunda juga tidak
muncul. Kemudian yang kedua, persamaan (14) merupakan polinomial
berderajat genap, bila didefinisikan
sebagai akar dari persamaan (14)
maka diperoleh
(
√
)
(15)
Menurut aturan tanda Descartes, persamaan (14) akan memiliki
paling tidak satu akar real positif jika variasi perubahan tanda koefisien
polinomnya lebih dari satu atau sama dengan satu. Dari persamaan (15)
dapat diketahui jika
menyebabkan persamaan polinom (14) tidak memiliki variasi perubahan
tanda koefisien sehingga persamaan (15) tidak memiliki akar real positif.
Dalam hal ini akan ditinjau jika
dan
12
akan ada satu solusi positif dari persamaan (15). Dengan demikian
persamaan (14) memiliki akar imajiner murni
Sehingga dengan
mensubstitusikan
ke persamaan (13) diperoleh nilai tundaan kritis
(bukti lampiran 4)
Bifurkasi Hopf
Teorema Kar (2003)
Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga
berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika
[
)
titik tetap bersifat stabil dan
[
titik tetap bersifat tidak
stabil, maka sistem akan terjadi bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk
Berdasarkan persamaan (6), titik tetap
stabil untuk
. Untuk
membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi
transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik
tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah
dan
Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (9)
diturunkan terhadap
(
atau
)
(16)
Dari
persamaan
karakteristik
(9),
didapat
disubstitusikan pada persamaan (16) didapat
Oleh karena itu,
(
)
(
)
lalu
13
(
)
(bukti lampiran 5)
Untuk nilai
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Untuk nilai
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi,
merupakan
perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (8) sehingga terjadi
bifurkasi Hopf.
(bukti lampiran 6)
Model 2
Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
Dari persamaan (7) diperoleh
[
[
]
]
14
Terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu
dengan
dan nilai
dan
diperoleh dari penyelesaian persamaan
Batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
Kemudian, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
(bukti lampiran 7)
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada
persamaan (7) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di
titik tetap . Untuk itu dimisalkan
dan
.
Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (7), maka
[
]
(17)
(bukti lampiran 8)
Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (17)
diturunkan terhadap
dan
, maka diperoleh
[
]
15
Jika penyelesaian
digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi
Penyelesaian persamaan karakteristik
, menghasilkan
(18)
dengan
(19)
(bukti lampiran 9)
Jika nilai
pada persamaan (18), maka diperoleh
sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu
√
1. Jika titik tetap
maka diperoleh
disubstitusikan ke dalam persamaan (19),
dengan
sehingga diperoleh nilai eigen berikut
√
atau
dan
Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap
bersifat tak terisolasi.
2. Jika titik tetap
maka diperoleh
dengan
disubstitusikan ke dalam persamaan (19),
16
sehingga diperoleh nilai eigen
√
(20)
Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (20) dengan
kemungkinan, yaitu:
i.
ii.
iii.
sehingga
simpul stabil jika
.
sehingga
spiral stabil jika
.
sehingga
spiral tidak stabil jika
Agar titik tetap
terdapat 3
. Dalam hal ini titik tetap bersifat
. Dalam hal ini titik tetap bersifat
. Dalam hal ini titik tetap bersifat
.
stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga
√
atau
Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis
Untuk memeroleh nilai , maka nilai eigen
disubstitusikan
ke dalam persamaan (18) sehingga didapatkan persamaan karakteristik
atau
(21)
dengan
.
Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan
(21) diperoleh
atau ekivalen dengan
(22)
Kuadratkan persamaan (22), diperoleh
Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan
sesuai pangkat dengan
maka diperoleh
(23)
17
Bila didefinisikan
diperoleh
sebagai akar dari persamaan (23) maka
(
)
√
(24)
Karena
maka akan ada satu solusi positif dari persamaan
(24). Sehingga dengan mensubstitusikan
ke persamaan (22) diperoleh
nilai tundaan kritis
(
)
(bukti lampiran 10)
Bifurkasi Hopf
Berdasarkan persamaan (7), titik tetap
stabil untuk
. Untuk
membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi
transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik
tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah
dan
Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (18)
diturunkan terhadap
(
atau
)
(25)
Dari
persamaan
karakteristik
(18),
lalu
didapat
disubstitusikan pada persamaan (25) didapat
Oleh karena itu,
(
)
(
(
)
)
(bukti lampiran 11)
18
Untuk nilai
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Untuk nilai
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi,
merupakan
perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (17) sehingga terjadi
bifurkasi Hopf.
(bukti lampiran 12)
Simulasi Numerik
Dinamika populasi mangsa pemangsa digambarkan oleh kurva
dalam bidang fase dan bidang solusi untuk menentukan kestabilan populasi
mangsa pemangsa pada waktu . Simulasi numerik dilakukan dengan cara
mensubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan ke dalam persamaan
model matematika mangsa-pemangsa dengan tundaan waktu dan
pemanenan konstan. Pada simulasi ini, didefinisikan
dan
di mana konstanta
, dengan
: laju intrinsik dari populasi mangsa (1/waktu),
: daya dukung lingkungan, yang ditentukan oleh sumber daya
yang tersedia (populasi), dan
: tingkat kejenuhan pemangsaan (populasi).
19
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa Tanpa dan dengan Waktu
Tunda Pemanenan Konstan
Untuk model tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, diambil
sembarang beberapa parameter tetap yaitu:
dengan nilai awal
.
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Pada saat
model mangsa-pemangsa tipe Gause yang
diperumum 1 ekivalen dengan model mangsa-pemangsa tipe Gause yang
diperumum 2. Dengan menggunakan parameter-parameter yang diberikan,
diperlukan titik tetap, nilai eigen dan kestabilan pada saat
dan
diberikan dalam Tabel 1
Tabel 1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat
Titik Tetap
Luaran
Batas nilai
Jenis kestabilan
Tak
Terisolasi
Tak
Terisolasi
Spiral Stabil
Titik tetap yang diperoleh ada tiga untuk model pertama dan kedua, terdapat
pada Tabel 1. Gambar 1 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan
simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap
atau .
Gambar 1 Bidang fase saat
20
x
y
16.0
20.5
15.5
20.0
15.0
19.5
20
40
60
Gambar 2 Bidang solusi mangsa
saat
80
t
20
40
60
80
t
Gambar 3 Bidang solusi pemangsa
saat
Gambar 2 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model
pertama dan kedua, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis.
Kemudian, pertumbuhan mangsa mengalami osilasi namun semakin lama
simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju
. Gambar 3 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi
pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan.
Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama
simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju
.
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Model 1
Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk
memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai
berikut
Tabel 2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama
Menurut Teorema Kar (2003), titik tetap
stabil ketika
dikatakan
21
Gambar 4 Bidang fase model pertama saat
x
y
17
26
16
24
15
22
14
20
13
18
20
40
60
80
Gambar 5 Bidang solusi mangsa
model pertama saat
100
t
20
40
60
80
100
t
Gambar 6 Bidang solusi pemangsa
model pertama saat
Gambar 4 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point
atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak secara spiral
menjauhi titik tetap
. Gambar 5 dan 6 menunjukkan kedua populasi
terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu
tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap
pertumbuhan.
Model 2
Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk
memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai
berikut
Tabel 3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua
22
Gambar 7 Bidang fase model kedua saat
y
x
20
18
25
16
14
20
12
10
50
100
150
200
t
8
50
Gambar 8 Bidang solusi mangsa
model kedua saat
100
150
200
t
Gambar 9 Bidang solusi pemangsa
model kedua saat
Gambar 7 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point
atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak secara spiral
menjauhi titik tetap
. Gambar 8 dan 9 menunjukkan kedua populasi
terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu
tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap
pertumbuhan.
Perbandingan dan Pengaruh Waktu Tunda Kedua Model
Model 1
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Gambar 10 Bidang fase model pertama saat
23
x
y
16.0
21.0
20.5
15.5
20.0
15.0
19.5
20
40
60
80
Gambar 11 Bidang solusi mangsa
model pertama saat
t
20
40
60
80
t
Gambar 12 Bidang solusi pemangsa
model pertama saat
Gambar 10 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap
. Gambar 11
memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami
penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan
mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju
. Gambar 12
memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami
penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan
pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju
. Terlihat pula pada
Gambar 10 kerapatan spiral kecil, menandakan bahwa terjadi sedikit osilasi
tetapi cepat menuju kestabilan pada populasi mangsa dan pemangsa.
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Gambar 13 Bidang fase model pertama saat
y
x
16.0
21.5
21.0
15.5
20.5
20.0
15.0
19.5
50
19.0
50
100
150
200
Gambar 14 Bidang solusi mangsa
model pertama saat
100
150
200
t
t
Gambar 15 Bidang solusi pemangsa
model pertama saat
24
Gambar 13 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap
. Gambar 14
memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami
penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan
mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju
. Gambar 15
memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami
penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan
pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju
. Terlihat pula pada
Gambar 13 kerapatan spiral sedang, menandakan bahwa terjadi banyak
osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi
mangsa dan pemangsa.
Kemunculan limit cycle pada Gambar 4 menunjukkan bahwa terjadi
bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari
keadaan stabil saat
menjadi tidak stabil saat
.
Model 2
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Gambar 16 Bidang fase model kedua saat
y
x
16.0
21.0
15.5
20.5
15.0
20.0
19.5
14.5
200
400
600
800
Gambar 17 Bidang solusi mangsa
model kedua saat
t
200
400
600
800
t
Gambar 18 Bidang solusi pemangsa
model kedua saat
Gambar 16 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap
. Gambar 17
memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami
penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan
25
mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju
. Gambar 18
memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami
penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan
pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin
kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju
. Terlihat pula pada
Gambar 16 kerapatan spiral tinggi, menandakan bahwa terjadi banyak
osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi
mangsa dan pemangsa.
Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat
Gambar 19 Bidang fase model kedua saat
y
x
26
18
24
16
22
14
20
12
18
20
40
60
80
Gambar 20 Bidang solusi mangsa
model kedua saat
100
t
20
40
60
80
100
t
Gambar 21 Bidang solusi pemangsa
model kedua saat
Gambar 19 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point atau
nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi
titik tetap . Gambar 20 dan 21 menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi
terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam
pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan.
Kemunculan limit cycle pada Gambar 19 menunjukkan bahwa terjadi
bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari
keadaan stabil saat
menjadi tidak stabil saat
.
26
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan
tanpa waktu tunda diperoleh tiga titik tetap positif di setiap model. Pada
model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, kestabilan
titik tetap pertama dan kedua bersifat tak terisolasi, sedangkan titik tetap
ketiga bersifat spiral stabil. Dinamika populasi mangsa-pemangsa pada
model juga dipengaruhi oleh waktu tunda dalam masa kelahiran untuk
kestabilan titik tetap. Waktu tunda yang didapat pada model mangsa
pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 lebih besar dibandingkan dengan
model mangsa pemangsa tipe Gause yang diperumum 2. Perubahan
parameter waktu tunda dari kecil ke besar menyebabkan perubahan
kestabilan titik tetap dari stabil menjadi tidak stabil. Hal ini menandakan
bahwa pada model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan
dan waktu tunda menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf superkritis.
Saran
Pada karya ilmiah ini, dipilih fungsi adalah fungsi pertumbuhan
logistik dan fungsi adalah fungsi respons Holling-Tanner tipe II. Untuk
penelitian selanjutnya, dapat digunakan fungsi
lainnya, pengaruh waktu
tunda dapat diperluas, dan pemanenan dapat berupa fungsi tidak konstan.
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta (ID): Erlangga.
Bacaer N. 2011. A Short History of Mathematical Population Dynamics.
New York (US): Springer-Verlag.
Beretta E, Kuang Y. 1996. Convergence Results in a Well-Known Delayed
Predator-Prey System. J. Math. Anal. Appl. 204:840-853.
doi:10.1006/jmaa.1996.0471.
Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York
(US): Springer-Verlag.
Garrott RA, White PJ, Watson FGR. 2009. The Ecology of Large Mammals
in Central Yellowstone Sixteen Years of Integrated Field Studies. San
Diego (US): Elsevier.
Kar TK. 2003. Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time
Delay. Mathematical and Computer Modelling. 38:449-458.
doi:10.1016/S0895-7177(03)00232-2.
Martin A, Ruan S. 2001. Predator-Prey Models with Delay and Prey
Harvesting. J. Math. Biol. 43:247-267. doi:10.1007/s002850100095
Murray JD. 2002. Mathematical Biology. I. An Introduction Third Edition.
New York (US): Springer-Verlag.
27
Ruan S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with
Discrete Delay. Math. Model. Nat. Phenom. 4:140-188.
doi:10.1051/mmnp/20094207.
Skalski GT, Gilliam JF. 2001. Functional Response with Predator
Interference: Viable Alternatives to the Holling Type II Model. Ecology.
82:3083-3092. doi:10.2307/2679836.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to
Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US):
Addison-Wesley Publishing Company.
28
LAMPIRAN
Lampiran 1
Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama
Titik tetap didapat dari
(6) diperoleh
[
dan [
]
dan
]
[
Jadi, diperoleh titik tetap
[
]
[
Jadi, diperoleh titik tetap
]
Nilai
dan [
[
, sehingga dari persamaan
diperoleh dari persamaan
]
]
]
dengan didefinisikan
Agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai
diperoleh
positif, maka dari titik tetap
sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
29
Lampiran 2
Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi
Tinjau persamaan (6) berikut
[ (
[
)
(
(
)
)]
]
Persamaan (6) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut:
dan
.
Dengan
dan
, adalah parameter perturbasi. Tinjau
persamaan pertama dari persamaan (6) berikut
Jika variabel
diperoleh
[
[ (
dan
)
(
)]
disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka
][
[
]
]
Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan
persamaan sebagai berikut:
dengan
dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi
30
Persamaan pertama sebelumnya menjadi
[
[
[
]
]
]
[
[
[
]
]
]
asumsikan
(
Karena fungsi tak linear dan karena
maka berimplikasi pada
persamaan pertama tersebut menjadi
Karena
)
dan
(
)
sehingga
maka
]
[
[
]
Dengan
dan
, adalah parameter perturbasi. Tinjau
persamaan kedua dari persamaan (6) berikut
Jika variabel
diperoleh
[
[
dan
[
(
)
]
disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka
][[
][
]
]
]
31
Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan
persamaan sebagai berikut:
dengan
dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi
Persamaan kedua sebelumnya menjadi
[
[
]
]
[
]
[
asumsikan
Karena fungsi tak linear dan karena
(
)
maka berimplikasi pada
sehingga persamaan kedua tersebut menjadi
Karena
dan
maka
]
32
Lampiran 3
Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model
pertama
Tinjau persamaan (8) berikut
[
]
Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (8)
diturunkan terhadap
dan
, maka diperoleh
[
Jika penyelesaian
]
digunakan, maka diperoleh
dan
sehingga
Dengan disubstitusikan
ke dalam persamaan turunan kedua
di atas, diperoleh
[
]
33
sehingga didapat matriks Jacobi
(
)
Penyelesaian persamaan karakteristik
[
[
jika dimisalkan
maka diperoleh
, menghasilkan
|
]
[
]
]
|
34
Lampiran 4
Penentuan tundaan waktu kritis model pertama
Dari persamaan (13) diperoleh
Untuk persamaan pertama pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk
Untuk persamaan kedua pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk
Eliminasi kedua ruas menjadi
diperoleh
35
Lampiran 5
Penjabaran fungsi sign model pertama
(
(
)
)
Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar
mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign
Bagian
karena bagian
Bagian
Bagian
karena bagian
maka hasilnya nol.
maka
36
Sehingga
Dari persamaan (14) diketahui bahwa
maka diperoleh
Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji
pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat
genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga
37
Lampiran 6
Penjabaran kondisi transversal model pertama
Dari persamaan (16) diketahui
sehingga
√
Untuk nilai
√
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
Untuk nilai
√
diperoleh
√
sehingga terpenuhi bahwa
√
38
Lampiran 7
Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua
Titik tetap didapat dari
(7) diperoleh
[
dan [
]
dan
]
[
Jadi, diperoleh titik tetap
Jadi, diperoleh titik tetap
persamaan
]
Nilai
dan [
[
, sehingga dari persamaan
diperoleh dari persamaan
]
]
Nilai
dan
diperoleh dari
Agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai
positif, maka dari titik tetap
dengan
diperoleh
sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap
sebesar
39
Lampiran 8
Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi
Tinjau persamaan (7) berikut
[ (
)
[
(
)]
(
)]
Persamaan (7) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut:
dan
.
Dengan
dan
, adalah parameter perturbasi. Tinjau
persamaan pertama dari persamaan (7) berikut
Jika variabel
diperoleh
[
[ (
dan
)
(
)]
disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka
][
[
]
]
Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan
persamaan sebagai berikut:
dengan
dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi
40
Persamaan pertama sebelumnya menjadi
[
]
[
[
]
]
[
[
[
]
]
]
asumsikan
Karena fungsi tak linear dan
(
maka berimplikasi pada
persamaan pertama tersebut menjadi
Karena
)
(
dan
)
sehingga
maka
[
]
[
]
Dengan
dan
, adalah parameter perturbasi. Tinjau
persamaan kedua dari persamaan (7) berikut
Jika variabel
diperoleh
[
[
dan
(
)]
disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka
][
[
]
]
41
Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan
persamaan sebagai berikut:
dengan
dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi
Persamaan kedua sebelumnya menjadi
[
]
[
]
[
]
[
]
asumsikan
(
Karena fungsi tak linear dan karena
maka berimplikasi pada
sehingga persamaan kedua tersebut menjadi
karena
dan
maka
)
42
Lampiran 9
Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model
kedua
Tinjau persamaan (17) berikut
[
]
Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (18)
diturunkan terhadap
dan
, maka diperoleh
[
Jika penyelesaian
]
digunakan, maka diperoleh
dan
sehingga
Dengan disubstitusikan
ke dalam persamaan turunan kedua
di atas, diperoleh
[
]
43
sehingga didapat matriks Jacobi
Penyelesaian persamaan karakteristik
[
|
[
jika dimisalkan
maka diperoleh
, menghasilkan
]
]
|
44
Lampiran 10
Penentuan tundaan waktu kritis model kedua
Dari persamaan (22) diperoleh
Untuk persamaan pertama pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk
Untuk persamaan kedua pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk
Eliminasi kedua ruas menjadi
diperoleh
(
)
45
Lampiran 11
Penjabaran fungsi sign model kedua
(
)
Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar
mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign
Bagian
karena bagian
maka
Bagian
karena bagian
maka hasilnya nol.
Sehingga
Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji
pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat
genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga
46
Lampiran 12
Penjabaran kondisi transversal model kedua
Dari persamaan (24) diketahui
sehingga
√
Untuk nilai
√
diperoleh
(
sehingga terpenuhi bahwa
Untuk nilai
(√
√
)
)
diperoleh
(
sehingga terpenuhi bahwa
( √
√
)
)
47
Lampiran 13
Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1)
f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10;
Manipulate[Module[{plt1,plt2,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol
=NDSolve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t
,0,50}];
plt1=ParametricPlot[{x[t],y[t]}/.sol,{t,0,50},PlotR
angeAll, AspectRatio0.6,
PlotStyle{RGBColor[1,0,1], Thick}, AxesLabel{x,
y}];
start = Graphics[Locator[Dynamic[{xx0, yy0}],
BackgroundYellow, LocatorRegionAutomatic],
PlotRangeAll];
plt2={plt1, start};
Show[plt2,ImageSize {450,400}]],
Style["Persamaan differensial :",Bold],
Style["x = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold],
Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold],
Delimiter,
Style["parameters",Bold,10],
{{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
{{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{,0,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
Delimiter,
Style["initial
conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS
izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5
0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"},
ControlPlacement
Left,SynchronousUpdatingFalse]
48
Lampiran 14
Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda
(Gambar 2)
f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10;
Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo
lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t
,0,80}];
plt1=ParametricPlot[{t,x[t]}/.sol,{t,0,80},PlotRang
eAll, AspectRatio0.6,
PlotStyle{RGBColor[1,0,0], Thick},
AxesLabel{“t”,“x”}];
Show[plt1,ImageSize {450,400}]],
Style["Persamaan differensial :",Bold],
Style["x = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold],
Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold],
Delimiter,
Style["parameters",Bold,10],
{{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
{{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{,0,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
Delimiter,
Style["initial
conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS
izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5
0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"},
ControlPlacement
Left,SynchronousUpdatingFalse]
49
Lampiran 15
Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda
(Gambar 3)
f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10;
Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo
lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t
,0,80}];
plt1=ParametricPlot[{t,y[t]}/.sol,{t,0,80},PlotRang
eAll, AspectRatio0.6,
PlotStyle{RGBColor[0,1,0], Thick},
AxesLabel{“t”,“y”}];
Show[plt1,ImageSize {450,400}]],
Style["Persamaan differensial :",Bold],
Style["x = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold],
Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold],
Delimiter,
Style["parameters",Bold,10],
{{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
{{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"
Labeled"},
{{,0,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La
beled"},
Delimiter,
Style["initial
conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS
izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5
0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"},
ControlPlacement
Left,SynchronousUpdatingFalse]
50
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 2 April 1993 dari ibunda
Riesa Pri Handayani dan ayahanda Cecep Supriyanto. Pada tahun 2011
penulis lulus dari SMA Negeri 3 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis
lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi
Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan dan
diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus
Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) sebagai Sekretaris II Badan
Pengurus Harian (BPH) 2012/2013, sebagai Ketua Biro Kesekretariatan
2013/2014 dan