Penyelesaian Clustered Travelling Salesman Problem Dengan Algoritme Lexisearch

PENYELESAIAN CLUSTERED TRAVELLING SALESMAN
PROBLEM DENGAN ALGORITME LEXISEARCH

FIKRI HIDAYAT

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016

PERNYATAAN SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Clustered
Travelling Salesman Problem dengan Algoritme Lexisearch adalah benar karya
saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa
pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2016
Fikri Hidayat
NIM G54100032

ABSTRAK
FIKRI HIDAYAT. Penyelesaian Clustered Travelling Salesman Problem dengan
Algoritme Lexisearch. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan ELIS
KHATIZAH.
Clustered Travelling Salesman Problem (CTSP) merupakan salah satu
varian dari TSP. Pada model CTSP pelanggan dikelompokkan menjadi beberapa
cluster. Cluster pada CTSP dibentuk berdasarkan kedekatan yang sama pada tiap
cluster. CTSP menghasilkan rute berjarak minimum yang mengunjungi setiap
pelanggan pada cluster yang sama terlebih dahulu, setelah itu pelanggan pada
cluster lain. Tujuan penelitian ini ialah menyelesaikan Clustered Travelling
Salesman Problem dengan Algoritme Lexisearch dan mengaplikasikannya pada
masalah distribusi pengiriman ayam broiler pada sejumlah kandang di wilayah
Cikarang-Bekasi, Jakarta, dan Kabupaten Bogor. Solusi terbaik atau optimal dari
permasalahan ini ialah rute dengan jarak terpendek yang mengunjungi pelangganpelanggan di setiap cluster dengan urutan cluster yang telah ditentukan.
Kata kunci: algoritme lexisearch, cluster, Clustered Travelling Salesman

Problem, optimal, rute

ABSTRACT
FIKRI HIDAYAT. The Solution of the Clustered Travelling Salesman Problem
with Lexisearch Algorithm. Supervised by FARIDA HANUM and ELIS
KHATIZAH.
Clustered Travelling Salesman Problem (CTSP) is one variant of TSP. In
the model of CTSP, customers are grouped into several clusters. Clusters on
CTSP are organized based on the proximity of clusters. CTSP produces a route
with minimum distance which visiting each customer on the same clusters. Then
it is visiting other customers on the other clusters. The purpose of this research is
to find the solution of the Clustered Travelling Salesman Problem with
Lexisearch Algorithm and to apply it to the distribution problems of the delivery
broiler chickens in the several hencoops in Cikarang-Bekasi, Jakarta, and
Kabupaten Bogor. The best solution or optimal solution of this problem is a route
with the shortest distance that visiting customers in each cluster with the order of
the clusters appointed.
Keywords: cluster, Clustered Travelling Salesman Problem, lexisearch algorithm,
optimal, route

PENYELESAIAN CLUSTERED TRAVELLING SALESMAN
PROBLEM DENGAN ALGORITME LEXISEARCH

FIKRI HIDAYAT

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Penyelesaian Clustered Travelling Salesman Problem dengan Algoritme
Lexisearch”. Selawat serta salam senantiasa diucapkan kepada Nabi Muhammad
SAW sebagai pemimpin dan suri teladan terbaik bagi umatnya. Penyusunan karya
ilmiah ini tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan
terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1
keluarga tercinta: Abdul Basit dan Siti Nihayah selaku orang tua, serta keluarga
yang telah mendoakan, memberikan semangat dan motivasi,
2
Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbimg I yang selalu sabar dalam
membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,
3
Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan
ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya,
4
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen penguji yang telah memberikan
kritik dan saran serta doanya
5
para dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah
diberikan,

6
para staf Departemen Matematika, terima kasih atas bantuan yang telah
diberikan selama ini,
7
Indri Juliyanti dan keluarga yang selalu memberikan motivasi, mendoakan,
memberikan dukungan dan perhatiannya,
8
teman-teman Matematika 47, 48, dan 49 yang selalu mendukung agar terus
berkembang dan telah menjadi keluarga selama di Bogor,
9
Gumatika yang telah memberikan banyak pengalaman yang berkesan,
10 teman-teman Mengejar Sarjana yang selalu mengingatkan dan menyemangati,
11 teman yang membantu dalam proses kelulusan Ando, Rendi, Ika, Son, Imad,
Bella, Tuty, Mira, Ale, Putri P, Rizky, Eric, Kamil, Kiki dan Syafii,
12 teman-teman yang selalu menyemangati Novan, Galih, Ichwan, Zeddy, Anbiya,
Bian, Aldi, Bani, Apro,
13 semua pihak yang telah membantu, mendukung dan mendoakan dalam
penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya
bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, Maret 2016
Fikri Hidayat

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

1

Konsep-konsep dalam Teori Graf

1

Travelling Salesman Problem

2

Clustered Travelling Salesman Problem

3

Modifikasi Matriks Jarak

3

Bias dari Matriks

3

Tabel Alfabet

4

Blok Kata

5

Batas Bawah

5

Penyelesaian Clustered Travelling Salesman Problem dengan Algoritme
Lexisearch

5

APLIKASI
Penyelesaian CTSP dengan Algoritme Lexisearch
SIMPULAN DAN SARAN

7
8
13

Simpulan

13

Saran

13

DAFTAR PUSTAKA

13

LAMPIRAN

15

RIWAYAT HIDUP

24

DAFTAR TABEL
1.
2.
3.
4.
5.

6.
7.

Lokasi peternakan dan kandang beserta cluster-nya
Jarak antarlokasi (dalam km)
Modifikasi matriks jarak dan minimal baris
Modifikasi matriks jarak dan minimal kolom
Matriks jarak yang direduksi
Tabel alfabet
Tabel pencarian

7
8
9
9
10
10
11

DAFTAR GAMBAR
1. Peta Subang, Cikarang, Bekasi, Jakarta, dan Kabupaten Bogor
2. Solusi rute distribusi

7
12

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Distribusi barang merupakan suatu kegiatan yang bertujuan mempermudah
kegiatan penyaluran barang dari pihak produsen ke pihak konsumen. Masalah
yang sering muncul dalam proses pendistribusian barang adalah menentukan rute
terpendek tur yang efisien dan efektif untuk sampai tujuan. Permasalahan
distribusi dapat dimodelkan sebagai masalah penentuan rute terpendek pada graf
yang merupakan modifikasi dan pengembangan dari model Travelling Salesman
Problem (TSP). TSP dapat diilustrasikan sebagai perjalanan seorang salesman
dimulai dari suatu kota yang harus melalui semua kota yang dituju dengan jarak
terpendek sehingga setiap kota hanya boleh dilalui satu kali dan kembali ke kota
awal perjalanan. Solusi dari TSP ialah jalur yang dilalui oleh salesman tersebut.
Tentunya solusi terbaik atau optimal dari permasalahan ini ialah jalur dengan
jarak terpendek atau dapat disebut juga dengan rute perjalanan minimum.
Salah satu varian dari TSP adalah Clustered Travelling Salesman Problem
(CTSP). Model CTSP dibentuk berdasarkan kedekatan yang sama pada tiap
cluster. Contoh aplikasi dalam kehidupan nyata, misalnya: dalam perencanaan
produksi, operasional komputer, jadwal ujian, dsb. Masalah CTSP dapat
diselesaikan dengan beberapa metode, antara lain mentransformasikan CTSP
menjadi TSP dengan cara memodifikasi matriks jarak (Chisman 1975) dan
menyelesaikannya dengan algoritme branch and bound; atau dengan beberapa
algoritme heuristik seperti dalam (Anily et al. 1996), dan (Guttmann-Beck et al.
2000), algoritme tabu search (Laporte et al. 1996), dan algoritme genetik 2
tingkat (Ding et al. 2007). Dalam karya ilmiah ini, masalah CTSP diselesaikan
dengan algoritme lexisearch. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang
berjudul An exact algorithm for the clustered travelling salesman problem
(Ahmed 2013).
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah menyelesaikan Clustered Travelling
Salesman Problem dengan Algoritme Lexisearch dan mengaplikasikannya pada
masalah distribusi pengiriman ayam broiler pada sejumlah kandang di wilayah
Cikarang-Bekasi, Jakarta, dan Kabupaten Bogor.

TINJAUAN PUSTAKA
Konsep-konsep dalam Teori Graf
Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
upaya pemecahan masalah jembatan Königsberg yang sangat terkenal di Eropa.
Kurang lebih dua abad setelah lahirnya tulisan Euler tersebut, aktivitas dalam
bidang teori graf relatif kecil. Pada tahun 1920-an kegiatan tersebut muncul
kembali dipelopori oleh Denes König yang mengumpulkan hasil-hasil pemikiran
para ahli matematika tentang teori graf termasuk hasil pemikirannya sendiri,

2

kemudian dikemasnya dalam bentuk buku yang diterbitkan pada tahun 1936.
Dalam periode yang sangat singkat, teori graf kini mengalami perkembangan
yang sangat pesat (Chartrand & Oellermann 1993). Berikut ini akan dijelaskan
beberapa konsep-konsep dalam teori graf.
Definisi 1 (Graf)
Suatu graf adalah pasangan terurut
dengan adalah himpunan
berhingga dan takkosong dari elemen-elemen graf yang disebut verteks (node,
simpul) dan adalah himpunan pasangan yang menghubungkan dua elemen
subhimpunan dari yang biasa disebut sisi (edge, line). dapat dituliskan
dan
, setiap sisi , pada
dapat dinotasikan dengan
atau
.
Banyaknya verteks dari graf disebut order dari dan banyaknya sisi dari graf
disebut size dari graf (Chartrand & Zhang 2009).
Definisi 2 (Walk)
Suatu walk W pada graf G adalah barisan bergantian antara verteks dan sisi
yang dimulai dan diakhiri oleh verteks. Walk yang dimulai dari dan berakhir di
disebut walk
dan walk W mempunyai panjang n karena melalui n sisi
(tidak harus berbeda) (Chartrand & Oellermann 1993).
Definisi 3 (Jalur/path)
Path adalah walk dengan tidak ada verteks yang diulang (Chartrand &
Oellermann 1993).
Definisi 4 (Cycle)
Cycle adalah walk tertutup, yang memuat sedikitnya tiga verteks, dan semua
verteks pada walk tersebut berbeda (Foulds 1992).
Definisi 5 (Graf lengkap)
Graf lengkap adalah graf dengan � verteks sehingga terdapat tepat satu
sisi yang menghubungkan tiap pasang verteks (Chartrand & Oellermann 1993).
Definisi 6 (Cycle Hamilton)
Cycle Hamilton adalah sebuah jalur/path pada suatu graf yang berawal dan
berakhir pada verteks yang sama dan menyinggahi semua verteks tepat satu kali
(Foulds 1992).
Travelling Salesman Problem
Menurut Fournier (2009), Travelling Salesman Problem (TSP) dapat
dipandang sebagai permasalahan penentuan cycle Hamilton pada suatu graf yaitu
cycle yang melewati semua verteks dari graf tersebut tepat satu kali. TSP
merupakan permasalahan seorang penjual yang harus melakukan tur ke sejumlah

3

kota, berangkat dari sembarang kota awal, melewati setiap kota tepat sekali, dan
terakhir kembali ke kota di mana ia berangkat. Penentuan rute ditetapkan
berdasarkan jarak minimum yang akan ditempuh.
Clustered Travelling Salesman Problem
Clustered travelling salesman problem (CTSP) adalah sebuah variasi dari
Travelling Salesman Problem (TSP). Masalah CTSP ini diperkenalkan dalam
(Chisman 1975) yang dapat didefinisikan sebagai berikut. Misalkan
merupakan suatu graf lengkap tak berarah dengan
adalah
himpunan verteks yang telah dikelompokkan dalam m buah cluster
kecuali verteks awal (depot = ). Misalkan banyaknya verteks di dalam cluster 1
sampai m berturut-turut dinyatakan sebagai � �
� . Himpunan
ialah kumpulan dari sisi. Matriks
menyatakan biaya, waktu, atau jarak tur yang didefinisikan di E. Dimulai dari
depot , masalah CTSP merupakan masalah menentukan sebuah cycle Hamilton
pada dengan jarak/biaya minimum sehingga semua verteks dari setiap cluster
dikunjungi satu per satu. Dalam karya ilmiah ini, diasumsikan bahwa setiap
cluster dikunjungi secara berurutan dengan urutan :
Modifikasi Matriks Jarak
Misalkan himpunan verteks dari suatu graf lengkap tak berarah
ialah :
� , dan
adalah matriks jarak berukuran n × n
dan
merupakan jarak dari verteks ke , dan misalkan verteks 1 sebagai depot.
Kecuali verteks 1, misalkan himpunan verteks dipartisi menjadi m cluster dengan
urutan indeks menaik
dan banyaknya verteks dalam cluster
berturut-turut ialah � �
� . Matriks jarak
yang telah diberikan,
dimodifikasi dengan cara menetapkan jarak untuk setiap edge (i, j) dengan nilai
sebesar-besarnya (misalkan
), yang menyatakan verteks yang tak boleh
dikunjungi berdasarkan urutan kunjungan cluster, kecuali edge berikut ini:
i. edge
, untuk
�
�
ii. edge
, untuk
�
�
�
iii. edge
untuk
dan
a.)
�
�
�
b.)
�
�
�
�
�
�
�
c.)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
; dan seterusnya; hingga
�
�
�
�
d.)
�
�
�
�.
Bias dari Matriks
Misalkan
ialah matriks jarak, dengan
menyatakan jarak
antara verteks i dan verteks j. Untuk menentukan bias dari matriks , terlebih
dahulu dihitung elemen terkecil pada setiap baris dari matriks , yaitu

4

{

}

�

Kemudian setiap elemen pada baris ke-i di matriks C dikurangi dengan
sehingga didapatkan matriks baru, ̅
̅
, dengan
̅

�;

, untuk setiap

�

(1.2)

Setelah itu, ditentukan elemen terkecil pada setiap kolom dari matriks ̅ , yaitu
̅

�

Selanjutnya, setiap elemen pada kolom ke-j dikurangi dengan
̿ , dengan
didapatkan matriks modifikasi ̿
̿

̅

�;

untuk

�

Bias dari matriks C didefinisikan sebagai
Bias = ∑

∑

.

sehingga

(1.4)

(1.5)
(Ahmed 2011)

Matriks jarak yang dimodifikasi/direduksi ̿ merupakan matriks taknegatif
dengan setidaknya satu elemen yang bernilai nol di setiap baris dan di setiap
kolom. Dalam masalah penugasan (assignment problem), dengan menambah atau
mengurangi suatu konstanta untuk setiap elemen dari baris atau kolom dalam
matriks jarak, maka penugasan yang meminimumkan total jarak pada salah satu
matriks juga meminimumkan total jarak pada matriks lainnya. Karena TSP
merupakan kasus khusus dari AP (Assignment Problem) maka untuk
menyelesaikan TSP dapat digunakan matriks jarak yang dimodifikasi (Ahmed
2011).
Tabel Alfabet
Matriks alfabet,
, adalah matriks segi berordo n yang dibentuk
berdasarkan posisi elemen dari matriks jarak termodifikasi berukuran n, yaitu
̿
̿ . Baris ke-i pada matriks A terdiri atas posisi dari elemen-elemen pada
baris ke-i dari matriks C ketika elemen-elemen tersebut diatur dalam urutan tidak
menurun. Jika
menyatakan elemen dengan urutan ke-j pada baris ke-i dari
matriks A, maka
menyatakan posisi elemen terkecil di baris i pada matriks
̿ . Isi tabel alfabet pada baris ke-i dan kolom ke-j ditampilkan dalam bentuk
yang merupakan pasangan berurut dari elemen matriks A dan
jaraknya dengan verteks-i.

5

Blok Kata
lengkap terdiri atas n huruf, maka
� , menyatakan kata yang taklengkap.
Suatu kata yang taklengkap dapat dipandang sebagai tur parsial yang terdiri dari
beberapa verteks. Kata taklengkap juga merepresentasikan blok dari kata dengan
kata taklengkap ini sebagai leader blok. Sebagai ilustrasi, say merupakan leader
dari blok kata-kata: saya, sayap, sayang, sayup, sayur dan sebagainya.
Untuk CTSP, setiap verteks dianggap sebagai huruf dalam alfabet dan
setiap tur dapat direpresentasikan sebagai sebuah kata dalam alfabet. Dengan
demikian himpunan kata dalam kamus (yang merepresentasikan himpunan solusi)
dipartisi ke dalam blok-blok. Sebagai contoh, blok B dengan leader (
)
dengan panjang tiga terdiri dari semua kata yang dimulai dengan (
)
sebagai tiga huruf pertama. Blok A dengan leader (
) dengan panjang dua
adalah superblok langsung dari blok B dan B termasuk salah satu subblok dari
Blok A. Blok C dengan leader (
) adalah subblok dari blok B. Blok B
terdiri dari banyak subblok (
), untuk setiap
. Blok B adalah
superblok untuk blok C.
Misalkan

suatu

kata

Batas Bawah
Penentuan batas bawah nilai fungsi objektif untuk setiap leader pada CTSP
saat ini masih sangat sulit (Ahmed 2013). Oleh karena itu, pada karya ilmiah ini
digunakan batas bawah nilai fungsi objektif TSP sebagai batas bawah nilai fungsi
objektif CTSP. Langkah-langkah untuk menentukan batas bawah tersebut adalah
sebagai berikut. Misalkan diberikan tur parsial
dan verteks
dipilih untuk dirangkaikan ke dalam tur parsial. Sebelum dibentuk rangkaian,
terlebih dahulu diperiksa batas untuk tur
. Untuk itu, dimulai
dari baris ke-2 pada tabel alfabet sampai baris ke n jumlahkan nilai-nilai (jarak)
untuk verteks yang tidak termasuk dalam tur parsial, termasuk verteks 1 (depot),
dan tidak termasuk baris
dan . Jumlah ini adalah batas bawah untuk leader
.
Penyelesaian Clustered Travelling Salesman Problem dengan Algoritme
Lexisearch
Salah satu cara untuk menyelesaikan clustered travelling salesman problem
(CTSP) ialah menggunakan algoritme lexisearch. Dalam algoritme lexisearch,
himpunan semua solusi fisibel dari suatu masalah diurutkan seperti pengurutan
kata di dalam kamus, sehingga setiap kata taklengkap menyatakan blok kata
dengan kata taklengkap ini sebagai leader-nya. Setiap blok kata ditentukan batas
nilai fungsi objektifnya. Batas-batas ini dibandingkan dengan “nilai solusi terbaik”
yang telah dicari. Jika tidak ada kata dalam blok kata dengan batas yang lebih
baik dari “nilai solusi terbaik” ini, maka proses pindah ke blok kata berikutnya.
Sebaliknya, jika batas blok ini lebih baik dari “nilai solusi terbaik”, maka proses
dilanjutkan ke subblok dari blok tersebut untuk mencari huruf/verteks yang akan
dirangkaikan ke leader blok yang telah ada.

6

Menurut Ahmed (2013) langkah-langkah dalam algoritme lexisearch untuk
menentukan cycle Hamilton pada suatu graf (yaitu cycle yang melewati semua
verteks dari graf tersebut tepat satu kali) ialah sebagai berikut.
ialah matriks jarak dan misalkan banyaknya verteks
Misalkan
pada cluster i ialah � dengan
.
Tahap 0 :
Bias dari matriks jarak dihilangkan dan konstruksi tabel alfabet yang
didasarkan pada matriks jarak yang telah dimodifikasi. “Solusi
terbaik” diberi nilai sebesar-besarnya (misalkan M). Karena verteks
1 adalah verteks awal, maka penghitungan dilakukan dari baris
pertama pada tabel alfabet. Nilai awal “tur parsial” = 0, = 1 dan
beralih ke Tahap 1.
Tahap 1 :
Pergi ke elemen ke- pada baris matriks (misalkan verteks ) dengan
jarak verteks sesuai dengan “jarak verteks saat ini”. Jika (jarak tur
parsial + jarak verteks saat ini) lebih besar atau sama dengan “jarak
solusi terbaik”, maka dilanjutkan ke Tahap 9. Jika tidak, beralih ke
Tahap 2.
Tahap 2 :
Jika verteks membentuk suatu subtur atau melanggar aturan urutan
kunjungan cluster, maka verteks v tidak digunakan dan
.
Kemudian beralih pada Tahap 7. Jika tidak, proses dilanjutkan ke
Tahap 3.
Tahap 3 :
Jika semua verteks telah dikunjungi, ditambahkan suatu edge yang
menghubungkan verteks dengan verteks 1. Jarak tur yang lengkap
dihitung dan dilanjutkan ke Tahap 4. Jika tidak, proses dilanjutkan
ke Tahap 5.
Tahap 4 :
Jika jarak tur yang lengkap lebih besar atau sama dengan jarak solusi
terbaik, lanjut ke Tahap 9; jika tidak, jarak tur diganti sebagai jarak
solusi terbaik dan beralih ke Tahap 9.
Tahap 5 :
Hitung batas bawah nilai fungsi objektif untuk leader blok yang
sekarang, dan dilanjutkan ke Tahap 6.
Tahap 6 :
Jika (nilai batas bawah + jarak tur parsial + jarak verteks saat ini)
lebih besar atau sama dengan jarak solusi terbaik, maka verteks
tidak jadi digunakan, dan nilai p ditambah 1, kemudian dilanjutkan
ke Tahap 7. Jika tidak, ambil/rangkaikan verteks v ke dalam tur
parsial, kemudian dihitung jarak tur parsial dan dilanjutkan ke
Tahap 8.
Tahap 7 :
Untuk suatu cluster , jika panjang tur taklengkap kurang dari atau
), dan elemen ke- kurang dari atau sama
sama dengan (∑ �
dengan ( ∑ �
), maka dilanjutkan ke Tahap 1. Jika tidak,
dilanjutkan ke Tahap 9.
Tahap 8 :
Beralih ke subblok, yaitu baris ke pada tabel alfabet. Jika panjang
), maka nilai
tur parsial lebih besar atau sama dengan (∑ �
∑ � . Jika tidak,
, dan proses dilanjutkan ke Tahap 1.
Tahap 9 :
Lompati blok ini, yang berarti kembali ke verteks sebelumnya
(misalkan verteks ) yaitu beralih ke baris ke pada tabel alfabet,
dan nilai ditambah 1, dengan adalah indeks dari verteks terakhir
yang diperiksa pada baris tersebut. Jika verteks
dan
�,
beralih ke Tahap 10. Jika tidak, kembali ke Tahap 1.

7

Tahap 10 :

Tahap 11:

Nilai solusi terbaik merupakan nilai solusi optimal relatif terhadap
matriks yang tereduksi. Bias matriks ditambahkan pada nilai solusi
optimal agar diperoleh nilai solusi optimal terhadap matriks jarak
awal, dan beralih ke Tahap 11.
Tur yang ada saat ini merupakan tur optimal relatif terhadap matriks
jarak awal/asli dan kemudian proses dihentikan.

APLIKASI
Kebutuhan pokok manusia meliputi pangan, sandang dan papan. Untuk
mendapatkan segala sesuatu yang dibutuhkan, diperlukan pendistribusian dari
produsen ke konsumen. Sebagai contoh, kasus pendistribusian pengiriman ayam
broiler dari peternakan di Subang ke sejumlah kandang di wilayah Cikarang,
Bekasi, Jakarta, dan Kabupaten Bogor yang denahnya diberikan pada Gambar 1
berikut.

Gambar 1 Peta Subang, Cikarang, Bekasi, Jakarta, dan Kabupaten Bogor
Daerah lokasi kandang dibagi menjadi tiga cluster, yaitu Cikarang-Bekasi,
Jakarta, dan Kabupaten Bogor dengan detail lokasi kandang di tiap cluster
diberikan pada Tabel 1 dan jarak antarlokasi diberikan di Tabel 2.
Tabel 1 Lokasi peternakan dan kandang beserta cluster-nya
Verteks

Nama

Cluster

1

Subang

Depot

2

Cikarang

1

3

Bekasi

1

8

Tabel 1 Lokasi peternakan dan kandang beserta cluster-nya (lanjutan)
Verteks

Nama

Cluster

4

Cempaka Putih

2

5

Pulo Gadung

2

6

Jatinegara

2

7

Cileungsi

3

8

Citeureup

3

9

Cibinong

3

Tabel 2 Jarak antarlokasi (dalam km)
Verteks
1
2
3
4
5
6
7
8
9

1
0
97
107
131
122
123
122
152
157

2
103
0
16
44
36
37
30
65
70

3
106
21
0
31
23
24
18
52
57

4
131
47
31
0
10
10
40
48
53

5
122
37
21
8
0
8
30
51
55

6
124
39
23
10
8
0
32
41
45

7
117
33
18
36
31
29
0
26
37

8
143
65
49
46
53
39
25
0
17

9
146
61
55
52
59
44
38
17
0

Jadi, himpunan verteks (lokasi peternakan dan kandang) ialah
dan himpunan verteks (lokasi kandang) untuk cluster 1, 2, 3 berturutturut ialah
,
,
dengan urutan kunjungan
ialah verteks-verteks di
terlebih dahulu, dilanjutkan dengan , baru . Ini
berarti pula bahwa banyaknya verteks di setiap cluster ialah �
,�
, dan
�
.
Penyelesaian CTSP dengan Algoritme Lexisearch

Tahap 0
Berikut ini diberikan hasil Tahap 0 dari algoritme lexisearch, yaitu proses
pemodifikasian matriks jarak, hingga diperoleh tabel alfabet pada Tabel 6.
Misalkan diberikan matriks
dengan
ialah jarak antara lokasi i
dengan lokasi j seperti diberikan pada Tabel 2 dan dapat dinyatakan sebagai jarak
untuk edge
. Diketahui �
,�
,�
, dan �
. Selanjutnya,
matriks jarak tersebut dimodifikasi dengan cara sebagai berikut :
Jarak untuk setiap edge
diberi nilai sebesar-besarnya (misalkan M =
999) kecuali untuk edge-edge berikut tetap menggunakan jarak asli, yaitu :
i. edge
, untuk
yaitu edge (1,2), (1,3),
ii. edge
, untuk
yaitu edge (7,1), (8,1), (9,1),
iii. edge
untuk
dan

9

dan
yaitu edge (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,2),
(3,4), (3,5), (3,6),
b.)
dan
yaitu edge (4,5), (4,6), (4,7), (4,8),
(4,9), (5,4), (5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (6,4), (6,5), (6,7), (6,8), (6,9),
c.)
dan
yaitu edge (7,8), (7,9), (8,7), (8,9), (9,7),
(9,8).

a.)

Tabel 3 Modifikasi matriks jarak dan minimal baris
Verteks
(i)

1

2

3

1
2
3
4
5
6
7
8
9

999
999
999
999
999
999
122
152
157

103
999
16
999
999
999
999
999
999

106
21
999
999
999
999
999
999
999

Verteks (j)
4
5
6
999
47
31
999
10
10
999
999
999

999
37
21
8
999
8
999
999
999

999
39
23
10
8
999
999
999
999

7

8

9

999
999
999
36
31
29
999
26
37

999
999
999
46
53
39
25
999
17

999
999
999
52
59
44
38
17
999

Setiap elemen pada baris ke-i dikurangi dengan
baris i) sehingga diperoleh Tabel 4 seperti berikut :

Minimal
elemen
baris-i ( )

103
21
16
8
8
8
25
17
17

(yaitu minimal elemen

Tabel 4 Modifikasi matriks jarak dan minimal kolom
Verteks
(i)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Minimal
elemen
kolom j

2

3

0
978
0
991
991
991
974
982
982

3
0
983
991
991
991
974
982
982

97

0

0

Verteks (j)
4
5
896 896
26
16
15
5
991
0
2 991
2
0
974 974
982 982
982 982
2

0

6
896
18
7
2
0
991
974
982
982

7
896
978
983
28
23
21
974
9
20

8
896
978
983
38
45
31
0
982
0

0

9

0

9
896
978
983
44
51
36
13
0
982

∑
dan
diperoleh bias matriks C yaitu ∑
. Selanjutnya setiap elemen pada kolom ke-j dikurangi
sehingga diperoleh Tabel 5 sebagai berikut:

Dari nilai
dengan

1
896
978
983
991
991
991
97
135
140

10

Tabel 5 Matriks jarak yang direduksi
Verteks
1
2
3
4
5
6
7
8
9

1
799
881
886
894
894
894
0
38
43

2

3

0
978
0
991
991
991
974
982
982

3
0
983
991
991
991
974
982
982

4
894
24
13
989
0
0
972
980
980

5
896
16
5
0
991
0
974
982
982

6
896
18
7
2
0
991
974
982
982

7
887
969
974
19
14
12
965
0
973

8
896
978
983
38
45
31
0
982
0

9
896
978
983
44
51
36
13
0
982

Setelah mendapatkan matriks jarak yang tereduksi, langkah selanjutnya
ialah membuat tabel alfabet seperti pada Tabel 6. Sebelumnya setap baris i pada
Tabel 5 diurutkan secara takturun berdasarkan nilai/jarak dan diidentifikasi
verteks j yang berpadanan dengan jarak
. Sebagai contoh pada baris ke-1:
. Demikian dilakukan sampai baris ke-9 sehingga diperoleh Tabel
alfabet seperti pada Tabel 6.
Tabel 6 Tabel alfabet
1
2
3
4
5
6
7
8
9

v-jarak

v-jarak

v-jarak

v-jarak

v-jarak

v-jarak

v-jarak

v-jarak

v-jarak

2-0
3-0
2-0
5-0
4-0
4-0
1-0
7-0
8-0

3- 3
5-16
5- 5
6- 2
6- 0
5- 0
8- 0
9- 0
1-43

1-799
6- 18
6- 7
7- 19
7- 14
7- 12
9- 13
1- 38
7-973

7-887
4- 24
4- 13
8- 38
8- 45
8- 31
7-965
4-980
4-980

4-894
1-881
1-886
9- 44
9- 51
9- 36
4-972
2-982
2-982

5-896
7-969
7-974
1-894
1-894
1-894
2-974
3-982
3-982

6-896
2-978
3-983
4-989
2-991
2-991
3-974
5-982
5-982

8-896
8-978
8-983
2-991
3-991
3-991
5-974
6-982
6-982

9-896
9-978
9-983
3-991
5-991
6-991
6-974
8-982
9-982

Setelah diperoleh tabel alfabet, langkah selanjutnya ialah mencari jalur tur
dari depot ke verteks yang berdekatan dengan menelusuri tiap cluster hingga
kembali ke depot tanpa terjadinya pengulangan tur yang diringkaskan pada Tabel
7 (detail penyelesaian diberikan di Lampiran 1). Sebagai penjelasan, notasi
pada Tabel 6 berarti “jarak verteks sekarang” =
= 2, dan (7) + 43, GS
berarti (7) ialah nilai/jarak tur parsial termasuk jarak verteks sekarang, 43 ialah
nilai batas bawah dan keputusannya ialah GS.

11

Tabel 7 Tabel pencarian
1→
1→
(0)+0, GS

→
2→
(0)+0, GS

→

→
3→

(5)+43, GS

→
5→

(5)+43, GS

4→
(7)+43, GS

→
6→

→

→

→1
9→

7→

8→

(19)+43, GS

(19)+43, GS

(19)+43, GS

BS=62, JO

8→

7→

7→
(32)+38, GS

6→
(38)+43, JO

6→
(43)+0, GS

3→
(7)+43, GS

3→
(13)+43, GS

3→
(13)+38, GS

3→
(13)+973, GS

1→
(3)+0, GS

3→
(3)+0, GS

2→
(19)+43, GS

2→
(27)+0, GS

2→
(21)+43, GS

1→

6→
(7)+43, GS

4→
(7)+43, GS

4→

5→

(13)+43, GS

(13)+43, GS

4→

6→

(15)+38, GS

(15)+38, GS

4→

6→

(15)+973, GS

(15)+973, GS

5→

4→

(19)+43, GS

(21)+43, GS

4→

5→

(27)+0, GS

(27)+0, GS

6→

4→

(21)+43, GS

(21)+43, GS

9→
(43)+0, GS

(43)+0, GS

BS=43, JO

5→
(21)+43, JO

6→
(25)+43, JO

5→
(29)+38, JO

5→
(29)+973, JO

6→
(33)+43, JO

6→
(63)+0, JO

5→
(66)+43, JO

,
STOP

11

12

Simbol-simbol keputusan yang digunakan akan dijelaskan di bawah ini:
GS:

JB:
JO:

BS:

Go to sub-block (pergi ke subblok), yaitu huruf (verteks) pertama yang
masih belum terpilih leader blok saat ini. Misalnya GS untuk „db‟
menjadikan „dba‟ sebagai leader yang diperluas.
Jump the current block (pergi ke blok selanjutnya dengan order/yang sama
panjang,), misalnya, JB untuk „abc‟ ialah „abd‟.
Jump out to the next and higher order block (melompati ke blok
berikutnya dengan cara menghapus huruf/verteks terakhir pada leader
blok-nya kemudian lompati blok tersebut). Misalnya, JO untuk „cdbe‟
ialah „cde‟.
Best solution value, ialah nilai solusi terbaik.

Dari Tabel 7, dapat diperoleh solusi terbaik dengan verteks
{1→2→3→5→4→6→9→8→7→1} dengan jarak tur terbaik = 43 km. Jarak
sebenarnya diperoleh dengan cara menambahkan jarak minimum tersebut dengan
bias matriks, sehingga diperoleh = 331 + 43 = 374 km. Rute distribusi diberikan
pada Gambar 2 seperti berikut.

Keterangan:
1. Subang (depot)
2. Cikarang
3. Bekasi
4. Cempaka Putih
5. Pulo Gadung
6. Jatinegara
7. Cileungsi
8. Citeureup
9. Cibinong

Gambar 2 Solusi rute distribusi

13

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah Clustered Travelling Salesman Problem (CTSP) dapat diselesaikan
menggunakan algoritme lexisearch. Telah diperlihatkan bahwa masalah CTSP
dapat diterapkan pada pendistribusian ayam broiler dari Subang ke wilayahwilayah yang terdapat di wilayah Cikarang-Bekasi, Jakarta, dan beberapa wilayah
di Kabupaten Bogor. Hasil yang didapatkan yaitu jarak tur optimal dengan
matriks jarak yang sebenarnya = bias matriks + jarak tur terbaik = 331 + 43 = 374
km.

Saran
Karya ilmiah ini menggunakan metode lexisearch, untuk karya ilmiah
selanjutnya dapat menggunakan metode lain seperti algoritme branch and bound;
atau dengan beberapa algoritme heuristik, dan membangun software yang dapat
menerapkan metode heuristik tersebut.

DAFTAR PUSTAKA
Ahmed ZH. 2010. A lexisearch algorithm for the bottleneck travelling salesman
problem. International Journal of Computer Science and Security (IJCSS).
3(6):569-577.doi: 10.1016/j.jda.2008.11.007.
Ahmed ZH. 2011. A data-guided lexisearch algorithm for the asymmetric
travelling salesman problem. Mathematical Problem in Engineering. 2011:118.doi:10.1155/2011/750968.
Ahmed ZH. 2013. An exact algorithm for the clustered travelling salesman
problem. Opsearch. 50(2):215-228.doi:10.1007/s12597-012-0107-0.
Anily S, Bramel J, Hertz A. 1996. A 5/3-approximation algorithm for the clustered
traveling salesman tour and path problems. Operations Research Letters. 24:29-35.
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New
York (US): McGraw-Hill.
Chartrand G, Zhang P. 2009. Chromatic Graph Theory. London (GB): CRC Pr.
Chisman JA. 1975. The clustered travelling salesman problem. Computers &
Operations Research. 2(2):115-119.
Ding C, Cheng Y, He M. 2007. Two-level genetic algorithm for clustered traveling
salesman problem problem with application in large-scale TSPs. Tsinghua Science
and Technology. 12(4):459-465.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Springer-Verlag.
Fournier JC. 2009. Graph Theory and Applications. New Jersey (US): John Wiley &
Sons.

14

Guttmann-Beck N, Hassin R, Khuller S, Raghavachari B. 2000. Approximation
algorithms with bounded performance guarantees for the clustered traveling
salesman problem. Algorithmica. 28(4):422-437.doi: 10.1007/s004530010045.
Laporte G, Potvin JY, Quilleret F. 1996. A tabu search heuristic using genetic
diversification for the clustered traveling salesman problem. J Heuristics.
2(3):187-200.

15

Lampiran 1 Penjelasan tabel alfabet
Iterasi 1:
Tahap 0: Asumsi, BS (Best Solution) = 999 dan “jarak tur parsial” = (Sol) = 0, p
= 1.
Tahap 1: Dimulai dari baris pertama pada tabel alfabet, dengan
dan
“jarak verteks sekarang” = (jarak) =
= 0 dan sesuai dengan urutan
kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 0 + 0 = 0 < BS = 999.
Tahap 2: Verteks 2 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2). Batas bawah nilai fungsi objektif ialah
Batas =
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 0 + 0 = 0 < BS, verteks 2 diterima
untuk tur parsial {1→2}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 0 + 0 = 0.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-2 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 2 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-2.
Iterasi 2:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-2 tabel alfabet, dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 0 + 0 = 0 < BS = 999.
Tahap 2: Verteks 3 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3). Batas bawah nilai fungsi objektif ialah
Batas =
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
= 5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 5.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 5 + 0 + 0 = 5 < BS, verteks 3 diterima
untuk tur parsial {1→2→3}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 0 + 0 = 0.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-3 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 3 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-3.
Iterasi 3:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-3 tabel alfabet, dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 0 + 0 = 0 < BS = 999.
Tahap 2: Verteks 2 membentuk subtur, maka verteks 2 tidak dapat digunakan dan
p ← 1 + 1 = 2, beralih ke Tahap 7.

16

Tahap 7: ∑ �
untuk cluster pertama, panjang tur taklengkap
{1→2→3} adalah 3 ≤ 3 dan elemen ke 2 < 3, maka proses dilanjutkan
ke Tahap 1.
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-2 pada baris ke-3 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 5 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 0 + 5 = 5 < BS = 999.
Tahap 2: Verteks 5 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5). Batas bawah nilai fungsi objektif ialah
Batas =
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 0 + 5 = 5 < BS, verteks 5 diterima
untuk tur parsial {1→2→3→5}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 0 + 5 = 5.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-5 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 4 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-4.
Iterasi 4:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-5 tabel alfabet, dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 5 + 0 = 5 < BS.
Tahap 2: Verteks 4 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4). Batas bawah nilai fungsi objektif
ialah
Batas =
+
+
+
+
=
+
+
+
+
= 2 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 2 + 5 + 0 = 7 < BS, verteks 4 diterima
untuk tur parsial {1→2→3→5→4}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 5 + 0 = 5.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-4 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 5 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-5.
Iterasi 5:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-4 tabel alfabet, dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 5 + 0 = 5 < BS.
Tahap 2: Verteks 5 membentuk subtur, maka verteks 5 tidak dapat digunakan dan
p ← 1+ 1 = 2 beralih ke Tahap 7.
Tahap 7: ∑ �
untuk cluster kedua, panjang tur
taklengkap {1→2→3→5→4} adalah 5 < 6 dan elemen ke 2 < 6, maka
proses dilanjutkan ke Tahap 1.

17

Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-2 pada baris ke-4 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 2 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 5 + 2 = 7 < BS.
Tahap 2: Verteks 6 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6). Batas bawah nilai fungsi objektif
ialah
Batas =
+
+
+
=
+
+
+
= 12 + 0 + 0 + 0 = 12.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 12 + 5 + 2 = 19 < BS, verteks 6 diterima
untuk tur parsial {1→2→3→5→4→6}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 5 + 2 = 7.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-6 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 6 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-6.
Iterasi 6:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-6 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 7 + 0 = 7 < BS.
Tahap 2: Verteks 4 membentuk subtur, maka verteks 4 tidak dapat digunakan dan
p ← 1 + 1 = 2 beralih ke Tahap 7.
Tahap 7: ∑ �
untuk cluster kedua, panjang tur
taklengkap {1→2→3→5→4→6} adalah 6 ≤ 6 dan elemen ke 2 < 6,
maka proses dilanjutkan ke Tahap 1.
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-2 pada baris ke-6 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 7 + 0 = 7 < BS.
Tahap 2: Verteks 5 membentuk subtur, maka verteks 5 tidak dapat digunakan dan
p ← 2 + 1 = 3 beralih ke Tahap 7.
Tahap 7: ∑ �
untuk cluster kedua, panjang tur
taklengkap {1→2→3→5→4→6} adalah 6 ≤ 6 dan elemen ke 3 < 6,
maka proses dilanjutkan ke Tahap 1.
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-3 pada baris ke-6 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 12 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 7 + 12 = 19 < BS.
Tahap 2: Verteks 7 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 7). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
+
+
=
+
+
= 0 + 0 + 0 = 0.

18

Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 7 + 12 = 19 < BS, verteks 7 diterima
untuk tur parsial {1→2→3→5→4→6→7}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 7 + 12 = 19.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-7 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 7 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-7.
Iterasi 7:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-7 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 19 + 0 = 19 < BS.
Tahap 2: Verteks 1 membentuk subtur, maka verteks 1 tidak dapat digunakan dan
p ← 1 + 1 = 2 beralih ke Tahap 7.
Tahap 7: ∑ �
untuk cluster ketiga, panjang tur
taklengkap {1→2→3→5→4→6→7} adalah 7 ≤ 9 dan elemen ke 2 < 9,
maka proses dilanjutkan ke Tahap 1.
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-2 pada baris ke-7 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 19 + 0 = 19 < BS.
Tahap 2: Verteks 8 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
+
=
+
= 0 + 0 = 0.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 19 + 0 = 19 < BS, verteks 8 diterima
untuk tur parsial {1→2→3→5→4→6→7→8}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 19 + 0 = 19.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-8 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 8 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-8.
Iterasi 8:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-8 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 19 + 0 = 19 < BS.
Tahap 2: Verteks 7 membentuk subtur, maka verteks 7 tidak dapat digunakan dan
p ← 1 + 1 = 2 beralih ke Tahap 7.
Tahap 7: ∑ �
untuk cluster ketiga, panjang tur
taklengkap {1→2→3→5→4→6→7→8} adalah 8 ≤ 9 dan elemen ke 2
< 9, maka proses dilanjutkan ke Tahap 1.
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-2 pada baris ke-8 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 19 + 0 = 19 < BS.
Tahap 2: Verteks 9 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.

19

Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8, 9). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
=
= 43.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 43 + 19 + 0 = 62 < BS verteks 9 diterima
dan tur parsial menjadi {1→2→3→5→4→6→7→8→9}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 19 + 0 = 19.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-9 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 9 ≤ 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-9.
Iterasi 9:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-9 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 19 + 0 = 19 < BS.
Tahap 2: Verteks 9 membentuk suatu subtur, maka verteks 9 tidak dapat
digunakan dan p ← 1 + 1 = 2 beralih ke Tahap 7.
Tahap 7: ∑ �
untuk cluster ketiga, jika panjang tur
taklengkap {1→2→3→5→4→6→7→8→9} adalah 9 ≤ 9 dan elemen
ke 2 < 9, maka proses dilanjutkan ke Tahap 1.
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-2 pada baris ke-9 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 43 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 19 + 43 = 62 < BS.
Tahap 2: Verteks 1 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Semua verteks
telah dikunjungi.
Tur lengkap
menjadi
{1→2→3→5→4→6→7→8→9→1} dengan jarak tur lengkap = 62 <
BS.
Tahap 4: Jarak tur lengkap = 62, maka BS = 62.
Tahap 9: Lompati blok ini dan pindah ke blok dengan level lebih tinggi. Tur
lengkap menjadi {1→2→3→5→4→6→7→8→9→1} dengan total
jarak 62. Misalkan lompat ke blok dengan leader (1, 2, 3, 5, 4, 6, 7),
berarti pindah ke baris ke-7 dan p ← 3.
Iterasi 10:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-3 pada baris ke-7 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 13 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 19 + 13 = 32 < BS.
Tahap 2: Verteks 9 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 9). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
+
=
+
= 0 + 0 = 0.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 19 + 13 = 32 < BS verteks 9 diterima
dan tur parsial menjadi {1→2→3→5→4→6→7→9}.

20

“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 19 + 13 = 32.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-9 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 8 ≤ 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-11.
Iterasi 11:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-9 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 32 + 0 = 32 < BS.
Tahap 2: Verteks 8 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 9, 8). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
=
= 0.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 32 + 0 = 32 < BS verteks 8 diterima
dan tur parsial menjadi {1→2→3→5→4→6→7→9→8}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 32 + 0 = 32.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-8 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 9 ≤ 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-12.
Iterasi 12:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-8 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 32 + 0 = 32 < BS.
Tahap 2: Verteks 7 membentuk suatu subtur, maka verteks 7 tidak dapat
digunakan dan p ← 1 + 1 = 2 beralih ke Tahap 7.
untuk cluster ketiga, jika panjang tur
Tahap 7: ∑ �
taklengkap {1→2→3→5→4→6→7→9→8} adalah 9 ≤ 9 dan elemen
ke 2 < 9, maka proses dilanjutkan ke Tahap 1.
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-2 pada baris ke-8 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 32 + 0 = 32 < BS.
Tahap 2: Verteks 9 membentuk suatu subtur, maka verteks 9 tidak dapat
digunakan dan p ← 2 + 1 = 3 beralih ke Tahap 7.
untuk cluster ketiga, jika panjang tur
Tahap 7: ∑ �
taklengkap {1→2→3→5→4→6→7→9→8} adalah 9 ≤ 9 dan elemen
ke 3 < 9, maka proses dilanjutkan ke Tahap 1.
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-3 pada baris ke-8 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 38 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 32 + 38 = 70 > BS.
Karena jarak turlengkap lebih besar dibanding 62, maka tidak diterima
dan lanjut ke Tahap 9.
Tahap 9: Lompati blok ini dan pindah ke blok dengan level lebih tinggi.
Misalkan lompat ke blok dengan leader (1, 2, 3, 5, 4, 6), berarti pindah
ke baris ke-6 dan p ← 4.

21

Iterasi 13:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-4 pada baris ke-6 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 31 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 7 + 31 = 38 < BS.
Tahap 2: Verteks 8 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 8). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
+
=
+
+
= 0 + 0 + 0 = 0.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 7 + 31 = 38 < BS verteks 8 diterima
dan tur parsial menjadi {1→2→3→5→4→6→8}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 7 + 31 = 38.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-8 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 7 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-14.
Iterasi 14:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-8 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 38 + 0 = 38 < BS.
Tahap 2: Verteks 7 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 8, 7). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
+
=
+
= 0 + 0 = 0.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 38 + 0 = 38 < BS verteks 7 diterima
dan tur parsial menjadi {1→2→3→5→4→6→8→7}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 38 + 0 = 38.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-7 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 8 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-15.
Iterasi 15:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-7 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 38 + 0 = 38 < BS.
Tahap 2: Verteks 1 membentuk subtur, maka verteks 1 tidak dapat digunakan dan
p ← 1 + 1 = 2 beralih ke Tahap 7.
Tahap 7: ∑ �
untuk cluster ketiga, panjang tur
taklengkap {1→2→3→5→4→6→8→7} adalah 8 ≤ 9 dan elemen ke 2
< 9, maka proses dilanjutkan ke Tahap 1.

22

Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-2 pada baris ke-7 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 38 + 0 = 38 < BS.
Tahap 2: Verteks 8 membentuk subtur, maka verteks 8 tidak dapat digunakan dan
p ← 2 + 1 = 3 beralih ke Tahap 7.
Tahap 7: ∑ �
untuk cluster ketiga, panjang tur
taklengkap {1→2→3→5→4→6→8→7} adalah 8 ≤ 9 dan elemen ke 3
< 9, maka proses dilanjutkan ke Tahap 1.
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-3 pada baris ke-7 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 13 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 38 + 13 = 51 < BS.
Tahap 2: Verteks 9 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 8, 7, 9). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
=
= 43.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 43 + 38 + 13 = 94 > BS, jarak turlengkap
lebih besar dibanding 62, maka tidak diterima dan lanjut ke Tahap 9.
Tahap 9: Lompati blok ini dan pindah ke blok dengan level lebih tinggi.
Misalkan lompat ke blok dengan leader (1, 2, 3, 5, 4, 6), berarti pindah
ke baris ke-6 dan p ← 5.
Iterasi 16:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-5 pada baris ke-6 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 36 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 7 + 36 = 43 < BS.
Tahap 2: Verteks 9 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 9). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
+
=
+
+
= 0 + 0 + 0 = 0.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 7 + 36 = 43 < BS verteks 9 diterima
dan tur parsial menjadi {1→2→3→5→4→6→9}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 7 + 36 = 43.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-9 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 7 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-17.

Iterasi 17:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-9 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jarak) = 43 + 0 = 43 < BS.

23

Tahap 2: Verteks 8 tidak membentuk subtur dan tidak melanggar urutan
kunjungan cluster.
Tahap 3: Belum semua verteks dikunjungi.
Tahap 5: Leader blok saat ini: (1, 2, 3, 5, 4, 6, 9, 8). Batas bawah nilai fungsi
objektif ialah
Batas =
+
=
+
= 0 + 0 = 0.
Tahap 6: Karena (batas + Sol + jarak) = 0 + 43 + 0 = 43 < BS verteks 9 diterima
dan tur parsial menjadi {1→2→3→5→4→6→9→8}.
“Jarak tur parsial” = Sol ← Sol + jarak = 43 + 0 = 43.
Tahap 8: Pergi ke subblok, yaitu baris ke-8 pada tabel alfabet.
Panjang tur taklengkap = 8 < 9 maka p = 1 dan ke Tahap 1 untuk iterasi
yang ke-18.
Iterasi 18:
Tahap 1: Dilanjutkan ke elemen ke-1 pada baris ke-8 tabel alfabet dengan
dan “jarak verteks sekarang” = jarak =
= 0 dan sesuai
dengan urutan kunjungan cluster; (Sol + jara