Pendugaan Nilai Aset Pendanaan Pensiun dengan Dua Jenis Pemulusan: Studi Kasus Data Mortalitas Indonesia 2011
PENDUGAAN NILAI ASET PENDANAAN PENSIUN DENGAN
DUA JENIS PEMULUSAN: STUDI KASUS DATA
MORTALITAS INDONESIA 2011
AYUB PRISNA WARDANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Nilai Aset
Pendanaan Pensiun dengan Dua Jenis Pemulusan: Studi Kasus Data Mortalitas
Indonesia 2011 adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Ayub Prisna Wardana
NIM G54100007
ABSTRAK
AYUB PRISNA WARDANA. Pendugaan Nilai Aset Pendanaan Pensiun dengan
Dua Jenis Pemulusan: Studi Kasus Data Mortalitas Indonesia 2011. Dibimbing
oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RUHIYAT.
Penentuan nilai aset di setiap periode merupakan masalah yang dihadapi
oleh suatu perusahaan asuransi. Karya ilmiah ini bertujuan untuk menduga nilai
aset pendanaan pensiun suatu perusahaan menggunakan metode pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika serta membandingkan kedua metode
tersebut. Pemulusan eksponensial memberikan bobot secara eksponensial
terhadap aset perusahaan periode sebelumnya, sedangkan pemulusan aritmetika
merata-ratakan aset perusahaan pada beberapa periode terakhir. Kedua metode
menduga nilai aset dengan baik. Kelebihan pemulusan eksponensial dibanding
aritmetika adalah mampu menghasilkan ragam kontribusi yang lebih kecil.
Ilustrasi dalam karya ilmiah ini menggunakan bobot eksponensial sebesar 0.7 dan
rataan aritmetika 5 periode terakhir. Tingkat kesalahan dalam menduga aset
menghasilkan nilai MAPE untuk pemulusan aritmetika sebesar 0.136% dan untuk
pemulusan eksponensial sebesar 0.216%. Keragaman kontribusi pemulusan
eksponensial sebesar
lebih kecil dibandingkan pemulusan aritmetika
sebesar
.
Kata kunci: aset, pemulusan aritmetika, pemulusan eksponensial, pendanaan
pensiun
ABSTRACT
AYUB PRISNA WARDANA. Estimating the Value of Pension Funding Assets
with Two Types of Smoothing: A Case Study of Indonesian Mortality Data 2011.
Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RUHIYAT.
Determinating the value of assets at the beginning of each period is a
problem faced by an insurance company. The purpose of this paper is to estimate
the value of pension funding assets of a company using exponential and arithmetic
smoothing methods and to compare both methods. Exponential smoothing
weights exponentially the previous periods of the company asset, while arithmetic
smoothing averages the previous periods of the company asset. Both methods
estimate the assets value well. The exponential smoothing generates contribution
variance smaller than arithmetic smoothing. The illustrations in this paper use an
exponential weighting of 0.7 and arithmetic average of the 5 last period. The error
rate in estimating the assets value provides MAPE of 0.216% and 0.136% for
exponential and arithmetic smoothing methods, respectivelly. The contribution
variance of exponential smoothing (
) is smaller than that of arithmetic
smoothing (
).
Keywords: arithmetic smoothing, asset, exponential smoothing, pension funding
PENDUGAAN NILAI ASET PENDANAAN PENSIUN DENGAN
DUA JENIS PEMULUSAN: STUDI KASUS DATA
MORTALITAS INDONESIA 2011
AYUB PRISNA WARDANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Pendugaan Nilai Aset Pendanaan Pensiun dengan Dua Jenis
Pemulusan: Studi Kasus Data Mortalitas Indonesia 2011
Nama
: Ayub Prisna Wardana
NIM
: G54100007
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Ruhiyat, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah
asuransi pensiun, dengan judul Pendugaan Nilai Aset Pendanaan Pensiun dengan
Dua Jenis Pemulusan: Studi Kasus Data Mortalitas Indonesia 2011.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya,
2 Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing
yang telah membimbing dalam penulisan karya ilmiah ini, serta Dr Dra
Berlian Setiawaty, MS selaku dosen penguji yang telah banyak memberi
saran,
3 teman-teman Matematika 47 yang telah membantu penulis dalam kegiatan
belajar,
4 teman-teman Wisma Uganda (Irfan, Muhjidin, Trias, Adit Tiya, Danang, Nur
Fatah) yang senantiasa menjadi tempat berbagi,
5 seluruh staf tata usaha dan mahasiswa Angkatan 45, 46, dan 48 Departemen
Matematika IPB yang telah menemani perjalanan penulis selama perkuliahan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Ayub Prisna Wardana
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
2
Entry Age Normal
2
Nilai Sekarang Aktuaria
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Program Pensiun Manfaat-Pasti
3
Pemulusan Eksponensial
6
Pemulusan Aritmetika
7
Perbandingan Metode Pemulusan Eksponensial dan Pemulusan Aritmetika
9
Ilustrasi Pendugaan Nilai Aset Aktuaria
11
Pendugaan Nilai Aset Menggunakan Pemulusan Eksponensial
12
Pendugaan Nilai Aset Menggunakan Pemulusan Aritmetika
16
Pengaruh Pemulusan Aset terhadap Kontribusi
19
SIMPULAN DAN SARAN
22
Simpulan
22
Saran
22
DAFTAR PUSTAKA
22
LAMPIRAN
24
RIWAYAT HIDUP
34
DAFTAR TABEL
1 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan eksponensial
dengan nilai
,
, dan
2 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan aritmetika dengan
nilai
,
, dan
14
18
DAFTAR GAMBAR
1 Nilai aset aktual dan nilai aset berdasarkan pemulusan eksponensial
2 Nilai aset aktual dan nilai aset berdasarkan pemulusan aritmetika
3 Grafik kontribusi pada pemulusan eksponensial saat
dan
4 Grafik kontribusi pada pemulusan aritmetika saat
dan
5 Grafik kontribusi pemulusan aritmetika dan eksponensial
15
18
20
20
21
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian perhitungan nilai rataan pemulusan aset menggunakan
dana pada saat dan kerugian beberapa tahun terakhir
2 Pembuktian perhitungan nilai rataan pemulusan aset berdasarkan
actuarial liability dan kerugian beberapa tahun terakhir
3 Tabel Mortalita Indonesia 2011 untuk jenis kelamin laki-laki
,∑
, ̈ ̅̅̅̅̅ , dan ̈
4 Perhitungan
,∑
5 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan eksponensial
dengan nilai
dan
6 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan aritmetika dengan
nilai
dan
24
25
26
27
30
32
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Asuransi merupakan suatu bentuk pengendalian risiko dengan cara
mengalihkan atau mentransfer risiko dari satu pihak ke pihak yang lain. Terdapat
dua pihak dalam suatu asuransi, yaitu perusahaan asuransi sebagai pihak
penanggung dan peserta asuransi sebagai pihak tertanggung. Prinsip dasar yang
digunakan dalam asuransi yaitu penanggung (perusahaan asuransi) mengikatkan
diri kepada tertanggung (peserta asuransi) dengan menerima premi asuransi untuk
memberikan penggantian kepada tertanggung atas kerugian yang dialami oleh
pihak tertanggung. Konsep saling menanggung risiko inilah yang menjadikan
asuransi menjadi pilihan banyak orang di masa kini sebagai pengaman kebutuhan.
Manusia akan memasuki usia tidak produktif di mana mereka tidak lagi
bekerja, program pendanaan pensiun bisa menjadi satu pilihan. Program dana
pensiun merupakan badan hukum yang didirikan dalam upaya untuk memelihara
kesinambungan penghasilan pada hari tua bagi pekerjanya (UU Republik
Indonesia Nomor 11 Tahun 1992). Perusahaan asuransi menyediakan berbagai
program rencana pensiun, salah satu program rencana pensiun adalah program
rencana pensiun manfaat-pasti. Program rencana pensiun manfaat-pasti adalah
program pensiun yang penentuan besar manfaat pensiun yang akan diterima
peserta pensiun sudah ditetapkan di awal.
Semakin banyaknya minat orang terhadap asuransi membuat perusahaan
asuransi harus memiliki strategi dalam mengelola aset perusahaan. Keuntungan
dan kerugian menjadi perhatian khusus bagi perusahaan asuransi untuk menjaga
kestabilan perusahaan. Banyak cara dilakukan oleh aktuaris untuk
meminimumkan kerugian. Metode penilaian aset menjadi salah satu pilihan.
Penilaian aset perusahaan dengan tepat akan menghindarkan perusahaan dari
kerugian. Cara yang efektif dalam melakukan penilaian aset adalah dengan
melakukan pemulusan aset pada aset-aset perusahaan yang telah lampau untuk
menduga aset perusahaan pada waktu tertentu. Metode pemulusan aset ada dua,
yaitu pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika. Pemulusan aset ini tidak
benar-benar menghilangkan kerugian yang terjadi. Kerugian akan tetap terjadi tapi
akan diminimumkan dan ditunda untuk beberapa periode. Penerapannya tidak
selalu berlaku bahwa semakin banyak melakukan pemulusan menghasilkan
pendugaan yang baik. Kedua metode tersebut memiliki kriteria agar pemulusan
yang dilakukan menghasilkan tingkat pendugaan yang baik.
Pemulusan eksponensial memberikan bobot secara eksponensial terhadap
aset-aset perusahaan, sedangkan metode pemulusan aritmetika memberikan ratarata aset perusahaan untuk beberapa tahun terakhir. Dalam karya ilmiah ini
dijelaskan dan dibandingkan kedua metode tersebut dalam menduga nilai aset
perusahaan. Referensi utama karya ilmiah ini adalah artikel karangan Owadally
(2003) yang berjudul “Efficient Asset Valuation Methods for Pension Plans”.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini adalah menjelaskan metode penilaian aset
menggunakan pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika serta
membandingkan metode mana yang lebih baik antara pemulusan eksponensial
atau pemulusan aritmetika dalam pengaruh pemulusan terhadap kontribusi. Karya
ilmiah ini juga bertujuan menentukan nilai aset aktuaria dengan menggunakan
data Tabel Mortalita Indonesia 2011.
TINJAUAN PUSTAKA
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
Asuransi pensiun manfaat-pasti adalah program asuransi rencana pensiun di
mana penentuan besarnya manfaat yang akan diperoleh setelah memasuki usia
pensiun normal sudah ditetapkan di awal. Penentuan nilai manfaat pensiun ini
akan digunakan sebagai patokan untuk perhitungan besarnya kontribusi yang
dibayarkan setiap periodenya. Terdapat beberapa asumsi yang digunakan dalam
asuransi pensiun manfaat-pasti, salah satunya adalah asumsi tingkat bunga.
Dufresne (1988) memberikan tiga tingkat suku bunga, yaitu asumsi tingkat bunga
pengembalian investasi , tingkat bunga pengembalian investasi aktual
, dan
asumsi tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun ( ).
Asumsi tingkat bunga pengembalian investasi
merupakan asumsi tingkat
bunga yang digunakan untuk menentukan imbalan pengembalian investasi atas
aset program pensiun. Tingkat bunga pengembalian investasi ditentukan oleh
seorang aktuaris. Besar kecilnya tingkat bunga pengembalian investasi berbanding
lurus dengan besar kecilnya hasil investasi yang akan diperoleh. Asumsi tingkat
bunga pengembalian investasi aktual
merupakan tingkat bunga pengembalian
investasi yang diperoleh dari investasi aset secara aktual yang diketahui di akhir
periode. Asumsi tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun ( ) adalah
tingkat bunga yang diberikan atas dasar penentuan nilai sekarang dari manfaat
pensiun yang akan diterima.
Entry Age Normal
Entry age normal adalah metode perhitungan aktuaria yang penerapannya
memandang manfaat pensiun pada usia pensiun normal. Pandangan ini didasarkan
pada beberapa faktor antara lain: gaji peserta di masa depan, gaji terakhir peserta
sebelum masa pensiun, gaji rata-rata peserta selama masa kerja, dan masa
pembayaran kontribusi. Penggunaan metode ini adalah untuk menentukan besar
kontribusi normal yang berpedoman awal pada besarnya manfaat pensiun.
Kontribusi normal dibayarkan saat usia peserta mulai bekerja, bukan saat umur
peserta mulai mengikuti program pensiun. Besar kontribusi normal tetap setiap
3
periode waktu dan dapat ditentukan dari presentasi gaji peserta (Owadally dan
Haberman 1999).
Nilai Sekarang Aktuaria
Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan
Manfaat pensiun merupakan total dana yang diberikan oleh perusahaan
asuransi kepada peserta program pensiun setiap peride waktu. Nilai sekarang atas
pembayaran manfaat pensiun (actuarial present value of future benefit/APVFB)
merupakan sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa yang akan datang
yang ditafsirkan di masa sekarang. Winklevoss (1977) menjelaskan nilai
bagi seseorang yang berumur adalah
̈ ,
dengan
= manfaat pensiun pada usia pensiun normal .
̈
= anuitas diskret di awal periode seumur hidup yang
dibayarkan dimulai usia pensiun .
= peluang seorang berusia tetap bertahan hidup sampai
usia pensiun .
=
(tingkat diskonto dengan merupakan tingkat
bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun).
Nilai Sekarang Aktuaria atas Pembayaran Kontribusi Normal
Kontribusi normal adalah iuran wajib yang dibayarkan oleh peserta program
pensiun setiap periode waktu. Nilai sekarang atas pembayaran kontribusi normal
(actuarial present value of future normal contribution/APVFNC) merupakan
sekumpulan pembayaran kontribusi peserta yang ditafsirkan di masa sekarang.
Winklevoss (1977) menjelaskan nilai
bagi seorang yang berumur
adalah
∑
,
dengan
= kontribusi normal pada waktu orang tersebut berusia .
HASIL DAN PEMBAHASAN
Program Pensiun Manfaat-Pasti
Manfaat Pensiun (B)
Manfaat pensiun adalah total manfaat atau santunan yang wajib dibayarkan
oleh perusahaan asuransi kepada semua anggota rencana pensiun setiap
periodenya. Besar pembayaran untuk semua periode sama. Besarnya ditentukan
dari total penjumlahan santunan pensiun semua peserta asuransi pada periode
tertentu. Nilai manfaat pensiun sudah ditentukan di awal dan digunakan sebagai
patokan berbagai perhitungan aktuaria.
4
Nilai Rataan Pemulusan Aset
Nilai rataan pemulusan aset pada waktu
adalah rata-rata terboboti
dari serangkaian nilai aset pada waktu .
merupakan nilai dugaan aset pada
tahun setelah dilakukan pemulusan aset.
Kontribusi Normal (NC)
Kontribusi normal adalah total iuran wajib yang dibayarkan oleh peserta
program pensiun setiap periode waktu dimulai dari usia awal sampai usia
pensiun Besar kontribusi normal yang dibayarkan oleh seorang peserta program
pensiun selalu sama setiap periode. Kontribusi normal yang dibayarkan seseorang
setiap periode
dapat ditentukan menggunakan rumus
̈
̈ ̅̅̅̅̅̅̅
,
dengan ̈ ̅̅̅̅̅̅̅ merupakan anuitas hidup diskret di awal periode yang dibayarkan
mulai dari usia masuk kerja dengan jangka waktu
tahun. Kontribusi
normal ini diperoleh dari ketentuan bahwa nilai sekarang atas pembayaran
kontribusi normal seseorang berusia
sama dengan nilai sekarang atas
pembayaran manfaat pensiun seseorang berusia (
).
Bukti:
∑
∑
∑
̈ ̅̅̅̅̅̅̅
̈
̈
̈
̈
.
Actuarial Liability (AL)
Actuarial liability adalah dana kewajiban aktuaria untuk menjamin
kewajiban manfaat pensiun. Actuarial liability dihitung menggunakan actuarial
present value of future benefit (APVFB) seorang berusia dikurangi dengan
actuarial present value of future normal contribution seorang berusia .
Persamaan diberikan sebagai berikut:
̈ ̅̅̅̅̅̅̅ .
̈
Bukti:
Untuk usia pensiun
̈
̈
̈
∑
∑
̈
̅̅̅̅̅̅̅
.
5
Secara keseluruhan besarnya
dan konstan sepanjang waktu, maka
besarnya actuarial liability dapat dinyatakan sebagai:
.
(1)
Bukti:
Misalkan kontribusi normal diterima di awal tahun dan manfaat pensiun
juga dibayarkan, maka setiap tahunnya akan mendapat bunga atas kewajiban
pensiun. Penerimaan kontribusi normal dan pembayaran manfaat pensiun akan
menyebabkan perubahan actuarial liability pada waktu .
.
maka
Karena nilai
dan
konstan
sehingga berlaku
.
Kontribusi ( )
Kontribusi pada saat
adalah total dana iuran rutin yang dibayarkan
oleh peserta program pensiun pada waktu . Kontribusi ditentukan oleh kontribusi
normal dan kontribusi tambahan. Kontribusi tambahan dalam model ini berasal
dari defisit antara actuarial liability dan nilai rataan pemulusan aset. Besar
pembayaran kontribusi setiap waktu berbeda-beda. Kontribusi didefinisikan:
)
(2)
(Owadally 2003).
Dana ( )
Dana (fund) pada saat
adalah nilai total keuangan yang dimiliki oleh
suatu program rencana pensiun pada saat . Dana total tersebut ditentukan dari
dana kontribusi dari anggota rencana pensiun, pembayaran manfaat pensiun dan
dana investasi. Perhitungan dana ada dua, yaitu dana yang dari perhitungan
aktuaria menggunakan tingkat bunga pengembalian investasi dan dana aktual
menggunakan tingkat bunga pengembalian investasi aktual. Secara matematis
dapat dirumuskan sebagai berikut:
Dana atas asumsi aktuaria:
;
.
;
.
Dana aktual:
(3)
Unfunded Liability
Unfunded liability adalah kewajiban pensiun yang tidak terdanai. Unfunded
liability pada waktu
merupakan selisih antara actuarial liability pada
waktu dengan aset program pensiun secara aktual pada periode tersebut.
6
(4)
Besar unfunded liability digunakan untuk menentukan kecukupan dana
pensiun perusahaan yang tersedia. Unfunded liability bernilai positif berarti terjadi
kekurangan pada pendanaan pensiun dan jika bernilai negatif maka terjadi
kelebihan pada pendanaan pensiun.
Kerugian
Kerugian merupakan ukuran terjadinya laba atau rugi. Kerugian juga
merupakan perbedaan antara unfunded liability pada saat dan unfunded liability
dalam asumsi pendanaan. Owadally (2003) menjelaskan bentuk matematis
kerugian sebagai berikut:
dengan
(5)
(6)
,
merupakan tingkat pengembalian investasi aktual.
Pemulusan Eksponensial
Metode pemulusan eksponensial merupakan metode untuk menduga nilai
aset pendanaan pensiun suatu perusahaan pada waktu menggunakan nilai aset
pada tahun-tahun sebelumnya. Pemulusan eksponensial dapat digunakan dalam
berbagai program pensiun, karya ilmiah ini mempelajari penggunaan pemulusan
eksponensial dalam progam pensiun manfaat-pasti. Nilai dugaan aset dalam
program pensiun manfaat-pasti disebut juga dengan nilai rataan pemulusan aset
. Pendugaan yang dilakukan diharapkan tidak akan berbeda jauh dengan
nilai aset yang sebenarnya. Prinsip metode ini adalah dengan menghitung nilai
sekarang dari aset-aset perusahaan pada tahun-tahun sebelumnya. Perhitungan
aset tersebut dipengaruhi oleh parameter pemulusan
dan tingkat suku bunga
pengembalian investasi ( ). Owadally (2003) mendefinisikan bentuk umum nilai
dugaan atau nilai rataan pemulusan aset
adalah
di mana
∑
∑
,
(7)
adalah parameter pemulusan eksponensial dan
dengan
. Bagian pertama pada sisi kanan persamaan (7)
merupakan nilai sekarang dari nilai total dana
tahun-tahun sebelumnya
dikalikan dengan parameter eksponensial dan
. Bagian kedua pada sisi
kanan persamaan (7) merupakan nilai sekarang dari total aset perusahaan yang
bersumber dari penerimaan kontribusi
dan pembayaran benefit
setiap
tahun dan diberi bobot pemulusan sebesar
.
Salah satu kelemahan dalam metode ini adalah perhitungannya yang
memperhitungkan semua aset mulai dari tahun pertama sampai tahun sekarang,
tidak ada batasan mengenai periode tahun yang efektif sehingga terlalu rumit
dalam melakukan perhitungan. Mempertimbangkan hal tersebut, nilai rataan
pemulusan aset pada tahun
juga dapat dinyatakan dalam bentuk rekursif.
Owadally (2003) menjelaskan bentuk rekursif tersebut sebagai berikut:
7
.
(8)
Nilai rataan pemulusan aset pada tahun dihitung menggunakan rataan
pemulusan aset tahun
ditambah dengan selisih antara kontribusi dan benefit
pada tahun
seperti terlihat dalam persamaan (8). Parameter pemulusan
diberikan untuk dana tahun dan
untuk tahun
Semakin kecil nilai
berarti bahwa semakin banyak bobot yang ditempatkan pada nilai aset yang telah
lalu.
Pemulusan pada aset juga berakibat pada besar kontribusi yang diberikan
oleh anggota rencana pensiun. Baik perusahaan maupun anggota rencana pensiun
mengharapkan nilai kontribusi yang stabil. Kontribusi merupakan penjumlahan
kontribusi normal
dan kontribusi tambahan. Kontribusi tambahan dalam
pemulusan eksponensial merupakan pengaruh dari actuarial liability dan dana
perusahaan seperti yang terlihat dari sisi kanan persamaan berikut:
.
(9)
Selain berpengaruh terhadap kontribusi, pemulusan tehadap aset juga
berpengaruh terhadap dana yang dimiliki oleh perusahaan ( ). Dufresne (1988)
menjelaskan bahwa jika suku pengembalian investasi ( ) bebas dan menyebar
secara identik dengan rata-rata dan ragam
maka keragaman dana perusahaan
dan keragaman kontribusi adalah
(10)
(11)
dengan
dan
. Persamaan (10) menjelaskan bahwa dalam
jangka panjang nilai keragaman dari dana perusahaan
dihitung berdasarkan
nilai actuarial liability dan sangat bergantung dari keragaman suku bunga
pengembalian investasi. Keragaman kontribusi
dalam jangka panjang
berhubungan dengan keragaman dana. Berdasarkan persamaan (2) diketahui juga
bahwa
yang berarti bahwa dalam jangka panjang keragaman kontribusi berbanding lurus
dengan keragaman dari nilai rataan aset. Terlihat bahwa pemulusan aset dapat
mempengaruhi besar kontribusi yang diberikan.
Pemulusan Aritmetika
Metode pemulusan aritmetika merupakan metode untuk menduga nilai aset
pendanaan pensiun suatu perusahaan pada waktu menggunakan nilai aset tahuntahun sebelumnya. Perbedaan antara pemulusan eksponensial dan pemulusan
aritmetika adalah cara pemberian bobot terhadap nilai aset tahun-tahun
sebelumnya. Pemulusan eksponensial memberikan bobot secara ekponensial
8
dengan suatu nilai parameter sedangkan pemulusan aritmetika menduga nilai
aset dengan cara merata-ratakan nilai aset perusahaan pada tahun terakhir.
Bentuk umum nilai dugaan aset atau nilai rataan pemulusan aset
adalah
∑
∑
(12)
(Owadally 2003).
di mana adalah periode pemulusan aset dengan
,
.
Sisi sebelah kanan persamaan (12) menunjukkan dana perusahaan tahun ini
ditambah dengan nilai sekarang dari dana perusahaan pada
tahun
sebelumnya ditambah nilai sekarang aset yang berasal dari nilai kontribusi
dan manfaat pensiun
perusahaan. Perhitungan periode dimulai dari aset
perusahaan tahun ini dan terus ke belakang. Berdasarkan persamaan (12)
diketahui juga bahwa nilai rataan pemulusan aset (
) sama dengan dana
perusahaan ( ) pada saat
.
Nilai aset pendanaan pensiun juga bisa diduga menggunakan dana pada
tahun ditambah dengan rata-rata kerugian pada tahun terakhir yang dituliskan
seperti persamaan berikut:
∑
,
(13)
dengan
merupakan nilai kerugian perusahaan sebelum tahun . Persamaan
(13) menunjukkan bahwa nilai aset perusahaan dapat diduga pula dengan jumlah
dana perusahaan ditambah dengan rataan dari kerugian yang terjadi pada tahun
terakhir. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
Owadally (2003) juga menjelaskan nilai dugaan aset dapat diduga dari nilai
actuarial liability dan intervaluasi dari kerugian perusahaan pada tahun terakhir,
yaitu
∑
,
(14)
.
di mana
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.
Efek pemulusan aritmetika terhadap aset juga berakibat pada suku
kontribusi. Suku kontribusi adalah proporsi pembayaran kontribusi terhadap total
manfaat pensiun yang diterima. Asumsi yang digunakan dalam model adalah
bahwa manfaat pensiun yang diperoleh tetap setiap periode, ini berarti keragaman
dari suku kontribusi sama dengan keragaman dari kontribusi. Substitusi
persamaan (14) ke dalam persamaan (2) akan diperoleh nilai kontribusi sebagai
berikut:
∑
.
(15)
Kontribusi dalam pemulusan aritmetika merupakan penjumlahan dari kontribusi
normal ditambah dengan rata-rata nilai sekarang dari kerugian tahun terakhir.
9
Dufresne (1989) menunjukkan bahwa jika suku pengembalian investasi
bebas dan menyebar secara identik dengan rata-rata dan ragam
maka berlaku
∑
dan dalam jangka panjang nilai dana dan kontribusi dapat
dihitung menggunakan persamaan:
∑
∑
∑
∑
(16)
,
(17)
di mana
dan
,
. Sama seperti pada
pemulusan eksponensial, dalam jangka panjang nilai keragaman dana dan
kontribusi dalam jangka panjang dipengaruhi oleh keragaman suku bunga
pengembalian investasi
.
Berdasarkan persamaan (2), diketahui juga bahwa
yang berarti bahwa dalam jangka panjang keragaman kontribusi berbanding lurus
dengan keragaman dari nilai rataan aset.
Penentuan periode pada pemulusan aritmetika tidak diketahui secara pasti
berapa periode yang efektif untuk menduga aset. Karya ilmiah ini tidak bertujuan
untuk menjelaskan berapa periode yang tepat dalam melakukan pemulusan.
Berdasarkan survei dari CRSR (2001) periode yang efesien dalam melakukan
pemulusan adalah
Perbandingan Metode Pemulusan Eksponensial dan Pemulusan Aritmetika
Pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika memiliki persamaan dan
perbedaan. Persamaan kedua metode tersebut adalah sama-sama menggunakan
aset perusahaan pada tahun sebelumnya dalam menduga nilai aset. Perbedaan
yang jelas terlihat adalah pada pemulusan eksponensial periode aset yang
digunakan adalah semua aset mulai dari tahun pertama, sedangkan pada
pemulusan aritmetika pemulusan yang digunakan adalah aset pada
tahun
terakhir.
Pembahasan sebelumnya menjelaskan bahwa pemulusan aset, baik
ekponensial maupun aritmetika akan berpengaruh pada keragaman kontibusi
Kontribusi terdiri atas kontribusi nomal dan kontribusi tambahan. Dufresne (1988)
menjelaskan tentang penentuan nilai kontribusi tambahan untuk meminimumkan
kerugian dengan cara menyebarkan kerugian ke dalam beberapa periode. Kedua
metode pemulusan ini akan meminimumkan kerugian dengan cara menduga nilai
aset.
Pemulusan nilai aset ini akan berpengaruh terhadap suku kontribusi. Suku
kontribusi adalah tingkat kontribusi yang dibayarkan sebagai proporsi dari total
manfaat pensiun yang diterima peserta. Besar manfaat pensiun dalam model ini
adalah konstan setiap waktu maka keragaman dari suku kontribusi sama dengan
10
keragaman dari kontribusi yang dibayarkan. Keragaman dari kontribusi inilah
yang akan digunakan sebagai acuan perbandingan metode pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika. Semakin kecil ragam dari kontribusi
maka semakin baik model tersebut.
Menurut Owadally (2003), penilaian aset menggunakan pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika dalam jangka panjang akan menghasilkan
keragaman dana
yang sama baik untuk setiap kombinasi dari dan (
dan
). Berdasarkan hal tersebut, menggunakan asumsi bahwa
pada pemulusan eksponensial dan aritmetika sama, maka untuk setiap kombinasi
dan akan menghasilkan
pada pemulusan eksponensial lebih kecil
dibandingkan pemulusan aritmetika.
Bukti:
Misalkan diberikan fungsi
, ,
,
berturut-turut adalah fungsi
kebalikan dari persamaan (10), (16), (11), (17) sebagai berikut:
∑
∑
∑
∑
.
Membuktikan
pada pemulusan eksponensial lebih kecil
dibanding pemulusan aritmetika pada saat
untuk pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika bernilai sama, sama saja dengan
menunjukkan
ketika
dengan
dan
.
∑
∑
Menggunakan persamaan
substitusi ke persamaan
, maka
[
[∑
∑
∑
(
(
sehingga didapat
∑
[(∑
Diketahui bahwa
)
∑
(∑
∑
∑(
∑
)]
]
∑
)∑
∑
dan
∑
∑
sehingga
)
)∑
]
∑(
∑
(∑
)
) (∑
).
11
(∑
)(∑
)
selanjutnya diperoleh
∑
∑
[∑(
∑
)]
∑(
)
∑(
)
∑
.
∑
∑ , maka persamaan
Karena
dan karena
∑ . Telah ditunjukkan bahwa ∑
∑
menjadi
∑ , sehingga dapat disimpulkan bahwa
. Terbukti bahwa
pada pemulusan eksponensial lebih kecil dibandingkan pemulusan aritmetika pada
saat
untuk pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika sama.
Ilustrasi Pendugaan Nilai Aset Aktuaria
Pendugaan nilai aset aktuaria dalam karya ilmiah ini menggunakan beberapa
asumsi dan juga data yang sesuai dengan kondisi pasar di Indonesia. Asumsiasumsi yang digunakan adalah sebagai berikut:
1 Tingkat mortalitas diasumsikan seperti Tabel Mortalita Indonesia 2011
(laki-laki) dengan nilai awal
. Data Tabel Mortalita
Indonesia 2011 dapat dilihat pada Lampiran 3.
2 Populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan
distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan
semua peserta program pensiun mulai bekerja mulai usia yaitu 25 tahun
dan usia pensiun normal yaitu 56 tahun.
3 Gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap
tahunnya sebesar
4 Manfaat pensiun diberikan dengan proporsi 3/4 dari gaji terakhir.
5 Tidak terjadi inflasi dan tingkat suku pengembalian investasi ( )
menyebar normal dengan nilai harapan sama dengan suku bunga
pengembalian investasi aktual
dan simpangan baku
.
6 Tingkat bunga pengembalian investasi asumsi aktuaria ( ) besarnya sama
dengan tingkat bunga atas kewajiban pensiun ( ) sebesar
.
7 Unfunded liability diasumsikan sama dengan nol, sehingga nilai dana awal
( ) sama dengan actuarial liability.
8 Semua perhitungan besarnya dinyatakan ke dalam proporsi terhadap
manfaat pensiun ( ).
Perhitungan
Gaji terakhir peserta pensiun diperoleh pada saat usia 55 tahun, besarnya
gaji yaitu
471.
Manfaat pensiun yang yang diterima peserta setiap periode adalah 3/4 dari
gaji terakhir, yaitu sebesar
12
(
)
dan besar total manfaat pensiun yang diperoleh adalah
∑
Besar kontribusi normal yaitu
∑
̈ ̅̅̅̅̅̅̅
̈
̈
̈
∑
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̈
̈
.
∑
,
sehingga proporsi
terhadap manfaat pensiun setiap tahunnya adalah
.
Dari persamaan (1) besarnya actuarial liability setiap tahunnya adalah
,
sehingga proporsi
terhadap manfaat pesiun
, ∑
. Perhitungan
, ∑
dilihat pada Lampiran 4.
adalah
, ̈
̅̅̅̅̅ ,
dan ̈
dapat
Pendugaan Nilai Aset Menggunakan Pemulusan Eksponensial
Menurut Owadally (2003), besarnya parameter pemulusan yang efisien
adalah
. Dalam karya ilmiah ini akan digunakan nilai
.
Karena tingkat pengembalian investasi aset
dengan simpangan
baku
, maka besarnya tingkat bunga investasi aktual besarnya tidak
konstan setiap waktu. Selanjutnya dibangkitkan data suku bunga investasi aktual
yang menyebar normal sebanyak 50 dengan nilai harapan 5% dan simpangan baku
0.0025. Diasumsikan juga bahwa untuk
,
,
,
,
. Tahapan perhitungan aktuaria adalah sebagai berikut:
1 Untuk tahun ke-0
Asumsi yang digunakan pada saat
adalah
,
,
sehingga diperoleh dana pensiun sebesar
.
Besarnya kontribusi dihitung menggunakan persamaan (2) yaitu
13
2
Untuk tahun ke-1
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
dan nilai aset dengan asumsi aktuaria tanpa pemulusan adalah
.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (6), yaitu
.
Unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (4)
.
Besar kontribusi dihitung menggunakan persamaan (2)
,
sedangkan besar kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria adalah
.
Penentuan nilai dugaan aset pensiun dihitung menggunakan persamaan (8),
yaitu
.
3
Untuk tahun ke-2
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
dan nilai aset dengan asumsi aktuaria tanpa pemulusan adalah
.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (6), yaitu
.
Unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (4)
14
.
Besar kontribusi dihitung menggunakan persamaan (2)
,
sedangkan besar kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria adalah
.
Penentuan nilai dugaan aset pensiun dihitung menggunakan persamaan (8),
yaitu
.
4 Untuk
Untuk
, langkah-langkah perhitungan serupa dengan perhitungan
sebelumnya. Secara rekursif perhitungan aktuaria dapat dihitung menggunakan
Microsoft Excel yang dapat dilihat pada Tabel 1. Perhitungan aktuaria secara
lengkap dapat dilihat pada Lampiran 5.
Tabel 1 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan eksponensial
dengan nilai
dan
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
0
0.053
0.047
0.049
0.050
0.051
0.053
0.050
0.048
0.050
0.051
0.053
0.047
0.051
0.046
0.047
0.048
0.051
0.050
0.050
0
-0.050
0.024
0.019
0.002
-0.018
-0.054
-0.024
0.028
0.015
-0.009
-0.053
0.037
-0.007
0.055
0.059
0.022
-0.008
0.004
-0.001
16.337
16.337
16.352
16.329
16.331
16.336
16.342
16.354
16.344
16.328
16.332
16.340
16.353
16.325
16.339
16.319
16.352
16.322
16.327
16.332
16.337
16.387
16.313
16.318
16.335
16.355
16.390
16.361
16.308
16.322
16.346
16.390
16.300
16.344
16.282
16.278
16.315
16.345
16.333
16.338
0.222
0.187
0.239
0.235
0.223
0.209
0.184
0.205
0.242
0.233
0.216
0.185
0.248
0.217
0.261
0.263
0.237
0.216
0.225
0.221
0.222
0.222
0.211
0.227
0.226
0.222
0.218
0.210
0.217
0.228
0.225
0.220
0.210
0.230
0.220
0.234
0.212
0.232
0.229
0.225
16.337
16.326
16.349
16.340
16.334
16.331
16.327
16.340
16.349
16.338
16.332
16.325
16.353
16.332
16.349
16.341
16.350
16.331
16.334
16.335
0
-0.050
0.039
0.011
-0.004
-0.019
-0.048
-0.007
0.036
0.006
-0.014
-0.050
0.053
-0.019
0.057
0.041
0.037
-0.023
-0.006
-0.006
15
Aktual
Pemulusan
16.40
16.38
Nilai Aset
16.36
16.34
16.32
16.30
16.28
16.26
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 1 Nilai aset aktual dan nilai aset berdasarkan pemulusan eksponensial
Tabel 1 menunjukkan perhitungan aktuaria asuransi pensiun manfaat-pasti
menggunakan pemulusan eksponensial. Nilai
adalah nilai suku bunga
pengembalian investasi aktual yang menyebar normal dengan nilai harapan 5%
dan simpangan baku 0.0025. Unfunded liability memiliki nilai yang bervariasi,
unfunded liability bernilai positif berarti bahwa dana yang dimiliki perusahaan
tidak cukup untuk menanggung biaya kewajiban aktuaria dan apabila bernilai
negatif maka akan berlaku sebaliknya. Nilai dana perusahaan dan kontribusi
peserta juga dapat dilihat dalam Tabel 1. Dana perusahaan berdasarkan asumsi
dihitung dengan menggunakan
dan kontribusi asumsi aktuaria
aktuaria
suku bunga pengembalian investasi asumsi aktuaria sebesar 5%. Baik dana
perusahaan maupun kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria dan aktual memiliki
nilai yang tidak berbeda jauh.
Pada Tabel 1 dan Gambar 1 dapat dilihat bahwa nilai pasar aset
mengalami peningkatan pada tahun ke-1 ke tahun ke-2, kemudian mengalami
penurunan pada tahun ke-3 dan meningkat lagi pada tahun ke-4. Peningkatan dan
penurunan ini terus terjadi setiap tahunnya disebabkan oleh perubahan suku bunga
setiap tahunnya. Pemulusan aset bertujuan agar nilai dugaan aset aktuaria tidak
memiliki perbedaan yang signifikan dengan nilai aset aktual. Tabel 1
memperlihatkan bahwa tahun ke-1 kerugian bernilai negatif yang berarti bahwa
terjadi defisit atau rugi. Tahun ke-2 dan ke-3 terjadi surplus, sedangkan pada
tahun ke-4 sampai ke-7 terjadi defisit atau rugi. Kerugian terjadi karena perbedaan
antara suku bunga aktual dan suku bunga asumsi aktuaria.
Berdasarkan Gambar 1 dapat dilihat bahwa grafik aset berdasarkan
pemulusan memiliki ragam yang lebih kecil, hal ini disebabkan karena nilai suku
bunga yang digunakan konstan. Pendugaan nilai aset menggunakan pemulusan
eksponensial dengan parameter
memberikan perbedaan nilai aset yang
tidak berbeda jauh. Analisis kesalahan (error) dalam pendugaan menggunakan
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) menghasilkan nilai sebesar 0.216%.
Nilai kesalahan ini terbilang kecil sehingga pendugaan nilai aset menggunakan
16
dapat dikatakan baik. Pendugaan nilai aset ini masih ada kemungkinan
menghasilkan pendugaan yang lebih baik dengan menggunakan nilai parameter
yang berbeda.
Pendugaan Nilai Aset Menggunakan Pemulusan Aritmetika
Menurut Owadally (2003), nilai periode pada pemulusan aritmetika yang
efisien adalah
Karena tingkat pengembalian investasi aset (
dengan simpangan baku
maka besarnya tingkat bunga investasi
aktual besarnya tidak konstan setiap waktu. Data suku bunga investasi aktual yang
digunakan seperti yang digunakan dalam perhitungan pada pemulusan
eksponensial. Diasumsikan juga bahwa untuk
,
,
,
.
Tahapan perhitungan aktuaria adalah sebagai berikut:
1. Untuk tahun ke-0
Asumsi yang digunakan pada saat
adalah
dan
sehingga diperoleh dana pensiun sebesar
.
Besarnya kontribusi dihitung menggunakan persamaan (15) yaitu
∑
.
2. Untuk tahun ke-1
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
dan nilai aset dengan asumsi aktuaria tanpa pemulusan adalah
.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (6), yaitu
.
Unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (4)
.
Besar kontribusi dihitung menggunakan persamaan (15)
∑
,
sedangkan besar kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria adalah
17
∑
.
Penentuan nilai dugaan aset pensiun dihitung menggunakan (14), yaitu
∑
(
.
)
3. Untuk tahun ke-2
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
dan nilai aset dengan asumsi aktuaria tanpa pemulusan adalah
.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (6), yaitu
.
Unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (4)
.
Besar kontribusi dihitung menggunakan persamaan (15)
∑
,
sedangkan besar kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria adalah
∑
.
Penentuan nilai dugaan aset pensiun dihitung menggunakan (14), yaitu
∑
.
4. Untuk
Untuk
, langkah-langkah perhitungan serupa dengan perhitungan
sebelumnya. Secara rekursif perhitungan aktuaria dapat dihitung menggunakan
Microsoft Excel dan dapat dilihat pada Tabel 2. Perhitungan aktuaria secara
lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6.
18
Tabel 2 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan aritmetika dengan
nilai
dan
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
0
0.053
0.047
0.049
0.050
0.051
0.053
0.050
0.048
0.050
0.051
0.053
0.047
0.051
0.046
0.047
0.048
0.051
0.050
0.050
0
-0.050
-0.003
0.011
0.008
-0.009
-0.052
-0.059
-0.011
0.005
0.000
-0.043
0.013
-0.012
0.050
0.089
-0.015
-0.011
0.006
-0.001
16.337
16.337
16.379
16.337
16.324
16.327
16.340
16.389
16.384
16.338
16.323
16.330
16.377
16.330
16.344
16.289
16.389
16.324
16.325
16.332
16.337
16.387
16.339
16.325
16.328
16.345
16.388
16.396
16.348
16.332
16.337
16.380
16.323
16.349
16.287
16.247
16.352
16.347
16.331
16.338
0.222
0.212
0.219
0.222
0.221
0.217
0.220
0.208
0.212
0.214
0.215
0.217
0.229
0.217
0.226
0.238
0.215
0.220
0.224
0.228
0.222
0.212
0.219
0.222
0.221
0.217
0.220
0.208
0.212
0.214
0.215
0.217
0.229
0.217
0.226
0.238
0.215
0.220
0.224
0.228
0
16.347
16.339
16.337
16.338
16.342
16.339
16.350
16.347
16.345
16.344
16.342
16.329
16.342
16.332
16.320
16.343
16.338
16.334
16.331
16.425
0
-0.050
0.039
0.011
-0.004
-0.019
-0.048
-0.007
0.036
0.006
-0.014
-0.050
0.053
-0.019
0.057
0.041
0.037
-0.023
-0.006
-0.006
Aktual
Pemulusan
16.400
Nilai Aset
16.375
16.350
16.325
16.300
16.275
16.250
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 2 Nilai aset aktual dan nilai aset berdasarkan pemulusan aritmetika
19
Tabel 2 menunjukkan perhitungan aktuaria asuransi pensiun manfaat-pasti
menggunakan pemulusan aritmetika. Nilai
adalah nilai suku bunga
pengembalian investasi aktual yang menyebar normal dengan nilai harapan 5%
dan simpangan baku 0.0025. Nilai sama seperti yang digunakan dalam
pemulusan eksponensial. Unfunded liability memiliki nilai yang bervariasi,
unfunded liability bernilai positif berarti bahwa dana yang dimiliki perusahaan
tidak cukup untuk menanggung biaya kewajiban aktuaria dan apabila bernilai
negatif maka akan berlaku sebaliknya. Dana perusahaan berdasarkan asumsi
merupakan dugaan aktuaria yang
dan kontribusi asumsi aktuaria
aktuaria
dihitung menggunakan suku bunga pengembalian investasi asumsi aktuaria
sebesar 5%, sedangkan dana
dan kontribusi
adalah perhitungan aktual
yang dihitung menggunakan suku bunga aktual.
Pada Tabel 2 dan Gambar 2 dapat dilihat bahwa nilai aset aktual
pada
tahun ke-1 menurun sampai tahun ke-3, meningkat pada tahun ke-4 sampai ke-5.
Peningkatan dan penurunan nilai pasar aset ini disebabkan oleh perubahan suku
bunga setiap periodenya. Nilai kerugian
juga berubah-ubah setiap tahunnya.
Tahun ke-1 terjadi kerugian dan pada tahun ke-2 dan ke-3 terjadi surplus. Tahun
ke-4 sampai tahun ke-7 dan begitu seterusnya berubah-ubah setiap periode.
Nilai aset perusahaan menggunakan pemulusan memiliki ragam yang lebih
kecil dari nilai aset aktual, hal ini disebabkan karena suku bunga yang digunakan
setiap periodenya konstan. Pemulusan aset menggunakan parameter
sudah
menghasilkan dugaan aset yang tidak berbeda jauh dengan nilai aset aktual.
Analisis kesalahan dalam pendugaan menggunakan Mean Absolute Percentage
Error (MAPE) menghasilkan nilai sebesar 0.136%. Nilai kesalahan ini terbilang
kecil sehingga pendugaan nilai aset menggunakan
dapat dikatakan baik,
namun masih mungkin menghasilkan pendugaan yang lebih baik dengan mencoba
nilai parameter yang berbeda.
Pengaruh Pemulusan Aset terhadap Kontribusi
Besar kontribusi setiap waktu tidak selalu sama. Tingkat bunga
pengembalian investasi aktual
dan standar deviasi
sangat berpengaruh
terhadap besar kontribusi yang dibayarkan peserta. Laju kontribusi setiap waktu
dari pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika dapat dilihat pada Gambar
3 dan Gambar 4.
20
0.27
Aktual
Pemulusan
0.26
0.25
0.24
C(t)
0.23
0.22
0.21
0.20
0.19
0.18
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 3 Grafik kontribusi pada pemulusan eksponensial saat
dan
Aktual
Pemulusan
0.25
0.24
C(t)
0.23
0.22
0.21
0.20
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 4 Grafik kontribusi pada pemulusan aritmetika saat
dan
21
Eksponensial
Aritmetika
0.25
0.24
C(t)
0.23
0.22
0.21
0.20
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 5 Grafik kontribusi pemulusan aritmetika dan eksponensial
Pemulusan terhadap aset menghasilkan besar kontribusi yang berbeda setiap
waktu. Gambar 3 menunjukkan bahwa grafik kontribusi pada pemulusan
eksponensial memiliki selisih dengan kontribusi aktual. Analisis kesalahan (error)
menggunakan MAPE menghasilkan nilai sebesar 9.81%. Gambar 4 menunjukkan
grafik kontribusi pada pemulusan aritmetika. Grafik antara kontribusi aktual dan
kontribusi berdasarkan pemulusan memberikan error yang sangat kecil sehingga
tampak berhimpit pada grafik. Analisis kesalahan menggunakan MAPE
menghasilkan nilai sebesar 0.024%, nilai ini sangat kecil sehingga dapat dikatakan
pendugaan yang dilakukan sangat baik.
Pengambilan parameter pemulusan sangat berpengaruh terhadap besar
kontribusi. Nilai parameter
pada pemulusan eksponensial dan
pada
pemulusan aritmetika menunjukkan hasil bahwa pemulusan aritmetika lebih baik
dalam menduga besarnya kontribusi dengan nilai MAPE yang lebih kecil
dibandingkan pada pemulusan eksponensial, namun dalam hal keragaman
kontribusi, pemulusan eksponensial lebih baik karena memiliki ragam yang lebih
kecil seperti yang terlihat pada Gambar 5. Ragam kontribusi pada pemulusan
eksponensial sebesar
sedangkan ragam kontribusi pada pemulusan
aritmetika sebesar
. Perhitungan ini sesuai dengan pembuktian
sebelumnya bahwa pada jangka panjang pemulusan eksponensial memberikan
ragam kontribusi yang lebih kecil.
22
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Pemulusan eksponensial menduga aset perusahaan dengan mencari nilai
sekarang dan memberikan bobot secara eksponensial pada aset perusahaan tahun
sebelumnya, sedangkan pemulusan aritmetika menduga aset perusahaan dengan
mencari nilai sekarang dan merata-ratakan aset perusahaan pada beberapa tahun
terakhir. Pemulusan eksponensial lebih baik dibandingkan pemulusan
eksponensial dalam memengaruhi keragaman kontribusi. Keragaman kontribusi
pemulusan eksponensial lebih kecil dibandingkan pada pemulusan aritmetika.
Perhitungan aktuaria dalam karya ilmiah ini menggunakan parameter
untuk pemulusan eksponensial dan
untuk pemulusan aritmetika.
Nilai MAPE menunjukkan tingkat kesalahan dalam menduga aset untuk
pemulusan eksponensial sebesar 0.216% dan pemulusan aritmetika sebesar
0.136%. Pemulusan eksponensial menghasilkan keragaman kontribusi lebih kecil
yaitu sebesar
dibandingkan pemulusan eksponensial sebesar
.
Saran
Model pendugaan nilai aset pendanaan pensiun menggunakan pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika dalam karya ilmiah ini masih perlu
dibahas lebih lanjut ketika kerugian yang terjadi bukan hanya selisih antara
tingkat bunga asumsi aktuaria dan tingkat bunga aktual. Asumsi-asumsi lain
seperti populasi peserta yang tidak stasioner, terjadinya inflasi, dan juga tingkat
bunga pengembalian investasi yang tidak menyebar normal juga masih bisa
dibahas lebih lanjut lagi.
DAFTAR PUSTAKA
[CRSR] Committee on Retirement System Research. 2001. Survey of asset
valuation methods for defined benefit pension plans. Pension Forum 13(1):149.
Dufresne D. 1988. Moment of pension contributions and fund level when rate of
return are random. Journal of The Institute of Actuaries 115:535-544.
Dufresne D. 1989. Stability of pension systems when rates of return are random.
Insurance: Mathematics and Economics 8:71-76.
Owadally MI, Habermann S. 1999. Pension fund dynamics and gains/losses due
to random rate of investment return. North American Actuarial Journal
3(3):425-433.
23
Owadally MI. 2003. Efficient asset valuation methods for pension plans.
Actuarial Research Paper (148):1-19.
Pemerintah Republik Indonesia. 1992. Undang-Undang Republik Indonesia
Nomor 11 Tahun 1992 tentang Dana Pensiun. Jakarta (ID): Sekretariat Negara.
[PAI; AAJI; SR] Persatuan Aktuaris Indonesia; Asosiasi Asuransi Jiwa Indonesia;
Swiss Re. 2012. Tabel Mortalita Indonesia 2011. Jakarta (ID): AAJI Pr.
Winklevoss HE. 1977. Pension Mathematics with Numerical Illustrations. Illinois
(US): Richard D Irwin Inc.
24
Lampiran 1 Pembuktian perhitungan nilai rataan pemulusan aset berdasarkan
dana pada saat dan kerugian beberapa tahun terakhir
Akan dibuktikan:
∑
.
Bukti:
Berdasarkan persamaan (5) diperoleh
dengan mensubstitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan (12) maka
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
.
∑
,
25
Lampiran 2 Pembuktian perhitungan nilai rataan pemulusan aset berdasarkan
actuarial liability dan kerugian beberapa tahun terakhir
Akan dibuktikan:
∑
Bukti:
Menggunakan persamaan (4) ke dalam persamaan (13) akan diperoleh
∑
.
(18)
Owadally (2003) mendefinisikan bentuk actuarial liability sebagai berikut:
dengan
. Menggunakan persamaan tersebut dan dengan menyubstitusi
persamaan (2) dan (4) ke dalam persamaan (5), maka akan diperoleh
.
(19)
Persamaan (18) dan (19) akan memberikan persamaan untuk unfunded liability
dalam bentuk intervaluasi kerugian sebagai berikut:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
.
(20)
Selanjutnya dengan mensubtitusi persamaan (20) ke dalam persamaan (18)
diperoleh
∑
∑
∑
.
∑
26
Lampiran 3 Tabel Mortalita Indonesia 2011 untuk jenis kelamin laki-laki
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
0.00085
0.00083
0.00079
0.00075
0.00074
0.00076
0.0008
0.00083
0.00084
0.00086
0.00091
0.00099
0.00109
0.0012
0.00135
0.00153
0.00175
0.00196
0.00219
0.00246
0.00279
0.00318
0.00363
0.00414
0.00471
0.00538
0.00615
0.00699
0.00784
0.00872
0.00961
981771
980936
980122
979348
978613
977889
977146
976364
975554
974735
973897
973011
972048
970988
969823
968514
967032
965340
963448
961338
958973
956297
953256
949796
945864
941409
936344
930585
924080
916835
908840
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
0.01051
0.01142
0.01232
0.01322
0.01417
0.01521
0.01639
0.01773
0.01926
0.021
0.02288
0.02486
0.02702
0.02921
0.03182
0.03473
0.03861
0.04264
0.04687
0.05155
0.05664
0.06254
0.06942
0.07734
0.08597
0.09577
0.10593
0.11683
0.12888
0.14241
0.15738
900106
890646
880475
869628
858132
845972
833105
819450
804921
789418
772840
755157
736384
716487
695558
673425
650037
624939
598292
570250
540854
510220
478311
445107
410682
375376
339426
303471
268016
233474
200225
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
0.17368 168714
0.1911 139412
0.20945 112770
0.22853 89150
0.24638 68777
0.26496 51832
0.2845 38099
0.30511 27260
0.32682 18943
0.34662 12752
0.3677
8332
0.39016 5268
0.41413 3213
0.43974 1882
0.45994 1054
0.48143
569
0.50431
295
0.52864
146
0.5545
69
0.58198
31
0.61119
13
0.64222
5
0.67518
2
0.71016
1
1
0
27
Lampiran 4 Perhitungan
,∑
,∑
∑
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
∑
,∑
, ̈
Perhitungan ̈
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
981771
980936
980122
979348
978613
977889
977146
976364
975554
974735
973897
973011
972048
970988
969823
968514
967032
965340
963448
961338
958973
956297
953256
949796
945864
941409
936344
930585
924080
916835
908840
, ̈
̅̅̅̅̅ ,
dan ̈
̅̅̅̅̅
1
0.952381
0.907029
0.863838
0.822702
0.783526
0.746215
0.710681
0.676839
0.644609
0.613913
0.584679
0.556837
0.530321
0.505068
0.481017
0.458112
0.436297
0.415521
0.395734
0.376889
0.358942
0.34185
0.325571
0.310068
0.295303
0.281241
0.267848
0.255094
0.242946
0.231377
̅̅̅̅̅
1
0.951571
0.905506
0.861706
0.820056
0.780428
0.7427
0.706767
0.672553
0.639989
0.60899
0.579462
0.551323
0.524497
0.498921
0.474522
0.451234
0.428995
0.407766
0.387498
0.368138
0.349629
0.331921
0.314968
0.298728
0.283162
0.268228
0.253884
0.240104
0.226877
0.21419
28
Perhitungan ̈
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
900106
890646
880475
869628
858132
845972
833105
819450
804921
789418
772840
755157
736384
716487
695558
673425
650037
624939
598292
570250
540854
510220
478311
445107
410682
375376
339426
303471
268016
233474
200225
168714
139412
112770
89150
68777
51832
38099
27260
18943
12752
1
0.952381
0.907029
0.863838
0.822702
0.783526
0.746215
0.710681
0.676839
0.6
DUA JENIS PEMULUSAN: STUDI KASUS DATA
MORTALITAS INDONESIA 2011
AYUB PRISNA WARDANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Nilai Aset
Pendanaan Pensiun dengan Dua Jenis Pemulusan: Studi Kasus Data Mortalitas
Indonesia 2011 adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Ayub Prisna Wardana
NIM G54100007
ABSTRAK
AYUB PRISNA WARDANA. Pendugaan Nilai Aset Pendanaan Pensiun dengan
Dua Jenis Pemulusan: Studi Kasus Data Mortalitas Indonesia 2011. Dibimbing
oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RUHIYAT.
Penentuan nilai aset di setiap periode merupakan masalah yang dihadapi
oleh suatu perusahaan asuransi. Karya ilmiah ini bertujuan untuk menduga nilai
aset pendanaan pensiun suatu perusahaan menggunakan metode pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika serta membandingkan kedua metode
tersebut. Pemulusan eksponensial memberikan bobot secara eksponensial
terhadap aset perusahaan periode sebelumnya, sedangkan pemulusan aritmetika
merata-ratakan aset perusahaan pada beberapa periode terakhir. Kedua metode
menduga nilai aset dengan baik. Kelebihan pemulusan eksponensial dibanding
aritmetika adalah mampu menghasilkan ragam kontribusi yang lebih kecil.
Ilustrasi dalam karya ilmiah ini menggunakan bobot eksponensial sebesar 0.7 dan
rataan aritmetika 5 periode terakhir. Tingkat kesalahan dalam menduga aset
menghasilkan nilai MAPE untuk pemulusan aritmetika sebesar 0.136% dan untuk
pemulusan eksponensial sebesar 0.216%. Keragaman kontribusi pemulusan
eksponensial sebesar
lebih kecil dibandingkan pemulusan aritmetika
sebesar
.
Kata kunci: aset, pemulusan aritmetika, pemulusan eksponensial, pendanaan
pensiun
ABSTRACT
AYUB PRISNA WARDANA. Estimating the Value of Pension Funding Assets
with Two Types of Smoothing: A Case Study of Indonesian Mortality Data 2011.
Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RUHIYAT.
Determinating the value of assets at the beginning of each period is a
problem faced by an insurance company. The purpose of this paper is to estimate
the value of pension funding assets of a company using exponential and arithmetic
smoothing methods and to compare both methods. Exponential smoothing
weights exponentially the previous periods of the company asset, while arithmetic
smoothing averages the previous periods of the company asset. Both methods
estimate the assets value well. The exponential smoothing generates contribution
variance smaller than arithmetic smoothing. The illustrations in this paper use an
exponential weighting of 0.7 and arithmetic average of the 5 last period. The error
rate in estimating the assets value provides MAPE of 0.216% and 0.136% for
exponential and arithmetic smoothing methods, respectivelly. The contribution
variance of exponential smoothing (
) is smaller than that of arithmetic
smoothing (
).
Keywords: arithmetic smoothing, asset, exponential smoothing, pension funding
PENDUGAAN NILAI ASET PENDANAAN PENSIUN DENGAN
DUA JENIS PEMULUSAN: STUDI KASUS DATA
MORTALITAS INDONESIA 2011
AYUB PRISNA WARDANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Pendugaan Nilai Aset Pendanaan Pensiun dengan Dua Jenis
Pemulusan: Studi Kasus Data Mortalitas Indonesia 2011
Nama
: Ayub Prisna Wardana
NIM
: G54100007
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Ruhiyat, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah
asuransi pensiun, dengan judul Pendugaan Nilai Aset Pendanaan Pensiun dengan
Dua Jenis Pemulusan: Studi Kasus Data Mortalitas Indonesia 2011.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya,
2 Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing
yang telah membimbing dalam penulisan karya ilmiah ini, serta Dr Dra
Berlian Setiawaty, MS selaku dosen penguji yang telah banyak memberi
saran,
3 teman-teman Matematika 47 yang telah membantu penulis dalam kegiatan
belajar,
4 teman-teman Wisma Uganda (Irfan, Muhjidin, Trias, Adit Tiya, Danang, Nur
Fatah) yang senantiasa menjadi tempat berbagi,
5 seluruh staf tata usaha dan mahasiswa Angkatan 45, 46, dan 48 Departemen
Matematika IPB yang telah menemani perjalanan penulis selama perkuliahan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Ayub Prisna Wardana
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
2
Entry Age Normal
2
Nilai Sekarang Aktuaria
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Program Pensiun Manfaat-Pasti
3
Pemulusan Eksponensial
6
Pemulusan Aritmetika
7
Perbandingan Metode Pemulusan Eksponensial dan Pemulusan Aritmetika
9
Ilustrasi Pendugaan Nilai Aset Aktuaria
11
Pendugaan Nilai Aset Menggunakan Pemulusan Eksponensial
12
Pendugaan Nilai Aset Menggunakan Pemulusan Aritmetika
16
Pengaruh Pemulusan Aset terhadap Kontribusi
19
SIMPULAN DAN SARAN
22
Simpulan
22
Saran
22
DAFTAR PUSTAKA
22
LAMPIRAN
24
RIWAYAT HIDUP
34
DAFTAR TABEL
1 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan eksponensial
dengan nilai
,
, dan
2 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan aritmetika dengan
nilai
,
, dan
14
18
DAFTAR GAMBAR
1 Nilai aset aktual dan nilai aset berdasarkan pemulusan eksponensial
2 Nilai aset aktual dan nilai aset berdasarkan pemulusan aritmetika
3 Grafik kontribusi pada pemulusan eksponensial saat
dan
4 Grafik kontribusi pada pemulusan aritmetika saat
dan
5 Grafik kontribusi pemulusan aritmetika dan eksponensial
15
18
20
20
21
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian perhitungan nilai rataan pemulusan aset menggunakan
dana pada saat dan kerugian beberapa tahun terakhir
2 Pembuktian perhitungan nilai rataan pemulusan aset berdasarkan
actuarial liability dan kerugian beberapa tahun terakhir
3 Tabel Mortalita Indonesia 2011 untuk jenis kelamin laki-laki
,∑
, ̈ ̅̅̅̅̅ , dan ̈
4 Perhitungan
,∑
5 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan eksponensial
dengan nilai
dan
6 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan aritmetika dengan
nilai
dan
24
25
26
27
30
32
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Asuransi merupakan suatu bentuk pengendalian risiko dengan cara
mengalihkan atau mentransfer risiko dari satu pihak ke pihak yang lain. Terdapat
dua pihak dalam suatu asuransi, yaitu perusahaan asuransi sebagai pihak
penanggung dan peserta asuransi sebagai pihak tertanggung. Prinsip dasar yang
digunakan dalam asuransi yaitu penanggung (perusahaan asuransi) mengikatkan
diri kepada tertanggung (peserta asuransi) dengan menerima premi asuransi untuk
memberikan penggantian kepada tertanggung atas kerugian yang dialami oleh
pihak tertanggung. Konsep saling menanggung risiko inilah yang menjadikan
asuransi menjadi pilihan banyak orang di masa kini sebagai pengaman kebutuhan.
Manusia akan memasuki usia tidak produktif di mana mereka tidak lagi
bekerja, program pendanaan pensiun bisa menjadi satu pilihan. Program dana
pensiun merupakan badan hukum yang didirikan dalam upaya untuk memelihara
kesinambungan penghasilan pada hari tua bagi pekerjanya (UU Republik
Indonesia Nomor 11 Tahun 1992). Perusahaan asuransi menyediakan berbagai
program rencana pensiun, salah satu program rencana pensiun adalah program
rencana pensiun manfaat-pasti. Program rencana pensiun manfaat-pasti adalah
program pensiun yang penentuan besar manfaat pensiun yang akan diterima
peserta pensiun sudah ditetapkan di awal.
Semakin banyaknya minat orang terhadap asuransi membuat perusahaan
asuransi harus memiliki strategi dalam mengelola aset perusahaan. Keuntungan
dan kerugian menjadi perhatian khusus bagi perusahaan asuransi untuk menjaga
kestabilan perusahaan. Banyak cara dilakukan oleh aktuaris untuk
meminimumkan kerugian. Metode penilaian aset menjadi salah satu pilihan.
Penilaian aset perusahaan dengan tepat akan menghindarkan perusahaan dari
kerugian. Cara yang efektif dalam melakukan penilaian aset adalah dengan
melakukan pemulusan aset pada aset-aset perusahaan yang telah lampau untuk
menduga aset perusahaan pada waktu tertentu. Metode pemulusan aset ada dua,
yaitu pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika. Pemulusan aset ini tidak
benar-benar menghilangkan kerugian yang terjadi. Kerugian akan tetap terjadi tapi
akan diminimumkan dan ditunda untuk beberapa periode. Penerapannya tidak
selalu berlaku bahwa semakin banyak melakukan pemulusan menghasilkan
pendugaan yang baik. Kedua metode tersebut memiliki kriteria agar pemulusan
yang dilakukan menghasilkan tingkat pendugaan yang baik.
Pemulusan eksponensial memberikan bobot secara eksponensial terhadap
aset-aset perusahaan, sedangkan metode pemulusan aritmetika memberikan ratarata aset perusahaan untuk beberapa tahun terakhir. Dalam karya ilmiah ini
dijelaskan dan dibandingkan kedua metode tersebut dalam menduga nilai aset
perusahaan. Referensi utama karya ilmiah ini adalah artikel karangan Owadally
(2003) yang berjudul “Efficient Asset Valuation Methods for Pension Plans”.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini adalah menjelaskan metode penilaian aset
menggunakan pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika serta
membandingkan metode mana yang lebih baik antara pemulusan eksponensial
atau pemulusan aritmetika dalam pengaruh pemulusan terhadap kontribusi. Karya
ilmiah ini juga bertujuan menentukan nilai aset aktuaria dengan menggunakan
data Tabel Mortalita Indonesia 2011.
TINJAUAN PUSTAKA
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
Asuransi pensiun manfaat-pasti adalah program asuransi rencana pensiun di
mana penentuan besarnya manfaat yang akan diperoleh setelah memasuki usia
pensiun normal sudah ditetapkan di awal. Penentuan nilai manfaat pensiun ini
akan digunakan sebagai patokan untuk perhitungan besarnya kontribusi yang
dibayarkan setiap periodenya. Terdapat beberapa asumsi yang digunakan dalam
asuransi pensiun manfaat-pasti, salah satunya adalah asumsi tingkat bunga.
Dufresne (1988) memberikan tiga tingkat suku bunga, yaitu asumsi tingkat bunga
pengembalian investasi , tingkat bunga pengembalian investasi aktual
, dan
asumsi tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun ( ).
Asumsi tingkat bunga pengembalian investasi
merupakan asumsi tingkat
bunga yang digunakan untuk menentukan imbalan pengembalian investasi atas
aset program pensiun. Tingkat bunga pengembalian investasi ditentukan oleh
seorang aktuaris. Besar kecilnya tingkat bunga pengembalian investasi berbanding
lurus dengan besar kecilnya hasil investasi yang akan diperoleh. Asumsi tingkat
bunga pengembalian investasi aktual
merupakan tingkat bunga pengembalian
investasi yang diperoleh dari investasi aset secara aktual yang diketahui di akhir
periode. Asumsi tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun ( ) adalah
tingkat bunga yang diberikan atas dasar penentuan nilai sekarang dari manfaat
pensiun yang akan diterima.
Entry Age Normal
Entry age normal adalah metode perhitungan aktuaria yang penerapannya
memandang manfaat pensiun pada usia pensiun normal. Pandangan ini didasarkan
pada beberapa faktor antara lain: gaji peserta di masa depan, gaji terakhir peserta
sebelum masa pensiun, gaji rata-rata peserta selama masa kerja, dan masa
pembayaran kontribusi. Penggunaan metode ini adalah untuk menentukan besar
kontribusi normal yang berpedoman awal pada besarnya manfaat pensiun.
Kontribusi normal dibayarkan saat usia peserta mulai bekerja, bukan saat umur
peserta mulai mengikuti program pensiun. Besar kontribusi normal tetap setiap
3
periode waktu dan dapat ditentukan dari presentasi gaji peserta (Owadally dan
Haberman 1999).
Nilai Sekarang Aktuaria
Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan
Manfaat pensiun merupakan total dana yang diberikan oleh perusahaan
asuransi kepada peserta program pensiun setiap peride waktu. Nilai sekarang atas
pembayaran manfaat pensiun (actuarial present value of future benefit/APVFB)
merupakan sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa yang akan datang
yang ditafsirkan di masa sekarang. Winklevoss (1977) menjelaskan nilai
bagi seseorang yang berumur adalah
̈ ,
dengan
= manfaat pensiun pada usia pensiun normal .
̈
= anuitas diskret di awal periode seumur hidup yang
dibayarkan dimulai usia pensiun .
= peluang seorang berusia tetap bertahan hidup sampai
usia pensiun .
=
(tingkat diskonto dengan merupakan tingkat
bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun).
Nilai Sekarang Aktuaria atas Pembayaran Kontribusi Normal
Kontribusi normal adalah iuran wajib yang dibayarkan oleh peserta program
pensiun setiap periode waktu. Nilai sekarang atas pembayaran kontribusi normal
(actuarial present value of future normal contribution/APVFNC) merupakan
sekumpulan pembayaran kontribusi peserta yang ditafsirkan di masa sekarang.
Winklevoss (1977) menjelaskan nilai
bagi seorang yang berumur
adalah
∑
,
dengan
= kontribusi normal pada waktu orang tersebut berusia .
HASIL DAN PEMBAHASAN
Program Pensiun Manfaat-Pasti
Manfaat Pensiun (B)
Manfaat pensiun adalah total manfaat atau santunan yang wajib dibayarkan
oleh perusahaan asuransi kepada semua anggota rencana pensiun setiap
periodenya. Besar pembayaran untuk semua periode sama. Besarnya ditentukan
dari total penjumlahan santunan pensiun semua peserta asuransi pada periode
tertentu. Nilai manfaat pensiun sudah ditentukan di awal dan digunakan sebagai
patokan berbagai perhitungan aktuaria.
4
Nilai Rataan Pemulusan Aset
Nilai rataan pemulusan aset pada waktu
adalah rata-rata terboboti
dari serangkaian nilai aset pada waktu .
merupakan nilai dugaan aset pada
tahun setelah dilakukan pemulusan aset.
Kontribusi Normal (NC)
Kontribusi normal adalah total iuran wajib yang dibayarkan oleh peserta
program pensiun setiap periode waktu dimulai dari usia awal sampai usia
pensiun Besar kontribusi normal yang dibayarkan oleh seorang peserta program
pensiun selalu sama setiap periode. Kontribusi normal yang dibayarkan seseorang
setiap periode
dapat ditentukan menggunakan rumus
̈
̈ ̅̅̅̅̅̅̅
,
dengan ̈ ̅̅̅̅̅̅̅ merupakan anuitas hidup diskret di awal periode yang dibayarkan
mulai dari usia masuk kerja dengan jangka waktu
tahun. Kontribusi
normal ini diperoleh dari ketentuan bahwa nilai sekarang atas pembayaran
kontribusi normal seseorang berusia
sama dengan nilai sekarang atas
pembayaran manfaat pensiun seseorang berusia (
).
Bukti:
∑
∑
∑
̈ ̅̅̅̅̅̅̅
̈
̈
̈
̈
.
Actuarial Liability (AL)
Actuarial liability adalah dana kewajiban aktuaria untuk menjamin
kewajiban manfaat pensiun. Actuarial liability dihitung menggunakan actuarial
present value of future benefit (APVFB) seorang berusia dikurangi dengan
actuarial present value of future normal contribution seorang berusia .
Persamaan diberikan sebagai berikut:
̈ ̅̅̅̅̅̅̅ .
̈
Bukti:
Untuk usia pensiun
̈
̈
̈
∑
∑
̈
̅̅̅̅̅̅̅
.
5
Secara keseluruhan besarnya
dan konstan sepanjang waktu, maka
besarnya actuarial liability dapat dinyatakan sebagai:
.
(1)
Bukti:
Misalkan kontribusi normal diterima di awal tahun dan manfaat pensiun
juga dibayarkan, maka setiap tahunnya akan mendapat bunga atas kewajiban
pensiun. Penerimaan kontribusi normal dan pembayaran manfaat pensiun akan
menyebabkan perubahan actuarial liability pada waktu .
.
maka
Karena nilai
dan
konstan
sehingga berlaku
.
Kontribusi ( )
Kontribusi pada saat
adalah total dana iuran rutin yang dibayarkan
oleh peserta program pensiun pada waktu . Kontribusi ditentukan oleh kontribusi
normal dan kontribusi tambahan. Kontribusi tambahan dalam model ini berasal
dari defisit antara actuarial liability dan nilai rataan pemulusan aset. Besar
pembayaran kontribusi setiap waktu berbeda-beda. Kontribusi didefinisikan:
)
(2)
(Owadally 2003).
Dana ( )
Dana (fund) pada saat
adalah nilai total keuangan yang dimiliki oleh
suatu program rencana pensiun pada saat . Dana total tersebut ditentukan dari
dana kontribusi dari anggota rencana pensiun, pembayaran manfaat pensiun dan
dana investasi. Perhitungan dana ada dua, yaitu dana yang dari perhitungan
aktuaria menggunakan tingkat bunga pengembalian investasi dan dana aktual
menggunakan tingkat bunga pengembalian investasi aktual. Secara matematis
dapat dirumuskan sebagai berikut:
Dana atas asumsi aktuaria:
;
.
;
.
Dana aktual:
(3)
Unfunded Liability
Unfunded liability adalah kewajiban pensiun yang tidak terdanai. Unfunded
liability pada waktu
merupakan selisih antara actuarial liability pada
waktu dengan aset program pensiun secara aktual pada periode tersebut.
6
(4)
Besar unfunded liability digunakan untuk menentukan kecukupan dana
pensiun perusahaan yang tersedia. Unfunded liability bernilai positif berarti terjadi
kekurangan pada pendanaan pensiun dan jika bernilai negatif maka terjadi
kelebihan pada pendanaan pensiun.
Kerugian
Kerugian merupakan ukuran terjadinya laba atau rugi. Kerugian juga
merupakan perbedaan antara unfunded liability pada saat dan unfunded liability
dalam asumsi pendanaan. Owadally (2003) menjelaskan bentuk matematis
kerugian sebagai berikut:
dengan
(5)
(6)
,
merupakan tingkat pengembalian investasi aktual.
Pemulusan Eksponensial
Metode pemulusan eksponensial merupakan metode untuk menduga nilai
aset pendanaan pensiun suatu perusahaan pada waktu menggunakan nilai aset
pada tahun-tahun sebelumnya. Pemulusan eksponensial dapat digunakan dalam
berbagai program pensiun, karya ilmiah ini mempelajari penggunaan pemulusan
eksponensial dalam progam pensiun manfaat-pasti. Nilai dugaan aset dalam
program pensiun manfaat-pasti disebut juga dengan nilai rataan pemulusan aset
. Pendugaan yang dilakukan diharapkan tidak akan berbeda jauh dengan
nilai aset yang sebenarnya. Prinsip metode ini adalah dengan menghitung nilai
sekarang dari aset-aset perusahaan pada tahun-tahun sebelumnya. Perhitungan
aset tersebut dipengaruhi oleh parameter pemulusan
dan tingkat suku bunga
pengembalian investasi ( ). Owadally (2003) mendefinisikan bentuk umum nilai
dugaan atau nilai rataan pemulusan aset
adalah
di mana
∑
∑
,
(7)
adalah parameter pemulusan eksponensial dan
dengan
. Bagian pertama pada sisi kanan persamaan (7)
merupakan nilai sekarang dari nilai total dana
tahun-tahun sebelumnya
dikalikan dengan parameter eksponensial dan
. Bagian kedua pada sisi
kanan persamaan (7) merupakan nilai sekarang dari total aset perusahaan yang
bersumber dari penerimaan kontribusi
dan pembayaran benefit
setiap
tahun dan diberi bobot pemulusan sebesar
.
Salah satu kelemahan dalam metode ini adalah perhitungannya yang
memperhitungkan semua aset mulai dari tahun pertama sampai tahun sekarang,
tidak ada batasan mengenai periode tahun yang efektif sehingga terlalu rumit
dalam melakukan perhitungan. Mempertimbangkan hal tersebut, nilai rataan
pemulusan aset pada tahun
juga dapat dinyatakan dalam bentuk rekursif.
Owadally (2003) menjelaskan bentuk rekursif tersebut sebagai berikut:
7
.
(8)
Nilai rataan pemulusan aset pada tahun dihitung menggunakan rataan
pemulusan aset tahun
ditambah dengan selisih antara kontribusi dan benefit
pada tahun
seperti terlihat dalam persamaan (8). Parameter pemulusan
diberikan untuk dana tahun dan
untuk tahun
Semakin kecil nilai
berarti bahwa semakin banyak bobot yang ditempatkan pada nilai aset yang telah
lalu.
Pemulusan pada aset juga berakibat pada besar kontribusi yang diberikan
oleh anggota rencana pensiun. Baik perusahaan maupun anggota rencana pensiun
mengharapkan nilai kontribusi yang stabil. Kontribusi merupakan penjumlahan
kontribusi normal
dan kontribusi tambahan. Kontribusi tambahan dalam
pemulusan eksponensial merupakan pengaruh dari actuarial liability dan dana
perusahaan seperti yang terlihat dari sisi kanan persamaan berikut:
.
(9)
Selain berpengaruh terhadap kontribusi, pemulusan tehadap aset juga
berpengaruh terhadap dana yang dimiliki oleh perusahaan ( ). Dufresne (1988)
menjelaskan bahwa jika suku pengembalian investasi ( ) bebas dan menyebar
secara identik dengan rata-rata dan ragam
maka keragaman dana perusahaan
dan keragaman kontribusi adalah
(10)
(11)
dengan
dan
. Persamaan (10) menjelaskan bahwa dalam
jangka panjang nilai keragaman dari dana perusahaan
dihitung berdasarkan
nilai actuarial liability dan sangat bergantung dari keragaman suku bunga
pengembalian investasi. Keragaman kontribusi
dalam jangka panjang
berhubungan dengan keragaman dana. Berdasarkan persamaan (2) diketahui juga
bahwa
yang berarti bahwa dalam jangka panjang keragaman kontribusi berbanding lurus
dengan keragaman dari nilai rataan aset. Terlihat bahwa pemulusan aset dapat
mempengaruhi besar kontribusi yang diberikan.
Pemulusan Aritmetika
Metode pemulusan aritmetika merupakan metode untuk menduga nilai aset
pendanaan pensiun suatu perusahaan pada waktu menggunakan nilai aset tahuntahun sebelumnya. Perbedaan antara pemulusan eksponensial dan pemulusan
aritmetika adalah cara pemberian bobot terhadap nilai aset tahun-tahun
sebelumnya. Pemulusan eksponensial memberikan bobot secara ekponensial
8
dengan suatu nilai parameter sedangkan pemulusan aritmetika menduga nilai
aset dengan cara merata-ratakan nilai aset perusahaan pada tahun terakhir.
Bentuk umum nilai dugaan aset atau nilai rataan pemulusan aset
adalah
∑
∑
(12)
(Owadally 2003).
di mana adalah periode pemulusan aset dengan
,
.
Sisi sebelah kanan persamaan (12) menunjukkan dana perusahaan tahun ini
ditambah dengan nilai sekarang dari dana perusahaan pada
tahun
sebelumnya ditambah nilai sekarang aset yang berasal dari nilai kontribusi
dan manfaat pensiun
perusahaan. Perhitungan periode dimulai dari aset
perusahaan tahun ini dan terus ke belakang. Berdasarkan persamaan (12)
diketahui juga bahwa nilai rataan pemulusan aset (
) sama dengan dana
perusahaan ( ) pada saat
.
Nilai aset pendanaan pensiun juga bisa diduga menggunakan dana pada
tahun ditambah dengan rata-rata kerugian pada tahun terakhir yang dituliskan
seperti persamaan berikut:
∑
,
(13)
dengan
merupakan nilai kerugian perusahaan sebelum tahun . Persamaan
(13) menunjukkan bahwa nilai aset perusahaan dapat diduga pula dengan jumlah
dana perusahaan ditambah dengan rataan dari kerugian yang terjadi pada tahun
terakhir. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
Owadally (2003) juga menjelaskan nilai dugaan aset dapat diduga dari nilai
actuarial liability dan intervaluasi dari kerugian perusahaan pada tahun terakhir,
yaitu
∑
,
(14)
.
di mana
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.
Efek pemulusan aritmetika terhadap aset juga berakibat pada suku
kontribusi. Suku kontribusi adalah proporsi pembayaran kontribusi terhadap total
manfaat pensiun yang diterima. Asumsi yang digunakan dalam model adalah
bahwa manfaat pensiun yang diperoleh tetap setiap periode, ini berarti keragaman
dari suku kontribusi sama dengan keragaman dari kontribusi. Substitusi
persamaan (14) ke dalam persamaan (2) akan diperoleh nilai kontribusi sebagai
berikut:
∑
.
(15)
Kontribusi dalam pemulusan aritmetika merupakan penjumlahan dari kontribusi
normal ditambah dengan rata-rata nilai sekarang dari kerugian tahun terakhir.
9
Dufresne (1989) menunjukkan bahwa jika suku pengembalian investasi
bebas dan menyebar secara identik dengan rata-rata dan ragam
maka berlaku
∑
dan dalam jangka panjang nilai dana dan kontribusi dapat
dihitung menggunakan persamaan:
∑
∑
∑
∑
(16)
,
(17)
di mana
dan
,
. Sama seperti pada
pemulusan eksponensial, dalam jangka panjang nilai keragaman dana dan
kontribusi dalam jangka panjang dipengaruhi oleh keragaman suku bunga
pengembalian investasi
.
Berdasarkan persamaan (2), diketahui juga bahwa
yang berarti bahwa dalam jangka panjang keragaman kontribusi berbanding lurus
dengan keragaman dari nilai rataan aset.
Penentuan periode pada pemulusan aritmetika tidak diketahui secara pasti
berapa periode yang efektif untuk menduga aset. Karya ilmiah ini tidak bertujuan
untuk menjelaskan berapa periode yang tepat dalam melakukan pemulusan.
Berdasarkan survei dari CRSR (2001) periode yang efesien dalam melakukan
pemulusan adalah
Perbandingan Metode Pemulusan Eksponensial dan Pemulusan Aritmetika
Pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika memiliki persamaan dan
perbedaan. Persamaan kedua metode tersebut adalah sama-sama menggunakan
aset perusahaan pada tahun sebelumnya dalam menduga nilai aset. Perbedaan
yang jelas terlihat adalah pada pemulusan eksponensial periode aset yang
digunakan adalah semua aset mulai dari tahun pertama, sedangkan pada
pemulusan aritmetika pemulusan yang digunakan adalah aset pada
tahun
terakhir.
Pembahasan sebelumnya menjelaskan bahwa pemulusan aset, baik
ekponensial maupun aritmetika akan berpengaruh pada keragaman kontibusi
Kontribusi terdiri atas kontribusi nomal dan kontribusi tambahan. Dufresne (1988)
menjelaskan tentang penentuan nilai kontribusi tambahan untuk meminimumkan
kerugian dengan cara menyebarkan kerugian ke dalam beberapa periode. Kedua
metode pemulusan ini akan meminimumkan kerugian dengan cara menduga nilai
aset.
Pemulusan nilai aset ini akan berpengaruh terhadap suku kontribusi. Suku
kontribusi adalah tingkat kontribusi yang dibayarkan sebagai proporsi dari total
manfaat pensiun yang diterima peserta. Besar manfaat pensiun dalam model ini
adalah konstan setiap waktu maka keragaman dari suku kontribusi sama dengan
10
keragaman dari kontribusi yang dibayarkan. Keragaman dari kontribusi inilah
yang akan digunakan sebagai acuan perbandingan metode pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika. Semakin kecil ragam dari kontribusi
maka semakin baik model tersebut.
Menurut Owadally (2003), penilaian aset menggunakan pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika dalam jangka panjang akan menghasilkan
keragaman dana
yang sama baik untuk setiap kombinasi dari dan (
dan
). Berdasarkan hal tersebut, menggunakan asumsi bahwa
pada pemulusan eksponensial dan aritmetika sama, maka untuk setiap kombinasi
dan akan menghasilkan
pada pemulusan eksponensial lebih kecil
dibandingkan pemulusan aritmetika.
Bukti:
Misalkan diberikan fungsi
, ,
,
berturut-turut adalah fungsi
kebalikan dari persamaan (10), (16), (11), (17) sebagai berikut:
∑
∑
∑
∑
.
Membuktikan
pada pemulusan eksponensial lebih kecil
dibanding pemulusan aritmetika pada saat
untuk pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika bernilai sama, sama saja dengan
menunjukkan
ketika
dengan
dan
.
∑
∑
Menggunakan persamaan
substitusi ke persamaan
, maka
[
[∑
∑
∑
(
(
sehingga didapat
∑
[(∑
Diketahui bahwa
)
∑
(∑
∑
∑(
∑
)]
]
∑
)∑
∑
dan
∑
∑
sehingga
)
)∑
]
∑(
∑
(∑
)
) (∑
).
11
(∑
)(∑
)
selanjutnya diperoleh
∑
∑
[∑(
∑
)]
∑(
)
∑(
)
∑
.
∑
∑ , maka persamaan
Karena
dan karena
∑ . Telah ditunjukkan bahwa ∑
∑
menjadi
∑ , sehingga dapat disimpulkan bahwa
. Terbukti bahwa
pada pemulusan eksponensial lebih kecil dibandingkan pemulusan aritmetika pada
saat
untuk pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika sama.
Ilustrasi Pendugaan Nilai Aset Aktuaria
Pendugaan nilai aset aktuaria dalam karya ilmiah ini menggunakan beberapa
asumsi dan juga data yang sesuai dengan kondisi pasar di Indonesia. Asumsiasumsi yang digunakan adalah sebagai berikut:
1 Tingkat mortalitas diasumsikan seperti Tabel Mortalita Indonesia 2011
(laki-laki) dengan nilai awal
. Data Tabel Mortalita
Indonesia 2011 dapat dilihat pada Lampiran 3.
2 Populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan
distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan
semua peserta program pensiun mulai bekerja mulai usia yaitu 25 tahun
dan usia pensiun normal yaitu 56 tahun.
3 Gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap
tahunnya sebesar
4 Manfaat pensiun diberikan dengan proporsi 3/4 dari gaji terakhir.
5 Tidak terjadi inflasi dan tingkat suku pengembalian investasi ( )
menyebar normal dengan nilai harapan sama dengan suku bunga
pengembalian investasi aktual
dan simpangan baku
.
6 Tingkat bunga pengembalian investasi asumsi aktuaria ( ) besarnya sama
dengan tingkat bunga atas kewajiban pensiun ( ) sebesar
.
7 Unfunded liability diasumsikan sama dengan nol, sehingga nilai dana awal
( ) sama dengan actuarial liability.
8 Semua perhitungan besarnya dinyatakan ke dalam proporsi terhadap
manfaat pensiun ( ).
Perhitungan
Gaji terakhir peserta pensiun diperoleh pada saat usia 55 tahun, besarnya
gaji yaitu
471.
Manfaat pensiun yang yang diterima peserta setiap periode adalah 3/4 dari
gaji terakhir, yaitu sebesar
12
(
)
dan besar total manfaat pensiun yang diperoleh adalah
∑
Besar kontribusi normal yaitu
∑
̈ ̅̅̅̅̅̅̅
̈
̈
̈
∑
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̈
̈
.
∑
,
sehingga proporsi
terhadap manfaat pensiun setiap tahunnya adalah
.
Dari persamaan (1) besarnya actuarial liability setiap tahunnya adalah
,
sehingga proporsi
terhadap manfaat pesiun
, ∑
. Perhitungan
, ∑
dilihat pada Lampiran 4.
adalah
, ̈
̅̅̅̅̅ ,
dan ̈
dapat
Pendugaan Nilai Aset Menggunakan Pemulusan Eksponensial
Menurut Owadally (2003), besarnya parameter pemulusan yang efisien
adalah
. Dalam karya ilmiah ini akan digunakan nilai
.
Karena tingkat pengembalian investasi aset
dengan simpangan
baku
, maka besarnya tingkat bunga investasi aktual besarnya tidak
konstan setiap waktu. Selanjutnya dibangkitkan data suku bunga investasi aktual
yang menyebar normal sebanyak 50 dengan nilai harapan 5% dan simpangan baku
0.0025. Diasumsikan juga bahwa untuk
,
,
,
,
. Tahapan perhitungan aktuaria adalah sebagai berikut:
1 Untuk tahun ke-0
Asumsi yang digunakan pada saat
adalah
,
,
sehingga diperoleh dana pensiun sebesar
.
Besarnya kontribusi dihitung menggunakan persamaan (2) yaitu
13
2
Untuk tahun ke-1
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
dan nilai aset dengan asumsi aktuaria tanpa pemulusan adalah
.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (6), yaitu
.
Unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (4)
.
Besar kontribusi dihitung menggunakan persamaan (2)
,
sedangkan besar kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria adalah
.
Penentuan nilai dugaan aset pensiun dihitung menggunakan persamaan (8),
yaitu
.
3
Untuk tahun ke-2
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
dan nilai aset dengan asumsi aktuaria tanpa pemulusan adalah
.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (6), yaitu
.
Unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (4)
14
.
Besar kontribusi dihitung menggunakan persamaan (2)
,
sedangkan besar kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria adalah
.
Penentuan nilai dugaan aset pensiun dihitung menggunakan persamaan (8),
yaitu
.
4 Untuk
Untuk
, langkah-langkah perhitungan serupa dengan perhitungan
sebelumnya. Secara rekursif perhitungan aktuaria dapat dihitung menggunakan
Microsoft Excel yang dapat dilihat pada Tabel 1. Perhitungan aktuaria secara
lengkap dapat dilihat pada Lampiran 5.
Tabel 1 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan eksponensial
dengan nilai
dan
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
0
0.053
0.047
0.049
0.050
0.051
0.053
0.050
0.048
0.050
0.051
0.053
0.047
0.051
0.046
0.047
0.048
0.051
0.050
0.050
0
-0.050
0.024
0.019
0.002
-0.018
-0.054
-0.024
0.028
0.015
-0.009
-0.053
0.037
-0.007
0.055
0.059
0.022
-0.008
0.004
-0.001
16.337
16.337
16.352
16.329
16.331
16.336
16.342
16.354
16.344
16.328
16.332
16.340
16.353
16.325
16.339
16.319
16.352
16.322
16.327
16.332
16.337
16.387
16.313
16.318
16.335
16.355
16.390
16.361
16.308
16.322
16.346
16.390
16.300
16.344
16.282
16.278
16.315
16.345
16.333
16.338
0.222
0.187
0.239
0.235
0.223
0.209
0.184
0.205
0.242
0.233
0.216
0.185
0.248
0.217
0.261
0.263
0.237
0.216
0.225
0.221
0.222
0.222
0.211
0.227
0.226
0.222
0.218
0.210
0.217
0.228
0.225
0.220
0.210
0.230
0.220
0.234
0.212
0.232
0.229
0.225
16.337
16.326
16.349
16.340
16.334
16.331
16.327
16.340
16.349
16.338
16.332
16.325
16.353
16.332
16.349
16.341
16.350
16.331
16.334
16.335
0
-0.050
0.039
0.011
-0.004
-0.019
-0.048
-0.007
0.036
0.006
-0.014
-0.050
0.053
-0.019
0.057
0.041
0.037
-0.023
-0.006
-0.006
15
Aktual
Pemulusan
16.40
16.38
Nilai Aset
16.36
16.34
16.32
16.30
16.28
16.26
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 1 Nilai aset aktual dan nilai aset berdasarkan pemulusan eksponensial
Tabel 1 menunjukkan perhitungan aktuaria asuransi pensiun manfaat-pasti
menggunakan pemulusan eksponensial. Nilai
adalah nilai suku bunga
pengembalian investasi aktual yang menyebar normal dengan nilai harapan 5%
dan simpangan baku 0.0025. Unfunded liability memiliki nilai yang bervariasi,
unfunded liability bernilai positif berarti bahwa dana yang dimiliki perusahaan
tidak cukup untuk menanggung biaya kewajiban aktuaria dan apabila bernilai
negatif maka akan berlaku sebaliknya. Nilai dana perusahaan dan kontribusi
peserta juga dapat dilihat dalam Tabel 1. Dana perusahaan berdasarkan asumsi
dihitung dengan menggunakan
dan kontribusi asumsi aktuaria
aktuaria
suku bunga pengembalian investasi asumsi aktuaria sebesar 5%. Baik dana
perusahaan maupun kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria dan aktual memiliki
nilai yang tidak berbeda jauh.
Pada Tabel 1 dan Gambar 1 dapat dilihat bahwa nilai pasar aset
mengalami peningkatan pada tahun ke-1 ke tahun ke-2, kemudian mengalami
penurunan pada tahun ke-3 dan meningkat lagi pada tahun ke-4. Peningkatan dan
penurunan ini terus terjadi setiap tahunnya disebabkan oleh perubahan suku bunga
setiap tahunnya. Pemulusan aset bertujuan agar nilai dugaan aset aktuaria tidak
memiliki perbedaan yang signifikan dengan nilai aset aktual. Tabel 1
memperlihatkan bahwa tahun ke-1 kerugian bernilai negatif yang berarti bahwa
terjadi defisit atau rugi. Tahun ke-2 dan ke-3 terjadi surplus, sedangkan pada
tahun ke-4 sampai ke-7 terjadi defisit atau rugi. Kerugian terjadi karena perbedaan
antara suku bunga aktual dan suku bunga asumsi aktuaria.
Berdasarkan Gambar 1 dapat dilihat bahwa grafik aset berdasarkan
pemulusan memiliki ragam yang lebih kecil, hal ini disebabkan karena nilai suku
bunga yang digunakan konstan. Pendugaan nilai aset menggunakan pemulusan
eksponensial dengan parameter
memberikan perbedaan nilai aset yang
tidak berbeda jauh. Analisis kesalahan (error) dalam pendugaan menggunakan
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) menghasilkan nilai sebesar 0.216%.
Nilai kesalahan ini terbilang kecil sehingga pendugaan nilai aset menggunakan
16
dapat dikatakan baik. Pendugaan nilai aset ini masih ada kemungkinan
menghasilkan pendugaan yang lebih baik dengan menggunakan nilai parameter
yang berbeda.
Pendugaan Nilai Aset Menggunakan Pemulusan Aritmetika
Menurut Owadally (2003), nilai periode pada pemulusan aritmetika yang
efisien adalah
Karena tingkat pengembalian investasi aset (
dengan simpangan baku
maka besarnya tingkat bunga investasi
aktual besarnya tidak konstan setiap waktu. Data suku bunga investasi aktual yang
digunakan seperti yang digunakan dalam perhitungan pada pemulusan
eksponensial. Diasumsikan juga bahwa untuk
,
,
,
.
Tahapan perhitungan aktuaria adalah sebagai berikut:
1. Untuk tahun ke-0
Asumsi yang digunakan pada saat
adalah
dan
sehingga diperoleh dana pensiun sebesar
.
Besarnya kontribusi dihitung menggunakan persamaan (15) yaitu
∑
.
2. Untuk tahun ke-1
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
dan nilai aset dengan asumsi aktuaria tanpa pemulusan adalah
.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (6), yaitu
.
Unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (4)
.
Besar kontribusi dihitung menggunakan persamaan (15)
∑
,
sedangkan besar kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria adalah
17
∑
.
Penentuan nilai dugaan aset pensiun dihitung menggunakan (14), yaitu
∑
(
.
)
3. Untuk tahun ke-2
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
dan nilai aset dengan asumsi aktuaria tanpa pemulusan adalah
.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (6), yaitu
.
Unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (4)
.
Besar kontribusi dihitung menggunakan persamaan (15)
∑
,
sedangkan besar kontribusi berdasarkan asumsi aktuaria adalah
∑
.
Penentuan nilai dugaan aset pensiun dihitung menggunakan (14), yaitu
∑
.
4. Untuk
Untuk
, langkah-langkah perhitungan serupa dengan perhitungan
sebelumnya. Secara rekursif perhitungan aktuaria dapat dihitung menggunakan
Microsoft Excel dan dapat dilihat pada Tabel 2. Perhitungan aktuaria secara
lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6.
18
Tabel 2 Perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti dan pendugaan aset
pendanaan pensiun menggunakan metode pemulusan aritmetika dengan
nilai
dan
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
0
0.053
0.047
0.049
0.050
0.051
0.053
0.050
0.048
0.050
0.051
0.053
0.047
0.051
0.046
0.047
0.048
0.051
0.050
0.050
0
-0.050
-0.003
0.011
0.008
-0.009
-0.052
-0.059
-0.011
0.005
0.000
-0.043
0.013
-0.012
0.050
0.089
-0.015
-0.011
0.006
-0.001
16.337
16.337
16.379
16.337
16.324
16.327
16.340
16.389
16.384
16.338
16.323
16.330
16.377
16.330
16.344
16.289
16.389
16.324
16.325
16.332
16.337
16.387
16.339
16.325
16.328
16.345
16.388
16.396
16.348
16.332
16.337
16.380
16.323
16.349
16.287
16.247
16.352
16.347
16.331
16.338
0.222
0.212
0.219
0.222
0.221
0.217
0.220
0.208
0.212
0.214
0.215
0.217
0.229
0.217
0.226
0.238
0.215
0.220
0.224
0.228
0.222
0.212
0.219
0.222
0.221
0.217
0.220
0.208
0.212
0.214
0.215
0.217
0.229
0.217
0.226
0.238
0.215
0.220
0.224
0.228
0
16.347
16.339
16.337
16.338
16.342
16.339
16.350
16.347
16.345
16.344
16.342
16.329
16.342
16.332
16.320
16.343
16.338
16.334
16.331
16.425
0
-0.050
0.039
0.011
-0.004
-0.019
-0.048
-0.007
0.036
0.006
-0.014
-0.050
0.053
-0.019
0.057
0.041
0.037
-0.023
-0.006
-0.006
Aktual
Pemulusan
16.400
Nilai Aset
16.375
16.350
16.325
16.300
16.275
16.250
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 2 Nilai aset aktual dan nilai aset berdasarkan pemulusan aritmetika
19
Tabel 2 menunjukkan perhitungan aktuaria asuransi pensiun manfaat-pasti
menggunakan pemulusan aritmetika. Nilai
adalah nilai suku bunga
pengembalian investasi aktual yang menyebar normal dengan nilai harapan 5%
dan simpangan baku 0.0025. Nilai sama seperti yang digunakan dalam
pemulusan eksponensial. Unfunded liability memiliki nilai yang bervariasi,
unfunded liability bernilai positif berarti bahwa dana yang dimiliki perusahaan
tidak cukup untuk menanggung biaya kewajiban aktuaria dan apabila bernilai
negatif maka akan berlaku sebaliknya. Dana perusahaan berdasarkan asumsi
merupakan dugaan aktuaria yang
dan kontribusi asumsi aktuaria
aktuaria
dihitung menggunakan suku bunga pengembalian investasi asumsi aktuaria
sebesar 5%, sedangkan dana
dan kontribusi
adalah perhitungan aktual
yang dihitung menggunakan suku bunga aktual.
Pada Tabel 2 dan Gambar 2 dapat dilihat bahwa nilai aset aktual
pada
tahun ke-1 menurun sampai tahun ke-3, meningkat pada tahun ke-4 sampai ke-5.
Peningkatan dan penurunan nilai pasar aset ini disebabkan oleh perubahan suku
bunga setiap periodenya. Nilai kerugian
juga berubah-ubah setiap tahunnya.
Tahun ke-1 terjadi kerugian dan pada tahun ke-2 dan ke-3 terjadi surplus. Tahun
ke-4 sampai tahun ke-7 dan begitu seterusnya berubah-ubah setiap periode.
Nilai aset perusahaan menggunakan pemulusan memiliki ragam yang lebih
kecil dari nilai aset aktual, hal ini disebabkan karena suku bunga yang digunakan
setiap periodenya konstan. Pemulusan aset menggunakan parameter
sudah
menghasilkan dugaan aset yang tidak berbeda jauh dengan nilai aset aktual.
Analisis kesalahan dalam pendugaan menggunakan Mean Absolute Percentage
Error (MAPE) menghasilkan nilai sebesar 0.136%. Nilai kesalahan ini terbilang
kecil sehingga pendugaan nilai aset menggunakan
dapat dikatakan baik,
namun masih mungkin menghasilkan pendugaan yang lebih baik dengan mencoba
nilai parameter yang berbeda.
Pengaruh Pemulusan Aset terhadap Kontribusi
Besar kontribusi setiap waktu tidak selalu sama. Tingkat bunga
pengembalian investasi aktual
dan standar deviasi
sangat berpengaruh
terhadap besar kontribusi yang dibayarkan peserta. Laju kontribusi setiap waktu
dari pemulusan eksponensial dan pemulusan aritmetika dapat dilihat pada Gambar
3 dan Gambar 4.
20
0.27
Aktual
Pemulusan
0.26
0.25
0.24
C(t)
0.23
0.22
0.21
0.20
0.19
0.18
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 3 Grafik kontribusi pada pemulusan eksponensial saat
dan
Aktual
Pemulusan
0.25
0.24
C(t)
0.23
0.22
0.21
0.20
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 4 Grafik kontribusi pada pemulusan aritmetika saat
dan
21
Eksponensial
Aritmetika
0.25
0.24
C(t)
0.23
0.22
0.21
0.20
0
10
20
30
40
50
t
Gambar 5 Grafik kontribusi pemulusan aritmetika dan eksponensial
Pemulusan terhadap aset menghasilkan besar kontribusi yang berbeda setiap
waktu. Gambar 3 menunjukkan bahwa grafik kontribusi pada pemulusan
eksponensial memiliki selisih dengan kontribusi aktual. Analisis kesalahan (error)
menggunakan MAPE menghasilkan nilai sebesar 9.81%. Gambar 4 menunjukkan
grafik kontribusi pada pemulusan aritmetika. Grafik antara kontribusi aktual dan
kontribusi berdasarkan pemulusan memberikan error yang sangat kecil sehingga
tampak berhimpit pada grafik. Analisis kesalahan menggunakan MAPE
menghasilkan nilai sebesar 0.024%, nilai ini sangat kecil sehingga dapat dikatakan
pendugaan yang dilakukan sangat baik.
Pengambilan parameter pemulusan sangat berpengaruh terhadap besar
kontribusi. Nilai parameter
pada pemulusan eksponensial dan
pada
pemulusan aritmetika menunjukkan hasil bahwa pemulusan aritmetika lebih baik
dalam menduga besarnya kontribusi dengan nilai MAPE yang lebih kecil
dibandingkan pada pemulusan eksponensial, namun dalam hal keragaman
kontribusi, pemulusan eksponensial lebih baik karena memiliki ragam yang lebih
kecil seperti yang terlihat pada Gambar 5. Ragam kontribusi pada pemulusan
eksponensial sebesar
sedangkan ragam kontribusi pada pemulusan
aritmetika sebesar
. Perhitungan ini sesuai dengan pembuktian
sebelumnya bahwa pada jangka panjang pemulusan eksponensial memberikan
ragam kontribusi yang lebih kecil.
22
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Pemulusan eksponensial menduga aset perusahaan dengan mencari nilai
sekarang dan memberikan bobot secara eksponensial pada aset perusahaan tahun
sebelumnya, sedangkan pemulusan aritmetika menduga aset perusahaan dengan
mencari nilai sekarang dan merata-ratakan aset perusahaan pada beberapa tahun
terakhir. Pemulusan eksponensial lebih baik dibandingkan pemulusan
eksponensial dalam memengaruhi keragaman kontribusi. Keragaman kontribusi
pemulusan eksponensial lebih kecil dibandingkan pada pemulusan aritmetika.
Perhitungan aktuaria dalam karya ilmiah ini menggunakan parameter
untuk pemulusan eksponensial dan
untuk pemulusan aritmetika.
Nilai MAPE menunjukkan tingkat kesalahan dalam menduga aset untuk
pemulusan eksponensial sebesar 0.216% dan pemulusan aritmetika sebesar
0.136%. Pemulusan eksponensial menghasilkan keragaman kontribusi lebih kecil
yaitu sebesar
dibandingkan pemulusan eksponensial sebesar
.
Saran
Model pendugaan nilai aset pendanaan pensiun menggunakan pemulusan
eksponensial dan pemulusan aritmetika dalam karya ilmiah ini masih perlu
dibahas lebih lanjut ketika kerugian yang terjadi bukan hanya selisih antara
tingkat bunga asumsi aktuaria dan tingkat bunga aktual. Asumsi-asumsi lain
seperti populasi peserta yang tidak stasioner, terjadinya inflasi, dan juga tingkat
bunga pengembalian investasi yang tidak menyebar normal juga masih bisa
dibahas lebih lanjut lagi.
DAFTAR PUSTAKA
[CRSR] Committee on Retirement System Research. 2001. Survey of asset
valuation methods for defined benefit pension plans. Pension Forum 13(1):149.
Dufresne D. 1988. Moment of pension contributions and fund level when rate of
return are random. Journal of The Institute of Actuaries 115:535-544.
Dufresne D. 1989. Stability of pension systems when rates of return are random.
Insurance: Mathematics and Economics 8:71-76.
Owadally MI, Habermann S. 1999. Pension fund dynamics and gains/losses due
to random rate of investment return. North American Actuarial Journal
3(3):425-433.
23
Owadally MI. 2003. Efficient asset valuation methods for pension plans.
Actuarial Research Paper (148):1-19.
Pemerintah Republik Indonesia. 1992. Undang-Undang Republik Indonesia
Nomor 11 Tahun 1992 tentang Dana Pensiun. Jakarta (ID): Sekretariat Negara.
[PAI; AAJI; SR] Persatuan Aktuaris Indonesia; Asosiasi Asuransi Jiwa Indonesia;
Swiss Re. 2012. Tabel Mortalita Indonesia 2011. Jakarta (ID): AAJI Pr.
Winklevoss HE. 1977. Pension Mathematics with Numerical Illustrations. Illinois
(US): Richard D Irwin Inc.
24
Lampiran 1 Pembuktian perhitungan nilai rataan pemulusan aset berdasarkan
dana pada saat dan kerugian beberapa tahun terakhir
Akan dibuktikan:
∑
.
Bukti:
Berdasarkan persamaan (5) diperoleh
dengan mensubstitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan (12) maka
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
.
∑
,
25
Lampiran 2 Pembuktian perhitungan nilai rataan pemulusan aset berdasarkan
actuarial liability dan kerugian beberapa tahun terakhir
Akan dibuktikan:
∑
Bukti:
Menggunakan persamaan (4) ke dalam persamaan (13) akan diperoleh
∑
.
(18)
Owadally (2003) mendefinisikan bentuk actuarial liability sebagai berikut:
dengan
. Menggunakan persamaan tersebut dan dengan menyubstitusi
persamaan (2) dan (4) ke dalam persamaan (5), maka akan diperoleh
.
(19)
Persamaan (18) dan (19) akan memberikan persamaan untuk unfunded liability
dalam bentuk intervaluasi kerugian sebagai berikut:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
.
(20)
Selanjutnya dengan mensubtitusi persamaan (20) ke dalam persamaan (18)
diperoleh
∑
∑
∑
.
∑
26
Lampiran 3 Tabel Mortalita Indonesia 2011 untuk jenis kelamin laki-laki
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
0.00085
0.00083
0.00079
0.00075
0.00074
0.00076
0.0008
0.00083
0.00084
0.00086
0.00091
0.00099
0.00109
0.0012
0.00135
0.00153
0.00175
0.00196
0.00219
0.00246
0.00279
0.00318
0.00363
0.00414
0.00471
0.00538
0.00615
0.00699
0.00784
0.00872
0.00961
981771
980936
980122
979348
978613
977889
977146
976364
975554
974735
973897
973011
972048
970988
969823
968514
967032
965340
963448
961338
958973
956297
953256
949796
945864
941409
936344
930585
924080
916835
908840
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
0.01051
0.01142
0.01232
0.01322
0.01417
0.01521
0.01639
0.01773
0.01926
0.021
0.02288
0.02486
0.02702
0.02921
0.03182
0.03473
0.03861
0.04264
0.04687
0.05155
0.05664
0.06254
0.06942
0.07734
0.08597
0.09577
0.10593
0.11683
0.12888
0.14241
0.15738
900106
890646
880475
869628
858132
845972
833105
819450
804921
789418
772840
755157
736384
716487
695558
673425
650037
624939
598292
570250
540854
510220
478311
445107
410682
375376
339426
303471
268016
233474
200225
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
0.17368 168714
0.1911 139412
0.20945 112770
0.22853 89150
0.24638 68777
0.26496 51832
0.2845 38099
0.30511 27260
0.32682 18943
0.34662 12752
0.3677
8332
0.39016 5268
0.41413 3213
0.43974 1882
0.45994 1054
0.48143
569
0.50431
295
0.52864
146
0.5545
69
0.58198
31
0.61119
13
0.64222
5
0.67518
2
0.71016
1
1
0
27
Lampiran 4 Perhitungan
,∑
,∑
∑
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
∑
,∑
, ̈
Perhitungan ̈
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
981771
980936
980122
979348
978613
977889
977146
976364
975554
974735
973897
973011
972048
970988
969823
968514
967032
965340
963448
961338
958973
956297
953256
949796
945864
941409
936344
930585
924080
916835
908840
, ̈
̅̅̅̅̅ ,
dan ̈
̅̅̅̅̅
1
0.952381
0.907029
0.863838
0.822702
0.783526
0.746215
0.710681
0.676839
0.644609
0.613913
0.584679
0.556837
0.530321
0.505068
0.481017
0.458112
0.436297
0.415521
0.395734
0.376889
0.358942
0.34185
0.325571
0.310068
0.295303
0.281241
0.267848
0.255094
0.242946
0.231377
̅̅̅̅̅
1
0.951571
0.905506
0.861706
0.820056
0.780428
0.7427
0.706767
0.672553
0.639989
0.60899
0.579462
0.551323
0.524497
0.498921
0.474522
0.451234
0.428995
0.407766
0.387498
0.368138
0.349629
0.331921
0.314968
0.298728
0.283162
0.268228
0.253884
0.240104
0.226877
0.21419
28
Perhitungan ̈
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
900106
890646
880475
869628
858132
845972
833105
819450
804921
789418
772840
755157
736384
716487
695558
673425
650037
624939
598292
570250
540854
510220
478311
445107
410682
375376
339426
303471
268016
233474
200225
168714
139412
112770
89150
68777
51832
38099
27260
18943
12752
1
0.952381
0.907029
0.863838
0.822702
0.783526
0.746215
0.710681
0.676839
0.6