Penentuan Nilai Aset Aktuaria pada Pendanaan Pensiun dengan Metode Pemulusan Eksponensial dan Aritmatika

PENENTUAN NILAI ASET AKTUARIA PADA PENDANAAN
PENSIUN DENGAN METODE PEMULUSAN
EKSPONENSIAL DAN ARITMATIKA

DESYI CHRISTIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Aset
Aktuaria pada Pendanaan Pensiun dengan Metode Pemulusan Eksponensial dan
Aritmatika adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2013
Desyi Christia
NIM G54090068

ABSTRAK
DESYI CHRISTIA. Penentuan Nilai Aset Aktuaria pada Pendanaan Pensiun
dengan Metode Pemulusan Eksponensial dan Aritmatika. Dibimbing oleh I
GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Penentuan besarnya kontribusi yang tepat dan stabil untuk peserta pensiun
merupakan suatu masalah yang dihadapi oleh suatu program dana pensiun. Salah
satu cara untuk mengurangi ketidakstabilan kontribusi tersebut adalah dengan
melakukan penilaian pendanaan terhadap suatu program pensiun yaitu dengan
menggunakan nilai rata-rata dari nilai pasar aset dalam jangka pendek. Nilai aset
inilah yang disebut dengan nilai aset aktuaria. Terdapat tiga metode yang
umumnya digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria yaitu Average of
Market, Deferred Recognition, dan Write-Up. Dalam karya ilmiah ini hanya
penilaian dalam pendanaan pensiun saja yang akan dibahas dan akan ditunjukkan
bahwa ketiga metode ini ekuivalen baik berdasarkan pemulusan eksponensial

maupun aritmatika dengan nilai ragam yang sama yaitu sebesar 0.00064
berdasarkan pemulusan eksponensial dan 0.00036 berdasarkan pemulusan
aritmatika.
Kata kunci: aset, kerugian, penghitungan aktuaria, pemulusan

ABSTRACT
DESYI CHRISTIA. Calculating the Actuarial Assets of the Retirement Funding
with Exponential and Arithmetic Smoothing Methods. Supervised by I GUSTI
PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
Calculating the precise and stable contribution to a pension is a necessary in
planning a pension. One way to reduce volatility this contribution is to conduct an
assessment of the funding of the pension plan using the average value of the
market value of assets in the short term. This value of the assets is called the
actuarial value of assets. There are three methods commonly used in calculating
the actuarial value of assets; Average of Market, Deferred Recognition and WriteUp. This paper discusses the pension funding valuation and it shows that all three
methods are equivalent on exponential and arithmetic smoothing with the same
variance that is equal to 0.00064 for exponential smoothing and 0.00036 for
arithmetic smoothing.
Keywords: actuarial valuation, asset, loss, smoothing

PENENTUAN NILAI ASET AKTUARIA PADA PENDANAAN
PENSIUN DENGAN METODE PEMULUSAN
EKSPONENSIAL DAN ARITMATIKA

DESYI CHRISTIA

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

Judul Skripsi : Penentuan Nilai Aset Aktuaria pada Pendanaan Pensiun dengan
Metode Pemulusan Eksponensial dan Aritmatika

Nama
: Desyi Christia
NIM
: G54090068

Disetujui oleh

Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I

Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih
dalam karya ilmiah yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah
pendanaan pensiun, dengan judul Penentuan Nilai Aset Aktuaria Pada Pendanaan
Pensiun Dengan Metode Pemulusan Eksponensial Dan Aritmatika.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba,
DEA dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku pembimbing, serta Bapak Dr Ir I
Wayan Mangku, MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada papa dan mama serta aseluruuh
keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya. Teman-teman matematika 46
(Widia, Ditta, Anne, Sevir, Irma, Yoyok, Fenny, dan yang lainnya) yang telah
membantu penulis dalam kegiatan belajar, serta kakak-kakak matematika 43, 44,
dan 45 atas saran dan masukan yang telah diberikan selama perkuliahan dan
seluruh staf tata usaha yang telah membantu dan menemani penulis selama
menjalani perkuliahan di Departemen Matematika IPB.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2013
Desyi Christia

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vii

DAFTAR GAMBAR

vii

DAFTAR LAMPIRAN

vii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Program Pensiun Manfaat Pasti

2

Nilai Sekarang Aktuaria

2

Metode Penghitungan Aktuaria

3

HASIL DAN PEMBAHASAN

4

Model Sederhana Program Pensiun Manfaat Pasti

4

Metode Nilai Aset Aktuaria yang Dihaluskan

9

SIMULASI

12

Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan
Eksponensial

13
Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria
Berdasarkan Pemulusan Eksponensial

18

Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan
Aritmatika
20
Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria
Berdasarkan Pemulusan Aritmatika
SIMPULAN DAN SARAN

25
27

Simpulan

27

Saran

28

DAFTAR PUSTAKA

28

LAMPIRAN

29

RIWAYAT HIDUP

36

DAFTAR TABEL
1 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator
write-up saat t untuk t = 1 sampai t = 5
2 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator

write-up saat t untuk t = 6 sampai t = 10
3 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti dengan
( )
4 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti
berdasarkan pemulusan eksponensial dengan ( )

5 Hasil penghitungan ketiga metode dalam menentukan nilai aset aktuaria
berdasarkan pemulusan eksponensial
6 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator
write-up saat t untuk t = 1 sampai t = 5
7 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator
write-up saat t untuk t = 6 sampai t = 10
8 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti
berdasarkan pemulusan aritmatika dengan ( )
9 Hasil penghitungan ketiga metode dalam menentukan nilai aset aktuaria
berdasarkan pemulusan eksponensial

16
16
16

17
20
23
23
24
27

DAFTAR GAMBAR
1 Perbandingan nilai pasar aset dengan nilai aset aktuaria berdasarkan
pemulusan eksponensial
2 Perbandingan nilai pasar aset dengan nilai aset aktuaria berdasarkan
pemulusan aritmatika

17
24

DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian present value dari dana pensiun pada saat t dengan operator
write-up
2 Pembuktian besarnya kerugian pada waktu
dengan operator writeup
3 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market
ekuivalen dengan persamaan pemulusan aritmatika
4 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode average of market dengan
pemulusan eksponensial setara dengan persamaan pemulusan
eksponensial
5 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode deferred recognition
berdasarkan pemulusan eksponensial setara dengan pemulusan
eksponensial yang umumnya digunakan.
6 Pembuktian nilai aset aktuaria dengna metode deferred recognition
berdasarkan pemulusan eksponensial ekuivalen dengan metode average
of market berdasarkan pemulusann eksponensial.

29
31
31

32

33

33

7 Pembuktian nilai aset aktuaria dalam metode deferred recognition
dengan pemulusan aritmatika setara dengan pemulusan aritmatika
8 English Life Table No. 16.1 Males

34
35

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pensiun merupakan suatu masa atau keadaan dimana seseorang tidak
bekerja lagi karena usianya yang sudah lanjut atau karena kemauannya sendiri.
Untuk menjamin kebutuhan hidupnya saat masa pensiun, maka seseorang dapat
mengikuti program pensiun yang dikelola oleh dana pensiun. Dana pensiun adalah
badan hukum yang mengelola dan menjalankan program yang menjanjikan
manfaat pensiun bagi pesertanya (UU No. 11 tahun 1992). Ketika memasuki
masa pensiun, seseorang dapat memperoleh penghasilan melalui program pensiun
yang diikutinya baik melalui pemberi kerja (Dana Pensiun Pemberi Kerja)
maupun melalui lembaga keuangan (Dana Pensiun Lembaga Keuangan) yang
didirikan oleh perusahaan asuransi jiwa dan memberikan manfaat pensiun kepada
masyarakat umum, karyawan dan pekerja mandiri.
Program pensiun merupakan sebuah program atau kegiatan yang
mengupayakan tersedianya uang pensiun bagi pesertanya. Sebelum peserta
pensiun memperoleh manfaat dari program pensiun yang diikutinya, mereka harus
membayar sejumlah uang yang telah ditentukan oleh perusahaan asuransi jiwa
yang mendirikan dana pensiun tersebut yang disebut dengan kontribusi. Agar
perusahaan asuransi dapat menentukan kontribusi yang sesuai sehingga
perusahaan tersebut dapat memenuhi semua kewajibannya sampai program
pensiun tersebut berakhir, maka perlu dilakukan penilaian dana/biaya (valuation)
terhadap program pensiun tersebut.
Aktuaris melakukan berbagai cara dalam penilaian pendanaan manfaat pasti
dana pensiun. Salah satu cara dalam melakukan penilaian pendanaan adalah
dengan menggunakan nilai aset atau kekayaan yang dimiliki dalam dana pensiun
tersebut yaitu dengan memperbarui nilai pasar saat ini dari aset yang digunakan.
Metode aktuaria dirancang untuk menentukan besarnya manfaat yang sistematis
yang akan memberikan tingkat kontribusi yang stabil. Pada akhirnya nilai aset
aktuaria yang merupakan rata-rata dari nilai pasar aset selama jangka pendek
digunakan untuk mengurangi ketidakstabilan ketika menentukan besarnya
kontribusi.
Berdasarkan survey yang sudah dilakukan para praktisi aktuaria nilai pasar
aset aktuaria yang dihaluskan umumnya digunakan dalam penilaian pendanaan
dalam dana pensiun manfaat pasti. Terdapat tiga metode pemulusan yang
digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria yaitu average of market, deferred
recognition dan write-up. Karya ilmiah ini membahas penghitungan dana yang
dimiliki oleh suatu program pensiun dan menunjukkan ketiga metode tersebut
ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika. Rujukan utama
dari karya ilmiah ini adalah jurnal karangan Owadally dan Haberman (2004) yang
berjudul The Treatment of Assets in Pension Funding.

2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
1 Mempelajari metode pemulusan yang umumnya digunakan dalam menentukan
nilai aset aktuaria.
2 Menentukan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial dan
aritmatika.
3 Membandingkan metode pemulusan eksponensial dengan metode pemulusan
aritmatika dalam menentukan nilai aset aktuaria.
4 Menunjukkan bahwa tiga metode dalam penentuan nilai aset aktuaria
ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika.

TINJAUAN PUSTAKA
Program Pensiun Manfaat Pasti
Program pensiun manfaat pasti adalah program pensiun yang penentuan
besarnya manfaat pensiun yang akan diperoleh setelah memasuki usia pensiun
normal sudah ditentukan di awal. Penetapan besarnya manfaat pensiun ini akan
digunakan sebagai patokan untuk penghitungan besarnya kontribusi yang harus
dibayarkan setiap periodenya. Dalam melakukan penghitungan aktuaria terdapat
beberapa asumsi aktuaria salah satunya adalah tingkat bunga. Tingkat bunga yang
digunakan pada program pensiun manfaat pasti adalah tingkat bunga
pengembalian investasi (i), tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun
(iL), dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual (i’).
Asumsi tingkat bunga pengembalian investasi merupakan asumsi tingkat
bunga yang digunakan untuk menentukan besarnya imbalan pengembalian atas
aset program pensiun. Besar kecilnya tingkat pengembalian investasi ini
berbanding lurus dengan besar kecilnya hasil investasi yang diperoleh dari aset
yang dimiliki. Asumsi tingkat bunga kewajiban dari dana pensiun merupakan
tingkat bunga yang diberikan atas dasar penentuan nilai sekarang dari manfaat
pensiun yang dijanjikan. Besarnya tingkat bunga ini biasanya ditentukan dari
perkiraan awal aktuaris yang didasarkan pada faktor tingkat bunga yang
dikenakan atas aset bebas risiko, obligasi yang dikeluarkan pemerintah atau sesuai
peraturan pemerintah pada suatu negara tertentu (Dufresne 1988).
Asumsi tingkat bunga aktual (i’) merupakan tingkat bunga yang diperoleh
dari investasi aset secara aktual yang diketahui di akhir periode tertentu. Semua
tingkat bunga yang digunakan dinyatakan dalam persentase.

Nilai Sekarang Aktuaria
Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan
Nilai sekarang dari pembayaran manfaat pensiun di masa depan disebut juga
Actuarial Present Value of Future Benefit (APVFB). APVFB merupakan
sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa yang akan datang yang

3
ditafsirkan di masa sekarang. Secara matematis nilai APVFB bagi seseorang yang
berumur y adalah:
̈.

dengan
̈

: manfaat pensiun (benefit) usia pensiun normal.
: anuitas diskrit di awal periode seumur hidup yang dibayarkan dimulai
usia pensiun z.
: probabilitas seseorang berusia y tetap bertahan hidup sampai usia
pensiun z.
tingkat diskonto dengan
merupakan tingkat bunga untuk
:
kewajiban pensiun.
(Winklevoss 1993)

Nilai Sekarang Aktuaria atas Iuran Pensiun
Nilai sekarang dari pembayaran iuran peserta pensiun disebut juga Actuarial
Present Value of Future Normal Contribution (APVFNC). APVFNC merupakan
sekumpulan pembayaran iuran peserta yang ditafsirkan di masa sekarang. Secara
matematis nilai APVFNC bagi seseorang yang berumur y adalah

dengan

∑

.

= normal contribution pada waktu t.
(Winklevoss 1993)

Metode Penghitungan Aktuaria
Entry Age Normal
Entry Age Normal merupakan salah satu metode penghitungan aktuaria
dengan pembayaran manfaat pensiun pada saat usia pensiun normal. Metode ini
menentukan iuran normal yang akan dibayarkan setiap peserta yang berpedoman
awal dari besarnya manfaat pensiun. Pandangan ini didasarkan pada beberapa
faktor antara lain: gaji peserta di masa yang akan datang, gaji terakhir peserta
sebelum masa pensiun, atau gaji rata-rata dari peserta selama masa kerja atau
masa pembayaran iuran (Owadally dan Haberman 1999).
Ketentuan lain pada entry age normal yaitu iuran normal dibayarkan dari
peserta mulai bekerja, bukan saat peserta mulai mengikuti program pensiun.
Selain itu, besarnya iuran normal bisa tetap setiap periodenya atau dapat
ditentukan dari persentasi gaji peserta (Owadally dan Haberman 1999).

4

HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Sederhana Program Pensiun Manfaat Pasti
Benefit (B)
Benefit merupakan jumlah total manfaat yang wajib dibayarkan oleh
perusahaan asuransi atau pihak penanggung untuk setiap periodenya. Nilai dari
benefit ini merupakan penjumlahan atas manfaat pensiun bagi semua peserta yang
mengikuti asuransi pensiun bagi semua peserta yang mengikuti asuransi pensiun
pada periode tertentu. Besarnya benefit ditentukan di awal secara pasti dan
diketahui nilainya karena akan digunakan sebagai acuan untuk menghitung
berbagai penghitungan aktuaria pada program pensiun manfaat pasti.
Normal Contribution (NC)
Iuran normal (Normal Contribution) merupakan besarnya iuran yang
dibayarkan oleh setiap peserta asuransi pensiun selama peserta mengikuti program
ini mulai dari usia awal y sampai usia pensiun z. Pada metode entry age normal
nilai iuran normal ini konstan dan diperoleh melalui persamaan berikut:

̈

dengan
̈

̈

.

(1)

: anuitas hidup diskrit di awal periode berjangka waktu

tahun

yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja y (Bowers et al. 1997).

Nilai ini diperoleh dari aturan nilai sekarang dari pembayaran iuran normal
secara berkala harus sama dengan nilai sekarang dari pembayaran manfaat
seseorang berumur y, sehingga persamaannya yaitu:
.
Dari persamaan tersebut dapat ditunjukkan bahwa persamaan untuk menentukan
iuran normal sebagai berikut:
∑

∑

̈

∑

̈
̈

̈

̈

.

Actuarial Liability (AL)
Actuarial Liability merupakan kewajiban aktuaria (cadangan manfaat)
dalam menjamin suatu kewajiban manfaat pensiun. Actuarial liability dihitung
dengan menggunakan actuarial present value of future benefit (APVFB) saat usia

5
x dikurangi dengan actuarial present value of future normal contribution
(APVFNC) pada saat usia x. Persamaan untuk menghitung actuarial liability saat
orang berumur x adalah sebagai berikut:

Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu:
Untuk usia pensiun

̈

̈
̈

̈

∑

∑

̈

̈

̈
̈

̈

̈

.

(2)

.

Jika penghitungan dilakukan secara agregat (keseluruhan) dan besarnya NC,
B, dan konstan sepanjang waktu, maka besarnya actuarial liability juga dapat
dinyatakan dalam persamaan berikut:
.

(3)

Bukti:
Misalkan iuran normal diterima di awal tahun t dan benefit juga dibayarkan, maka
setiap tahunnya akan mendapatkan bunga atas kewajiban pensiun. Kondisi ini
menyebabkan perubahan actuarial liability dalam setahun karena penerimaan
iuran normal dan pembayaran manfaat, sehingga pada waktu t berlaku:

Karena
konstan, sehingga berlaku:

konstan, maka

,

dan

juga

.
Unfunded Liability (UL)
Unfunded Liability pada waktu
adalah selisih antara nilai
actuarial liability pada waktu t dengan aset aktual
yang dimiliki program
pensiun pada periode tersebut. Persamaan untuk unfunded liability jika nilai aset
aktuaria
berdasarkan metode pemulusan digunakan adalah sebagai berikut:
(4)

6
Nilai unfunded liability juga dapat digunakan untuk menentukan kecukupan
dana pensiun yang tersedia untuk pembayaran manfaat pensiun ke depan. Artinya
jika nilai unfunded liability bernilai positif maka terjadi kekurangan pada
pendanaan pensiun tersebut.
)
Supplementary Contribution (
Supplementary Contribution merupakan kontribusi tambahan yang
dibayarkan oleh peserta pensiun untuk menutupi kerugian yang terjadi karena
adanya perbedaan tingkat bunga aktuaria dengan tingkat bunga investasi.
Kontribusi tambahan merupakan fraksi dari besarnya unfunded liability (Dufresne
1988). Persamaan untuk supplementary contribution didefinisikan sebagai
berikut:
(
)
.
(5)
̈ ̅̅̅̅

dengan ̈ ̅̅̅̅ : anuitas hidup diskrit diawal selama m tahun (Bowers et al. 1997)

Contribution (C)
Contribution merupakan iuran rutin yang dibayarkan dari peserta program
pensiun. Nilai kontribusi ini diperoleh dari besarnya normal cost (NC) ditambah
dengan supplementary contribution
yang nilainya juga dapat berubah setiap
waktu t. Besarnya kontribusi yang diberikan ketika menggunakan nilai pasar aset
yang dihaluskan adalah sebagai berikut:
(

)

(Dufresne 1988)

Aset Pensiun
Aset pensiun pada saat
merupakan nilai total aset yang dimiliki
pada suatu program pensiun pada saat . Aset ini terdiri dari total pembayaran
iuran seluruh peserta, pengurangan atas pembayaran manfaat pensiun dan
termasuk hasil pengembangan investasi dari aset tersebut. Secara matematis
dirumuskan sebagai berikut:
Persamaan untuk nilai pasar aset atas asumsi aktuaria didefinisikan sebagai
berikut:
.
(7)
Persamaan untuk nilai pasar aset didefinisikan sebagai berikut:
.

(8)

Persamaan untuk nilai pasar aset yang dihaluskan didefinisikan sebagai berikut:
.

(9)

Persamaan untuk nilai pasar aset yang dihaluskan atas asumsi aktuaria
didefinisikan sebagai berikut:
.

(10)

7
) akan dibahas dalam karya ilmiah ini
Nilai pasar aset yang dihaluskan (
berdasarkan pemulusan eksponensial dan aritmatika
Operator Write-up (W)
Operator write-up didefinisikan sebagai berikut :
.

(11)

dengan
: merupakan present value dari dana pensiun pada waktu t yang
ditulis dengan operator write-up.
: arus kas keluar pada saat t – 1.
Dari persamaan (7) dapat ditentukan bahwa
merupakan besarnya
benefit
dikurangi dengan contribution
pada saat
dengan suku bunga
asumsi aktuaria (i).
Operator write-up selama waktu j(

Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

) didefinisikan sebagai berikut:
∑

.

(12)

Loss
Kerugaian (Loss) terjadi karena adanya penyimpangan antara asumsi
aktuaria dengan kejadian yang sebenarnya (Aitken 1994). Jika loss bernilai positif
artinya telah terjadi kerugian dalam pendanaan program pensiun tersebut.
Kerugian aset pada waktu t dinotasikan sebagai berikut:
–

.

(13)

dari persamaan (7) maka kerugian pada saat t dapat dinotasikan sebagai berikut:
.

(14)

Kerugian aset berdasarkan nilai pasar aset aktuaria pada saat t dinotasikan sebagai
berikut:
.
(15)
dari persamaan (10) maka kerugian berdasarkan nilai pasar aset aktuaria pada saat
t dapat dinotasikan sebagai berikut:
.

(16)

Penulisan persamaan (11) jika dituliskan dalam operator write-up akan menjadi :
.

(17)

8
Bukti :
Dari persamaan (13) diperoleh:

.
Kerugian pada saat t – j dapat didefinisikan sebagai selisih antara nilai aset
dengan operator write-up pada selang (t – j – 1, t – j) yang didefinisikan sebagai
berikut:
(

Bukti persamaan (18) dapat dilihat pada Lampiran 2.

)

.

(18)

)
Pemulusan Eksponensial (
Pemulusan eksponensial (exponential smoothing) dalam nilai pasar
didefinisikan sebagai berikut :
∑

.

(19)

dengan
E
: operator pemulusan eksponensial.
: parameter pemulusan eksponensial dimana 0 ≤ ˂ 1.
: nilai aktuaria dari aset rencana pensiun pada saat t berdasarkan pemulusan
=1
eksponensial, dalam jangka panjang bobot dari
yaitu ∑
Bukti :
∑
=
…
= 1.
)
Pemulusan Aritmatika(
Metode pemulusan aritmatika mengakui bahwa kerugian/keuntungan
(bersama dengan suku bunga) terjadi secara bertahap selama suatu interval
bergerak, biasanya selama lima tahun. Pemulusan aritmatika (arithmetic
smoothing) dalam nilai pasar aset didefinisikan sebagai berikut:
∑

.

: operator pemulusan aritmatika dengan periode n.

(20)

9
Metode Nilai Aset Aktuaria yang Dihaluskan
Dalam penentuan nilai aset aktuaria, terdapat tiga metode pemulusan yang
sering digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria yaitu Average of Market,
Deferred Recognition (Adjusted Market) dan Write-up. Dalam bab ini akan
ditunjukkan bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen baik secara eksponensial
maupun aritmatika.
Average of Market
Permulaan nilai aset dikembangkan sebagai rata-rata dari nilai pasar saat ini
dan nilai pasar yang disesuaikan dari satu atau lebih dari tahun sebelumnya. Untuk
masing-masing nilai pasar yang disesuaikan dikembangkan dengan menyesuaikan
nilai pasar pada tahun tersebut ke waktu penilaian dengan menambahkan
kontribusi, dikurangi pembayaran manfaat, dan penyesuaian lainnya dengan halhal tertentu dari pengalaman investasi (CRSR 2001).
Metode average of market dapat melibatkan pemulusan aritmatika dan
pemulusan eksponensial. Dengan menggunakan pemulusan aritmatika biasa
disebut juga dengan moving average of market yang didefinisikan sebagai berikut:
∑

∑

.

(21)

Metode ini setara dengan persamaan pemulusan aritmatika yang didefinisikan
dalam persamaan (20).
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Metode ini juga dapat didefinisikan dengan menggunakan pemulusan
eksponensial sebagai berikut :
∑

∑

.

(22)

Akan ditunjukkan bahwa metode average of market dengan pemulusan
eksponensial pada persamaan (22) identik dengan
yang didefinisikan pada
persamaan (19).
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4.
Deferred Recognition or Adjusted Market
Menurut Committee on Retirement Systems Research (2001), metode
lainnya yang umumnya digunakan dalam menentukan nilai aset aktuaria adalah
deferred recognition. Dalam metode ini permulaan nilai aset dikembangkan
dengan mengurangi atau menambahkan bagian dari keuntungan atau kerugian dari
nilai pasar saat ini. Metode ini juga dapat didefinisikan dengan menggunakan
pemulusan aritmatika dan pemulusan eksponensial.
Pemulusan eksponensial dalam metode ini didefinisikan sebagai berikut:
∑

.

(23)

10
Metode ini juga setara dengan pemulusan eksponensial yang didefinisikan
pada persamaan (19) dan setara dengan metode average of market berdasarkan
pemulusan eksponensial yang didefinisikan pada persamaan (22).
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5 dan Lampiran 6.
Metode ini dikenal juga sebagai metode adjusted market jika nilai aktuaria
dari aset yang direncanakan diambil menjadi nilai pasar saat ini bersama dengan
penyesuaian yang sama dengan fraksi dari selisih antara future value dari nilai
aktuaria tahun sebelumnya dengan nilai pasar saat ini, sehingga metode ini dapat
didefinisikan juga sebagai berikut:
(

).

(24)

dengan
merupakan present value dari nilai aktuaria pada saat t.
Metode ini setara dengan pemulusan eksponensial yang didefinisikan pada
persamaan (19).
Bukti bahwa metode adjusted market ini ekuivalen dengan
pada
persamaan (19) adalah sebagai berikut:
(
)
Berdasarkan pemulusan eksponensial nilai
∑

didefinisikan sebagai berikut:

∑

.
Pendefinisian lain dari metode ini adalah berdasarkan pemulusan aritmatika.
Pemulusan aritmatika dari metode ini didefinisikan sebagai berikut:
∑

yang ekuivalen dengan pemulusan aritmatika (
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7.

.

(25)

)pada persamaan (20).

Write-up with Adjustment
Dalam metode ini permulaan nilai aset dikembangkan dengan
mengedepankan nilai aset aktuaria tahun sebelumnya, menambahkan kontribusi,
mengurangi pembayaran manfaat (dan pembayaran yang mungkin) dan
meningkatkan hasil tersebut dengan pendapatan yang diasumsikan. Nilai aset awal
ini dapat diberikan penyesuaian-penyesuaian tertentu lainnya untuk
mengembangkan nilai aset akhir. Penyesuain tersebut mungkin termasuk
penyesuaian parsial terhadap nilai pasar saat ini (CRSR 2001).
Dalam pemulusan eksponensial metode ini di definsikan sebagai berikut :
.

(26)

11
dengan
merupakan present value dari nilai aset aktuaria dari tahun
sebelumnya berdasarkan pemulusan eksponensial (permulaan nilai aset dari
definisi CRSR 2001).
) yang
Metode ini ekuivalen dengan metode pemulusan eksponensial (
didefinisikan pada persamaan (19) dan ekuivalen dengan kedua metode lainnya
yang dijelaskan sebelumnya.
Bukti :
Dari persamaan (26) dapat diperoleh:
(
)
(
).
Terbukti bahwa metode ini setara dengan metode deferred recognition (adjusted
market) dengan pemulusan eksponensial pada persamaan (24). Karena metode
deferred recognititon setara dengan metode average of market berdasarkan
pemulusan eksponensial maka dapat disimpulkan bahwa ketiga metode ini
ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial.
Penggunaan pemulusan aritmatika dengan metode ini didefinisikan sebagai
berikut :
∑
.
(27)
dengan
present value dari nilai aset aktuaria dari tahun sebelumnya
(CRSR 2001).
Pemulusan aritmatika dalam metode ini juga setara dengan definisi
pemulusan aritmatika pada persamaan (20) dan ekuivalen dengan setiap metode
yang telah dibahas di atas.
Bukti :
Dari persamaan (27) diperoleh:
∑
∑
∑
∑

∑

∑

∑

.
Sehingga terbukti bahwa metode ini juga ekuivalen dengan pemulusan aritmatika
dan metode-metode lainnya dengan pemulusan aritmatika.
Berdasarkan pembuktian dari setiap metode diatas, terbukti bahwa ketiga
metode yaitu average of market, deferred recognititon, dan write-up masing) dan pemulusan aritmatik
masing setara dengan pemulusan eksponensial (
).
(

12

SIMULASI
Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan secara numerik bahwa setiap
metode ekuivalen baik dengan menggunakan pemulusan eksponensial maupun
pemulusan aritmatika. Sebelum melakukan perbandingan setiap metode perlu
ditentukan nilai aset pada saat awal dan diperlukan beberapa asumsi untuk
menentukan nilai aset tersebut. Asumsi-asumsi tersebut digunakan untuk
menyederhanakan kasus dan memudahkan penghitungan. Asumsi-asumsi yang
digunakan berdasarkan asumsi aktuaria yang ditentukan sebagai berikut:
1. Tingkat mortalitas diasumsikan seperti pada English Life Table (Males)
Nomor 16.1 2000-2002.
2. Populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan
distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan
semua peserta mulai bekerja pada usia 25 tahun dan usia pensiun normal
56 tahun.
3. Gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap
tahun sebesar 2%.
4. Manfaat pensiun diberikan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir.
5. Tidak terjadi inflasi, aset menghasilkan tingkat investasi aktual i’ yang
menyebar bebas identik dengan nilai harapan sama dengan tingkat
pengembalian investasi
dan simpangan baku
dan
tingkat bunga atas kewajiban pensiun
.
6. Initial Unfunded Liability diasumsikan sama dengan nol, sehingga nilai
) sama dengan actuarial liability.
fund awal (
7. Semua penghitungan variabel merupakan proporsi terhadap benefit
.
Berdasarkan asumsi yang telah diberikan di atas maka besarnya gaji terakhir
yang akan diperoleh di usia 55 tahun sebagai berikut:
Karena manfaat pensiun yang akan diperoleh sebesar 2/3 dari gaji terakhir maka
total manfaat pensiun yang dibayarkan setiap tahunnya adalah:
∑
.

Besarnya iuran normal (normal contribution) dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan (1)
̈
̈
̈
̈

∑
̈

∑
̈

.
Karena penghitungan menggunakan proporsi terhadap benefit (B) maka
besarnya NC yang digunakan dalam penghitungan yaitu:

13

.
Dari persamaan (2) besarnya kewajiban aktuaria (actuarial liability) setiap
tahunnya yaitu:

.
sehingga proporsi AL terhadap B setiap tahunnya sebesar:
.

Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan
Eksponensial
Menurut Owadally dan Haberman (2000) besarnya nilai m pada kontribusi
tambahan yang efisien adalah sebesar 1 – 5 tahun dengan nilai
maka dalam karya ilmiah ini dipilih nilai m = 5 dan
. Dengan m = 5
diperoleh nilai k = 0.22395887. Diasumsikan juga untuk
,
,
,
, dan
.
Nilai aset pada waktu t dapat ditentukan melalui tahapan berikut:
1. Untuk tahun ke-0
Nilai aset pada waktu
dihitung dengan terlebih dahulu
mengasumsikan bahwa
dan
sehingga dengan
menggunakan persamaan (4) diperoleh:

.
berdasarkan asumsi yang diberikan, nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan
eksponensial pada saat
adalah 14.49380479, sehingga besarnya kontribusi
tambahan dan kontribusi yang diberikan pada saat
dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan (5) dan persamaan (6) yaitu:

.
2. Untuk tahun ke-1
Nilai pasar aset pada waktu
persamaan (8)

dapat ditentukan dengan menggunakan

36454.
Nilai aset dengan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan
mengunakan persamaan (7) yaitu:

14

Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan
persamaan (14) yaitu:
.
Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t
adalah sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (10) maka diperoleh hasil sebagai berikut:
Untuk

untuk

Untuk

.
untuk

.
Untuk
dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan
(12). Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan Tabel 2.
Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat
dapat dihitung menggunakan persamaan (19) yaitu:
(

.
Dengan menggunakan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat
(
)

)

yaitu:

.
Nilai aset dengan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang
dimuluskan menggunakan pemulusan eksponensial dapat ditentukan dengan
menggunakan persamaan (16) yaitu:
.
Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan
persamaan (16) yaitu:
.
3. Untuk tahun ke-2
Nilai aset saat

.

dihitung menggunakan persamaan (8) yaitu:

15
Nilai aset dengan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan
mengunakan persamaan (7) yaitu:
.
Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan
persamaan (14) yaitu:
.
Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t
untuk
sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (10) maka diperoleh hasil sebagai berikut:
Untuk

adalah

.
Untuk

.
Untuk

.
Untuk
dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan
(12). Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2.
Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial pada saat
dapat dihitung menggunakan persamaan (19) yaitu:
(
)
(
)
.
Berdasarkan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat
yaitu:

.
Nilai aset berdasarkan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang
dimuluskan menggunakan pemulusan eksponensial dapat ditentukan dengan
menggunakan persamaan (16) yaitu:
.
Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan
persamaan (16) yaitu:
.
Untuk
besarnya kontribusi, nilai aset, dan kerugian dapat ditentukan
dengan langkah yang sama. Hasil penghitungan dengan menggunakan Microsoft
Excel 2010 dapat dilihat pada Tabel 3 dan Tabel 4.

16
Tabel 1 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator
write-up pada saat t untuk t = 1 sampai t = 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabel 2

14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494

14.511
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494

14.502
14.509
14.491
14.490
14.490
14.490
14.490
14.490
14.490
14.490
14.490

14.503
14.500
14.508
14.489
14.488
14.488
14.488
14.488
14.488
14.488
14.488

14.511
14.502
14.499
14.507
14.486
14.486
14.486
14.486
14.486
14.486
14.486

Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator
write-up pada saat untuk
sampai

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

14.522
14.508
14.498
14.495
14.504
14.482
14.481
14.481
14.481
14.481
14.481

14.496
14.518
14.503
14.493
14.490
14.499
14.476
14.475
14.475
14.475
14.475

14.472
14.495
14.518
14.502
14.491
14.488
14.497
14.473
14.472
14.472
14.472

14.479
14.475
14.499
14.523
14.507
14.495
14.491
14.501
14.476
14.475
14.475

14.408
14.482
14.477
14.503
14.528
14.511
14.498
14.495
14.505
14.478
14.477

Tabel 3 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti dengan
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0.055
0.060
0.061
0.059
0.060
0.061
0.061
0.058
0.058
0.060
0.055

0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180

14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494

0.180
0.179
0.176
0.178
0.178
0.176
0.174
0.179
0.184
0.183
0.199

14.494
14.494
14.511
14.501
14.503
14.510
14.521
14.495
14.472
14.480
14.409

14.494
14.494
14.494
14.508
14.500
14.501
14.507
14.516
14.495
14.476
14.482

0.000
-0.001
-0.017
0.007
-0.003
-0.009
-0.014
0.021
0.023
-0.004
0.073

17
Tabel 4 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti berdasarkan
pemulusan eksponensial dengan
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0.055
0.060
0.061
0.059
0.060
0.061
0.061
0.058
0.058
0.060
0.055

0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180

14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494

0.180
0.179
0.176
0.178
0.178
0.176
0.174
0.179
0.184
0.183
0.199

14.494
14.494
14.508
14.502
14.502
14.508
14.518
14.498
14.477
14.480
14.424

14.494
14.494
14.494
14.505
14.501
14.501
14.505
14.513
14.498
14.481
14.483

0.000
0.000
-0.014
0.003
-0.002
-0.008
-0.012
0.014
0.021
0.001
0.059

14.52

14.50

f(t)

14.48

14.46

14.44

14.42
Variable
Ak tual
Smooth

14.40
0

1

2

3

4

5
t

6

7

8

9

10

Gambar 1 Perbandingan nilai pasar aset aktual dengan nilai pasar aset
aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial
Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa nilai pasar aset mengalami peningkatan
dari tahun pertama ke tahun kedua, kemudian mengalami penurunan pada tahun
ke-3 dan mengalami peningkatan kembali pada tahun ke-4 sampai tahun ke-6,
kemudian mengalami penurunan kembali dari tahun ke-7 sampai tahun ke-10.
Peningkatan dan penurunan nilai aset tersebut dikarenakan adanya perubahan
suku bunga setiap tahunnya.
Penggunaan metode pemulusan dalam menghitung nilai aset aktuaria
bertujuan agar nilai aset aktuaria tersebut tidak memiliki perbedaan yang
signifikan dengan nilai pasar aset dari program pendanaan pensiun tersebut. Dari
) tidak terlalu
Tabel 4 dan Gambar 1 dapat dilihat bahwa nilai aset aktuaria (

18
), hal ini menunjukkan bahwa penghitungan
berbeda dengan nilai pasar aset (
nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial mampu mendekati nilai
pasar aset yang sebenarnya. Perubahan kerugian maupun keuntungan juga terjadi
dalam penghitungan ini, pada Tabel 3 Dapat dilihat kerugian berdasarkan nilai
) lebih besar dibandingkan kerugian yang terjadi berdasarkan nilai
pasar aset (
) pada Tabel 4.
aset aktuaria (
Keuntungan terjadi pada tahun ke-3, tahun ke-7, tahun ke-8, dan tahun ke10 sebesar 0.007, 0.021, 0.0023, dan 0.073, sedangkan kerugian terjadi di tahun
ke-3, tahun ke-7, tahun ke-8, dan tahun ke-10 sebesar 0.007, 0.021, 0.023, dan
0.073 (Tabel 3). Penghitungan nilai aset aktuaria dengan metode ini juga
menimbulkan kerugian maupun keuntungan. Kerugian maupun keuntungan yang
tejadi tidak jauh berbeda dengan keuntungan maupun kerugian dengan
menggunakan nilai aset aktualnya, hal ini menunjukkan bahwa metode pemulusan
eksponensial ini mampu mendekati kerugian yang sebenarnya.

Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria
Berdasarkan Pemulusan Eksponensial
1. Metode Average of Market
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dengan pemulusan eksponensial
dapat ditentukan menggunakan persamaan (22) yaitu sebagai berikut:
Untuk
.
Untuk
)
(
(
Untuk

)

(

)

(
(

(

)

)

(

.

(

(

(

)

(

)
(

)

)
)

)

)

.
Untuk
dapat dihitung dengan cara yang serupa berdasarkan
persamaan (22). Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 maka
diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 5.

19
2. Metode Deferred Recognition ( Adjusted Market )
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan (23) yaitu sebagai berikut:
Untuk
Untuk
(

)
.

Untuk
(

)

.
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk
dapat ditentukan
dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (23). Dengan
menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 diperoleh hasil penghitungan
pada Tabel 5.
3. Metode Write-Up with Adjusment
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan (26), yaitu sebagai berikut:
Untuk
.
Untuk
(

.

)

Untuk
(

)

.
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk
dapat ditentukan
dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (26). Dengan
menggunakan Microsoft Excel 2010 diperoleh penghitungan pada Tabel 5.

20
Tabel 5 Hasil penghitungan nilai aset aktuaria dalam tiga metode pemulusan
berdasarkan pemulusan eksponensial
Average Of
Market
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

14.49380479
14.49425230
14.50791187
14.50189426
14.50214791
14.50835522
14.51776801
14.49845515
14.47725700
14.48025443
14.42387381

14.49380479
14.49425206
14.50791163
14.50189402
14.50214767
14.50835499
14.51776777
14.49845491
14.47725677
14.48025420
14.42387358

Deferred
Recognition
14.49380479
14.49425259
14.50791217
14.50189456
14.50214820
14.50835552
14.51776831
14.49845544
14.47725730
14.48025473
14.42387411

Write-Up
With
Adjustment
14.49380479
14.49425259
14.50791217
14.50189456
14.50214820
14.50835552
14.51776831
14.49845544
14.47725730
14.48025473
14.42387411

Menurut Owadally dan Haberman (2004) ketiga metode dalam
penghitungan nilai aset aktuaria adalah ekuivalen. Pada Tabel 5 dapat dilihat
) sebagai kontrol.
bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen dengan nilai (
Dapat dilihat bahwa tidak terjadi perbedaan yang signifikan antara setiap metode
), sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga metode tersebut
dengan nilai (
ekuivalen berdasarkan pemulusan eksponensial dengan nilai ragam pada yang
sama yaitu sebesar 0.00064287.

Penentuan Nilai Pasar Aset dan Nilai Aset Aktuaria Berdasarkan Pemulusan
Aritmatika
Nilai aset pada waktu t dapat ditentukan melalui tahapan berikut,
asumsi untuk
,
,
,
.
1. Untuk tahun ke-0
Nilai aset pada waktu
dihitung dengan terlebih
mengasumsikan bahwa
dan
sehingga
menggunakan persamaan (6) diperoleh:

dengan
, dan

dahulu
dengan

berdasarkan asumsi yang diberikan, nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan
eksponensial pada saat
adalah 14.49380479, sehingga besarnya kontribusi
yang diberikan pada saat
dapat dihitung dengan menggunakan persamaan
(4) yaitu:

21
2. Untuk tahun ke-1
Nilai pasar aset pada waktu
persamaan (8)

dapat ditentukan dengan menggunakan

36454
Nilai aset dengan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat ditentukan
mengunakan persamaan (7) yaitu:
.
Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan
persamaan (14) yaitu:
.
Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t
untuk
sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (12) diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut:
Untuk
=

adalah

.

Untuk

.
untuk

.
Untuk
dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan
(12). Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2.
Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika pada saat
dapat
dihitung menggunakan persamaan (20) yaitu:

.
Berdasarkan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat

yaitu:

.
Nilai aset dengan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang
dimuluskan menggunakan pemulusan aritmatika dapat ditentukan dengan
menggunakan persamaan (16) yaitu:
.

22
Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan
persamaan (16) yaitu:
.
3. Untuk tahun ke-2
Nilai aset saat

dihitung menggunakan persamaan (8) yaitu:

.
Nilai aset berdasarkan asumsi aktuaria yang tidak dihaluskan dapat
ditentukan mengunakan persamaan (7) yaitu:
.
Kemudian besarnya kerugian pada saat t dapat ditentukan menggunakan
persamaan (14) yaitu:
.
Penentuan nilai sekarang dari nilai pasar aset saat t
untuk
sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (12) maka diperoleh hasil sebagai berikut:
Untuk

adalah

.
Untuk

.
untuk

.
Untuk
dapat ditentukan dengan cara yang sama berdasarkan persamaan
(12). Hasil penghitungan dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2.
Nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika pada saat
dapat
dihitung menggunakan persamaan (20) yaitu:

.

Berdasarkan persamaan (6) besarnya kontribusi pada saat
(
)
.

yaitu:

23
Nilai aset dengan asumsi aktuaria berdasarkan nilai pasar aset yang
dimuluskan menggunakan pemulusan aritmatika dapat ditentukan dengan
menggunakan persamaan (16) yaitu:
.
Sehingga besarnya kerugian yang dihaluskan dapat ditentukan berdasarkan
persamaan (16) yaitu:
.
Untuk
besarnya kontribusi, nilai aset, dan kerugian dapat ditentukan
dengan langkah yang sama. Hasil penghitungan dengan menggunakan Microsoft
Excel 2010 dapat dilihat pada Tabel 8 dan Tabel 9.
Tabel 6 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator
write-up pada saat untuk
sampai
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494

14.511
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494

14.501
14.508
14.490
14.489
14.489
14.489
14.489
14.489
14.489
14.489
14.489

14.503
14.500
14.507
14.488
14.487
14.487
14.487
14.487
14.487
14.487
14.487

14.510
14.501
14.498
14.506
14.486
14.485
14.485
14.485
14.485
14.485
14.485

Tabel 7 Hasil penghitungan nilai sekarang dari nilai aset berdasarkan operator
write-up pada saat untuk
sampai
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

14.521
14.507
14.497
14.495
14.503
14.481
14.481
14.481
14.481
14.481
14.481

14.495
14.516
14.502
14.491
14.488
14.497
14.474
14.473
14.473
14.473
14.473

14.472
14.495
14.517
14.502
14.491
14.488
14.497
14.473
14.472
14.472
14.472

14.480
14.476
14.500
14.524
14.508
14.496
14.492
14.502
14.477
14.476
14.476

14.409
14.482
14.478
14.504
14.529
14.512
14.499
14.496
14.506
14.479
14.478

24
Tabel 8 Ilustrasi hasil penghitungan pendanaan pensiun manfaat pasti
berdasarkan pemulusan aritmatika dengan
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0.055
0.060
0.061
0.059
0.060
0.061
0.061
0.058
0.058
0.060
0.055

0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180

14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494

0.180
0.179
0.176
0.178
0.178
0.176
0.174
0.179
0.184
0.183
0.199

14.494
14.494
14.497
14.496
14.497
14.500
14.505
14.498
14.495
14.497
14.480

14.494
14.494
14.494
14.493
14.494
14.495
14.497
14.499
14.498
14.501
14.501

0.000
0.000
-0.004
-0.002
-0.003
-0.005
-0.008
0.000
0.003
0.003
0.021

14.52

14.50

f(t)

14.48

14.46

14.44

14.42
Variable
Aktual
Smooth

14.40
0

1

2

3

4

5
t

6

7

8

9

10

Gambar 2 Perbandingan nilai aset aktual dengan nilai aset aktuaria
berdasarkan pemulusan aritmatika
Selain menggunakan pemulusan eksponensial, nilai aset aktuaria dapat
ditentukan dengan menggunakan pemulusan aritmatika. Dengan menggunakan
nilai pasar pada Tabel 3, dapat dilihat bahwa penentuan nilai aset aktuaria
berdasarkan pemulusan eksponensial (Tabel 8) tidak mampu mendekati nilai aset
aktualnya (Gambar 2). Pada Tabel 8 dapat dilihat besarnya nilai aset aktuaria
) . Nilai aset aktuaria berdasarkan
berdasarkan pemulusan aritmatika (
pemulusan aritmatika memiliki perbedaan yang cukup signifikan dengan nilai aset
aktualnya (Gambar 2). Pada tahun pertama sampai tahun ke-7 perbedaan yang
terjadi tidak terlalu besar, namun pada tahun ke-8 sampai tahun ke-10 perbedaan
yang terjadi cukup besar (Gambar 2). Hal ini menunjukkan bahwa penghitungan

25
nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan eksponensial lebih baik dibandingkan
berdasarkan pemulusan aritmatika.
Perubahan keuntungan maupun kerugian juga terjadi dalam program dana
pensiun ini. Keutungan terjadi pada tahun ke-1,tahun ke-2, tahun ke-4, tahun ke-5,
tahun ke-6 dan tahun ke-9, sedangkan kerugian terjadi pada tahun ke-3, ke-7,
tahun ke-8 dan tahun ke-10 yaitu sebesar 0.007, 0.021, 0.023, dan 0.073 (Tabel 3).
Dengan menggunakan pemulusan aritmatika (Tabel 8) keuntungan maupun
kerugian pun terjadi, namun besarnya jauh berbeda dengan besarnya keuntungan
maupun kerugian berdasarkan nilai pasar aset (
) pada Tabel 3. Hal ini
menunjukkan penentuan nilai aset aktuaria berdasarkan pemulusan aritmatika
tidak mampu mendekati besarnya kerugian maupun keuntungan pada peogram
pensiun tersebut.

Penghitungan Setiap Metode dalam Menentukan Nilai Aset Aktuaria
Berdasarkan Pemulusan Aritmatika
1. Metode Average of Market
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dengan pemulusan eksponensial
dapat ditentukan menggunakan persamaan (16) yaitu sebagai berikut:
Untuk
.
Untuk

(
.

)

Untuk

(

)

.
Untuk
dapat dihitung dengan cara yang serupa berdasarkan
persamaan (17). Dengan menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 maka
diperoleh hasil penghitungan pada Tabel 10.

2. Metode Deferred Recognition ( Adjusted Market )
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan (20) yaitu sebagai berikut:

26
Untuk
.
Untuk

.
Untuk

.
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk
dapat ditentukan
dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (20). Dengan
menggunakan lembar kerja Microsoft Excel 2010 diperoleh hasil penghitungan
pada Tabel 10.
3. Metode Write – Up with Adjustment
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan (22), yaitu sebagai berikut:
Untuk
.
Untuk
(

)
.

Untuk
(

(

(

)

(

)

)

)

.
Nilai aset aktuaria berdasarkan metode ini untuk
dapat ditentukan
dengan cara yang sama dengan menggunakan persamaan (22). Dengan
menggunakan Microsoft Excel 2010 diperoleh penghitungan pada Tabel 10.

27
Tabel 9 Hasil penghitungan nilai aset aktuaria dalam tiga metode pemulusan
berdasarkan pemulusan aritmatika

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

14.49380479
14.49391674
14.49732690
14.49571664
14.49708124
14.50026078
14.50464172
14.49843351
14.49533334
14.49742430
14.48040513

14.49380479
14.49391674
14.49732690
14.49571664
14.49708124
14.50026078
14.50464172
14.49843351
14.49533334
14.49742430
14.48040513

14.49380479
14.49391674
14.49732690
14.49571664
14.49708124
14.50026078
14.50464172
14.49843351
14.49533334
14.49742430
14.48040513

14.49380479
14.49391674
14.49732690
14.49571664
14.49708124
14.50024523
14.50416708
14.49862850
14.49526041
14.49716550
14.48002992

Menurut Owadally dan Haberman (2004) metode penentuan nilai aset
). Pada Tabel
aktuaria juga ekuivalen berdasarkan pemulusan aritmatika (
10 dapat dilihat bahwa hasil penghitungan nilai aset aktuaria dari ketiga metode
tidak memiliki perbedaan yang signifikan dengan hasil penghitungan
sebagai pembanding dengan nilai ragam yang sama dari ketiga metode tersebut
adalah 0.00036. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga metode tersebut juga
ekuivalen berdasarkan pemulusan aritmatika.

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dalam karya ilmiah ini telah dilakukan penghitungan nilai aset yang
dimiliki oleh suatu program pensiun berdasarkan pemulusan eksponensial dengan
parameter λ=0.2 serta berdasarkan pemulusan aritmatika dengan n = 5 tahun.
Berdasarkan penghitungan yang telah dilakukan dihasilkan nilai aset aktuaria
dengan metode pemulusan eksponensial mampu mendekati nilai aset aktualnya
dibandingkan dengan nilai aset aktuaria dengan metode pemulusan aritmatika. Hal
ini menunjukkan bahwa penentuan nilai aset aktuaria dengan menggunakan
pemulusan aritmatika dalam suatu program pensiun lebih baik dibandingkan
dengan pemulusan aritmatika.
Penentuan nilai aset aktuaria dengan menggunakan ketiga metode yang
umumnya digunakan oleh praktisi aktuaria sudah dilakukan. Hasil penghitungan
menunjukkan bahwa ketiga metode tersebut ekuivalen baik secara eksponensial
dengan ragam yang sama yaitu sebesar 0.00064 maupun secara aritmatika dengan
ragam sebesar 0.00036

28
Saran
Model pendanaan program pensiun masih dapat dibahas lebih lanjut
terutama ketika kerugian tidak hanya disebabkan oleh perbedaan asumsi tingkat
bunga aktuaria dengan tingkat bunga yang sebenarnya. Namun disebabkan oleh
perbedaan dari asumsi aktuaria lainnya.
Model ini belum cocok jika digunakan di Indonesia, karena tabel mortalitas
yang digunakan adalah tabel mortalitas penduduk di Inggris. Penelitian lebih
lanjut dapat dilakukan dengan menggunakan tabel mortalitas penduduk Indonesia.

DAFTAR PUSTAKA
Aitken WH. 1994. Pension Funding and Valuation. Winsted (CT): Actex
Publications.
Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, dan Nesbitt CJ. 1997. Actuarial
Mathematics Hasca III, Second Edition. Schaumburg (IL): The Society of
Actuaries.
[CRSR] Committee on Retirement Systems Research. 2001. Survey of asset
valuation methods for defined benefit pension plans. Pension Forum. 13(1):149