BAB III PEMBAHASAN
3.1. Pengertian Graf Fuzzy M-Strong
Graf fuzzy M-strong adalah graf fuzzy kuat yang pertama kali diperkenalkan oleh Mordeson dan Peng. Berikut akan dipelajari mengenai
pengertian dari graf fuzzy M-strong.
Definisi 3.1 [1]
Misalkan G = V, E adalah suatu graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi
V V
E
. Misalkan
dan
adalah berturut-turut dari subset fuzzy V dan E, maka
, disebut subgraf fuzzy dari G jika
y x,
min
y x
, untuk semua
E y
x
, .
Contoh 3.1 :
Diberikan subgraf fuzzy
, dengan himpunan titik
c b
a , ,
dan himpunan garis
c b
c a
b a
, ,
, ,
,
. Jadi, digambarkan subgraf fuzzy
tersebut adalah sebagai berikut :
, Gambar 3.1
Subgraf fuzzy G
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Definisi 3.2 [1]
Misalkan
, adalah subgraf fuzzy dari G =
E V ,
. Maka
, disebut subgraf fuzzy M-strong dari G jika
v u
v u
, untuk semua
E v
u
, .
Contoh 3.2 :
Diberikan subgraf fuzzy G
1
dan G
2
seperti berikut
Gambar 3.2 Subgraf fuzzy G
1
dan subgraf fuzzy G
2
Subgraf fuzzy G
1
adalah subgraf fuzzy M-strong karena semua derajat keanggotaan garisnya memenuhi minimal dari derajat keanggotaan dua titik yang
menghubungkan, yaitu
3 .
,
c a
c a
3 .
7 .
3 .
,
c b
c b
3 .
5 .
3 .
,
d c
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
d c
4 .
3 .
2 .
,
e d
e d
2 .
4 .
2 .
,
b e
b e
5 .
2 .
Sedangkan subgraf fuzzy G
2
bukan subgraf fuzzy M-strong karena terdapat derajat keanggotaan pada himpunan garisnya tidak sama dengan nilai
minimal dua titik yang menghubungkan garis tersebut, yaitu
2 .
,
c a
c a
3 .
7 .
1 .
,
c b
c b
3 .
5 .
3.2. Join, Cartesian Product dan Komposisi Graf Fuzzy M-Strong
Berikut akan dipelajari mengenai operasi join, cartesian product dan komposisi pada subgraf fuzzy M-strong. Sebagai catatan, subgraf fuzzy
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
mempunyai sifat-sifat sebagai graf, sehingga untuk selanjutnya istilah subgraf fuzzy selama tidak mengaburkan permasalahan disingkat sebagai graf fuzzy.
Definisi 3.3 [1]
Union G =
2 1
G G
dari dua graf fuzzy
1 1
1
, E V
G
dan
2 2
2
, E V
G
didefinisikan sebagai
suatu graf
fuzzy
2 1
2 1
,
dari
G =
2 1
2 1
, E
E V
V
. Himpunan-himpunan fuzzy
2 1
dan
2 1
didefinisikan sebagai berikut : 1
u
2 1
=
u
1
jika u
2 1
\ V V
,
u
2 1
=
u
2
jika u
1 2
\ V V
, dan
u
2 1
=
u
1
u
2
jika u
2 1
V V
.
2
v u,
2 1
=
v u,
1
jika
v u,
2 1
\ E E
v u,
2 1
=
v u,
2
jika
v u,
1 2
\ E E
,
v u,
2 1
=
v u,
1
v u,
2
jika
v u,
2 1
E E
.
Contoh 3.3 :
Diberikan dua graf fuzzy G
1
dan G
2
seperti dibawah ini
Gambar 3.3 Graf fuzzy G
1
dan graf fuzzy G
2
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Dari graf fuzzy G
1
dan G
2
diatas diperoleh unionnya adalah seperti berikut
2 1
G G
Gambar 3.4 Union dari graf fuzzy G
1
dan G
2
Definisi 3.4 [1]
Join dari dua graf fuzzy
1 1
1
, E V
G
dan
2 2
2
, E V
G
didefinisikan sebagai suatu graf fuzzy
2 1
2 1
,
pada G =
E V ,
, dimana
2 1
V V
V
dan
2 1
E E
E E
. Dan diasumsikan bahwa
2 1
V V
=
dan E’ adalah himpunan dari semua garis yang menggabungkan titik-titik dari V
1
dengan titik- titik dari V
2
. Himpunan-himpunan fuzzy
2 1
dan
2 1
didefinisikan
sebagai berikut : 1
2 1
u =
u
2 1
, u
2 1
V V
;
2
2 1
v u,
=
v u,
2 1
jika
v u,
2 1
E E
;
2 1
v u,
=
u
1
v
2
jika u,v
E’.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Contoh 3.4 :
Diberikan dua graf fuzzy G
1
dan G
2
seperti berikut
Gambar 3.5 Graf fuzzy G
1
dan Graf Fuzzy G
2
Dari graf fuzzy G
1
dan G
2
diperoleh join dari dua graf tersebut seperti berikut
Gambar 3.6 Join dari graf fuzzy G
1
dan G
2
Proposisi 3.5 [1]
Jika G
1
dan G
2
adalah graf fuzzy M-strong, maka
2 1
G G
adalah juga M-
strong.
Bukti Misalkan G
1
dan G
2
adalah graf fuzzy M-strong.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Akan dibuktikan bahwa
2 1
G G
adalah graf fuzzy M-strong.
Karena G
1
dan G
2
adalah graf fuzzy M-strong, maka
i.
v u,
1
=
u
1
v
1
ii.
v u,
2
=
u
2
v
2
Diasumsikan
u
1
v
1
dan
u
2
v
2
,
maka
2 1
G G
sesuai definisi join dua graf fuzzy
jika
u V
1
\ V
2
, maka
u u
1 2
1
jika
u V
2
\ V
1
, maka
u
2 1
u
2
jika
u V
1
V
2
, maka
u
2 1
u u
2 1
. Sehingga diperoleh
jika
v
u, E
1
\ E
2
, maka
v u,
2 1
=
v u,
1
=
u
1
v
1
=
u
2 1
v
2 1
jika
v
u, E
2
\ E
1
, maka
v u,
2 1
=
v u,
2
=
u
2
v
2
=
u
2 1
v
2 1
jika
v
u, E
1
E
2
, maka
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
v u,
2 1
=
v u
v u
, ,
2 1
=
v u
v u
2 2
1 1
=
u u
2 1
=
u u
u u
2 1
2 1
=
u
2 1
v
2 1
jika
v
u, E’, maka
v u,
2 1
=
v u
2 1
=
u
2 1
v
2 1
.
Dari pembuktian diatas diperoleh bahwa
2 1
G G
adalah graf fuzzy M-
strong. Jadi, jika G
1
dan G
2
adalah graf fuzzy M-strong, maka
2 1
G G
adalah M-
strong.
Contoh 3.5 :
Diberikan dua graf fuzzy seperti pada gambar dibawah ini
Gambar 3.7 Graf fuzzy M-strong G
1
dan graf fuzzy M-strong G
2
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Join dari graf fuzzy M-strong G
1
dan graf fuzzy M-strong G
2
diatas adalah
Gambar 3.8
Join dari graf fuzzy M-strong G
1
dan G
2
Dari contoh diatas diperoleh bahwa join dari dua graf fuzzy M-strong adalah graf fuzzy M-strong karena semua derajat keanggotaan garisnya adalah
minimal dari derajat keanggotaan dua titik yang menghubungkan.
Definisi 3.6 [1]
Cartesian product dari dua graf fuzzy
1 1
1
, E V
G
dan
2 2
2
, E V
G
didefinisikan sebagai suatu graf fuzzy
2 1
2 1
,
pada G =
E V ,
, dimana
2 1
V V
V
dan
2 2
2 1
2 2
, ,
, ,
, E
v u
V u
v u
u u
E
2 1
1 1
1 1
, ,
, ,
, V
w E
v u
w v
w u
. Himpunan-himpunan fuzzy
2 1
dan
2 1
didefinisikan sebagai
1
2 1
2 1
, u u
=
2 2
1 1
u u
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
2
2 1
2 2
, ,
, v
u u
u
2 2
2 1
, v u
u
,
2 2
2 1
, ,
E v
u V
u
2 1
w
v w
u ,
, ,
1 1
w v
u
2 1
1 1
,
,
1 1
, v u
.
1
E
Pada 1,
2 1
2 1
, u u
merupakan himpunan titik pada suatu operasi cartesian product atau yang seharusnya ditulis
2 1
2 1
, u u
, tetapi agar lebih singkat dan jelas selanjutnya kita tulis
2 1
2 1
, u u
.
Contoh 3.6 :
Diberikan dua graf fuzzy G
1
dan G
2
seperti pada Contoh 3.4. Maka cartesian product nya adalah
0.3 0.1
0.2
0.4 ap 0.2
bp 0.3 aq 0.2
cp 0.4 cq 0.4
bq 0.3 0.1
0.3 0.3
2 1
G G
Gambar 3.9
Cartesian product graf fuzzy G
1
dan G
2
pada Contoh 3.4
Teorema 3.7 [1]
Jika
2 1
G G
adalah graf fuzzy M-strong, maka
1
G atau
2
G adalah M- strong.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Bukti Misalkan G
1
dan G
2
bukan graf fuzzy M-strong, akan dibuktikan
2 1
G G
adalah bukan M-strong.
Karena G
1
dan G
2
bukan graf fuzzy M-strong, maka i.
1 1
1
, v u
1 1
u
1 1
v
ii.
2 2
2
,v u
2 2
u
2 2
v
3.1
Tanpa menghilangkan sifat umum kita dapat asumsikan bahwa
2 2
2
,v u
≤
1 1
1
, v u
1 1
u
1 1
v
≤
1 1
u
Untuk
2 1
2 1
, ,
v u
u u
E, dimana E didefinisikan seperti pada Definisi 3.6, yaitu
2 2
2 1
2 2
, ,
, ,
, E
v u
V u
v u
u u
E
2 1
1 1
1 1
, ,
, ,
, V
w E
v u
w v
w u
.
Sesuai dengan definisi cartesian product dan pertidaksamaan 3.1 diperoleh
2 1
2 1
2 1
, ,
, v
u u
u
=
1 1
u
2 2
2
,v u
1 1
u
2 2
u
2 2
v
dan
2 1
2 1
, u u
=
1 1
u
2 2
u
2 1
2 1
, v u
=
1 1
u
2 2
v
maka
2 1
2 1
, u u
2 1
2 1
, v u
=
1 1
u
2 2
u
1 1
u
2 2
v
=
1 1
u
1 1
u
2 2
u
2 2
v
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
=
1 1
u
2 2
u
2 2
v
. Sehingga diperoleh
2 1
2 1
2 1
, ,
, v
u u
u
1 1
u
2 2
u
2 2
v
=
2 1
2 1
, u u
2 1
2 1
, v u
.
Dari pembuktian diatas diperoleh bahwa
2 1
G G
bukan graf fuzzy M-
strong, sehingga diperoleh sebuah kontradiksi. Jadi, jika
2 1
G G
adalah M-strong, maka
1
G atau
2
G adalah M-strong.
Definisi 3.8 [1]
Misalkan
, adalah suatu subgraf fuzzy dari G =
E V ,
, maka E adalah himpunan semua
E v
u
, dimana sifat M-strong tidak berlaku.
Dengan kata lain,
, E
v u
jika dan hanya jika
v u,
v u
.
Contoh 3.7 :
Diberikan subgraf fuzzy G seperti dibawah ini
Gambar 3.10 Subgraf fuzzy G
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Graf G adalah suatu subgraf fuzzy dengan E adalah himpunan semua
E v
u
, dimana sifat M-strong tidak berlaku, atau derajat keanggotaan garisnya
adalah kurang dari minimal dua titik yang menghubungkan.
Proposisi 3.9 [1]
Misalkan
1 1
,
adalah suatu subgraf fuzzy M-strong dari G
1
=
1 1
, E V
, dan
2 2
,
adalah subgraf fuzzy dari G
2
=
2 2
, E V
, maka
2 1
G G
adalah M-
strong jika dan hanya jika syarat berikut dipenuhi
1 1
u
≤
2 2
2
,v u
, untuk semua
1 1
V u
dan
2 2
,v u
2
E .
Bukti
Misalkan
2 1
G G
adalah M-strong, akan dibuktikan bahwa
1 1
u
≤
2 2
2
, v u
. karena
2 1
G G
adalah M-strong, dan
1 1
V u
, dan
2 2
,v u
2
E , maka
2 1
2 1
2 1
, ,
, v
u u
u
=
2 1
2 1
, u u
2 1
2 1
, v u
=
1 1
u
2 2
u
1 1
u
2 2
v
=
1 1
u
1 1
u
2 2
u
2 2
v
=
1 1
u
2 2
u
2 2
v
Sesuai dengan definisi cartesian product
2 1
2 1
2 1
, ,
v u
u u
=
1 1
u
2 2
2
,v u
maka diperoleh
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
1 1
u
2 2
u
2 2
v
=
1 1
u
2 2
2
,v u
3.2 Karena
2 2
, v u
2
E maka dari definisi 3.8 didapat
2 2
2
,v u
2 2
u
2 2
v
3.3
Dari 3.2, 3.3 dan dari sifat meet diperoleh bahwa
1 1
u
≤
2 2
2
, v u
Sehingga diperoleh bahwa jika
2 1
G G
adalah M-strong maka
1 1
u
≤
2 2
2
, v u
.
Diketahui
1 1
u
≤
2 2
2
, v u
untuk semua
2 2
,v u
2
E dan
1 1
V u
, dan G
1
adalah M-strong. Akan dibuktikan bahwa
2 1
G G
adalah subgraf fuzzy M-strong.
Untuk semua
2 2
,v u
2
E , maka
2 2
2
, v u
2 2
u
2 2
v
, dan juga
1 1
u
2 2
u
2 2
v
=
1 1
u
2 2
2
, v u
.
Untuk semua
2 2
,v u
2
E , maka
2 2
2
, v u
=
2 2
u
2 2
v
, dan juga
2 1
2 1
2 1
, ,
v u
u u
=
1 1
u
2 2
u
2 2
v
=
1 1
u
1 1
u
2 2
u
2 2
v
=
1 1
u
2 2
u
1 1
u
2 2
v
=
2 1
2 1
2 1
2 1
, ,
v u
u u
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Hal ini menunjukkan bahwa
2 1
2 1
2 1
, ,
v u
u u
=
2 1
2 1
2 1
2 1
, ,
v u
u u
Jika
1 1
, v u
E
1
dan
2 2
V u
maka dari kondisi yang didapat bahwa G
1
adalah M-strong menunjukkan bahwa
2 1
2 1
2 1
, ,
u v
u u
=
2 2
1 1
1
, u
v u
=
2 2
1 1
1 1
u v
u
=
2 2
2 2
1 1
1 1
u u
v u
=
2 2
1 1
2 2
1 1
u v
u u
=
2 1
2 1
2 1
2 1
, ,
u v
u u
Dari pembuktian diatas diperoleh bahwa jika
1 1
u
≤
2 2
2
, v u
maka
2 1
G G
adalah subgraf fuzzy M-strong.
Contoh 3.8 :
Diberikan subgraf fuzzy G
1
dan G
2
seperti berikut
Gambar 3.11 G
1
adalah M-strong dan G
2
bukan M-strong
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Diperoleh cartesian product dari subgraf fuzzy G
1
dan G
2
adalah
Gambar 3.12 Cartesian product dari subgraf fuzzy G
1
dan G
2
Dari gambar diatas, diperoleh bahwa cartesian product
2 1
G G
adalah
subgraf fuzzy M-strong.
Untuk contoh lain diberikan subgraf fuzzy G
1
dan G
2
seperti berikut
Gambar 3.13 G
1
adl M-strong dan G
2
bukan M-strong
Diperoleh cartesian product dari subgraf fuzzy G
1
dan G
2
adalah
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Gambar 3.14 Cartesian product dari subgraf fuzzy G
1
dan G
2
Dari gambar diatas, diperoleh bahwa cartesian product
2 1
G G
adalah
bukan subgraf fuzzy M-strong.
Dari dua contoh diatas diketahui bahwa subgraf fuzzy G
1
adalah M-strong dan subgraf fuzzy G
2
bukan M-strong tetapi diperoleh hasil yang berbeda, yaitu pada contoh yang pertama diperoleh subgraf fuzzy M-strong sedangkan yang
kedua bukan subgraf fuzzy M-strong. Hal ini dapat dilihat bahwa jika
1 1
u
≤
2 2
2
, v u
, maka
2 1
G G
yang diperoleh adalah subgraf fuzzy M-strong. Begitu
juga sebaliknya, jika
1 1
u
2 2
2
, v u
maka
2 1
G G
yang diperoleh bukan
subgraf fuzzy M-strong.
Definisi 3.10 [1]
Komposisi
2 1
G G
G
dari dua graf fuzzy
1 1
1
, E V
G
dan
2 2
2
, E V
G
didefinisikan sebagai sebuah graf fuzzy
2 1
2 1
,
dalam
, E V
G
dimana ,
2 1
V V
V
E
E E
, dengan
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
2 2
2 1
2 2
, ,
, ,
, E
v u
V u
v u
u u
E
2 1
1 1
1 1
, ,
, ,
, V
w E
v u
w v
w u
,
E
2 1
1 1
1 2
1 1
1
, ,
, ,
, w
w E
v u
w v
w u
. Himpunan-himpunan fuzzy
2 1
dan
2 1
didefinisikan sebagai
2 1
=
2 1
pada
2 1
V V
dan
2 1
=
2 1
pada E, dan pada E’,
2 1
2 1
1 1
, ,
, w
v w
u =
1 1
1
, v u
1 2
w
2 2
w
.
Contoh 3.9 :
Diberikan dua graf fuzzy seperti pada Contoh 3.4. Komposisi graf fuzzy G
1
dan G
2
adalah
Gambar 3.15 Komposisi dari graf fuzzy G
1
dan G
2
pada Contoh 3.4
Proposisi 3.11 [1]
Jika
2 1
G G
adalah M-strong maka G
1
atau G
2
adalah M-strong.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
Bukti Misalkan G
1
dan G
2
bukan graf fuzzy M-strong, akan dibuktikan bahwa
2 1
G G
adalah bukan M-strong. Karena G
1
dan G
2
bukan graf fuzzy M-strong, maka i.
1 1
1
, v u
1 1
u
1 1
v
ii.
2 2
2
,v u
2 2
u
2 2
v
3.4
Untuk
2 1
2 1
, ,
v u
u u
E dan
2 1
, w w
V
2
, maka
2 1
G G
sesuai definisi komposisi dan pertidaksamaan 3.4, diperoleh
2 1
2 1
2 1
, ,
, v
u u
u
=
1 1
u
2 2
2
,v u
≤
1 1
u
2 2
u
2 2
v
3.5 dan
2 2
1 1
2 1
2 1
, u
u u
u
3.6
2 2
1 1
2 1
2 1
, v
u v
u
3.7
1 2
1 1
1 1
2 1
, w
u w
u
3.8
2 2
1 1
2 1
2 1
, w
v w
v
3.9
Dari persamaan 3.6 dan 3.7 diperoleh
2 2
1 1
2 2
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
, ,
v u
u u
v u
u u
=
1 1
u
1 1
u
2 2
u
2 2
v
=
1 1
u
2 2
u
2 2
v
3.10
Maka dari 3.5 dan 3.10
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
2 1
2 1
2 1
, ,
, v
u u
u
≤
1 1
u
2 2
u
2 2
v
=
2 1
2 1
2 1
2 1
, ,
v u
u u
Untuk
2 1
2 1
, ,
w v
w u
E’, maka
2 1
G G
sesuai definisi komposisi dan pertidaksamaan 3.4, diperoleh
2 1
2 1
2 1
, ,
, w
v w
u
=
1 1
1
, v u
1 2
w
2 2
w
1 1
u
1 1
v
1 2
w
2 2
w
3.11
Dari persamaan 3.8 dan 3.9 diperoleh
2 2
1 1
1 2
1 1
2 1
2 1
1 1
2 1
, ,
w v
w u
w v
w u
2 2
1 2
1 1
1 1
w w
v u
3.12
Sehingga dari 3.11 dan 3.12 diperoleh
2 1
2 1
2 1
, ,
, w
v w
u
1 1
u
1 1
v
1 2
w
2 2
w
=
2 1
2 1
1 1
2 1
, ,
w v
w u
Dari pembuktian diatas, graf fuzzy yang diperoleh adalah bukan graf fuzzy M-strong, sehingga diperoleh kontradiksi.
Jadi, jika
2 1
G G
M-strong, maka sedikitnya G
1
atau G
2
adalah M-strong.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer
http:www.novapdf.com
3.3. Komplemen Graf Fuzzy M-strong
Kategori