Komplemen Graf Fuzzy M-strong

3.3. Komplemen Graf Fuzzy M-strong

Selain operasi join, cartesian product dan komposisi, akan dipelajari juga mengenai komplemen graf fuzzy M-strong. Definisi 3.12 [1] Komplemen dari sebuah subgraf fuzzy     , dari G =   E V , didefinisikan sebagai sebuah subgraf fuzzy   C C   , pada   V V V G C   , dimana C  dan C  diberikan oleh 1     v v C    untuk semua V v  2 C     v u,         v u   if if     , ,   v u v u   Contoh 3.10 : Diberikan subgraf fuzzy G seperti pada gambar dibawah ini Gambar 3.16 Subgraf fuzzy G Komplemen dari subgraf fuzzy G diatas adalah Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer http:www.novapdf.com C G Gambar 3.17 Komplemen subgraf fuzzy G C Proposisi 3.13 [1] Graf fuzzy G adalah M-strong jika dan hanya jika G = C C G . Bukti    Diketahui bahwa G = C C G . Akan dibuktikan G adalah graf fuzzy M-strong. Misalkan     ,  G , sesuai definisi 3.12, maka i.     u u C         u u C C C    , sehingga diperoleh     u u C C    ii.     v u v u C , ,         v u v u C C C , ,    , sehingga diperoleh     v u v u C C , ,    Untuk   ,  v u C  , maka sesuai definisi komplemen graf fuzzy diperoleh       v u v u C C C C      ,     v u     Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer http:www.novapdf.com Sehingga     v u v u C C , ,        v u     graf fuzzy M-strong Untuk   , v u C  , maka sesuai definisi komplemen graf fuzzy diperoleh       v u v u C C C C      ,     v u C C         v u     Dan diketahui bahwa     v u v u C C , ,    , maka   ,  v u  Sehingga diperoleh       v u v u      , graf fuzzy M-strong Dari pembuktian diatas terbukti bahwa jika G = C C G maka G adalah graf fuzzy M-strong.    untuk pembuktian jika G adalah graf fuzzy M-strong maka G = C C G telah dibuktikan pada Tugas Akhir Tina Anggita Novia [7]. Proposisi 3.14 [1] Misalkan   i i   , adalah subgraf fuzzy dari G i =   i i E V , , i = 1, 2, maka berikut ini adalah benar : Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer http:www.novapdf.com i G i  C C i G , ii C i G = C C i G C , iii Jika G 1  G 2 , maka C C G 1  C C G 2 . Bukti i G i  C C i G , sudah dibuktikan pada tugas akhir Tina Anggita Novia [7]. ii C i G =   C C i C G Sudah dibuktikan bahwa G = C C G , maka G i = C C i G Akan dibuktikan bahwa C i G =   C C i C G 1 C i  =   C C i C  2 C i  =   C C i C      ,  v u C C i C  , jika   v u C C ,          v u v u C C C C i C i C C i      , , jika   ,  v u C C  =     v u i i    Oleh karena itu, sesuai dengan definisi komplemen diperoleh   v u C i ,  = 0, jika   v u,    v u C i ,  =     v u i i    , jika   ,  v u  Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer http:www.novapdf.com Sehingga diperoleh      v u C C i C ,    v u C i ,  Jadi, terbukti bahwa C i G =   C C i C G . iii Jika G 1  G 2 , maka C C G 1  C C G 2 . Karena G 1  G 2 , maka 1     u u 2 1    2     v u v u , , 2 1    Diketahui bahwa G 1 = C C G 1 dan G 2 = C C G 2 , maka G 1 dan G 2 adalah graf fuzzy M-strong, sehingga       v u v u 1 1 1 ,            v u v u 2 2 2 ,      dan   u 1  =   u C C 1  dan   u 2  =   u C C 2    v u, 1  =   v u C C , 1  dan   v u, 2  =   v u C C , 2  Dari 1 dan 2 diperoleh     u u C C C C 2 1        v u v u C C C C , , 2 1    Jadi, terbukti bahwa jika G 1  G 2 , maka C C G 1  C C G 2 . Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer http:www.novapdf.com Proposisi 3.15 [1] Misalkan C C G adalah graf fuzzy M-strong yang memuat G =   E V , . Dengan kata lain, jika   ,   adalah subgraf fuzzy M-strong dari H =   , E V sedemikian sehingga G  H, maka C C G  H. Bukti Misalkan   ,   subgraf fuzzy M-strong dari H =   , E V dimana V  V’ dan X  E’. Karena G  H, maka 1   v     v  untuk semua v V 2   u v,     u v,  untuk semua   E u v  , Karena H adalah graf fuzzy M-strong, maka   v u,  =   u     v  untuk semua u,v  E’. Karena   v     v  untuk semua v V, maka   v u C C ,  =   u     v     u     v  =   v u,  Dari pembuktian diatas diperoleh jika G  H maka C C G  H. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer http:www.novapdf.com

3.4. Subgraf Fuzzy Parsial M-Strong