Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil
RINGKASAN
IKA WIDYAWATI. Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan
Area Kecil. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan HARI WIJAYANTO.
Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation, SAE) ialah metode khusus yang dikembangkan
untuk meningkatkan presisi dan akurasi pendugaan pada area kecil. Salah satu metode dalam SAE
adalah General regression (GREG). Metode GREG adalah metode yang proses pendugaannya
berbasis rancangan (design based estimation) dengan koreksi informasi (auxiliary variable).
Metode ini rentan terhadap adanya pencilan karena menggunakan metode kuadrat terkecil dalam
menduga koefisien regresinya. Ketika terdapat pencilan dalam data, metode kuadrat terkecil
seringkali memiliki performa yang rendah. Perlu pengkajian lebih lanjut tentang GREG dengan
regresi kekar (Robust Regression) sebagai metode untuk menduga koefisien regresi. Regresi kekar
diperlukan untuk memberikan metode alternatif yang sama baiknya dengan metode kuadrat
terkecil, tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan atau hal lain dalam asumsi model. Salah satu
metode dalam regresi kekar adalah penduga Huber M (M Regression) yang meminimumkan fungsi
objektif dalam data.
Simulasi dengan berbagai proporsi pencilan menunjukkan M-GREG memiliki nilai Relative
Root Mean Square Error (RRMSE) yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG
pada data yang mengandung pencilan. Aplikasi pada data riil dilakukan dengan menduga
pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor. Nilai RRMSE M-GREG lebih kecil
dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG, baik pada penarikan contoh acak sederhana maupun
penarikan contoh acak gerombol 2 tahap. RRMSE yang lebih kecil dalam pendugaan M-GREG
menunjukkan behwa metode ini mampu memperbaiki presisi dan akurasi LS-GREG dalam
pendugaan pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor.
PENERAPAN PENDUGA HUBER M DALAM GENERAL REGRESSION
PADA PENDUGAAN AREA KECIL
IKA WIDYAWATI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
RINGKASAN
IKA WIDYAWATI. Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan
Area Kecil. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan HARI WIJAYANTO.
Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation, SAE) ialah metode khusus yang dikembangkan
untuk meningkatkan presisi dan akurasi pendugaan pada area kecil. Salah satu metode dalam SAE
adalah General regression (GREG). Metode GREG adalah metode yang proses pendugaannya
berbasis rancangan (design based estimation) dengan koreksi informasi (auxiliary variable).
Metode ini rentan terhadap adanya pencilan karena menggunakan metode kuadrat terkecil dalam
menduga koefisien regresinya. Ketika terdapat pencilan dalam data, metode kuadrat terkecil
seringkali memiliki performa yang rendah. Perlu pengkajian lebih lanjut tentang GREG dengan
regresi kekar (Robust Regression) sebagai metode untuk menduga koefisien regresi. Regresi kekar
diperlukan untuk memberikan metode alternatif yang sama baiknya dengan metode kuadrat
terkecil, tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan atau hal lain dalam asumsi model. Salah satu
metode dalam regresi kekar adalah penduga Huber M (M Regression) yang meminimumkan fungsi
objektif dalam data.
Simulasi dengan berbagai proporsi pencilan menunjukkan M-GREG memiliki nilai Relative
Root Mean Square Error (RRMSE) yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG
pada data yang mengandung pencilan. Aplikasi pada data riil dilakukan dengan menduga
pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor. Nilai RRMSE M-GREG lebih kecil
dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG, baik pada penarikan contoh acak sederhana maupun
penarikan contoh acak gerombol 2 tahap. RRMSE yang lebih kecil dalam pendugaan M-GREG
menunjukkan behwa metode ini mampu memperbaiki presisi dan akurasi LS-GREG dalam
pendugaan pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor.
PENERAPAN PENDUGA HUBER M DALAM GENERAL REGRESSION
PADA PENDUGAAN AREA KECIL
IKA WIDYAWATI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Judul Skripsi
Nama
NRP
: Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression
pada Pendugaan Area Kecil
: Ika Widyawati
: G14104004
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Anang Kurnia, M.Si
NIP. 132158749
Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS
NIP. 131878950
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA
NIP. 131578806
Tanggal Lulus :
PRAKATA
Alhamdulillah. Segala puji dan rasa syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat terselesaikan. Karya ilmiah ini berjudul Penerapan
Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil.
Selesainya karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh sebab itu, pada
kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Anang Kurnia, M.Si. dan Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS selaku pembimbing
yang selalu memberikan arahan, saran dan kesabarannya dalam membimbing penulis.
2. Orangtua yang telah mencurahkan segala kasih sayangnya kepada penulis. Kakak
penulis, Semoga tenang di sisi Allah SWT.
3. Keluarga besar Niti Redjo dan Amat Djuki atas kasih sayang dan dukungan kepada
penulis.
4. Seluruh dosen Departemen Statistika FMIPA IPB atas ilmu yang diajarkan dan seluruh
staf Departemen Statistika (Bu Markonah, Bu Sulis, Bu Dedeh, Bu Aat, Pak Edi, Pak
Iyan, Mang Sudin, Mang Herman, Mang Dur) yang telah membantu penulis selama
belajar di Statistika IPB.
5. Kak Rahayu Wulandari atas bantuannya kepada penulis.
6. Ratih Nokowati , teman praktik lapang dan satu bimbingan, atas segala kesabarannya.
7. Rekan-rekan di Statistic Centre atas dukungan, keceriaan dan semangatnya. Semoga kita
dapat terus berjuang bersama.
8. Teman, sahabat dan saudara seperjuangan penulis, Statistika 41. Terima kasih atas
kebersamaan dan kenangan yang indah selama 4 tahun.
9. Teman-teman Salatiga atas dukungannya kepada penulis.
10. Rekan-rekan kamar 324 dan 326, Baitussalam, Ananda Putri 2 (dan The-X ananda) atas
keceriaan dan kebersamaannya.
11. Kakak-kakak kelas STK 40 dan adik-adik STK 42, 43 dan 44.
12. Teman-teman Rohis STK 41dan KAMMUS, terima kasih atas persaudaraannya.
13. A. Z. Surya Buana, Kak Asih, Neng Ani, Mala, Wita dan Keluarga, Teh Rina, Ami,
Wiwik, Ufi, Iin dan keluarga, Agung dan Ardila atas jasanya kepada penulis.
14. Teman teman SAE’rs (Iren, Ranur, Agus, Rere), terima kasih atas diskusinya.
15. Teman-teman yang telah direpotkan menjadi seksi sibuk dalam kolokium dan seminar
penulis.
16. Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang telah membantu penulis dalam
pembuatan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Bogor, Agustus 2008
Ika Widyawati
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Salatiga pada tanggal 07 Oktober 1986 sebagai putri tunggal dari
pasangan Wagimin dan Sunarti.
Setelah menyelesaikan pendidikan dasar di SDN Ledok 5 Salatiga pada tahun 1998, studi
penulis dilanjutkan di SLTP Negeri 1 Salatiga yang ditamatkan pada tahun 2001. Tahun 2004
penulis lulus dari SMU Negeri 1 Salatiga, dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa
di Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB
(USMI).
Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif sebagai pengurus Himpunan Profesi Departemen
Statistika Gamma Sigma Beta (GSB) pada 2 periode (2005-2007), KAMMUS (2006-2007),
SERUM G (2006-2007) dan Decision Centre (2006-2007). Penulis juga aktif sebagai staf Sains
BEM FMIPA periode 2007-2008 dan sebagai Pembantu I Sekretaris Jenderal IHMSI periode
2006-2008. Penulis pernah menjadi asisten praktikum Metode Statistika dan Analisis Data
Kategorik, pengajar Kalkulus di lembaga bimbingan belajar Eksakta, dan pernah menjadi
pengajar Metode Statistika di MSC. Penulis juga menjadi tenaga pengajar dan analisis data di
Lembaga Bimbingan Belajar dan Olah Data Statistics Centre. Pada tahun 2005, penulis
mendapatkan penghargaan sebagai mahasiswa berprestasi FMIPA pada Tingkat Persiapan
Bersama. Praktik Lapang dilakukan penulis di Balai Penelitian Tanaman Sayuran (BALITSA)
Jawa Barat pada bulan Januari-Maret 2008.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ...................................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. vii
DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. vii
PENDAHULUAN
Latar Belakang .................................................................................................................... 1
Tujuan ................................................................................................................................. 1
TINJAUAN PUSTAKA
Small Area Estimation (SAE) ..............................................................................................
Direct Estimator ..................................................................................................................
Regresi Kekar (Robust Regression) .....................................................................................
Iterative Reweighted Least Squares (IRLS) .........................................................................
1
1
2
3
BAHAN DAN METODE
Bahan .................................................................................................................................. 3
Metode ................................................................................................................................ 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Kajian Simulasi ...................................................................................................................
Aplikasi pada Data Riil .......................................................................................................
Eksplorasi Data ............................................................................................................
Perbandingan antara LS-GREG dengan M-GREG .......................................................
4
6
6
7
SIMPULAN ............................................................................................................................... 8
SARAN ....................................................................................................................................... 8
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 8
LAMPIRAN................................................................................................................................ 9
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Statistik pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor ...................................................... 6
2 Sisaan terstandardisasi dari data pencilan ............................................................................ 6
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Fungsi
ρ (.) dan Ψ (.) dari penduga Huber M .................................................................... 3
2 Fungsi pembobot dari penduga Huber M .............................................................................. 3
3 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data yang tidak mengandung
pencilan ............................................................................................................................... 4
4 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi
pencilan 2,5% ....................................................................................................................... 5
5 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi
pencilan 5 % ......................................................................................................................... 5
6 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi
pencilan 10 % ....................................................................................................................... 5
7 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi
pencilan 20 % ....................................................................................................................... 5
8 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data pada setiap proporsi
pencilan ................................................................................................................................. 6
9 Diagram kotak garis pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor................................... 6
10 Diagram kotak garis dari sisaan standardisasi ...................................................................... 6
11 Perbandingan RRMSE LS-GREG dengan M-GREG............................................................ 7
12 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAG ................................................ 7
13 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAS................................................. 7
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 RRMSE antara LS-GREG dengan M-GREG ........................................................................ 10
2 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 0 %................................ 11
3 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 2,5 %............................. 11
4 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 5 %................................ 12
5 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 10 % ............................. 12
6 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 20 %.............................. 13
7 Diagram pencar antara peubah penjelas populasi dengan pengeluaran per kapita ................ 13
8 Data pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor............................................................ 14
9 Dugaan GREG dan RRMSE pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor...................... 15
10 Penduga Ragam GREG PCAS dan GREG PCAG ................................................................ 16
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
Latar Belakang
Otonomi daerah di Indonesia membuat
pemerintah daerah memiliki wewenang lebih
dalam mengatur dan memajukan daerahnya.
Wewenang dan upaya dalam meningkatkan
kemajuan daerah memerlukan informasi yang
akurat mengenai daerah itu sendiri. Salah satu
sumber informasi yang dapat digunakan
adalah Survei Sosial Ekonomi Nasional
(SUSENAS). Statistik yang dihasilkan
SUSENAS sebagai salah satu sumber
informasi daerah pada skala desa/ kelurahan
memiliki presisi rendah. Hal ini disebabkan
karena pendugaan dilakukan dengan objek
survei berukuran kecil. Metode khusus yang
dikembangkan untuk meningkatkan presisi
pendugaan pada area kecil disebut Pendugaan
Area Kecil (Small Area Estimation, SAE).
Salah satu metode pendugaan yang ada
dalam SAE adalah General Regression
(GREG). Metode GREG termasuk dalam
design based estimator. Karakteristik metode
ini adalah menggunakan metode kuadrat
terkecil dalam menduga koefisien regresinya.
Metode klasik ini sangat tergantung pada
asumsi yang seringkali tidak dipenuhi dalam
praktiknya dimana data sering diasumsikan
menyebar normal. Ketika terdapat pencilan
dalam data, metode kuadrat terkecil seringkali
memiliki performa yang rendah. Berdasarkan
penelitian Wulandari (2008), perlu pengkajian
lebih lanjut tentang GREG dengan regresi
kekar (Robust Regression) sebagai dugaan
koefisien regresinya. Regresi kekar diperlukan
untuk memberikan metode alternatif yang
sama baiknya dengan metode kuadrat terkecil,
tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan
atau hal lain dalam asumsi model.
Regresi kekar mempunyai banyak metode
yang telah dikembangkan. Penduga kekar
yang dikaji dalam skripsi ini adalah penduga
Huber M (Huber M Estimator). Penduga M
(M-Estimator) merupakan penduga yang
meminimumkan fungsi objektif dalam data.
Metode ini banyak digunakan dalam
praktiknya dibandingkan metode lainnya.
Small Area Estimation (SAE)
Suatu area disebut kecil apabila contoh
yang diambil dari area tersebut tidak
mencukupi untuk melakukan pendugaan
langsung dengan hasil dugaan yang akurat
(Rao 2003). Metode SAE mengatasi masalah
tersebut dengan memberikan pendugaan yang
sesuai dari suatu peubah yang dikaji pada area
tertentu yang contohnya tidak cukup bagus
untuk memberikan pendugaan langsung
dengan presisi yang memuaskan (Best et al.
2007).
Tujuan
1. Membandingkan antara GREG penduga
Huber M dan GREG metode kuadrat
terkecil pada data yang mengandung
pencilan.
2. Menerapkan metode GREG pada SAE
dengan metode Huber M sebagai penduga
koefisien regresinya.
y i = X iT β + ε i ................................(2)
Direct Estimator
Penduga langsung (direct estimator)
merupakan penduga berbasis rancangan
(design based estimator) dan hanya dapat
digunakan jika semua area dalam suatu
populasi digunakan sebagai contoh. Bentuk
dari penduganya adalah sebagai berikut :
Yˆi DIRECT =
1
∑ wijk
j , k∈s i
dengan bobot
∑w
j , k∈s i
ijk
yijk ......(1)
wijk merupakan kebalikan
(inverse) dari peluang pengambilan contoh
yaitu
wijk =
1
∑ p(s)
dan
notasi
i
{ j , k∈si }
merupakan indeks untuk setiap area kecil.
Notasi j merupakan indeks untuk setiap blok
sensus dan notasi k merupakan indeks untuk
setiap rumah tangga. Salah satu penduga
berbasis
rancangan
adalah
General
Regression estimator (Rao 2003).
GREG merupakan metode pendugaan
parameter yang memungkinkan untuk
menggunakan beberapa informasi tambahan
dan dirancang untuk meningkatkan presisi dan
akurasi dengan menggunakan informasi
tambahan xi yang berkorelasi dengan yi.
Metode ini dapat digunakan untuk menduga
total populasi, nilai tengah populasi ataupun
proporsi populasi. Metode GREG pada
penelitian ini didasarkan atas model linier,
yaitu :
Metode GREG termasuk dalam kelompok
pendugaan berbasis rancangan karena pada
metode ini tidak dapat menduga area yang
tidak tersurvei. Model GREG adalah sebagai
berikut :
1
Yˆi GREG =
Nˆ ij
1
wijk yijk + Xi −
∑
ˆ
N
j∈ s i
ij
T
wijk x ijk βˆ
∑
j ∈s i
= Yˆi DIRECT + ( X i − Xˆ i ) T βˆ …….…(3)
dengan :
-
X i = (X i ,1 ,..., X i , p ) adalah vektor dari
T
nilai tengah p populasi
-
-
Nˆ ij =
wijk =
∑w
j , k ∈si
ijk
1
∑ p(s)
{ j , k∈si }
-
-
1
Xˆ i =
ˆ
N ij
∑w
j∈si
1
Yˆi DIRECT =
Nˆ
ijk
∑w
ij j∈si
-
β̂
x ijk = Yˆi ( x ) .........(4)
ijk
xijk
= Yˆi ( y ) ..(5)
merupakan penduga koefisien
dengan metode kuadrat terkecil.
penduga Huber M (M-GREG)
menduga koefisien regresi pada
dengan metode Huber M.
disebabkan karena lebih mudah dipahami,
dan lebih aman dibandingkan metode kuadrat
terkecil.
Penduga M meminimumkan fungsi deviasi
antara pengamatan dengan dugaan (fungsi
objektif), yang lebih umum jika dibandingkan
dengan metode kuadrat terkecil. Kasus khusus
dalam penduga M adalah rataan dan median.
Penduga M untuk paramater lokasi
µ berdasarkan generalisasi dari prinsip
kuadrat terkecil (Bartnett & Lewis 1994).
Andaikan, dalam model dasar, dengan contoh
berasal dari peubah acak kontinu dengan
sebaran kumulatif F(x) dan fungsi kepekatan
f(x). Prinsip untuk menduga µ dari Tr =
Tr(x1,...,xr) dipilih untuk meminimumkan
r
∑ ρ(x
j =1
− Tr ) .............................(6)
j
atau dengan menyelesaikan persamaan
r
regresi
GREG
berarti
GREG
Regresi Kekar (Robust Regression)
Prosedur statistik yang bersifat kekar
ditujukan untuk mengakomodasi adanya
keanehan data dan sekaligus meniadakan
pengaruhnya terhadap analisis tanpa terlebih
dahulu mengadakan identifikasi data yang
aneh. Prosedur ini lebih bersifat otomatis
dalam
menanggulangi
keanehan
data
(Aunuddin 1989). Pencilan
dalam
sekumpulan data hasil pengamatan adalah
sebuah pengamatan yang muncul dan nilainya
tidak konsisten dengan nilai data yang lainnya
(Bartnett & Lewis 1994). Menurut Aunuddin
(1989), pencilan dapat dilihat sebagai
pengamatan dengan sisaan yang cukup besar
(mutlak standardized residual >2).
Dua hal yang diperlukan dalam penduga
kekar adalah resisten dan efisien. Suatu
penduga dikatakan resisten terhadap pencilan
jika sebagian kecil dari contoh tidak dapat
memberikan efek yang terlalu besar terhadap
pendugaan. Penduga memiliki efisiensi yang
baik pada berbagai sebaran jika ragamnya
mendekati ragam minimum untuk setiap
sebaran.
Beberapa pendekatan telah dikembangkan
pada regresi kekar, yaitu dengan penduga R
(R-estimators), penduga L (L-estimators) dan
penduga M (M estimators). Penduga M lebih
sering
mendominasi
pada
praktiknya
∑ Ψ( x
j =1
j
− Tr ) = 0 ...................(7)
dimana
ρ (. ) = - log f(. )
Ψ ( x, θ ) = (∂ / ∂θ ) ρ ( x; θ )
∑w
∀j
Tr =
j
xj
∑w
∀j
j
Untuk memperoleh regresi penduga M
diperoleh dengan meminimumkan
a
a
j =1
j =1
∑ ρ ( y j − ∑ x j β ) .........................(8)
dengan menurunkan persamaan (8) maka
diperoleh persamaan
a
a
∑ Ψ( y − ∑ x β
j
j =1
j =1
j
) x j = 0 ...........(9)
j=1,...,a
Penduga
M
pada
prinsipnya
mendefinisikan pada masalah pemilihan
fungsi Ψ yang memenuhi prinsip efisiensi
dan kekekaran. Efisiensi pada fungsi F berarti
mendapatkan
masalah
lokasi
dengan
mengambil
Ψ proporsional dari loglikelihood yang dijelaskan oleh kepekatan
− ( f ' / f )( x) . Kekekaran
diperoleh dengan memilih Ψ yang sesuai
F: Ψ (x)
=
dan dibatasi, untuk mengurangi pengaruh
dari proporsi kecil
pengamatan. Kedua
prinsip tersebut dapat terjadi jika fungsi
Ψ adalah fungsi terbatasi dan kontinu.
Penduga Huber M adalah salah satu
penduga M yang diperkenalkan oleh Huber
pada tahun 1964. Fungsi ρ (.) dan Ψ (.)
dari penduga Huber M adalah
x 2 / 2 , |x| ≤ k
ρ (x) =
k | x | − k 2 / 2 , |x| > k ..............(10)
atau
-k, x
IKA WIDYAWATI. Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan
Area Kecil. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan HARI WIJAYANTO.
Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation, SAE) ialah metode khusus yang dikembangkan
untuk meningkatkan presisi dan akurasi pendugaan pada area kecil. Salah satu metode dalam SAE
adalah General regression (GREG). Metode GREG adalah metode yang proses pendugaannya
berbasis rancangan (design based estimation) dengan koreksi informasi (auxiliary variable).
Metode ini rentan terhadap adanya pencilan karena menggunakan metode kuadrat terkecil dalam
menduga koefisien regresinya. Ketika terdapat pencilan dalam data, metode kuadrat terkecil
seringkali memiliki performa yang rendah. Perlu pengkajian lebih lanjut tentang GREG dengan
regresi kekar (Robust Regression) sebagai metode untuk menduga koefisien regresi. Regresi kekar
diperlukan untuk memberikan metode alternatif yang sama baiknya dengan metode kuadrat
terkecil, tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan atau hal lain dalam asumsi model. Salah satu
metode dalam regresi kekar adalah penduga Huber M (M Regression) yang meminimumkan fungsi
objektif dalam data.
Simulasi dengan berbagai proporsi pencilan menunjukkan M-GREG memiliki nilai Relative
Root Mean Square Error (RRMSE) yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG
pada data yang mengandung pencilan. Aplikasi pada data riil dilakukan dengan menduga
pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor. Nilai RRMSE M-GREG lebih kecil
dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG, baik pada penarikan contoh acak sederhana maupun
penarikan contoh acak gerombol 2 tahap. RRMSE yang lebih kecil dalam pendugaan M-GREG
menunjukkan behwa metode ini mampu memperbaiki presisi dan akurasi LS-GREG dalam
pendugaan pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor.
PENERAPAN PENDUGA HUBER M DALAM GENERAL REGRESSION
PADA PENDUGAAN AREA KECIL
IKA WIDYAWATI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
RINGKASAN
IKA WIDYAWATI. Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan
Area Kecil. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan HARI WIJAYANTO.
Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation, SAE) ialah metode khusus yang dikembangkan
untuk meningkatkan presisi dan akurasi pendugaan pada area kecil. Salah satu metode dalam SAE
adalah General regression (GREG). Metode GREG adalah metode yang proses pendugaannya
berbasis rancangan (design based estimation) dengan koreksi informasi (auxiliary variable).
Metode ini rentan terhadap adanya pencilan karena menggunakan metode kuadrat terkecil dalam
menduga koefisien regresinya. Ketika terdapat pencilan dalam data, metode kuadrat terkecil
seringkali memiliki performa yang rendah. Perlu pengkajian lebih lanjut tentang GREG dengan
regresi kekar (Robust Regression) sebagai metode untuk menduga koefisien regresi. Regresi kekar
diperlukan untuk memberikan metode alternatif yang sama baiknya dengan metode kuadrat
terkecil, tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan atau hal lain dalam asumsi model. Salah satu
metode dalam regresi kekar adalah penduga Huber M (M Regression) yang meminimumkan fungsi
objektif dalam data.
Simulasi dengan berbagai proporsi pencilan menunjukkan M-GREG memiliki nilai Relative
Root Mean Square Error (RRMSE) yang lebih kecil dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG
pada data yang mengandung pencilan. Aplikasi pada data riil dilakukan dengan menduga
pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor. Nilai RRMSE M-GREG lebih kecil
dibandingkan dengan RRMSE LS-GREG, baik pada penarikan contoh acak sederhana maupun
penarikan contoh acak gerombol 2 tahap. RRMSE yang lebih kecil dalam pendugaan M-GREG
menunjukkan behwa metode ini mampu memperbaiki presisi dan akurasi LS-GREG dalam
pendugaan pengeluaran per kapita masyarakat di Kota Bogor.
PENERAPAN PENDUGA HUBER M DALAM GENERAL REGRESSION
PADA PENDUGAAN AREA KECIL
IKA WIDYAWATI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Judul Skripsi
Nama
NRP
: Penerapan Penduga Huber M dalam General Regression
pada Pendugaan Area Kecil
: Ika Widyawati
: G14104004
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Anang Kurnia, M.Si
NIP. 132158749
Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS
NIP. 131878950
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA
NIP. 131578806
Tanggal Lulus :
PRAKATA
Alhamdulillah. Segala puji dan rasa syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat terselesaikan. Karya ilmiah ini berjudul Penerapan
Penduga Huber M dalam General Regression pada Pendugaan Area Kecil.
Selesainya karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh sebab itu, pada
kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Anang Kurnia, M.Si. dan Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS selaku pembimbing
yang selalu memberikan arahan, saran dan kesabarannya dalam membimbing penulis.
2. Orangtua yang telah mencurahkan segala kasih sayangnya kepada penulis. Kakak
penulis, Semoga tenang di sisi Allah SWT.
3. Keluarga besar Niti Redjo dan Amat Djuki atas kasih sayang dan dukungan kepada
penulis.
4. Seluruh dosen Departemen Statistika FMIPA IPB atas ilmu yang diajarkan dan seluruh
staf Departemen Statistika (Bu Markonah, Bu Sulis, Bu Dedeh, Bu Aat, Pak Edi, Pak
Iyan, Mang Sudin, Mang Herman, Mang Dur) yang telah membantu penulis selama
belajar di Statistika IPB.
5. Kak Rahayu Wulandari atas bantuannya kepada penulis.
6. Ratih Nokowati , teman praktik lapang dan satu bimbingan, atas segala kesabarannya.
7. Rekan-rekan di Statistic Centre atas dukungan, keceriaan dan semangatnya. Semoga kita
dapat terus berjuang bersama.
8. Teman, sahabat dan saudara seperjuangan penulis, Statistika 41. Terima kasih atas
kebersamaan dan kenangan yang indah selama 4 tahun.
9. Teman-teman Salatiga atas dukungannya kepada penulis.
10. Rekan-rekan kamar 324 dan 326, Baitussalam, Ananda Putri 2 (dan The-X ananda) atas
keceriaan dan kebersamaannya.
11. Kakak-kakak kelas STK 40 dan adik-adik STK 42, 43 dan 44.
12. Teman-teman Rohis STK 41dan KAMMUS, terima kasih atas persaudaraannya.
13. A. Z. Surya Buana, Kak Asih, Neng Ani, Mala, Wita dan Keluarga, Teh Rina, Ami,
Wiwik, Ufi, Iin dan keluarga, Agung dan Ardila atas jasanya kepada penulis.
14. Teman teman SAE’rs (Iren, Ranur, Agus, Rere), terima kasih atas diskusinya.
15. Teman-teman yang telah direpotkan menjadi seksi sibuk dalam kolokium dan seminar
penulis.
16. Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang telah membantu penulis dalam
pembuatan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Bogor, Agustus 2008
Ika Widyawati
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Salatiga pada tanggal 07 Oktober 1986 sebagai putri tunggal dari
pasangan Wagimin dan Sunarti.
Setelah menyelesaikan pendidikan dasar di SDN Ledok 5 Salatiga pada tahun 1998, studi
penulis dilanjutkan di SLTP Negeri 1 Salatiga yang ditamatkan pada tahun 2001. Tahun 2004
penulis lulus dari SMU Negeri 1 Salatiga, dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa
di Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB
(USMI).
Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif sebagai pengurus Himpunan Profesi Departemen
Statistika Gamma Sigma Beta (GSB) pada 2 periode (2005-2007), KAMMUS (2006-2007),
SERUM G (2006-2007) dan Decision Centre (2006-2007). Penulis juga aktif sebagai staf Sains
BEM FMIPA periode 2007-2008 dan sebagai Pembantu I Sekretaris Jenderal IHMSI periode
2006-2008. Penulis pernah menjadi asisten praktikum Metode Statistika dan Analisis Data
Kategorik, pengajar Kalkulus di lembaga bimbingan belajar Eksakta, dan pernah menjadi
pengajar Metode Statistika di MSC. Penulis juga menjadi tenaga pengajar dan analisis data di
Lembaga Bimbingan Belajar dan Olah Data Statistics Centre. Pada tahun 2005, penulis
mendapatkan penghargaan sebagai mahasiswa berprestasi FMIPA pada Tingkat Persiapan
Bersama. Praktik Lapang dilakukan penulis di Balai Penelitian Tanaman Sayuran (BALITSA)
Jawa Barat pada bulan Januari-Maret 2008.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ...................................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. vii
DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. vii
PENDAHULUAN
Latar Belakang .................................................................................................................... 1
Tujuan ................................................................................................................................. 1
TINJAUAN PUSTAKA
Small Area Estimation (SAE) ..............................................................................................
Direct Estimator ..................................................................................................................
Regresi Kekar (Robust Regression) .....................................................................................
Iterative Reweighted Least Squares (IRLS) .........................................................................
1
1
2
3
BAHAN DAN METODE
Bahan .................................................................................................................................. 3
Metode ................................................................................................................................ 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Kajian Simulasi ...................................................................................................................
Aplikasi pada Data Riil .......................................................................................................
Eksplorasi Data ............................................................................................................
Perbandingan antara LS-GREG dengan M-GREG .......................................................
4
6
6
7
SIMPULAN ............................................................................................................................... 8
SARAN ....................................................................................................................................... 8
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 8
LAMPIRAN................................................................................................................................ 9
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Statistik pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor ...................................................... 6
2 Sisaan terstandardisasi dari data pencilan ............................................................................ 6
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Fungsi
ρ (.) dan Ψ (.) dari penduga Huber M .................................................................... 3
2 Fungsi pembobot dari penduga Huber M .............................................................................. 3
3 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data yang tidak mengandung
pencilan ............................................................................................................................... 4
4 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi
pencilan 2,5% ....................................................................................................................... 5
5 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi
pencilan 5 % ......................................................................................................................... 5
6 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi
pencilan 10 % ....................................................................................................................... 5
7 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data dengan proporsi
pencilan 20 % ....................................................................................................................... 5
8 Perbandingan RRMSE antara LS-GREG dan M-GREG pada data pada setiap proporsi
pencilan ................................................................................................................................. 6
9 Diagram kotak garis pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor................................... 6
10 Diagram kotak garis dari sisaan standardisasi ...................................................................... 6
11 Perbandingan RRMSE LS-GREG dengan M-GREG............................................................ 7
12 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAG ................................................ 7
13 Selisih RRMSE LS-GREG dengan M-GREG untuk PCAS................................................. 7
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 RRMSE antara LS-GREG dengan M-GREG ........................................................................ 10
2 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 0 %................................ 11
3 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 2,5 %............................. 11
4 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 5 %................................ 12
5 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 10 % ............................. 12
6 Diagram kotak garis dan statistik RRMSE pada proporsi pencilan 20 %.............................. 13
7 Diagram pencar antara peubah penjelas populasi dengan pengeluaran per kapita ................ 13
8 Data pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor............................................................ 14
9 Dugaan GREG dan RRMSE pengeluaran per kapita masyarakat Kota Bogor...................... 15
10 Penduga Ragam GREG PCAS dan GREG PCAG ................................................................ 16
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
Latar Belakang
Otonomi daerah di Indonesia membuat
pemerintah daerah memiliki wewenang lebih
dalam mengatur dan memajukan daerahnya.
Wewenang dan upaya dalam meningkatkan
kemajuan daerah memerlukan informasi yang
akurat mengenai daerah itu sendiri. Salah satu
sumber informasi yang dapat digunakan
adalah Survei Sosial Ekonomi Nasional
(SUSENAS). Statistik yang dihasilkan
SUSENAS sebagai salah satu sumber
informasi daerah pada skala desa/ kelurahan
memiliki presisi rendah. Hal ini disebabkan
karena pendugaan dilakukan dengan objek
survei berukuran kecil. Metode khusus yang
dikembangkan untuk meningkatkan presisi
pendugaan pada area kecil disebut Pendugaan
Area Kecil (Small Area Estimation, SAE).
Salah satu metode pendugaan yang ada
dalam SAE adalah General Regression
(GREG). Metode GREG termasuk dalam
design based estimator. Karakteristik metode
ini adalah menggunakan metode kuadrat
terkecil dalam menduga koefisien regresinya.
Metode klasik ini sangat tergantung pada
asumsi yang seringkali tidak dipenuhi dalam
praktiknya dimana data sering diasumsikan
menyebar normal. Ketika terdapat pencilan
dalam data, metode kuadrat terkecil seringkali
memiliki performa yang rendah. Berdasarkan
penelitian Wulandari (2008), perlu pengkajian
lebih lanjut tentang GREG dengan regresi
kekar (Robust Regression) sebagai dugaan
koefisien regresinya. Regresi kekar diperlukan
untuk memberikan metode alternatif yang
sama baiknya dengan metode kuadrat terkecil,
tetapi tidak terlalu dipengaruhi oleh pencilan
atau hal lain dalam asumsi model.
Regresi kekar mempunyai banyak metode
yang telah dikembangkan. Penduga kekar
yang dikaji dalam skripsi ini adalah penduga
Huber M (Huber M Estimator). Penduga M
(M-Estimator) merupakan penduga yang
meminimumkan fungsi objektif dalam data.
Metode ini banyak digunakan dalam
praktiknya dibandingkan metode lainnya.
Small Area Estimation (SAE)
Suatu area disebut kecil apabila contoh
yang diambil dari area tersebut tidak
mencukupi untuk melakukan pendugaan
langsung dengan hasil dugaan yang akurat
(Rao 2003). Metode SAE mengatasi masalah
tersebut dengan memberikan pendugaan yang
sesuai dari suatu peubah yang dikaji pada area
tertentu yang contohnya tidak cukup bagus
untuk memberikan pendugaan langsung
dengan presisi yang memuaskan (Best et al.
2007).
Tujuan
1. Membandingkan antara GREG penduga
Huber M dan GREG metode kuadrat
terkecil pada data yang mengandung
pencilan.
2. Menerapkan metode GREG pada SAE
dengan metode Huber M sebagai penduga
koefisien regresinya.
y i = X iT β + ε i ................................(2)
Direct Estimator
Penduga langsung (direct estimator)
merupakan penduga berbasis rancangan
(design based estimator) dan hanya dapat
digunakan jika semua area dalam suatu
populasi digunakan sebagai contoh. Bentuk
dari penduganya adalah sebagai berikut :
Yˆi DIRECT =
1
∑ wijk
j , k∈s i
dengan bobot
∑w
j , k∈s i
ijk
yijk ......(1)
wijk merupakan kebalikan
(inverse) dari peluang pengambilan contoh
yaitu
wijk =
1
∑ p(s)
dan
notasi
i
{ j , k∈si }
merupakan indeks untuk setiap area kecil.
Notasi j merupakan indeks untuk setiap blok
sensus dan notasi k merupakan indeks untuk
setiap rumah tangga. Salah satu penduga
berbasis
rancangan
adalah
General
Regression estimator (Rao 2003).
GREG merupakan metode pendugaan
parameter yang memungkinkan untuk
menggunakan beberapa informasi tambahan
dan dirancang untuk meningkatkan presisi dan
akurasi dengan menggunakan informasi
tambahan xi yang berkorelasi dengan yi.
Metode ini dapat digunakan untuk menduga
total populasi, nilai tengah populasi ataupun
proporsi populasi. Metode GREG pada
penelitian ini didasarkan atas model linier,
yaitu :
Metode GREG termasuk dalam kelompok
pendugaan berbasis rancangan karena pada
metode ini tidak dapat menduga area yang
tidak tersurvei. Model GREG adalah sebagai
berikut :
1
Yˆi GREG =
Nˆ ij
1
wijk yijk + Xi −
∑
ˆ
N
j∈ s i
ij
T
wijk x ijk βˆ
∑
j ∈s i
= Yˆi DIRECT + ( X i − Xˆ i ) T βˆ …….…(3)
dengan :
-
X i = (X i ,1 ,..., X i , p ) adalah vektor dari
T
nilai tengah p populasi
-
-
Nˆ ij =
wijk =
∑w
j , k ∈si
ijk
1
∑ p(s)
{ j , k∈si }
-
-
1
Xˆ i =
ˆ
N ij
∑w
j∈si
1
Yˆi DIRECT =
Nˆ
ijk
∑w
ij j∈si
-
β̂
x ijk = Yˆi ( x ) .........(4)
ijk
xijk
= Yˆi ( y ) ..(5)
merupakan penduga koefisien
dengan metode kuadrat terkecil.
penduga Huber M (M-GREG)
menduga koefisien regresi pada
dengan metode Huber M.
disebabkan karena lebih mudah dipahami,
dan lebih aman dibandingkan metode kuadrat
terkecil.
Penduga M meminimumkan fungsi deviasi
antara pengamatan dengan dugaan (fungsi
objektif), yang lebih umum jika dibandingkan
dengan metode kuadrat terkecil. Kasus khusus
dalam penduga M adalah rataan dan median.
Penduga M untuk paramater lokasi
µ berdasarkan generalisasi dari prinsip
kuadrat terkecil (Bartnett & Lewis 1994).
Andaikan, dalam model dasar, dengan contoh
berasal dari peubah acak kontinu dengan
sebaran kumulatif F(x) dan fungsi kepekatan
f(x). Prinsip untuk menduga µ dari Tr =
Tr(x1,...,xr) dipilih untuk meminimumkan
r
∑ ρ(x
j =1
− Tr ) .............................(6)
j
atau dengan menyelesaikan persamaan
r
regresi
GREG
berarti
GREG
Regresi Kekar (Robust Regression)
Prosedur statistik yang bersifat kekar
ditujukan untuk mengakomodasi adanya
keanehan data dan sekaligus meniadakan
pengaruhnya terhadap analisis tanpa terlebih
dahulu mengadakan identifikasi data yang
aneh. Prosedur ini lebih bersifat otomatis
dalam
menanggulangi
keanehan
data
(Aunuddin 1989). Pencilan
dalam
sekumpulan data hasil pengamatan adalah
sebuah pengamatan yang muncul dan nilainya
tidak konsisten dengan nilai data yang lainnya
(Bartnett & Lewis 1994). Menurut Aunuddin
(1989), pencilan dapat dilihat sebagai
pengamatan dengan sisaan yang cukup besar
(mutlak standardized residual >2).
Dua hal yang diperlukan dalam penduga
kekar adalah resisten dan efisien. Suatu
penduga dikatakan resisten terhadap pencilan
jika sebagian kecil dari contoh tidak dapat
memberikan efek yang terlalu besar terhadap
pendugaan. Penduga memiliki efisiensi yang
baik pada berbagai sebaran jika ragamnya
mendekati ragam minimum untuk setiap
sebaran.
Beberapa pendekatan telah dikembangkan
pada regresi kekar, yaitu dengan penduga R
(R-estimators), penduga L (L-estimators) dan
penduga M (M estimators). Penduga M lebih
sering
mendominasi
pada
praktiknya
∑ Ψ( x
j =1
j
− Tr ) = 0 ...................(7)
dimana
ρ (. ) = - log f(. )
Ψ ( x, θ ) = (∂ / ∂θ ) ρ ( x; θ )
∑w
∀j
Tr =
j
xj
∑w
∀j
j
Untuk memperoleh regresi penduga M
diperoleh dengan meminimumkan
a
a
j =1
j =1
∑ ρ ( y j − ∑ x j β ) .........................(8)
dengan menurunkan persamaan (8) maka
diperoleh persamaan
a
a
∑ Ψ( y − ∑ x β
j
j =1
j =1
j
) x j = 0 ...........(9)
j=1,...,a
Penduga
M
pada
prinsipnya
mendefinisikan pada masalah pemilihan
fungsi Ψ yang memenuhi prinsip efisiensi
dan kekekaran. Efisiensi pada fungsi F berarti
mendapatkan
masalah
lokasi
dengan
mengambil
Ψ proporsional dari loglikelihood yang dijelaskan oleh kepekatan
− ( f ' / f )( x) . Kekekaran
diperoleh dengan memilih Ψ yang sesuai
F: Ψ (x)
=
dan dibatasi, untuk mengurangi pengaruh
dari proporsi kecil
pengamatan. Kedua
prinsip tersebut dapat terjadi jika fungsi
Ψ adalah fungsi terbatasi dan kontinu.
Penduga Huber M adalah salah satu
penduga M yang diperkenalkan oleh Huber
pada tahun 1964. Fungsi ρ (.) dan Ψ (.)
dari penduga Huber M adalah
x 2 / 2 , |x| ≤ k
ρ (x) =
k | x | − k 2 / 2 , |x| > k ..............(10)
atau
-k, x