KARAKTERISTIK PENDUGAAN EMPERICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTON (EBLUP) PADA PENDUGAAN AREA KECIL

ABSTRAK

KARAKTERISTIK PENDUGAAN EMPERICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTON (EBLUP) PADA PENDUGAAN AREA KECIL

Oleh

Matheus Adi Sidauruk

Pendugaan langsung pada parameter area kecil yang heterogen akan menghasilkan pendugaan yang tak-bias dan keragamannya besar sehingga mengakibatkan pendugaan ini kurang valid. Untuk mengatasi masalah ini, pendugaan pada area kecil dapat diduga dengan menggunakan pendugaan tidak langsung. Tujuannya adalah untuk menekan keragaman yang besar pada area kecil dengan memanfaatkan informasi dari area sekitarnya yang berhubungan dengan parameter yang menjadi perhatian. Ada beberapa metode pada pendugaan tidak langsung yaitu Empirical Bayes (EB), Empirical Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP), dan Hierarchical Bayes (HB). Pendugaan dengan menggunakan metode EBLUP menghasilkan pendugaan yang berbias namun memiliki ragam minimum sehingga pendugaan ini perlu dievaluasi agar mendapatkan pendugaan yang valid. Oleh karena itu, keakuratan penduga parameter perlu diketahui. Keakuratan penduga ini dapat diperoleh dengan cara mengukur mean squares error-nya. Semakin kecil mean squares error suatu penduga maka penduga akan semakin akurat dan efisien.

i DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ... i

DAFTAR TABEL ... iii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Batasan Masalah ... 3

1.3 Tujuan Penelitian ... 4

1.4 Manfaat Penelitian ... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Penduga Area Kecil ... 5

2.1.1 Pendugaan Berbasis Rancangan ... 6

2.1.2 Pendugaan Berbasis Model ... 6

2.2 Model Area Kecil ... 6

2.2.1 Basic Area Level Model ... 7

2.2.2 Basic Unit Level Model ... 8

2.3 Metode Empirical Best Linear Unbiased Predictions (EBLUP)... ... 9

2.4 Fungsi Pembangkit Momen ... 12

2.4.1 Peubah Acak Tunggal ... 12

2.4.2 Peubah Acak Multipeubah/ Multivariat ... 12

ii Halaman

2.6 Penduga Varians Minimum Seragam Tak-Bias Linear ... 13

2.7 Generalisasi Kuadrat Terkecil (Generalized Least Squares) . 14 2.7.1 Karakteristik Penduga Generalized Least Squares ... 15

2.7 Teorema Gauss-Markov ... 16

2.8 Mean Square Error (MSE) ... 17

BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Data Penelitian ... 20

3.2 Metode Penelitian ... 20

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Dasar ... 22

4.1.1 Distribusi pada Model 1 ... 23

4.1.2 Distribusi pada Model 2 ... 24

4.2 Model Campuran Linear ... 25

4.3 Distribusi pada Model Campuran Linear ... 26

4.3.1 Distribusi ... 26

4.3.2 Distribusi Marjinal bagi y ... 27

4.4 Pendugaan Parameter pada Metode EBLUP ... 28

4.5 Karakteristik Pendugaan Parameter EBLUP ... 30

4.5.1 Karakteristik Penduga bagi ………... . 30

4.5.2 Karakteristik Penduga bagi ………. 33

4.6 Hasil Simulasi……….. 34

4.6.1 Hasil Simulasi Untuk Penduga Parameter ………... 34

4.6.2 Hasil Simulasi Untuk Penduga Parameter …… 35

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 36

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

iii DAFTAR TABEL

Halaman

KARAKTERISTIK PENDUGAAN EMPERICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA PENDUGAAN AREA KECIL

( Skripsi )

Oleh

MATHEUS ADI SIDAURUK

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2013

KARAKTERISTIK PENDUGAAN EMPERICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA PENDUGAAN AREA KECIL

Oleh

MATHEUS ADI SIDAURUK

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika S1

Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2013

Judul Skripsi : KARAKTERISTIK PENDUGAAN EMPERICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA PENDUGAAN AREA KECIL Nama Mahasiswa : Matheus Adi Sidauruk

Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031037 Jurusan : Matematika S1

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI 1. Komisi Pembimbing

Dian Kurniasari, M.Sc. Widiarti, M.Si.

NIP. 19690305 199603 2 001 NIP. 19800502 200501 2 003

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika

Tiryono, Ph.D

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dian Kurniasari, M.Sc.

Sekretaris : Widiarti, M.Si.

Penguji

Bukan Pembimbing : Warsono, Ph.D.

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

NIP. 19690530 199512 1 001

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yesus Kristus, Pribadi yang sangat mengenal dan sangat mengasihi penulis hingga dapat menyelesaikan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika S1 di Universitas Lampung, yaitu skripsi dengan judul “Karakteristik Pendugaan Emperical Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP) Pada Pendugaan Area Kecil”.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak, yang secara langsung maupun tidak langsung telah membantu penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku pembimbing satu yang telah memberikan bimbingan, saran, koreksi dan motivasi dalam pembuatan skripsi ini.

2. Ibu Widiarti, M.Si., selaku pembimbing dua dan akademik yang telah memberikan bimbingan, saran, koreksi dan motivasi dalam pembuatan skripsi ini.

3. Bapak Warsono, Ph.D., selaku pembahas yang telah memberikan koreksi dan saran dalam pembuatan skripsi ini.

4. Bapak Tiryono, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Bapak Amanto, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung

6. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

7. Bapak dan Mama tercinta, atas segala nasehat serta dukungan dan yang senantiasa mendoakan saya.

8. Abang, Kakak dan adekku Elina, Bachtiar, Elisabet, Kanna, Krispianus, Samuel, Cahaya, Hulman, angel yang selalu mendoakan dan mendukung kegiatanku.

9. Kakak, Abang, Teman dan Adek-adek yang ada di POMMIPA

10.Yudhi, Roganda, Made, Tri Handono dan teman Matematika S1 seluruh angkatan.

11. Adek Natalia Devi yang selalu memberikan motivasi

12.Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas dukungan dan doanya dalam penyelesaian skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua. Amin.

Bandar Lampung, Maret 2013 Penulis,

PERSEMBAHAN

Ku persembahkan karyaku ini kepada :

Tuhan Yesus Kristus

Sebagai salah satu bentuk rasa syukurku

atas segala pertolongan dan kemudahan dan segala mukzizat-mukzizat yang telah diberikan hingga saat ini.

Dan kepada Kedua orangtua tercinta, yang telah membesarkan, mendidik, serta selalu mendukung dan mendoakan setiap kegiatan yang saya lakukan.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di kota Medan pada tanggal 19 Januari 1989, sebagai anak bungsu dari tujuh bersaudara bersaudara, dari pasangan Bapak Husin Sidauruk dan Ibu Rosma Br Sianturi.

Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SDN 175839 Raut-Bosi Samosir Sumatera Utara pada tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 2 Simanindo Samosir Sumatera Utara pada tahun 2005 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA RK Serdang Murni Lubuk Pakam Sumatera Utara pada tahun 2008.

Tahun 2008, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika S1 FMIPA Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Pada tahun 2012, Penulis melakukan kerja praktek di Kantor Pelayanan Pajak Natar.

1

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Survei merupakan salah satu bagian penting dari proses pengambilan keputusan yang berbasis data. Karena itu survei sering dilakukan secara rutin baik di lembaga penelitian swasta maupun negeri. Ada dua topik utama yang berhubungan dengan suatu survei dan menjadi perhatian pada tahun – tahun terakhir ini. Topik tersebut menyangkut persoalan pengembangan teknik penarikan sampel dan pengembangan metodologi pendugaan parameter populasi untuk area dengan ukuran sampel kecil.

Survei rutin yang dilakukan oleh pemerintah suatu negara, umumnya dirancang untuk memperoleh statistik nasional. Artinya, survei semacam ini dirancang untuk inferensia bagi daerah luas. Masalahnya, dari survei seperti ini ingin diperoleh informasi untuk area kecil atau area yang lebih kecil misalnya, provinsi, kabupaten, kecamatan atau desa/kelurahan. Suatu area disebut kecil apabila area tersebut merupakan bagian dari wilayah populasi baik berdasarkan geografi, ekonomi, sosial-budaya, ataupun yang lainnya (Rao 2003). Ukuran sampel pada level area tersebut biasanya sangat kecil sehingga statistik yang diperoleh akan

2 memiliki ragam yang besar terutama kalau sampel yang ada pada area tersebut tidak homogen. Kasus seperti ini juga disebabkan oleh data yang diperoleh dari suatu survei tidak mencukupi bahkan bisa saja pendugaan tidak dapat dilakukan karena area tersebut tidak terpilih menjadi sampel dalam survei.

Pendekatan klasik untuk menduga parameter area kecil didasarkan pada aplikasi model desain penarikkan sampel (design-based) yang dikenal sebagai pendugaan langsung (direct estimation) (Rao, 2003). Namun, metode pendugaan langsung pada area kecil tidak memiliki akurasi yang memadai karena kecilnya jumlah sampel yang digunakan untuk memperoleh dugaan tersebut. Dalam konteks survei, penduga dikatakan langsung (direct estimator) apabila pendugaan terhadap parameter populasi di suatu area hanya didasarkan pada data sampel yang diperoleh dari area tersebut. Misalnya, pendugaan rata- rata pendapatan rumah tangga perbulan di suatu kecamatan didasarkan hanya pada data survei yang tersedia atau diperoleh dari kecamatan tersebut. Pendugaan langsung pada suatu area kecil merupakan penduga tak bias tetapi memiliki ragam yang besar karena diperoleh dari ukuran sampel yang kecil. (Rao, 2003)

Pendugaan pada area kecil (small area estimation) merupakan salah satu upaya untuk menekan ragam yang besar pada area kecil yaitu dengan menggunakan pendugaan tidak langsung (indirect estimation) dengan memanfaatkan informasi dari area sekitarnya. Informasi yang diperoleh adalah informasi yang berhubungan dengan parameter. Sehingga pendugaan parameter dalam area kecil dapat didekati dengan dua jenis metode, yaitu metode berbasis model dan metode berbasis rancangan. Beberapa metode yang tergolong dalam metode berbasis model adalah

3 metode Empirical Bayes (EB), Empirical Best Linear Unbiased Bayes (EBLUP), dan Hierarchical Bayes (HB). Metode EB dan HB digunakan untuk data biner atau cacahan sedangkan metode EBLUP digunakan data kontinu. Metode pendugaan yang digunakan dalam menduga parameter adalah pendugaan bayes. Metode EBLUP merupakan perluasan dari metode pendugaan BLUP. Pada metode BLUP diasumsikan komponen ragam diketahui. Namun dalam kenyataannya, komponen ragam sulit untuk diketahui sehingga diperlukan pendugaan terhadap komponen ragam melalui data sampel. Metode EBLUP mensubtitusi komponen ragam yang tidak diketahui ke dalam penduga BLUP.

Pendugaan menggunakan metode EBLUP pada data kontinu perlu dievaluasi karena penduga yang diperoleh pada area kecil merupakan penduga yang berbias namun memiliki ragam minimum. Tujuannya adalah untuk mendapatkan pendugaan yang valid. Hal ini karena penduga parameter populasi merupakan gambaran tentang bagaimana penduga tersebut diperoleh apabila survei yang sama dilakukan secara berulang-ulang sehingga pendugaan tersebut berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya. Keakuratan penduga dapat diperoleh dengan cara mengukur mean square error-nya. Semakin kecil mean square error (MSE) suatu penduga maka penduga semakin akurat.

1.2 Batasan Masalah

Penelitian ini akan menggunakan metode Empirical Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP) dan Mean Square Error (MSE) untuk menguji keakuratan

4 suatu penduga. Parameter – parameter yang akan diuji pada metode Empirical Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP), yaitu β dan θ.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai melalui penelitian ini adalah

1. Mengetahui karakteristik ketakbiasan dan ragam minimum penduga EBLUP pada penduga area kecil.

2. Mengevaluasi mean square error (MSE) pada pendugaan tidak langsung.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah

1. Menambah wawasan baru mengenai pendugaan EBLUP dan pendugaan area kecil .

2. Memberikan gambaran baru dalam teknik pengambilan keputusan dan metodologi pendugaan parameter pada area kecil.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1Penduga Area Kecil

Rao (2003) mengemukakan bahwa suatu area disebut kecil apabila contoh yang diambil pada area tersebut tidak mencukupi untuk melakukan pendugaan langsung dengan hasil dugaan yang akurat.

Pendugaan area kecil bertujuan untuk meningkatkan keakuratan penduga suatu parameter, yaitu dengan menggunakan pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak langsung dapat dilakukan dengan “meminjam kekuatan” atau memanfaatkan peubah-peubah tambahan dalam menduga parameter. Peubah pendukung ini berupa informasi tambahan yang didapatkan pada area lain dari survei yang sama, dari area yang sama pada survei yang terdahulu, atau peubah lain yang berhubungan dengan peubah yang menjadi perhatian pada area kecil. Keuntungan metode ini yaitu memiliki dugaan yang optimal, memperoleh model valid yang berasal dari data sampel, dan dapat menjelaskan berbagai macam model berdasarkan pada respon alami suatu kelompok dan kekelompokkan struktur data. Menurut Rao (2003), proses pendugaan pada suatu area atau subpopulasi terbagi menjadi dua, yaitu : pendugaan berbasis rancangan dan pendugaan berbasis model.

2.1.1 Pendugaan Berbasis Rancangan

Pendugaan ini merupakan penduga pada suatu area berdasarkan data contoh dari area itu sendiri. Proses pendugaan ini dapat menggunakan informasi tambahan untuk menduga parameter yang menjadi perhatian. Pendekatan klasik yang digunakan untuk menduga parameter area kecil didasarkan pada aplikasi model desain penarikkan sampel yang menghasilkan metode pendugaan langsung dan diasumsikan tidak terjadi galat pengukuran.

2.1.2 Pendugaan Berbasis Model

Pendugaan pada metode berbasis model merupakan pendugaan suatu area dengan cara menghubungkan informasi pada area tersebut dengan area lain melalui model yang tepat. Hal ini berarti bahwa dugaan tersebut mencakup data dari area lain. Informasi yang digunakan diasumsikan memiliki hubungan dengan peubah yang menjadi perhatian. Tujuannya adalah untuk meningkatkan akurasi suatu penduga. Pendugaan parameter dan inferensianya yang berdasarkan pada informasi tambahan tersebut, dinamakan pendugaan tidak langsung atau pendugaan berbasis model (Rao, 2003). Metode pendugaan yang termasuk dalam penduga ini adalah metode EB, EBLUP, dan HB.

2.2 Model Area Kecil

Model area kecil merupakan model dasar dalam pendugaan area kecil. Dalam pendugaan area kecil terdapat dua jenis model dasar yang digunakan, yaitu basic area level (Type A) model dan basic unit level (Type B) model (Rao 2003).

2.2.1 Basic Area Level (Type A) Model

Basic Area Level Model atau dapat disebut sebagai model berbasis area merupakan model yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, misalkan xi = (x1i, x2i, x3i, …, xpi)T dengan parameter yang akan diduga adalah yang merupakan fungsi dari rata-rata peubah respon dan diasumsikan mempunyai keterkaitan dengan xi. Data pendukung tersebut digunakan untuk membangun model

T

+ bivi, (1)

dengan i = 1, 2, …, m dan vi N(0, 2v), sebagai pengaruh acak yang diasumsikan menyebar normal. Sedangkan bi merupakan konstanta bernilai positif yang diketahui dan adalah vektor koefisien regresi berukuran p x 1. Kesimpulan mengenai , dapat diketahui dengan mengamsusikan bahwa model penduga langsung yi telah tersedia, yaitu

yi = + ei (2)

dengan i = 1, 2, …, m dan sampling error ei N(0, 2ei) dengan 2ei diketahui.

Dari kombinasi persamaan (1) dan (2) sehingga didapatkan model gabungan :

yi = T + bivi + ei (3)

dengan i = 1, 2, …, m dan dengan asumsi vi dan ei saling bebas. Rao (2003) menyatakan bahwa model tersebut merupakan bentuk khusus dari model linear campuran.

2.2.2 Basic Unit Level (Type B) Model

Merupakan suatu model dimana data-data pendukung yang tersedia bersesuaian secara individu dengan data respon, misal xij = (xij1, xij2, xij3, …, xijp)T artinya untuk masing-masing anggota populasi j dalam masing-masing area kecil i, namun terkadang cukup dengan rata-rata populasi i diketahui saja. sehingga didapatkan suatu model regresi tersarang sebagai berikut :

yii = T + vi + eij ,

dengan i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, Ni, dengan asumsi vi merupakan peubah acak yang berdistribusi vi N(0, 2v) dan eij = dimana konstanta k diketahui dan merupakan peubah acak saling bebas dari vi sehingga distribusi dari adalah N(0, 2e).

Model Fay-Herriot adalah model yang banyak dipakai dalam pendugaan area kecil dan merupakan model campuran linier. Fay dan Herriot menggunakan model dua level berikut untuk menduga pendapatan perkapita untuk area kecil di Amerika Serikat dengan populasi kurang dari 1000.

Level 1 :

Level 2 :

Model dua level di atas dapat dituliskan sebagai model linear campuran sebagai berikut :

Dengan i = 1 , …, m, dan .

Pengaruh acak area digunakan untuk menghubungkan rataan area kecil dengan vektor peubah penyerta yang sering diperoleh dari data sensus. Parameter dan A umumnya tidak diketahui dan diduga dari sebaran marginal y. Ragam contoh Di biasanya diasumsikan diketahui.

2.3 Metode Empirical Best Linear Unbiased Predictions (EBLUP)

Asumsi dasar dalam pengembangan untuk model pendugaan area kecil tersebut adalah keragaman di dalam area kecil peubah respon dapat diterangkan oleh hubungan keragaman yang bersesuaian pada informasi tambahan yang disebut pengaruh tetap. Asumsi yang lainnya yaitu bahwa keragaman spesifik area kecil tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan dan merupakan pengaruh acak area kecil. Gabungan dari dua asumsi tersebut membentuk model pengaruh campuran. Salah satu sifat yang menarik dalam model campuran adalah kemampuan dalam hal menduga kombinasi linear dari pengaruh tetap dan pengaruh acak. Henderson mengembangkan teknik penyelesaian model pengaruh campuran untuk memperoleh prediksi tak-bias linear terbaik (best linear unbiased prediction / BLUP). Menurut Rao (2003), BLUP merupakan suatu pendugaan parameter yang meminimumkan MSE diantara kelas - kelas pendugaan parameter linier tak bias lainnya. BLUP dihasilkan dengan asumsi bahwa komponen ragam diketahui. Namun faktanya, komponen ragam sulit bahkan tidak diketahui. Oleh karena itu, diperlukan pendugaan terhadap komponen ragam tersebut melalui data

sampel. Model dasar dalam pengembangan pendugaan area kecil didasarkan pada bentuk model linier campuran sebagai berikut :

(4)

Dimana

: nilai pendugaan langsung berdasarkan rancangan survei

: variabel predictor yang elemen-elemennya diketahui.

: vektor parameter bersifat fixed berukuran px1 yang tidak diketahui.

: pengaruh acak area kecil dengan asumsi vi N(0, 2v) dimana 2v = A dan biasanya tidak diketahui

: vektor random error yang tidak terobservasi dengan asumsi ei N(0, 2ei) dimana 2ei =Di biasanya diasumsikan diketahui.

Penduga terbaik (best predictor, BP) bagi T + vi jika dan A diketahui adalah

T

+ (1 - )( T )

dengan

untuk i = 1, 2, 3, …, m

Jika A diketahui, dapat diduga dengan metode kuadrat terkecil terboboti yaitu _{dan dengan mensubstitusi oleh pada ,} maka diperoleh

T

+ (1 - )( T )

(1 - ) T

Penduga BLUP yang diperoleh dengan cara terlebih dahulu menduga komponen ragamnya. Kemudian mensubstitusi oleh dan A oleh sehingga disebut sebagai prediksi tak-bias linear terbaik empirik (empirical best linear unbiased prediction / EBLUP).

Matriks Expectations dan Variance Covariance (VCV) Secara umum ekspetasi dari y adalah

dan dikenal juga sebagai momen pertama. Momen kedua menggambarkan struktur variance-covariance dari yi :

diperoleh dari

di mana Di adalah matriks dispersi untuk efek random selain error dan A adalah matriks dispersi dari error, yang keduanya adalah matriks persegi umum diasumsikan untuk menjadi non-singular dan definit positif, dengan asumsi elemen-elemen diketahui.

2.4 Fungsi Pembangkit Momen

Momen dapat diperoleh melalui besaran lainnya, yang dinamakan fungsi pembangkit momen. Sehingga fungsi pembangkit momen merupakan sebuah fungsi yang dapat menghasilkan momen- momen. Selain itu, penentuan distribusi baru peubah acak yang baru merupakan kegunaan lain dari fungsi pembangkit momen.

2.4.1 Peubah Acak Tunggal

Misalkan X adalah peubah acak dengan c.d.f dan m.g.f X dilambangkan dengan , yaitu

= ,

Dengan syarat nilai harapannya ada untuk t di sekitar nilai nol. Yaitu terdapat h > 0 sedemikian rupa sehingga untuk semua t dalam –h < t < h, ada. Jika nilai harapannya tidak ada di sekitar nol maka dikatakan bahwa m.g.f tidak ada. Secara eksplisit dituliskan m.g.f X sebagai berikut

= , jika X kontinu, atau

= , jika X diskrit.

2.4.2 Peubah Acak Multipeubah/ Multivariat

Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak multipeubah. Pertimbangkan peubah acak . Fungsi pembangkit momen dari y dilambangkan dengan didefinisikan dengan

Jika dan hanya jika nilai harapan terdefinisi pada –h < t < h, i = 1, 2,…, n untuk beberapa nilai h > 0. Jika nilai harapan tidak ada maka Y tidak mempunyai fungsi kepekatan peluang

2.5 Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter adalah proses untuk menduga atau menaksir parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan informasi dari sampel. Menurut Hoog dan Craig (1995), kriteria penduga yang baik adalah takbias, varians minimum, konsisten, statistik cukup dan kelengkapan. Berikut ini hanya akan dibahas dua kriteria penduga yang baik, yaitu takbias dan varians minimum karena dianggap sudah cukup untuk melihat suatu penduga yang baik.

1. Takbias. Suatu statistik dikatakan penduga tidak bias dari parameter apabila nilai harapan penduga sama dengan parameter , sebaliknya jika nilai harapan statistik tersebut tidak sama dengan parameter maka disebut penduga yang berbias.

2. Varians Minimum. Suatu penduga dikatakan mempunyai varians minimum apabila penduga tersebut memiliki varians yang kecil. Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisiens adalah penduga yang memiliki varians terkecil.

2.6 Penduga Varians Minimum Seragam Takbias Linier

Misal , , …, adalah peubah acak dengan fungsi distribusi kumulatif dengan . misal sebagai fungsi dan diketahui, misalkan

dilambangkan dengan atau = . Jika adalah fungsi linier , dan jika dalam semua kelas fungsi linier (dan untuk semua nilai ), adalah takbias dan mempunyai varians terkecil dari semua penduga takbias dalam kelas fungsi linier maka didefinisikan sebagai terbaik seragam ( uniformly best) atau varians minimum, penduga linier takbias .

2.7 Generalisasi Kuadrat Terkecil (Generalized Least Squares)

Perhatikan model linear

diasumsikan matriks kovariansnya dengan adalah parameter yang tidak diketahui nilainya dan adalah matriks definit positif nxn dengan trase matriks sama dengan n. Jika suatu matriks Q adalah simetrik definit positif maka Q nonsingular atau ada, dank arena itu ada matriks nxn nonsingular (misal P) sedemikian rupa sehingga

Matriks adalah simetriks dan definit positif sehingga non-singular, karena itu ada suatu matriks nxn nonsingular P sehingga . Pada model linear kalikan kedua ruas dengan matriks P ini :

P

Penerapan metode kuadrat terkecil pada model di atas akan menghasilkan persamaan normal sebagai berikut :

dengan B adalah penduga kuadrat terkecil untuk berdasarkan model di atas. Karena adalah matriks definit positif jika X mempunyai peringkat kolom penuh (full column rank) sehingga adalah nonsingular dan maka solusi persamaannya adalah

atau

persamaan terakhir ini dinamakan penduga kuadrat terkecil umum (Generalized Least Squares) untuk selanjutnya disingkat dengan GLS. (Usman, M dan Warsono, 2009)

2.7.1 Karakteristik Penduga Genelized Least Squares

Misalkan adalah matriks simetris definit positif. Faktor dari matriks ini dituliskan sebagai berikut

C adalah karakteristik vektor dan karakteristik akarnya adalah array dalam diagonal matriks . Misalkan adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal ke- i yaitu dan sehingga . Misalkan

_{maka . P dikalikan pada kedua ruas model linear} sedemikian sehingga diperoleh

atau

dimana diketahui, dan adalah data observasi. Pada model klasik, kuadrat tengah kecil (ordinary least squares) sangat effisien, oleh karena itu

ini adalah penduga effisien dari yang merupakan penduga generalized least squares (GLS). Adapun karakteristik penduga generalized least squares (GLS) adalah sebagai berikut

 Tak-bias

Jika , sehingga

 Konsisten

Jika plim , dimana adalah matriks berhingga definit positif  Mendekati distribusi normal dengan mean dan varians

 Varians minimum (Greene, W)

2.8 Teorema Gauss-Markov

Perhatikan model linear umum

dengan E = 0 dan Cov = ,

Adalah model dengan peringkat penuh dan . penduga kuadrat terkecil ( adalah vektor konstan px1) diberikan oleh

(yaitu ) dan ini merupakan penduga dengan varians minimum seragam linear takbias untuk parameter dengan (Usman, M. dan Warsono, 2009).

Teorema Cramer-Rao Lower Bound

Perhatikan peubah acak (x1, x2, …, xn) dengan fungsi kepekatan peluang

f(x1, x2, …, xn I ) dan adalah penduga tak bias bagi ( merupakan fungsi dari

x = w(x)). Misalkan bahwa f(x1, x2, …, xn I ) memiliki sifat berikut

f(x1, x2, …, xn I ) dx1 dx2… dxn Maka

Var ( ) = Var [w(x1, x2, …, xn)]

dimana

disebut sebagai batas bawah atau had bawah (HB) Corollary

Kasus khusus dari teorema Cramer- Rao jika x1, x2, …, xn iid (independen identic distributed) maka

Var [w(x1, x2, …, xn)]

2.9 Mean Square Error (MSE)

Keakuratan suatu penduga menunjukkan tentang seberapa jauh penyimpangan nilai dugaan dari nilai parameter sebenarnya. Keakuratan suatu penduga umumnya dievaluasi berdasarkan nilai kuadrat galat / KTG (mean square error / MSE), yaitu

MSE( ) = E( - )2

Atau berdasarkan nilai akar kuadrat tengah galat / AKTG ( root mean square error / RMSE), yaitu sebagai berikut

RMSE( ) =

=

MSE ( BLUP) = g1i(A) + g2i(A)

= ADi/(A+Di) + (Di)2/(A+Di)[Xit(XtV-1X)-1Xi]

Berdasarkan definisi EBLUP, penduga EBLUP dapat diperoleh dengan cara mensubtitusi komponen ragam dan masing- masing ke komponen ragam yang tidak diketahui, yaitu A dan Maka akan diperoleh penduga EBLUP, yaitu:

EBLUP

= i( )

= t

(6)

Dan MSE dari EBLUP adalah

MSE( EBLUP) = E( EBLUP - )2

= var( EBLUP) +[Bias( EBLUP)]2 = MSE( EBLUP) + E( EBLUP- BLUP)2

dengan menggunakan ekspansi deret taylor untuk menduga MSE ( EBLUP ) sehingga diperoleh :

MSE( EBLUP) = g1i( ) + g2i( ) + g3i( ) (7)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data yang dibangkitkan dari simulasi dengan menggunakan software R.2.10.1 dan sebaran datanya berdistribusi normal.

Data simulasi dibangun dari model Fay-Herriot yang paling sederhana dengan ragam contoh setiap area diasumsikan sama, yaitu Di = 1 dengan peubah penyerta maupun tanpa peubah penyerta. Jumlah area ditetapkan sebanyak m = 10 dan ragam antar area A = 0.5. Ragam antar area tersebut direpresentasikan dari keragaman antar area yang lebih kecil. xi dan adalah peubah penyerta dan sampling error bagi yi dimana masing-masing dibangkitkan secara acak dan diasumsikan berdistribusi menyebar normal sebagai berikut dan

.

3.2 Metode Penelitian

Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku maupun media lain untuk mendapatkan

informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Adapun langkah- langkah yang dilakukan pada penelitian ini dalam mengkaji karakteristik penduga EBLUP pada penduga area kecil adalah sebagai berikut :

1. Menentukan nilai duga dari EBLUP dengan menggunakan metode GLS 2. Menentukan MSE dari nilai duga EBLUP

3. Mendapatkan karakteristik penduga EBLUP.

Langkah-langkah dalam menduga karakteristik penduga EBLUP dengan menggunakan simulasi, yaitu:

1. Membangkitkan peubah acak xi = (x1, x2,…,x10) sebagai variabel peubah penyerta bagi variabel respon yi . Dimana

2. Membangkitkan data ei =(e1, e2, …, e10) sebagai sampling error dengan distribusi menyebar normal dimana nilai tengah dan varians bagi ei yaitu 0 dan 0.5

3. Menetapkan nilai

4. Membangkitkan data dengan iterasi 1000 5. Membangkitkan data dengan iterasi 1000 6. Mendapatkan nilai dengan iterasi 1000 7. Mendapatkan

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa :

1. Karakteristik parameter yang diperoleh pada pendugaan area kecil merupakan penduga yang berbias namun bias yang ditimbulkan sangat kecil dengan varians minimum.

2. Mean square error (MSE) dari parameter EBLUP yang dihasilkan cukup kecil dengan menggunakan metode EBLUP pada pendugaan area kecil artinya nilai duga parameter EBLUP cukup mendekati nilai parameter yang sebenarnya.

DAFTAR PUSTAKA

Hoog, R.V. dan Allen T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth edition. Princtice-Hall Internasional Inc, New Jersey.

Greene, W. 1997. Econometric Analysis. Third edition. Prentice Hall, New Jersey Rao, J. N. K. 2003. Small Area Estimation. New Jersey: John Willey & Sons, Inc. Usman, M. dan Warsono. 2009. Teori Model Linear dan Aplikasinya. Sinar Baru

MSE( ) = E( - )2

Atau berdasarkan nilai akar kuadrat tengah galat / AKTG ( root mean square error / RMSE), yaitu sebagai berikut

RMSE( ) =

=

MSE ( BLUP) = g1i(A) + g2i(A)

= ADi/(A+Di) + (Di)2/(A+Di)[Xit(XtV-1X)-1Xi]

Berdasarkan definisi EBLUP, penduga EBLUP dapat diperoleh dengan cara mensubtitusi komponen ragam dan masing- masing ke komponen ragam yang tidak diketahui, yaitu A dan Maka akan diperoleh penduga EBLUP, yaitu:

EBLUP

= i( )

= t

(6)

Dan MSE dari EBLUP adalah

MSE( EBLUP) = E( EBLUP - )2

= var( EBLUP) +[Bias( EBLUP)]2 = MSE( EBLUP) + E( EBLUP- BLUP)2

dengan menggunakan ekspansi deret taylor untuk menduga MSE ( EBLUP ) sehingga diperoleh :

MSE( EBLUP) = g1i( ) + g2i( ) + g3i( ) (7)

Dengan g3i( ) =

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data yang dibangkitkan dari simulasi dengan menggunakan software R.2.10.1 dan sebaran datanya berdistribusi normal.

Data simulasi dibangun dari model Fay-Herriot yang paling sederhana dengan ragam contoh setiap area diasumsikan sama, yaitu Di = 1 dengan peubah penyerta maupun tanpa peubah penyerta. Jumlah area ditetapkan sebanyak m = 10 dan ragam antar area A = 0.5. Ragam antar area tersebut direpresentasikan dari keragaman antar area yang lebih kecil. xi dan adalah peubah penyerta dan sampling error bagi yi dimana masing-masing dibangkitkan secara acak dan diasumsikan berdistribusi menyebar normal sebagai berikut dan

.

3.2 Metode Penelitian

Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku maupun media lain untuk mendapatkan

informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Adapun langkah- langkah yang dilakukan pada penelitian ini dalam mengkaji karakteristik penduga EBLUP pada penduga area kecil adalah sebagai berikut :

1. Menentukan nilai duga dari EBLUP dengan menggunakan metode GLS 2. Menentukan MSE dari nilai duga EBLUP

3. Mendapatkan karakteristik penduga EBLUP.

Langkah-langkah dalam menduga karakteristik penduga EBLUP dengan menggunakan simulasi, yaitu:

1. Membangkitkan peubah acak xi = (x1, x2,…,x10) sebagai variabel peubah penyerta bagi variabel respon yi . Dimana

2. Membangkitkan data ei =(e1, e2, …, e10) sebagai sampling error dengan distribusi menyebar normal dimana nilai tengah dan varians bagi ei yaitu 0 dan 0.5

3. Menetapkan nilai

4. Membangkitkan data dengan iterasi 1000 5. Membangkitkan data dengan iterasi 1000 6. Mendapatkan nilai dengan iterasi 1000 7. Mendapatkan

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa :

1. Karakteristik parameter yang diperoleh pada pendugaan area kecil merupakan penduga yang berbias namun bias yang ditimbulkan sangat kecil dengan varians minimum.

2. Mean square error (MSE) dari parameter EBLUP yang dihasilkan cukup kecil dengan menggunakan metode EBLUP pada pendugaan area kecil artinya nilai duga parameter EBLUP cukup mendekati nilai parameter yang sebenarnya.

DAFTAR PUSTAKA

Hoog, R.V. dan Allen T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth edition. Princtice-Hall Internasional Inc, New Jersey.

Greene, W. 1997. Econometric Analysis. Third edition. Prentice Hall, New Jersey Rao, J. N. K. 2003. Small Area Estimation. New Jersey: John Willey & Sons, Inc. Usman, M. dan Warsono. 2009. Teori Model Linear dan Aplikasinya. Sinar Baru