Pendugaan parameter model dinamik dengan metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION (MAD)
DAN HUBER M-ESTIMATION
ARIYANTO HERMAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber
M-Estimation adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Ariyanto Hermawan
NIM G54110046
ABSTRAK
ARIYANTO HERMAWAN. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan
Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation. Dibimbing
oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Pendugaan parameter umumnya diterapkan terhadap model regresi. Namun,
pendugaan terhadap model dinamik belum banyak dikembangkan. Metode Least
Square adalah metode yang paling umum digunakan dalam pendugaan parameter.
Akan tetapi, metode ini kurang baik saat digunakan terhadap data yang
mengandung pencilan. Metode robust adalah metode yang dapat mengatasi
kelemahan itu. Median Absolute Deviation dan M-Estimation merupakan
beberapa metode yang cocok digunakan untuk data yang mengandung pencilan
maupun ini pencilan jauh. Kedua metode robust cukup baik dalam melakukan
pedugaan parameter untuk jenis data tanpa pencilan maupun dengan pencilan.
Berdasarkan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) dan boxplot,
Metode M-Estimation memiliki keakuratan yang lebih baik dalam pendugaan
parameter dibanding metode Median Absolute Deviation. Pada karya ilmiah ini,
model Gompertz dan SZR (Susceptible, Zombie, Removed) adalah model yang
diduga parameternya dengan menggunakan data hipotetik.
Kata kunci: Huber, Least Square, M-Estimation, Median Absolute Deviation,
pencilan, pencilan jauh, robust
ABSTRACT
ARIYANTO HERMAWAN. Parameter Estimation of Dynamical Model using
Robust Median Absolute Deviation (MAD) and Huber M-Estimation Methods.
Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Parameter estimation is commonly applied to regression models. However,
the estimation of the dynamic models have not been developed. Least Square
Method is the most common method used in parameter estimation. However, this
method is not appropriate to be used if data contains some outliers. Robust
method is a method that can overcome the weakness of the Least Square method.
Median Absolute Deviation and M-Estimation are some suitable methods used
when the data contains outliers and far outliers. Both of these robust methods are
quite good in parameter estimation for the data with or without outliers. Based on
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) and boxplot, MEstimation method has better accuracy in parameter estimation than the Median
Absolute Deviation method. In this manuscript, parameter estimation is applied to
Gompertz and SZR (Susceptible, Zombie, Removed) model using hypothetical
data.
Keywords: far outliers, Huber, Least Square, M-Estimation, Median
Absolute Deviation, outliers, robust
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION (MAD)
DAN HUBER M-ESTIMATION
ARIYANTO HERMAWAN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median
Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation
Nama
: Ariyanto Hermawan
NIM
: G54110046
Disetujui oleh
PRAKATA
Alhamdulillah. Segala puji dan rasa syukur penulis panjatkan kepada Allah
subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik
dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation
dapat diselesaikan dengan segala kendala dan keterbatasan yang dihadapi. Penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Orang tua dan adik-adik tercinta atas semua doa, semangat, perhatian, dan
kasih sayang yang tak pernah lelah sampai saat ini.
2. Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto,
MSi selaku dosen pembimbing I dan pembimbing II, serta Bapak Dr Ir Hadi
Sumarno, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas semua ilmu, masukan,
motivasi, saran, dan pengalaman yang telah diberikan.
3. Seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu dan
pengalaman berharga yang telah diberikan.
4. Sahabat “Belakhar Baremg” yaitu: Arli, Dinita, Lily, Ayu, dan Widya atas
semua keceriaan, canda, tawa, serta pengalaman yang berharga.
5. Teman-teman seperjuangan matematika 48 atas semua momen indah
kebersamaan yang takkan pernah terlupakan.
6. Teman-teman matematika 47, 49, dan 50 atas cerita indah dan kebersamaan.
7. Semua pihak-pihak yang tidak bisa disebutkan satu-persatu yang telah
membantu hingga akhirnya karya ilmiah ini dapat diselesaikan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2015
Ariyanto Hermawan
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
METODE PENELITIAN
5
Model Analisis
5
Data Pengamatan
6
Metode Analisis
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Gompertz
Model Zombie Attack
6
6
10
SIMPULAN
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
49
DAFTAR TABEL
1 Nilai dugaan parameter model Gompertz r dan K dengan menggunakan
metode LS, MAD, M-Estimation
2 Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan M-Estimation model Gompertz
untuk setiap jenis data hipotetik
3 Nilai dugaan parameter model SZR dengan menggunakan metode LS,
MAD, dan M-Estimation
4 Nilai SMAPE model SZR dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
untuk setiap jenis data hipotetik
8
9
11
13
DAFTAR GAMBAR
1 Bentuk umum boxplot
2 Plot tebaran data hipotetik untuk data hipotetik tanpa pencilan (a),
dengan pencilan (b), dan pencilan jauh (c)
3 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
4 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data dengan
pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
5 Boxplot SAPE untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan M-Estimation
6 Boxplot SAPE untuk data hipotetik dengan pencilan (a) dan pencilan
jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
7 Plot tebaran data hipotetik tanpa pencilan model SZR
8 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
9 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan dengan
metode LS, MAD, dan M-Estimation
10 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan jauh dengan
metode LS, MAD, dan M-Estimation
11 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik
tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
12 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik
dengan pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
13 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik
dengan pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
5
7
8
9
10
10
11
12
12
13
14
15
15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pendugaan parameter model Gompertz
2 Pendugaan parameter model Zombie Attack
3 Nilai SMAPE untuk setiap jenis data pada state variabel model SZR
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
18
28
48
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pendugaan parameter umumnya dilakukan terhadap model regresi. Akan
tetapi, pembahasan mengenai pendugaan parameter yang diterapkan terhadap
suatu model dinamik, baik model tunggal ataupun model sistem, masih sangat
jarang. Kajian tentang model dinamik biasanya hanya terfokus pada masalah titik
tetap, kestabilan, dan analisisnya dengan nilai-nilai parameter yang sudah
diberikan atau dipilih sembarang.
Pada penerapan terhadap model regresi, telah banyak ditemukan metode
untuk menduga parameter, baik yang bersifat robust (tahan) terhadap pencilan
ataupun tidak. Pada model dinamik, pendugaan dapat dilakukan secara tidak
langsung ataupun langsung. Pendugaan parameter secara tidak langsung
menekankan pada pencarian solusi secara analitik dari suatu model. Kemudian,
dilakukan pendugaan untuk mencari parameter-parameter pada model tersebut.
Pendugaan parameter secara langsung digunakan ketika solusi analitik tidak dapat
ditentukan. Pendugaan ini mencari solusi numerik dari suatu model dilanjutkan
dengan menduga parameter menggunakan metode yang sesuai.
Metode untuk menduga nilai parameter dari suatu model dengan cara
meminimumkan kuadrat galat merupakan metode yang umum digunakan. Metode
ini disebut metode Least Square (LS). Metode ini diterapkan dengan
menggunakan segugus data pengamatan. Namun, metode ini tidak tahan terhadap
pencilan (Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan, perlu dilakukan pendugaan
dengan metode yang robust terhadap pencilan data. Salah satu metode robust,
Median Absolute Deviation (MAD) telah diterapkan pada pendugaan model
dinamik (Widiasari 2014). Metode MAD meminimumkan median nilai mutlak
selisih antara galat dengan median galat. Metode robust lainnya adalah MEstimation. Metode ini memiliki fungsi objektif yang memberikan bobot kecil
terhadap data pencilan. Tiga bentuk fungsi objektif pada metode M-Estimation
adalah Least Square, Huber dan Tukey Bisquare (Fox 2002). Pada karya ilmiah
ini, metode robust yang digunakan akan dibandingkan dengan metode Least
Square (LS).
Model dinamik yang akan digunakan pada karya ilmiah ini adalah model
Gompertz (Bodnar dan Foryś 2007) dan model infeksi zombi SZR (Susceptible,
Zombie, Removed) (Munz et al. 2009). Model Gompertz dapat diterapkan untuk
melihat perilaku mortalitas sederhana dalam bidang aktuaria, sedangkan model
infeksi zombi merupakan model yang mencoba memodelkan perilaku perubahan
manusia menjadi zombi pada film-film fiksi zombi. Pada karya ilmiah ini, model
Gompertz dan model infeksi zombi SZR akan diduga parameternya berdasarkan
data hipotetik (bangkitan) dan dicari galatnya.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu:
1. Mengkaji dan membandingkan pendugaan parameter model dinamik
dengan metode Least Square (LS) dan metode robust yaitu Median
Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation.
2. Membandingkan pengaruh pencilan dan pencilan jauh terhadap metode
Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber MEstimation.
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan n state variabel , , … ,
yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada
waktu t dinyatakan sebagai berikut:
,…, ,
̇ =
,…, ,
̇ =
⋮
,…, ,
̇ =
atau
�
�̇ =
= �, ,
dengan
�=
⋮ ).
Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya
dapat dinyatakan sebagai berikut:
�
�̇ =
= �, , � ,
(Strogatz 2000)
Metode Euler
Salah satu metode numerik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial adalah metode Euler. Metode ini memiliki tingkat
kesalahan orde pertama ( ℎ ). Misalkan diberikan sebuah persamaan diferensial
sebagai berikut:
′
=
,
Formulasi metode Euler:
�+
=
�
+ ℎ dan
�+
=
dengan
=
+ℎ
�, �
�
pada [ , ].
untuk � = , , , … ,
− ,
3
dengan = dan � = . menyatakan banyaknya partisi data pada interval
−
merupakan ukuran langkah. Solusi pendekatan bagi
selang [ , ] dan ℎ =
�
penyelesaian persamaan diferensial menggunakan himpunan diskret dari titik-titik
{ � , � }�= .
(Mathews dan Fink 2004)
Metode Least Square (LS)
Misalkan dari suatu persamaan diferensial diperoleh solusi ̂ , � dan dari
data pengamatan diperoleh suatu model � = ( , � + � untuk � = , , … , �,
maka � dapat diduga dengan cara berikut:
min ∑
�=
dengan
�
− ̂� ,
̂� = ( ̂ , � .
(Draper dan Smith 1992)
Metode Robust
Beberapa metode penduga parameter yang bersifat robust terhadap pencilan
yang dapat digunakan adalah:
1.
2.
3.
4.
Metode Weighted Least Square (WLS).
Metode Least Absolute Deviation ( LAD).
Metode Least Trimmed Square (LTS).
Metode Least Median of Square (LMS).
(Yafee 2002)
Keempat metode tersebut telah banyak diaplikasikan dalam pendugaan
parameter. Metode robust lainnya yaitu metode Median Absolute Deviation
(MAD) dan M-Estimation dibahas dalam karya ilmiah ini.
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median |
�
− ̂� − median
�
− ̂� |.
(Ripley 1992)
Metode Huber M-Estimation
M-Estimation dipandang baik untuk
mengestimasi parameter yang
disebabkan oleh pencilan vertikal dan memiliki breakdown point /� . MEstimation meminimumkan fungsi objektif:
�
� − ̂�
min ∑ �
= min ∑ � (
),
�̂
�̂
�=
dengan �̂ adalah standar deviasi error.
�=
4
Estimasi �̂ yang sering digunakan adalah
median| � − median � |
.
Φ− .
Konstanta Φ− .
= .
membuat �̂ mendekati estimator tak bias dari �,
dan error berdistribusi normal. Salah satu cara lain yang umum digunakan untuk
menentukan nilai standar deviasi, yaitu �̂ = .
�̂ =
Fungsi objektif untuk metode Huber adalah sebagai berikut:
�
={
| |≤�
,
| | > �.
�| | − � ,
(Fox 2002)
Pencilan (Outlier) dan Pencilan Jauh (Far Outlier)
Pencilan merupakan nilai ekstrem dari suatu pengamatan. Pencilan juga
dapat dikatakan sebagai suatu titik data yang jauh dari sebaran data utama. Suatu
titik data dikatakan sebagai pencilan apabila nilai pengamatannya lebih besar dari
. Suatu titik data
+ .
−
atau lebih kecil dari
− .
−
dikatakan sebagai pencilan jauh apabila nilai pengamatannya lebih besar dari
+
−
atau lebih kecil dari
−
−
.
(Hoaglin et al. 1983)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan
sebagai berikut:
� �=
�
∑
�=
|
− ̂� |
,
� + ̂�
�
dengan
n
: banyaknya pengamatan,
: data aktual / yang sebenarnya ke-i,
�
̂�
: penduga data ke-i,
SMAPE memiliki batas bawah 0 % dan batas atas 100 %. Untuk melihat sebaran
error dari data hasil dugaan, nilai-nilainya akan ditampilkan dalam diagram kotak
(boxplot), seperti pada Gambar 1.
5
Gambar 1 Bentuk umum boxplot
(Weisstein 1999)
METODE PENELITIAN
Model Analisis
Model yang digunakan pada tulisan ini yaitu model Gompertz dan Model
Zombie Attack.
1
2
Model Gompertz
Model Gompertz digunakan dalam bidang aktuaria untuk menjelaskan
perilaku mortalitas yang lebih sederhana. Model ini menjelaskan bahwa laju
yang lambat terjadi di awal dan akhir periode waktu. Model Gompertz juga
dapat diterapkan dalam bidang kesehatan guna merepresentasikan laju atau
perilaku pertumbuhan sel penyakit tumor. Model Gompertz dirumuskan
sebagai berikut:
�
�
= −�� ln
,
�
dengan � menyatakan laju pertumbuhan sel tumor dan K menyatakan daya
dukung lingkungan.
(Bodnar dan Foryś 2007)
Model Zombie Attack
Model Zombie Attack atau model SZR merupakan suatu model
implementasi dari perilaku zombi dalam film-film fiksi. Resident Evil, Night
of the Living dead, dan Dead Rising merupakan film-film yang dijadikan
referensi dalam pembuatan model SZR. Pada model ini, kelompok individu
dibagi mejadi tiga, yaitu kelompok manusia yang rentan (Susceptible),
kelompok zombi (Zombie), dan kelompok manusia atau zombi yang telah
meninggal (Removed). Model SZR ini merupakan pengembangan dari model
penyakit SIR dikombinasikan dengan faktor-faktor interaksi antarkelompok.
Model SZR dirumuskan sebagai berikut:
′
= Π−
−
′
=
+� −
′
=
+
−� ,
′ ′
dengan , , dan ′ menyatakan proporsi individu di setiap kelompok.
(Munz et al. 2009)
6
Data Pengamatan
Data yang menjadi acuan pada penulisan karya ilmiah ini berlandaskan pada
data hipotetik yang dibangkitkan menggunakan software Mathematica 10. Data
hipotetik diperoleh dari solusi numerik pada model dinamik dengan memberikan
nilai parameter sembarang. Data hipotetik tersebut diberi galat berupa bilangan
acak dan beberapa data dibuat menjadi data pencilan.
Metode Analisis
Pada pendugaan parameter pada model dinamik, digunakan beberapa
metode, yaitu: metode Least Square (LS), metode robust Median Absolut
Deviation (MAD), dan metode robust M-Estimation. Ketiga model tersebut akan
dilihat kesesuaian dan akurasinya menggunakan Symmetrical Mean Absolute
Percentage Error (SMAPE) yang direpresentasikan melalui boxplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Gompertz
Penyelesaian Persamaan Diferensial
�′
∫
misal:
= ln
Substitusi
�
�
= ln
,
�
=
�
�
�
�
�
ln
�
�
�
∫
ln
�
�
�
ln
�
= −� �
ln
= −� �
= −� ∫
= −� +
= −� +
ke dalam persamaan,
ln ln
�
�
= −� +
�
=
�
�
�� −��
= �
�� −��
.
7
Substitusi nilai awal �
=� ,
�
= �
� = �
�
�
=
�
�� 0
�
�
� = ln ( ).
�
Dengan demikian, solusi khusus model Gompertz menjadi:
�
= �
�
= �
�
ln
= �(
�0
�
ln
0
�
� −��
�0
�
� −��
� −��
)
.
Pendugaan Parameter
�
, dengan
Persamaan model Gompertz yaitu � ′
= −�� ln
�
parameter awal � = .
,� =
. , dan �
= .
(Howard 2013).
Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan tiga jenis data hipotetik,
yaitu: data hipotetik tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan, dan data
hipotetik dengan pencilan jauh. Grafik ketiga data hipotetik ditampilkan pada
Gambar 2.
(a)
(b)
(c)
Gambar 2 Plot tebaran data hipotetik untuk data hipotetik tanpa pencilan (a),
dengan pencilan (b), dan pencilan jauh (c)
Pendugaan parameter dari model Gompertz dilakukan dengan
menggunakan tiga metode, yaitu: metode Least Square (LS), Median Absolute
8
Deviation (MAD), dan M-Estimation. Nilai dugaan parameter yang didapat dari
masing-masing metode ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai dugaan parameter model Gompertz r dan K dengan menggunakan
metode LS, MAD, M-Estimation
Data
Hipotetik
Tanpa
Pencilan
Pencilan
Pencilan
Jauh
Parameter
r
K
r
K
r
K
Parameter
Awal
0.0063
1262.6000
0.0063
1262.6000
0.0063
1262.6000
LS
0.0062
1380.0900
0.0092
357.2950
0.0110
263.3580
Metode
MAD
0.0062
1260.0000
0.0061
1266.6900
0.0061
1266.6900
M-Estimation
0.0063
1260.0000
0.0062
1367.2000
0.0062
1367.1400
Setelah dilakukan pendugaan parameter, masing-masing nilai parameter
diplot terhadap model Gompertz. Gambar 3 menjelaskan plot hasil pendugaan
parameter untuk semua metode dengan data tanpa pencilan. Plot yang dihasilkan
untuk masing-masing nilai parameter dugaan saling berimpit mengikuti pola
tebaran data, dengan nilai parameter dugaan yang diberikan.
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Untuk data hipotetik dengan pencilan dan pencilan jauh, plot model
Gompertz dengan menggunakan metode Least Square cenderung bergeser
menjauh dari pola tebaran data hipotetik mendekati pencilan. Plot pendugaan
semakin menjauh saat menggunakan data dengan pencilan jauh seperti dijelaskan
pada Gambar 4. Plot Metode MAD dan M-Estimation cenderung hanya
mengalami sedikit pergeseran, baik untuk data dengan pencilan maupun pencilan
jauh. Dalam hal ini, kedua metode robust tersebut menghasilkan plot pendugaan
yang cukup baik untuk setiap jenis data.
9
(a)
(b)
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data dengan
pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
Nilai SMAPE digunakan untuk mengukur tingkat kesalahan pendugaan
parameter pada model Gompertz. Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan MEstimation untuk data hipotetik tanpa pencilan, pencilan, dan pencilan jauh
dijelaskan pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan M-Estimation model Gompertz
untuk setiap jenis data hipotetik
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan
Pencilan Jauh
Metode
LS
MAD
M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
SMAPE
3.55240
3.56407
3.56397
7.57241
6.52996
6.15576
11.75760
7.32851
6.96820
Nilai SMAPE cenderung memberikan hasil yang seragam untuk data
hipotetik tanpa pencilan. Namun, nilai SMAPE untuk metode LS lebih besar
dibanding metode lainnya untuk data hipotetik dengan pencilan dan pencilan jauh.
Metode M-Estimation memberikan hasil SMAPE yang paling kecil dibanding
metode lainnya. Metode M-Estimation dinilai cukup baik dan akurat dalam
menduga nilai parameter untuk setiap jenis data.
Sebaran nilai-nilai SAPE (Symmetrical Absolute Percentage Error)
ditampilkan dalam diagram boxplot. Pada diagram bloxpot, keragaman data SAPE
dapat dilihat dari selisih antar kuartil ( − ). Pada Gambar 5, terlihat diagram
boxplot yang seragam hampir sama untuk masing-masing metode untuk data
tanpa pencilan. Gambar 6 menjelaskan diagram boxplot masing-masing metode
untuk data dengan pencilan dan pencilan jauh. Boxplot pada metode LS cenderung
memiliki keragaman lebih besar dibanding metode MAD dan M-Estimation, baik
terhadap data pencilan maupun data pencilan jauh.
10
Gambar 5 Boxplot SAPE untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan M-Estimation
(a)
(b)
Gambar 6 Boxplot SAPE untuk data hipotetik dengan pencilan (a) dan pencilan
jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Model Zombie Attack
Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter model dinamik juga dilakukan terhadap model
sistem. Model yang digunakan adalah model SZR yang telah dijelaskan pada
model analisis. Parameter awal yang diberikan untuk model SZR, yaitu: =
.
, = .
, = .
, dan = .
. Jenis data yang digunakan
adalah data hipotetik dengan kriteria data tanpa pencilan, data dengan pencilan,
dan data dengan pencilan jauh. Plot tebaran data hipotetik model SZR ditampilkan
pada Gambar 7.
11
Gambar 7 Plot tebaran data hipotetik tanpa pencilan model SZR
Pendugaan nilai dugaan parameter model SZR dilakukan dengan
menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Dari ketiga metode tersebut,
diperoleh hasil nilai dugaan untuk masing-masing parameter model seperti pada
Tabel 3.
Tabel 3 Nilai dugaan parameter model
MAD, dan M-Estimation
Nilai
Data
Parameter Parameter
Hipotetik
Awal
0.00500
0.00400
Tanpa
Pencilan
0.00010
0.00010
0.00500
0.00400
Pencilan
0.00010
0.00010
0.00500
0.00400
Pencilan
Jauh
0.00010
0.00010
SZR dengan menggunakan metode LS,
Metode
LS
0.00499
0.00400
0.00006
0.00034
0.01035
0.00938
-0.00069
-0.04757
0.00489
0.00396
-0.00130
-0.00174
MAD
M-Estimation
0.00501
0.00499
0.00400
0.00400
0.00010
0.00006
0.00012
0.00034
0.00499
0.00498
0.00400
0.00400
0.00010
0.00005
0.00010
0.00036
0.00492
0.00498
0.00395
0.00400
0.00010
0.00005
0.00015
0.00035
Pendugaan nilai parameter , , , dan dilakukan untuk model SZR
dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Gambar 8
menjelaskan plot model SZR dengan data tanpa pencilan. Terlihat plot dengan
ketiga metode menghasilkan garis yang saling berimpit. Pada Gambar 9, plot
model SZR dengan data pencilan terlihat bergeser untuk metode LS. Metode
12
MAD dan M-Estimation menghasilkan plot berimpit yang mengikuti pola tebaran
data. Untuk data hipotetik dengan pencilan jauh, metode LS mengalami
pergeseran grafik yang semakin jauh. Plot dugaan yang dihasilkan oleh metode
MAD dan M-Estimation cenderung berimpit dan mengikuti pola tebaran data,
seperti dijelaskan pada Gambar 10. Kedua metode robust ini dinilai baik dalam
melakukan pendugaan parameter karena mampu mengatasi pengaruh pencilan.
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 8 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 9 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
13
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 10 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan
jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Setelah mendapat nilai dugaan parameter dengan masing-masing metode,
perlu adanya ukuran kesalahan untuk melihat dugaan parameter yang paling
mendekati nilai aktualnya. Berikut merupakan tabel nilai SMAPE untuk model
SZR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation.
Tabel 4 Nilai SMAPE model SZR dengan metode LS, MAD, dan
M-Estimation untuk setiap jenis data hipotetik
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan
Pencilan Jauh
Metode
LS
MAD
M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
SMAPE
2.17278
2.18458
2.17278
8.61278
4.69399
4.68015
9.33323
5.16449
5.10940
Pada model SZR, nilai SMAPE pada Tabel 4 dihasilkan dari rata-rata
SMAPE untuk masing-masing variabel state S, Z, dan R. Nilai SMAPE pada
metode LS cukup besar untuk jenis data hipotetik dengan pencilan, dan akan
semakin membesar untuk data dengan pencilan jauh. Untuk metode robust,
Metode M-Estimation menghasilkan nilai SMAPE yang lebih kecil dibanding
metode lainnya untuk setiap jenis data. Dengan demikian, metode M-Estimation
lebih tahan terhadap pencilan dalam menduga parameter.
Diagram boxplot pada Gambar 11, Gambar 12, dan Gambar 13
menperlihatkan tingkat keragaman data SAPE yang dihasilkan masing-masing
14
metode. Pada Gambar 11, terlihat keragaman data SAPE untuk masing-masing
metode memiliki pola yang seragam. Hal ini menandakan bahwa pendugaan
parameter untuk data tanpa pencilan memberikan hasil yang relatif sama dan
baik. Untuk data dengan pencilan, Gambar 12 memperlihatkan keragaman data
SAPE yang lebih besar untuk metode LS. Sementara itu, metode MAD dan MEstimation menghasilkan keragaman data SAPE yang lebih kecil. Gambar 13
menjelaskan keragaman data SAPE untuk data dengan pencilan jauh. Metode
LS memiliki keragaman data SAPE yang lebih besar dibanding kedua metode
robust lainnya.
(b)
(a)
(c)
Gambar 11 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data
hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
15
(b)
(a)
(c)
Gambar 12 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data
hipotetik dengan pencilan dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
(b)
(a)
(c)
Gambar 13 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data
hipotetik dengan pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
16
SIMPULAN
Pendugaan parameter yang diterapkan pada model Gompertz dan model
SZR dapat dilakukan dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation.
Data yang digunakan adalah data hipotetik dengan kriteria data tanpa pencilan,
data dengan pencilan, dan data dengan pencilan jauh. Metode LS tidak tahan
terhadap data dengan pencilan dan pencilan jauh. Pendugaan parameter
menggunakan metode MAD dan M-Estimation menghasilkan hasil pendugaan dan
tingkat kesalahan yang relatif baik. Berdasarkan ukuran kesalahan SMAPE,
metode M-Estimation menghasilkan error yang lebih kecil daripada metode
MAD. Pada kasus pendugaan parameter dalam karya ilmiah ini, metode MEstimation merupakan metode yang paling baik dan robust terhadap pencilan.
DAFTAR PUSTAKA
Bodnar M, Foryś U. 2007. Three types of simple DDE’s describing tumor growth.
J. Biol. Syst. 15, 453 (2007).doi: 10.1142/S0218339007002313
Draper NR, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Sumantri B,
penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied
Regression Analysis. 2nd ed.
Fox J. 2002. Bootstrapping robust regression models: Appendix to an R and SPLUS. Companion to applied regression. [internet]. [diunduh 2014 Sept 19].
Sage (US). Tersedia pada: http:// cran.r-project.org/doc/contrib/FoxCompanion/appendix-robust-regression.pdf.
Hoaglin DC, Mosteller F, Tukey JW. 1983. Understanding Robust and
Exploratory Data Analysis. New York (US): John Wiley & Sons.
Howard P. 2013. Mathematical modeling: M442 assignment 3. [internet].
[diunduh 2015 Jan 30]. Texas (US). Tersedia pada: http://www.math.tamu.edu/
~phoward/m442/ia3sol.pdf.
Mathews JH, Fink KD. 2004. Numerical Methods Using MATLAB. 4th ed. New
Jersey (US): Pearson Prentice Hall, Pearson Education Inc.
Munz P, Hudea I, Imad J, Smith RJ. 2009. When zombie attack!: mathematical
modelling of an outbreak of zombie infection. CiteSeerx [internet]. [diunduh
2014 Sept 29]; pp. 133-150: Canada (US). Tersedia pada: http://www.math.
tamu.edu/~jmlinhart/zombies2012.pdf.
Ripley BD. 1992. Robust statistics. Applied Statistics MT2004 [internet].
[diunduh 2014 Sept 9]. Tersedia pada: http://www.stats.ox.ac.uk/pub/
StatMeth/Robust.pdf.
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus
Books Publishing, LLC.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [internet]. [diunduh 2014
Feb
10].
Tersedia
pada:
http://mathworld.wolfram.com/Box-andWhiskerPlot.html.
17
Widiasari LY. 2014. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode robust
Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian
Bogor.
Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package
options. Statistics, Social Science, and Mapping Group [internet]. [diunduh
2014 Sept 20]. Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/
Robust%20reg2.pdf.
18
Lampiran 1 Pendugaan parameter model Gompertz
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Lampiran 2 Pendugaan parameter model Zombie Attack
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Lampiran 3 Nilai SMAPE untuk setiap jenis data pada state variabel model SZR
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Data Hipotetik
Metode
LS
Tanpa Pencilan
MAD
M-Estimation
LS
Dengan Pencilan
MAD
M-Estimation
LS
Dengan Pencilan
Jauh
MAD
M-Estimation
State Variabel
SMAPE
5.30490
0.65083
0.56261
5.32441
0.66184
0.56750
5.30490
0.65083
0.56261
18.64550
4.83879
2.35406
10.07040
1.78777
2.22381
10.03890
1.78265
2.21891
15.10110
8.68508
4.21351
9.60403
2.73253
3.15690
9.50786
2.70044
3.11990
49
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Banyumas pada tanggal 29 Januari 1994 sebagai anak
pertama dari tiga bersaudara pasangan Rahmat Hermanto dan Kasiyem. Tahun
2011 penulis lulus dari SMA Negeri 6 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis
diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) IPB melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi
Negeri (SNMPTN) Undangan.
Selama masa perkuliahan, penulis aktif dalam himpunan profesi Gugus
Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) dalam divisi Keilmuan selama dua tahun
berturut – turut, yaitu tahun 2012 dan 2013. Penulis tergabung dalam komunitas
seni perkusi matematika (Gumakusi) serta meraih juara pertama pada ajang
SPIRIT (Sport Competition and Art Festifal on Mipa Faculty) pada tahun 2013
dan 2014. Selain itu, penulis mengikuti berbagai kepanitiaan, antara lain staf
divisi tim khusus (2013) dan divisi acara (2014) pada acara IPB Mathematic
Challenge (IMC), staf divisi DDD (2013) dan ketua divisi tim khusus (2014) pada
acara Matematika Ria 2014 dalam rangkaian acara Pesta Sains Nasional (PSN)
IPB. Penulis juga aktif sebagai asisten praktikum mata kuliah Persamaan
Diferensial Biasa (2013), Pengantar Metode Komputasi (2013), Pengantar Teori
Peluang (2014), dan Kalkulus II (2014). Penulis pernah menjadi pengajar pada
bimbingan belajar Katalis.
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION (MAD)
DAN HUBER M-ESTIMATION
ARIYANTO HERMAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter
Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber
M-Estimation adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Ariyanto Hermawan
NIM G54110046
ABSTRAK
ARIYANTO HERMAWAN. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan
Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation. Dibimbing
oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Pendugaan parameter umumnya diterapkan terhadap model regresi. Namun,
pendugaan terhadap model dinamik belum banyak dikembangkan. Metode Least
Square adalah metode yang paling umum digunakan dalam pendugaan parameter.
Akan tetapi, metode ini kurang baik saat digunakan terhadap data yang
mengandung pencilan. Metode robust adalah metode yang dapat mengatasi
kelemahan itu. Median Absolute Deviation dan M-Estimation merupakan
beberapa metode yang cocok digunakan untuk data yang mengandung pencilan
maupun ini pencilan jauh. Kedua metode robust cukup baik dalam melakukan
pedugaan parameter untuk jenis data tanpa pencilan maupun dengan pencilan.
Berdasarkan Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) dan boxplot,
Metode M-Estimation memiliki keakuratan yang lebih baik dalam pendugaan
parameter dibanding metode Median Absolute Deviation. Pada karya ilmiah ini,
model Gompertz dan SZR (Susceptible, Zombie, Removed) adalah model yang
diduga parameternya dengan menggunakan data hipotetik.
Kata kunci: Huber, Least Square, M-Estimation, Median Absolute Deviation,
pencilan, pencilan jauh, robust
ABSTRACT
ARIYANTO HERMAWAN. Parameter Estimation of Dynamical Model using
Robust Median Absolute Deviation (MAD) and Huber M-Estimation Methods.
Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Parameter estimation is commonly applied to regression models. However,
the estimation of the dynamic models have not been developed. Least Square
Method is the most common method used in parameter estimation. However, this
method is not appropriate to be used if data contains some outliers. Robust
method is a method that can overcome the weakness of the Least Square method.
Median Absolute Deviation and M-Estimation are some suitable methods used
when the data contains outliers and far outliers. Both of these robust methods are
quite good in parameter estimation for the data with or without outliers. Based on
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) and boxplot, MEstimation method has better accuracy in parameter estimation than the Median
Absolute Deviation method. In this manuscript, parameter estimation is applied to
Gompertz and SZR (Susceptible, Zombie, Removed) model using hypothetical
data.
Keywords: far outliers, Huber, Least Square, M-Estimation, Median
Absolute Deviation, outliers, robust
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION (MAD)
DAN HUBER M-ESTIMATION
ARIYANTO HERMAWAN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median
Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation
Nama
: Ariyanto Hermawan
NIM
: G54110046
Disetujui oleh
PRAKATA
Alhamdulillah. Segala puji dan rasa syukur penulis panjatkan kepada Allah
subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik
dengan Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation
dapat diselesaikan dengan segala kendala dan keterbatasan yang dihadapi. Penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Orang tua dan adik-adik tercinta atas semua doa, semangat, perhatian, dan
kasih sayang yang tak pernah lelah sampai saat ini.
2. Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto,
MSi selaku dosen pembimbing I dan pembimbing II, serta Bapak Dr Ir Hadi
Sumarno, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas semua ilmu, masukan,
motivasi, saran, dan pengalaman yang telah diberikan.
3. Seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu dan
pengalaman berharga yang telah diberikan.
4. Sahabat “Belakhar Baremg” yaitu: Arli, Dinita, Lily, Ayu, dan Widya atas
semua keceriaan, canda, tawa, serta pengalaman yang berharga.
5. Teman-teman seperjuangan matematika 48 atas semua momen indah
kebersamaan yang takkan pernah terlupakan.
6. Teman-teman matematika 47, 49, dan 50 atas cerita indah dan kebersamaan.
7. Semua pihak-pihak yang tidak bisa disebutkan satu-persatu yang telah
membantu hingga akhirnya karya ilmiah ini dapat diselesaikan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2015
Ariyanto Hermawan
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
METODE PENELITIAN
5
Model Analisis
5
Data Pengamatan
6
Metode Analisis
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Gompertz
Model Zombie Attack
6
6
10
SIMPULAN
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
49
DAFTAR TABEL
1 Nilai dugaan parameter model Gompertz r dan K dengan menggunakan
metode LS, MAD, M-Estimation
2 Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan M-Estimation model Gompertz
untuk setiap jenis data hipotetik
3 Nilai dugaan parameter model SZR dengan menggunakan metode LS,
MAD, dan M-Estimation
4 Nilai SMAPE model SZR dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
untuk setiap jenis data hipotetik
8
9
11
13
DAFTAR GAMBAR
1 Bentuk umum boxplot
2 Plot tebaran data hipotetik untuk data hipotetik tanpa pencilan (a),
dengan pencilan (b), dan pencilan jauh (c)
3 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
4 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data dengan
pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
5 Boxplot SAPE untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan M-Estimation
6 Boxplot SAPE untuk data hipotetik dengan pencilan (a) dan pencilan
jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
7 Plot tebaran data hipotetik tanpa pencilan model SZR
8 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
9 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan dengan
metode LS, MAD, dan M-Estimation
10 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan jauh dengan
metode LS, MAD, dan M-Estimation
11 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik
tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
12 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik
dengan pencilan dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
13 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data hipotetik
dengan pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
5
7
8
9
10
10
11
12
12
13
14
15
15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pendugaan parameter model Gompertz
2 Pendugaan parameter model Zombie Attack
3 Nilai SMAPE untuk setiap jenis data pada state variabel model SZR
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
18
28
48
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pendugaan parameter umumnya dilakukan terhadap model regresi. Akan
tetapi, pembahasan mengenai pendugaan parameter yang diterapkan terhadap
suatu model dinamik, baik model tunggal ataupun model sistem, masih sangat
jarang. Kajian tentang model dinamik biasanya hanya terfokus pada masalah titik
tetap, kestabilan, dan analisisnya dengan nilai-nilai parameter yang sudah
diberikan atau dipilih sembarang.
Pada penerapan terhadap model regresi, telah banyak ditemukan metode
untuk menduga parameter, baik yang bersifat robust (tahan) terhadap pencilan
ataupun tidak. Pada model dinamik, pendugaan dapat dilakukan secara tidak
langsung ataupun langsung. Pendugaan parameter secara tidak langsung
menekankan pada pencarian solusi secara analitik dari suatu model. Kemudian,
dilakukan pendugaan untuk mencari parameter-parameter pada model tersebut.
Pendugaan parameter secara langsung digunakan ketika solusi analitik tidak dapat
ditentukan. Pendugaan ini mencari solusi numerik dari suatu model dilanjutkan
dengan menduga parameter menggunakan metode yang sesuai.
Metode untuk menduga nilai parameter dari suatu model dengan cara
meminimumkan kuadrat galat merupakan metode yang umum digunakan. Metode
ini disebut metode Least Square (LS). Metode ini diterapkan dengan
menggunakan segugus data pengamatan. Namun, metode ini tidak tahan terhadap
pencilan (Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan, perlu dilakukan pendugaan
dengan metode yang robust terhadap pencilan data. Salah satu metode robust,
Median Absolute Deviation (MAD) telah diterapkan pada pendugaan model
dinamik (Widiasari 2014). Metode MAD meminimumkan median nilai mutlak
selisih antara galat dengan median galat. Metode robust lainnya adalah MEstimation. Metode ini memiliki fungsi objektif yang memberikan bobot kecil
terhadap data pencilan. Tiga bentuk fungsi objektif pada metode M-Estimation
adalah Least Square, Huber dan Tukey Bisquare (Fox 2002). Pada karya ilmiah
ini, metode robust yang digunakan akan dibandingkan dengan metode Least
Square (LS).
Model dinamik yang akan digunakan pada karya ilmiah ini adalah model
Gompertz (Bodnar dan Foryś 2007) dan model infeksi zombi SZR (Susceptible,
Zombie, Removed) (Munz et al. 2009). Model Gompertz dapat diterapkan untuk
melihat perilaku mortalitas sederhana dalam bidang aktuaria, sedangkan model
infeksi zombi merupakan model yang mencoba memodelkan perilaku perubahan
manusia menjadi zombi pada film-film fiksi zombi. Pada karya ilmiah ini, model
Gompertz dan model infeksi zombi SZR akan diduga parameternya berdasarkan
data hipotetik (bangkitan) dan dicari galatnya.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu:
1. Mengkaji dan membandingkan pendugaan parameter model dinamik
dengan metode Least Square (LS) dan metode robust yaitu Median
Absolute Deviation (MAD) dan Huber M-Estimation.
2. Membandingkan pengaruh pencilan dan pencilan jauh terhadap metode
Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD) dan Huber MEstimation.
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan n state variabel , , … ,
yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada
waktu t dinyatakan sebagai berikut:
,…, ,
̇ =
,…, ,
̇ =
⋮
,…, ,
̇ =
atau
�
�̇ =
= �, ,
dengan
�=
⋮ ).
Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya
dapat dinyatakan sebagai berikut:
�
�̇ =
= �, , � ,
(Strogatz 2000)
Metode Euler
Salah satu metode numerik yang banyak digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial adalah metode Euler. Metode ini memiliki tingkat
kesalahan orde pertama ( ℎ ). Misalkan diberikan sebuah persamaan diferensial
sebagai berikut:
′
=
,
Formulasi metode Euler:
�+
=
�
+ ℎ dan
�+
=
dengan
=
+ℎ
�, �
�
pada [ , ].
untuk � = , , , … ,
− ,
3
dengan = dan � = . menyatakan banyaknya partisi data pada interval
−
merupakan ukuran langkah. Solusi pendekatan bagi
selang [ , ] dan ℎ =
�
penyelesaian persamaan diferensial menggunakan himpunan diskret dari titik-titik
{ � , � }�= .
(Mathews dan Fink 2004)
Metode Least Square (LS)
Misalkan dari suatu persamaan diferensial diperoleh solusi ̂ , � dan dari
data pengamatan diperoleh suatu model � = ( , � + � untuk � = , , … , �,
maka � dapat diduga dengan cara berikut:
min ∑
�=
dengan
�
− ̂� ,
̂� = ( ̂ , � .
(Draper dan Smith 1992)
Metode Robust
Beberapa metode penduga parameter yang bersifat robust terhadap pencilan
yang dapat digunakan adalah:
1.
2.
3.
4.
Metode Weighted Least Square (WLS).
Metode Least Absolute Deviation ( LAD).
Metode Least Trimmed Square (LTS).
Metode Least Median of Square (LMS).
(Yafee 2002)
Keempat metode tersebut telah banyak diaplikasikan dalam pendugaan
parameter. Metode robust lainnya yaitu metode Median Absolute Deviation
(MAD) dan M-Estimation dibahas dalam karya ilmiah ini.
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai
mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median |
�
− ̂� − median
�
− ̂� |.
(Ripley 1992)
Metode Huber M-Estimation
M-Estimation dipandang baik untuk
mengestimasi parameter yang
disebabkan oleh pencilan vertikal dan memiliki breakdown point /� . MEstimation meminimumkan fungsi objektif:
�
� − ̂�
min ∑ �
= min ∑ � (
),
�̂
�̂
�=
dengan �̂ adalah standar deviasi error.
�=
4
Estimasi �̂ yang sering digunakan adalah
median| � − median � |
.
Φ− .
Konstanta Φ− .
= .
membuat �̂ mendekati estimator tak bias dari �,
dan error berdistribusi normal. Salah satu cara lain yang umum digunakan untuk
menentukan nilai standar deviasi, yaitu �̂ = .
�̂ =
Fungsi objektif untuk metode Huber adalah sebagai berikut:
�
={
| |≤�
,
| | > �.
�| | − � ,
(Fox 2002)
Pencilan (Outlier) dan Pencilan Jauh (Far Outlier)
Pencilan merupakan nilai ekstrem dari suatu pengamatan. Pencilan juga
dapat dikatakan sebagai suatu titik data yang jauh dari sebaran data utama. Suatu
titik data dikatakan sebagai pencilan apabila nilai pengamatannya lebih besar dari
. Suatu titik data
+ .
−
atau lebih kecil dari
− .
−
dikatakan sebagai pencilan jauh apabila nilai pengamatannya lebih besar dari
+
−
atau lebih kecil dari
−
−
.
(Hoaglin et al. 1983)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan
sebagai berikut:
� �=
�
∑
�=
|
− ̂� |
,
� + ̂�
�
dengan
n
: banyaknya pengamatan,
: data aktual / yang sebenarnya ke-i,
�
̂�
: penduga data ke-i,
SMAPE memiliki batas bawah 0 % dan batas atas 100 %. Untuk melihat sebaran
error dari data hasil dugaan, nilai-nilainya akan ditampilkan dalam diagram kotak
(boxplot), seperti pada Gambar 1.
5
Gambar 1 Bentuk umum boxplot
(Weisstein 1999)
METODE PENELITIAN
Model Analisis
Model yang digunakan pada tulisan ini yaitu model Gompertz dan Model
Zombie Attack.
1
2
Model Gompertz
Model Gompertz digunakan dalam bidang aktuaria untuk menjelaskan
perilaku mortalitas yang lebih sederhana. Model ini menjelaskan bahwa laju
yang lambat terjadi di awal dan akhir periode waktu. Model Gompertz juga
dapat diterapkan dalam bidang kesehatan guna merepresentasikan laju atau
perilaku pertumbuhan sel penyakit tumor. Model Gompertz dirumuskan
sebagai berikut:
�
�
= −�� ln
,
�
dengan � menyatakan laju pertumbuhan sel tumor dan K menyatakan daya
dukung lingkungan.
(Bodnar dan Foryś 2007)
Model Zombie Attack
Model Zombie Attack atau model SZR merupakan suatu model
implementasi dari perilaku zombi dalam film-film fiksi. Resident Evil, Night
of the Living dead, dan Dead Rising merupakan film-film yang dijadikan
referensi dalam pembuatan model SZR. Pada model ini, kelompok individu
dibagi mejadi tiga, yaitu kelompok manusia yang rentan (Susceptible),
kelompok zombi (Zombie), dan kelompok manusia atau zombi yang telah
meninggal (Removed). Model SZR ini merupakan pengembangan dari model
penyakit SIR dikombinasikan dengan faktor-faktor interaksi antarkelompok.
Model SZR dirumuskan sebagai berikut:
′
= Π−
−
′
=
+� −
′
=
+
−� ,
′ ′
dengan , , dan ′ menyatakan proporsi individu di setiap kelompok.
(Munz et al. 2009)
6
Data Pengamatan
Data yang menjadi acuan pada penulisan karya ilmiah ini berlandaskan pada
data hipotetik yang dibangkitkan menggunakan software Mathematica 10. Data
hipotetik diperoleh dari solusi numerik pada model dinamik dengan memberikan
nilai parameter sembarang. Data hipotetik tersebut diberi galat berupa bilangan
acak dan beberapa data dibuat menjadi data pencilan.
Metode Analisis
Pada pendugaan parameter pada model dinamik, digunakan beberapa
metode, yaitu: metode Least Square (LS), metode robust Median Absolut
Deviation (MAD), dan metode robust M-Estimation. Ketiga model tersebut akan
dilihat kesesuaian dan akurasinya menggunakan Symmetrical Mean Absolute
Percentage Error (SMAPE) yang direpresentasikan melalui boxplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Gompertz
Penyelesaian Persamaan Diferensial
�′
∫
misal:
= ln
Substitusi
�
�
= ln
,
�
=
�
�
�
�
�
ln
�
�
�
∫
ln
�
�
�
ln
�
= −� �
ln
= −� �
= −� ∫
= −� +
= −� +
ke dalam persamaan,
ln ln
�
�
= −� +
�
=
�
�
�� −��
= �
�� −��
.
7
Substitusi nilai awal �
=� ,
�
= �
� = �
�
�
=
�
�� 0
�
�
� = ln ( ).
�
Dengan demikian, solusi khusus model Gompertz menjadi:
�
= �
�
= �
�
ln
= �(
�0
�
ln
0
�
� −��
�0
�
� −��
� −��
)
.
Pendugaan Parameter
�
, dengan
Persamaan model Gompertz yaitu � ′
= −�� ln
�
parameter awal � = .
,� =
. , dan �
= .
(Howard 2013).
Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan tiga jenis data hipotetik,
yaitu: data hipotetik tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan, dan data
hipotetik dengan pencilan jauh. Grafik ketiga data hipotetik ditampilkan pada
Gambar 2.
(a)
(b)
(c)
Gambar 2 Plot tebaran data hipotetik untuk data hipotetik tanpa pencilan (a),
dengan pencilan (b), dan pencilan jauh (c)
Pendugaan parameter dari model Gompertz dilakukan dengan
menggunakan tiga metode, yaitu: metode Least Square (LS), Median Absolute
8
Deviation (MAD), dan M-Estimation. Nilai dugaan parameter yang didapat dari
masing-masing metode ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai dugaan parameter model Gompertz r dan K dengan menggunakan
metode LS, MAD, M-Estimation
Data
Hipotetik
Tanpa
Pencilan
Pencilan
Pencilan
Jauh
Parameter
r
K
r
K
r
K
Parameter
Awal
0.0063
1262.6000
0.0063
1262.6000
0.0063
1262.6000
LS
0.0062
1380.0900
0.0092
357.2950
0.0110
263.3580
Metode
MAD
0.0062
1260.0000
0.0061
1266.6900
0.0061
1266.6900
M-Estimation
0.0063
1260.0000
0.0062
1367.2000
0.0062
1367.1400
Setelah dilakukan pendugaan parameter, masing-masing nilai parameter
diplot terhadap model Gompertz. Gambar 3 menjelaskan plot hasil pendugaan
parameter untuk semua metode dengan data tanpa pencilan. Plot yang dihasilkan
untuk masing-masing nilai parameter dugaan saling berimpit mengikuti pola
tebaran data, dengan nilai parameter dugaan yang diberikan.
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Untuk data hipotetik dengan pencilan dan pencilan jauh, plot model
Gompertz dengan menggunakan metode Least Square cenderung bergeser
menjauh dari pola tebaran data hipotetik mendekati pencilan. Plot pendugaan
semakin menjauh saat menggunakan data dengan pencilan jauh seperti dijelaskan
pada Gambar 4. Plot Metode MAD dan M-Estimation cenderung hanya
mengalami sedikit pergeseran, baik untuk data dengan pencilan maupun pencilan
jauh. Dalam hal ini, kedua metode robust tersebut menghasilkan plot pendugaan
yang cukup baik untuk setiap jenis data.
9
(a)
(b)
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model Gompertz untuk data dengan
pencilan (a) dan pencilan jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
Nilai SMAPE digunakan untuk mengukur tingkat kesalahan pendugaan
parameter pada model Gompertz. Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan MEstimation untuk data hipotetik tanpa pencilan, pencilan, dan pencilan jauh
dijelaskan pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai SMAPE metode LS, MAD, dan M-Estimation model Gompertz
untuk setiap jenis data hipotetik
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan
Pencilan Jauh
Metode
LS
MAD
M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
SMAPE
3.55240
3.56407
3.56397
7.57241
6.52996
6.15576
11.75760
7.32851
6.96820
Nilai SMAPE cenderung memberikan hasil yang seragam untuk data
hipotetik tanpa pencilan. Namun, nilai SMAPE untuk metode LS lebih besar
dibanding metode lainnya untuk data hipotetik dengan pencilan dan pencilan jauh.
Metode M-Estimation memberikan hasil SMAPE yang paling kecil dibanding
metode lainnya. Metode M-Estimation dinilai cukup baik dan akurat dalam
menduga nilai parameter untuk setiap jenis data.
Sebaran nilai-nilai SAPE (Symmetrical Absolute Percentage Error)
ditampilkan dalam diagram boxplot. Pada diagram bloxpot, keragaman data SAPE
dapat dilihat dari selisih antar kuartil ( − ). Pada Gambar 5, terlihat diagram
boxplot yang seragam hampir sama untuk masing-masing metode untuk data
tanpa pencilan. Gambar 6 menjelaskan diagram boxplot masing-masing metode
untuk data dengan pencilan dan pencilan jauh. Boxplot pada metode LS cenderung
memiliki keragaman lebih besar dibanding metode MAD dan M-Estimation, baik
terhadap data pencilan maupun data pencilan jauh.
10
Gambar 5 Boxplot SAPE untuk data hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS,
MAD, dan M-Estimation
(a)
(b)
Gambar 6 Boxplot SAPE untuk data hipotetik dengan pencilan (a) dan pencilan
jauh (b) dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Model Zombie Attack
Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter model dinamik juga dilakukan terhadap model
sistem. Model yang digunakan adalah model SZR yang telah dijelaskan pada
model analisis. Parameter awal yang diberikan untuk model SZR, yaitu: =
.
, = .
, = .
, dan = .
. Jenis data yang digunakan
adalah data hipotetik dengan kriteria data tanpa pencilan, data dengan pencilan,
dan data dengan pencilan jauh. Plot tebaran data hipotetik model SZR ditampilkan
pada Gambar 7.
11
Gambar 7 Plot tebaran data hipotetik tanpa pencilan model SZR
Pendugaan nilai dugaan parameter model SZR dilakukan dengan
menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Dari ketiga metode tersebut,
diperoleh hasil nilai dugaan untuk masing-masing parameter model seperti pada
Tabel 3.
Tabel 3 Nilai dugaan parameter model
MAD, dan M-Estimation
Nilai
Data
Parameter Parameter
Hipotetik
Awal
0.00500
0.00400
Tanpa
Pencilan
0.00010
0.00010
0.00500
0.00400
Pencilan
0.00010
0.00010
0.00500
0.00400
Pencilan
Jauh
0.00010
0.00010
SZR dengan menggunakan metode LS,
Metode
LS
0.00499
0.00400
0.00006
0.00034
0.01035
0.00938
-0.00069
-0.04757
0.00489
0.00396
-0.00130
-0.00174
MAD
M-Estimation
0.00501
0.00499
0.00400
0.00400
0.00010
0.00006
0.00012
0.00034
0.00499
0.00498
0.00400
0.00400
0.00010
0.00005
0.00010
0.00036
0.00492
0.00498
0.00395
0.00400
0.00010
0.00005
0.00015
0.00035
Pendugaan nilai parameter , , , dan dilakukan untuk model SZR
dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation. Gambar 8
menjelaskan plot model SZR dengan data tanpa pencilan. Terlihat plot dengan
ketiga metode menghasilkan garis yang saling berimpit. Pada Gambar 9, plot
model SZR dengan data pencilan terlihat bergeser untuk metode LS. Metode
12
MAD dan M-Estimation menghasilkan plot berimpit yang mengikuti pola tebaran
data. Untuk data hipotetik dengan pencilan jauh, metode LS mengalami
pergeseran grafik yang semakin jauh. Plot dugaan yang dihasilkan oleh metode
MAD dan M-Estimation cenderung berimpit dan mengikuti pola tebaran data,
seperti dijelaskan pada Gambar 10. Kedua metode robust ini dinilai baik dalam
melakukan pendugaan parameter karena mampu mengatasi pengaruh pencilan.
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 8 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data tanpa pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 9 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
13
LS
MAD
M-Estimation
Gambar 10 Plot pendugaan parameter model SZR untuk data pencilan
jauh dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Setelah mendapat nilai dugaan parameter dengan masing-masing metode,
perlu adanya ukuran kesalahan untuk melihat dugaan parameter yang paling
mendekati nilai aktualnya. Berikut merupakan tabel nilai SMAPE untuk model
SZR dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation.
Tabel 4 Nilai SMAPE model SZR dengan metode LS, MAD, dan
M-Estimation untuk setiap jenis data hipotetik
Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan
Pencilan Jauh
Metode
LS
MAD
M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
LS
MAD
M-Estimation
SMAPE
2.17278
2.18458
2.17278
8.61278
4.69399
4.68015
9.33323
5.16449
5.10940
Pada model SZR, nilai SMAPE pada Tabel 4 dihasilkan dari rata-rata
SMAPE untuk masing-masing variabel state S, Z, dan R. Nilai SMAPE pada
metode LS cukup besar untuk jenis data hipotetik dengan pencilan, dan akan
semakin membesar untuk data dengan pencilan jauh. Untuk metode robust,
Metode M-Estimation menghasilkan nilai SMAPE yang lebih kecil dibanding
metode lainnya untuk setiap jenis data. Dengan demikian, metode M-Estimation
lebih tahan terhadap pencilan dalam menduga parameter.
Diagram boxplot pada Gambar 11, Gambar 12, dan Gambar 13
menperlihatkan tingkat keragaman data SAPE yang dihasilkan masing-masing
14
metode. Pada Gambar 11, terlihat keragaman data SAPE untuk masing-masing
metode memiliki pola yang seragam. Hal ini menandakan bahwa pendugaan
parameter untuk data tanpa pencilan memberikan hasil yang relatif sama dan
baik. Untuk data dengan pencilan, Gambar 12 memperlihatkan keragaman data
SAPE yang lebih besar untuk metode LS. Sementara itu, metode MAD dan MEstimation menghasilkan keragaman data SAPE yang lebih kecil. Gambar 13
menjelaskan keragaman data SAPE untuk data dengan pencilan jauh. Metode
LS memiliki keragaman data SAPE yang lebih besar dibanding kedua metode
robust lainnya.
(b)
(a)
(c)
Gambar 11 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data
hipotetik tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
15
(b)
(a)
(c)
Gambar 12 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data
hipotetik dengan pencilan dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
(b)
(a)
(c)
Gambar 13 Boxplot SAPE state variabel S (a), Z (b), dan R (c) untuk data
hipotetik dengan pencilan jauh dengan metode LS, MAD, dan MEstimation
16
SIMPULAN
Pendugaan parameter yang diterapkan pada model Gompertz dan model
SZR dapat dilakukan dengan menggunakan metode LS, MAD, dan M-Estimation.
Data yang digunakan adalah data hipotetik dengan kriteria data tanpa pencilan,
data dengan pencilan, dan data dengan pencilan jauh. Metode LS tidak tahan
terhadap data dengan pencilan dan pencilan jauh. Pendugaan parameter
menggunakan metode MAD dan M-Estimation menghasilkan hasil pendugaan dan
tingkat kesalahan yang relatif baik. Berdasarkan ukuran kesalahan SMAPE,
metode M-Estimation menghasilkan error yang lebih kecil daripada metode
MAD. Pada kasus pendugaan parameter dalam karya ilmiah ini, metode MEstimation merupakan metode yang paling baik dan robust terhadap pencilan.
DAFTAR PUSTAKA
Bodnar M, Foryś U. 2007. Three types of simple DDE’s describing tumor growth.
J. Biol. Syst. 15, 453 (2007).doi: 10.1142/S0218339007002313
Draper NR, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Sumantri B,
penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied
Regression Analysis. 2nd ed.
Fox J. 2002. Bootstrapping robust regression models: Appendix to an R and SPLUS. Companion to applied regression. [internet]. [diunduh 2014 Sept 19].
Sage (US). Tersedia pada: http:// cran.r-project.org/doc/contrib/FoxCompanion/appendix-robust-regression.pdf.
Hoaglin DC, Mosteller F, Tukey JW. 1983. Understanding Robust and
Exploratory Data Analysis. New York (US): John Wiley & Sons.
Howard P. 2013. Mathematical modeling: M442 assignment 3. [internet].
[diunduh 2015 Jan 30]. Texas (US). Tersedia pada: http://www.math.tamu.edu/
~phoward/m442/ia3sol.pdf.
Mathews JH, Fink KD. 2004. Numerical Methods Using MATLAB. 4th ed. New
Jersey (US): Pearson Prentice Hall, Pearson Education Inc.
Munz P, Hudea I, Imad J, Smith RJ. 2009. When zombie attack!: mathematical
modelling of an outbreak of zombie infection. CiteSeerx [internet]. [diunduh
2014 Sept 29]; pp. 133-150: Canada (US). Tersedia pada: http://www.math.
tamu.edu/~jmlinhart/zombies2012.pdf.
Ripley BD. 1992. Robust statistics. Applied Statistics MT2004 [internet].
[diunduh 2014 Sept 9]. Tersedia pada: http://www.stats.ox.ac.uk/pub/
StatMeth/Robust.pdf.
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus
Books Publishing, LLC.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [internet]. [diunduh 2014
Feb
10].
Tersedia
pada:
http://mathworld.wolfram.com/Box-andWhiskerPlot.html.
17
Widiasari LY. 2014. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode robust
Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian
Bogor.
Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package
options. Statistics, Social Science, and Mapping Group [internet]. [diunduh
2014 Sept 20]. Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/
Robust%20reg2.pdf.
18
Lampiran 1 Pendugaan parameter model Gompertz
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Lampiran 2 Pendugaan parameter model Zombie Attack
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Lampiran 3 Nilai SMAPE untuk setiap jenis data pada state variabel model SZR
dengan metode LS, MAD, dan M-Estimation
Data Hipotetik
Metode
LS
Tanpa Pencilan
MAD
M-Estimation
LS
Dengan Pencilan
MAD
M-Estimation
LS
Dengan Pencilan
Jauh
MAD
M-Estimation
State Variabel
SMAPE
5.30490
0.65083
0.56261
5.32441
0.66184
0.56750
5.30490
0.65083
0.56261
18.64550
4.83879
2.35406
10.07040
1.78777
2.22381
10.03890
1.78265
2.21891
15.10110
8.68508
4.21351
9.60403
2.73253
3.15690
9.50786
2.70044
3.11990
49
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Banyumas pada tanggal 29 Januari 1994 sebagai anak
pertama dari tiga bersaudara pasangan Rahmat Hermanto dan Kasiyem. Tahun
2011 penulis lulus dari SMA Negeri 6 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis
diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) IPB melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi
Negeri (SNMPTN) Undangan.
Selama masa perkuliahan, penulis aktif dalam himpunan profesi Gugus
Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) dalam divisi Keilmuan selama dua tahun
berturut – turut, yaitu tahun 2012 dan 2013. Penulis tergabung dalam komunitas
seni perkusi matematika (Gumakusi) serta meraih juara pertama pada ajang
SPIRIT (Sport Competition and Art Festifal on Mipa Faculty) pada tahun 2013
dan 2014. Selain itu, penulis mengikuti berbagai kepanitiaan, antara lain staf
divisi tim khusus (2013) dan divisi acara (2014) pada acara IPB Mathematic
Challenge (IMC), staf divisi DDD (2013) dan ketua divisi tim khusus (2014) pada
acara Matematika Ria 2014 dalam rangkaian acara Pesta Sains Nasional (PSN)
IPB. Penulis juga aktif sebagai asisten praktikum mata kuliah Persamaan
Diferensial Biasa (2013), Pengantar Metode Komputasi (2013), Pengantar Teori
Peluang (2014), dan Kalkulus II (2014). Penulis pernah menjadi pengajar pada
bimbingan belajar Katalis.