Variansi dari Penaksir Total Populasi dan Penaksirnya

Mega Wati, 2015 ANALISIS QUICK COUNT MENGGUNAKAN METODE STRATIFIED CLUSTER SAMPLING STUDI KASUS PEMILU GUBERNUR JAWA BARAT 2013 Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu = . ∑ ∑ ℎ ℎ= ℎ = � ̂ = ∑ ∑ ℎ ℎ = ℎ= = Terbukti bahwa � ̂ = , dengan kata lain ̂ merupakan penaksir yang tak bias untuk total populasi .

3.4 Variansi dari Penaksir Total Populasi dan Penaksirnya

3.4.1 Variansi dari Penaksir Total Populasi

Setelah memperoleh taksiran dari total populasi, langkah selanjutnya adalah menentukan variansi dari ̂. Varians dari penaksir tak bias ̂ untuk three-stage cluster sampling diperoleh dengan menggabungkan dua varians two-stage cluster sampling. Varians dari ̂ untuk kasus two-stage cluster sampling adalah: ̂ = − � � + ∑ − � . dimana = − ∑ − ̅ = − ∑ − ̿ Dengan mensubstitusikan persamaan 3.17 ke psu dan ssu pada kasus three-stage cluster sampling, diperoleh: − � � + ∑ − ̅ � ̅ 3.18 dimana = − ∑ − ̅ = − ∑ − ̿ Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan 3.17 ke ssu dan tsu pada kasus three-stage cluster sampling, diperoleh: Mega Wati, 2015 ANALISIS QUICK COUNT MENGGUNAKAN METODE STRATIFIED CLUSTER SAMPLING STUDI KASUS PEMILU GUBERNUR JAWA BARAT 2013 Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu − ̅ � ̅ + ̅ ∑ − � 3.19 dimana = − ∑ − ̿ Perumusan untuk ̂ pada kasus three-stage cluster sampling diperoleh dengan menggabungkan persamaan 3.18 dan persamaan 3.19, diperoleh: ̂ = − � � + ∑ − ̅ � ̅ + ̅ ∑ − � = − � � + ∑ − ̅ � ̅ + ∑ ̅ ∑ − � Oleh karena itu, variansi dari ̂ untuk three-stage cluster sampling adalah sebagai berikut: ̂ = − � � + ∑ = − ̅ � ̅ + ∑ ̅ = ∑ = − � 3.20 Dengan memisalkan = dan mengganti indeks i menjadi indeks h untuk mengindikasikan sebagai strata, maka akan diperoleh variansi dari ̂ untuk stratified cluster sampling yaitu sebagai berikut : ̂ = − � � + ∑ ℎ = ℎ − ̅ ℎ � ℎ ̅ + ∑ ℎ ̅ = ∑ ℎ ℎ = ℎ − ℎ ℎ � ℎ ℎ 3.21 ̂ = ∑ ℎ = ℎ − ̅ ℎ � ℎ ̅ + ∑ ℎ ̅ = ∑ ℎ ℎ = ℎ − ℎ ℎ � ℎ ℎ Seperti yang telah diperlihatkan, , variansi antar cluster dimana dalam kasus ini menjadi strata dikeluarkan dari persamaan 3.21. ̂ = ∑ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ + ∑ ℎ ℎ = ∑ ℎ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ . ℎ = ℎ − ∑ ℎ = ℎ − ̅ ℎ . Mega Wati, 2015 ANALISIS QUICK COUNT MENGGUNAKAN METODE STRATIFIED CLUSTER SAMPLING STUDI KASUS PEMILU GUBERNUR JAWA BARAT 2013 Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu ℎ = ℎ − ∑ ℎ = ℎ − ̿ ℎ . Jika ℎ = ̅ dan ℎ = ̅, persamaan 3.22 menunjukkan bahwa ketika diberikan ̅ ̅ = , ̂ direduksi dengan menurunkan ̅ dan menaikkan ̅. Besarnya ̅ biasanya sekitar 5 – 15 Yamane, 1967, sedangkan ̅ mungkin sangat kecil atau sangat besar, bergantung pada permasalahnya Yamane, 1967.

3.4.2 Penaksir Variansi dari Penaksir Total Populasi

Pada populasi berukuran besar, sulit untuk menentukan nilai dari V ̂ secara langsung sehingga dapat menggunakan penaksirnya. Penaksir variansi dari ̂ untuk three-stage cluster sampling adalah: ̂ ̂ = − + ∑ = − ̅ ̅ + ∑ ̅ = ∑ ̅ = − Dengan memisalkan = dan mengganti indeks i menjadi indeks h untuk mengindikasikan sebagai strata, maka akan diperoleh penaksir variansi dari ̂ untuk stratified cluster sampling yaitu sebagai berikut : ̂ ̂ = − + ∑ ℎ = ℎ − ̅ ℎ ℎ ̅ + ∑ ℎ ̅ = ∑ ℎ ̅ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ ̂ ̂ = ∑ ℎ = ℎ − ̅ ℎ ℎ ̅ + ∑ ℎ ̅ = ∑ ℎ ̅ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ Jika ℎ = ̅ dan ℎ = ̅ seperti yang telah dilakukan di atas, dapat dilihat bahwa ̂ ̂ dipengaruhi terutama oleh ℎ . ̂ ̂ = ∑ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ + ∑ ℎ ℎ = ∑ ℎ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ . ℎ = ℎ − ∑ ℎ = ̂ ℎ − ̅̂ ℎ Mega Wati, 2015 ANALISIS QUICK COUNT MENGGUNAKAN METODE STRATIFIED CLUSTER SAMPLING STUDI KASUS PEMILU GUBERNUR JAWA BARAT 2013 Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu ℎ = ℎ − ∑ ℎ = ℎ − ̿ ℎ ̂ ℎ = ℎ ℎ ∑ ℎ = ℎ = ℎ ℎ ℎ = ℎ ̿ ℎ ̅̂ ℎ = ℎ ∑ ̂ ℎ ℎ = ̿ ℎ = ℎ ∑ ℎ ℎ = ℎ adalah suara pemilu di TPS ke- j dari kelompok ke-i di stratum ke –h. Huruf ditulis dengan huruf kecil, hal ini menandakan nilai suara pemilu berasal dari sampel. ̂ ℎ = ℎ ̿ ℎ merupakan penaksir jumlah total dari kelompok ke-i di stratum ke-h, ̿ ℎ = ℎ ∑ ℎ ℎ = merupakan rata-rata sampel dari subsampel ℎ , dan ̅̂ ℎ = ℎ ∑ ̂ ℎ ℎ = merupakan rata-rata sampel dari ̂ ℎ , � = , , . . , ℎ . Pembuktian:  � ̂ ℎ = � ℎ ℎ ∑ ℎ ℎ = = ℎ ℎ � ∑ ℎ ℎ = = ℎ ℎ ∑ � ℎ ℎ = = ℎ ℎ ∑ ̿ ℎ ℎ = = ℎ ℎ ℎ . ̿ ℎ = ℎ . ̿ ℎ = ℎ Mega Wati, 2015 ANALISIS QUICK COUNT MENGGUNAKAN METODE STRATIFIED CLUSTER SAMPLING STUDI KASUS PEMILU GUBERNUR JAWA BARAT 2013 Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu  � ̿ ℎ = � ℎ ∑ ℎ ℎ = = ℎ � ∑ ℎ ℎ = = ℎ ∑ � ℎ ℎ = = ℎ ∑ ̿ ℎ ℎ = = ℎ ℎ . ̿ ℎ = ̿ ℎ  � ̅̂ ℎ = � ℎ ∑ ̂ ℎ ℎ = = ℎ � ∑ ̂ ℎ ℎ = = ℎ ∑ � ̂ ℎ ℎ = = ℎ ∑ ℎ ℎ = = ̅ ℎ ℎ menunjukkan penaksir variansi di antara psu kelompok di dalam strata ke-h. Karena ℎ adalah sampel acak dari ℎ , ̂ ℎ merupakan penaksir jumlah total dari kelompok ke-i di stratum ke-h, dan ̅̂ ℎ merupakan rata-rata sampel dari ̂ ℎ . Diketahui pula bahwa ℎ adalah penaksir tak bias dari ℎ , sehingga � ℎ = � ℎ − ∑ ℎ = ̂ ℎ − ̅̂ ℎ Mega Wati, 2015 ANALISIS QUICK COUNT MENGGUNAKAN METODE STRATIFIED CLUSTER SAMPLING STUDI KASUS PEMILU GUBERNUR JAWA BARAT 2013 Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu � ℎ = ℎ − ∑ ℎ = ℎ − ̅ ℎ � ℎ = ℎ ℎ menunjukkan penaksir variansi di dalam psu kelompok dari strata ke-h. Karena ℎ adalah sampel acak dari ℎ , dan ̿ ℎ merupakan rata-rata sampel dari subsampel ℎ , diketahui pula bahwa ℎ adalah penaksir tak bias dari ℎ , sehingga � ℎ = � ℎ − ∑ ℎ = ℎ − ̿ ℎ � ℎ = ℎ − ∑ ℎ = ℎ − ̿ ℎ � ℎ = ℎ Penaksir varians ̂ ̂ merupakan penaksir yang tak bias untuk varians, hal ini dapat dibuktikan dengan membuktikan � ̂ ̂ = ̂ pada proses pembuktian berikut ini. Pembuktian: � ̂ ̂ = � ∑ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ + ∑ ℎ ℎ = ∑ ℎ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ = � ∑ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ + � ∑ ℎ ℎ = ∑ ℎ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ = � ℎ � ∑ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ + � ℎ � � ∑ ℎ ℎ = ∑ ℎ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ = � ℎ � ∑ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ + � ℎ � ∑ ℎ ℎ = � ∑ ℎ ℎ = ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ = � ℎ . ℎ ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ + � ℎ � ∑ ℎ ℎ = ℎ ℎ ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ = � ℎ ℎ ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ + � ℎ � ∑ ℎ = ℎ ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ Mega Wati, 2015 ANALISIS QUICK COUNT MENGGUNAKAN METODE STRATIFIED CLUSTER SAMPLING STUDI KASUS PEMILU GUBERNUR JAWA BARAT 2013 Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu = ∑ ℎ ℎ − ℎ ℎ � ℎ ℎ = + � ℎ ∑ � ℎ ℎ ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ = = ∑ ℎ ℎ − ℎ ℎ � ℎ ℎ = + � ℎ ∑ ℎ ∑ ℎ ℎ ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ = = = ∑ ℎ ℎ − ℎ ℎ � ℎ ℎ = + � ℎ ∑ ℎ ℎ ∑ ℎ ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ = = = ∑ ℎ ℎ − ℎ ℎ � ℎ ℎ = + � ℎ ∑ ∑ ℎ ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ = = = ∑ ℎ ℎ − ℎ ℎ � ℎ ℎ = + � ℎ ∑ ∑ . ℎ ℎ − ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ = = Karena ketika ukuran ℎ kelompok mendekati ukuran ℎ kelompok, maka ℎ ℎ ≈ ℎ ℎ ≈ = ∑ ℎ ℎ − ℎ ℎ � ℎ ℎ = + ∑ ℎ ℎ ∑ ℎ ℎ − ℎ ℎ � ℎ ℎ ℎ = = = ̂ Berdasarkan pembuktian di atas, ini menunjukkan bahwa ̂ ̂ adalah penaksir tak bias dari ̂.

3.5 Alokasi Sampel