Gelombang Soliter Internal pada Aliran Tunak (Studi kasus pada fluida dua lapisan)
“Untuk semua cinta……Untuk semua cita-cita……
Untuk semua kasih sayang……
Dari kedua orangtuaku yang begitu luar biasa.”
GELOMBANG SOLITER INTERNAL
PADA ALIRAN TUNAK
(Studi kasus pada fluida dua lapisan)
Oleh:
SAIDAH
G54101040
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
RINGKASAN
SAIDAH. Gelombang soliter internal pada aliran tunak (Studi kasus pada fluida dua lapisan).
Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI.
Gelombang internal adalah suatu gelombang yang terjadi di bawah permukaan laut.
Karena gelombang ini terjadi di bawah laut, maka gelombang ini tidak terlihat secara kasat mata,
tetapi dapat terdeteksi keberadaannya berdasarkan pola tertentu di permukaan. Salah satu
gelombang internal yang memiliki peranan penting dalam aplikasi adalah gelombang soliter
internal. Gelombang soliter ini bergerak tanpa mengalami perubahan bentuk dan kecepatan serta
sering muncul pada waktu dan tempat yang sama. Keuntungan mengetahui perilaku gelombang
soliter ini diantaranya dalam bidang perminyakan adalah pada pembangunan tiang penyangga
anjungan minyak yang harus memperhitungkan kekuatan gelombang soliter tersebut.
Tulisan ini membahas pendekatan matematis (yang berupa suatu formulasi Lagrange) dari
gelombang soliter internal. Untuk membatasi masalah, fluida yang ditinjau adalah fluida ideal dan
memiliki aliran yang tunak. Hasil yang diperoleh adalah berupa persamaan KdV yang merupakan
persamaan gerak gelombang internal. Salah satu penyelesaian persamaan KdV yang ditinjau
adalah berupa gelombang soliter. Untuk lebih jelasnya diberikan detail contoh kasus berupa fluida
dua lapisan. Fluida dua lapisan adalah fluida yang terdiri dari dua lapisan yang masing-masing
memiliki rapat massa yang konstan.
GELOMBANG SOLITER INTERNAL
PADA ALIRAN TUNAK
(Studi kasus pada fluida dua lapisan)
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
SAIDAH
G54101040
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
Judul : Gelombang Soliter Internal pada Aliran Tunak
(Studi kasus pada fluida dua lapisan)
Nama : Saidah
NRP : G54101040
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Jaharuddin, MS.
NIP 132045530
Drs. Siswandi, MS.
NIP 131957320
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.
NIP 131473999
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tembilahan pada tanggal 28 Februari 1983 yang merupakan anak
kedua dari tiga bersaudara dari pasangan H. Irham Said dan Hj. Nurasiah.
Pada tahun 1989 penulis memulai pendidikan formalnya di SD Inpres 16 Tekulai Hulu,
dengan alasan mengikuti orang tua penulis melanjutkan tahun kedua pendidikan dasarnya di SD
Negeri 008 Tembilahan (1990-1995). Kemudian penulis melanjutkan pendidikannya ke SLTP
Negeri 2 Tembilahan (1995-1998) dan diteruskan ke SMU Negeri 1 Depok (1998-2001). Penulis
diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur UMPTN pada program studi Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama kuliah penulis pernah aktif dalam kepengurusan GUMATIKA selama dua periode
(2001/2002 dan 2002/2003) dan beberapa kali masuk kedalam kepanitiaan di BEM FMIPA IPB.
PRAKATA
Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Puji syukur kehadirat Allah SWT penulis ucapkan atas limpahan nikmat yang tiada
hentinya, serta rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang
telah membantu dalam penulisan skripsi ini, yaitu :
1. Kepada Bapak Dr. Jaharuddin, MS. selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Siswandi, MS.
selaku pembimbing II, yang telah memberikan nasehat, arahan, serta bimbingannya.
2. Untuk kedua orang tua yang tak henti-hentinya memberikan dukungan moral dan spritual
dalam menyelesaikan skripsi ini. Aji dan Mamak adalah orang tua yang luar biasa bagi
penulis.
3. Untuk kakak dan adik penulis, Dina dan Ari, walaupun dari kejauhan masih sempat
memberikan perhatian dan kasih sayang yang berharga bagi penulis. Untuk paman penulis,
Haris karena bisa menjadi seorang kakak laki-laki bagi penulis, serta seluruh keluarga besar
H. Said Lailuk (alm) dan H. M. Nur (alm), khususnya keponakan tercinta Tsabita.
4. Untuk Retta sahabat masa sekolah yang masih setia berbagi kisah, cerita, tawa, dan air mata.
Semoga persahabatan ini takkan memudar ditelan waktu.
5. Untuk teman-teman Math’38 yang telah melukis hari-hari penulis dengan berbagai warna
empat tahun terakhir terutama Nia, Eva, Niken, Feidy, Nanik, Senny, Endah, Hawa, Yana,
Linda, Wulan, Siti, serta Agam. Terima kasih pula pada Hasif, Azhari dan Niken atas
kesediaannya menjadi pembahas, serta Devi yang berjuang bersama penulis.
6. Untuk seluruh dosen Matematika IPB yang telah mendidik, membimbing serta menurunkan
ilmu pengetahuan yang sangat berguna bagi penulis.
7. Untuk seluruh staf TU, Bu Ade, Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Bu Marissi, Mas Juanda,
Mbak Yanti serta Bu Sam, yang telah banyak membantu penulis dari Tingkat I hingga
sekarang, khususnya buat Bu Susi atas dorongan dan nasehat-nasehat berarti sebelum dan
selama proses tugas akhir ini.
8. Untuk seluruh kakak angkatan 37, 36, dan 35 yang telah bersedia membagi pengalaman
berharga baik dalam bidang akademik maupun perjalanan hidup, terutama Mbak Ida’37. Serta
adik angkatan 39 dan 40 untuk kebersamaannya.
9. Untuk semua teman-teman masa TPB, khusunya Eka (Kimia 38) dan Adisti (Biologi 38).
10. Untuk teman-teman di SAFA khususnya Kak Siti (Terima kasih karena selalu ada untuk
penulis), Braja (Terima kasih untuk anti virus dan printer-printernya), Reli, Ami, Daffy, Joey,
Mami Ati, Kang Syarief, Mbak Endar, Mbak Rani, Mbak Tina, Ning, Oki, Nidia, Wita, Novi,
Iwa, Bill, Helmi, bersama kalian ada beban yang hilang.
Semoga skripsi ini bermanfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan berguna bagi
mereka yang membacanya. Amin.
Akhir kata, Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Bogor, Februari 2006
Saidah
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI……………………………………………………………………………………....vii
DAFTAR GAMBAR……………………………………………………………………………..viii
DAFTAR LAMPIRAN…………………………………………………………………………...viii
PENDAHULUAN………………………………………..………..………………………………..1
Latar Belakang……………………………….……...…………………………………….1
Tujuan……………………………………………………………………………………...1
Sistematika Penulisan……………………………………………………………………...1
LANDASAN TEORI………………..………………………………………………………………2
Persamaan Dasar Fluida……………………………………………….....……..........……2
Syarat Batas……………………………………………………………………...………...3
Metode Asimtotik………………………………………………………………………….4
PEMBAHASAN…………………………………………………………………………………….6
Model dan Asumsi………………………………………………………………………...6
Formulasi Langrange…………………………………………………………………...…7
Persamaan Gerak Gelombang Internal…………………………………………………….8
Solusi Gelombang Soliter ……………………………………………………………….9
Contoh Kasus Fluida dua Lapisan… .……..……..……………..………......……..............9
SIMPULAN ………………..…….……………………....…………………………..…..…..........12
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………………………..12
DAFTAR GAMBAR
Laju perubahan massa …………………………………………………………......................….... 2
Komponen x dari elemen luas yang ditinjau……….………………………………........................ 3
Komponen z dari elemen luas yang ditinjau…………………………………………..................... 3
Hasil solusi persamaan…………………………………………………………….......................... 5
Garis-garis arus mode internal dengan d=0.1……………...………………………........................11
Garis-garis arus mode permukaan….……………………………………………...........................11
Garis-garis arus mode internal dengan d=0.6…..….......……….…..….…………..........................11
...
DAFTAR LAMPIRAN
A......……………………………………………………………………………................…........ 13
B.………....…………………………………………………………………………….................. 14
C………………….…………………………………………………………………….................. 17
D ………………………...…..........……………………………………….................................... 20
...
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Fluida merupakan zat yang dapat mengalir
dan memberikan sedikit hambatan terhadap
perubahan bentuk ketika ditekan. Zat yang
termasuk fluida adalah zat cair dan gas. Pada
penulisan ini, jenis fluida yang dibahas adalah
fluida mengalir. Fluida disebut mengalir jika
fluida itu bergerak terus terhadap sekitarnya.
Jika fluida yang mengalir tidak mengalami
perubahan volume atau massa jenis ketika
ditekan, maka aliran fluida dikatakan tak
termampatkan (incompressible). Sedangkan,
jika aliran dimana tegangan geser diabaikan,
maka aliran disebut tak kental (inviscid).
Fluida yang memiliki sifat tak termampatkan,
dan tak kental disebut fluida ideal. Jika
kecepatan partikel yang diberikan konstan
terhadap waktu, maka aliran fluida dikatakan
tunak. Tulisan ini hanya meninjau fluifa ideal
yang tak berotasi (irrotasional) dan memiliki
aliran yang tunak (steady).
Salah satu fenomena yang terjadi pada
fluida adalah gelombang. Gelombang terjadi
karena adanya perbedaan rapat massa pada
batas antara dua fluida. Seperti gelombang
yang terdapat di permukaan air, gelombang
tersebut terjadi karena perbedaan rapat massa
air dan udara.
Selain gelombang permukaan (surface
wave), terdapat juga gelombang yang terjadi
di bawah permukaan. Gelombang ini yang
disebut gelombang internal. Gelombang
internal juga dapat ditemui di atmosfir
[Christie, 1992].
Salah satu jenis gelombang yang unik
adalah gelombang yang hanya memiliki satu
puncak,
disebut
gelombang
soliter.
Gelombang soliter internal dapat menjadi
masalah bagi lingkungan, seperti robohnya
tiang penyangga bangunan yang dibangun di
laut, atau naiknya polutan dari dasar laut ke
permukaan. Masalah-masalah ini memotivasi
para peneliti untuk lebih mengenali
karakteristik dan kekuatan gelombang
tersebut. Motivasi tersebut juga melahirkan
penulisan karya ilmiah ini.
Suatu penelitian mengenai gelombang
internal dalam fluida ideal dengan rapat massa
yang tidak konstan dilakukan oleh Long
[Long, 1953], yaitu dengan meninjau aliran
yang berbentuk tunak, dan persamaan gerak
yang diperoleh dinyatakan dalam fungsi arus.
Persamaan ini selanjutnya disebut persamaan
Long. Dari penelitian Tung [Tung et al.,
1982], persamaan Long digunakan untuk
memeriksa keberadaan suatu gelombang
soliter. Sementara Grimshaw [Grimshaw,
1997], menyatakan bahwa untuk gelombang
soliter dengan simpangan kecil, persamaan
Long dapat disederhanakan menjadi bentuk
tunak dari persamaan Korteweg-de Vries
(KdV).
Dalam tulisan ini, akan dimulai dengan
menurunkan suatu persamaan dasar fluida
ideal. Persamaan dasar fluida ideal tersebut
diturunkan dari prinsip kekekalan massa dan
kekekalan momentum. Kemudian, persamaan
dasar yang didapat, disederhanakan dengan
menggunakan asumsi bahwa fluida yang
ditinjau memiliki aliran yang tunak.
Formulasi berdasarkan asumsi aliran tunak
akan menggunakan suatu formulasi Lagrange,
kemudian
dengan
metode
asimtotik
memberikan persamaan gerak gelombang
internal. Selanjutnya, penyelesaian persamaan
gerak akan dimisalkan berupa gelombang
soliter.
Studi kasus pada fluida dua lapisan akan
diberikan sebagai contoh. Fluida dua lapisan
adalah fluida yang terdiri atas dua lapisan
yang masing-masing memiliki rapat massa
yang konstan.
Tujuan
Berdasarkan latar belakang yang diuraikan
di atas, tujuan penulisan ini adalah
menyederhanakan persamaan Long menjadi
bentuk tunak persamaan KdV dengan metode
asimtotik, mencari solusi gelombang soliter
dari persamaan KdV serta penerapan solusi
gelombang soliter pada fluida dua lapisan dari
gelombang soliter yang dipenuhi.
Sistematika Penulisan
Secara umum, tulisan ini terdiri atas empat
bab. Bab Pendahuluan memaparkan latar
belakang permasalahan dan tujuan penulisan.
Bab Landasan Teori memberikan teori-teori
yang menunjang pembahasan masalah, seperti
persamaan dasar fluida, syarat batas, serta
konsep dasar metode asimtotik. Bab
Pembahasan
menjelaskan
penurunan
persamaan gerak gelombang internal dengan
formulasi Lagrange dengan studi kasus pada
fluida dua lapisan. Sedangkan Bab Simpulan
berisi kesimpulan pokok dari keseluruhan
penulisan.
LANDASAN TEORI
Teori-teori yang digunakan pada Bab
Landasan Teori ini, disarikan dari buku
[Streeter, 1948], [Jaharuddin, 2004] dan
[Hinch, 1992]. Pada bagian pertama akan
dibahas penurunan persamaan dasar fluida
ideal. Persamaan ini banyak digunakan dalam
penurunan persamaan gerak gelombang
internal. Dalam proses penurunan persamaan
gerak gelombang internal akan digunakan
suatu metode yang disebut metode asimtotik.
Pembahasan mengenai metode asimtotik
diberikan pada bagian kedua bab ini.
Persamaan Dasar Fluida
Dalam menurunkan persamaan dasar
fluida diperlukan hukum kekekalan massa dan
hukum kekekalan momentum.
Hukum kekekalan massa pada suatu sistem
dinyatakan secara sederhana sebagai laju
perubahan massa dalam elemen luas sama
dengan selisih antara massa yang masuk
dengan massa yang keluar pada elemen luas
tersebut.
Misalkan rapat massa fluida dinotasikan
dengan ρ, kecepatan horizontal partikel u dan
kecepatan vertikal partikel w. Karena sistem
fisis yang di tinjau berupa elemen luas yaitu
dua dimensi, maka ρ , u dan w masing-masing
bergantung pada koordinat elemen luas
x dan z , serta waktu t.
z
ρw z+∆z
z + ∆z
ρu x+∆x
ρu x
z
∆z
∆x
x ρw x + ∆x
z
x
Gambar 1. Laju perubahan massa
Jika ρu x ∆z dan ρw z ∆x masing-masing
menyatakan massa yang masuk ke arah
horizontal dan vertikal, ρu x + ∆x ∆z dan
ρw z + ∆z ∆x
masing-masing
menyatakan
massa yang keluar pada arah horizontal dan
vertikal, maka laju perubahan massa pada
elemen luas yang disajikan dalam Gambar 1
berdasarkan prinsip kekekalan massa dapat
ditulis
∂ρ
∆x∆z
= ρu x ∆z + ρw z ∆x − ρu x + ∆x ∆z
∂t
− ρw z + ∆z ∆x,
atau
∆x∆z
(
∂ρ
= ∆z ρu x − ρu x + ∆x
∂t
(
)
)
(1)
+ ∆x ρw z − ρw z + ∆z .
Jika kedua ruas persamaan (1) dibagi dengan
∆x∆z , diperoleh
ρu x − ρu x + ∆x
∂ρ
=
∆x
∂t
(2)
ρw z − ρw z + ∆z
.
+
∆z
∆x → 0
dan
∆z → 0 , maka
Untuk
persamaan menjadi
∂ρ
∂(ρu ) ∂(ρw)
(3)
=−
−
.
∂t
∂x
∂z
(
)
(
)
Selanjutnya, jika dinotasikan
⎛ ∂ ∂ ⎞
∇=⎜ , ⎟
⎝ ∂x ∂z ⎠
r
dan q = (u, w) , serta notasi turunan total
terhadap waktu seperti berikut
∂
∂
D
∂
= +u + w ,
∂x
Dt ∂t
∂z
maka persamaan (3) dapat dinyatakan dalam
bentuk vektor
r
Dρ
= − ρ (∇ • q ) .
(4)
Dt
Karena fluida ideal, berarti tak termampatkan,
maka
Dρ
= 0,
(5)
Dt
sehingga dari persamaan (4) memberikan
r
∇ • q = 0.
(6)
Persamaan (5) dan (6) masing –masing dapat
ditulis
ρ + uρ x + wρ z = 0,
(7)
u x + wz = 0.
Persamaan (7) disebut persamaan kontinuitas
fluida yang tak termampatkan.
Selanjutnya, hukum kekekalan momentum
dinyatakan sebagai laju perubahan momentum
sama dengan selisih dari momentum yang
z
z
ρw∆xu z + ∆z
z + ∆z
z + ∆z
∆z
ρu∆zu x
ρu∆zu x+ ∆x
∆z
ρu∆zw x
z
z
∆x
x
x + ∆x
x
masuk dengan momentum yang keluar
ditambah gaya-gaya yang bekerja pada
elemen luas yang ditinjau.
Untuk menyatakan hukum kekekalan
momentum tersebut secara matematis,
pandang elemen luas dalam dua komponen,
yaitu komponen-x dan komponen-z yang
masing-masing diillustrasikan pada Gambar 2
dan Gambar 3.
Perubahan rata-rata momentum pada arah
x adalah
∂ (ρu )
= ∆z ρuu x − ρuu x + ∆x +
∆x∆z
∂t
∆x ρwu z − ρwu z + ∆z +
(8)
(
∆z (P x − P
)
x + ∆x
),
)
sedangkan perubahan rata-rata momentum
pada arah z adalah
∂ (ρw)
= ∆z ρuw x − ρuw x + ∆x +
∆x∆z
∂t
∆x ρww z − ρww z + ∆z +
(9)
(
)
(
∆x(P z − P
)
z + ∆z
) + ρg∆x∆z.
Bentuk
⎛ ∂ρu ⎞
∆x∆z ⎜
⎟
⎝ ∂t ⎠
adalah laju perubahan momentum dalam
elemen luas pada komponen-x, dan bentuk
⎛ ∂ρw ⎞
∆x∆z ⎜
⎟
⎝ ∂t ⎠
adalah perubahan momentum elemen luas
pada komponen-z. Karena fluida ideal, berarti
fluida tak kental, maka tegangan geser
diabaikan. Jadi bentuk ∆z (P x − P x + ∆x ) pada
persamaan (8) menyatakan jumlah gaya yang
bekerja pada komponen-x, sedangkan bentuk
∆x P z − P z + ∆z + ρg∆x∆z pada persamaan
)
x + ∆x
ρu∆zw x + ∆x
x
ρw∆xw z
Gambar 2. Komponen x dari
elemen luas yang ditinjau
(
∆x
x
ρw∆xu z
(
ρw∆xw z + ∆z
Gambar 3. Komponen z dari
elemen luas yang ditinjau
(9) menyatakan jumlah gaya yang bekerja
pada komponen-z.
Untuk menyederhanakan persamaan (8)
dan (9), kedua ruas dari persamaan tersebut
dibagi oleh ∆x∆z dan untuk ∆x → 0,
∆z → 0 diperoleh
∂ (ρwu ) ∂ (ρwu ) ∂P
∂ (ρu )
,
−
−
=−
∂x
∂z
∂x
∂t
(10)
∂ (ρuw) ∂ (ρww) ∂P
∂ (ρw)
+ ρg ,
−
−
=−
∂x
∂z
∂x
∂t
(11)
masing-masing pada komponen x dan z .
Dengan
menggunakan
persamaan
kontinuitas untuk fluida tak termampatkan,
persamaan (10) dan (11) menjadi
Du
∂P
ρ
,
=−
Dt
∂x
(12)
Dw
∂P
ρ
+ ρg ,
=−
Dt
∂z
atau dapat juga ditulis
ρ (ut + uu x + wu z ) + Px = 0,
(13)
ρ (wt + uwx + wwz ) + Pz + ρg = 0.
Persamaan (13) sering disebut sebagai
persamaan momentum (persamaan Euler).
Dengan demikian, dari persamaan (7) dan
(13), persamaan dasar fluida ideal diberikan
dalam sistem persamaan berikut:
ρ t + uρ x + wρ z = 0,
u x + wz = 0,
ρ (ut + uu x + wu z ) + Px = 0,
ρ (wt + uwx + wwz ) + Pz + ρg = 0.
Dua persamaan pertama adalah persamaan
kontinuitas, sedangkan dua persamaan
terakhir adalah persamaan Euler.
Syarat Batas
Berikut ini akan dibahas syarat batas
kinematik dan syarat batas dinamik. Syarat
batas kinematik terjadi karena gerak partikel,
sedangkan syarat batas dinamik terjadi karena
adanya gaya-gaya yang bekerja pada fluida.
Misalkan kurva yang membatasi air dan
udara dengan persamaan z = η 0 (x, t ) . Bentuk
implisit dari persamaan kurva dapat
dinyatakan dengan S (x, z , t ) = η 0 (x, t ) − z = 0 ,
sehingga diperoleh
DS
(14)
= 0.
Dt
Berdasarkan notasi turunan total, persamaan
(14) menjadi
di z = η 0 (x, t ).
η 0 t + uη 0 x − w = 0
(15)
Persamaan (15) disebut syarat batas kinematik
pada permukaan fluida.
Berikut ini akan diturunkan syarat batas
dinamik. Dalam notasi vektor persamaan (13)
ditulis
r
r
Dq
ρ
= −∇p + ρg.
(16)
Dt
Dengan menggunakan notasi turunan total
diperoleh
r
r r r
Dq
= ∂ t q + (q.∇ )q.
(17)
Dt
Persamaan (17) dapat ditulis
r
r r
r
Dq
= ∂ t q + (q × (∇ × q )) + ∇
Dt
( qr ).
2
1
2
Jika partikel fluida diasumsikan tak berotasi
(∇ × qr = 0) , maka terdapat suatu fungsi skalar
φ (x, z, t ) yang disebut kecepatan potensial
r
dan memenuhi q = ∇φ . Persamaan (17)
menjadi
r
Dq
= ∂ t (∇φ ) + ∇ 12 φ x 2 + φ z 2 .
(18)
Dt
((
))
Selanjutnya, substitusi persamaan (18) ke
dalam persamaan (16), kemudian setelah
diintegralkan terhadap koordinat ruang,
diperoleh
(
)
φt + φ x + φ z + ρ + gz = C (t )
1
2
2
2
P
(19)
dengan C (t ) fungsi sembarang dari t ,
sedangkan peubah z menyatakan ketinggian
partikel yang diamati dari dasar. Persamaan
(19) disebut sebagai persamaan Bernoulli.
Karena C (t ) hanya fungsi dari t , maka dapat
digabung ke dalam fungsi φ . Untuk itu
misalkan C (t ) = 0 dan tekanan udara konstan,
maka persamaan (19) dapat ditulis
(
)
φt + 12 φ x 2 + φ z 2 + gη 0 = 0 di z = η 0 ( x, t ).
(20)
Persamaan (20) disebut syarat batas dinamik
pada permukaan fluida.
Metode Asimtotik
Salah satu cara untuk menyelesaikan
masalah nilai batas / MNA adalah dengan
menggunakan
Metode
Asimtotik.
Penyelesaian dengan metode ini dinyatakan
dalam bentuk deret atau dalam bentuk uraian
asimtotik.
Misalkan
f (t , x, α ) : R × R n × R → R n kontinu
terhadap t ∈ R dan x ∈ R n , dan α > 0
merupakan parameter kecil. Fungsi
f
mempunyai uraian terhadap parameter kecil
α . Untuk kasus yang khusus, f mempunyai
uraian Taylor terhadap α , yaitu
f (t , x, α ) = f (t , x,0 ) + αf1 (t , x )
+ α 2 f 2 (t , x ) + ... + α n f n (t , x )
dengan koefisien f 1 , f 2 ,... bergantung pada t
dan x .
Perhatikan masalah nilai awal berikut:
&x& + 4αx& + 4 x = 0, ,
dengan syarat awal x(0) = 1 , x& (0) = 0 . Solusi
eksak yang diperoleh adalah
x(t ) = e − 2αt cos⎛⎜ 2 1 − α 2 t ⎞⎟
⎠
⎝
1
+α
e − 2αt sin ⎛⎜ 2 1 − α 2 t ⎞⎟
2
⎝
⎠
1−α
Akan dicari solusi masalah di atas dengan
metode asimtotik. Misalkan solusi persamaan
tersebut dalam bentuk uraian asimtotik:
x(t ) = x0 (t ) + αx1 (t ) + α 2 x2 (t ) + ...
Substitusikan pemisalan solusi di atas ke
dalam persamaan differensial, koefisien untuk
α 0 memberikan persamaan
&&
x0 + 4 x0 = 0 ,
α1
memberikan
sedangkan koefisien
persamaan
&x&1 + 4 x1 + 4 x& 0 = 0,
dan seterusnya diperoleh
&x&n + 4 xn + 4 x& n −1 = 0, n = 1, 2, ....
Selanjutnya, dengan menggunakan syarat
awal
x0 (0) = 1, x& 0 (0) = 0,
xn (0) = 0, x& n (0) = 0, n = 1,2,..
tidak
jauh
berbeda
sehingga
dapat
disimpulkan bahwa metode asimtotik dapat
digunakan untuk menyelesaikan suatu
masalah nilai awal.
diperoleh :
x0 ( t ) = cos 2t
x1 ( t ) = sin 2t − 2t cos 2t ,
Sehingga solusi MNA dengan
asimtotik adalah
1
metode
x ( t ) = cos 2t + α ( sin 2t − 2t cos 2t ) .
-4
-2
2
4
-1
Solusi masalah nilai awal di atas baik
secara eksak maupun dengan metode
asimtotik diilustrasikan pada Gambar 4
dengan menggunakan α = 0.1 .
Pada Gambar 4, terlihat bahwa solusi
eksak dan solusi dengan metode asimtotik
-2
solusi eksak
solusi asimtotik
Gambar 4. Perbandingan solusi MNA eksak
dengan solusi MNA metode asimtotik
PEMBAHASAN
Model dan Asumsi
Tinjau persamaan dasar fluida ideal yang
telah diperoleh pada bagian sebelumnya,
seperti berikut:
ρ t + uρ x + wρ z = 0,
u x + wz = 0,
ρ (u t + uu x + wu z ) + Px = 0,
ρ (wt + uwx + wwz ) + Pz + ρg = 0.
(21)
Selanjutnya, gunakan asumsi aliran fluida
yang tunak. Ilustrasi dari asumsi ini,
dijelaskan
dengan
memisalkan
suatu
gelombang difoto, dan gelombang tersebut
bergerak seakan-akan bingkai foto yang
bergerak, sehingga kecepatan gelombang
sama dengan kecepatan bingkai, gelombang
tersebut akan terus bergerak misalkan ke arah
kanan dengan kecepatan c, maka koordinat
foto X dapat ditulis X = x − ct , sehingga
∂x = ∂X ,
Oleh karena itu, bentuk tunak dari
persamaan (21a) dapat ditulis
−cρ X + uρ X + wρ z = 0 ,
atau
Uρ X + wρ z = 0
dengan U = u − c . Sementara dari persamaan
(21b) diperoleh
U X + wz = 0 .
Dengan cara yang sama, diperoleh bentuk
tunak dari persamaan (21c) dan (21d).
Untuk memudahkan penulisan, notasi
U pada setiap persamaan ditulis dalam notasi
u , seperti pada persamaan berikut
uρ x + wρ z = 0,
ρ (uu x + wu z ) + Px = 0,
ρ (uwx + wwz ) + Pz + ρg = 0.
maka persamaan (23) menjadi
Dξ 1 ∂ρ ∂ ⎛ 1 ⎛ 2
2 ⎞
+
⎜ ⎜ u + w ⎞⎟ ⎟
⎝
⎠⎠
Dt ρ ∂x ∂z ⎝ 2
−
1 ∂ρ ∂ ⎛ 1 ⎛ 2
2 ⎞ g ∂ρ = 0,
⎜ ⎜ u + w ⎞⎟ ⎟ +
⎠ ⎠ ρ ∂x
ρ ∂x ∂x ⎝ 2 ⎝
(24)
dengan
∂
D
∂
=u +w .
∂x
Dt
∂z
Selanjutnya, definisikan fungsi arus ψ ,
yaitu fungsi yang memenuhi
u = −ψ z ,
∂ t = −c∂ X .
u x + wz = 0,
∂
ρ (uu x + wu z )
∂z
(23)
∂
− ρ (uwx + ww z ) − gρ x = 0.
∂x
Kemudian jika dimisalkan
ξ = wx − u z ,
(22)
Persamaan (22) adalah persamaan dasar
fluida ideal dengan aliran tunak. Persamaan
ini akan disederhanakan menjadi persamaan
Long. Untuk itu, turunkan persamaan (22c)
terhadap z dan persamaan (22d) terhadap x ,
masing-masing diperoleh
∂
ρ (uu x + wu z ) + Pxz = 0,
∂z
∂
ρ (uwx + wwz ) + Pzx + gρ x = 0 .
∂x
Eliminasi Pxz menghasilkan
dan
w =ψ x .
(25)
Berdasarkan persamaan (22a), diperoleh
Dρ
= 0,
Dt
sehingga ρ hanya bergantung pada ψ ,
misalkan ρ = ρ (ψ ) .
Jika persamaan (25) disubstitusikan ke
dalam persamaan (24) dan selanjutnya
diintegralkan terhadap koordinat ruang, maka
diperoleh
ψ xx + ψ zz
(26)
1 dρ ⎛ 1 2 1 2
⎞
+
⎜ ψ x + ψ z + gz ⎟ = G (ψ ),
2
ρ dψ ⎝ 2
⎠
(Penurunan persamaan (26) dapat dilihat pada
Lampiran A)
dengan G (ψ ) adalah konstanta integrasi yang
dapat diperoleh berdasarkan kondisi upstream
(x → ±∞ ) . Kondisi upstream adalah kondisi
dimana jauh di kiri dan di kanan garis arus
hampir berupa garis lurus. Jika kondisi
upstream yang diberikan berbentuk ψ → cz
dan ρ = ρ 0 ( z ) , maka
1 dρ ⎛ gψ 1 2 ⎞
(27)
+ c ⎟.
⎜
2 ⎠
ρ dψ ⎝ c
Dengan demikian persamaan (26) menjadi
1 dρ ⎛ 1 2 1 2
⎞
ψ xx + ψ zz +
⎜ ψ x + ψ z + gz ⎟
ρ dψ ⎝ 2
2
⎠
1 dρ ⎛ gψ 1 2 ⎞
=
+ c ⎟.
⎜
ρ dψ ⎝ c
2 ⎠
(28)
G (ψ ) =
Persamaan (28) sering disebut persamaan
Long.
Dalam proses penurunan selanjutnya,
diperkenalkan peubah tak berdimensi berikut
ψ′ =
ψ
x′ =
;
ch
x
z′ =
;
h
z
.
h
(29)
Berdasarkan peubah baru ini, persamaan (28)
menjadi
ψ ′x′x′ + ψ ′z′z ′
(
)
1 dρ ⎛ 1
gh
⎞
2
2
⎜ ψ ′x′ + ψ ′z′ − 1 + 2 (z ′ −ψ ′)⎟
ρ dψ ′ ⎝ 2
c
⎠
= 0.
+
(30)
Untuk memudahkan penulisan, maka tanda
aksen akan dihilangkan. Karena kondisi
upstream yang diberikan, maka persamaan
(30) menjadi
ψ xx + ψ zz
+
(
)
gh
1 dρ 0 ⎛ 1
⎞
2
2
⎜ ψ x + ψ z − 1 + 2 ( z − ψ )⎟
ρ 0 dψ ⎝ 2
c
⎠
= 0.
(31)
(Penurunan persamaan (31) dapat dilihat pada
Lampiran A)
Untuk memudahkan interpretasi dalam
penurunan persamaan gerak gelombang
internal, maka akan digunakan formulasi
seperti berikut ini.
Formulasi Lagrange
Formulasi Lagrange diperoleh dengan
memisalkan
z = f ( x,ψ ) .
Dengan
menggunakan aturan rantai diperoleh
ψx = −
ψz =
ψ xx =
1 ∂ ⎛⎜ 1 ⎞⎟
.
fψ ∂ψ ⎜⎝ fψ ⎟⎠
+ ρ 0ψ gh(z −ψ ) = 0.
Khususnya
f ( x, Z ) = Z + η ( x, Z )
(34)
dengan Z = ψ , persamaan (33) menjadi
⎛ η
c 2 ρ 0 ⎜⎜ x
⎝ 1+ηZ
⎞
⎟⎟
⎠x
(
2
2
1
⎛
⎜ 2 η Z + 2 ηZ −η x
+ ⎜ c ρ0
(1 + η Z )2
⎜
⎝
) ⎞⎟
⎟
⎟
⎠Z
(35)
+ ρ 0 N 2η = 0.
(Penurunan persamaan (32), (33) dan (35)
dapat dilihat pada Lampiran B)
Persamaan (35) berlaku pada daerah
0 < Z < 1 , sedangkan untuk Z = 0 dan Z = 1
diperoleh dengan cara berikut.
Untuk Z = 0 , diasumsikan dasar rata
sehingga w = 0 , atau ψ x = 0 . Hal ini
berakibat tidak terjadi gelombang di dasar
permukaan (di Z=0). Jadi di Z=0, nilai η = 0 .
Sedangkan untuk Z = 1 , syarat batas
dinamiknya berbentuk
1
2
(ψ
2
x
)
+ ψ z 2 − c 2 + gz = 0, di z = η . (36)
(Penurunan persamaan (36) dapat dilihat pada
Lampiran B)
Kemudian, dengan menggunakan peubah pada
persamaan (29) , persamaan (36) menjadi
)
η = −σc 2 12 ψ ′x′ 2 + ψ ′z′ 2 − 1 .
(37)
Untuk memudahkan penulisan, hilangkan
tanda aksen pada persamaan (37).
1
,
fψ
∂ ⎛⎜ f x ⎞⎟ f x ∂
−
−
∂x ⎜⎝ fψ ⎟⎠ fψ ∂ψ
2
2
⎛
⎛ ⎛⎛
⎞ ⎞ ⎞⎟
⎜
⎜ 1 ⎜ f ⎞ ⎛ 1 ⎞⎟
⎟⎟
+ ⎜ c 2 ρ0 ⎜ ⎜ ⎜ x ⎟ + ⎜
− 1⎟ ⎟ ⎟ (33)
⎜
⎟
⎜
⎟
f
f
2
⎟⎟⎟
⎜ ⎜⎝ ψ ⎠ ⎝ ψ ⎠
⎜
⎠ ⎠ ⎠ψ
⎝ ⎝
⎝
(
fx
,
fψ
ψ xx =
⎛ f ⎞
− c2 ⎜ x ⎟
⎜ fψ ⎟
⎝
⎠x
⎛ fx ⎞
⎜−
⎟,
⎜ fψ ⎟
⎝
⎠
(32)
Jika persamaan (32) disubstitusikan ke dalam
persamaan (31), diperoleh
Selanjutnya, substitusikan persamaan
(32) dan f pada persamaan (34) ke dalam
persamaan (37), sehingga diperoleh
η = σ c2
(
η Z + 12 η Z 2 −η x 2
(1 +η Z )
2
).
(38)
Dengan demikian persamaan gerak
gelombang internal pada fluida ideal untuk
aliran tunak dalam
diberikan oleh
⎛ η ⎞
c 2 ρ 0 ⎜⎜ x ⎟⎟
⎝ 1+ηZ ⎠ x
formulasi
(
2
2
1
⎛
⎜ 2 η Z + 2 η Z −η x
+ ⎜ c ρ0
(1 + η Z )2
⎜
⎝
+ ρ 0 N 2η = 0,
dengan kondisi batas
η=0
(
η + 1 η −η
η =σ c Z 2 Z 2 x
(1 +ηZ )
2
2
, di
2
),
di
Lagrange
) ⎞⎟
⎟
⎟
⎠Z
(c
ρ 0η1Z
)
Z
+ ρ 0 N 2η1 = 0 , 0 < Z < 1
η1 = 0 ,
Z =0
(45)
σc0 η1Z − η1 = 0 ,
Z = 1.
Kemudian, dengan menggunakan pemisahan
peubah, yaitu
η1 = A( X )φ ( Z ),
(46)
2
Z=0
Z = 1.
persamaan (45) memberikan masalah nilai
eigen untuk φ Z , yaitu
( )
(c0 ρ 0φ Z ) Z + ρ 0 N 2φ = 0, 0 < Z < 1
2
Persamaan Gerak Gelombang Internal
Jika persamaan (39) diuraikan, maka
diperoleh
c 2 ρ 0η xx + c 2 ρ 0 Z η Z − 32 η Z 2
(
2
0
(39)
(40)
Selanjutnya akan ditentukan solusi persamaan
(39) dengan syarat batas pada persamaan (40)
dengan menggunakan metode asimtotik.
φ = 0,
Z = 0 (47)
σ c0 2φ Z − φ = 0,
Selanjutnya koefisien α
(c
2
0
ρ 0η 2 Z
)
+ c ρ 0 (η ZZ − η Zη ZZ ) + c ρ 0 2η Zη ZZ
2
Jika persamaan (43) dan (44) kemudian
disubstitusikan ke dalam persamaan (41) dan
memberikan
(40), maka koefisien α
persamaan berikut
)
Z
2
Z = 1.
memberikan
+ ρ 0 N η 2 + F = 0,
2
0 < Z
Untuk semua kasih sayang……
Dari kedua orangtuaku yang begitu luar biasa.”
GELOMBANG SOLITER INTERNAL
PADA ALIRAN TUNAK
(Studi kasus pada fluida dua lapisan)
Oleh:
SAIDAH
G54101040
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
RINGKASAN
SAIDAH. Gelombang soliter internal pada aliran tunak (Studi kasus pada fluida dua lapisan).
Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI.
Gelombang internal adalah suatu gelombang yang terjadi di bawah permukaan laut.
Karena gelombang ini terjadi di bawah laut, maka gelombang ini tidak terlihat secara kasat mata,
tetapi dapat terdeteksi keberadaannya berdasarkan pola tertentu di permukaan. Salah satu
gelombang internal yang memiliki peranan penting dalam aplikasi adalah gelombang soliter
internal. Gelombang soliter ini bergerak tanpa mengalami perubahan bentuk dan kecepatan serta
sering muncul pada waktu dan tempat yang sama. Keuntungan mengetahui perilaku gelombang
soliter ini diantaranya dalam bidang perminyakan adalah pada pembangunan tiang penyangga
anjungan minyak yang harus memperhitungkan kekuatan gelombang soliter tersebut.
Tulisan ini membahas pendekatan matematis (yang berupa suatu formulasi Lagrange) dari
gelombang soliter internal. Untuk membatasi masalah, fluida yang ditinjau adalah fluida ideal dan
memiliki aliran yang tunak. Hasil yang diperoleh adalah berupa persamaan KdV yang merupakan
persamaan gerak gelombang internal. Salah satu penyelesaian persamaan KdV yang ditinjau
adalah berupa gelombang soliter. Untuk lebih jelasnya diberikan detail contoh kasus berupa fluida
dua lapisan. Fluida dua lapisan adalah fluida yang terdiri dari dua lapisan yang masing-masing
memiliki rapat massa yang konstan.
GELOMBANG SOLITER INTERNAL
PADA ALIRAN TUNAK
(Studi kasus pada fluida dua lapisan)
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
SAIDAH
G54101040
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
Judul : Gelombang Soliter Internal pada Aliran Tunak
(Studi kasus pada fluida dua lapisan)
Nama : Saidah
NRP : G54101040
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Jaharuddin, MS.
NIP 132045530
Drs. Siswandi, MS.
NIP 131957320
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.
NIP 131473999
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tembilahan pada tanggal 28 Februari 1983 yang merupakan anak
kedua dari tiga bersaudara dari pasangan H. Irham Said dan Hj. Nurasiah.
Pada tahun 1989 penulis memulai pendidikan formalnya di SD Inpres 16 Tekulai Hulu,
dengan alasan mengikuti orang tua penulis melanjutkan tahun kedua pendidikan dasarnya di SD
Negeri 008 Tembilahan (1990-1995). Kemudian penulis melanjutkan pendidikannya ke SLTP
Negeri 2 Tembilahan (1995-1998) dan diteruskan ke SMU Negeri 1 Depok (1998-2001). Penulis
diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur UMPTN pada program studi Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama kuliah penulis pernah aktif dalam kepengurusan GUMATIKA selama dua periode
(2001/2002 dan 2002/2003) dan beberapa kali masuk kedalam kepanitiaan di BEM FMIPA IPB.
PRAKATA
Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Puji syukur kehadirat Allah SWT penulis ucapkan atas limpahan nikmat yang tiada
hentinya, serta rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang
telah membantu dalam penulisan skripsi ini, yaitu :
1. Kepada Bapak Dr. Jaharuddin, MS. selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Siswandi, MS.
selaku pembimbing II, yang telah memberikan nasehat, arahan, serta bimbingannya.
2. Untuk kedua orang tua yang tak henti-hentinya memberikan dukungan moral dan spritual
dalam menyelesaikan skripsi ini. Aji dan Mamak adalah orang tua yang luar biasa bagi
penulis.
3. Untuk kakak dan adik penulis, Dina dan Ari, walaupun dari kejauhan masih sempat
memberikan perhatian dan kasih sayang yang berharga bagi penulis. Untuk paman penulis,
Haris karena bisa menjadi seorang kakak laki-laki bagi penulis, serta seluruh keluarga besar
H. Said Lailuk (alm) dan H. M. Nur (alm), khususnya keponakan tercinta Tsabita.
4. Untuk Retta sahabat masa sekolah yang masih setia berbagi kisah, cerita, tawa, dan air mata.
Semoga persahabatan ini takkan memudar ditelan waktu.
5. Untuk teman-teman Math’38 yang telah melukis hari-hari penulis dengan berbagai warna
empat tahun terakhir terutama Nia, Eva, Niken, Feidy, Nanik, Senny, Endah, Hawa, Yana,
Linda, Wulan, Siti, serta Agam. Terima kasih pula pada Hasif, Azhari dan Niken atas
kesediaannya menjadi pembahas, serta Devi yang berjuang bersama penulis.
6. Untuk seluruh dosen Matematika IPB yang telah mendidik, membimbing serta menurunkan
ilmu pengetahuan yang sangat berguna bagi penulis.
7. Untuk seluruh staf TU, Bu Ade, Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Bu Marissi, Mas Juanda,
Mbak Yanti serta Bu Sam, yang telah banyak membantu penulis dari Tingkat I hingga
sekarang, khususnya buat Bu Susi atas dorongan dan nasehat-nasehat berarti sebelum dan
selama proses tugas akhir ini.
8. Untuk seluruh kakak angkatan 37, 36, dan 35 yang telah bersedia membagi pengalaman
berharga baik dalam bidang akademik maupun perjalanan hidup, terutama Mbak Ida’37. Serta
adik angkatan 39 dan 40 untuk kebersamaannya.
9. Untuk semua teman-teman masa TPB, khusunya Eka (Kimia 38) dan Adisti (Biologi 38).
10. Untuk teman-teman di SAFA khususnya Kak Siti (Terima kasih karena selalu ada untuk
penulis), Braja (Terima kasih untuk anti virus dan printer-printernya), Reli, Ami, Daffy, Joey,
Mami Ati, Kang Syarief, Mbak Endar, Mbak Rani, Mbak Tina, Ning, Oki, Nidia, Wita, Novi,
Iwa, Bill, Helmi, bersama kalian ada beban yang hilang.
Semoga skripsi ini bermanfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan berguna bagi
mereka yang membacanya. Amin.
Akhir kata, Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Bogor, Februari 2006
Saidah
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI……………………………………………………………………………………....vii
DAFTAR GAMBAR……………………………………………………………………………..viii
DAFTAR LAMPIRAN…………………………………………………………………………...viii
PENDAHULUAN………………………………………..………..………………………………..1
Latar Belakang……………………………….……...…………………………………….1
Tujuan……………………………………………………………………………………...1
Sistematika Penulisan……………………………………………………………………...1
LANDASAN TEORI………………..………………………………………………………………2
Persamaan Dasar Fluida……………………………………………….....……..........……2
Syarat Batas……………………………………………………………………...………...3
Metode Asimtotik………………………………………………………………………….4
PEMBAHASAN…………………………………………………………………………………….6
Model dan Asumsi………………………………………………………………………...6
Formulasi Langrange…………………………………………………………………...…7
Persamaan Gerak Gelombang Internal…………………………………………………….8
Solusi Gelombang Soliter ……………………………………………………………….9
Contoh Kasus Fluida dua Lapisan… .……..……..……………..………......……..............9
SIMPULAN ………………..…….……………………....…………………………..…..…..........12
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………………………..12
DAFTAR GAMBAR
Laju perubahan massa …………………………………………………………......................….... 2
Komponen x dari elemen luas yang ditinjau……….………………………………........................ 3
Komponen z dari elemen luas yang ditinjau…………………………………………..................... 3
Hasil solusi persamaan…………………………………………………………….......................... 5
Garis-garis arus mode internal dengan d=0.1……………...………………………........................11
Garis-garis arus mode permukaan….……………………………………………...........................11
Garis-garis arus mode internal dengan d=0.6…..….......……….…..….…………..........................11
...
DAFTAR LAMPIRAN
A......……………………………………………………………………………................…........ 13
B.………....…………………………………………………………………………….................. 14
C………………….…………………………………………………………………….................. 17
D ………………………...…..........……………………………………….................................... 20
...
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Fluida merupakan zat yang dapat mengalir
dan memberikan sedikit hambatan terhadap
perubahan bentuk ketika ditekan. Zat yang
termasuk fluida adalah zat cair dan gas. Pada
penulisan ini, jenis fluida yang dibahas adalah
fluida mengalir. Fluida disebut mengalir jika
fluida itu bergerak terus terhadap sekitarnya.
Jika fluida yang mengalir tidak mengalami
perubahan volume atau massa jenis ketika
ditekan, maka aliran fluida dikatakan tak
termampatkan (incompressible). Sedangkan,
jika aliran dimana tegangan geser diabaikan,
maka aliran disebut tak kental (inviscid).
Fluida yang memiliki sifat tak termampatkan,
dan tak kental disebut fluida ideal. Jika
kecepatan partikel yang diberikan konstan
terhadap waktu, maka aliran fluida dikatakan
tunak. Tulisan ini hanya meninjau fluifa ideal
yang tak berotasi (irrotasional) dan memiliki
aliran yang tunak (steady).
Salah satu fenomena yang terjadi pada
fluida adalah gelombang. Gelombang terjadi
karena adanya perbedaan rapat massa pada
batas antara dua fluida. Seperti gelombang
yang terdapat di permukaan air, gelombang
tersebut terjadi karena perbedaan rapat massa
air dan udara.
Selain gelombang permukaan (surface
wave), terdapat juga gelombang yang terjadi
di bawah permukaan. Gelombang ini yang
disebut gelombang internal. Gelombang
internal juga dapat ditemui di atmosfir
[Christie, 1992].
Salah satu jenis gelombang yang unik
adalah gelombang yang hanya memiliki satu
puncak,
disebut
gelombang
soliter.
Gelombang soliter internal dapat menjadi
masalah bagi lingkungan, seperti robohnya
tiang penyangga bangunan yang dibangun di
laut, atau naiknya polutan dari dasar laut ke
permukaan. Masalah-masalah ini memotivasi
para peneliti untuk lebih mengenali
karakteristik dan kekuatan gelombang
tersebut. Motivasi tersebut juga melahirkan
penulisan karya ilmiah ini.
Suatu penelitian mengenai gelombang
internal dalam fluida ideal dengan rapat massa
yang tidak konstan dilakukan oleh Long
[Long, 1953], yaitu dengan meninjau aliran
yang berbentuk tunak, dan persamaan gerak
yang diperoleh dinyatakan dalam fungsi arus.
Persamaan ini selanjutnya disebut persamaan
Long. Dari penelitian Tung [Tung et al.,
1982], persamaan Long digunakan untuk
memeriksa keberadaan suatu gelombang
soliter. Sementara Grimshaw [Grimshaw,
1997], menyatakan bahwa untuk gelombang
soliter dengan simpangan kecil, persamaan
Long dapat disederhanakan menjadi bentuk
tunak dari persamaan Korteweg-de Vries
(KdV).
Dalam tulisan ini, akan dimulai dengan
menurunkan suatu persamaan dasar fluida
ideal. Persamaan dasar fluida ideal tersebut
diturunkan dari prinsip kekekalan massa dan
kekekalan momentum. Kemudian, persamaan
dasar yang didapat, disederhanakan dengan
menggunakan asumsi bahwa fluida yang
ditinjau memiliki aliran yang tunak.
Formulasi berdasarkan asumsi aliran tunak
akan menggunakan suatu formulasi Lagrange,
kemudian
dengan
metode
asimtotik
memberikan persamaan gerak gelombang
internal. Selanjutnya, penyelesaian persamaan
gerak akan dimisalkan berupa gelombang
soliter.
Studi kasus pada fluida dua lapisan akan
diberikan sebagai contoh. Fluida dua lapisan
adalah fluida yang terdiri atas dua lapisan
yang masing-masing memiliki rapat massa
yang konstan.
Tujuan
Berdasarkan latar belakang yang diuraikan
di atas, tujuan penulisan ini adalah
menyederhanakan persamaan Long menjadi
bentuk tunak persamaan KdV dengan metode
asimtotik, mencari solusi gelombang soliter
dari persamaan KdV serta penerapan solusi
gelombang soliter pada fluida dua lapisan dari
gelombang soliter yang dipenuhi.
Sistematika Penulisan
Secara umum, tulisan ini terdiri atas empat
bab. Bab Pendahuluan memaparkan latar
belakang permasalahan dan tujuan penulisan.
Bab Landasan Teori memberikan teori-teori
yang menunjang pembahasan masalah, seperti
persamaan dasar fluida, syarat batas, serta
konsep dasar metode asimtotik. Bab
Pembahasan
menjelaskan
penurunan
persamaan gerak gelombang internal dengan
formulasi Lagrange dengan studi kasus pada
fluida dua lapisan. Sedangkan Bab Simpulan
berisi kesimpulan pokok dari keseluruhan
penulisan.
LANDASAN TEORI
Teori-teori yang digunakan pada Bab
Landasan Teori ini, disarikan dari buku
[Streeter, 1948], [Jaharuddin, 2004] dan
[Hinch, 1992]. Pada bagian pertama akan
dibahas penurunan persamaan dasar fluida
ideal. Persamaan ini banyak digunakan dalam
penurunan persamaan gerak gelombang
internal. Dalam proses penurunan persamaan
gerak gelombang internal akan digunakan
suatu metode yang disebut metode asimtotik.
Pembahasan mengenai metode asimtotik
diberikan pada bagian kedua bab ini.
Persamaan Dasar Fluida
Dalam menurunkan persamaan dasar
fluida diperlukan hukum kekekalan massa dan
hukum kekekalan momentum.
Hukum kekekalan massa pada suatu sistem
dinyatakan secara sederhana sebagai laju
perubahan massa dalam elemen luas sama
dengan selisih antara massa yang masuk
dengan massa yang keluar pada elemen luas
tersebut.
Misalkan rapat massa fluida dinotasikan
dengan ρ, kecepatan horizontal partikel u dan
kecepatan vertikal partikel w. Karena sistem
fisis yang di tinjau berupa elemen luas yaitu
dua dimensi, maka ρ , u dan w masing-masing
bergantung pada koordinat elemen luas
x dan z , serta waktu t.
z
ρw z+∆z
z + ∆z
ρu x+∆x
ρu x
z
∆z
∆x
x ρw x + ∆x
z
x
Gambar 1. Laju perubahan massa
Jika ρu x ∆z dan ρw z ∆x masing-masing
menyatakan massa yang masuk ke arah
horizontal dan vertikal, ρu x + ∆x ∆z dan
ρw z + ∆z ∆x
masing-masing
menyatakan
massa yang keluar pada arah horizontal dan
vertikal, maka laju perubahan massa pada
elemen luas yang disajikan dalam Gambar 1
berdasarkan prinsip kekekalan massa dapat
ditulis
∂ρ
∆x∆z
= ρu x ∆z + ρw z ∆x − ρu x + ∆x ∆z
∂t
− ρw z + ∆z ∆x,
atau
∆x∆z
(
∂ρ
= ∆z ρu x − ρu x + ∆x
∂t
(
)
)
(1)
+ ∆x ρw z − ρw z + ∆z .
Jika kedua ruas persamaan (1) dibagi dengan
∆x∆z , diperoleh
ρu x − ρu x + ∆x
∂ρ
=
∆x
∂t
(2)
ρw z − ρw z + ∆z
.
+
∆z
∆x → 0
dan
∆z → 0 , maka
Untuk
persamaan menjadi
∂ρ
∂(ρu ) ∂(ρw)
(3)
=−
−
.
∂t
∂x
∂z
(
)
(
)
Selanjutnya, jika dinotasikan
⎛ ∂ ∂ ⎞
∇=⎜ , ⎟
⎝ ∂x ∂z ⎠
r
dan q = (u, w) , serta notasi turunan total
terhadap waktu seperti berikut
∂
∂
D
∂
= +u + w ,
∂x
Dt ∂t
∂z
maka persamaan (3) dapat dinyatakan dalam
bentuk vektor
r
Dρ
= − ρ (∇ • q ) .
(4)
Dt
Karena fluida ideal, berarti tak termampatkan,
maka
Dρ
= 0,
(5)
Dt
sehingga dari persamaan (4) memberikan
r
∇ • q = 0.
(6)
Persamaan (5) dan (6) masing –masing dapat
ditulis
ρ + uρ x + wρ z = 0,
(7)
u x + wz = 0.
Persamaan (7) disebut persamaan kontinuitas
fluida yang tak termampatkan.
Selanjutnya, hukum kekekalan momentum
dinyatakan sebagai laju perubahan momentum
sama dengan selisih dari momentum yang
z
z
ρw∆xu z + ∆z
z + ∆z
z + ∆z
∆z
ρu∆zu x
ρu∆zu x+ ∆x
∆z
ρu∆zw x
z
z
∆x
x
x + ∆x
x
masuk dengan momentum yang keluar
ditambah gaya-gaya yang bekerja pada
elemen luas yang ditinjau.
Untuk menyatakan hukum kekekalan
momentum tersebut secara matematis,
pandang elemen luas dalam dua komponen,
yaitu komponen-x dan komponen-z yang
masing-masing diillustrasikan pada Gambar 2
dan Gambar 3.
Perubahan rata-rata momentum pada arah
x adalah
∂ (ρu )
= ∆z ρuu x − ρuu x + ∆x +
∆x∆z
∂t
∆x ρwu z − ρwu z + ∆z +
(8)
(
∆z (P x − P
)
x + ∆x
),
)
sedangkan perubahan rata-rata momentum
pada arah z adalah
∂ (ρw)
= ∆z ρuw x − ρuw x + ∆x +
∆x∆z
∂t
∆x ρww z − ρww z + ∆z +
(9)
(
)
(
∆x(P z − P
)
z + ∆z
) + ρg∆x∆z.
Bentuk
⎛ ∂ρu ⎞
∆x∆z ⎜
⎟
⎝ ∂t ⎠
adalah laju perubahan momentum dalam
elemen luas pada komponen-x, dan bentuk
⎛ ∂ρw ⎞
∆x∆z ⎜
⎟
⎝ ∂t ⎠
adalah perubahan momentum elemen luas
pada komponen-z. Karena fluida ideal, berarti
fluida tak kental, maka tegangan geser
diabaikan. Jadi bentuk ∆z (P x − P x + ∆x ) pada
persamaan (8) menyatakan jumlah gaya yang
bekerja pada komponen-x, sedangkan bentuk
∆x P z − P z + ∆z + ρg∆x∆z pada persamaan
)
x + ∆x
ρu∆zw x + ∆x
x
ρw∆xw z
Gambar 2. Komponen x dari
elemen luas yang ditinjau
(
∆x
x
ρw∆xu z
(
ρw∆xw z + ∆z
Gambar 3. Komponen z dari
elemen luas yang ditinjau
(9) menyatakan jumlah gaya yang bekerja
pada komponen-z.
Untuk menyederhanakan persamaan (8)
dan (9), kedua ruas dari persamaan tersebut
dibagi oleh ∆x∆z dan untuk ∆x → 0,
∆z → 0 diperoleh
∂ (ρwu ) ∂ (ρwu ) ∂P
∂ (ρu )
,
−
−
=−
∂x
∂z
∂x
∂t
(10)
∂ (ρuw) ∂ (ρww) ∂P
∂ (ρw)
+ ρg ,
−
−
=−
∂x
∂z
∂x
∂t
(11)
masing-masing pada komponen x dan z .
Dengan
menggunakan
persamaan
kontinuitas untuk fluida tak termampatkan,
persamaan (10) dan (11) menjadi
Du
∂P
ρ
,
=−
Dt
∂x
(12)
Dw
∂P
ρ
+ ρg ,
=−
Dt
∂z
atau dapat juga ditulis
ρ (ut + uu x + wu z ) + Px = 0,
(13)
ρ (wt + uwx + wwz ) + Pz + ρg = 0.
Persamaan (13) sering disebut sebagai
persamaan momentum (persamaan Euler).
Dengan demikian, dari persamaan (7) dan
(13), persamaan dasar fluida ideal diberikan
dalam sistem persamaan berikut:
ρ t + uρ x + wρ z = 0,
u x + wz = 0,
ρ (ut + uu x + wu z ) + Px = 0,
ρ (wt + uwx + wwz ) + Pz + ρg = 0.
Dua persamaan pertama adalah persamaan
kontinuitas, sedangkan dua persamaan
terakhir adalah persamaan Euler.
Syarat Batas
Berikut ini akan dibahas syarat batas
kinematik dan syarat batas dinamik. Syarat
batas kinematik terjadi karena gerak partikel,
sedangkan syarat batas dinamik terjadi karena
adanya gaya-gaya yang bekerja pada fluida.
Misalkan kurva yang membatasi air dan
udara dengan persamaan z = η 0 (x, t ) . Bentuk
implisit dari persamaan kurva dapat
dinyatakan dengan S (x, z , t ) = η 0 (x, t ) − z = 0 ,
sehingga diperoleh
DS
(14)
= 0.
Dt
Berdasarkan notasi turunan total, persamaan
(14) menjadi
di z = η 0 (x, t ).
η 0 t + uη 0 x − w = 0
(15)
Persamaan (15) disebut syarat batas kinematik
pada permukaan fluida.
Berikut ini akan diturunkan syarat batas
dinamik. Dalam notasi vektor persamaan (13)
ditulis
r
r
Dq
ρ
= −∇p + ρg.
(16)
Dt
Dengan menggunakan notasi turunan total
diperoleh
r
r r r
Dq
= ∂ t q + (q.∇ )q.
(17)
Dt
Persamaan (17) dapat ditulis
r
r r
r
Dq
= ∂ t q + (q × (∇ × q )) + ∇
Dt
( qr ).
2
1
2
Jika partikel fluida diasumsikan tak berotasi
(∇ × qr = 0) , maka terdapat suatu fungsi skalar
φ (x, z, t ) yang disebut kecepatan potensial
r
dan memenuhi q = ∇φ . Persamaan (17)
menjadi
r
Dq
= ∂ t (∇φ ) + ∇ 12 φ x 2 + φ z 2 .
(18)
Dt
((
))
Selanjutnya, substitusi persamaan (18) ke
dalam persamaan (16), kemudian setelah
diintegralkan terhadap koordinat ruang,
diperoleh
(
)
φt + φ x + φ z + ρ + gz = C (t )
1
2
2
2
P
(19)
dengan C (t ) fungsi sembarang dari t ,
sedangkan peubah z menyatakan ketinggian
partikel yang diamati dari dasar. Persamaan
(19) disebut sebagai persamaan Bernoulli.
Karena C (t ) hanya fungsi dari t , maka dapat
digabung ke dalam fungsi φ . Untuk itu
misalkan C (t ) = 0 dan tekanan udara konstan,
maka persamaan (19) dapat ditulis
(
)
φt + 12 φ x 2 + φ z 2 + gη 0 = 0 di z = η 0 ( x, t ).
(20)
Persamaan (20) disebut syarat batas dinamik
pada permukaan fluida.
Metode Asimtotik
Salah satu cara untuk menyelesaikan
masalah nilai batas / MNA adalah dengan
menggunakan
Metode
Asimtotik.
Penyelesaian dengan metode ini dinyatakan
dalam bentuk deret atau dalam bentuk uraian
asimtotik.
Misalkan
f (t , x, α ) : R × R n × R → R n kontinu
terhadap t ∈ R dan x ∈ R n , dan α > 0
merupakan parameter kecil. Fungsi
f
mempunyai uraian terhadap parameter kecil
α . Untuk kasus yang khusus, f mempunyai
uraian Taylor terhadap α , yaitu
f (t , x, α ) = f (t , x,0 ) + αf1 (t , x )
+ α 2 f 2 (t , x ) + ... + α n f n (t , x )
dengan koefisien f 1 , f 2 ,... bergantung pada t
dan x .
Perhatikan masalah nilai awal berikut:
&x& + 4αx& + 4 x = 0, ,
dengan syarat awal x(0) = 1 , x& (0) = 0 . Solusi
eksak yang diperoleh adalah
x(t ) = e − 2αt cos⎛⎜ 2 1 − α 2 t ⎞⎟
⎠
⎝
1
+α
e − 2αt sin ⎛⎜ 2 1 − α 2 t ⎞⎟
2
⎝
⎠
1−α
Akan dicari solusi masalah di atas dengan
metode asimtotik. Misalkan solusi persamaan
tersebut dalam bentuk uraian asimtotik:
x(t ) = x0 (t ) + αx1 (t ) + α 2 x2 (t ) + ...
Substitusikan pemisalan solusi di atas ke
dalam persamaan differensial, koefisien untuk
α 0 memberikan persamaan
&&
x0 + 4 x0 = 0 ,
α1
memberikan
sedangkan koefisien
persamaan
&x&1 + 4 x1 + 4 x& 0 = 0,
dan seterusnya diperoleh
&x&n + 4 xn + 4 x& n −1 = 0, n = 1, 2, ....
Selanjutnya, dengan menggunakan syarat
awal
x0 (0) = 1, x& 0 (0) = 0,
xn (0) = 0, x& n (0) = 0, n = 1,2,..
tidak
jauh
berbeda
sehingga
dapat
disimpulkan bahwa metode asimtotik dapat
digunakan untuk menyelesaikan suatu
masalah nilai awal.
diperoleh :
x0 ( t ) = cos 2t
x1 ( t ) = sin 2t − 2t cos 2t ,
Sehingga solusi MNA dengan
asimtotik adalah
1
metode
x ( t ) = cos 2t + α ( sin 2t − 2t cos 2t ) .
-4
-2
2
4
-1
Solusi masalah nilai awal di atas baik
secara eksak maupun dengan metode
asimtotik diilustrasikan pada Gambar 4
dengan menggunakan α = 0.1 .
Pada Gambar 4, terlihat bahwa solusi
eksak dan solusi dengan metode asimtotik
-2
solusi eksak
solusi asimtotik
Gambar 4. Perbandingan solusi MNA eksak
dengan solusi MNA metode asimtotik
PEMBAHASAN
Model dan Asumsi
Tinjau persamaan dasar fluida ideal yang
telah diperoleh pada bagian sebelumnya,
seperti berikut:
ρ t + uρ x + wρ z = 0,
u x + wz = 0,
ρ (u t + uu x + wu z ) + Px = 0,
ρ (wt + uwx + wwz ) + Pz + ρg = 0.
(21)
Selanjutnya, gunakan asumsi aliran fluida
yang tunak. Ilustrasi dari asumsi ini,
dijelaskan
dengan
memisalkan
suatu
gelombang difoto, dan gelombang tersebut
bergerak seakan-akan bingkai foto yang
bergerak, sehingga kecepatan gelombang
sama dengan kecepatan bingkai, gelombang
tersebut akan terus bergerak misalkan ke arah
kanan dengan kecepatan c, maka koordinat
foto X dapat ditulis X = x − ct , sehingga
∂x = ∂X ,
Oleh karena itu, bentuk tunak dari
persamaan (21a) dapat ditulis
−cρ X + uρ X + wρ z = 0 ,
atau
Uρ X + wρ z = 0
dengan U = u − c . Sementara dari persamaan
(21b) diperoleh
U X + wz = 0 .
Dengan cara yang sama, diperoleh bentuk
tunak dari persamaan (21c) dan (21d).
Untuk memudahkan penulisan, notasi
U pada setiap persamaan ditulis dalam notasi
u , seperti pada persamaan berikut
uρ x + wρ z = 0,
ρ (uu x + wu z ) + Px = 0,
ρ (uwx + wwz ) + Pz + ρg = 0.
maka persamaan (23) menjadi
Dξ 1 ∂ρ ∂ ⎛ 1 ⎛ 2
2 ⎞
+
⎜ ⎜ u + w ⎞⎟ ⎟
⎝
⎠⎠
Dt ρ ∂x ∂z ⎝ 2
−
1 ∂ρ ∂ ⎛ 1 ⎛ 2
2 ⎞ g ∂ρ = 0,
⎜ ⎜ u + w ⎞⎟ ⎟ +
⎠ ⎠ ρ ∂x
ρ ∂x ∂x ⎝ 2 ⎝
(24)
dengan
∂
D
∂
=u +w .
∂x
Dt
∂z
Selanjutnya, definisikan fungsi arus ψ ,
yaitu fungsi yang memenuhi
u = −ψ z ,
∂ t = −c∂ X .
u x + wz = 0,
∂
ρ (uu x + wu z )
∂z
(23)
∂
− ρ (uwx + ww z ) − gρ x = 0.
∂x
Kemudian jika dimisalkan
ξ = wx − u z ,
(22)
Persamaan (22) adalah persamaan dasar
fluida ideal dengan aliran tunak. Persamaan
ini akan disederhanakan menjadi persamaan
Long. Untuk itu, turunkan persamaan (22c)
terhadap z dan persamaan (22d) terhadap x ,
masing-masing diperoleh
∂
ρ (uu x + wu z ) + Pxz = 0,
∂z
∂
ρ (uwx + wwz ) + Pzx + gρ x = 0 .
∂x
Eliminasi Pxz menghasilkan
dan
w =ψ x .
(25)
Berdasarkan persamaan (22a), diperoleh
Dρ
= 0,
Dt
sehingga ρ hanya bergantung pada ψ ,
misalkan ρ = ρ (ψ ) .
Jika persamaan (25) disubstitusikan ke
dalam persamaan (24) dan selanjutnya
diintegralkan terhadap koordinat ruang, maka
diperoleh
ψ xx + ψ zz
(26)
1 dρ ⎛ 1 2 1 2
⎞
+
⎜ ψ x + ψ z + gz ⎟ = G (ψ ),
2
ρ dψ ⎝ 2
⎠
(Penurunan persamaan (26) dapat dilihat pada
Lampiran A)
dengan G (ψ ) adalah konstanta integrasi yang
dapat diperoleh berdasarkan kondisi upstream
(x → ±∞ ) . Kondisi upstream adalah kondisi
dimana jauh di kiri dan di kanan garis arus
hampir berupa garis lurus. Jika kondisi
upstream yang diberikan berbentuk ψ → cz
dan ρ = ρ 0 ( z ) , maka
1 dρ ⎛ gψ 1 2 ⎞
(27)
+ c ⎟.
⎜
2 ⎠
ρ dψ ⎝ c
Dengan demikian persamaan (26) menjadi
1 dρ ⎛ 1 2 1 2
⎞
ψ xx + ψ zz +
⎜ ψ x + ψ z + gz ⎟
ρ dψ ⎝ 2
2
⎠
1 dρ ⎛ gψ 1 2 ⎞
=
+ c ⎟.
⎜
ρ dψ ⎝ c
2 ⎠
(28)
G (ψ ) =
Persamaan (28) sering disebut persamaan
Long.
Dalam proses penurunan selanjutnya,
diperkenalkan peubah tak berdimensi berikut
ψ′ =
ψ
x′ =
;
ch
x
z′ =
;
h
z
.
h
(29)
Berdasarkan peubah baru ini, persamaan (28)
menjadi
ψ ′x′x′ + ψ ′z′z ′
(
)
1 dρ ⎛ 1
gh
⎞
2
2
⎜ ψ ′x′ + ψ ′z′ − 1 + 2 (z ′ −ψ ′)⎟
ρ dψ ′ ⎝ 2
c
⎠
= 0.
+
(30)
Untuk memudahkan penulisan, maka tanda
aksen akan dihilangkan. Karena kondisi
upstream yang diberikan, maka persamaan
(30) menjadi
ψ xx + ψ zz
+
(
)
gh
1 dρ 0 ⎛ 1
⎞
2
2
⎜ ψ x + ψ z − 1 + 2 ( z − ψ )⎟
ρ 0 dψ ⎝ 2
c
⎠
= 0.
(31)
(Penurunan persamaan (31) dapat dilihat pada
Lampiran A)
Untuk memudahkan interpretasi dalam
penurunan persamaan gerak gelombang
internal, maka akan digunakan formulasi
seperti berikut ini.
Formulasi Lagrange
Formulasi Lagrange diperoleh dengan
memisalkan
z = f ( x,ψ ) .
Dengan
menggunakan aturan rantai diperoleh
ψx = −
ψz =
ψ xx =
1 ∂ ⎛⎜ 1 ⎞⎟
.
fψ ∂ψ ⎜⎝ fψ ⎟⎠
+ ρ 0ψ gh(z −ψ ) = 0.
Khususnya
f ( x, Z ) = Z + η ( x, Z )
(34)
dengan Z = ψ , persamaan (33) menjadi
⎛ η
c 2 ρ 0 ⎜⎜ x
⎝ 1+ηZ
⎞
⎟⎟
⎠x
(
2
2
1
⎛
⎜ 2 η Z + 2 ηZ −η x
+ ⎜ c ρ0
(1 + η Z )2
⎜
⎝
) ⎞⎟
⎟
⎟
⎠Z
(35)
+ ρ 0 N 2η = 0.
(Penurunan persamaan (32), (33) dan (35)
dapat dilihat pada Lampiran B)
Persamaan (35) berlaku pada daerah
0 < Z < 1 , sedangkan untuk Z = 0 dan Z = 1
diperoleh dengan cara berikut.
Untuk Z = 0 , diasumsikan dasar rata
sehingga w = 0 , atau ψ x = 0 . Hal ini
berakibat tidak terjadi gelombang di dasar
permukaan (di Z=0). Jadi di Z=0, nilai η = 0 .
Sedangkan untuk Z = 1 , syarat batas
dinamiknya berbentuk
1
2
(ψ
2
x
)
+ ψ z 2 − c 2 + gz = 0, di z = η . (36)
(Penurunan persamaan (36) dapat dilihat pada
Lampiran B)
Kemudian, dengan menggunakan peubah pada
persamaan (29) , persamaan (36) menjadi
)
η = −σc 2 12 ψ ′x′ 2 + ψ ′z′ 2 − 1 .
(37)
Untuk memudahkan penulisan, hilangkan
tanda aksen pada persamaan (37).
1
,
fψ
∂ ⎛⎜ f x ⎞⎟ f x ∂
−
−
∂x ⎜⎝ fψ ⎟⎠ fψ ∂ψ
2
2
⎛
⎛ ⎛⎛
⎞ ⎞ ⎞⎟
⎜
⎜ 1 ⎜ f ⎞ ⎛ 1 ⎞⎟
⎟⎟
+ ⎜ c 2 ρ0 ⎜ ⎜ ⎜ x ⎟ + ⎜
− 1⎟ ⎟ ⎟ (33)
⎜
⎟
⎜
⎟
f
f
2
⎟⎟⎟
⎜ ⎜⎝ ψ ⎠ ⎝ ψ ⎠
⎜
⎠ ⎠ ⎠ψ
⎝ ⎝
⎝
(
fx
,
fψ
ψ xx =
⎛ f ⎞
− c2 ⎜ x ⎟
⎜ fψ ⎟
⎝
⎠x
⎛ fx ⎞
⎜−
⎟,
⎜ fψ ⎟
⎝
⎠
(32)
Jika persamaan (32) disubstitusikan ke dalam
persamaan (31), diperoleh
Selanjutnya, substitusikan persamaan
(32) dan f pada persamaan (34) ke dalam
persamaan (37), sehingga diperoleh
η = σ c2
(
η Z + 12 η Z 2 −η x 2
(1 +η Z )
2
).
(38)
Dengan demikian persamaan gerak
gelombang internal pada fluida ideal untuk
aliran tunak dalam
diberikan oleh
⎛ η ⎞
c 2 ρ 0 ⎜⎜ x ⎟⎟
⎝ 1+ηZ ⎠ x
formulasi
(
2
2
1
⎛
⎜ 2 η Z + 2 η Z −η x
+ ⎜ c ρ0
(1 + η Z )2
⎜
⎝
+ ρ 0 N 2η = 0,
dengan kondisi batas
η=0
(
η + 1 η −η
η =σ c Z 2 Z 2 x
(1 +ηZ )
2
2
, di
2
),
di
Lagrange
) ⎞⎟
⎟
⎟
⎠Z
(c
ρ 0η1Z
)
Z
+ ρ 0 N 2η1 = 0 , 0 < Z < 1
η1 = 0 ,
Z =0
(45)
σc0 η1Z − η1 = 0 ,
Z = 1.
Kemudian, dengan menggunakan pemisahan
peubah, yaitu
η1 = A( X )φ ( Z ),
(46)
2
Z=0
Z = 1.
persamaan (45) memberikan masalah nilai
eigen untuk φ Z , yaitu
( )
(c0 ρ 0φ Z ) Z + ρ 0 N 2φ = 0, 0 < Z < 1
2
Persamaan Gerak Gelombang Internal
Jika persamaan (39) diuraikan, maka
diperoleh
c 2 ρ 0η xx + c 2 ρ 0 Z η Z − 32 η Z 2
(
2
0
(39)
(40)
Selanjutnya akan ditentukan solusi persamaan
(39) dengan syarat batas pada persamaan (40)
dengan menggunakan metode asimtotik.
φ = 0,
Z = 0 (47)
σ c0 2φ Z − φ = 0,
Selanjutnya koefisien α
(c
2
0
ρ 0η 2 Z
)
+ c ρ 0 (η ZZ − η Zη ZZ ) + c ρ 0 2η Zη ZZ
2
Jika persamaan (43) dan (44) kemudian
disubstitusikan ke dalam persamaan (41) dan
memberikan
(40), maka koefisien α
persamaan berikut
)
Z
2
Z = 1.
memberikan
+ ρ 0 N η 2 + F = 0,
2
0 < Z