Pengaruh arus pada gerak gelombang soliter internal: studi kasus pada fluida dua lapisan

RIDZAN DJAFRI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pengaruh Arus pada Gerak Gelombang Soliter Internal adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Oktober 2009 Ridzan Djafri NIM G551070401

study for two- layer fluid. Under supervision of JAHARUDDIN and FARIDA HANUM.

Abstract

Internal waves are waves that appear at the boundary of two- layers of fluid with different density. The internal wave motion model is derived based on the assumption that the bottom boundary of fluid is slowly varying, thus the resulting of equations motion is KdV equation with variable coefficients. KdV equation coefficients also depend on the current velocity. Solitary wave formulation, carried out to determine the dependence of the wave variables to the physical variables. A case study on two-layers of fluid is discussed.

Kasus pada Fluida Dua Lapisan . Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan FARIDA HANUM.

Gelombang internal merupakan gelombang yang terjadi pada batas dua lapisan fluida dengan rapat massa yang berbeda. Teori untuk gelombang internal pertama kali dikembangkan oleh Stokes, sedangkan teori umum untuk gelombang internal yang tidak tunak (unsteady) dengan rapat massa yang tidak konstan telah dikembangkan oleh Fjeldstand (1933). Kedua teori tersebut diterapkan pada fenomena yang terjadi pada bidang oseanografi. Salah satu gelo mbang internal yang banyak dikaji adalah gelombang soliter internal. Gelombang soliter internal terjadi di bawah permukaan fluida, sehingga keberadaannya tidak dapat dilihat secara langsung (kasat mata), namun dapat dideteksi melalui foto satelit berdasarkan pola gelap terang yang muncul di permukaan laut. Selain di laut, gelombang soliter juga terjadi di danau dan atmosfer.

Kebanyakan teori tentang gelombang soliter internal dikembangkan untuk kasus gerak gelombang yang hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi, sedangkan gerak pada arah horizontalnya berupa konstanta (Zhou 1985). Pada kenyataannya, gerak gelombang juga dipengaruhi oleh gerak pada arah horizontal, seperti yang terjadi pada gerak gelombang internal di selat dengan dasar tidak rata ataupun pengaruh topografi pada gerak gelombang soliter internal yang di bahas oleh (Grimshaw 1983). Pada gelombang internal di atmosfer, gerak pada arah horizontalnya berupa kecepatan angin. Berdasarkan kenyataan ini, para peneliti mengembangkan suatu model untuk menjelaskan persamaan gerak gelombang internal, dengan melibatkan va riabel arus dalam arah vertikal dan arah horizontal.

Untuk memprediksi pengaruh arus pada gerak gelombang soliter internal, terlebih dahulu ditinjau persamaan dasar untuk fluida ideal yang bersifat tak mampat (incompressible) dan takkental (inviscid) beserta syarat batas fluida, kemudian diturunkan persamaan lain untuk fluida yang telah diberi variabel arus. Persamaan dasar fluida dengan variabel arus merupakan masalah taklinear yang sulit diselesaikan, sehingga persamaan dasar dan syarat batasnya ini terlebih dahulu dibuat dalam uraian asimtotik. Kemudian untuk menyederhanakan, digunakan asumsi penyatuarahan. Asumsi ini berarti bahwa gelombang soliter internal yang diamati bergerak hanya searah dengan rambatan gelombang. Asumsi lain adalah bahwa gelombang yang diamati adalah fluida dangkal yaitu fluida yang memiliki panjang gelombang lebih besar dibandingkan dengan kedalamannya, sehingga dapat diterapkan persamaan Korteweg-de Vries (KdV).

Pada penelitian ini, persamaan KdV yang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum diselesaikan dengan metode asimtotik, yaitu dengan memisalkan peubah-peubah takbebasnya dalam bentuk uraian asimtotik. Selanjutnya kecepatan gelombang dalam arah vertikal dan arah horizontal diubah dalam variabel arus, sehingga diperoleh suatu persamaan Long (Long 1953). Dari persamaan Long, dievaluasi rapat massa fluida dalam variabel arus, sehingga simpangan yang diperoleh merupakan kekuatan arus atau angin.



Hak Cipta milik IPB, tahun 2009

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya tulis ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

RIDZAN DJAFRI

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

NRP : G551070401

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Jaharuddin, M.Si. Dra. Farida Hanum, M.Si. Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2008 ini adalah gelombang internal, dengan judul Pengaruh Arus pada Gerak Gelombang Soliter Internal.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, MS. dan Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. masing- masing selaku ketua dan anggota Komisi Pembimbing, serta ... selaku penguji luar Komisi yang telah banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan pada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibunda Saerah Dg Sanga, Hasriani Hapid, dan Nurul Fitria serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Oktober 2009 RIDZAN DJAFRI

1968 dari ayah Djafri Limpo Dg. Unjung dan ibu Saerah Dg. Sanga. Penulis merupakan putra kedua dari lima bersaudara. tahun 1980 penulis lulus dari SD Negeri Balang Baru Makassar, Tahun 1983 lulus dari SMP Negeri 1 Makassar, tahun 1986 lulus dari SMA Negeri 1 Bantaeng, tahun 1988 masuk Institut Agama Islam Negeri Alauddin Makassar. Penulis memilih Jurusan Tadris Matematika pada Fakultas Tarbiyah dan selesai pada tahun 1995. Sejak SMA penulis bekerja sebagai tenaga konstruksi pada perusahaan kontraktor. Tahun 2000 penulis diangkat menjadi pegawai negeri sipil dengan tugas utama sebagai guru matematika pada MTsN Rantepao di Makale. Pada tahun 2007 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

H

Halaman I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ………...………...…... 1

1.2 Tujuan Penelitian.……..………...………. 2

II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Dasar Fluida..………...………... 3

2.2 Syarat batas.………...…………...………... 8

III METODOLOGI PENELITIAN IV PEMBAHASAN 4.1 Persamaan Gerak Gelombang...……...……….. 12

4.2 Penyelesaian Persamaan Gerak.………...………... 17

4.3 Fluida Dalam Keadaan Setimbang………...…………. 23

4.4 Contoh Kasus pada Fluida Dua Lapisan... 25

4.4.1 Kasus Pertama ?_? ? ? ... 28

4.4.2 Kasus Kedua ?_? ? ?... 30

4.5 Analisis Hasil... 33

V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan…………..………...………… 35

5.2 Saran………..………...……….. 36

DAFTAR PUSTAKA……….………... 37

LAMPIRAN……….………... 38

1 Laju perubahan massa pada elemen fluida... 3

2 Gaya kesetimbangan pada elemen fluida... 5

3 Batas fluida ... 9

4 Domain Fluida Dua Lapisan ... 26

5 Kebergantungan amplitudo terhadap perbandingan kedalaman fluida dua lapisan, (a) ?_? ? ?, (b) ?_? ? ?G... 33

Halaman

1. Penurunan persamaan 8.a dan 8.c ... 39

2. Penurunan persamaan 8.d dan 8.f... ... 41

3. Penurunan persamaan 10.a dan 10.d ... 42

4. Penurunan persamaan 12.a dan 12.b ... 45

5. Penurunan persamaan 12.d... 47

6. Penurunan persamaan 14.a dan 15... 48

7. Penurunan persamaan 16... 51

8. Penurunan persamaan 19 ... 53

9. Penurunan persamaan 21... 54

10. Penurunan persamaan 29... 61

11. Penurunan persamaan 31... 63

12. Penurunan persamaan 33.a dan 33.b ... 64

13. Penurunan persamaan 40 dan 42... 66

14. Penurunan persamaan 44.a,44.b, dan 44.c... .... 69

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Gelombang solit er adalah suatu gelombang taklinear yang memiliki sifat: (1) terlokalisasi dan merambat tanpa perubahan bentuk maupun kecepatan, (2) stabil melawan tumbukan dan mempertahankan identitasnya. Sifat pertama merupakan kondisi gelombang soliter (solitary waves) yang dikenal dalam hidrodinamika sejak abad ke-19. Sifat yang kedua berarti gelombang tersebut memiliki kelakuan sebagai partikel.

Pengamatan gelombang soliter yang pertama kali terdokumentasi dengan baik dilakukan pada 1834 oleh ilmuwan Skotlandia, John Scott-Russel. Ia mengamati gerak sebuah perahu dari kudanya. Ketika perahu tiba-tiba berhenti, timbullah gelombang air dengan sebuah puncak yang bergerak menjauh dari perahu. Pergerakan gelombang air tersebut kemudian diamati dan ditelusuri olehnya hingga sekitar 2 mil. Bentuk dan kecepatan gelombang air itu nyaris tidak berubah hingga akhirnya menghilang dari pandangan karena masuk ke dalam terowongan air (Newell 1985).

Gelombang soliter internal biasanya muncul pada fluida dengan rapat massa yang tidak konstan. Gelombang ini munc ul di selat dan di laut (Apel 1980) dan juga muncul pada lapisan atmosfer (Clarke et al. 1981 ). Gelombang soliter internal dengan amplitudo yang cukup besar disebabkan oleh bentuk taklinear yang muncul pada persamaan dasar fluida. Persamaan yang dapat menjelaskan gerak gelombang ini pada kedalaman yang dangkal adalah persamaan Korteweg de Vries (KdV), sedangkan pada kedalaman yang cukup besar, gerak gelombang ini dapat dijelaskan oleh persamaan Benjamin-Ono (BO).

Teori tentang gelombang soliter internal kebanyakan dikembangkan untuk kasus gerak gelombang yang hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi, sedangkan gerak arus pada arah horizontalnya berupa konstanta (Zhou 1985). Pada kenyataannya,

gerak gelombang juga dipengaruhi oleh gerak arus pada arah horizontal yang tidak berupa konstanta, seperti yang terjadi pada gerak gelombang internal di selat dengan dasar tidak rata. Pengaruh topografi pada gerak gelombang soliter internal telah dibahas dalam (Grimshaw 1983). Pada gelombang internal di atmosfer, gerak arus pada arah horizontalnya berupa kecepatan angin. Berdasarkan kenyataan ini, para peneliti mengembangkan suatu model untuk menjelaskan persamaan gerak gelombang internal dengan melibatkan variabel arus dalam arah vertikal dan arah horizontal.

1.2 Tujuan penelitian

Sebagai sebuah fenomena alam, gelombang soliter internal tentu harus dapat dijelaskan secara fisis maupun matematis. Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah menurunkan suatu persamaan gerak gelombang internal yang melibatkan variabel arus dalam arah horizontal dan vertikal. Kemudian berdasarkan persamaan gerak yang diperoleh, akan diformulasikan gerak gelombang soliter internal. Selain itu, tujuan penelitian ini juga antara lain menentukan kebergantungan parameter gelombang soliter (amplitudo, panjang gelombang dan kecepatan fase) terhadap variabel fisis (rapat massa, variabel arus dan kedalaman) berdasarkan hukum konservasi massa. Kemudian simulasi numerik akan dilakukan dengan meninjau kasus fluida dua lapisan dengan variabel arus yang berbeda-beda.

II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bagian ini akan dibahas beberapa teori yang mendukung. Teori-teori tersebut meliputi persamaan dasar fluida yang disarikan dari (Billingham & King 2000).

2.1 Persamaan Dasar Fluida

Fluida adalah zat cair yang mengalir, artinya zat yang mengalir terhadap sekitarnya. Persamaan dasar akan diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan momentum. Hukum kekekalan massa berdasar pada kesetimbangan massa. Untuk itu maka tinjau elemen fluida dengan sisi ? ? ?sisi ? ?, dan sisi ? (? adalah ketebalan elemen fluida dengan arah tegak lurus dengan bidang gambar) yang dilalui fluida dengan rapat massa ? ??????? seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1.

?

?

Misalkan ? ?? ????? dan ? ?? ????? masing- masing adalah kecepatan fluida pada arah ? dan ?G Pada arah horizontal laju perubahan massa pada elemen fluida merupakan selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar yaitu

? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ??

? ? ? ??? ?? ? ?

? ??? ?

?? ? ? ? ? ? G Pada arah vertikal, laju perubahan massa elemen fluida tersebut adalah:

? ? ? ? ? ?? ? ?

? ? ? ??

? ? ? ? ? ?? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?

? ? ???? ?? ? ?

? ?? ? ?

? ? ? ? ? ? ??

sehingga total laju perubahan massa pada elemen fluida per satuan waktu adalah jumlah perubahan massa pada arah horizontal dan arah vertikal yaitu

??? ? ? ? ? ??

?? ? ?

? ??? ?

?? ? ? ? ? ? ?

? ?? ? ?

? ? ? ? ? ? ?? atau

? ? ? ??

? ?? ? ?

?? ?

? ??? ?

?? ? ? ? ??G? ?

atau

??

?? ? ? ?

?? ?? ?

?? ? ? ? ? ?

??

?? ? ?

? ?

? ?? ?G ??G? ?

Selanjutnya diasumsikan bahwa fluida yang ditinjau takmampat (incompressible), maka diperoleh

? ? ? ?? ?

??

?? ? ?

? ?

? ? ? ?? ??G? ?

sehingga persamaan (1.b) memberikan ??

?? ? ? ?

? ? ? ? G ??G? ?

Dalam bentuk sederhana Persamaan (2.b) dan (2.a) dapat ditulis ?? ? ?? ? ? ?

?_?? ? ?_? ? ? ?_? ? ? G? ?? ?

Dalam kesetimbangan momentum, tekanan ? dan gravitasi ? memengaruhi gaya permukaan pada elemen fluida. Laju perubahan momentum merupakan selisih

antara momentum yang masuk dan momentum yang keluar, ditambah semua gaya yang bekerja pada elemen tersebut.

Misalkan ?????_? dan ?????_? masing-masing adalah gaya ?ang bekerja pada arah ? dan arah ? pada elemen fluida dengan sisi dx, dz dan ketebalan b seperti diperlihatkan pada Gambar 2.a .

Gaya pada arah horizontal dan arah vertikal masing- masing adalah ?? ? ? ? ???

?? ? ????? ?? ??G? ?

? ? • ? ? ? ? ? ???

?? ? ????? ?? ??G? ?

dengan ?????_? dan ?????_? masing- masing adalah gaya yang bekerja pada elemen fluida pada arah horizontal dan arah vertikal. Perubahan kecepatan ? ? pada saat ? ? adalah

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? atau ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??

?? ? ?? G? ?

dan perubahan kecepatan ? ? pada saat ? ? adalah

? z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? u w ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? P P ? ? ? ? ? z

(a) _(b)

0 0

? ? ? ? ?

? ?

? ? ? ?

? ?

? ? ? ?

??

?? G ?? G? ?

Persamaan gaya pada arah horizontal diperoleh dengan menyubstitusi persamaan ?? G? ? ke persamaan ??G? ? sehingga diperoleh

? ?? ? ? ? ? ?

??

?? ? ?

? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ??????? ??G? ?

sedangkan persamaan gaya yang bekerja pada arah vertikal adalah

? ?? ? ? ? ? ?

? ?

? ? ? ?

? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?????G? ??G? ?

Selanjutnya gaya-gaya pada persamaan ?? G? ? dan ?? G? ? akan dibandingkan dengan gaya lain yang bekerja pada elemen fluida yaitu gaya badan (body force), gaya tekan (pressure force) dan gaya kekentalan (viscous force). Misalkan gaya badan, gaya tekan, dan gaya kekentalan masing- masing dinyatakan dengan ? ?? ?? ? • ?. Misalkan ?????? ??• ?_? ?????_? masing masing adalah gaya badan pada arah? dan ???????? ??• ?_? ?????adalah gaya tekan pada arah ? dan z, sedangkan ?????? ??• ?? ?????? adalah gaya kekentalan pada arah ? dan ??? maka total gaya yang bekerja pada arah ? dan z

pada elemen fluida tersebut adalah ?_?

???? ? ??????? ?_? ????? ?_? ????? ?_? ??G? ?

dan

?_?

???? ? ?????? ? ?? ???? ? ?? ????? G? ??G? ?

Gaya badan adalah gaya yang bekerja langsung pada massa fluida seperti gaya gravitasi, gaya sentrifugal, gaya elektromagnetik dan lain- lain. Misalkan ? dan ? masing-masing adalah komponen gaya pada sumbu ? dan z, sehingga gaya badan pada elemen fluida tersebut adalah

?_?

?_?

????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??G? ?

dimana pada arah sumbu z, gaya badan dipengaruhi pula oleh gaya gravitasi dengan ? adalah percepatan gravitasi. Selanjutnya, gaya tekan pada arah ? dan z seperti pada Gambar 2.b masing- masing adalah

????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?_? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

?? ? ? ? ? ? ? G ??G? ?

??

???? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??G? ?

dengan P adalah tekanan pada fluida. Gaya kekentalan dianggap nol karena diasumsikan fluida takkental (inviscid) sehingga diperoleh

?_?

????? ? ?????? ? ? G_? ?? G? ?

Jika persamaan ?? G??, ?? G?? dan?? G? ? disubstitusikan ke persamaan ?? G??? maka diperoleh

?_?

???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

?? ? ? ? ? ? ?G ??G? ?

Gaya pada arah horizontal ?????_? pada persamaan ??G? ? dan persamaan ?? G? ?, dapat dieliminasi sehingga diperoleh

? ?? ? ? ?? ?

? ? ? ? ? ?

??

??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? atau

? ?? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ?? ? ?

? ?

? ? ? ? ??

atau

???_?? ? ?_? ? ? ?_??? ?? ??_? ? ? ? ??G? ?

dengan ? = ? ? merupakan total gaya elemen fluida pada arah horizontal, sedangkan

? ? ? _{? ? ? dengan ? adalah frekuensi Buoyanc y yang merupakan suatu konstanta pada}

Penurunan persamaan ?? G? ? dapat dilihat pada Lampiran 1. Konstanta ? juga biasa digunakan pada frekuensi Brunt-Vaisala ? ??? dengan persamaan

?_{? ?} ? ? ? ?_?? ? _{??G? ?}

untuk menggambarkan kepadatan fluida berlapis. Selanjutnya apabila persamaan ?? G? ?, ?? G? ? dan ?? G?? disubstitusikan ke persamaan ??G? ?, akan diperoleh gaya elemen fluida pada arah vertikal yaitu

? ?? ?

?? ? ?

? ?

? ? ? ?

? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????

? ?? ? ? ? ? ?

? ?

?? ? ?

? ?

? ?? ? ??? ? ? ?

? ?? ? ? ? ? atau

??? _?? ? ?_? ? ? ?_?? ? ?? ???_? ? ?? ? ? ? ??G??

dengan ? ? ? ? merupakan total gaya pada arah vertikal, penurunan persamaan ?? G?? dapat dilihat pada Lampiran 1.

2.2 Syarat batas

Selanjutnya akan dibahas masalah nilai batas yang harus dipenuhi gerak partikel fluida, yaitu syarat batas kinematik yang disebabkan oleh adanya gerak partikel fluida dan syarat batas dinamik yang disebabkan oleh tekanan partikel fluida. Misalkan batas atas fluida adalah kurva permukaan fluida, sedangkan batas bawahnya adalah dasar yang cukup keras sehingga tak ada partikel fluida yang menembus dasar, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3.

Gambar 3 Batas fluida.

Misalkan kurva permukaan fluida adalah z = ? ( ). Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk implisit sebagai

Misalkan pula tak ada partikel fluida yang menembus permukaan, maka syarat batas kinematik pada permukaan fluida merupakan turunan total S terhadap waktu sehingga diperoleh

Dengan operator sebagai simbol untuk turunan total terhadap waktu

maka turunan total S terhadap waktu t adalah

(lihat Lampiran 2).

Pada syarat batas dinamik diasumsikan bahwa tekanan permukaan sama dengan tekanan udara yang dimisalkan sama dengan nol, sehingga

Pada batas bawah fluida dimisalkan bahwa dasar fluida mengikuti persamaan ? ? ? ? ?? ? atau

? ????? ? ? ? ? ??? ? ?G

Dengan asumsi tak ada fluida yang menembus dasar, maka batas bawah kinematik adalah turunan total ? terhadap waktu ?G Dengan cara yang sama dengan persamaan ?? G? ? diperoleh

? ? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?G ??G? ?

Penurunan persamaan ?? G? ? dapat dilihat pada Lampiran 2. Dengan demikian persamaan dasar fluida sebagai berikut:

?_?? ? ?_? ? ? ?_? ? ? ? ?_? ? ?_? ? ? ? ????? ? ??? ? ??? ? ?

? ?

?? ? ? ? ? ??_? ? ? ?_? ? ? ?_?? ? ?? ?_??

?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

?? G? ?

dengan syarat batas

?_?? ? ?_? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ????

P = 0 ? ? ? ? ? ? ??? ???,

III METODOLOGI PENELITIAN

Pada penelitian ini dibahas tinjauan matematis mengenai gelombang internal. Salah satu persamaan yang dapat menggambarkan perilaku gerak gelombang internal adalah persamaan Korteweg de Vries (KdV), yang merupakan suatu persamaan bagi gerak gelombang yang panjang gelombangnya jauh lebih besar daripada amplitudonya (asumsi fluida dangkal). Persamaan KdV ini diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal, yaitu fluida yang takmampat (incompressible) dan takkental (inviscid).

Analog dengan penurunan persamaan KdV, maka dalam penelitian ini diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau memiliki panjang gelombang yang cukup besar dibandingkan dengan kedalaman fluida. Metode yang digunakan dalam penurunan persamaan gerak gelombang internal adalah metode asimtotik. Dalam hal ini semua variabel takbebas yang muncul dalam persamaan dasar akan dinyatakan dalam uraian asimtotik. Hasilnya diharapkan berupa persamaan KdV dengan koefisien variabel yang bergantung pada variabel arus, baik dalam arah horizontal, maupun dalam arah vertikal.

Berdasarkan persamaan KdV yang dihasilkan, diformulasikan gerak gelombang soliter internal dengan mengasumsikan penyelesaian persamaan KdV berupa gelombang berjalan (gelombang soliter). Hasil formulasi ini akan digunakan untuk menentukan kebergantungan parameter gelombang soliter (amplitudo, panjang gelombang, dan kecepatan fase) terhadap variabel arus. Hubungan ini akan digambarkan dengan menggunakan software Mathematica, dengan meninjau kasus fluida dua lapisan yang masing- masing memiliki rapat massa yang konstan.

IV PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas penurunan persamaan gerak gelombang internal pada fluida takmampat dan takkental yang melibatkan variabel- variabel fluida dalam keadaan setimbang, berdasarkan alur penelitian pada(Zhou 1989). Apabila kecepatan arus dan rapat massa dalam keadaan setimbang diketahui pada kondisi upstream yaitu kondisi jauh di kiri dan di kanan dimana garis arus nya hampir berupa garis lurus,

maka kecepatan arus dan rapat massa pada keseluruhan domain fluida akan ditentukan berdasarkan persamaan dasar fluida dalam keadaan setimbang. Rumusan persamaan dasar pada fluida dalam keadaan setimbang berdasarkan pada alur penelitian dalam (Grimshaw 1979).

4.1 Persamaan Gerak Gelombang

Tinjau persamaan dasar fluida ideal yang diperoleh pada bagian sebelumnya:

??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?_? ? ?_? ? ? ? ???_?? ? ?_?? ? ?_?? ? ? ? ?

?_? ? ? ? ? ??_? ? ? ?_? ? ? ?_?? ? ?? ?_??

?? ? ? ? ? ??? ? ? ?

?? G? ?

dengan syarat batas

?_?? ? ?_? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ????

P = 0 ? ? ? ? ? ? ??? ???,

? ? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?G ??G? ?

Misalkan total kecepatan horizontal, kecepatan vertikal, rapat massa, tekanan fluida dan batas permukaan masing- masing dinyatakan oleh ?_?? ? , ?_? ? ? ? ?_? ? ? ? dan ?_? ? ? dengan ?_?, ?_?? ?_? dan ?_? masing-masing menyatakan kecepatan

horizontal, rapat massa, tekanan fluida dan batas permukaan pada fluida dalam keadaan setimbang. Selanjutnya diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau memiliki amplitudo yang cukup kecil, sehingga didefinisikan

??? ??? dan ? ?? ??? (9.c) dengan ? suatu parameter kecil dan total kecepatan partikel dalam arah vertikal adalah ???_? ? ? ? dengan ?_? kecepatan vertikal dalam keadaan setimbang. Jika dalam kondisi ini pengaruh gaya luar diabaikan, maka persamaan (9.a) dengan syarat batas (9.b) memberikan

?_? ? ??_? ? ? ??_? ? ????_? ? ? ??_? ? ? ?_{? ?} ? ??? ?_{? ? ?} ? ? ? ?_? ? ?_? ? ? ? ??_? ? ? ???_?? ??_? ? ? ??_? ? ???? _? ? ? ??_? ? ? ?_?? ? ??? ?_{? ?}??

? ?????_??_{? ?}? ? ?

??? ?? ? ? ? ?

?_? ? ? ? ??_? ? ? ???_?? ??_?? ???_? ? ??? ? ? ??_? ? ??? ?_{? ?} ? ??? ?_????

? ??? ??_?? _???? ?

????? ? ? ? ?_??

? ? ? ? ? ? ? ?? ? G??

dengan syarat batas

?? ? ???? ? ???? ? ??? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? G? ?

?_? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?_? ? ??

? ? ????_{? ?}? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G

Penurunan persamaan (10.a-b) dapat dilihat pada Lampiran 3. Selanjutnya didefinisikan variabel berikut :

? ? ?? ?? ? ? ??_{?? ??• ? ? ? ?} ? ?_{? ?} ? ??

?

? ?? ? G? ?

dengan W(X’) adalah kecepatan fase gelombang linear.

Misalkan variabel–variabel takbebas pada persamaan ?? ?G?? dinyatakan oleh uraian asimtotik berikut:

? ? ? ? ?

? ? ?? ? ?_? ??_? ? ?_? ? ?_?

? ? ?? ? ?_? ??_? ? ?_? ? ?_?

? ? ? ?? ? G? ?

dengan ? ?? ?? ??• ? bergantung pada ? ?? dan ?. Dengan memasukkan uraian asimtotik pada persamaan (11.b) ke persamaan ??? G??, maka pada koefisien ?? diperoleh :

???? ?? ??? ? ? ??????? ?? ? ?? ? ? ?? ?_{? ?}? ?_? ? ?? ?_{? ?} ? ? ?_{? ?} ? ?? ? ?? ?_?? ? ? ?_???? _? ? ? ??

? ?

?? ? G? ?

kemudian dari persamaan ??? G? ? diperoleh syarat batas ?? ?_{? ?} ? ? ?_? ? ? ? ???? ? ? ?_?

? ?_? ? ?_??_? ? ? ???? ? ? ?_?

?_? ? ? ???? ? ? ? ?

? ?? ? G? ?

dengan

?? ? ? ? ?_?G ?? ?G??

Penurunan persamaan (12.a) bagian pertama diberikan dalam Lampiran 4.

Selanjutnya persamaan ?? ? G? ? akan disederhanakan, untuk itu substitusikan variabel ?_{? ?} pada persamaan ?? ?G? G???? ke persamaan (? ?G? G?? kemudian diturunkan terhadap ?, dan variabel ?_? pada persamaan ?? ? G? G??? disubstitusi ke persamaan ?? ?G? G???, maka variabel ?_{?? ?} dapat dieliminasi sehingga diperoleh

?? ?????? ? ?? ? ? ? ???? ???? ? ? ????? ? ? ?G ?? ? G? ?

Penurunan persamaan (12.d) dapat dilihat pada Lampiran 5. Selanjutnya dengan pemisahan peubah, misalkan :

?_? ? ? ?_?? ? ??? ? G (13) Jika ?_? pada persamaan (13) disubstitusikan ke dalam persamaan (12.d) dan syarat batas (12.b), maka diperoleh masalah nilai batas untuk ? berikut:

??_??? ?_?

???? ??? ?? ? ?G ?? ?G? ?

? ? • ??• ?????? ?????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?G Dari persamaan ??? G? ? diperoleh nilai ?_? , ?_? dan ?_? masing- masing

?_? ? ? ??? ? ?_? , ?_? ? ? ?_?? ??, ?_? ? ? ?_??? ??_?? (15) (lihat Lampiran 6) dengan fungsi ? ???? ? adalah suatu fungsi yang akan ditentukan kemudian.

Selanjutnya dari koefisien ?? pada uraian asimtotik persamaan (10.a) dan persamaan (10.b) diperoleh

??_??? ?_{? ?} ? ? ??_?? _?? ? ?_{? ?} ? ?_??

?? ? ? ?? ? ??? ?? ?? ?? ?_{? ?} ? ? ?_{? ?} ? ? ?_{? ?}?

? ?? ?_{? ?} ? ? ?_?? ?? _? ? ?_?? (16) dengan

?_? ? ? ?_????_??_??_? ? ?_??_{? ?} ? ? ??_? ? ? ??_{? ?}?? ?_??? ?? ??

?? ?_{? ?} ? ?_{? ?} ? ? ? ?_??? ?? ? ? ?????? ? ???? ?? ???? ?? ? ? ??? ? ????? ? dan syarat batas berikut:

? ?? ?_{? ?} ? ? ?_? ? ?_?? ? ? ? ? ? ? ?_? , ? ?_? ? ?_??_? ? ??_??_?? ?

?? ??? ?_?

?

?_{? ? ? ? ? ? ? ?}

?? ?_? ? ? ? ? ??_??_?? ? ? ? ? ? ? ? ? , (17) dengan

? _? ? ? ???_??_??_?? ??_??_??_? ? ?_???_??_?? ? ?_??_{? ?}? ?_{? ?}?_{? ?}?_??G Penurunan persamaan (16) dapat dilihat pada Lampiran 7.

Selanjutnya ?_?? ?_? ? ? • ?_? dieliminasi pada persamaan (16), kemudian dimisalkan

? ?_? ? ? ?? ?_? ??? ?

maka diperoleh masalah nilai batas untuk ?? berikut :

??_??? ??_{? ?}?_? ? ?_?? ??_? ? ?_{? G}

? ?_??? ??_{? ?} ? ?_??_? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ?_?

dengan

?_? ? ? ?_{? ?} ? ?? ? ??_? ? ??_??? ?_{? ?}?_?? ?_??? ? ? ??_{? ? ?} G

?_? ? ? ?? ? ??_??_? ? ? ?_? ? ? ?_??? ?_{? ?}? ? ??_??_??_? ? ? ?_?? ??_??_{? ?}G Penurunan persamaan (19) dapat dilihat pada Lampiran 8.

Persamaan (19) mempunyai penyelesaian, jika memenuhi syarat keterselesaian

? ?_?

?_?

? ?

? ? ? ? ??? ??_??_??_?

? ? ????? ???????? ?G ??? ?

Jika ?_? dan ?_? disederhanakan menggunakan persamaan (13) dan persamaan (15), kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (20), maka diperoleh suatu persamaan untuk A(s,?) sebagai berikut

?_?? ? ? ? ?_? ? ??_{? ?}

? ? ? ? ?? ? ? G (21) Nilai ? dan ? diperoleh dari

?? ? ? ? ?_??? ??_??? ? ?_?

? ?

?

?? ? ? ?_????_??_{? ?} ?_?

? ?

?

? ? ? ? ?_??? ?_??? ? ?_?

? ?

?

? ? ? ? ?? (22) koefisien ? diberikan oleh

? ? ?

?? ????

? ?_????? ?_?

?? ? ? (23) dengan ? ditentukan oleh

?? ? ? ? ?????? ? ?_?

? ?

?

sedangkan J merupakan matriks Jacobi dari transformasi koordinat yang diberikan pada persamaan (11.a).

Persamaan (21) merupakan persamaan gerak gelombang dengan koefisien yang bergantung pada variabel s. Persamaan ini sulit diselesaikan secara analitik dan numerik. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa dasar fluida berupa permukaan yang hampir rata (bervariasi dengan sangat lambat). Ini berarti dimisalkan koefisien ? = 0, sehingga persamaan (21) menjadi

?_?? ? ? ? ?_? ? ??? ?_{? ? ?} ? ? G (24) Persamaan (24) merupakan persamaan gerak gelombang internal yang mirip dengan persamaan KdV pada permukaan dasar yang rata (Grimshaw 1971). Berikut ini akan ditentukan penyelesaian persamaan (24) yang berupa gelombang soliter.

4.2 Penyelesaian Persamaan Gerak

Kar ena penyelesaian dar i per samaan gelombang d’Alem bert

?_??? ???_{? ?} ? ? adalah ? ?? ? ??? dan ? ?? ? ??? dengan c kecepatan gelombang ( Str auss 1992) , m aka d ap at d iaju kan t ebakan u n t u k penyelesaian persamaan ( 2 4) yaitu

? ? ? ? ? ? ?? ?G? ?

sehingga

? ? ? ? ? ? ? • ? ? ? ? ? ? ?G

Notasi c pada penyelesaian per samaan d’Alembert diganti dengan ?, sedangkan

fungsi ? diganti dengan fungsi ? . Per samaan ?? ?G? ? disubstitusi ke per samaan ( 2 4) sehingga diper oleh

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

?_? ? ?_?

?? ? ? ? G ?? ?G? ?

Dengan mengintegr alkan per samaan ?? ?G? ? ter hadap ? diper oleh

? ?? ? ?

??? ?

? _{? ?}?_? ? ?_?

? ? ? ? ?? ?? ?G??

d en gan ?_? mer upakan tetapan integr asi. Apabila diasumsikan bahwa

tu r unannya mendekati n o l untuk ? ? ? , maka ?? ? ? . Selanjutnya per samaan ( 2 5 .c) dikalikan dengan faktor ? ?? ?? ? sehingga diper oleh

? ? ?? ? ?

? ? ? ? ?? ? ? ?

? ? ? ??

?_?? ?_? ? ? ?

? ?

? ? ? ? G

Integr alkan kedua r uas ter hadap ? , diper oleh

? ??? ? ? ?? ? ?

? _{? ?}?_{? ?}? ? ? ? ?

?

? ??G ?? ? G? ?

Kar ena diasum sikan penyelesaian per sam aan ( 2 5.d ) ber upa gelombang soliter ,

maka ?_? ? ? sehingga dapat dituliskan dalam bentuk

?? ? ? ? ?

?

? ?? ?? ? ?

? ??_?? ? atau

? ?

? ? ? ? ? ?? ? ?

? ??_? ? ? G ?? ?G? ?

Dengan pemisahan var iabel, per samaan ?? ? G?? dapat ditulis

? ? ? ? ?

? ? ?? ? ?

???_?? ? ?

?

G ?? ? G? ?

Pemilihan 0 sebagai batas integr asi, tidak mengur angi sifat umum per masalahan kar ena titik awal ini dapat ditr ansfor m asikan secar a linear . Integr al r uas kanan dapat diselesaikan dengan melakukan tr ansfor masi ber ikut.

? ? ? ?

?_?

? ?????

?_{? ?? ? G? ?}

?? ? ? ? ?

?? ? ??• ? ? ? ? ?????_? ?

?? ? ?

? ? ? ? ? ? ???• ? ?_{? G} Jadi per samaan ?? ? G? ? member ikan

? ? ? ? ? ?

?_?

? ?G

Jika dilakukan tr ansfor masi balik dar i per samaan ?? ? G? ?, maka diper oleh

? ? ? ?

? ?

????? ? ? ? ? ? ??

atau

? ? ? ?

? ????? ? _???

? ? atau

? ? ? ????? ? ? ?? ?G? ?

den gan

? ? ? ?

? ?? ? ? ?

? ? ??_? atau

? ? ? ?? ?????G ???G??

Dengan demikian penyelesaian persamaan ?? ? ? dapat ditulis sebagai

? ? ? ????? ? ? ?? ?G??

? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ? ? ? ?? sedangkan ? dan ? memenuhi persamaan (25.i).

Penurunan persamaan ?? ? G?? dapat dilihat pada Lampiran 10.

Berdasarkan persamaan (25.i) diperoleh tiga parameter gelombang internal yaitu ?, ? dan ?. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter lainnya dapat ditentukan. Parameter ? bergantung pada nilai ? yang merupakan koefisien dari persamaan KdV dan nilainya bergantung pada rapat massa dan kedalaman fluida. selain itu bergantung pada nilai parameter ?G

Persamaan (24) memenuhi hukum konservasi massa yang dinyatakan sebagai berikut (Grimshaw 1971)

? ???? _{? ? ?}

???? ? ?

?

? ?

?? ? G? ? sehingga dengan menyub stitusi persamaan (25) ke persamaan ?? ? G?? diperoleh

? ??? ?? ???? ? ?_????? ?_? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? atau ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?

? ? G ?? ?G? ?

Persamaan ?? ?G? ? digunakan untuk memperoleh amplitudo yang bergantung pada variabel s. Untuk itu, misalkan

? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? sehingga persamaan ??? G? ? dapat ditulis sebagai

? ?

? ? ? ? ? ?? ????

? ?

? ? ? ? ? ? ?G ?? ?G? ?

Jika kedua ruas pada persamaan (27) diintegralkan, maka diperoleh

?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Selanjutnya substitusikan persamaan ?? ?G? ? dan ?? ?G?? ke persamaan ?? ? G? ?, diperoleh

?? ???? ?

? ? ? ????

?_? ?

??

?? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ? ?? ?G? ?

atau

?? ????? ?

?? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

??G ?? ?G? ?

Selanjutnya dengan menyubstitusi ? pada persamaan (25.i) ke persamaan ?? ? G? ? diperoleh

?? ?_???_??_?? _{? ?• ???• ??? ?? ? ? ?} ?

?

? ?? ??? ?

Penurunan persamaan (29) dapat dilihat pada Lampiran 10.

Berdasarkan persamaan (29) dapat diperoleh hubungan antara amplitudo gelombang dan kondisi fisis (seperti rapat massa, kecepatan arus dan ketebalan fluida). Besaran µ dan ? adalah koefisien per samaan ( 2 4) yang nilainya ber gan tun g p ad a kon d isi fisis fluid a. Ap abila kecep atan ar us d an r ap at m assa fluida diketahui d i upstream, m aka ked u a b esar an t er seb u t d ap at d it en t u kan ber dasar kan r um usan per sam aan dasar pada fluida dalam keadaan setim bang. Rum usan per sam aan dasar fluida dalam keadaan setim ban g diber ikan ber ikut ini.

4.3 Fluida dalam Keadaan Setimbang

Untuk penyederhanaan, misalkan dalam keadaan setimbang fluida ideal yang ditinjau bersifat tunak. Fluida tunak adalah fluida yang dalam perambatannya tidak bergantung pada waktu (time independent flow). Ilustrasi dari asumsi gelombang tunak ini adalah dimisalkan suatu gelombang difoto, gelombang tersebut bergerak seakan-akan bingkai foto yang bergerak, sehingga kecepatan gelombang sama dengan kecepatan bingkai. Misalkan gelombang tersebut bergerak ke kanan dengan

kecepatan ?G Dalam hal ini ? disebut juga kecepatan fase atau cepat rambat gelombang (Grimshaw et al. 2006), maka koordinat foto ? setelah ? detik adalah

? ? ? ? ? ?, sehingga

?_? ? ?_? ? ? • ?_? ? ? ? ?_?G Akibatnya persamaan (9.a) bagian pertama

?_? ? ??_? ? ? ?_? ? ?? dapat ditulis

? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? atau

? ?_? ? ? ?_? ? ? ? ?? ?G? ?

dengan ? ? ? ? ?.

Untuk memudahkan penulisan, notasi ? dan X pada persamaan ?? ?G? ? masing masing ditulis dengan notasi ? ??• ?? sehingga diperoleh

? ?_? ? ? ?_? ? ?G ?? ?G? ?

Dengan cara yang sama, persamaan dasar fluida seperti pada persamaan ?? ? menjadi ? ?_? ? ? ?_? ? ? ?

?_?? ?_? ? ?? ? ?? ?_? ? ? ?_?? ? ?? ?_?

? ? ? ?

? ?? ?? ? ? ??? ? ?? ???? ? ?? ? ? ??? ? ? ?

?? ? G? ?

dengan syarat batas

? ? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??

? ? ? ?_? ? ? ???? ? ? ? ? ????

? ?? ? G? ?

(lihat Lampiran 11).

Selanjutnya dalam keadaan setimbang, dimisalkan bahwa fluida yang ditinjau memiliki rapat massa ?_??? ???? tekanan ?_??????, kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal masing- masing adalah ??????? dan ??? ??? ???, sedangkan total gaya pada arah horizontal dan vertikal masing-masing adalah ???_??? ???,

?????????, dengan? ? ? adalah suatu parameter kecil yang digunakan sebagai pendekatan pada gelombang linear (Grimshaw et al. 2006).

Misalkan pula

? ?? ??? ? ??? ???? ?? ?G? ?

sehingga

?_? ? ???_?? ?_? ? ???_??G ?? ?G? ?

Dengan menyubstitusi persamaan ?? ?G? ? ke persamaan ??? G? ? diperoleh ?_??_{? ??}? ?_??_{? ?} ? ? ?

?_???? ?_{? ?} ? ? ? ?_???_??_???? ?_??_??? ? ? ? ?_?

? ??? ??? ?? ?????? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?

? ?_??

? ? ? ??? ? ? ?

??? ? ?

?? ? G? ?

dengan syarat batas

? _? ? ?_??_???? ? ? ? ? ? ? ? ?_??? ?_??

?_? ? ? ? ? ? ? ? ? ?_????_??

?_? ? ?_??_??? ? ???? ? ? ? ? ?????

? ?? ? G? ?

(lihat Lampiran 12).

Dalam kondisi setimbang, ?_? dan ?_? dapat dianggap sebagai gaya badan dari elemen fluida atau sebagai gaya gesekan atau juga dapat dianggap sebagai gaya luar. Dalam kondisi setimbang, persamaan dasar fluida dalam keadaan tunak diberikan oleh persamaan ?? ? G? ?. Jika persamaan ?? ?G? G???? diturunkan terhadap ? dan persamaan ?? ? G?G?? ? diturunkan terhadap ? ? kemudian ?_{? ???} dieliminasi, maka diperoleh

?

? ???????? ??? ???? ??? ? ????

? _?

?????? ??? ? ??? ?? ? ? ? ?_?

? ??

? ?_{? ?} ? ???_{? ?}?G ?? ?G? ? Selanjutnya misalkan

? ? ??_?

? ? ? ?? ?G ?? ?G? ?

? ? ???????? ? ? ??? ? ?_? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? _? ???? ? ? ?_{?? ? ?} ??? ? ???? ?? ? ?? ?_?

? ? ? ?? ? ? ???? ? G (34.c) Selanjutnya, misalkan fungsi ? merupakan fungsi arus yang memenuhi

?_? ? ?_? dan ?_? ? ? ?_??

maka ?_? hanya bergantung pada ? , misalkan ?_? ? ?_??? ?G Berdasarkan kondisi

upstream, yaitu ? dan turunan-turunannya nol untuk ?? ? ? ? ? persamaan ?? ?G?? menjadi ?_??_? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ???? ? ?? ? ? ? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? _? ? ? _? ? ? ?? ? _{? ?}? ?_??? ? ?_??_? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ???? ? ?? ? ? ? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? _? ? ? _? ? ? ?? ?_{? ?}? ?_??? ? ?_{? ?} ? ??_?

? ?? ?? ? G? ?

atau ?_??_? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ???? ? ?? ? ? ? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? _? ? ?_? ? ? ?? ? _{? ?}? ?_??? ? ?_??_? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ???? ? ?? ? ? ? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? _? ? ?_? ? ? ?? ? _{? ?}? ?_??? ? ?_{? ?} ? ??_?

? ? ?? ?G? ?

atau dapat ditulis sebagai

?_?????? ? ? ?_{? ?} ? ???_{? ?} ??? ? dengan ? ? ?_{? ?}? ???_{? ?? ?}? ? ?_? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ?_? ? ?_? ? ??? ? _{? ?}? ?_?? dan ????? ? ? ?? ??? ? ???? ?

Jika gaya luar ?? ? ? • ?? diabaikan, maka penyelesaian persamaan (35) adalah

? ? ? ?? ?, yang merupakan penyelesaian dari persamaan Long untuk kondisi tunak

pada fluida dua dimensi (Long 1953). Syarat batas (33.b.i) dan (33.b.iii) menjadi

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?_????_??

? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? (36)

dengan ? ??? adalah fluks massa pada aliran setimbang, sehingga syarat batas dinamik yang ditinjau adalah

?_??_{? ? ?}? ? ?_? ? ? ? ???

? ???

? _? ? ??

?_? ?

?_?

? ? ?_?? ? ? ??? ? ? ?_?

??? ???? ? ? ? ? ? ? ?_??? ?_??

??? ? Dengan demikian fungsi ? dapat diperoleh berdasarkan persamaan dasar fluida yang diberikan oleh persamaan (35) dengan syarat batas (36). Hasil dari fungsi ? ? diperoleh kecepatan arus dalam keadaan setimbang, yaitu ?_?G Untuk penyederhanaan, dapat digunakan pendekatan Boussinesq, yaitu ? ? ?. Hal ini dapat dilakukan karena ? memenuhi nilai ? antara ? ?? ? dan ? ?? ? (Holloway et al. 2002). Berikut ini akan dikaji gerak gelombang soliter dengan meninjau suatu kasus tertentu, dimana ?_? dan ?_? diketahui.

4.4 Contoh Kasus pada Fluida Dua Lapisan

Tinjau suatu fluida dua lapisan yaitu suatu fluida yang terdiri atas dua lapisan yang masing- masing lapisan mempunyai rapat massa yang konstan. Gelombang internal muncul pada batas kedua lapisan tersebut. Gelombang ini biasa disebut gelombang interfacial. Aliran air dan minyak dalam pipa, serta aliran lumpur di suatu perairan adalah contoh dari gelombang interfacial.

Misalkan rapat massa fluida dua lapisan yang akan dibahas diberikan dalam bentuk

?_???? ? ??? ? ??• ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ??• ? ? ?? ? ? ? ? G

seperti diperlihatkan pada Gambar 4.

Berdasarkan domain fluida pada persamaan (38.b), persamaan (14.a) dengan syarat batas (14.b) dapat ditulis

Penyelesaian MNB adalah

dengan

yang diperoleh dari syarat ? ?? ? ? ? ?G

Penurunan persamaan (40.a) dapat dilihat pada Lampiran 14.

Nilai ?? dapat ditentukan sebagai berikut. Jika persamaan ?? G?? disubstitusi ke persamaan ??? G? ?? maka diperoleh

??_??? ?? _{? ?}?_??? ?? ??_{? ? ?}? G ?? ?G? ?

Jika kedua ruas pada persamaan ?? ? G?? d iintegralkan terhadap ?? dari ? ? ? ? sampai ? ? ? ?? maka diperoleh

?_??? ??_{? ?}?

? ? ? ?

G

? ? ? ?

? ?? ??_?? ?

? ? ? ?

G

? ? ? ?

?? ?G?? Selanjutnya ? ???? pada persamaan ?? ? G?? disubstitusi ke persamaan ?? ?G?? dan membuat ? ? ?, diperoleh

?_??? ? ?? ? ? ?

?? ??? _{? ? ?}? ????

? _{? ?}? ?_? ?

?? ? ? ?

?? ?? ? _{? ? ?}?? ? ? ? ??

?_{? ? ?}? ?_?

??? ? ? ? atau

?_? ?_? ?

?? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ?

?? ? ? ? ?? G ?? ? G? ?

Karena

? ? ? ??? ? ??? ?_? ? ?_? ? maka persamaan ?? ? G? ? dapat dinyatakan sebagai

? ? ?

? ? ? ?

?? ? ? ? ? ?_{???? ? ?} ?_{? ?}

?? ? ? ?? atau

???? ??? ? ? ? ? ?? ?_{? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?G ??? ?}

Persamaan (41) memberikan persamaan untuk ???? yaitu

?? ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ?_{?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?}

Selanjutnya gunakan pendekatan Boussinesq yaitu ?? ? ?? atau ? yang cukup kecil, maka deret Taylor dari ??? terhadap ? yang diberikan pada persamaan (42.a), adalah

?? ? ? ?

? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??

?_{? ? ? ? ??}?_{?G ?? ?G? ?}

Penurunan persamaan (42.b) dapat dilihat pada Lampiran 14.

Kemudian akan ditentukan ? dan ? yang merupakan koefisien persamaan (26). Nilai ???? dan ?? diperoleh dari persamaan (24) dan bergantung pada kecepatan arus ?_?. Dalam tulisan ini akan ditinjau dua kasus, yaitu kasus dengan ?_? ? ? (tidak ada arus) dan ?_? ? ? (kecepatan arus dinyatakan dalam fungsi linear).

4.4.1 Kasus Tidak Ada Arus ??_? ? ? ?

Dalam kasus ini dimisalkan tidak ada arus sehingga dari persamaan (12.c) dan (42.b) diperoleh

?? ? ? ? ? ?

? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?_{? ? G ??? ?}

Dari persamaan (22) diperoleh

?? ? ? ? ??_? ? ?

?? ? ? ? ?? ?

? ?

?? ? ? ? ?_{? ?}?? ?? ?G??

?? ? ?

? ? ?_?

? ? ? ? ? ?

? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????

?? ? ? ?_{? ?}? ? ?? ?G? ?

? ? ? ? ?_? ? ?

? ? ? ?

? ?

?? ? ? ?_{? ?}?? G ?? ?G??

Besaran r menyatakan perbandingan rapat massa antara kedua fluida atau ? ? ??

?_? G ??? ?

Dari persamaan (44.a-c) diperoleh koefisien ? dan ? sebagai berikut

? ?

? ? ? ?

?? ? ? ? ?? ?

? ? ?? ? ? ? ?_{? ?}??

? ? ?

? ? ? ?

? ? ?? ? ? ?_{? ?}??

?? ? G? ?

? ?

? ?? ? ? ? ? ???

? _{? ?? ?} ?_{? ? ? ?} ?_??_?

?? ? ? ?_{? ?}? ?

? ? ?

? ? ? ?

? ? ?? ? ? ?_{? ?}??

?? ? G? ?

Berikut ini akan ditentukan gerak gelombang interfacial berdasarkan pada persamaan (29), tetapi dengan asumsi ? = 0, yaitu gaya gesekan diabaikan sehingga persamaan (29) dapat dinyatakan sebagai

?? ? ? ?

? ??_? ? G ?? ?G??

Jika ? ???? ??• ? masing-masing pada persamaan (46.a), (46.b), (44.a) dan (43) disubstitusikan ke dalam persamaan (46.c), maka diperoleh

?? ? ? ???

?_{?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??}

? ??? ? ? ? ??_? ?_{?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ??}?_{? ?}?_?

?

? ? ???? ? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? ??_{? ?? ? ? ?? ? ? ???}?_{?? ?? ? ? ?? ? ??}?

? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ??

?_{? ? ??} ? _{? ? ? ?} ? _{? ??} ?_? ? ?? ? ? ? ??_{? ?? ? ? ?? ? ? ???}?_{?? ?? ? ? ?? ? ??}?

? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ????

?_? ? ?? ? ? ? ??_{? ?? ? ? ?? ? ? ???}?_{?? ?? ? ? ?? ? ??}?

? ?? ?? ? ? ? ?

?_{?? ? ? ?? ? ? ? ?? ??}?_?? ? ?? ? ? ? ??_{? ?? ? ? ?? ? ? ???}?_{?? ?? ? ? ?? ? ??}?

4.4.2 Kecepatan Arus Berupa Fungsi Linear (?_? ? ?)

Misalkan ?_?? ?, maka persamaan (12.c) menjadi ?? ? ? ? ? sehingga ???? dan ?? pada persamaan (22) adalah sebagai berikut

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ?? ? ??

? ? ??

? ?? ? ? ?

?_{? ? ?} ?_{? ?? ? ? ? ? ? ? ??} ?_{? ? ? ?}?_?

? ? ? ?? ? ?

? ? ??? ? ? ?? ?_?? ?? ?G??

?? ?

?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?

?? ? ? ?? ?

?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?

?

? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

?_{?? ? ? ?? ? ? ?} ?_{?? ? ? ?? ? ?} ?_{?? ? ? ? ??? ?} ? ? ?? ?? ? ? ???

?

?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ???? ? ? ? ?? ?? ? ? ???

? ?? ? ? ? ? ? ?

? ??_{?? ? ? ?? ? ?} ?_{?? ? ? ? ??????}

? ? ?? ?? ? ? ??? G ?? ?G? ?

?? ? ?

? ??? ? ? ? ? ? ?? ?

? _{? ??} ? _{? ?? ?} ?_{? ? ??} ?_{? ?}

? ?

? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?

?_{? ? ??} ?_??

? ?? ? ?? ? ? ? ? ?

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?

? ?? ? ?

? _{? ? ? ? ?}? _{? ? ? ? ?}? _{? ? ? ?} ?

? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ?G??

Penurunan persamaan (48.a-c) dapat dilihat pada Lampiran 16.

Koefisien? dan ? pada persamaan (29) adalah sebagai berikut.

? ? ?

?_? ??

?_{?? ? ??? ? ? ?? ? ? ??}?_{? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?}

? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???

? ?

??

? ?? ??? ? ?? ?? ?? ??? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????

? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ??

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ?_{?? ? ???? ? ? ? ???} ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ???

? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ??? ?? ? ? ? ???? ?? ? G? ?

? ? ? ?? ? ? ?

?_? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ?

?_{?? ? ? ? ? ??}

? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

?_? ?? ? ??

?_{? ? ?? ? ? ??? ? ? ??}?

? ? ?? ??? ? ? ???? ? ?? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?_{?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?} ?_{? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ????} ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??

dengan

? _? ? ?? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?_? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??

? _? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?_? ?

Dengan menyubstitusi persamaan (48.a), (49.a) dan (49.b) ke persamaan (29) diperoleh hubungan amplitudo gelombang interfacial dengan kondisi fisis fluida, yaitu

?? ?

? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ?? ? ??? ?? ? ? ??? ? ??

? ?? ? ?? ? ? ? ???? ? ?? ?

?_{?? ? ? ? ? ? ? ??}?_?

? ?? ? ?_{?? ? ? ??}? _{? ?? ?} ?_{? ? ??} ?_{??? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ???} ? ?? ? ?? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?_{?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????}

? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? ????

dengan

4.5 Analisis Hasil

Kebergantungan amplitudo terhadap kondisi fisis fluida diberikan pada persamaan (47) untuk kasus tak ada kecepatan arus dan pada persamaan (50) untuk kecepatan arus berupa fungsi linear . Kedua kasus tersebut dapat dijelaskan dalam Gambar 5.

Gambar 5 Grafik hubungan amplitudo dan perbandingan kedalaman fluida dua lapisan untuk kasus (a) dan (b)

Pada kasus (tidak ada arus), gelombang interfacial dengan amplitudo sangat kecil terjadi bilamana kedua lapisan fluida mempunyai ketebalan yang hampir sama, sedangkan pada kasus (ada arus), amplitudo gelombang sangat kecil bilamana lapisan bawah lebih tebal dari lapisan atasnya. Pada kedua kasus, amplitudo gelombang cukup besar bilamana salah satu lapisan fluida sangat

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

?40 ?20 0 20 40

h₁ h

a

3

a

tipis atau mendekati fluida satu lapisan. Pada kasus ?_? ? ? gelombang interfacial

berupa elevasi bilamana lapisan atas lebih tebal dari lapisan bawahnya. Sebaliknya berupa depresi bila lapisan bawah lebih tebal dari lapisan atasnya. Pada kasus ?_? ? ? gelombang interfacial berupa elevasi bilamana perbandingan lapisan atas dengan lapisan bawah lebih besar dari dua pertiga, sebaliknya gelombang interfacial berupa

depresi.

5.1 Simpulan

Gelombang internal dapat terjadi pada lapisan fluida dengan rapat massa yang berbeda-beda. Persamaan dasar bagi gerak gelombang internal diturunkan berdasarkan asumsi fluida ideal dengan menggunakan Hukum Kekekalan Massa dan Hukum Kekekalan Momentum. Berdasarkan persamaan dasar fluida ideal yang diperoleh, diturunkan persamaan gerak gelombang dengan melibatkan variabel arus. Penurunan persamaan gerak gelombang internal dilakukan dengan menggunakan metode asimtotik, dimana semua variabel tak bebas pada persamaan dasar fluida ideal dinyatakan dalam uraian asimtotik terhadap suatu parameter kecil. Parameter kecil tersebut menyatakan perbandingan antara ampitudo gelombang yang ditinjau dengan kedalaman fluida (asumsi gelombang panjang dan amplitudo kecil). Penyelesaian persamaan KdV standar dalam bentuk gelombang soliter menghasilkan tiga parameter gelombang, yaitu amplitudo gelombang, panjang gelombang, dan kecepatan fase gelombang. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter lainnya dapat ditentukan. Ketiga besaran ini juga bergantung pada variabel arus dalam arah horizontal.

Formulasi gelombang soliter internal persamaan KdV standar dengan koefisien bergantung pada variabel arus diaplikasi pada fluida dua lapisan. Fluida dua lapisan adalah fluida yang terdiri dari dua lapisan dengan rapat massa yang masing-masing konstan. Dalam studi kasus ditinjau variabel arus berupa fungsi linear terhadap kedalaman, sedangkan rapat massa dalam keadaan setimbang digunakan rapat massa fluida dua lapisan. Hasil yang diperoleh dibandingkan dengan kasus tidak ada arus. Dengan bantuan Software Mathematica diperoleh bahwa amplitudo gelombang cukup besar bila salah satu lapisan cukup kecil (mendekati fluida satu lapisam). Pada fluida tanpa variabel arus, gelombang soliter internal mempunyai amplitudo yang sangat kecil, bilamana ketebalan kedua lapisan hampir sama,

sangat kecil bilamana lapisan bawah lebih kecil dari lapisan fluida di atasnya. Pada fluida yang melibatkan arus, gelombang soliter berupa elevasi bilamana perbandingan lapisan atas dengan ketebalan fluida lebih besar dari sepertiga, sedangkan bila tanpa arus gelombang soliter berupa elevasi bilamana perbandingan lapisan atas dengan ketebalan fluidanya lebih besar dari setengah.

5.2 Saran

Pada penelitian ini hanya dibahas untuk kasus arus yang bergerak sejajar dengan arah perambatan gelombang, sedangkan pada kenyataannya tidak selamanya searah dengan perambatan gelombang. Fenomena alam ini tentu saja sangat mungkin terjadi pada gelombang soliter internal, sehingga penelitian ini terbuka untuk penelitian lanjutan.

Apel JR. 1980. Satellite sensing of ocean surface dynamics. Ann. Rev. Earth Planet. Sci, 8: 308-342.

Billingham J, King AC. 2000, Wave Motion. Cambridge University Press.

Clarke S, Grimshaw R, Miller P, Pelinovsky E, Talipova T. 1981. On the Generation of soliton and breather in the modified Korteweg de-Vries equation. Chaos 10: 383-392.

Grimshaw R. 1971. The solitary wave in water of variable depth. Fluid Mech. 46: 611-622.

Grimshaw R. 1983. Evolution equations for nonlinear internal waves in stratified shear flows. Stud. Appl. Math. 65: 159-188.

Grimshaw R. 1979. Slowly varying solitary wave I. Korteweg-de Vries equation,

Proc. Roy. Soc. Ser. A. 368: 359-375.

Grimshaw R, Pelinovsky E, Talipova T. 2006 Modeling Internal Solitary Waves in the Coastal Ocean UK : Loughborough University.

Holloway P, Pelinovsky E, Talipova T. 2002. Internal tide transformation and oceanic internal solitary waves. USA: Dordrecht Kluwer.

Long RR. 1953. Some aspects of the flow of stratified fluids J. Tellus 5 : 42 – 58. Newell A. 1985. Soliton in Mathematics and Physics. Pennsylvania: University of

Arizona.

Strauss WA. 1992. Partial Differential Equations. USA: Malloy Lithographing Inc. Zhou X. 1985. Effect of current on the fission of a solitary waves. Sci. Sinica. 28:

1278 – 1290.

Zhou X. 1989. Effect of variable current on internal solitary waves. Dynamics of Atmospheres and Ocean. 14: 17 – 39.

? ? ? ? ? ?? ?

? ? ? ????? ?? ??G? ?

? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

?? ?? G? ?

Persamaan ??G? ? disubstitusi ke persamaan ?? G?? diperoleh ? ? ? ? ? ? ?? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?

??

??? ? ????? ?? ??G? ?

?_?

???? ? ??????? ?_? ????? ?_? ????? G_? ??G? ?

Selanjutnya ?????_? pada ?? G? ? dan ?? G? ? dieliminasi sehingga diperoleh

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?

? ? ? ? ? ?

? ?

? ?? ? ?????? ? ?? ???? ? ?? ????? G? ??G?? Karena ??????_?, ?????_{? dan} ??????_{? masing-masing adalah}

??????? ? ? ? ? ? ? ? ?_? ????? ? ?_? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?? ?????? ? ?? ????? ? ? ?? sehingga persamaan ??G?? dapat ditulis

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?G Kedua ruas dibagi dengan faktor ? ? ? ? ? sehingga diperoleh

? ??? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? atau ? ??_?? ? ?_? ? ? ?_?? ? ?? ?_?

? ? ? ? ??G? ?

? ?? ? ? ? ? ?

? ?

? ? ? ?

? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?????G? ??G? ?

Karena

?_?

???? ? ?????? ? ?? ???? ? ?? ?????? ??G? ?

dengan

??

????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ? • ??????? ?? ????? ? ? ?? maka diperoleh

???_?? ? ?_? ? ? ?_?? ? ?? ?_??

?? ?? ? ? ? ??G??

Dari persamaan permukaan fluida

? ????? ? ?????? ? ? ? ? ? diperoleh turunan total ? terhadap waktu ?

? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????

atau ?

? ??? ? ?? ? ? ? atau

?

? ??? ? ?? ? ? ?

? ?????? ? ?? ? ?

?

? ????? ? ? ?? ? ?? sehingga diperoleh

?_?? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???G ?? G? ?

Selanjutnya dari persamaan pada batas bawah fluida ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? diperoleh turunan total ? terhadap waktu ? adalah ? ?

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??

atau ?

? ??? ? ? ???? ? ?

atau ?

? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?

? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?

? ??? ? ? ???? ? ? ?

Dari persamaan (9.a)

?_?? ??_? ? ? ?_? ? ?? ???

?_? ? ?_? ? ?? ????

? ??_?? ??_? ? ? ?_?? ? ?? ?_?

? ? ? ? ?????

? ??_?? ? ? _? ? ? ?_?? ? ?? ?_??

?? ? ? ? ? ????

dengan syarat batas (9.b)

?_?? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ???

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ??

? ? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???G ?????

Apabila kecepatan horizontal, kecepatan vertikal, rapat massa, dan tekanan fluida masing- masing dinyatakan oleh ?_? ? ? , ???_? ? ? , ?_? ? ? dan ?_? ? ? ? maka dari persamaan (9.a.i) dapat dinyatakan sebagai

?_?? ??_? ? ????_? ? ? ?_? ? ? ??_?

? ? ? ???? ? ??? ? ? atau

?_? ? ??_?? ???_{? ?} ? ??_?? ???_? ? ? ???_? ? ? ??_{? ?} ? ? ???_? ? ? ??_? ? ? G (9.a.i.i) Dari persamaan (9.c) diperoleh ? ?? ? ??? ? ? sehingga persamaan (9.a.i.i) dapat ditulis

?_? ? ??_?? ???_{? ? ?} ? ? ?

? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ?_?

?? ? ??? ? ? ? ? ?_?

? ? ? ??? ? ? atau

?_? ? ??_?? ???_{? ? ?}?? ? ??_?? ? ??_? ? ? ???_? ? ? ??_{? ?} ? ? ???_? ? ? ??_? ? ? atau

?_? ? ????_??_{?? ?}? ?_??_??? ? ??_?? ? ??_? ? ? ??_?

? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?_{? ?}

? ? ?? ?G (9.a.i.ii) Apabila setelah t detik, kordinat gelombang ? dinyatakan dalam ? ? ? ? ? ?, maka

? ??_? ? ? ?_? ? ? ?_? ? ? atau

?_??? ? ?? ? ? ?_? ? ? G (9.a.i.iii) Misalkan ? ? ? ? ?? sehingga persamaan (9.a.i.iii) dapat ditulis

? ?_? ? ? ?_? ? ?.

Untuk penyederhanaan ? ? ??? ??? ? sehingga

? ?_? ? ? ?_? ? ? G (9.a.i.iv) Selanjutnya dimisalkan fluida yang ditinjau memiliki rapat massa ?_??????? , tekanan ?_??? ????, gaya badan arah horizontal adalah ???_??????? dan gaya badan arah horizontal adalah ???_??? ????, sedangkan kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal masing- masing adalah ?_????_{??? dan ?}?_?

??? ????, sehingga persamaan (9.a.i.iv) menjadi

?_? ?_{? ?} ? ??? _??_{? ?} ? ? ?? G?G?G??

atau

?_? ?_{? ? ?}?? ?

?? ? ?

?_?

??? ? ? ? atau

???_? ?_{? ? ?}? ???_??_{? ?} ? ? atau

?_??_{? ??}? ?_??_{? ?} ? ? G ??G? G?G???

Dengan menyubstitusi persamaan ?? G? G?G??? ke persamaan (9.a.i.ii) diperoleh ?_? ? ??_?? ? ??_? ? ? ??_?

? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ?G

Dengan cara sama diperoleh

???G ? ??_?? ? ?_? ? ? ?_?? ? ?? ??_? ? ?

? ??_?? ??????? ???? ??? ? ?????? ??? ? ?????? ? ????? ???? ? ?? ??_? ? ? ? ?? ? ? ?G

? ?????_??_{? ?}? ? ?_??_{? ?}? ? ?? ??_? ? ? G ?? G ? ??_? ? ? ?_? ? ? ?_?? ? ?? ???_?? ? ? ? ?

? ??

?? ? ??? ?? ???? ? ?? ? ? ??

? _{? ? ??}

?? ??? ?? ?? ???? _{? ?}?? ? ?????_??_{? ?}?? ?

?? ? ?? ? ? ? ?_??

? ? ?? ? ?? (G = 0).

? G ?_?? ? ?_? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????

? ?_? ? ??_?? ? ? ??_? ? ??

? ? ? ? ?_?

Dari persamaan ??? G? ? ? ? ?? ?? ? ? ??_{?? ??•}

? ? ?? ?? ? ?? ? ?

? ????• ???

? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?G Dengan aturan rantai diperoleh

?_? ? ?_? ? ? ? ?

?? ?? ?

? ? ? ? ? ? ???

? ?_? ? ? _?? _{? ??} ? ?_? ? ?

?_? ? ?_?? ? ? ?

? ? ? ? ? ???

?_{?? ?? ? ? ?}?_? ? ? sehingga persamaan (10.a.iii) menjadi

??_? ? ? ??? ???_?? ??_?? ? ??? ? ??_? ? ???? _? ? ? ??_? ? ? ?_{? ?}? ??? ?? ??_{? ?}? ? ??

???_??? ??_{? ?} ? ?_??_{? ?}? ? ?? ?

?? ? ??_? ? ? ?? ? G? G???G?? Apabila uraian asimtotik pada persamaan (11.b) disubstitusikan ke persamaan ?? ?G? G???G??, maka diperoleh

??_? ? ??? ?

? ? ? ?_{? ?}

? ? ? ??? ? ?_???_?

?? ? ?_?

? ? ? ??? ??_?? ???_? ? ???_? ? ? ??? ? ?????_? ? ???_? ? ? ?_?? ???_?

? ? ???? ? ????? ? ?????? ? ????? ? ?? ?

????_?? ???_? ? ? ??_??? ??????_? ? ???_?? ? ??? ??_{? ?}?? ?????? ?

?? ? ?_{? ?}

?? ? ????? ? ?_?

? ? ? ???? ?? ?

??? ? ??_{? ?} ? ??? ? ??_?? ? ??? ? ??_??_??_{? ?} ? ??? ? ??_??_??_{? ?} ? ???_??_??? _? ? ?? ? ??_??_??_{? ?} ? ?? ? ??_??_??_{? ?} ? ??? ? ??_??_???_?? ?? ? ??_??_??_{? ?} ? ???_?? _??_?? ? ???_?? _??_{? ?}? ???_??_{? ?}? ??? ? ??_??_??_{? ?}

? ??_? ? ?_?

????? ? ? ? ?_?

????? ? ? ? ?_?

????? ?? ? ?_?

????? ? ? ??? ? ??_??_??_{? ?} ? ???_??_??_{? ?} ? ??? ? ? ??_??_??_{? ?}

? ???_??_{? ?}?_? ? ??? ?_?? _??_?? ? ??? ?_?? _??_{? ?}

? ??? ? ??????? ?? ??? ???? ?? ??? ? ? ??????? ? ? ??? ? ? ??????? ? ? ??? ? ? ??_??_??_{? ?} ? ??? ?_?? _??_{? ?} ? ??? ?_?? _??_{? ?} ? ????_?? _???_? ? ??? ?_??_{? ?}? ?? ? ? _{? ?}? ? ? ? G

Dari koefisien ?? diperoleh

??? ? ??_?? ? ??? ? ??_??_??_{? ?} ? ???_??_???_? ? ? G ?? ? G?G???G??? Misalkan ?? ? ? ? ?_?,

dalam kondisi tunak ? = 0 sehingga persamaan ??? G? G???G??? menjadi ??_? ? ?_?

? ? ? ??? ? ????? ??? ? ????????? ? ? ??? ? ???_{? ?} ? ?_???? ?_?? ? ? ??_??_??? ? ?

?_??? ?? ?_?? ? ? ??????_{? ?}? ? ?_{? ?} ? ?? (12.a.i) ?_{? ?}? ?_? ? ?? (12.a.ii) ?_?? ? ? ? _{? ?} ? ?? (12.a.iii) ? ?? ?_?? ? ? ?_???_?

? ? ?? (12.a.iv) Substitusikan variabel ?? ? pada persamaan ?? ? G?G???? ke persamaan (? ? G?G??

sehingga diperoleh

?_????? ?? ?_{? ?}? ? ? ??????_? ???? ?? ? ? ? ? selanjutnya diturunkan terhadap ? sehingga diperoleh

??_???? ? ?_{? ?} ? ? ??????_? ????? ?? ? ? ? ? G (12.a.v) ?_{? ?} ? ? • ?_? pada persamaan (12.a.ii) masing- masing diturunkan terhadap ? kemudian disubstitusi ke persamaan (12.a.v) sehingga diperoleh

?? ?_{? ? ?}? ? ?_???_?

? ? ? G ?? ? G???

Selanjutnya dengan menyubstitusi persamaan (12.vi) ke persamaan (12.v) diperoleh ?? ??_???? ? ?_?? ? ? ??????_? ????? ? ???

?_?

?_??? ?? ?_{? ?} ? ? ??????_{? ?}? ? ?_?? ? ?? (12.a.i) ?? ?? ?? ? ?? (12.a.ii) ?_?? ? ? ?_?? ? ?? (12.a.iii) ? ?? ?_{? ?} ? ? ?_?? ??_? ? ?? (12.a.iv)

Misalkan

? _? ? ? ?_?? ? ??? ? G (13) Jika persamaan (13) disubstitusi ke pesamaan (12.a.iii), maka diperoleh

?_{? ?} ? ? ??_?? ? ?_{?? ? ?} ? ? ? atau

?_{? ?} ? ??_??? ? ?_? kedua ruas diintegralkan terhadap ? sehingga diperoleh

?_? ? ? ??? ? ?_?G (15.a) Jika persamaan (15.a) disubstitusi ke pesamaan (12.a.iv), maka diperoleh

? ?? ?_{? ?} ? ? ?_????? ?_?? ? ??? ? ? atau

?_{? ?} ? ?_?? ?_? ?? kedua ruas diintegralkan terhadap ? sehingga diperoleh

?_? ? ? ?_?? ?? G (15.b) Dengan menyubstitusi persamaan (15.b) ke persamaan (12.a.ii) diperoleh

?_{? ?} ? ? ?_?? ?? ? ?

karena ??_?????_??_? ? ?_?? ?? ? ? maka ?_?? ? ??_?????_??_? , sehingga diperoleh ?_? ? ? ?_?????_? . (15.c) Selanjutnya persamaan (13) disubstitusi ke persamaan (12.a.iv) sehingga diperoleh ?? ?????? ? ?? ??? ? ??? ? ??? ? ????? ??? ? ??? ? ????? ? ??? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? atau

atau

??_??? ?? ??? ? ?_? ? ??_??? ? ??_? ? ?_?? ??. (12.a.v) Karena

??? ? ?? ? ???? ? ???? atau

?? ??? ? ?_? ? ?? ??_?? ? ?_??? ?? atau

? ?_??? ? _{? ?? ?? ??? ? ?}

? ? ????? ? ??

maka persamaan (12.a.v) dapat dinyatakan sebagai ?? ?_??_??? ??_? ? ?_?? ??

atau

??_??_?????_? ? ?_???? ? ?. (14.a) Dengan menyubstitusi persamaan (15.c ) ke persamaan (12.b.ii) diperoleh

? ? ?_?????_? ? ?_??_? ? ? atau

? ? ?? ?_?

? ? ?? ? ??yang apabila diturunkan terhadap ? maka diperoleh ? ?_??? ?_?

? ? ?? ?. (12.b.iv) Pada batas atas fluida di ? ? ??, substitusikan persamaan (13) ke persamaan (12.b.i) sehingga diperoleh

?? ?_{? ?} ? ? ?_? ? ? ??? ? atau

? ?_??? ??_? ? ?_?? atau

? ????_? ? ? atau

? ???_?

Lampiran 13 Penurunan persamaan (40 & 42)

Berdasarkan domain fluida pada persamaan (38.b). Persamaan (14.a) dengan syarat

batas (14.b) dapat ditulis

??

_?

??

?

?

_??

?

_??

? ?

_?

?

?

? ? ?G

?? ? G

??

?• ??• ?????? ?????

? ??

?

_?

??

? ? ? ? ?

? ? ? ?

?

? ? ? ?

?? ? G

? ?

? ? ? ?

? ? ? ? ??? ? ?

? ? • ??• ???

?

?

G

Sedangkan persamaan (38.a) menjadi

?

_?

???? ? ?

?

_?

?

?

??• ? ? ? ? ??? ? ?

?

?

??• ? ? ? ? ??? ?

?? ?G? ?

? ? • ??• ? ?

?

?

?

G

Untuk batas

? ? ? ??? ?

karena

?

_?

????

=

?

_?

(konstan), maka

?

_{? ?? ?}

? ?

sehingga solusi umum daerah ini

adalah

? ???? ? ? ??? ? G

Untuk

??? ?

diperoleh

? ???? ? ?

dan

?

_{? ?}

? ?

sehingga

? ??

?

? ? ? ? ?

, atau

? ? ? ??

?

?

sehingga

? ??? ? ? ???? ? ??

?

?

?? ?G??

Untuk

??? ? ? G

? ?? ? ? ? ? ?? ??

?

_{? ? ?G}

_{?? ? G}

_{? ?}

Untuk batas

? ? ? ?? ? ? ?

?

_?

????

=

?

_?

(konstan), maka

?

_{? ?? ?}

? ?

sehingga solusi umum pada batas ini adalah

? ???? ? ? ??? ?

?? ?G

? ?

Untuk

??? ? ?

diperoleh

? ? ? ? ? ?

atau

? ? ?

sehingga

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

?? ?G

? ?

atau

? ???? ? ? ?? ? ???

? ?? ? ? ? ? ? ?? ??

?

? ? ?

, sehingga

? ?

? ?? ? ? ?

? ??

?

_{? ?}

?? ? G? ?

diperoleh penyelesaian

? ???

untuk dua daerah yang diberikan pada persamaan (38.b)

yaitu

? ? ? ?? ? ?

?

? ???? ?

?? ? ? ?

? ??

?

_{? ?}

? ??? ? ??

?

_?

? ? ?

? ??

?

_{? ?}

? ?

?

?? ? ? ?

? ??

?

_{? ?}

???? ? ??

?

_{? ?}

? ? ? ?? ? ? ? ?

? ???? ? ? ??? ?

? ? ???? ? ?

atau

? ???? ? ? ?

??? ?

? ? ? ?? ? ? ?

G

?? ? ? ?

?? ??

?

_{? ? ?}

???? ? ??

?

_?

_{? ? ? ?? ? ? G}

?? ? G

? ?

Selanjutnya substitusi persamaan

?? G??

ke persamaan

?? ?G? ?

memberikan

??

?

??

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

?

?? ?G? ?

sehingga dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap

z

dari

? ? ? ?

sampai

? ? ? ?

diperoleh

?

_?

??

?

_?

?

?

? ? ? ?

G

? ? ? ?

? ?

? ?

_?

?

? ?

? ? ? ?

G

? ? ? ?

?? ?G??

Selanjutnya

? ???

pada persamaan (40.a) dengan daerah yang dibatasi oleh persamaan

(38.b) disubstitusi ke persamaan

?? ? G??

sehingga diperoleh

?

_?

??

?

?

?? ? ? ?

?? ??

?

_{? ? ?}

? ?

?

??

?

_?

? ?

? ?

_?

?

?

?? ? ? ?

?? ??

?

_{? ? ?}

?? ? ? ? ? ? ??

?

_{? ? ?}

? ?

_?

?

? ?? ? ? ? ? ? ?

untuk

? ? ?

, diperoleh

?

_?

??

?

?? ? ? ?

?? ??

?

_{? ? ?}

? ?

?

??

?

_{? ?}

? ?

_?

?

?? ? ? ?

?? ??

?

_{? ? ?}

?? ? ? ? ??

?

_{? ? ?}

? ?

_?

?

?? ? ? ?

atau

?

_?

??

?

?? ? ? ?

?? ??

?

_{? ? ?}

? ?

?

??

?

? ?

? ?

?

?

?? ? ? ? ? ?

? ?

?

?

?? ? ? ?

atau

?

_?

? ??

?

?? ? ? ?

????

?

_{? ? ?}

? ?

? ?

_{?? ? ? ?? ? ?}

?

??

?

_{? ? ?? ? ? ??}

atau

?

_?

?

?

?

?? ? ?

?

? ??? ? ? ? ? ?

?

? ?

?? ? ? ? ??

atau

?

_?

?

_?

?

?? ? ?

?

? ??? ? ? ? ? ?

?

? ?

?? ? ? ? ??

?? ? G

? ?

gunakan persamaan

? ?

? ??

?

? ?

?

?

?

_?

? ?

_?

sehingga persamaan (37.c) dapat ditulis sebagai

? ? ?

? ? ?

?

?? ? ? ? ?

?

_{???? ? ?}

?

_{? ?}

?? ? ? ??

atau

? ? ? ? ? ? ?

?

? ? ??

?

? ? ?

?

?

?

? ? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

atau

??

?

?

?

?? ? ? ? ? ??

?

_{? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?G}

_{??? ?}

Persamaan (38) memberikan persamaan untuk

??

?

yaitu

??

?

_?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??

?

? ? ?

?

_{?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?}

? ?

?

_{?? ? ? ?}

G

?? ? G

? ?

Deret Taylor dari

??

?

terhadap

?

yang diberikan pada persamaan (42.a)

dengan menggunakan asumsi

?

yang cukup kecil atau

?

_?

? ?

_?

adalah

??

?

?

?

?

? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??

?

Lampiran 14 Penurunan persamaan

?? ? G? ?? ? G? ? ? ? ? ? G??

.

Dari persamaan (22.i)

?? ? ? ?

?

_?

??

?

?

_??

? ?

?_?

? ?

G

Setelah diskalakan, persamaan (22.i) dapat dinyatakan sebagai

?? ? ? ?

?

_?

??

?

?

_{? ?}?

? ??

?_?

? ?

?? ? G?G??

Dengan menggunakan kondisi seperti pada persamaan (38.b) dan (40.a), persamaan

(22.i.a) dapat dinyatakan sebagai

?? ? ? ?

?

_?

??

?

?

_{? ? ?}?

? ??

? ?

? ?

? ? ?

?

_?

??

?

?

_{? ? ?}?

? ??

?

? ?

?? ?G?G? ?

Dari persamaan (40.a) diperoleh

?

_?

?

??? ?

? ? ?

? ? • ?

?

?

??? ? ??

?

? ??

?

_{? ?}

Turunan

?

_?

? ? • ?

_?

terhadap

??

masing- masing adalah

?

_{? ??}

?

?

? ? ?

? ? • ?

? ? ?

?

?

? ? ? ?

?

_?

Dengan menyubstitusi persamaan (43) ke dalam persamaan

?? ?G?G??

diperoleh

persamaan (44.a) yaitu

?? ? ? ?

?

_?

?

?

?

_{? ? ?}?

? ??

? ?

? ?

? ? ?

?

_?

?

?

?

_{? ? ?}?

? ??

?

? ?

? ? ?

?

?

??

?

?? ? ? ?

?

?

? ?

G

? ?

?

??

?

?? ? ? ?

?

_{? ?}

?

?

?

G

? ?

?

? ? ?

?

?

?

?

?? ? ? ?

?

?

? ?

_?

?? ? ? ?

?

_{? ?}

?

?

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh persamaan (44.b) dan (44.c) yaitu

?? ?

?

?

?

?

_?

?

? ? ? ? ?

? ???

?

? ? ? ?

?

? ? ? ?

?

?

?

?

?? ? ?

?

_{? ?}

?

?

?? ?G? ?

? ? ? ? ?

_?

?

?

? ? ?

?

? ?

Lampiran 15 Penurunan persamaan (48.a, 48.b, dan 48.c)

dari persamaan (40.a)

?

_?

???? ?

??? ?

? ? ?

?

_?

???? ?

??? ? ??

?

? ??

?

_{? ?}

sehingga

?

_{? ??}

?

?

? ? ?

G

?

? ??

?

?

? ? ? ?

?

_?

Dari persamaan (22.iii)

? ? ?

?

_?

?? ?

_{? ?}?

???

?_?

? ?

G? • ?? • ??? ?? ? ? ? ? ??????• ?????????

? ? ? ? ? ?

_?

?? ? ????

_{? ? ?}

?

?

? ??

? ?

? ?

? ? ?

_?

?? ? ?????

_{?? ?}

?

?

???

?

? ?

?

? ? ? ? ?

_?

?? ? ???

? ?

? ?

?

?

? ? ?

?

?

???? ? ?

_?

?? ? ???

?

? ?

?

?

? ? ? ?

?

_?

?

?

? ???

? ? ?

?

_?

?? ???

??

?

?

?

?? ? ? ? ?

?

?

? ?

G

G

? ?

?

?

_?

?? ???

??

?

?

?

?? ? ?

?

_{? ?}

?

?

?

G

G

? ?

?

? ? ??

?? ? ? ? ? ? ??

?

? ? ? ?

?

? ?? ? ?? ??

_?

?? ? ?

?

_{? ?}

?

?

Dengan menyubstitusi persamaan (42.b) dan (45.c) ke persamaan (22.iii) kemudian

menggunakan pendekatan Boussinesq yaitu

?

?

? ?

?

atau

?

yang cukup kecil,

sehingga deret Taylor dari

?

terhadap

?

, adalah

? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?? ?

?

? ? ?

? ? ?

? ? ? ?? ?

??

?

? ?

?

? ?

? ? ? ?

?

? ? ?

?

? ?? ? ? ? ? ? ? ??

?

? ? ? ?

?

?

? ? ? ?? ?

?

dengan cara yang sama akan diperoleh

?? ?

?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?

?? ? ? ?? ? ? ??

?? ? ? ?

?

?

?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?

?

?

? ??? ? ? ?? ?

?

_{? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ??}

?

_{?? ? ? ?? ? ?}

?

_{?? ? ?? ??? ?}

? ? ?? ?? ? ? ??

?

?

?? ?

?

? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ???? ?

? ? ?? ?? ? ? ??

?

?

?? ? ?

?

? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ?

?

?? ? ? ? ? ???? ?

? ? ?? ?? ? ? ??

?

G

?? ?

?

? ?

?? ? ? ? ? ? ?? ?

?

_{? ??}

?

_{? ?? ?}

?

_{? ? ??}

?

_{? ?}

?

?

? ?

? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?

?

_{? ? ??}

?

_??

? ?

? ? ?? ? ? ? ?

?

_{? ? ? ??}

?

_{? ? ? ??}

?

_{? ? ??}

?

? ? ?? ?? ? ? ??

? ?

? ?

? ? ?

?

_{? ? ? ? ?}

?

_{? ? ? ? ?}

?

_{? ? ? ?}

?