84
2. Persamaan Diferensial Parsial PDP atau
Partial Differential Equation
PDE.
Yaitu persamaan diferensial dengan jumlah variabel bebas lebih dari satu. Pada umumnya permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi dapat
direpresentasikan dalam bentuk persamaan parsial. Persamaan tersebut merupakan laju perubahan terhadap dua atau lebih variabel bebas yang biasanya adalah waktu dan jarak
ruang. Bentuk umum persamaan diferensial orde 2 dua dan dua dimensi adalah :
2 2
2 2
2
C C
C C
C b
c d
e fC
g x
y x y
x y
2.79 dengan , , , , dan
a b c d e g
merupakan fungsi dari variabel dan
x y
serta variabel bebasnya
C
. Persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi tiga tipe yaitu :
1 Persamaan Ellips jika :
2
4
b ac
2 Persamaan Parabola jika :
2
4
b ac
3 Persamaan Hiperbola jika :
2
4
b ac
Persamaan parabola biasanya merupakan persamaan yang tergantung pada waktu tidak permanen. Penyelesaian persamaan tersebut memerlukan kondisi awal dan batas. Persamaan
ellips biasanya berhubungan dengan masalah keseimbangan atau kondisi permanen tidak tergantung waktu dan penyelesaiannya memerlukan kondisi batas di sekeliling daerah
tinjauan. Persamaan hiperbola biasanya berhubungan dengan getaran, atau permasalahan terjadi ketidak-kontinuan dalam kecepatan, tekanan dan rapat massa. Penyelesaian dari
persamaan hiperbola mirip dengan penyelesaian persamaan parabola, yang menghitung nilai
C
untuk
dan x
t
yang diberikan. Penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan kondisi awal dan batas dapat
diselesaikan dengan metode beda hingga. Untuk itu dibuat jaringan titik hitungan pada daerah tinjauan. Sebagai contoh penyelesaian persamaan ellips pada daerah S yang dibatasi
oleh kurve V seperti pada Gambar 19. Daerah tinjauan S dibagi menjadi sejumlah pias titik hitungan P dengan jarak antara pias adalah
dan .
x y
Kondisi dimana variabel tidak bebas
85
C
harus memenuhi di sekeliling kurve V disebut dengan kondisi batas. Penyelesaian persamaan diferensial merupakan perkiraan dari nilai
C
pada titik-titik hitungan
11 12
, ,..., ,...
ij
P P
P
Perkiraan dilakukan dengan mengganti turunan dari persamaan diferensial dengan menggunakan perkiraan beda hingga.
S P
i,j
P
1,1
P
2,1
P
1,2
P
1,3
V
Gambar 19. Penyelesaian persamaan diferensial parsial
3. Perkiraan Diferensial dengan Beda Hingga
Kategori