A. Teorema Pythagoras dan Teorema atau Topik lain yang Terkait dengan Teorema Pythagoras
1. Teorema Pythagoras
Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya.
Jika dalam sebuah segitiga siku-siku, a dan b masing-masing menyatakan panjang
kedua sisi siku-sikunya, dan c menyatakan panjang sisi miringnya, maka berlaku :
c
2
= a
2
+ b
2
Gambar 1 2. Kebalikan teorema Pythagoras.
Jika dalam suatu segitiga, kuadrat panjang salah satu sisinya samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga
siku-siku.
3. Tripel Pythagoras
Perangkat a, b, c dari tiga bilangan asli disebut tripel Pythagoras, jika kuadrat dari bilangan yang terbesar samadengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain.
Jika pada tripel Pythagoras a, b, c, ketiga elemennya berupa bilangan asli yang faktor persekutuan terbesarnya adalah 1, maka a, b, c disebut tripel Pythagoras
primitif. 3, 4, 5, 5, 12, 13 adalah contoh dua tripel Pythagoras primitif, sedang 15, 20, 25, 10, 24, 26 masing-masing bukan tripel Pythagoras primitif.
4. Teorema Proyeksi Segitiga Miring
Dari teorema Pythagoras dapat diturunkan teorema proyeksi pada segitiga miring, yaitu segitiga yang bukan segitiga siku-siku.
a. Teorema Proyeksi untuk Sisi di depan Sudut Lancip
1. Dalam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut
lancip samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain, dikurangi dengan dua kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi
sisi lain ke sisi tersebut.
Diketahui: Perhatikan Gambar 2.
, 90
A m
, AB
CD
o
p panjang
proyeksi
AC
pada
AB
. Berlaku:
a
2
= b
2
+ c
2
– 2cp.
a c b
C ‘
b t a
‘ p c
– p A D B
‘ c
b. Teorema Proyeksi untuk Sisi di depan Sudut Tumpul
Dalam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut tumpul samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain, ditambah dengan dua
kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi sisi lain ke sisi tersebut.
Diketahui: Perhatikan Gambar 3.
, 90
A m
, AB
CD
o
p panjang
proyeksi
AC
pada perpanjangan
AB
proyeksi
AC
pada
AB
Berlaku:
a
2
= b
2
+ c
2
+ 2cp.
Gambar 3
Berarti jika dalam suatu segitiga panjang semua sisinya diketahui, kita dapat menghitung panjang proyeksi sebuah sisi pada sisi yang lain.
Latihan 1.
1. Selidikilah segitiga yang dideskripsikan ukuran sisi-sisinya berikut, merupakan segitiga lancip, siku-siku, ataukah tumpul:
a. ABC, AB = 4, BC = 8, AC = 10
b. PQR, PQ = 6, QR = 9, PR = 8 c.
KLM, KL = 5, LM = 14, KM = 15 2. Pada ABC, AB = 13, BC = 20, AC = 21. Hitunglah panjang proyeksi sisi
B C
ke sisi
AB
dan ke sisi
A C
5. Teorema Stewart
Kategori