Optimalisasi Luas dan Volume untuk Merancang Track Underground pada Lahan Terbatas
ABSTRAK
Optimalisasi Luas dan Volume
untuk Merancang Track Underground pada Lahan Terbatas
Oleh
Lucky Dwi Puspita Sari
Kebutuhan lahan sebagai salah satu penunjang kehidupan manusia semakin meningkat.
Namun, lahan yang tersedia terbatas. Salah satu cara mengatasinya adalah membuat track
underground dengan mengoptimalkan luas lahan dan volume track underground.
Rancangan track underground dibuat dengan penampang lingkaran dan penampang
persegi panjang dengan bentuk bangun silinder dan balok. Masing-masing rancangan
dibuat dua model yang berbeda. Setiap model rancangan dibuat permodelan matematika
untuk mendapatkan persamaan panjang, luas dan volume track underground. Setiap
model menghasilkan panjang, luas dan volume yang berbeda. Dengan mengoptimalkan
luas lahan terbatas yang dapat digunakan, dperoleh rancangan yang memiliki lintasan
cukup panjang. Rancangan dengan penampang persegi memiliki panjang, luas dan
volume yang lebih besar dibanding rancangan dengan penampang lingkaran meski lebar
penampang persegi lebih kecil dari diameter penampang lingkaran.
Kata Kunci : Luas, Permodelan Matematika, Track Underground, Volume.
ABSTRACT
Optimization of Wide and Volume
to Design The Track Underground at The Limited Area
By
Lucky Dwi Puspita Sari
The need for land as one of supporting human life is increase. One way to overcome that
problem is building track underground to optimize limited area and the volume of track
underground.
The design of track underground is created with a circular cross section (cylinder tunnel)
and a square cross section (cube tunnel). Two models are drawn for each design.
Mathematical model for each model is created to get the length, the wide and the volume
of track underground. Each model of the design has a different length, wide and volume.
The result from optimization of the wide of limited area is the design with maximum
length. The design of track underground with a square cross section has length, wide and
volume more maximum than the design of track underground with a circular cross section
although the diameter of circular cross section is longer than the width of square cross
section.
Key words : Mathematics Model, Track Underground, Volume, Wide.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung, pada tanggal 29 September
1990. Penulis merupakan putri kedua dari 4 bersaudara buah hati dari
pasangan Edy Suyanto dan Mugiati.
Penulis menyelesaikan pendidikan di Taman Kanak-kanak Beringin Raya pada
tahun 1996, Sekolah Dasar Negeri 2 Beringin Raya pada tahun 2002, Sekolah
Menengah Pertama Negeri 14 Bandar Lampung pada tahun 2005 dan Sekolah
Menengah Atas Negeri 3 Bandar Lampung pada tahun 2008. Pada tahun yang
sama penulis diterima di Universitas Lampung Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Jurusan Matematika melalui Seleksi Nasional Masuk
Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN).
Penulis mengikuti kegiatan KKN di Kabupaten Waykanan pada tahun 2011 dan
melaksanakan Kuliah Praktik di PDAM Way Rilau Kota Bandar Lampung pada
tahun 2012. Selama kuliah, penulis mengikuti kegiatan keorganisasian.
Diantaranya sebagai Anggota Bidang Kaderisasi Himatika periode 2009-2010 dan
Sekretaris Bidang Keolahragaan Himatika periode 2010-2011.
Setiap ilmuku bertambah, setiap itu pula semakin
bertambah pengetahuanku akan kebodohanku.
(Imam Syafii)
Menghormati orang lain adalah karakter orang
terhormat. Pun menghargai orang lain adalah
karakter orang berharga.
(Tere Liye)
Untuk Mama dan Ayah Tersayang
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“OPTIMALISASI LUAS DAN VOLUME UNTUK MERANCANG TRACK
UNDERGROUND PADA LAHAN TERBATAS”. Shalawat serta salam penulis
haturkan kepada Nabi Muhammad SAW, yang telah memberikan petunjuk kepada
kita semua melalui Al-Qur’an dan Al Hadist.
Dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan masukan dan
bantuan serta bimbingan dari berbagai pihak yang tentunya sangat bermanfaat.
Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada :
1) Bapak Drs. Tiryono Ruby, M. Sc., Ph. D. selaku Dosen Pembimbing I dan
Ketua Jurusan Matematika yang telah memberikan ide dan bimbingan
selama penyelesaian skripsi ini.
2) Bapak Dr. Muslim Ansori, S. Si., M. Si. selaku Dosen Pembimbing II dan
Pembimbing Akademik atas bimbingan dan saran yang diberikan kepada
penulis.
3) Bapak Suharsono S., M. S., M. Sc., Ph. D. selaku Dosen Pembahas dan
Penguji yang telah memberikan saran kepada penulis.
4) Bapak Prof. Suharso, Ph. D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
5) Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6) Ibu Mugiati dan Ayah Edy Suyanto tercinta, Mbak Ellis, Kak Iwan, Gitta,
Ulfa, serta Sakha dan Abil tersayang, atas kasih sayang, kesabaran dan
kepercayaan yang diberikan.
7) Galan, Leovina, Kak Fahma, Kak Ariestya, Kak Jo dan Kak Dimas, atas
dukungan dan nasihat yang diberikan kepada penulis.
8) Eflin, Reny, Jihan, Tiyas, Syaza, teman-teman Matematika 2008, temanteman Matematika 2009 dan teman-teman Matematika 2010 yang turut
membantu dalam penyelesaian skripsi ini.
9) Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan
satu persatu, atas peran dan dukungannya dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis telah berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi
ini.
Semoga skripsi ini memberi manfaat, baik kepada penulis khususnya maupun
kepada pembaca pada umumnya.
Bandar Lampung, Agustus 2014
Penulis
Lucky Dwi Puspita Sari
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL .............................................................................................
iv
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................
v
I.
PENDAHULUAN ...................................................................................
1
1.1 Latar Belakang dan Masalah ...........................................................
1
1.2 Batasan Masalah ..............................................................................
2
1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................
2
1.4 Manfaat Penelitian ..........................................................................
2
TINJAUAN PUSTAKA ..........................................................................
3
2.1 Sistem Bilangan Riil .......................................................................
3
2.2 Kartesius 2-dimensi .........................................................................
6
2.3 Kartesius 3-dimensi .........................................................................
6
2.4 Luas .................................................................................................
7
2.4.1 Persegi ..................................................................................
8
2.4.2 Persegi Panjang .....................................................................
8
2.4.3 Jajaran Genjang ....................................................................
8
2.4.4 Segitiga .................................................................................
8
2.4.5 Trapesium .............................................................................
9
2.4.6 Lingkaran ..............................................................................
9
II.
2.5 Volume ............................................................................................ 10
2.5.1 Kubus .................................................................................... 10
2.5.2 Balok ..................................................................................... 10
2.5.3 Prisma Segitiga ..................................................................... 11
2.5.4 Limas Segiempat .................................................................. 11
2.5.5 Kerucut ................................................................................. 12
2.5.6 Kerucut Tegak Terpancung .................................................. 12
2.5.7 Silinder (Tabung) .................................................................. 13
2.5.8 Bola ....................................................................................... 13
III.
METODE PENELITIAN ......................................................................... 14
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ......................................................... 14
3.2 Metode Penelitian ............................................................................ 14
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................ 15
4.1 Model Rancangan dengan Penampang Lingkaran .......................... 16
4.1.1 Model 1 Rancangan dengan Penampang Lingkaran ............ 16
4.1.2 Model 2 Rancangan dengan Penampang Lingkaran ............ 20
4.2 Model Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang ................. 25
4.2.1 Model 1 Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang ... 26
4.2.2 Model 2 Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang ... 32
4.2.3 Teknologi Tunnel Boring Machine (TBM) ........................... 38
V.
KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 40
5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 40
5.2 Saran ................................................................................................ 40
ii
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 41
LAMPIRAN ...................................................................................................... 42
Lampiran 1. Gambar Lahan Terbatas ABCD ................................................... 42
Lampiran 2. Gambar 2-dimensi Model 1 Rancangan dengan Penampang
Lingkaran ..................................................................................... 44
Lampiran 3. Gambar 3-dimensi Model 1 Rancangan dengan Penampang
Lingkaran ..................................................................................... 45
Lampiran 4. Gampar 2-dimensi Model 2 Rancangan dengan Penampang
Lingkaran ..................................................................................... 47
Lampiran 5. Gambar 3-dimensi Model 2 Rancangan dengan Penampang
Lingkaran ..................................................................................... 48
Lampiran 6. Gambar 2-dimensi Model 1 Rancangan dengan Penampang
Persegi Panjang ............................................................................ 50
Lampiran 7. Gambar 3-dimensi Model 1 Rancangan dengan Penampang
Persegi Panjang ............................................................................ 51
Lampiran 8. Gambar 2-dimensi Model 2 Rancangan dengan Penampang
Persegi Panjang ............................................................................ 53
Lampiran 9. Gambar 3-dimensi Model 2 Rancangan dengan Penampang
Persegi Panjang ............................................................................ 54
iii
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
4.1.1 Hasil Perhitungan Model 1
Rancangan dengan Penampang Lingkaran ........................................... 20
4.1.2 Hasil Perhitungan Model 2
Rancangan dengan Penampang Lingkaran ........................................... 25
4.2.1 Hasil Perhitungan Model 1
Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang .................................. 31
4.2.2 Hasil Perhitungan Model 2
Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang .................................. 37
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.4.1 Persegi ...................................................................................................
8
2.4.2 Persegi Panjang .....................................................................................
8
2.4.3 Jajaran Genjang .....................................................................................
8
2.4.4 Segitiga ..................................................................................................
8
2.4.5 Trapesium ..............................................................................................
9
2.4.6 Lingkaran ..............................................................................................
9
2.5.1 Kubus .................................................................................................... 10
2.5.2 Balok ..................................................................................................... 10
2.5.3 Prisma Segitiga ..................................................................................... 11
2.5.4 Limas Segiempat ................................................................................... 11
2.5.5 Kerucut .................................................................................................. 12
2.5.6 Kerucut Tegak Terpancung ................................................................... 12
2.5.7 Silinder (Tabung) .................................................................................. 13
2.5.8 Bola ....................................................................................................... 13
I.
1.1
PENDAHULUAN
Latar Belakang dan Masalah
Laju pertumbuhan manusia yang semakin pesat, mengakibatkan meningkat
pula kebutuhan penunjang kehidupan manusia. Diantaranya adalah
kebutuhan lahan sebagai tempat tinggal maupun fasilitas umum. Namun,
ketersediaan lahan yang tersedia untuk tempat tinggal maupun fasilitas
umum semakin terbatas. Salah satu cara mengatasi keterbatasan lahan ini
adalah pembuatan track underground.
Track underground merupakan lintasan yang dibuat dibawah tanah.
Sehingga memungkinkan penggunaan permukaan tanah untuk hal lain,
seperti tempat tinggal, gedung, jalan umum atau bahkan taman kota.
Contoh penggunaan track underground diantaranya sebagai lintasan kereta
bawah tanah, jalan tol bawah tanah, lintasan kendaraan pengangkut hasil
tambang, atau yang paling sederhana dan sering dijumpai adalah
penggunaan track underground sebagai saluran air.
Ilmu matematika adalah ilmu yang dapat diaplikasikan dikehidupan seharihari. Penggunaan permodelan matematika dalam merancang suatu track
underground, dapat memaksimalkan kegunaan dari track underground itu
sendiri.
2
Track underground dirancang dengan suatu bentuk bangun ruang. Sehingga,
dengan mengoptimalkan luas penampang dan volume dari bangun ruang
tersebut, diperoleh pula rancangan track underground yang dapat berfungsi
secara maksimal.
1.2
Batasan Masalah
Penelitian ini membahas permodelan matematika untuk suatu track
underground dengan mengoptimalkan luas penampang dan volume bangun
ruang. Model yang akan dibuat adalah model track underground dengan
penampang persegi panjang dan bentuk bangun balok serta model track
underground dengan penampang lingkaran dan bentuk bangun silinder.
1.3
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan merancang model matematika untuk suatu track
underground pada lahan yang terbatas namun tetap dapat berfungsi secara
maksimal dengan cara mengoptimalkan luas penampang dan volume dari
model bangun ruang yang digunakan.
1.4
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat mengetahui model matematika untuk suatu
track underground pada lahan terbatas dengan penampang persegi dan
lingkaran.
II.
2.1
TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Bilangan Riil
Definisi Bilangan Riil
Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur
panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan
bilangan riil (Purcell dan Varberg, 1987).
Definisi Bilangan Rasional
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
adalah bilangan-bilangan bulat dengan
dimana
dan
disebut bilangan-bilangan
rasional (Purcell dan Varberg, 1987).
Definisi Bilangan Irrasional (Tak-Rasional)
Bilangan irrasional adalah bilangan riil yang jika dinyatakan dalam bentuk
desimal, bagian yang tertulis sesudah tanda koma tidak menunjukan
perulangan (Budoyo dan Susila, 1995).
Akar kuadrat semua bilangan yang bukan rasional, akar kubik semua
bilangan yang bukan dari pangkat tiga suatu bilangan rasional, dan
seterusnya, serta bilangan-bilangan lain seperti π, bukan bilangan rasional,
dan dinamakan bilangan irrasional (Nasoetion, 1978).
4
Operasi Bilangan Riil
Dengan dua bilangan riil
dan
, dapat ditambahkan atau dikalikan
keduanya untuk memperoleh dua bilangan riil baru
cukup ditulis
dan
(biasanya
). Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat yang
selanjutnya disebut sifat-sifat medan.
Sifat-sifat medan :
1. Hukum Komutatif.
dan
2. Hukum Asosiatif.
dan
3. Hukum Distribusi.
4. Elemen-elemen Identitas. Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0
dan 1 yang memenuhi
dan
5. Balikan (Invers). Setiap bilangan
juga negatif),
mempunyai balikan aditif (disebut
, yang memenuhi
. Juga setiap bilangan
kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (disebut juga kebalikan),
yang memenuhi
,
.
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan :
(Purcell dan Varberg, 1987).
Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak suatu bilangan riil
dinyatakan
jika
jika
didefinisikan sebagai :
5
Sifat-sifat nilai mutlak :
1.
2.
3.
4.
(Purcell dan Varberg, 1987).
Urutan Garis Bilangan Riil
Misal
berarti
berada di sebelah kiri
pada garis bilangan riil.
Urutan bilangan-bilangan riil bukan nol secara baik dipisahkan menjadi dua
himpunan terpisah, bilangan-blangan riil positif dan bilangan-bilangan riil
negatif.
Sifat-sifat Urutan :
1. Trikotomi. Jika
dan
adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu
diantara berikut berlaku :
atau
2. Ketransitifan.
atau
dan
3. Penambahan.
4. Perkalian. Bilangan
Bilangan
positif,
negatif,
(Purcell dan Varberg, 1987).
Teorema 2.1.1
Jumlah suatu bilangan rasional dan tak-rasional adalah tak-rasional.
Bukti :
Jika
dimana
dan
bilangan bulat
6
bilangan tak-rasional
Misal
rasional
dimana
dan
bilangan bulat
maka
Ini menunjukan
adalah bilangan rasional, maka bertentangan dengan
hipotesis. Teorema terbukti (Purcell dan Varberg, 1987).
2.2
Kartesius 2-dimensi
Kartesius 2-dimensi terdiri dari garis lurus mendatar
lurus . Perpotongan sumbu
dan sumbu
sebagai 0 (0, 0). Tiap titik pada sumbu
sumbu
dan suatu garis tegak
disebut titik awal dan ditulis
disebut absis dan tiap titik pada
disebut ordinat. Absis dan ordinat disebut koordinat. Suatu titik
pada bidang dalam sistem kartesius ditulis dengan
dan
dengan
absis
ordinat (Panggabean, 2008).
Pandanglah dua titik P dan Q sebarang, masing-masing dengan koordinat
dan
. Bersama dengan R, titik koordinat
, P dan Q
adalah titik sudut sebuah segitiga siku-siku. Panjang PR dan RQ masingmasing
dan
. Jarak antara P dan Q yaitu :
(Purcell, Rigdon dan Varberg, 2003)
2.3
Kartesius 3-dimensi
Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu
yang sama disebut titik asal (Purcell dan Varberg, 1987).
), dengan titik 0
7
Teorema 2.3.1
Dua titik
dan
dalam ruang dimensi tiga dimana
jarak dalam ruang dimensi tiga :
Bukti :
Pandanglah
dengan
dan
dan
dalam ruang dimensi tiga menentukan balok genjang,
sebagai titik sudut yang berlawanan dan dengan sisi-sisi
sejajar terhadap sumbu-sumbu koordinat, segitiga
dan
adalah
segitiga siku-siku, maka :
dan
jadi
Terbukti.
(Purcell dan Varberg, 1988)
2.4
Luas
Luas merupakan besaran yang menyatakan ukuran dua dimensi suatu bagian
permukaan yang dibatasi dengan jelas. Berikut ini rumus luas dari beberapa
bentuk bangun dua dimensi.
8
2.4.1
Persegi
Gambar 1. Persegi
di mana
adalah luas persegi dan adalah panjang sisi
2.4.2 Persegi Panjang
Gambar 2. Persegi Panjang
di mana
luas persegi panjang
panjang sisi
dan
lebar sisi
(Hidayat, 1994).
2.4.3 Jajaran Genjang
Gambar 3. Jajaran Genjang
di mana
luas jajaran genjang
panjang sisi bawah
panjang sisi tegak lurus
2.4.4 Segitiga
Gambar 4. Segitiga
(tinggi)
9
di mana
luas segitiga
panjang sisi bawah
panjang sisi tegak lurus
(tinggi)
2.4.5 Trapesium
Gambar 5. Trapesium
di mana
luas trapesium
panjang sisi atas
panjang sisi bawah
panjang sisi tegak lurus
(tinggi)
2.4.6 Lingkaran
Gambar 6. Lingkaran
di mana
luas lingkaran
3,14 atau
jari-jari lingkaran
(Purcell dan Varberg, 1987)
10
2.5
Volume
Volume merupakan penghitungan seberapa banyak ruang yang bisa
ditempati dalam suatu objek. Berikut ini rumus volume dari beberapa
bangun ruang.
2.5.1 Kubus
Gambar 7. Kubus
di mana
volume kubus ;
panjang sisi
2.5.2 Balok
Gambar 8. Balok
di mana
volume balok
panjang sisi alas
lebar sisi alas
tinggi balok
11
2.5.3 Prisma Segitiga
Gambar 9. Prisma Segitiga
di mana
volume prisma segitiga
panjang alas segitiga
tinggi alas segitiga
tinggi prisma
2.5.4 Limas Segiempat
Gambar 10. Limas Segiempat
di mana
volume limas segiempat
panjang sisi alas
tinggi limas
(Hidayat, 1994).
12
2.5.5 Kerucut
Gambar 11. Kerucut
di mana
volume kerucut
3,14 atau
jari-jari lingkaran
tinggi kerucut
2.5.6 Kerucut Tegak Terpancung
Gambar 12. Kerucut Tegak Terpancung
di mana
volume kerucut tegak terpancung
3,14 atau
jari-jari lingkaran atas
jari-jari lingkaran alas
tinggi kerucut tegak terpancung
13
2.5.7 Silinder (Tabung)
Gambar 13. Silinder (Tabung)
di mana
volume tabung
3,14 atau
jari-jari lingkaran alas
tinggi silinder
2.5.8 Bola
Gambar 14. Bola
di mana
volume bola
3,14 atau
jari-jari bola
(Purcell dan Varberg, 1987)
III.
3.1
METODE PENELITIAN
Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan waktu penelitian
dilaksanakan pada semester genap tahun akademik 2013/2014.
3.2
Metode Penelitian
Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini yaitu :
1.
Mempelajari definisi-definisi dan teorema-teorema yang terkait dengan
penelitian khususnya mengenai sistem bilangan, sistem koordinat
kartesius, luas dan volume.
2.
Menggambar lahan terbatas dengan ukuran tertentu pada sistem
koordinat kartesius 3-dimensi.
3.
Membuat model track underground yang memungkinkan untuk lahan
terbatas tersebut pada sistem koordinat kartesius 3-dimensi.
4.
Memodelkan secara matematika luas dan volume dari model track
underground yang dibuat sehingga membentuk suatu persamaan
sederhana.
5.
Mencari panjang, luas dan volume dari track underground dengan
menggunakan persamaan sederhana yang telah didapat.
6.
Mencari informasi teknologi alat bantu yang sesuai untuk membangun
track underground.
V.
5.1
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Dari hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan :
1. Dengan megoptimalkan luas lahan terbatas yang dapat digunakan,
diperoleh rancangan track underground yang memiliki lintasan cukup
panjang.
2. Perbedaan model rancangan yang dibuat menghasilkan panjang, luas
lahan terpakai dan volume track underground yang berbeda.
3. Rancangan track underground dengan penampang persegi panjang
menghasilkan panjang, luas lahan terpakai dan volume yang lebih besar
dibanding rancangan track underground dengan penampang lingkaran
meskipun lebar penampang persegi lebih kecil dari diameter penampang
lingkaran.
5.2
Saran
Untuk penelitian selanjutnya, dapat diperhitungkan pula luas selimut dan
ketebalan dinding track underground.
DAFTAR PUSTAKA
Budoyo, S. J. dan Susila, Y. T. 1995. Penuntun Belajar Matematika. Gramedia.
Jakarta.
Hidayat, M. S. 1994. Rumus-Rumus Matematika. Apollo. Surabaya.
Nasoetion, A. H. 1978. Landasan Matematika. Bhratara Karya Aksara. Jakarta.
Panggabean, A. B. 2008. Kalkulus. Graha Ilmu. Yogyakarta.
Purcell, E. J. dan Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid Ke-1.
Ed. Ke-5. Diterjemahkan oleh Bana Kartasasmita, I Nyoman Susila, dan
Rawuh. Erlangga. Jakarta.
Purcell, E. J. dan Varberg, D. 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid Ke-2.
Ed. Ke-4. Diterjemahkan oleh Bana Kartasasmita, I Nyoman Susila, dan
Rawuh. Erlangga. Jakarta.
Purcell, E. J., Rigdon, S. E., dan Varberg, D. 2003. Kalkulus. Jilid Ke-1. Ed. Ke-8.
Diterjemahkan oleh I Nyoman Susila. Erlangga. Jakarta.
Optimalisasi Luas dan Volume
untuk Merancang Track Underground pada Lahan Terbatas
Oleh
Lucky Dwi Puspita Sari
Kebutuhan lahan sebagai salah satu penunjang kehidupan manusia semakin meningkat.
Namun, lahan yang tersedia terbatas. Salah satu cara mengatasinya adalah membuat track
underground dengan mengoptimalkan luas lahan dan volume track underground.
Rancangan track underground dibuat dengan penampang lingkaran dan penampang
persegi panjang dengan bentuk bangun silinder dan balok. Masing-masing rancangan
dibuat dua model yang berbeda. Setiap model rancangan dibuat permodelan matematika
untuk mendapatkan persamaan panjang, luas dan volume track underground. Setiap
model menghasilkan panjang, luas dan volume yang berbeda. Dengan mengoptimalkan
luas lahan terbatas yang dapat digunakan, dperoleh rancangan yang memiliki lintasan
cukup panjang. Rancangan dengan penampang persegi memiliki panjang, luas dan
volume yang lebih besar dibanding rancangan dengan penampang lingkaran meski lebar
penampang persegi lebih kecil dari diameter penampang lingkaran.
Kata Kunci : Luas, Permodelan Matematika, Track Underground, Volume.
ABSTRACT
Optimization of Wide and Volume
to Design The Track Underground at The Limited Area
By
Lucky Dwi Puspita Sari
The need for land as one of supporting human life is increase. One way to overcome that
problem is building track underground to optimize limited area and the volume of track
underground.
The design of track underground is created with a circular cross section (cylinder tunnel)
and a square cross section (cube tunnel). Two models are drawn for each design.
Mathematical model for each model is created to get the length, the wide and the volume
of track underground. Each model of the design has a different length, wide and volume.
The result from optimization of the wide of limited area is the design with maximum
length. The design of track underground with a square cross section has length, wide and
volume more maximum than the design of track underground with a circular cross section
although the diameter of circular cross section is longer than the width of square cross
section.
Key words : Mathematics Model, Track Underground, Volume, Wide.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung, pada tanggal 29 September
1990. Penulis merupakan putri kedua dari 4 bersaudara buah hati dari
pasangan Edy Suyanto dan Mugiati.
Penulis menyelesaikan pendidikan di Taman Kanak-kanak Beringin Raya pada
tahun 1996, Sekolah Dasar Negeri 2 Beringin Raya pada tahun 2002, Sekolah
Menengah Pertama Negeri 14 Bandar Lampung pada tahun 2005 dan Sekolah
Menengah Atas Negeri 3 Bandar Lampung pada tahun 2008. Pada tahun yang
sama penulis diterima di Universitas Lampung Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Jurusan Matematika melalui Seleksi Nasional Masuk
Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN).
Penulis mengikuti kegiatan KKN di Kabupaten Waykanan pada tahun 2011 dan
melaksanakan Kuliah Praktik di PDAM Way Rilau Kota Bandar Lampung pada
tahun 2012. Selama kuliah, penulis mengikuti kegiatan keorganisasian.
Diantaranya sebagai Anggota Bidang Kaderisasi Himatika periode 2009-2010 dan
Sekretaris Bidang Keolahragaan Himatika periode 2010-2011.
Setiap ilmuku bertambah, setiap itu pula semakin
bertambah pengetahuanku akan kebodohanku.
(Imam Syafii)
Menghormati orang lain adalah karakter orang
terhormat. Pun menghargai orang lain adalah
karakter orang berharga.
(Tere Liye)
Untuk Mama dan Ayah Tersayang
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“OPTIMALISASI LUAS DAN VOLUME UNTUK MERANCANG TRACK
UNDERGROUND PADA LAHAN TERBATAS”. Shalawat serta salam penulis
haturkan kepada Nabi Muhammad SAW, yang telah memberikan petunjuk kepada
kita semua melalui Al-Qur’an dan Al Hadist.
Dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan masukan dan
bantuan serta bimbingan dari berbagai pihak yang tentunya sangat bermanfaat.
Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada :
1) Bapak Drs. Tiryono Ruby, M. Sc., Ph. D. selaku Dosen Pembimbing I dan
Ketua Jurusan Matematika yang telah memberikan ide dan bimbingan
selama penyelesaian skripsi ini.
2) Bapak Dr. Muslim Ansori, S. Si., M. Si. selaku Dosen Pembimbing II dan
Pembimbing Akademik atas bimbingan dan saran yang diberikan kepada
penulis.
3) Bapak Suharsono S., M. S., M. Sc., Ph. D. selaku Dosen Pembahas dan
Penguji yang telah memberikan saran kepada penulis.
4) Bapak Prof. Suharso, Ph. D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
5) Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6) Ibu Mugiati dan Ayah Edy Suyanto tercinta, Mbak Ellis, Kak Iwan, Gitta,
Ulfa, serta Sakha dan Abil tersayang, atas kasih sayang, kesabaran dan
kepercayaan yang diberikan.
7) Galan, Leovina, Kak Fahma, Kak Ariestya, Kak Jo dan Kak Dimas, atas
dukungan dan nasihat yang diberikan kepada penulis.
8) Eflin, Reny, Jihan, Tiyas, Syaza, teman-teman Matematika 2008, temanteman Matematika 2009 dan teman-teman Matematika 2010 yang turut
membantu dalam penyelesaian skripsi ini.
9) Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan
satu persatu, atas peran dan dukungannya dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis telah berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi
ini.
Semoga skripsi ini memberi manfaat, baik kepada penulis khususnya maupun
kepada pembaca pada umumnya.
Bandar Lampung, Agustus 2014
Penulis
Lucky Dwi Puspita Sari
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL .............................................................................................
iv
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................
v
I.
PENDAHULUAN ...................................................................................
1
1.1 Latar Belakang dan Masalah ...........................................................
1
1.2 Batasan Masalah ..............................................................................
2
1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................
2
1.4 Manfaat Penelitian ..........................................................................
2
TINJAUAN PUSTAKA ..........................................................................
3
2.1 Sistem Bilangan Riil .......................................................................
3
2.2 Kartesius 2-dimensi .........................................................................
6
2.3 Kartesius 3-dimensi .........................................................................
6
2.4 Luas .................................................................................................
7
2.4.1 Persegi ..................................................................................
8
2.4.2 Persegi Panjang .....................................................................
8
2.4.3 Jajaran Genjang ....................................................................
8
2.4.4 Segitiga .................................................................................
8
2.4.5 Trapesium .............................................................................
9
2.4.6 Lingkaran ..............................................................................
9
II.
2.5 Volume ............................................................................................ 10
2.5.1 Kubus .................................................................................... 10
2.5.2 Balok ..................................................................................... 10
2.5.3 Prisma Segitiga ..................................................................... 11
2.5.4 Limas Segiempat .................................................................. 11
2.5.5 Kerucut ................................................................................. 12
2.5.6 Kerucut Tegak Terpancung .................................................. 12
2.5.7 Silinder (Tabung) .................................................................. 13
2.5.8 Bola ....................................................................................... 13
III.
METODE PENELITIAN ......................................................................... 14
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ......................................................... 14
3.2 Metode Penelitian ............................................................................ 14
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................ 15
4.1 Model Rancangan dengan Penampang Lingkaran .......................... 16
4.1.1 Model 1 Rancangan dengan Penampang Lingkaran ............ 16
4.1.2 Model 2 Rancangan dengan Penampang Lingkaran ............ 20
4.2 Model Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang ................. 25
4.2.1 Model 1 Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang ... 26
4.2.2 Model 2 Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang ... 32
4.2.3 Teknologi Tunnel Boring Machine (TBM) ........................... 38
V.
KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 40
5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 40
5.2 Saran ................................................................................................ 40
ii
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 41
LAMPIRAN ...................................................................................................... 42
Lampiran 1. Gambar Lahan Terbatas ABCD ................................................... 42
Lampiran 2. Gambar 2-dimensi Model 1 Rancangan dengan Penampang
Lingkaran ..................................................................................... 44
Lampiran 3. Gambar 3-dimensi Model 1 Rancangan dengan Penampang
Lingkaran ..................................................................................... 45
Lampiran 4. Gampar 2-dimensi Model 2 Rancangan dengan Penampang
Lingkaran ..................................................................................... 47
Lampiran 5. Gambar 3-dimensi Model 2 Rancangan dengan Penampang
Lingkaran ..................................................................................... 48
Lampiran 6. Gambar 2-dimensi Model 1 Rancangan dengan Penampang
Persegi Panjang ............................................................................ 50
Lampiran 7. Gambar 3-dimensi Model 1 Rancangan dengan Penampang
Persegi Panjang ............................................................................ 51
Lampiran 8. Gambar 2-dimensi Model 2 Rancangan dengan Penampang
Persegi Panjang ............................................................................ 53
Lampiran 9. Gambar 3-dimensi Model 2 Rancangan dengan Penampang
Persegi Panjang ............................................................................ 54
iii
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
4.1.1 Hasil Perhitungan Model 1
Rancangan dengan Penampang Lingkaran ........................................... 20
4.1.2 Hasil Perhitungan Model 2
Rancangan dengan Penampang Lingkaran ........................................... 25
4.2.1 Hasil Perhitungan Model 1
Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang .................................. 31
4.2.2 Hasil Perhitungan Model 2
Rancangan dengan Penampang Persegi Panjang .................................. 37
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.4.1 Persegi ...................................................................................................
8
2.4.2 Persegi Panjang .....................................................................................
8
2.4.3 Jajaran Genjang .....................................................................................
8
2.4.4 Segitiga ..................................................................................................
8
2.4.5 Trapesium ..............................................................................................
9
2.4.6 Lingkaran ..............................................................................................
9
2.5.1 Kubus .................................................................................................... 10
2.5.2 Balok ..................................................................................................... 10
2.5.3 Prisma Segitiga ..................................................................................... 11
2.5.4 Limas Segiempat ................................................................................... 11
2.5.5 Kerucut .................................................................................................. 12
2.5.6 Kerucut Tegak Terpancung ................................................................... 12
2.5.7 Silinder (Tabung) .................................................................................. 13
2.5.8 Bola ....................................................................................................... 13
I.
1.1
PENDAHULUAN
Latar Belakang dan Masalah
Laju pertumbuhan manusia yang semakin pesat, mengakibatkan meningkat
pula kebutuhan penunjang kehidupan manusia. Diantaranya adalah
kebutuhan lahan sebagai tempat tinggal maupun fasilitas umum. Namun,
ketersediaan lahan yang tersedia untuk tempat tinggal maupun fasilitas
umum semakin terbatas. Salah satu cara mengatasi keterbatasan lahan ini
adalah pembuatan track underground.
Track underground merupakan lintasan yang dibuat dibawah tanah.
Sehingga memungkinkan penggunaan permukaan tanah untuk hal lain,
seperti tempat tinggal, gedung, jalan umum atau bahkan taman kota.
Contoh penggunaan track underground diantaranya sebagai lintasan kereta
bawah tanah, jalan tol bawah tanah, lintasan kendaraan pengangkut hasil
tambang, atau yang paling sederhana dan sering dijumpai adalah
penggunaan track underground sebagai saluran air.
Ilmu matematika adalah ilmu yang dapat diaplikasikan dikehidupan seharihari. Penggunaan permodelan matematika dalam merancang suatu track
underground, dapat memaksimalkan kegunaan dari track underground itu
sendiri.
2
Track underground dirancang dengan suatu bentuk bangun ruang. Sehingga,
dengan mengoptimalkan luas penampang dan volume dari bangun ruang
tersebut, diperoleh pula rancangan track underground yang dapat berfungsi
secara maksimal.
1.2
Batasan Masalah
Penelitian ini membahas permodelan matematika untuk suatu track
underground dengan mengoptimalkan luas penampang dan volume bangun
ruang. Model yang akan dibuat adalah model track underground dengan
penampang persegi panjang dan bentuk bangun balok serta model track
underground dengan penampang lingkaran dan bentuk bangun silinder.
1.3
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan merancang model matematika untuk suatu track
underground pada lahan yang terbatas namun tetap dapat berfungsi secara
maksimal dengan cara mengoptimalkan luas penampang dan volume dari
model bangun ruang yang digunakan.
1.4
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat mengetahui model matematika untuk suatu
track underground pada lahan terbatas dengan penampang persegi dan
lingkaran.
II.
2.1
TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Bilangan Riil
Definisi Bilangan Riil
Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur
panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan
bilangan riil (Purcell dan Varberg, 1987).
Definisi Bilangan Rasional
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
adalah bilangan-bilangan bulat dengan
dimana
dan
disebut bilangan-bilangan
rasional (Purcell dan Varberg, 1987).
Definisi Bilangan Irrasional (Tak-Rasional)
Bilangan irrasional adalah bilangan riil yang jika dinyatakan dalam bentuk
desimal, bagian yang tertulis sesudah tanda koma tidak menunjukan
perulangan (Budoyo dan Susila, 1995).
Akar kuadrat semua bilangan yang bukan rasional, akar kubik semua
bilangan yang bukan dari pangkat tiga suatu bilangan rasional, dan
seterusnya, serta bilangan-bilangan lain seperti π, bukan bilangan rasional,
dan dinamakan bilangan irrasional (Nasoetion, 1978).
4
Operasi Bilangan Riil
Dengan dua bilangan riil
dan
, dapat ditambahkan atau dikalikan
keduanya untuk memperoleh dua bilangan riil baru
cukup ditulis
dan
(biasanya
). Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat yang
selanjutnya disebut sifat-sifat medan.
Sifat-sifat medan :
1. Hukum Komutatif.
dan
2. Hukum Asosiatif.
dan
3. Hukum Distribusi.
4. Elemen-elemen Identitas. Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0
dan 1 yang memenuhi
dan
5. Balikan (Invers). Setiap bilangan
juga negatif),
mempunyai balikan aditif (disebut
, yang memenuhi
. Juga setiap bilangan
kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (disebut juga kebalikan),
yang memenuhi
,
.
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan :
(Purcell dan Varberg, 1987).
Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak suatu bilangan riil
dinyatakan
jika
jika
didefinisikan sebagai :
5
Sifat-sifat nilai mutlak :
1.
2.
3.
4.
(Purcell dan Varberg, 1987).
Urutan Garis Bilangan Riil
Misal
berarti
berada di sebelah kiri
pada garis bilangan riil.
Urutan bilangan-bilangan riil bukan nol secara baik dipisahkan menjadi dua
himpunan terpisah, bilangan-blangan riil positif dan bilangan-bilangan riil
negatif.
Sifat-sifat Urutan :
1. Trikotomi. Jika
dan
adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu
diantara berikut berlaku :
atau
2. Ketransitifan.
atau
dan
3. Penambahan.
4. Perkalian. Bilangan
Bilangan
positif,
negatif,
(Purcell dan Varberg, 1987).
Teorema 2.1.1
Jumlah suatu bilangan rasional dan tak-rasional adalah tak-rasional.
Bukti :
Jika
dimana
dan
bilangan bulat
6
bilangan tak-rasional
Misal
rasional
dimana
dan
bilangan bulat
maka
Ini menunjukan
adalah bilangan rasional, maka bertentangan dengan
hipotesis. Teorema terbukti (Purcell dan Varberg, 1987).
2.2
Kartesius 2-dimensi
Kartesius 2-dimensi terdiri dari garis lurus mendatar
lurus . Perpotongan sumbu
dan sumbu
sebagai 0 (0, 0). Tiap titik pada sumbu
sumbu
dan suatu garis tegak
disebut titik awal dan ditulis
disebut absis dan tiap titik pada
disebut ordinat. Absis dan ordinat disebut koordinat. Suatu titik
pada bidang dalam sistem kartesius ditulis dengan
dan
dengan
absis
ordinat (Panggabean, 2008).
Pandanglah dua titik P dan Q sebarang, masing-masing dengan koordinat
dan
. Bersama dengan R, titik koordinat
, P dan Q
adalah titik sudut sebuah segitiga siku-siku. Panjang PR dan RQ masingmasing
dan
. Jarak antara P dan Q yaitu :
(Purcell, Rigdon dan Varberg, 2003)
2.3
Kartesius 3-dimensi
Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu
yang sama disebut titik asal (Purcell dan Varberg, 1987).
), dengan titik 0
7
Teorema 2.3.1
Dua titik
dan
dalam ruang dimensi tiga dimana
jarak dalam ruang dimensi tiga :
Bukti :
Pandanglah
dengan
dan
dan
dalam ruang dimensi tiga menentukan balok genjang,
sebagai titik sudut yang berlawanan dan dengan sisi-sisi
sejajar terhadap sumbu-sumbu koordinat, segitiga
dan
adalah
segitiga siku-siku, maka :
dan
jadi
Terbukti.
(Purcell dan Varberg, 1988)
2.4
Luas
Luas merupakan besaran yang menyatakan ukuran dua dimensi suatu bagian
permukaan yang dibatasi dengan jelas. Berikut ini rumus luas dari beberapa
bentuk bangun dua dimensi.
8
2.4.1
Persegi
Gambar 1. Persegi
di mana
adalah luas persegi dan adalah panjang sisi
2.4.2 Persegi Panjang
Gambar 2. Persegi Panjang
di mana
luas persegi panjang
panjang sisi
dan
lebar sisi
(Hidayat, 1994).
2.4.3 Jajaran Genjang
Gambar 3. Jajaran Genjang
di mana
luas jajaran genjang
panjang sisi bawah
panjang sisi tegak lurus
2.4.4 Segitiga
Gambar 4. Segitiga
(tinggi)
9
di mana
luas segitiga
panjang sisi bawah
panjang sisi tegak lurus
(tinggi)
2.4.5 Trapesium
Gambar 5. Trapesium
di mana
luas trapesium
panjang sisi atas
panjang sisi bawah
panjang sisi tegak lurus
(tinggi)
2.4.6 Lingkaran
Gambar 6. Lingkaran
di mana
luas lingkaran
3,14 atau
jari-jari lingkaran
(Purcell dan Varberg, 1987)
10
2.5
Volume
Volume merupakan penghitungan seberapa banyak ruang yang bisa
ditempati dalam suatu objek. Berikut ini rumus volume dari beberapa
bangun ruang.
2.5.1 Kubus
Gambar 7. Kubus
di mana
volume kubus ;
panjang sisi
2.5.2 Balok
Gambar 8. Balok
di mana
volume balok
panjang sisi alas
lebar sisi alas
tinggi balok
11
2.5.3 Prisma Segitiga
Gambar 9. Prisma Segitiga
di mana
volume prisma segitiga
panjang alas segitiga
tinggi alas segitiga
tinggi prisma
2.5.4 Limas Segiempat
Gambar 10. Limas Segiempat
di mana
volume limas segiempat
panjang sisi alas
tinggi limas
(Hidayat, 1994).
12
2.5.5 Kerucut
Gambar 11. Kerucut
di mana
volume kerucut
3,14 atau
jari-jari lingkaran
tinggi kerucut
2.5.6 Kerucut Tegak Terpancung
Gambar 12. Kerucut Tegak Terpancung
di mana
volume kerucut tegak terpancung
3,14 atau
jari-jari lingkaran atas
jari-jari lingkaran alas
tinggi kerucut tegak terpancung
13
2.5.7 Silinder (Tabung)
Gambar 13. Silinder (Tabung)
di mana
volume tabung
3,14 atau
jari-jari lingkaran alas
tinggi silinder
2.5.8 Bola
Gambar 14. Bola
di mana
volume bola
3,14 atau
jari-jari bola
(Purcell dan Varberg, 1987)
III.
3.1
METODE PENELITIAN
Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan waktu penelitian
dilaksanakan pada semester genap tahun akademik 2013/2014.
3.2
Metode Penelitian
Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini yaitu :
1.
Mempelajari definisi-definisi dan teorema-teorema yang terkait dengan
penelitian khususnya mengenai sistem bilangan, sistem koordinat
kartesius, luas dan volume.
2.
Menggambar lahan terbatas dengan ukuran tertentu pada sistem
koordinat kartesius 3-dimensi.
3.
Membuat model track underground yang memungkinkan untuk lahan
terbatas tersebut pada sistem koordinat kartesius 3-dimensi.
4.
Memodelkan secara matematika luas dan volume dari model track
underground yang dibuat sehingga membentuk suatu persamaan
sederhana.
5.
Mencari panjang, luas dan volume dari track underground dengan
menggunakan persamaan sederhana yang telah didapat.
6.
Mencari informasi teknologi alat bantu yang sesuai untuk membangun
track underground.
V.
5.1
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Dari hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan :
1. Dengan megoptimalkan luas lahan terbatas yang dapat digunakan,
diperoleh rancangan track underground yang memiliki lintasan cukup
panjang.
2. Perbedaan model rancangan yang dibuat menghasilkan panjang, luas
lahan terpakai dan volume track underground yang berbeda.
3. Rancangan track underground dengan penampang persegi panjang
menghasilkan panjang, luas lahan terpakai dan volume yang lebih besar
dibanding rancangan track underground dengan penampang lingkaran
meskipun lebar penampang persegi lebih kecil dari diameter penampang
lingkaran.
5.2
Saran
Untuk penelitian selanjutnya, dapat diperhitungkan pula luas selimut dan
ketebalan dinding track underground.
DAFTAR PUSTAKA
Budoyo, S. J. dan Susila, Y. T. 1995. Penuntun Belajar Matematika. Gramedia.
Jakarta.
Hidayat, M. S. 1994. Rumus-Rumus Matematika. Apollo. Surabaya.
Nasoetion, A. H. 1978. Landasan Matematika. Bhratara Karya Aksara. Jakarta.
Panggabean, A. B. 2008. Kalkulus. Graha Ilmu. Yogyakarta.
Purcell, E. J. dan Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid Ke-1.
Ed. Ke-5. Diterjemahkan oleh Bana Kartasasmita, I Nyoman Susila, dan
Rawuh. Erlangga. Jakarta.
Purcell, E. J. dan Varberg, D. 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid Ke-2.
Ed. Ke-4. Diterjemahkan oleh Bana Kartasasmita, I Nyoman Susila, dan
Rawuh. Erlangga. Jakarta.
Purcell, E. J., Rigdon, S. E., dan Varberg, D. 2003. Kalkulus. Jilid Ke-1. Ed. Ke-8.
Diterjemahkan oleh I Nyoman Susila. Erlangga. Jakarta.