33
BAB IV PERSAMAAN KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi sama dengan 2.
Bentuk baku persamaan kuadrat adalah dalam x adalah : …. rumus 1
Dengan :
a
dan a, b, c adalah anggota himpunan bilangan nyata. Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat yaitu :
1
2
c bx
x a
: persamaan kuadrat biasa
2
c x
b
: persamaan kuadrat murni
2
bx x
c
: persamaan kuadrat tak lengkap Contoh :
a
4 4
2
x x
b
2
2
x x
c
9
2
x
B. Akar – akar Persamaan Kuadrat
Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat
2
c bx
ax
disebut akar persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan x
1
dan x
2
.
Akar – akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu :
1. Faktorisasi
Bentuk
2
c bx
x
diuraikan kebentuk …………rumus 2
2
c bx
ax
2 1
x x
x x
34
Contoh :
2 2
2 3
1 3
2 3
6 5
2
x x
x x
x x
x x
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Bentuk
2
c bx
x
, dijabarkan kebentuk …………..rumus 3
Contoh : a.
1 4
2
x x
1 4
2
x x
kemudian masing – masing suku ditambah dengan 4
5 2
5 2
4 1
4 4
2 2
x x
x x
Maka
2 5
1
x
dan
2 5
2
x
b.
2 6
2
x x
2 6
2
x x
kemudian masing –masing suku ditambahkan dengan 9
3 11
3 11
11 3
11 3
9 2
9 6
2 1
2 2
x dan
x x
x x
x
3. Menggunakan Rumus abc
Persamaan kuadrat
2
c bx
ax
, mempunyai akar – akar persamaan :
………rumus 4
a ac
b b
x 2
4
2 2
, 1
q p
x
2
35
Cara mencari rumus tersebut adalah sebagai berikut :
2
c bx
ax
→ kemudian masing – masing suku dikalikan 4a
4 4
4 4
4 4
4 4
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
ac b
b abx
x a
b b
ac abx
x a
ac abx
x a
4 2
2 2
2
ac b
b ax
kemudian masing-masing suku diakar
4 2
2
ac b
b ax
harga dari akar bisa + dan - Sehingga diperoleh rumus :
…………rumus 4 Nilai b
2
- 4ac disebut diskriminan dari persamaan ax
2
+ bx + c= 0 dan ditulis dengan huruf D. maka
rumus diatas menjadi :
………rumus 5
Contoh : Carilah akar
– akar dari persamaan kuadrat : 4x
2
+ 5x + 1 = 0 Jawab
4x
2
+ 5x + 1 = 0 → a = 4, b = 5 dan c = 1
4 1
8 3
5 1
8 3
5 1
8 3
5 8
16 25
5 4
. 2
1 .
4 .
4 5
5
2 2
, 1
2 ,
1 2
2 ,
1
x x
x x
x
C. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
Misal akar – akar dari persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0 adalah x
1
dan x
2.
Rumus pemyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut :
a ac
b b
x 2
4
2 2
, 1
a D
b x
2
2 ,
1
36
a D
b x
2
1
dan
a D
b x
2
2
Maka jumlah akar-akar tersebut adalah :
a D
b D
b x
x 2
2 1
Atau ……………rumus 6
Sedangkan hasil kali akar – akar tersebut adalah :
2 2
2 2
2 2
2 1
4 4
4 .
a ac
b b
a D
b x
x
Atau ………..rumus 7
Selisih akar – akar tersebut adalah :
a D
x x
2 2
2 1
sehingga ….rumus 8
Atau ………rumus 9
Contoh :
2x
2
+ 4x + 6 = 0 Tentukan nilai x
1 2
+ x
2 2
tanpa mencari x
1
dan x
2
Jawab
2 3
. 2
2 .
. 2
3 2
6 .
2 2
4 6
4 ,
2 6
4 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2
x x
x x
x x
x x
x x
c dan
b a
x x
a b
x x
2 1
a c
x x
2 1
.
a D
x x
2 1
2 2
1 2
x x
a D
37
D. Jenis akar – akar persamaan kuadrat
Kategori