Jika y 1 < y 2 adalah sebarang bilangan real dan y n : = y n − 1 + y n − 2 untuk n > 2 ,

7. Jika y 1 < y 2 adalah sebarang bilangan real dan y n : = y n − 1 + y n − 2 untuk n > 2 ,

tunjukkan bahwa () y n konvergen. Tentukan limitnya. − 8. 1

Jika x 1 > 0 dan x n − 1 : =+ ( 2 x n ) untuk n ≥ 1 , tunjukkan bahwa () x n merupakan

barisan kontraktif. Tentukan limitnya.

2.6. Sifat Barisan Divergen

Pada subbab ini diberikan beberapa sifat dari suatu barisan bilangan real () x n yang mendekati atau menuju ke ±∞ , yaitu lim () x n = +∞ dan lim () x n = −∞ . Ingat bahwa

barisan divergen adalah barisan yang tidak konvergen.

Definisi 2.6.1. Diberikan barisan bilangan real () x n . (i) Barisan () x n dikatakan mendekati +∞ , ditulis lim () x n = +∞ , jika untuk setiap α ∈ ℝ terdapat K () α∈ ℕ sedemikian hingga jika n ≥ K () α , maka

(ii) Barisan () x n dikatakan mendekati −∞ , ditulis lim () x n = −∞ , jika untuk setiap β ∈ ℝ terdapat K () β∈ ℕ sedemikian hingga jika n ≥ K () β , maka

Barisan () x n dikatakan divergen proper (tepat/tegas) jika lim () x n = +∞ atau lim 2 ()

x n = −∞ . Berikut ini diberikan contoh bahwa lim n () = +∞ .

() = +∞ . Jika K () ε ∈ ℕ sedemikian hingga K () α > α , dan jika

Contoh 2.6.2. 2 lim n

n 2 ≥ K () α , maka diperoleh n ≥> n α .

Teorema 2.6.3. Barisan bilangan real monoton merupakan barisan divergen proper jika dan hanya jika barisannya tidak terbatas.

(a) Jika () x n barisan naik tak terbatas, maka lim () x n = +∞ . (b) Jika () x n barisan turun tak terbatas, maka lim () x n = −∞ .

Bukti.

(a) Misalkan () x n barisan naik. Jika () x n terbatas, maka () x n konvergen. Jika () x n tidak terbatas, maka untuk sebarang α ∈ ℝ terdapat ( ) n α ∈ ℕ sedemikian hingga

α < x n () α . Tetapi karena () x n naik, diperoleh α < x n untuk semua n ≥ n () α . Karena α sebarang, maka diperoleh bahwa lim () x n = +∞ .

(b) Bukti hampir sama dengan (a).

Diberikan barisan bilangan real () x n dan () y n , dengan x n ≤ y n

Teorema 2.6.4.

untuk semua n ∈ ℕ.

(a) Jika lim () x n = +∞ , maka lim () y n = +∞ . (b) Jika lim () y n = −∞ , maka lim () x n = −∞ .

Bukti.

(a) Jika lim () x n = +∞ dan jika diberikan α ∈ ℝ , maka terdapat K () α ∈ ℕ sedemikian hingga jika n ≥ K () α , maka α < x n . Karena diketahui x n ≤ y n untuk semua n ∈ ℕ, maka α < y n untuk semua n ≥ K () α . Karena α sebarang, maka lim () y n = +∞ .

(b) Bukti hampir sama dengan (a).

Diberikan barisan bilangan real () x n dan () y n , dan untuk suatu L ∈ ℝ, L > 0 diperoleh

Teorema 2.6.5.

 x n  lim   = L .  y n 

Maka lim () x n = +∞ jika dan hanya jika lim () y n = +∞ .

Bukti. Diketahui lim   = L , artinya terdapat K ∈ ℕ sedemikian hingga untuk setiap

n ≥ K berlaku

Oleh karena itu, diperoleh  Ly  n < x n <  Ly  n untuk semua n ≥ K . Sehingga

menggunakan Teorema 2.6.4, teorema terbukti.

SOAL LATIHAN SUBBAB 2.6

1. Tunjukkan bahwa jika () x n barisan tak terbatas, maka () x n memuat barisan bagian yang divergen proper.

2. Tunjukkan bahwa jika x n > 0 untuk semua n ∈ ℕ , maka lim () x n = 0 jika dan

hanya jika lim   = +∞ .

3. Tentukan apakah barisan berikut ini divergen proper. (a)

4. Diberikan () x n barisan divergen proper dan diberikan () y n sedemikian hingga lim ( xy n n ) ∈ ℝ . Tunjukkan bahwa () y n konvergen ke 0.

5. Tentukan apakah barisan berikut ini konvergen atau divergen.

(a)

(b) 

( sin n . )

(c) 

(d)

6. Tunjukkan bahwa jika lim   = L , dengan L > 0 , maka lim () a n = +∞ .

2.7. Deret Tak Berhingga

Berikut ini diberikan pengantar singkat mengenai suatu deret tak berhingga dari bilangan real.

Definisi 2.7.1. Jika X : = () x n barisan di ℝ , maka deret tak berhingga (cukup disebut deret ) yang dibentuk oleh X adalah barisan S : = () s k yang didefinisikan dengan

s 2 : =+ s 1 x 2 ( =+ x 1 x 2 )

s k : = s k − 1 + x 2 ( =+++ x 1 x 2 ... x k )

... x n disebut dengan terms dari deret, dan s k disebut jumlahan parsial partial sum ( ).

Jika lim S ada, maka deret S dikatakan konvergen dan nilai limitnya adalah hasil dar jumlahan deret. Jika limitnya tidak ada, maka dikatakan deret S divergen .

Deret tak berhingga S yang dibangun oleh barisan X : = () x n disimbolkan

dengan

atau

atau

Contoh 2.7.2.

Diberikan barisan X : = () r n = 0 dengan r ∈ ℝ yang membangun deret:

2 ∑ n r =+++++ 1 r r ... r ... .

Akan ditunjukkan bahwa jika r < 1 , maka deret ini konvergen ke

( . 1r − )

2 Misalkan n s n :1 =+++++ r r ... r ... untuk n ≥ 0 , dan jika s n dikalikan dengan r dan mengurangkan hasilnya dari s n , maka diperoleh

n ( 1 −=− r ) 1 r .

Oleh karena itu, diperoleh

Karena r → 0 saat r < 1 , maka deret geometri ∑ r konvergen ke

n = 0 ( 1r − )

saat

Selanjutnya, diberikan kondisi-kondisi yang dapat memberikan jaminan bahwa suatu deret itu konvergen.

Teorema 2.7.3. (The nth Term Test) Jika deret ∑ x n konvergen, maka lim () x n = 0 .

Bukti. Menggunakan Definisi 2.7.1, ∑ x n konvergen apabila lim () s k ada. Karena

x n =− s n s n − 1 , maka lim () x n = lim () s n − lim () s n − 1 = 0 .