4.5. (Kriteria Divergensi) Jika barisan bilangan real X = () x n memenuhi

Teorema 2.4.5. (Kriteria Divergensi) Jika barisan bilangan real X = () x n memenuhi

salah satu dari sifat berikut, maka barisan X divergen.

(i) X mempunyai dua barisan bagian konvergen X ′= () x n k dan X ′′ = () x r k

dengan limit keduanya tidak sama. (ii) X tidak terbatas.

Contoh 2.4.6. Tunjukkan bahwa barisan  1, ,3, ,...  divergen.

Jawab. Namakan barisan di atas dengan Y = () y n , dengan y n = jika n genap, dan

y n = n jika n ganjil. Jelas bahwa Y tidak terbatas. Jadi, barisan Y = () y n divergen.

Berikut ini diberikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa barisan bilangan

real X = () x n pasti mempunyai barisan bagian yang monoton. Untuk membuktikan teorema ini, diberikan pengertian puncak (peak), x m disebut puncak jika x m ≥ x n untuk semua n sedemikian hingga n ≥ m . Titik x m tidak pernah didahului oleh sebarang real X = () x n pasti mempunyai barisan bagian yang monoton. Untuk membuktikan teorema ini, diberikan pengertian puncak (peak), x m disebut puncak jika x m ≥ x n untuk semua n sedemikian hingga n ≥ m . Titik x m tidak pernah didahului oleh sebarang

Jika X = () x n barisan bilangan real,

2.4.7. Teorema Barisan Bagian Monoton

maka terdapat barisan bagian dari X yang monoton.

Bukti. Pembuktian dibagi menjadi dua kasus, yaitu X mempunyai tak hingga banyak puncak, dan X mempunyai berhingga banyak puncak.

Kasus I:

X mempunyai tak hingga banyak puncak. Tulis semua puncak berurutan naik,

yaitu x m 1 , x m 2 ,..., x m k ,... . Maka x m 1 ≥ x m 2 ≥≥ ... x m k ,... . Oleh karena itu, () x m k merupakan

barisan bagian yang turun (monoton).

Kasus II:

X mempunyai berhingga banyak puncak. Tulis semua puncak berurutan naik, yaitu x m 1 , x m 2 ,..., x m r . Misalkan s 1 : = m r + 1 adalah indeks pertama dari puncak yang

terakhir. Karena x s 1 bukan puncak, maka terdapat s 2 > s 1 sedemikian hingga x s 1 < x s 2 . Karena x s 2 bukan puncak, maka terdapat s 3 > s 2 sedemikian hingga x s 2 < x s 3 . Jika

proses ini diteruskan, diperoleh barisan bagian () x s k yang naik (monoton).

Teorema 2.4.8. (Bolzano-Weierstrass)

Setiap barisan bilangan real yang terbatas pasti memuat barisan bagian yang konvergen.

Bukti. Diberikan barisan bilangan real terbatas X = () x n . Namakan S = { x n : n ∈ ℕ }

range barisan, maka S mungkin berhingga atau tak berhingga.

Kasus I: Diketahui S berhingga. Misalkan S = { xx 1 , ,..., 2 x t } , maka terdapat m ∈ ℕ dengan 1 m t ≤≤ dan barisan ( r k : k ∈ ℕ ) dengan r 1 <<< r 2 r 3 ... sehingga

x r 1 = x r 2 == ... x m . Hal ini berarti terdapat barisan bagian ( x r k : k ∈ ℕ yang konvergen )

ke x m .

Kasus II: Karena S tak berhingga dan terbatas, maka S mempunyai titik cluster atau

titik limit, namakan x titik limit S. Misalkan U k =  x − , x +  persekitaran titik x.

Untuk k = 1, maka terdapat x r 1 ∈∩ S U 1 , x r 1 ≠ x sedemikian hingga x r 1 −< x 1 .

1 Untuk k = 2, maka terdapat x r 2 ∈∩ S U 2 , x r 2 ≠ x sedemikian hingga x r 2 −< x .

1 Untuk k = 3, maka terdapat x r 3 ∈∩ S U 3 , x r 3 ≠ x sedemikian hingga x r 3 −< x .

3 Demikian seterusnya, sehingga diperoleh:

1 Untuk k = n, maka terdapat x r n ∈∩ S U n , x r n ≠ x sedemikian hingga x r n −< x . n

Ambil ε > 0 . Menurut Sifat Archimedes, maka terdapat K ∈ ℕ sedemikian hingga

1 < 1 ε . Maka untuk setiap n ≥ K berlaku x r n −<≤ x < ε . Terbukti bahwa x r K

() n

konvergen ke x dengan () x r n barisan bagian () x n .

Diberikan barisan bilangan real terbatas X = () x n dan diberikan

Teorema 2.4.9.

x ∈ ℝ yang mempunyai sifat bahwa setiap barisan bagian dari X konvergen ke x. Maka barisan X konvergen ke x.

Bukti. Misalkan M > 0 adalah batas dari barisan X sehingga x n ≤ M untuk semua n ∈ ℕ . Andaikan X tidak konvergen ke x, maka menggunakan Teorema 2.4.4 terdapat