masing-masing nilai
p, d
dan
q
. Untuk mengobservasi model ARIMA secara penuh
diperlukan tiga tahap, yaitu: identifikasi, estimasi, dan uji diagnostik. Kemudian jika nilai
p, d
dan
q
tersebut sudah didapat, peramalan
forecasting
dapat dilakukan.
Secara umum model-model ARIMA stasioner dapat dibagi menjadi tiga model, yaitu :
1. Model
Autoregressive
→ AR
p
�
= �
1 �−1
+ �
2 �−2
+ ⋯ + �
�−
+
�
2. Model
Moving Average
→MA
q
�
=
�
− �
1 �−1
− �
2 �−2
− ⋯ − �
�−
3. Model
Autoregressive Moving Average
ARMA
p, q
�
=
�
= �
1 �−1
+ �
2 �−2
+ ⋯ + �
�−
+
� �
− �
1 �−1
− �
2 �−2
− ⋯ − �
�−
dengan: Z t
: besarnya pengamatan kejadian pada waktu ke-t :
�
− �
�
: suatu “
white noise process
” atau error pada waktu ke-
t
yang diasumsikan mempunyai mean 0 dan varians konstan
�
� 2
. Model ARIMA non-stasioner jika ada orde
d
misal : 1, 2, dengan bentuk umum adalah: 1 − �
1
� − ⋯ − � � 1 − �
� �
= 1 − �
1
� − ⋯ − � �
�
Sebagai contoh, jika
�
mengikuti model ARIMA 1,1,0 maka secara matematik
�
mengikuti: 1 − �
1
� 1 − �
� �
=
�
1 − 1 + �
1
� + �
1
�
2 �
=
� �
= 1 + �
1 �−1
+ �
1 �−2
+
�
2.2 Model Vector Autoregressive VAR
Model VAR adalah suatu pendekatan peramalan kuantitatif yang biasanya diterapkan pada data
multivariate time series
. Model ini menjelaskan keterkaitan antar pengamatan pada variabel tertentu pada suatu waktu dan pengamatan pada variabel itu sendiri pada
waktu-waktu sebelumnya, dan juga keterkaitannya dengan pengamatan pada variabel lain pada waktu-waktu sebelumnya.
Jika diberikan
z
i
t
dengan , T = {1, 2,…,
T
dan
i =
{1,2,…,
N
} merupakan indeks parameter waktu dan variabel misalkan berupa lokasi yang berbeda atau jenis
produk yang berbeda yang terhitung dan terbatas, maka model VARMA secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut Wei, 2006 :
p q
B t
B t
Φ
Z Θ
e
T t
dengan
Z t
adalah vektor deret waktu multivariate yang terkoreksi nilai rata-ratanya,
Φ
p
B
dan
Θ
q
B
berturut-turut adalah suatu matriks
autoregressive
dan
moving average
polynomial orde
p
dan
q
.
2.3 Model
Space Time Autoregressive
STAR
Model STAR merupakan suatu model yang dikategorikan berdasarkan lag yang berpengaruh secara linier baik dalam lokasi maupun waktu Pfeifer dan Deutsch 1980a.
Model STAR 1:
p
dirumuskan sebagai berikut: Z
�
= �
W Z
�−
+ � W
Z
�−
+ e
� =1
2.16 dengan:
Z
�
: vektor acak ukuran
n x 1
ada waktu
t
� : parameter STAR pada lag waktu
k
dan lag spasial
l
W : matriks bobot ukuran
n x n
pada lag spasial
l
dimana
l
= 0,1,…
2.4 Model
Generalized Space Time Autoregressive
GSTAR
Menurut Pfeifer dan Deutsch 1980a, model STAR merupakan model yang dikategorikan berdasar lag yang berpengaruh secara linier baik dalam lokasi dan waktu.
Model GSTAR merupakan suatu model yang cenderung lebih fleksibel dibandingkan model STAR. Secara matematis, notasi dari model GSTAR1:
p
adalah sama dengan model STAR1:
p
. Perbedaan utama dari model GSTAR1:
p
ini terletak pada nilai-nilai parameter pada lag spasial yang sama diperbolehkan berlainan. Sedangkan pada model
STAR pada parameter autoregresive diasumsikan sama pada seluruh lokasi. Dalam notasi matriks, model GSTAR1:
p
dapat ditulis sebagai berikut: �
�
= �
+ �
1
�
=1
�
�−
+ �
�
2.17 dengan:
� =
� � �
1
, … , �
�
dan : �
1
= � � �
1 1
, … , �
1 �
pembobot � = 0 dan �
≠
= 1 �
�
~ �0, �
2
�
�
untuk
i
= 1,2,…,n Penaksir parameter model GSTAR dapat dilakukan dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat. Dalam mengidentifikasi orde model GSTAR, orde spasial pada umumnya dibatasi
pada orde 1 karena orde yang lebih tinggi akan sulit untuk diinterpretasikan. Sedangkan
untuk orde waktu
autoregressive
dapat ditentukan dengan menggunakan AIC Akaike’s
Information Criterion
.
III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
