Bootstrap Parametrik dan Nonparametrik untuk Pendugaan Kuadrat Tengah Galat dalam Statistik Area Kecil dengan Respon Bersebaran Lognormal
BOOTSTRAP PARAMETRIK DAN NONPARAMETRIK UNTUK
PENDUGAAN KUADRAT TENGAH GALAT DALAM STATISTIK AREA
KECIL DENGAN RESPON BERSEBARAN LOGNORMAL
CEMPAKA PUTRI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
RINGKASAN
CEMPAKA PUTRI. Bootstrap Parametrik dan Nonparametrik untuk Pendugaan Kuadrat Tengah
Galat dalam Statistik Area Kecil dengan Respon Bersebaran Lognormal. Dibimbing oleh Khairil
Anwar Notodiputro dan La Ode Abdul Rahman.
Pendugaan area kecil sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi pada area kecil, yaitu
area yang memiliki ukuran contoh kecil. Pendugaan secara langsung pada area kecil akan
menghasilkan nilai ragam yang besar. Solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak
langsung dengan cara menambahkan informasi tambahan dari area sekitar atau dari survei lain
dalam menduga parameter. Salah satu masalah yang ditemukan dalam pendugaan tidak langsung
adalah rendahnya presisi dugaan Kuadrat Tengah Galat (KTG) yang disebabkan oleh sebaran yang
tidak normal. Parameter yang menjadi perhatian dalam penelitian ini adalah pengeluaran per kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor. Data pengeluaran per kapita ini tidak mengikuti sebaran
normal. Penduga KTG berdasarkan metode bootstrap memiliki kelebihan tahan terhadap
pengambilan contoh dari sebaran yang bukan normal. Oleh karena itu, penelitian ini menggunakan
metode bootstrap, yaitu bootstrap parametrik dan bootstrap nonparametrik dalam pendugaan KTG.
Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa secara umum metode bootstrap parametrik
manghasilkan nilai dugaan KTG yang lebih kecil dibandingkan metode bootstrap nonparametrik.
Kedua metode ini memiliki presisi yang lebih baik sehingga mampu memperbaiki hasil pendugaan
langsung.
Kata kunci: pendugaan area kecil, bootstrap parametrik, bootstrap nonparametrik
BOOTSTRAP PARAMETRIK DAN NONPARAMETRIK UNTUK
PENDUGAAN KUADRAT TENGAH GALAT DALAM STATISTIK AREA
KECIL DENGAN RESPON BERSEBARAN LOGNORMAL
CEMPAKA PUTRI
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Judul Skripsi : Bootstrap Parametrik dan Nonparametrik untuk Pendugaan
Kuadrat Tengah Galat dalam Statistik Area Kecil dengan Respon
Bersebaran Lognormal
Nama
: Cempaka Putri
NRP
: G14070012
Disetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
NIP. 19560404 198011 1 002
La Ode Abdul Rahman, S.Si., M.Si.
Diketahui
Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS
NIP. 19650421 199002 1 001
Tanggal Lulus :
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga tulisan ini berhasil diselesaikan. Tulisan ini merupakan hasil penelitian penulis dalam
rangka memenuhi tugas akhir yang merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Statistika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.
Terimakasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS
dan Bapak La Ode Abdul Rahman, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing dan Bapak Dr. Ir. I
Made Sumertajaya, MS yang telah memberikan arahan dan masukan yang membangun kepada
penulis dalam meyelesaikan penelitian. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada orang tua dan
keluarga tercinta atas doa dan dukunganya serta semua pihak yang telah membantu penulis dalam
menyelesaikan tulisan ini.
Semoga tulisan ini dapat bermanfaat.
Bogor, November 2011
Cempaka Putri
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Jakarta, pada tanggal 14 November 1989 dari pasangan Achmad Nurdin
dan Hartati. Penulis merupakan anak ke empat dari enam bersaudara.
Pendidikan penulis berawal dari SDN Guntur 04 Jakarta pada tahun 1995, dan melanjutkan
pendidikannya ke SMP Negeri 1 Jakarta hingga lulus pada tahun 2004. Pada tahun 2004 penulis
melanjutkan pendidikan di SMA Negeri 3 Jakarta, dan lulus pada tahun 2007. Pada tahun yang
sama penulis diterima sebagai mahasiswa di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan
Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama pendidikan di IPB, penulis pernah mendapatkan beasiswa Peningkatan Prestasi
Akademik (PPA) pada tahun 2009-2011. Pada pertengahan tahun 2010 penulis berkesempatan
menjadi asisten mata kuliah Metode Statistika. Dan pada Februari-April 2011 penulis melakukan
praktik lapang di Lembaga Survei Indonesia di Jakarta.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ......................................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................. viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang ...................................................................................................................
Tujuan ................................................................................................................................
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
Pengeluaran per Kapita ......................................................................................................
Uji KolmogorovSmirnov ..................................................................................................
Pendugaan Area Kecil........................................................................................................
Penduga Langsung.....................................................................................................
Penduga PTLTE ........................................................................................................
Metode Bootstrap dalam Menduga KTG ...........................................................................
Pendugaan KTG dengan Bootstrap Parametrik .........................................................
Pendugaan KTG dengan Bootstrap Non Parametrik .................................................
1
1
1
2
2
3
3
3
METODOLOGI
Data ....................................................................................................................................
Metode ...............................................................................................................................
4
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data ..................................................................................................................
Pendugaan Tidak Langsung dengan Metode PTLTE.........................................................
Pendugaan KTG dengan Bootstrap Parametrik .................................................................
Pendugaan KTG dengan Bootstrap Nonparametrik ...........................................................
4
5
5
6
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan .......................................................................................................................
Saran ..................................................................................................................................
7
7
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................................
7
LAMPIRAN ..................................................................................................................................
8
DAFTAR TABEL
Halaman
1
2
Nilai Statistik Pengeluaran per kapita (xRp. 100,000)..........................................................
Nilai Dugaan Parameter Beta ...............................................................................................
4
5
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1
2
3
4
5
Diagram Kotak Garis Pengeluaran per kapita Hasil Pendugaan Langsung ..........................
Diagram Kotak Garis Pengeluaran per kapita Hasil Pendugaan Langsung dan Pendugaan
Tidak Langsung ....................................................................................................................
Diagram Garis Nilai Dugaan KTG pada Bootstrap Parametrik dan Pendugaan Langsung ..
Diagram Garis Nilai Dugaan KTG pada Bootstrap Nonparametrik dan Pendugaan
Langsung ..............................................................................................................................
Diagram Garis Nilai Dugaan KTG pada Bootstrap Parametrik dan Bootstrap
Nonparametrik ......................................................................................................................
4
5
6
6
6
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
2
3
4
5
Hasil Pendugaan Pengeluaran per Kapita serta nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG) ............
Pengujian Sebaran Data Pengeluaran per kapita desa/kelurahan di Kabupaten Bogor.........
Hasil pemilihan peubah pendukung menggunakan Regresi Himpunan Bagian Terbaik ......
Hasil Pengujian Multikolinearitas ........................................................................................
Daftar Singkatan ...................................................................................................................
9
10
11
12
13
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Statistik area kecil sangat diminati dalam
berbagai bidang pada beberapa tahun terakhir
ini. Pendugaan area kecil sangat dibutuhkan
untuk mendapatkan informasi-informasi pada
area kecil, yaitu area dengan jumlah contoh
yang kecil. Informasi tersebut menjadi sangat
penting seiring dengan berkembangnya era
otonomi daerah di Indonesia karena dapat
digunakan sebagai acuan menyusun sistem
perencanaan, pemantauan, dan kebijakan
daerah lainnya tanpa harus mengeluarkan
biaya yang besar untuk mengumpulkan data
sendiri. Metode yang terus dikembangkan
untuk menduga statistik area kecil ini adalah
pendugaan area kecil.
Pendugaan secara langsung pada area kecil
akan menghasilkan nilai ragam yang besar
karena ukuran contoh yang kecil. Salah satu
solusi yang digunakan adalah melakukan
pendugaan tidak langsung dengan cara
menambahkan peubah-peubah pendukung
dalam menduga parameter. Peubah-peubah
pendukung tersebut berupa informasi dari
daerah lain yang serupa, survei terdahulu pada
area yang sama, atau peubah lain yang
berhubungan dengan peubah yang ingin
diduga. Dengan kata lain model pendugaan
area kecil meminjam informasi pengamatan
contoh dari wilayah terkait melalui data
tambahan untuk meningkatkan efektifitas
ukuran contoh.
Salah satu masalah yang ditemukan dalam
pendugaan tidak langsung adalah rendahnya
presisi dugaan Kuadrat Tengah Galat (KTG)
yang disebabkan oleh adanya penyimpangan
asumsi sebaran normal yang mengakibatkan
dugaan KTG menjadi berbias. Oleh karena itu
diperlukan suatu metode yang dapat
mengoreksi bias tersebut, diantaranya adalah
metode jackknife dan bootstrap.
Parameter yang menjadi perhatian dalam
penelitian ini adalah pengeluaran per kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor. Data
pengeluaran per kapita ini tidak mengikuti
sebaran normal. Menurut Butar dan Lahiri
(2003), dugaan KTG berdasarkan metode
bootstrap memiliki kelebihan tahan terhadap
pengambilan contoh dari sebaran yang bukan
normal. Oleh karena itu, penelitian ini
menggunakan metode bootstrap, yaitu
bootstrap
parametrik
dan
bootstrap
nonparametrik dalam pendugaan KTG.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menduga
pengeluaran
per
kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor.
2. Menerapkan metode bootstrap parametrik
dan bootstrap nonparametrik dalam
menduga KTG dalam pendugaan area
kecil.
TINJAUAN PUSTAKA
Pengeluaran Per Kapita
Pengeluaran per kapita adalah biaya yang
dikeluarkan untuk konsumsi semua anggota
rumah tangga selama sebulan baik yang
berasal dari pembelian, pemberian maupun
produksi sendiri dibagi dengan banyaknya
anggota rumah tangga dalam rumah tangga
tersebut (BPS 2009). Pengertian rumah tangga
yang dimaksud di atas adalah seorang atau
sekelompok orang yang mendiami sebagian
atau seluruh bangunan fisik dan biasanya
tinggal bersama serta makan dari satu dapur.
Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji Kolmogorov-Smirnov (KS) digunakan
untuk menguji kesesuaian sebaran data. Pada
dasarnya uji ini memverifikasi perbedaan
antara sebaran kumulatif teoritik dan sebaran
kumulatif empirik.
Hipotesis:
H0 : F(x) = F0(x) untuk semua nilai x
H1 : F(x) F0(x) setidaknya untuk satu nilai x
dengan KS statistik :
D = sup S ( x) − F0 ( x )
x
dimana
D = jarak Kolmogorov-Smirnov
S (x) = proporsi contoh yang
F0(x) = fungsi sebaran contoh
n
= banyaknya contoh
(Daniel 1990).
≤
x
Pendugaan Area Kecil
Istilah area kecil biasanya menandakan
suatu area geografis kecil, seperti suatu daerah
kabupaten/kota,
kecamatan,
maupun
kelurahan/desa. Area kecil ini juga dapat
diartikan sebagai bagian kecil dari wilayah
populasi baik berdasarkan geografi, ekonomi,
sosial budaya, ataupun yang lainnya.
Pendugaan area kecil merupakan pendugaan
parameter suatu area yang lebih kecil dengan
memanfaatkan informasi dari luar, dari dalam
area itu sendiri, dan dari luar survei (Rao
2003).
Terdapat dua masalah pokok dalam
pendugaan area kecil. Masalah pertama adalah
2
bagaimana menghasilkan suatu dugaan
parameter yang cukup baik untuk ukuran
contoh kecil pada suatu domain. Kedua,
bagaimana menduga KTG dari dugaan
parameter tersebut. Kedua masalah pokok
tersebut dapat diatasi dengan cara “meminjam
informasi” dari dalam area, luar area, maupun
dari luar survei.
Metode pendugaan yang dapat digunakan
untuk mendapatkan pendugaan area kecil
yaitu pendugaan langsung dan pendugaan
tidak langsung. Pendugaan tidak langsung
dilakukan dengan cara memanfaatkan
informasi peubah lain yang berhubungan
dengan parameter yang diamati. Ada beberapa
metode pada pendugaan tidak langsung untuk
area kecil antara lain Prediksi Takbias Linear
Terbaik Empirik (PTLTE), Bayes Empirik
(BE), dan Bayes Berhirarki (BB).
Penduga Langsung
Penduga langsung merupakan penduga
berbasis rancangan dan hanya dapat
digunakan jika semua area dalam suatu
populasi digunakan sebagai contoh (Rao
2003). Penduga langsung menggunakan nilai
dari peubah yang menjadi perhatian hanya
pada periode waktu dan unit contoh pada area
yang menjadi perhatian.
Data contoh dari suatu survei dapat
digunakan untuk mendapatkan pendugaan
langsung yang dapat dipercaya bagi suatu area
besar. Ramsini et al. (2001) menyebutkan
bahwa nilai hasil pendugaan langsung pada
suatu area kecil merupakan penduga tak bias
meskipun memiliki ragam yang besar
dikarenakan dugaannya diperoleh dari ukuran
contoh yang kecil.
Penduga PTLTE
Model dasar pendugaan area kecil oleh
Fay-Herriot (1979) menjadi dasar dalam
pengembangan pendugaan area kecil berbasis
model yang banyak dibahas dalam berbagai
literatur. Model Fay-Herriot didefinisikan
sebagai berikut:
yi = xiT β + υi + ei ,
1, … ,
dimana yi adalah nilai penduga langsung
berdasarkan rancangan survei, υi N (0, A)
adalah
pengaruh
acak
area
kecil,
ei N (0, Di ) adalah galat percontohan, dan
υi dan saling bebas. Diasumsikan bahwa
dan A tidak diketahui, sedangkan Di diketahui
(Kurnia dan Notodiputro 2006b).
Penduga terbaik (best predictor, BP) bagi
θi = xiT β + υi jika dan A diketahui adalah:
BP
θ$ i
= θ$ i ( yi | β , A)
= xiT β + (1 − Bi )( yi − xiT β )
Di
merupakan faktor
A + Di
penyusutan. Jika A diketahui, dapat diduga
dengan metode kuadrat terkecil terboboti yaitu
dimana
Bi =
(
β i ( A ) = X T V −1 X
)
−1
X T V −1Y
dimana pembobotnya adalah ragam dari
pengaruh acak area dan galat contoh, yaitu
V = Diag ( A + D1, A + D2 ,..., A + Dm ).
Dengan mensubstitusi dengan
maka diperoleh
PTLT
= θ$ i ( y | A)
θ$ i
pada
,
i
=
xiT
β + (1 − Bi )( yi − xiT β )
PTLT
) = g1i ( A) + g 2i ( A)
KTG(θ$ i
dimana
g1i ( A) = (1 − Bi ) Di
g 2i ( A) = Di (1 − Bi )[ xiT ( X T V −1 X )−1 xi ].
dimana g1i merupakan reduksi pada KTG
relatif terhadap KTG penduga langsung dan
g 2i merupakan kontribusi terhadap KTG
akibat pendugaan β .
Akan tetapi, dalam praktiknya baik
maupun A biasanya tidak diketahui. Untuk
menduga A, dapat digunakan Metode
Kemungkinan Maksimum (MKM), Metode
Kemungkinan
Maksimum
Terkendala
(MKMT), atau metode momen. Dalam
penelitian ini, metode pendugaan yang
digunakan dalam menduga parameter A
adalah dengan metode MKMT, dimana
A = max ⎡0, s 2 − 1⎤
⎣
⎦
dimana
2
m
−1
s 2 = ( m − 1)
y − x' β
∑ (
i =1
⎝∑
β ols = ⎛⎜
i
i
−1
ols
)
x x ' ⎞⎟ xi yi .
i =1 i i ⎠
Dengan mensubstitusi oleh dan A oleh
terhadap penduga PTLT, maka akan diperoleh
suatu penduga baru
m
3
PTLTE
θ$ i
3. Ulangi langkah 1 dan 2 sebanyak B=2000.
4. Duga KTG dengan rumus sebagai berikut,
= θ$ i ( yi | A)
+ (1 − B
i )( y − xT β
)
= xiT β
i
i
PTLTE
Kuadrat Tengah Galat dari θ$ i
adalah
(θ$ iPTLTE ) = ( g + g ) − g PB − g PB
KTG
1i
2i
1i
2i
+ puc PB + cpe PB
2
PTLTE ⎞
⎛ $ PTLT ⎞ ⎛ $ PTLTE −θ$ PTLT ⎞
KTG⎛⎜θ$ i
i
⎟
⎟ = KTG⎜θi ⎟ + E⎜θi
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
PTLT
TLT
PTLTE
P
+2E⎛⎜θ$ i −θ$ i ⎞⎟⎛⎜θ$ i
−θ$ i ⎞⎟.
⎠
⎝
⎠⎝
Di
bawah
asumsi
normal,
nilai
PTLT
PTLTE
PTLT ⎞
− θ$ i ⎞⎟ ⎛⎜ θ$ i
− θ$ i
E ⎛⎜ θ$ i
⎟ adalah nol.
⎝
⎠⎝
⎠
Namun untuk sebaran lain hal tersebut tidak
berlaku. Agar menghasilkan dugaan yang
PTLT
PTLTE
PTLT ⎞
baik, nilai E ⎛⎜ θ$ i
− θ$ i ⎞⎟ ⎛⎜ θ$ i
− θ$ i
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
dibutuhkan.
dimana
pucPB = B−1
cpe
PB
Pendugaan KTG dengan Bootstrap
Parametrik
Metode
bootstrap
parametrik
menggunakan asumsi sebaran peluang dari
contoh asli yang digunakan. Metode ini
dilakukan dengan membangkitkan sejumlah
besar contoh bootstrap dengan sebaran yang
sesuai dengan contoh asli, menduga parameter
model untuk masing-masing contoh bootstrap,
dan kemudian menduga komponen-komponen
dalam KTG.
Tahapan-tahapan
untuk
menghitung
dengan metode bootstrap
parametrik adalah sebagai berikut:
1. Bangkitkan
contoh
bootstrap θ ib dan
yib | θ ib dengan sebaran yang sama dengan
sebaran data asli.
dan
2. Duga ragam antar area A(
;
dan
parameter
regresi,
; , menggunakan metode yang
sama seperti yang digunakan pada data
asli.
b
i
b
b
b
}
b
2
( yb ; A( y))⎤
−θ$ i ⎡ yb ; A( y), β
⎣
⎦
−1
b
b
=B
θ$ i ⎡ y ; A( y ), β ( yb ; A( yb ))⎤
⎣
⎦
b
b
b
( y ; A( y))⎤
−θ$ i ⎡ y ; A( y), β
⎣
⎦
∑{
}
{
( yb ; A( y))⎤ − θ b
× θ$ i ⎡ yb ; A( y), β
⎣
⎦ i
}
dan
PB
Metode Bootstrap dalam Menduga KTG
Metode bootstrap mulai diperkenalkan
oleh Bradley Efron pada tahun 1979, sebagai
suatu metode pengambilan contoh ulang
secara acak dengan pemulihan. Efron dan
Tibshirani (1993) menjelaskan bahwa metode
bootstrap dapat dilakukan secara parametrik
maupun nonparametrik. Dalam pendugaan
area kecil metode bootstrap merupakan salah
satu metode alternatif untuk menduga KTG.
Penduga KTG berdasarkan metode bootstrap
memiliki
kelebihan
tahan
terhadap
pengambilan contoh dari sebaran yang bukan
normal (Butar dan Lahiri 2003).
∑ {θ$ ⎡⎣ y ; A( y ), β ( y ; A( y ))⎤⎦
g di = B −1
∑
b
g di ,
d = 1, 2
(Pfeffermann dan Glickman 2004).
puc PB merupakan kontribusi terhadap
KTG akibat pendugaan A dan cpe PB
merupakan
nilai
dari
PTLT
PTLTE
PTLT
⎞.
− θ$ i ⎞⎟ ⎛⎜ θ$ i
− θ$ i
E ⎛⎜ θ$ i
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
Pendugaan KTG dengan Bootstrap
Nonparametrik
Metode bootstrap nonparametrik tidak
menggunakan asumsi sebaran peluang dari
contoh asli yang digunakan seperti pada
metode bootstrap parametrik. Metode ini
dilakukan dengan pengambilan contoh acak
dengan pemulihan pada contoh asli untuk
membangkitkan contoh bootstrap. Pendugaan
KTG dengan metode ini menggunakan asumsi
pada model Fay-Harriot, yaitu pengaruh acak
area kecil dan galat percontohan dianggap
menyebar normal.
Tahapan-tahapan
untuk
menghitung
dengan metode bootstrap
nonparametrik adalah sebagai berikut:
1. Hitung dugaan sisaan baku ( rib ) untuk
masing-masing area, dimana
) c1/ 2
r$ i = ( yi − xiT β
i
,
−1 ⎫
⎧ ⎡
⎤
1
⎪
⎪
ci = ( A + Di ) − ⎨xiT ⎢
xi xiT ⎥ xi ⎬.
i (A+ D )
i
⎦
⎪⎩ ⎣
⎭⎪
b
2. Pilih contoh bootstrap sisaan baku( ri ).
3. Hitung penduga langsung bootstrap,
,
1, … , .
y ib = rib c i1/ 2 + x iT β
∑
4
4. Duga ragam antar area A(
dan
parameter regresi,
dan
;
; , menggunakan metode yang
sama seperti yang digunakan pada data
asli.
5. Ulangi langkah 2-4 sebanyak B=2000.
6. Duga KTG dengan rumus sebagai berikut,
(θ$ iPTLTE ) = 2( g + g ) − g NPB − g NPB + pucNPB
KTG
puc NPB = B−1
2i
1i
2i
∑ {θ$ [ y ; A( y ), β ( y ; A( y ))]
b
i
b
b
}
( yb ; A)]
−θ$ i [ yb ; A, β
NPB
g di
= B −1
∑
b
b
b
2
g di , d = 1, 2
(Pfeffermann dan Glickman 2004).
METODOLOGI
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini
adalah data SUSENAS 2008 dan PODES
2008. Peubah respon yang menjadi perhatian
adalah pengeluaran per kapita pada beberapa
desa di Kabupaten Bogor. Peubah pendukung
yang
dianggap
mempengaruhi
dan
menggambarkan pengeluaran per kapita yaitu,
jumlah penduduk
jumlah keluarga
persentase keluarga pertanian
persentase keluarga pengguna PLN
persentase penerima ASKESKIN
persentase surat miskin
persentase keluarga pengguna telepon
kabel
Metode
Tahapan-tahapan pada penelitian ini
adalah:
1. Melakukan pendugaan langsung terhadap
pengeluaran per kapita desa/kelurahan di
Kabupaten Bogor berdasarkan data
SUSENAS 2008.
2. Melakukan pemeriksaan sebaran data
pengeluaran per kapita desa/kelurahan di
Kabupaten Bogor, apakah menyimpang
dari sebaran normal, serta memeriksa
sebaran apa yang tepat untuk data tersebut
menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
peubah
pendukung
yang
3. Memilih
mempengaruhi
dan
menggambarkan
pengeluaran per kapita menggunakan
metode regresi anak-gugus terbaik.
4. Melakukan pendugaan terhadap ragam
antar area (A) menggunakan metode
MKMT dan koefisien model regresi ( )
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Pendugaan langsung pengeluaran per
kapita desa diperoleh dengan membagi
pengeluaran rumah tangga untuk makanan
dan bukan makanan dengan jumlah anggota
rumah tangga. Hasil pendugaan langsung
tersebut dapat dilihat pada Lampiran 1. Hasil
pendugaan langsung menunjukkan bahwa
pengeluaran per kapita desa-desa di
Kabupaten Bogor cukup beragam. Hal ini
ditunjukkan
dengan
nilai
koefisien
keragaman pada Tabel 1 yang cukup besar,
yaitu 53.58.
Diagram kotak garis yang diperlihatkan
pada Gambar 1 menunjukkan bahwa terdapat
dua titik yang berada di luar kotak. Kedua
titik tersebut adalah Desa Babakan dan Desa
Tlajung Udik. Kedua desa tersebut memiliki
pengeluaran per kapita yang lebih besar
dibandingkan desa lainnya.
Tabel 1 Nilai Statistik Pengeluaran per kapita
(xRp. 100,000)
Statistik
Pengeluaran per kapita
Rataan
4.09
SE Rataan
0.35
Koef. Keragaman
53.58
Minimum
1.60
Median
3.47
Maksimum
12.21
12
10
Pe nge lua r a n pe r ka pit a
1i
dimana
menggunakan metode kuadrat terkecil
terboboti (KTT).
5. Menduga pengeluaran per kapita untuk
masing-masing desa dengan metode
PTLTE.
KTG
dengan
bootstrap
6. Menduga
parametrik dan bootstrap nonparametrik.
8
6
4
2
Gambar 1 Diagram Kotak Garis Pengeluaran
per kapita Hasil Pendugaan
Langsung
Pemeriksaan
sebaran
pada
data
pengeluaran per kapita desa/kelurahan di
5
menggunakan metode KTT, dengan nilai
dugaan dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai Dugaan Parameter Beta
xi
beta_duga
x0
1.64
x1
- 0.0003
x2
0.001
x6
0.18
x7
0.06
Hasil
pendugaan
tidak
langsung
pengeluaran per kapita dengan metode PTLTE
dapat dilihat pada Lampiran 5. Seperti pada
pendugaan langsung, desa Babakan dan
Tlajung Udik memiliki dugaan pengeluaran
per kapita yang lebih besar dibandingkan
desa-desa lainnya. Secara umum pendugaan
tidak langsung dengan metode PTLTE dan
pendugaan langsung memberikan hasil
pendugaan
pengeluaran
per
kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor yang
tidak jauh berbeda. Keragaman pengeluaran
per kapita pada pendugaan tidak langsung
lebih kecil dibandingkan pada pendugaan
langsung dengan nilai tengah yang hampir
sama, yang dapat dilihat pada Gambar 2.
Dapat diartikan bahwa metode PTLTE
tersebut mampu memperkecil keragaman.
Namun untuk menentukan pendugaan mana
yang menghasilkan nilai dugaan yang lebih
baik adalah dengan melihat KTG dari masingmasing dugaan.
12
Pengeluaran per Kapita
Kabupaten Bogor menunjukkan bahwa data
tidak menyebar normal. Hal ini berdasarkan
pengujian
kesesuaian
model
oleh
Kolmogorov Smirnov, yang menunjukkan
nilai-p < 0.05. Ini berarti sudah cukup bukti
untuk menolak hipotesis awal bahwa data
menyebar Normal. Kemudian dilakukan
pemeriksaan sebaran dengan berbagai
sebaran yang diasumsikan tepat untuk data
pengeluaran per kapita desa/kelurahan di
Kabupaten Bogor dan hasilnya menunjukkan
bahwa data tersebut dapat didekati dengan
sebaran Lognormal. Hal ini berdasarkan
pengujian
kesesuaian
model
oleh
Kolmogorov Smirnov, yang menunjukkan
nilai-p > 0.05. Ini berarti tidak cukup alasan
untuk menolak hipotesis awal bahwa data
menyebar Lognormal. Hasil pengujian
sebaran disajikan pada Lampiran 2.
Peubah
pendukung
yang
diduga
mempengaruhi pengeluaran per kapita ada
sebanyak tujuh peubah. Pemilihan peubah
pendukung dilakukan dengan menggunakan
metode regresi anak-gugus terbaik yang
disajikan pada Lampiran 3. Kriteria
pemilihan dalam metode regresi anak-gugus
terbaik adalah berdasarkan nilai R2-adj yang
paling besar, nilai s yang paling kecil, serta
nilai Cp-Mallow terkecil yang mendekati
jumlah
peubahnya
ditambah
satu.
Berdasarkan kriteria tersebut model terbaik
yang terpilih adalah model dengan seluruh
peubah yang dicobakan. Namun dari ketujuh
peubah
tersebut
tidak
seluruhnya
berpengaruh nyata. Peubah yang berpengaruh
nyata adalah jumlah penduduk, jumlah
keluarga, persentase surat miskin, dan
persentase keluarga pengguna telepon kabel.
Sehingga dalam pendugaan pengeluaran per
kapita, peubah yang digunakan hanya peubah
yang berpengaruh nyata saja.
10
8
6
4
2
Pendugaan Tidak Langsung dengan
Metode PTLTE
Pendugaan parameter dilakukan terhadap
empat peubah pendukung yang terpilih dan
hasilnya menunjukkan bahwa keempat peubah
pendukung tersebut berpengaruh nyata
terhadap pengeluaran per kapita serta tidak
menunjukkan
adanya
multikolinearitas,
karena nilai VIF untuk masing-masing peubah
kurang
dari
10.
Hasil
pengujian
multikolinearitas disajikan pada Lampiran 4.
Dugaan parameter keragaman antar area,
A, diperoleh dengan menggunakan metode
MKMT, yaitu sebesar 0.651. Sedangkan
dugaan parameter regresi, , diperoleh dengan
Penduga_Langsung
Penduga_Tidak_Langsung
Gambar 2 Diagram Kotak Garis Pengeluaran
per kapita Hasil Pendugaan
Langsung dan Pendugaan Tidak
Langsung.
Pendugaan KTG dengan Bootstrap
Parametrik
Data
pengeluaran
per
kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor dapat
didekati dengan sebaran Lognormal, sehingga
contoh bootstrap yang dibangkitkan pada
metode bootstrap parametrik juga mengikuti
sebaran
Lognormal
dengan
6
1⎛
2⎝
⎜
⎝
( xi' β )2 + A ⎞ ⎛ ( xi' β )2 + A ⎞ ⎞
⎟, ⎜ ln
⎟⎟
( xi' β )2 ⎟⎠ ⎜⎝
( xi' β )2 ⎟⎠ ⎟⎠
dan
⎛
1 ⎛ (θ b )2 + D ⎞ ⎛ (θ b )2 + D ⎞⎞
yib | θib ~ Lognormal ⎜ ln(θib )2 − ln ⎜ i b 2 i ⎟,ln ⎜ i b 2 i ⎟⎟.
⎜
2 ⎜⎝ (θi ) ⎟⎠ ⎜⎝ (θi ) ⎟⎠⎟⎠
⎝
KTG
Secara umum metode bootstrap parametrik
menghasilkan nilai dugaan KTG yang lebih
kecil dibandingkan dengan nilai dugaan KTG
pada pendugaan langsung. Perbandingan KTG
pada pendugaan lansung dan pendugaan tidak
langsung dengan metode bootstrap parametrik
dapat dilihat pada Gambar 3.
per kapita pada pendugaan tidak langsung
dengan metode PTLTE memberikan dugaan
dengan presisi yang lebih baik dibandingkan
pendugaan langsung. Oleh karena itu dapat
dikatakan bahwa hasil pendugaan dengan
metode PTLTE dapat memperbaiki hasil
pendugaan langsung.
60
50
40
KT G
⎛
θib ~ Lognormal ⎜ ln( xi' β ) − ⎜⎜ ln
30
60
20
50
10
40
0
4
8
12
16
30
Variable
penduga_langsung
bootstrap_nonparametrik
20
20
24
28
32
36
40
Desa
10
4
8
12
Variable
penduga_langsung
bootstrap_parametrik
16
20
24
28
32
36
40
Desa
Gambar 3 Diagram Garis Nilai Dugaan
KTG pada Bootstrap Parametrik
dan Pendugaan Langsung.
Karena nilai dugaan KTG pada pendugaan
tidak langsung dengan metode bootstrap
parametrik cenderung lebih kecil daripada
nilai dugaan KTG pada pendugaan langsung,
secara umum pendugaan pengeluaran per
kapita pada pendugaan tidak langsung dengan
metode PTLTE menghasilkan dugaan dengan
presisi yang lebih baik dibandingkan
pendugaan langsung. Oleh karena itu dapat
dikatakan bahwa hasil pendugaan dengan
metode PTLTE dapat memperbaiki hasil
pendugaan langsung.
Pendugaan KTG dengan Bootstrap
Nonparametrik
Hasil pendugaan KTG dengan metode
bootstrap nonparametrik cenderung memiliki
nilai yang lebih kecil dibandingkan dugaan
KTG pada pendugaan langsung. Namun
terdapat beberapa desa yang hasil dugaan
KTG dengan bootstrap nonparametrik lebih
besar daripada dugaan KTG pada pendugaan
langsung. Beberapa desa tersebut diantaranya
adalah desa Leuwisadeng, Situ Udik,
Sukamaju, Jonggol, Bojonggede, serta
Ragajaya. Hal ini dapat dilihat pada Gambar
4. Berdasarkan pendugaan KTG tersebut
dapat diartikan bahwa pendugaan pengeluaran
Gambar 4 Diagram Garis Nilai Dugaan KTG
pada Bootstrap Nonparametrik dan
Pendugaan Langsung.
Hasil pendugaan KTG dengan metode
bootstrap parametrik cenderung memiliki nilai
yang lebih kecil daripada hasil pendugaan
KTG dengan metode bootstrap nonparametrik.
Namun terdapat satu desa yang memiliki
dugaan KTG dengan bootstrap parametrik
lebih besar daripada dugaan KTG dengan
bootstrap nonparametrik, yaitu desa Tajur
Halang. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 5.
30
25
20
KTG
0
15
10
5
0
4
8
12
16
Variable
bootstrap_parametrik
bootstrap_nonparametrik
20
24
28
32
36
40
Desa
Gambar 5 Diagram Garis Nilai Dugaan KTG
pada Bootstrap Parametrik dan
Bootstrap Nonparametrik.
Meskipun
bootstrap
parametrik
memberikan hasil dugaan KTG yang
cenderung lebih kecil dibandingkan bootstrap
nonparametrik, namun kedua metode tersebut
sama-sama memberikan hasil dugaan KTG
yang lebih kecil dibandingkan pendugaan
7
langsung. Sehingga hasil dugaan KTG pada
kedua
metode
tersebut
memberikan
kesimpulan yang sama terhadap presisi
pendugaan pengeluaran per kapita dengan
metode PTLTE yang dapat memperbaiki hasil
pendugaan langsung.
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Pendugaan KTG menggunakan metode
bootstrap parametrik cenderung menghasilkan
dugaan yang lebih kecil dibandingkan metode
bootstrap nonparametrik. Berdasarkan dugaan
KTG dari kedua metode tersebut, pendugaan
pengeluaran per kapita dengan metode PTLTE
memiliki presisi yang lebih baik sehingga
mampu memperbaiki hasil pendugaan
langsung.
Saran
Kajian lebih lanjut diperlukan dalam
menyelesaikan masalah pada pendugaan KTG
dalam statistik area kecil dengan respon
bersebaran
Lognormal.
Transformasi
logaritma pada model dapat digunakan untuk
mengatasi masalah tersebut. Atau sebaran
Lognormal tersebut sebaiknya digunakan
untuk pendugaan beta dalam model.
DAFTAR PUSTAKA
[BPS]. Badan Pusat Statistika. 2009.
http://www.bps.go.id/publikasi/2009 [28
Mei 2011].
Butar FB, Lahiri P. 2003. On measures of
Uncertainty of Empirical Bayes Small
Area Estimators. In: Rao JNK. Jackknife
and Bootstrap Method for Small Area
Estimation. Section on Survey Method :
2915-2929.
Daniel WW. 1990. Applied Nonparametric
Statistics.
Boston:
PWS-KENT
Publishing Company.
Efron B, Tibshirani
RJ. 1993. An
introduction to the bootstrap. New York:
Chapman & Hall.
Fay RE, Herriot RA. 1979. Estimates of
Income for Small Places : An Application
of James-Stein Procedures to Census
Data. Journal of the American Statistical
Association, Vol. 74, p: 269-277.
Jiang J, Lahiri P, Wan SM. 2002. A Unified
Jackknife Theory for Empirical Best
Prediction With M-Estimation. The
Annals of Statistics 30:1782 [terhubung
berkala].
[1
http://www.jstor.org/pss/1558740
Februari 2011].
Kurnia A, Notodiputro KA. 2006b. EBEBLUP MSE Estimator on Small Area
Estimation with Application to BPS Data.
Paper
presented
in
International
Conference on Mathematical Sciences1.
Bandung 19-21 Juni 2006.
Pfeffermann D, Glickman H. 2004. Mean
Square Error Approximation in Small
Area Estimation By Use of Parametric
and Nonparametric Bootstrap. ASA
Section on Survey Research Methods :
4617-4178.
http://www.amstat.org/sections/srms/pro
ceedings/y2004/files/Jsm2004000770.pdf [13 Desember 2010].
Ramsini B, et al. 2001. Uninsured Estimates
by County: A Review of option and
Issues.
http://www.odh.ohio.gov/Data/OFHSurv
/ofhsrfq7.pdf. [19 Juni 2011].
Rao JNK. 2003. Small Area Estimation. New
Jersey: John Willey & Sons, Inc.
LAMPIRAN
9
Lampiran 1 Hasil Pendugaan Pengeluaran per Kapita serta nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG)
NAMA DESA
SUKALUYU
CIBEBER I
LEUWISADENG
SITU UDIK
SUKAMAJU
CIBANTENG
PETIR
BABAKAN
PARAKAN
SIRNAGALIH
TAJUR HALANG
CIADEG
CIBEDUG
TUGU SELATAN
MEGAMENDUNG
CIKEAS
KADUMANGU
SUKAWANGI
BABAKAN RADEN
BENDUNGAN
JONGGOL
CILEUNGSI KIDUL
NAMBO
TLAJUNG UDIK
LEUWINUTUG
CITEUREUP
NANGGEWER
TENGAH
CIRIMEKAR
BOJONG GEDE
RAGAJAYA
SUKMAJAYA
RANCA BUNGUR
PARUNG
CIHOWE
PENGASINAN
CIPINANG
BANYU RESMI
PASIR MADANG
JAGABAYA
Pendugaan Langsung
Pendugaan Tidak Langsung
Pengeluaran
Pengeluaran
Selisih
per Kapita
KTG
per Kapita
KTG_PB KTG_NPB KTG_PB dan
(xRp100,000)
(xRp100,000)
KTG_NPB
2.74522
1.3630972
2.7299328 0.3422863 0.9630807
0.6207944
2.95238
2.8803307
2.7635893 0.4868586 1.3436725
0.8568139
1.59994
0.125352
1.6789155 0.0126622 0.1422766
0.1296144
2.15653
0.8368197
2.2258579 0.2463661 0.8439074
0.5975413
2.51436
0.5314025
2.6796926 0.1249322 0.6501771
0.5252449
4.58168
4.1470316
3.6627317 0.9202405 2.4924219
1.5721814
3.81644
5.6294384
3.9036867 0.9551058 2.856735
1.9016292
12.20854
8.5660152
7.2437909 1.1070562 3.9257644
2.8187082
3.39507
2.2399897
3.5573293 0.4093793 1.5114708
1.1020915
4.41238
6.9917442
3.7901719 0.5611484 1.6499583
1.0888099
2.42285
6.5064723
2.5701068 3.0402505 1.9146646 -1.1255859
3.18949
2.6604817
3.0561955
0.645637 1.4402554
0.7946184
3.19667
2.0274514
3.3083826 0.5760284 1.644285
1.0682566
4.69791
7.6198483
3.5409593 0.9497952 2.7312717
1.7814765
2.74036
2.4844545
2.9593265
0.677347 1.662969
0.985622
4.65725
2.7235735
3.2935724 0.4821058 1.4370956
0.9549898
2.79440
3.2766577
3.1278422 0.4608275 1.4663762
1.0055487
2.29234
0.3729024
2.378263
0.070108 0.3686398
0.2985318
2.07940
0.8879627
2.3399219 0.1795817 0.7510174
0.5714357
2.68159
1.16115
2.6619516 0.3582983 0.9812141
0.6229158
3.28261
0.9707985
3.5431192 0.2192153 1.0299423
0.810727
6.78863
28.077631
4.6646978 1.6598664 4.9573454
3.297479
4.12172
5.1390722
3.7528588 0.5024293 1.5702264
1.0677971
11.60080
57.550962
7.3425957 8.7388123 27.5609
18.822088
3.27424
3.05901
4.1972394 0.5237869 1.6952125
1.1714256
4.42389
5.2259577
4.2312687 0.6479878 1.8315725
1.1835847
5.27503
8.0591127
3.9768032 0.8262524 2.4821615
1.6559091
5.86887
5.0737603
5.8126979
0.916346 3.4104733
2.4941273
7.09185
14.210964
6.0187597 1.1071495 4.2197294
3.1125799
4.99163
5.9542179
4.4461222 2.0579114 6.4784259
4.4205145
3.46347
0.8814088
4.0666459 0.2276409 1.1476677
0.9200268
3.82080
3.77842
3.2591996 0.6264409 1.5268369
0.900396
5.03669
11.507647
3.5702372 0.6229202 1.8471724
1.2242522
4.02712
4.8900094
4.8990454 0.7856662 2.5902128
1.8045466
3.46894
2.8957711
3.2952445 0.6977108 1.6943277
0.9966169
4.18902
2.2824086
3.5185259 0.4007712 1.1563532
0.755582
3.70415
1.088003
3.1461324 0.3083052 0.9828726
0.6745674
3.45069
3.3190946
2.9511875 0.5396315 1.4189763
0.8793448
2.63859
1.1581167
2.7720975 0.3008629 1.0182363
0.7173734
0.6432813
2.2509742 0.1506705 0.6238997
0.4732292
2.16998
Rata-rata selisih KTG_PB dan KTG_NPB
1.6388351
Keterangan:
KTG_PB = KTG menggunakan metode bootstrap parametrik
KTG_NPB = KTG menggunakan metode bootstrap nonparametrik
10
Lampiran 2 Pengujian Sebaran Data Pengeluaran per kapita desa/kelurahan di Kabupaten Bogor
Parameter Sebaran Normal
Parameter
Simbol
Dugaan
Mean
Mu
4.095589
Std Dev
Sigma
2.194416
Uji Kebaikan Suai Sebaran Normal
Uji
KolmogorovSmirnov
Statistik D
Nilai-p
Pr > D
0.19185791
D
Kolmogorov0.08916086
>0.150
Smirnov
11
Lampiran 3 Hasil pemilihan peubah pendukung menggunakan regresi anak-gugus terbaik
Vars
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
R-Sq
35,2
32,3
19,3
15,6
3,4
49,1
42,5
38,7
37,1
36,2
61,3
51,8
49,5
49,2
49,1
65,7
61,4
61,3
61,3
53,0
66,4
65,9
65,8
61,4
61,4
66,4
66,4
66,0
61,4
53,2
66,5
R-Sq(adj)
33,5
30,5
17,2
13,4
0,9
46,3
39,4
35,4
33,7
32,7
58,1
47,8
45,3
45,0
44,8
61,8
57,0
56,9
56,9
47,6
61,4
60,8
60,8
55,8
55,8
60,3
60,3
59,8
54,4
44,7
59,2
C-p Mallows
26,0
28,8
41,2
44,8
56,4
14,7
21,0
24,6
26,2
27,1
5,0
14,1
16,3
16,6
16,7
2,8
6,9
7,0
7,0
15,0
4,2
4,7
4,7
8,9
8,9
6,1
6,1
6,5
10,9
18,7
8,0
Keterangan peubah:
rata-rata pengeluaran per kapita
jumlah penduduk
jumlah keluarga
persentase keluarga pertanian
persentase keluarga pengguna PLN
persentase penerima ASKESKIN
persentase surat miskin
persentase keluarga pengguna telepon kabel
S
17897
18293
19972
20426
21847
16080
17089
17639
17869
17998
14207
15857
16224
16279
16301
13562
14386
14407
14408
15886
13631
13732
13740
14595
14596
13819
13819
13913
14815
16314
14012
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X X
X X
X X
X
X
X X
X
X
X X X
X
X
X X X
X X
X X X
X X
X
X X
X X X
X X
X X
X X
X
X X X
X
X
X X
X X X X
X X X
X X X
X X X X
X X
X X X X X
X
X X X X X X
X X X X X X X
12
Lampiran 4 Hasil Pengujian Multikolinearitas
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: y
Analisis Ragam
Sumber Keragaman
Model
Galat
Total terkoreksi
Koef.
Keragaman
33.11863
db
4
35
39
Jumlah Kuadrat
123.4089
64.39402
187.803
R2
R2adj
0.6571
0.6179
Dugaan Parameter
Variabel db Dugaan Parameter Galat Baku
Intersep
1
1.4956
0.58435
X1
1
-0.00029993
0.00007957
X2
1
0.00149
0.00028878
X6
1
0.19814
0.09348
X7
1
0.05788
0.01369
Kuadrat Tengan
30.85223
1.83983
Nilai t
2.56
-3.77
5.17
2.12
4.23
Nilai p
0.015
0.0006
PENDUGAAN KUADRAT TENGAH GALAT DALAM STATISTIK AREA
KECIL DENGAN RESPON BERSEBARAN LOGNORMAL
CEMPAKA PUTRI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
RINGKASAN
CEMPAKA PUTRI. Bootstrap Parametrik dan Nonparametrik untuk Pendugaan Kuadrat Tengah
Galat dalam Statistik Area Kecil dengan Respon Bersebaran Lognormal. Dibimbing oleh Khairil
Anwar Notodiputro dan La Ode Abdul Rahman.
Pendugaan area kecil sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi pada area kecil, yaitu
area yang memiliki ukuran contoh kecil. Pendugaan secara langsung pada area kecil akan
menghasilkan nilai ragam yang besar. Solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak
langsung dengan cara menambahkan informasi tambahan dari area sekitar atau dari survei lain
dalam menduga parameter. Salah satu masalah yang ditemukan dalam pendugaan tidak langsung
adalah rendahnya presisi dugaan Kuadrat Tengah Galat (KTG) yang disebabkan oleh sebaran yang
tidak normal. Parameter yang menjadi perhatian dalam penelitian ini adalah pengeluaran per kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor. Data pengeluaran per kapita ini tidak mengikuti sebaran
normal. Penduga KTG berdasarkan metode bootstrap memiliki kelebihan tahan terhadap
pengambilan contoh dari sebaran yang bukan normal. Oleh karena itu, penelitian ini menggunakan
metode bootstrap, yaitu bootstrap parametrik dan bootstrap nonparametrik dalam pendugaan KTG.
Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa secara umum metode bootstrap parametrik
manghasilkan nilai dugaan KTG yang lebih kecil dibandingkan metode bootstrap nonparametrik.
Kedua metode ini memiliki presisi yang lebih baik sehingga mampu memperbaiki hasil pendugaan
langsung.
Kata kunci: pendugaan area kecil, bootstrap parametrik, bootstrap nonparametrik
BOOTSTRAP PARAMETRIK DAN NONPARAMETRIK UNTUK
PENDUGAAN KUADRAT TENGAH GALAT DALAM STATISTIK AREA
KECIL DENGAN RESPON BERSEBARAN LOGNORMAL
CEMPAKA PUTRI
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Judul Skripsi : Bootstrap Parametrik dan Nonparametrik untuk Pendugaan
Kuadrat Tengah Galat dalam Statistik Area Kecil dengan Respon
Bersebaran Lognormal
Nama
: Cempaka Putri
NRP
: G14070012
Disetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
NIP. 19560404 198011 1 002
La Ode Abdul Rahman, S.Si., M.Si.
Diketahui
Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS
NIP. 19650421 199002 1 001
Tanggal Lulus :
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga tulisan ini berhasil diselesaikan. Tulisan ini merupakan hasil penelitian penulis dalam
rangka memenuhi tugas akhir yang merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Statistika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.
Terimakasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS
dan Bapak La Ode Abdul Rahman, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing dan Bapak Dr. Ir. I
Made Sumertajaya, MS yang telah memberikan arahan dan masukan yang membangun kepada
penulis dalam meyelesaikan penelitian. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada orang tua dan
keluarga tercinta atas doa dan dukunganya serta semua pihak yang telah membantu penulis dalam
menyelesaikan tulisan ini.
Semoga tulisan ini dapat bermanfaat.
Bogor, November 2011
Cempaka Putri
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Jakarta, pada tanggal 14 November 1989 dari pasangan Achmad Nurdin
dan Hartati. Penulis merupakan anak ke empat dari enam bersaudara.
Pendidikan penulis berawal dari SDN Guntur 04 Jakarta pada tahun 1995, dan melanjutkan
pendidikannya ke SMP Negeri 1 Jakarta hingga lulus pada tahun 2004. Pada tahun 2004 penulis
melanjutkan pendidikan di SMA Negeri 3 Jakarta, dan lulus pada tahun 2007. Pada tahun yang
sama penulis diterima sebagai mahasiswa di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan
Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama pendidikan di IPB, penulis pernah mendapatkan beasiswa Peningkatan Prestasi
Akademik (PPA) pada tahun 2009-2011. Pada pertengahan tahun 2010 penulis berkesempatan
menjadi asisten mata kuliah Metode Statistika. Dan pada Februari-April 2011 penulis melakukan
praktik lapang di Lembaga Survei Indonesia di Jakarta.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ......................................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................. viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang ...................................................................................................................
Tujuan ................................................................................................................................
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
Pengeluaran per Kapita ......................................................................................................
Uji KolmogorovSmirnov ..................................................................................................
Pendugaan Area Kecil........................................................................................................
Penduga Langsung.....................................................................................................
Penduga PTLTE ........................................................................................................
Metode Bootstrap dalam Menduga KTG ...........................................................................
Pendugaan KTG dengan Bootstrap Parametrik .........................................................
Pendugaan KTG dengan Bootstrap Non Parametrik .................................................
1
1
1
2
2
3
3
3
METODOLOGI
Data ....................................................................................................................................
Metode ...............................................................................................................................
4
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data ..................................................................................................................
Pendugaan Tidak Langsung dengan Metode PTLTE.........................................................
Pendugaan KTG dengan Bootstrap Parametrik .................................................................
Pendugaan KTG dengan Bootstrap Nonparametrik ...........................................................
4
5
5
6
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan .......................................................................................................................
Saran ..................................................................................................................................
7
7
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................................
7
LAMPIRAN ..................................................................................................................................
8
DAFTAR TABEL
Halaman
1
2
Nilai Statistik Pengeluaran per kapita (xRp. 100,000)..........................................................
Nilai Dugaan Parameter Beta ...............................................................................................
4
5
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1
2
3
4
5
Diagram Kotak Garis Pengeluaran per kapita Hasil Pendugaan Langsung ..........................
Diagram Kotak Garis Pengeluaran per kapita Hasil Pendugaan Langsung dan Pendugaan
Tidak Langsung ....................................................................................................................
Diagram Garis Nilai Dugaan KTG pada Bootstrap Parametrik dan Pendugaan Langsung ..
Diagram Garis Nilai Dugaan KTG pada Bootstrap Nonparametrik dan Pendugaan
Langsung ..............................................................................................................................
Diagram Garis Nilai Dugaan KTG pada Bootstrap Parametrik dan Bootstrap
Nonparametrik ......................................................................................................................
4
5
6
6
6
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
2
3
4
5
Hasil Pendugaan Pengeluaran per Kapita serta nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG) ............
Pengujian Sebaran Data Pengeluaran per kapita desa/kelurahan di Kabupaten Bogor.........
Hasil pemilihan peubah pendukung menggunakan Regresi Himpunan Bagian Terbaik ......
Hasil Pengujian Multikolinearitas ........................................................................................
Daftar Singkatan ...................................................................................................................
9
10
11
12
13
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Statistik area kecil sangat diminati dalam
berbagai bidang pada beberapa tahun terakhir
ini. Pendugaan area kecil sangat dibutuhkan
untuk mendapatkan informasi-informasi pada
area kecil, yaitu area dengan jumlah contoh
yang kecil. Informasi tersebut menjadi sangat
penting seiring dengan berkembangnya era
otonomi daerah di Indonesia karena dapat
digunakan sebagai acuan menyusun sistem
perencanaan, pemantauan, dan kebijakan
daerah lainnya tanpa harus mengeluarkan
biaya yang besar untuk mengumpulkan data
sendiri. Metode yang terus dikembangkan
untuk menduga statistik area kecil ini adalah
pendugaan area kecil.
Pendugaan secara langsung pada area kecil
akan menghasilkan nilai ragam yang besar
karena ukuran contoh yang kecil. Salah satu
solusi yang digunakan adalah melakukan
pendugaan tidak langsung dengan cara
menambahkan peubah-peubah pendukung
dalam menduga parameter. Peubah-peubah
pendukung tersebut berupa informasi dari
daerah lain yang serupa, survei terdahulu pada
area yang sama, atau peubah lain yang
berhubungan dengan peubah yang ingin
diduga. Dengan kata lain model pendugaan
area kecil meminjam informasi pengamatan
contoh dari wilayah terkait melalui data
tambahan untuk meningkatkan efektifitas
ukuran contoh.
Salah satu masalah yang ditemukan dalam
pendugaan tidak langsung adalah rendahnya
presisi dugaan Kuadrat Tengah Galat (KTG)
yang disebabkan oleh adanya penyimpangan
asumsi sebaran normal yang mengakibatkan
dugaan KTG menjadi berbias. Oleh karena itu
diperlukan suatu metode yang dapat
mengoreksi bias tersebut, diantaranya adalah
metode jackknife dan bootstrap.
Parameter yang menjadi perhatian dalam
penelitian ini adalah pengeluaran per kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor. Data
pengeluaran per kapita ini tidak mengikuti
sebaran normal. Menurut Butar dan Lahiri
(2003), dugaan KTG berdasarkan metode
bootstrap memiliki kelebihan tahan terhadap
pengambilan contoh dari sebaran yang bukan
normal. Oleh karena itu, penelitian ini
menggunakan metode bootstrap, yaitu
bootstrap
parametrik
dan
bootstrap
nonparametrik dalam pendugaan KTG.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menduga
pengeluaran
per
kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor.
2. Menerapkan metode bootstrap parametrik
dan bootstrap nonparametrik dalam
menduga KTG dalam pendugaan area
kecil.
TINJAUAN PUSTAKA
Pengeluaran Per Kapita
Pengeluaran per kapita adalah biaya yang
dikeluarkan untuk konsumsi semua anggota
rumah tangga selama sebulan baik yang
berasal dari pembelian, pemberian maupun
produksi sendiri dibagi dengan banyaknya
anggota rumah tangga dalam rumah tangga
tersebut (BPS 2009). Pengertian rumah tangga
yang dimaksud di atas adalah seorang atau
sekelompok orang yang mendiami sebagian
atau seluruh bangunan fisik dan biasanya
tinggal bersama serta makan dari satu dapur.
Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji Kolmogorov-Smirnov (KS) digunakan
untuk menguji kesesuaian sebaran data. Pada
dasarnya uji ini memverifikasi perbedaan
antara sebaran kumulatif teoritik dan sebaran
kumulatif empirik.
Hipotesis:
H0 : F(x) = F0(x) untuk semua nilai x
H1 : F(x) F0(x) setidaknya untuk satu nilai x
dengan KS statistik :
D = sup S ( x) − F0 ( x )
x
dimana
D = jarak Kolmogorov-Smirnov
S (x) = proporsi contoh yang
F0(x) = fungsi sebaran contoh
n
= banyaknya contoh
(Daniel 1990).
≤
x
Pendugaan Area Kecil
Istilah area kecil biasanya menandakan
suatu area geografis kecil, seperti suatu daerah
kabupaten/kota,
kecamatan,
maupun
kelurahan/desa. Area kecil ini juga dapat
diartikan sebagai bagian kecil dari wilayah
populasi baik berdasarkan geografi, ekonomi,
sosial budaya, ataupun yang lainnya.
Pendugaan area kecil merupakan pendugaan
parameter suatu area yang lebih kecil dengan
memanfaatkan informasi dari luar, dari dalam
area itu sendiri, dan dari luar survei (Rao
2003).
Terdapat dua masalah pokok dalam
pendugaan area kecil. Masalah pertama adalah
2
bagaimana menghasilkan suatu dugaan
parameter yang cukup baik untuk ukuran
contoh kecil pada suatu domain. Kedua,
bagaimana menduga KTG dari dugaan
parameter tersebut. Kedua masalah pokok
tersebut dapat diatasi dengan cara “meminjam
informasi” dari dalam area, luar area, maupun
dari luar survei.
Metode pendugaan yang dapat digunakan
untuk mendapatkan pendugaan area kecil
yaitu pendugaan langsung dan pendugaan
tidak langsung. Pendugaan tidak langsung
dilakukan dengan cara memanfaatkan
informasi peubah lain yang berhubungan
dengan parameter yang diamati. Ada beberapa
metode pada pendugaan tidak langsung untuk
area kecil antara lain Prediksi Takbias Linear
Terbaik Empirik (PTLTE), Bayes Empirik
(BE), dan Bayes Berhirarki (BB).
Penduga Langsung
Penduga langsung merupakan penduga
berbasis rancangan dan hanya dapat
digunakan jika semua area dalam suatu
populasi digunakan sebagai contoh (Rao
2003). Penduga langsung menggunakan nilai
dari peubah yang menjadi perhatian hanya
pada periode waktu dan unit contoh pada area
yang menjadi perhatian.
Data contoh dari suatu survei dapat
digunakan untuk mendapatkan pendugaan
langsung yang dapat dipercaya bagi suatu area
besar. Ramsini et al. (2001) menyebutkan
bahwa nilai hasil pendugaan langsung pada
suatu area kecil merupakan penduga tak bias
meskipun memiliki ragam yang besar
dikarenakan dugaannya diperoleh dari ukuran
contoh yang kecil.
Penduga PTLTE
Model dasar pendugaan area kecil oleh
Fay-Herriot (1979) menjadi dasar dalam
pengembangan pendugaan area kecil berbasis
model yang banyak dibahas dalam berbagai
literatur. Model Fay-Herriot didefinisikan
sebagai berikut:
yi = xiT β + υi + ei ,
1, … ,
dimana yi adalah nilai penduga langsung
berdasarkan rancangan survei, υi N (0, A)
adalah
pengaruh
acak
area
kecil,
ei N (0, Di ) adalah galat percontohan, dan
υi dan saling bebas. Diasumsikan bahwa
dan A tidak diketahui, sedangkan Di diketahui
(Kurnia dan Notodiputro 2006b).
Penduga terbaik (best predictor, BP) bagi
θi = xiT β + υi jika dan A diketahui adalah:
BP
θ$ i
= θ$ i ( yi | β , A)
= xiT β + (1 − Bi )( yi − xiT β )
Di
merupakan faktor
A + Di
penyusutan. Jika A diketahui, dapat diduga
dengan metode kuadrat terkecil terboboti yaitu
dimana
Bi =
(
β i ( A ) = X T V −1 X
)
−1
X T V −1Y
dimana pembobotnya adalah ragam dari
pengaruh acak area dan galat contoh, yaitu
V = Diag ( A + D1, A + D2 ,..., A + Dm ).
Dengan mensubstitusi dengan
maka diperoleh
PTLT
= θ$ i ( y | A)
θ$ i
pada
,
i
=
xiT
β + (1 − Bi )( yi − xiT β )
PTLT
) = g1i ( A) + g 2i ( A)
KTG(θ$ i
dimana
g1i ( A) = (1 − Bi ) Di
g 2i ( A) = Di (1 − Bi )[ xiT ( X T V −1 X )−1 xi ].
dimana g1i merupakan reduksi pada KTG
relatif terhadap KTG penduga langsung dan
g 2i merupakan kontribusi terhadap KTG
akibat pendugaan β .
Akan tetapi, dalam praktiknya baik
maupun A biasanya tidak diketahui. Untuk
menduga A, dapat digunakan Metode
Kemungkinan Maksimum (MKM), Metode
Kemungkinan
Maksimum
Terkendala
(MKMT), atau metode momen. Dalam
penelitian ini, metode pendugaan yang
digunakan dalam menduga parameter A
adalah dengan metode MKMT, dimana
A = max ⎡0, s 2 − 1⎤
⎣
⎦
dimana
2
m
−1
s 2 = ( m − 1)
y − x' β
∑ (
i =1
⎝∑
β ols = ⎛⎜
i
i
−1
ols
)
x x ' ⎞⎟ xi yi .
i =1 i i ⎠
Dengan mensubstitusi oleh dan A oleh
terhadap penduga PTLT, maka akan diperoleh
suatu penduga baru
m
3
PTLTE
θ$ i
3. Ulangi langkah 1 dan 2 sebanyak B=2000.
4. Duga KTG dengan rumus sebagai berikut,
= θ$ i ( yi | A)
+ (1 − B
i )( y − xT β
)
= xiT β
i
i
PTLTE
Kuadrat Tengah Galat dari θ$ i
adalah
(θ$ iPTLTE ) = ( g + g ) − g PB − g PB
KTG
1i
2i
1i
2i
+ puc PB + cpe PB
2
PTLTE ⎞
⎛ $ PTLT ⎞ ⎛ $ PTLTE −θ$ PTLT ⎞
KTG⎛⎜θ$ i
i
⎟
⎟ = KTG⎜θi ⎟ + E⎜θi
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
PTLT
TLT
PTLTE
P
+2E⎛⎜θ$ i −θ$ i ⎞⎟⎛⎜θ$ i
−θ$ i ⎞⎟.
⎠
⎝
⎠⎝
Di
bawah
asumsi
normal,
nilai
PTLT
PTLTE
PTLT ⎞
− θ$ i ⎞⎟ ⎛⎜ θ$ i
− θ$ i
E ⎛⎜ θ$ i
⎟ adalah nol.
⎝
⎠⎝
⎠
Namun untuk sebaran lain hal tersebut tidak
berlaku. Agar menghasilkan dugaan yang
PTLT
PTLTE
PTLT ⎞
baik, nilai E ⎛⎜ θ$ i
− θ$ i ⎞⎟ ⎛⎜ θ$ i
− θ$ i
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
dibutuhkan.
dimana
pucPB = B−1
cpe
PB
Pendugaan KTG dengan Bootstrap
Parametrik
Metode
bootstrap
parametrik
menggunakan asumsi sebaran peluang dari
contoh asli yang digunakan. Metode ini
dilakukan dengan membangkitkan sejumlah
besar contoh bootstrap dengan sebaran yang
sesuai dengan contoh asli, menduga parameter
model untuk masing-masing contoh bootstrap,
dan kemudian menduga komponen-komponen
dalam KTG.
Tahapan-tahapan
untuk
menghitung
dengan metode bootstrap
parametrik adalah sebagai berikut:
1. Bangkitkan
contoh
bootstrap θ ib dan
yib | θ ib dengan sebaran yang sama dengan
sebaran data asli.
dan
2. Duga ragam antar area A(
;
dan
parameter
regresi,
; , menggunakan metode yang
sama seperti yang digunakan pada data
asli.
b
i
b
b
b
}
b
2
( yb ; A( y))⎤
−θ$ i ⎡ yb ; A( y), β
⎣
⎦
−1
b
b
=B
θ$ i ⎡ y ; A( y ), β ( yb ; A( yb ))⎤
⎣
⎦
b
b
b
( y ; A( y))⎤
−θ$ i ⎡ y ; A( y), β
⎣
⎦
∑{
}
{
( yb ; A( y))⎤ − θ b
× θ$ i ⎡ yb ; A( y), β
⎣
⎦ i
}
dan
PB
Metode Bootstrap dalam Menduga KTG
Metode bootstrap mulai diperkenalkan
oleh Bradley Efron pada tahun 1979, sebagai
suatu metode pengambilan contoh ulang
secara acak dengan pemulihan. Efron dan
Tibshirani (1993) menjelaskan bahwa metode
bootstrap dapat dilakukan secara parametrik
maupun nonparametrik. Dalam pendugaan
area kecil metode bootstrap merupakan salah
satu metode alternatif untuk menduga KTG.
Penduga KTG berdasarkan metode bootstrap
memiliki
kelebihan
tahan
terhadap
pengambilan contoh dari sebaran yang bukan
normal (Butar dan Lahiri 2003).
∑ {θ$ ⎡⎣ y ; A( y ), β ( y ; A( y ))⎤⎦
g di = B −1
∑
b
g di ,
d = 1, 2
(Pfeffermann dan Glickman 2004).
puc PB merupakan kontribusi terhadap
KTG akibat pendugaan A dan cpe PB
merupakan
nilai
dari
PTLT
PTLTE
PTLT
⎞.
− θ$ i ⎞⎟ ⎛⎜ θ$ i
− θ$ i
E ⎛⎜ θ$ i
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
Pendugaan KTG dengan Bootstrap
Nonparametrik
Metode bootstrap nonparametrik tidak
menggunakan asumsi sebaran peluang dari
contoh asli yang digunakan seperti pada
metode bootstrap parametrik. Metode ini
dilakukan dengan pengambilan contoh acak
dengan pemulihan pada contoh asli untuk
membangkitkan contoh bootstrap. Pendugaan
KTG dengan metode ini menggunakan asumsi
pada model Fay-Harriot, yaitu pengaruh acak
area kecil dan galat percontohan dianggap
menyebar normal.
Tahapan-tahapan
untuk
menghitung
dengan metode bootstrap
nonparametrik adalah sebagai berikut:
1. Hitung dugaan sisaan baku ( rib ) untuk
masing-masing area, dimana
) c1/ 2
r$ i = ( yi − xiT β
i
,
−1 ⎫
⎧ ⎡
⎤
1
⎪
⎪
ci = ( A + Di ) − ⎨xiT ⎢
xi xiT ⎥ xi ⎬.
i (A+ D )
i
⎦
⎪⎩ ⎣
⎭⎪
b
2. Pilih contoh bootstrap sisaan baku( ri ).
3. Hitung penduga langsung bootstrap,
,
1, … , .
y ib = rib c i1/ 2 + x iT β
∑
4
4. Duga ragam antar area A(
dan
parameter regresi,
dan
;
; , menggunakan metode yang
sama seperti yang digunakan pada data
asli.
5. Ulangi langkah 2-4 sebanyak B=2000.
6. Duga KTG dengan rumus sebagai berikut,
(θ$ iPTLTE ) = 2( g + g ) − g NPB − g NPB + pucNPB
KTG
puc NPB = B−1
2i
1i
2i
∑ {θ$ [ y ; A( y ), β ( y ; A( y ))]
b
i
b
b
}
( yb ; A)]
−θ$ i [ yb ; A, β
NPB
g di
= B −1
∑
b
b
b
2
g di , d = 1, 2
(Pfeffermann dan Glickman 2004).
METODOLOGI
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini
adalah data SUSENAS 2008 dan PODES
2008. Peubah respon yang menjadi perhatian
adalah pengeluaran per kapita pada beberapa
desa di Kabupaten Bogor. Peubah pendukung
yang
dianggap
mempengaruhi
dan
menggambarkan pengeluaran per kapita yaitu,
jumlah penduduk
jumlah keluarga
persentase keluarga pertanian
persentase keluarga pengguna PLN
persentase penerima ASKESKIN
persentase surat miskin
persentase keluarga pengguna telepon
kabel
Metode
Tahapan-tahapan pada penelitian ini
adalah:
1. Melakukan pendugaan langsung terhadap
pengeluaran per kapita desa/kelurahan di
Kabupaten Bogor berdasarkan data
SUSENAS 2008.
2. Melakukan pemeriksaan sebaran data
pengeluaran per kapita desa/kelurahan di
Kabupaten Bogor, apakah menyimpang
dari sebaran normal, serta memeriksa
sebaran apa yang tepat untuk data tersebut
menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
peubah
pendukung
yang
3. Memilih
mempengaruhi
dan
menggambarkan
pengeluaran per kapita menggunakan
metode regresi anak-gugus terbaik.
4. Melakukan pendugaan terhadap ragam
antar area (A) menggunakan metode
MKMT dan koefisien model regresi ( )
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Pendugaan langsung pengeluaran per
kapita desa diperoleh dengan membagi
pengeluaran rumah tangga untuk makanan
dan bukan makanan dengan jumlah anggota
rumah tangga. Hasil pendugaan langsung
tersebut dapat dilihat pada Lampiran 1. Hasil
pendugaan langsung menunjukkan bahwa
pengeluaran per kapita desa-desa di
Kabupaten Bogor cukup beragam. Hal ini
ditunjukkan
dengan
nilai
koefisien
keragaman pada Tabel 1 yang cukup besar,
yaitu 53.58.
Diagram kotak garis yang diperlihatkan
pada Gambar 1 menunjukkan bahwa terdapat
dua titik yang berada di luar kotak. Kedua
titik tersebut adalah Desa Babakan dan Desa
Tlajung Udik. Kedua desa tersebut memiliki
pengeluaran per kapita yang lebih besar
dibandingkan desa lainnya.
Tabel 1 Nilai Statistik Pengeluaran per kapita
(xRp. 100,000)
Statistik
Pengeluaran per kapita
Rataan
4.09
SE Rataan
0.35
Koef. Keragaman
53.58
Minimum
1.60
Median
3.47
Maksimum
12.21
12
10
Pe nge lua r a n pe r ka pit a
1i
dimana
menggunakan metode kuadrat terkecil
terboboti (KTT).
5. Menduga pengeluaran per kapita untuk
masing-masing desa dengan metode
PTLTE.
KTG
dengan
bootstrap
6. Menduga
parametrik dan bootstrap nonparametrik.
8
6
4
2
Gambar 1 Diagram Kotak Garis Pengeluaran
per kapita Hasil Pendugaan
Langsung
Pemeriksaan
sebaran
pada
data
pengeluaran per kapita desa/kelurahan di
5
menggunakan metode KTT, dengan nilai
dugaan dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai Dugaan Parameter Beta
xi
beta_duga
x0
1.64
x1
- 0.0003
x2
0.001
x6
0.18
x7
0.06
Hasil
pendugaan
tidak
langsung
pengeluaran per kapita dengan metode PTLTE
dapat dilihat pada Lampiran 5. Seperti pada
pendugaan langsung, desa Babakan dan
Tlajung Udik memiliki dugaan pengeluaran
per kapita yang lebih besar dibandingkan
desa-desa lainnya. Secara umum pendugaan
tidak langsung dengan metode PTLTE dan
pendugaan langsung memberikan hasil
pendugaan
pengeluaran
per
kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor yang
tidak jauh berbeda. Keragaman pengeluaran
per kapita pada pendugaan tidak langsung
lebih kecil dibandingkan pada pendugaan
langsung dengan nilai tengah yang hampir
sama, yang dapat dilihat pada Gambar 2.
Dapat diartikan bahwa metode PTLTE
tersebut mampu memperkecil keragaman.
Namun untuk menentukan pendugaan mana
yang menghasilkan nilai dugaan yang lebih
baik adalah dengan melihat KTG dari masingmasing dugaan.
12
Pengeluaran per Kapita
Kabupaten Bogor menunjukkan bahwa data
tidak menyebar normal. Hal ini berdasarkan
pengujian
kesesuaian
model
oleh
Kolmogorov Smirnov, yang menunjukkan
nilai-p < 0.05. Ini berarti sudah cukup bukti
untuk menolak hipotesis awal bahwa data
menyebar Normal. Kemudian dilakukan
pemeriksaan sebaran dengan berbagai
sebaran yang diasumsikan tepat untuk data
pengeluaran per kapita desa/kelurahan di
Kabupaten Bogor dan hasilnya menunjukkan
bahwa data tersebut dapat didekati dengan
sebaran Lognormal. Hal ini berdasarkan
pengujian
kesesuaian
model
oleh
Kolmogorov Smirnov, yang menunjukkan
nilai-p > 0.05. Ini berarti tidak cukup alasan
untuk menolak hipotesis awal bahwa data
menyebar Lognormal. Hasil pengujian
sebaran disajikan pada Lampiran 2.
Peubah
pendukung
yang
diduga
mempengaruhi pengeluaran per kapita ada
sebanyak tujuh peubah. Pemilihan peubah
pendukung dilakukan dengan menggunakan
metode regresi anak-gugus terbaik yang
disajikan pada Lampiran 3. Kriteria
pemilihan dalam metode regresi anak-gugus
terbaik adalah berdasarkan nilai R2-adj yang
paling besar, nilai s yang paling kecil, serta
nilai Cp-Mallow terkecil yang mendekati
jumlah
peubahnya
ditambah
satu.
Berdasarkan kriteria tersebut model terbaik
yang terpilih adalah model dengan seluruh
peubah yang dicobakan. Namun dari ketujuh
peubah
tersebut
tidak
seluruhnya
berpengaruh nyata. Peubah yang berpengaruh
nyata adalah jumlah penduduk, jumlah
keluarga, persentase surat miskin, dan
persentase keluarga pengguna telepon kabel.
Sehingga dalam pendugaan pengeluaran per
kapita, peubah yang digunakan hanya peubah
yang berpengaruh nyata saja.
10
8
6
4
2
Pendugaan Tidak Langsung dengan
Metode PTLTE
Pendugaan parameter dilakukan terhadap
empat peubah pendukung yang terpilih dan
hasilnya menunjukkan bahwa keempat peubah
pendukung tersebut berpengaruh nyata
terhadap pengeluaran per kapita serta tidak
menunjukkan
adanya
multikolinearitas,
karena nilai VIF untuk masing-masing peubah
kurang
dari
10.
Hasil
pengujian
multikolinearitas disajikan pada Lampiran 4.
Dugaan parameter keragaman antar area,
A, diperoleh dengan menggunakan metode
MKMT, yaitu sebesar 0.651. Sedangkan
dugaan parameter regresi, , diperoleh dengan
Penduga_Langsung
Penduga_Tidak_Langsung
Gambar 2 Diagram Kotak Garis Pengeluaran
per kapita Hasil Pendugaan
Langsung dan Pendugaan Tidak
Langsung.
Pendugaan KTG dengan Bootstrap
Parametrik
Data
pengeluaran
per
kapita
desa/kelurahan di Kabupaten Bogor dapat
didekati dengan sebaran Lognormal, sehingga
contoh bootstrap yang dibangkitkan pada
metode bootstrap parametrik juga mengikuti
sebaran
Lognormal
dengan
6
1⎛
2⎝
⎜
⎝
( xi' β )2 + A ⎞ ⎛ ( xi' β )2 + A ⎞ ⎞
⎟, ⎜ ln
⎟⎟
( xi' β )2 ⎟⎠ ⎜⎝
( xi' β )2 ⎟⎠ ⎟⎠
dan
⎛
1 ⎛ (θ b )2 + D ⎞ ⎛ (θ b )2 + D ⎞⎞
yib | θib ~ Lognormal ⎜ ln(θib )2 − ln ⎜ i b 2 i ⎟,ln ⎜ i b 2 i ⎟⎟.
⎜
2 ⎜⎝ (θi ) ⎟⎠ ⎜⎝ (θi ) ⎟⎠⎟⎠
⎝
KTG
Secara umum metode bootstrap parametrik
menghasilkan nilai dugaan KTG yang lebih
kecil dibandingkan dengan nilai dugaan KTG
pada pendugaan langsung. Perbandingan KTG
pada pendugaan lansung dan pendugaan tidak
langsung dengan metode bootstrap parametrik
dapat dilihat pada Gambar 3.
per kapita pada pendugaan tidak langsung
dengan metode PTLTE memberikan dugaan
dengan presisi yang lebih baik dibandingkan
pendugaan langsung. Oleh karena itu dapat
dikatakan bahwa hasil pendugaan dengan
metode PTLTE dapat memperbaiki hasil
pendugaan langsung.
60
50
40
KT G
⎛
θib ~ Lognormal ⎜ ln( xi' β ) − ⎜⎜ ln
30
60
20
50
10
40
0
4
8
12
16
30
Variable
penduga_langsung
bootstrap_nonparametrik
20
20
24
28
32
36
40
Desa
10
4
8
12
Variable
penduga_langsung
bootstrap_parametrik
16
20
24
28
32
36
40
Desa
Gambar 3 Diagram Garis Nilai Dugaan
KTG pada Bootstrap Parametrik
dan Pendugaan Langsung.
Karena nilai dugaan KTG pada pendugaan
tidak langsung dengan metode bootstrap
parametrik cenderung lebih kecil daripada
nilai dugaan KTG pada pendugaan langsung,
secara umum pendugaan pengeluaran per
kapita pada pendugaan tidak langsung dengan
metode PTLTE menghasilkan dugaan dengan
presisi yang lebih baik dibandingkan
pendugaan langsung. Oleh karena itu dapat
dikatakan bahwa hasil pendugaan dengan
metode PTLTE dapat memperbaiki hasil
pendugaan langsung.
Pendugaan KTG dengan Bootstrap
Nonparametrik
Hasil pendugaan KTG dengan metode
bootstrap nonparametrik cenderung memiliki
nilai yang lebih kecil dibandingkan dugaan
KTG pada pendugaan langsung. Namun
terdapat beberapa desa yang hasil dugaan
KTG dengan bootstrap nonparametrik lebih
besar daripada dugaan KTG pada pendugaan
langsung. Beberapa desa tersebut diantaranya
adalah desa Leuwisadeng, Situ Udik,
Sukamaju, Jonggol, Bojonggede, serta
Ragajaya. Hal ini dapat dilihat pada Gambar
4. Berdasarkan pendugaan KTG tersebut
dapat diartikan bahwa pendugaan pengeluaran
Gambar 4 Diagram Garis Nilai Dugaan KTG
pada Bootstrap Nonparametrik dan
Pendugaan Langsung.
Hasil pendugaan KTG dengan metode
bootstrap parametrik cenderung memiliki nilai
yang lebih kecil daripada hasil pendugaan
KTG dengan metode bootstrap nonparametrik.
Namun terdapat satu desa yang memiliki
dugaan KTG dengan bootstrap parametrik
lebih besar daripada dugaan KTG dengan
bootstrap nonparametrik, yaitu desa Tajur
Halang. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 5.
30
25
20
KTG
0
15
10
5
0
4
8
12
16
Variable
bootstrap_parametrik
bootstrap_nonparametrik
20
24
28
32
36
40
Desa
Gambar 5 Diagram Garis Nilai Dugaan KTG
pada Bootstrap Parametrik dan
Bootstrap Nonparametrik.
Meskipun
bootstrap
parametrik
memberikan hasil dugaan KTG yang
cenderung lebih kecil dibandingkan bootstrap
nonparametrik, namun kedua metode tersebut
sama-sama memberikan hasil dugaan KTG
yang lebih kecil dibandingkan pendugaan
7
langsung. Sehingga hasil dugaan KTG pada
kedua
metode
tersebut
memberikan
kesimpulan yang sama terhadap presisi
pendugaan pengeluaran per kapita dengan
metode PTLTE yang dapat memperbaiki hasil
pendugaan langsung.
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Pendugaan KTG menggunakan metode
bootstrap parametrik cenderung menghasilkan
dugaan yang lebih kecil dibandingkan metode
bootstrap nonparametrik. Berdasarkan dugaan
KTG dari kedua metode tersebut, pendugaan
pengeluaran per kapita dengan metode PTLTE
memiliki presisi yang lebih baik sehingga
mampu memperbaiki hasil pendugaan
langsung.
Saran
Kajian lebih lanjut diperlukan dalam
menyelesaikan masalah pada pendugaan KTG
dalam statistik area kecil dengan respon
bersebaran
Lognormal.
Transformasi
logaritma pada model dapat digunakan untuk
mengatasi masalah tersebut. Atau sebaran
Lognormal tersebut sebaiknya digunakan
untuk pendugaan beta dalam model.
DAFTAR PUSTAKA
[BPS]. Badan Pusat Statistika. 2009.
http://www.bps.go.id/publikasi/2009 [28
Mei 2011].
Butar FB, Lahiri P. 2003. On measures of
Uncertainty of Empirical Bayes Small
Area Estimators. In: Rao JNK. Jackknife
and Bootstrap Method for Small Area
Estimation. Section on Survey Method :
2915-2929.
Daniel WW. 1990. Applied Nonparametric
Statistics.
Boston:
PWS-KENT
Publishing Company.
Efron B, Tibshirani
RJ. 1993. An
introduction to the bootstrap. New York:
Chapman & Hall.
Fay RE, Herriot RA. 1979. Estimates of
Income for Small Places : An Application
of James-Stein Procedures to Census
Data. Journal of the American Statistical
Association, Vol. 74, p: 269-277.
Jiang J, Lahiri P, Wan SM. 2002. A Unified
Jackknife Theory for Empirical Best
Prediction With M-Estimation. The
Annals of Statistics 30:1782 [terhubung
berkala].
[1
http://www.jstor.org/pss/1558740
Februari 2011].
Kurnia A, Notodiputro KA. 2006b. EBEBLUP MSE Estimator on Small Area
Estimation with Application to BPS Data.
Paper
presented
in
International
Conference on Mathematical Sciences1.
Bandung 19-21 Juni 2006.
Pfeffermann D, Glickman H. 2004. Mean
Square Error Approximation in Small
Area Estimation By Use of Parametric
and Nonparametric Bootstrap. ASA
Section on Survey Research Methods :
4617-4178.
http://www.amstat.org/sections/srms/pro
ceedings/y2004/files/Jsm2004000770.pdf [13 Desember 2010].
Ramsini B, et al. 2001. Uninsured Estimates
by County: A Review of option and
Issues.
http://www.odh.ohio.gov/Data/OFHSurv
/ofhsrfq7.pdf. [19 Juni 2011].
Rao JNK. 2003. Small Area Estimation. New
Jersey: John Willey & Sons, Inc.
LAMPIRAN
9
Lampiran 1 Hasil Pendugaan Pengeluaran per Kapita serta nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG)
NAMA DESA
SUKALUYU
CIBEBER I
LEUWISADENG
SITU UDIK
SUKAMAJU
CIBANTENG
PETIR
BABAKAN
PARAKAN
SIRNAGALIH
TAJUR HALANG
CIADEG
CIBEDUG
TUGU SELATAN
MEGAMENDUNG
CIKEAS
KADUMANGU
SUKAWANGI
BABAKAN RADEN
BENDUNGAN
JONGGOL
CILEUNGSI KIDUL
NAMBO
TLAJUNG UDIK
LEUWINUTUG
CITEUREUP
NANGGEWER
TENGAH
CIRIMEKAR
BOJONG GEDE
RAGAJAYA
SUKMAJAYA
RANCA BUNGUR
PARUNG
CIHOWE
PENGASINAN
CIPINANG
BANYU RESMI
PASIR MADANG
JAGABAYA
Pendugaan Langsung
Pendugaan Tidak Langsung
Pengeluaran
Pengeluaran
Selisih
per Kapita
KTG
per Kapita
KTG_PB KTG_NPB KTG_PB dan
(xRp100,000)
(xRp100,000)
KTG_NPB
2.74522
1.3630972
2.7299328 0.3422863 0.9630807
0.6207944
2.95238
2.8803307
2.7635893 0.4868586 1.3436725
0.8568139
1.59994
0.125352
1.6789155 0.0126622 0.1422766
0.1296144
2.15653
0.8368197
2.2258579 0.2463661 0.8439074
0.5975413
2.51436
0.5314025
2.6796926 0.1249322 0.6501771
0.5252449
4.58168
4.1470316
3.6627317 0.9202405 2.4924219
1.5721814
3.81644
5.6294384
3.9036867 0.9551058 2.856735
1.9016292
12.20854
8.5660152
7.2437909 1.1070562 3.9257644
2.8187082
3.39507
2.2399897
3.5573293 0.4093793 1.5114708
1.1020915
4.41238
6.9917442
3.7901719 0.5611484 1.6499583
1.0888099
2.42285
6.5064723
2.5701068 3.0402505 1.9146646 -1.1255859
3.18949
2.6604817
3.0561955
0.645637 1.4402554
0.7946184
3.19667
2.0274514
3.3083826 0.5760284 1.644285
1.0682566
4.69791
7.6198483
3.5409593 0.9497952 2.7312717
1.7814765
2.74036
2.4844545
2.9593265
0.677347 1.662969
0.985622
4.65725
2.7235735
3.2935724 0.4821058 1.4370956
0.9549898
2.79440
3.2766577
3.1278422 0.4608275 1.4663762
1.0055487
2.29234
0.3729024
2.378263
0.070108 0.3686398
0.2985318
2.07940
0.8879627
2.3399219 0.1795817 0.7510174
0.5714357
2.68159
1.16115
2.6619516 0.3582983 0.9812141
0.6229158
3.28261
0.9707985
3.5431192 0.2192153 1.0299423
0.810727
6.78863
28.077631
4.6646978 1.6598664 4.9573454
3.297479
4.12172
5.1390722
3.7528588 0.5024293 1.5702264
1.0677971
11.60080
57.550962
7.3425957 8.7388123 27.5609
18.822088
3.27424
3.05901
4.1972394 0.5237869 1.6952125
1.1714256
4.42389
5.2259577
4.2312687 0.6479878 1.8315725
1.1835847
5.27503
8.0591127
3.9768032 0.8262524 2.4821615
1.6559091
5.86887
5.0737603
5.8126979
0.916346 3.4104733
2.4941273
7.09185
14.210964
6.0187597 1.1071495 4.2197294
3.1125799
4.99163
5.9542179
4.4461222 2.0579114 6.4784259
4.4205145
3.46347
0.8814088
4.0666459 0.2276409 1.1476677
0.9200268
3.82080
3.77842
3.2591996 0.6264409 1.5268369
0.900396
5.03669
11.507647
3.5702372 0.6229202 1.8471724
1.2242522
4.02712
4.8900094
4.8990454 0.7856662 2.5902128
1.8045466
3.46894
2.8957711
3.2952445 0.6977108 1.6943277
0.9966169
4.18902
2.2824086
3.5185259 0.4007712 1.1563532
0.755582
3.70415
1.088003
3.1461324 0.3083052 0.9828726
0.6745674
3.45069
3.3190946
2.9511875 0.5396315 1.4189763
0.8793448
2.63859
1.1581167
2.7720975 0.3008629 1.0182363
0.7173734
0.6432813
2.2509742 0.1506705 0.6238997
0.4732292
2.16998
Rata-rata selisih KTG_PB dan KTG_NPB
1.6388351
Keterangan:
KTG_PB = KTG menggunakan metode bootstrap parametrik
KTG_NPB = KTG menggunakan metode bootstrap nonparametrik
10
Lampiran 2 Pengujian Sebaran Data Pengeluaran per kapita desa/kelurahan di Kabupaten Bogor
Parameter Sebaran Normal
Parameter
Simbol
Dugaan
Mean
Mu
4.095589
Std Dev
Sigma
2.194416
Uji Kebaikan Suai Sebaran Normal
Uji
KolmogorovSmirnov
Statistik D
Nilai-p
Pr > D
0.19185791
D
Kolmogorov0.08916086
>0.150
Smirnov
11
Lampiran 3 Hasil pemilihan peubah pendukung menggunakan regresi anak-gugus terbaik
Vars
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
R-Sq
35,2
32,3
19,3
15,6
3,4
49,1
42,5
38,7
37,1
36,2
61,3
51,8
49,5
49,2
49,1
65,7
61,4
61,3
61,3
53,0
66,4
65,9
65,8
61,4
61,4
66,4
66,4
66,0
61,4
53,2
66,5
R-Sq(adj)
33,5
30,5
17,2
13,4
0,9
46,3
39,4
35,4
33,7
32,7
58,1
47,8
45,3
45,0
44,8
61,8
57,0
56,9
56,9
47,6
61,4
60,8
60,8
55,8
55,8
60,3
60,3
59,8
54,4
44,7
59,2
C-p Mallows
26,0
28,8
41,2
44,8
56,4
14,7
21,0
24,6
26,2
27,1
5,0
14,1
16,3
16,6
16,7
2,8
6,9
7,0
7,0
15,0
4,2
4,7
4,7
8,9
8,9
6,1
6,1
6,5
10,9
18,7
8,0
Keterangan peubah:
rata-rata pengeluaran per kapita
jumlah penduduk
jumlah keluarga
persentase keluarga pertanian
persentase keluarga pengguna PLN
persentase penerima ASKESKIN
persentase surat miskin
persentase keluarga pengguna telepon kabel
S
17897
18293
19972
20426
21847
16080
17089
17639
17869
17998
14207
15857
16224
16279
16301
13562
14386
14407
14408
15886
13631
13732
13740
14595
14596
13819
13819
13913
14815
16314
14012
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X X
X X
X X
X
X
X X
X
X
X X X
X
X
X X X
X X
X X X
X X
X
X X
X X X
X X
X X
X X
X
X X X
X
X
X X
X X X X
X X X
X X X
X X X X
X X
X X X X X
X
X X X X X X
X X X X X X X
12
Lampiran 4 Hasil Pengujian Multikolinearitas
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: y
Analisis Ragam
Sumber Keragaman
Model
Galat
Total terkoreksi
Koef.
Keragaman
33.11863
db
4
35
39
Jumlah Kuadrat
123.4089
64.39402
187.803
R2
R2adj
0.6571
0.6179
Dugaan Parameter
Variabel db Dugaan Parameter Galat Baku
Intersep
1
1.4956
0.58435
X1
1
-0.00029993
0.00007957
X2
1
0.00149
0.00028878
X6
1
0.19814
0.09348
X7
1
0.05788
0.01369
Kuadrat Tengan
30.85223
1.83983
Nilai t
2.56
-3.77
5.17
2.12
4.23
Nilai p
0.015
0.0006