Matriks.

• Matriks adalah susunan segi empat siku-siku
dari objek yang diatur berdasarkan baris (row)
dan kolom (column).
• Objek-objek dalam susunan tersebut
dinamakan entri dalam matriks atau disebut
juga elemen atau unsur.
• Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya
baris dan kolom pada matriks tersebut

 1 2
A   3 0  B  2
 1 4 

2 1
0 1
3 1 6 C  
 3 2

0 1

Ordo Matrik A

Ordo Matriks B
Ordo Matriks C
Ordo Matriks D

:3X2
:1X4
:4X4
:2X1

3
7
1
0

4
6
1
 D 
2
5

 

4

• Matriks dinotasikan dengan huruf besar.
• Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga
menggunakan aij untuk menyatakan entri/unsur yang
terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A sehinga
A = [aij]
• Contoh
1 1 2 9 
A  2 4 3 1 
3 6 5 0 

 a11
a
21

A m n 



am1

a12
a22
am2

a1n 
a2 n 



amn 

Matriks dibedakan berdasarkan berbagai
susunan entri dan bilangan pada entrinya.
A. Matriks Nol
Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang
setiap entri atau elemennya adalah bilangan
nol.

0 0 0 0 
0 0 0 
A  0 0 0 0  ; B  0 0 0 
0 0 0 0 
0 0 0 

B.Matriks Satu
Matriks satu didefinisikan sebagai
matriks yang setiap entri atau
elemennya adalah 1.
C. Matriks Baris
Matriks baris didefinisikan sebagai
matriks yang entri atau elemennya
tersusun dalam tepat satu baris.

1 1 1
C  1 1 1
1 1 1

A   2 1 0 3

D. Matriks Kolom
Matriks kolom didefinisikan sebagai
matriks yang entri atau elemennya
tersusun dalam tepat satu kolom.
E. Matriks Persegi
Matriks persegi didefinisikan
sebagai matriks yang jumlah baris
dan kolomnya sama

0
B   1
 2 

2
6
A
6

 4

6
3
7
3

6 4 
7 3

0 2

2 8

F. Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi 2 1 3 
yang entri/elemennya memenuhi syarat: B  0 5 2 


aij = 0 untuk i > j.
0 0 4 

G. Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks
persegi yang entri/elemennya memenuhi
syarat:
aij = 0 untuk i < j.
2 0 0 
B  1 5 0 
3 2 4 

H. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi
yang entri/elemennya memenuhi syarat:
aij = 0 untuk i ≠ j.
I. Matriks Identitas
Matriks diagonal adalah matriks persegi
yang entri/elemennya memenuhi syarat:
aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j

2 0 0 
A  0 5 0 

0 0 4 

1 0 0 
A  0 1 0 
0 0 1 

J. Matriks Transpose
Matriks transpose adalah suatu matriks yang
diperoleh dari perpindahan baris menjadi
kolom atau sebaliknya.
1 2 3 
1 1 2 9 
1 4 6 


T

A  2 4 3 1   A  
2 3 5
3 6 5 0 



9 1 0 

Definisi
Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :
aij = bij, 1  i  m, 1  j  n
yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks
tersebut adalah sama.
• Contoh :



1 2 1
1 2 w 
A  2 3 4  dan B  2 x 4 
0 4 5
 y 4 z 

Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y =

0, dan z = -5

• Penjumlahan (addition)
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks
yang ukurannya sama maka jumlah A + B adalah
matriks yang diperoleh dengan menambahkan
entri-entri yang bersesuaian dalam kedua
matriks tersebut
a11
A  a21
a31

a12
a22
a32

a13 
b11
a23  ; B  b21
b31

a33 

b12
b22
b32

b13 
a11  b11
b23   A + B  a21  b21
a31  b31
b33 

a12  b12
a22  b22
a32  b32

a13  b13 
a23  b23 
a33  b33 

Jika

3 2 5 
4
A
 dan B  
1  6 4 
0
Maka:

7
AB  
1

 4 12

2 6

 6 7

8 2 

• Pengurangan (subtruction)
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks
yang ukurannya sama maka selisih A - B
adalah matriks yang diperoleh dengan
mengurangkan entri-entri yang bersesuaian
pada matriks B dari entri-entri pada matriks A
a11
A  a21
a31

a12
a22
a32

a13 
b11
a23  ; B  b21
b31
a33 

b12
b22
b32

b13 
a11  b11
b23   A  B  a21  b21
a31  b31
b33 

a12  b12
a22  b22
a32  b32

a13  b13 
a23  b23 
a33  b33 

Jika

3 2 5 
4
A
 dan B  
1  6 4 
0
Maka:

 1 8 2
AB  

 1 14 2 

 6 7

8 2 

• Perkalian Skalar Pada Matriks
Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar,
maka hasil kali cA adalah matriks yang
diperoleh dengan mengalikan masing-masing
entri dari A oleh c.
a11

A  a21
a31

a12
a22
a32

a13 
 ca11


a23   cA  ca21
ca31
a33 

ca12
ca22
ca32

ca13 

ca23 
ca33 

Jika
7  4 12 
A



1
2
6



Maka:

7  4
 2.A  2. 
2
 1

12   14 8  24 



 6   2  4 12 

Matriks Amxn dapat dikalikan dengan matriks Bpxq
jika dan hanya jika banyaknya kolom pada
matriks A sama dengan banyaknya baris pada
matriks B. ( n = p)
AmxnBnxq = Cmxq
A=[aij] mxn dan B= [bij] nxq maka
n
C = [cij]mxq dengan
cij   aij bij
j 1

Tentukan AB dan BA jika:
Jawab:

2
A
 1

1
3

4
,
2 

1
B   1
 4

2
3 
1

1 2
 2 1 4 

1
3

AB  



1
3
2


  4 1


 2(1)  1(1)  4(4) 2(2)  1(3)  4(1)  17 3




1(1)
3(
1)
2(4)
1(2)
3(3)
2(
1)
4
5









 


1 2
 2 1 4


BA   1 3  

1
3
2


 4 1 
1(1)  2(3)
1(4)  2(2)   0 7 8 
 1(2)  2(1)
  1(2)  3(1)
1(1)  3(3) 1(4)  3(2)    5 8 2 
4(2)  (1)(1) 4(1)  (1)(3) 4(4)  (1)2   9 1 14 

Transformasi (operasi) Elementer pada Baris
dan Kolom Matriks
Transformasi Elamenter pada matriks adalah:
 Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan
baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis Hij (A)
 Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i
dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis Kij (A)
 Memperkalikan baris ke i dengan skalar  ≠ 0, ditulis
()
H i (A)
()
 Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K i (A)
 Menambah baris ke i dengan  kali baris ke j, ditulis
H ()(A)
ij

 Menambah

kolom ke i dengan  kali kolom ke j,ditulis

()
K ij (A)
Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam
satu langkah : Menambah  1 kali baris ke i dengan  2

( ) ( )
kali baris ke j, ditulis H i
(A)
j
1

2

Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)
Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi
baris elementer (OBE)

Contoh:
3 1 2 1 


A   4 1 0 2 , carilah matrik B yang dihasilkan
1 3 0 1 


(-1)
(2)
,H
,H ,
31
2
12

sederetan transforma si elementer H
(2)
(1)
. Carilah B tersebut.
K
,K
41
3

 3 1 2 1  H ( 1 )  3

 31

 8
 4 1 0 2 
(
2
)
- 2
1 3 0 1  H2



K (1) 8
41 
  3
K (2) 
3 - 2

2 0 12 

1 4 4
2 - 4 - 2 

1
2 1 H  8
 12
2 0 4   3
2 - 2 0   - 2

2 0 4

1 2 1
2 - 2 0 

Bebas linear dan terpaut linier

• Kombinasi linier
• Vektor bebas linier
• Vektor terpaut linier

23

• Nilai pengamatan dari suatu variabel dapat
disajikan dalam bentuk vektor
• Bila disajikan secara baris disebut vektor baris
• Bila disajikan dalam kolom disebut vektor
kolom

24

• Kombinasi linier
’ = a ’ + a ’+ …. +
a ’
• Vektor terpaut linier
a ’=0’ , tidak se ua
c1 a ’ + a ’+ …. +
• Vektor bebas linier
c1 a ’ + a ’+ …. +
a ’=0’ , ha ya u tuk
•
= = ….. =
=
25

i=

• Kombinasi linier
’ = a ’ + a ’+ …. +

a ’

• Jika a1 = ( 1 2 0 ) dan a2= ( 2 4 3)
• dan c1=2 dan c2=3, maka
’= a + a
= 2 ( 1 2 0 ) + 3 ( 2 4 3)
= ( 2 4 0 ) + (6 12 9)
= ( 8 16 9)
26

• Vektor terpaut linier
c1 a ’ + a ’+ …. +
tidak semua ci=0

a ’=0’ ,

Jika a1= ( 2 4) dan a2= ( 4 8 )
maka a1 dan a2 terpaut linier, karena terdapat
c1=1 dan c2=-1/2 yang mengakibatkan c1 a ’
+ c2 a ’= 0’
27

• Secara geometris dua vektor terpaut linier
a = ( 1 1 ) dan b = ( 2 2)
b
a

28

• Vektor bebas linier
c1 a ’ + a ’+ …. +
= = ….. =
=

a ’=0’ , ha ya u tuk

Jika a1 = ( 1 4 ) dan a2 = ( 0 2)
maka a1 dan a2 bersifat bebas linier karena
hanya c1=c2=0 yang memenuhi

29

• Secara geometris dua vektor bebas linier
• a= ( 1 4 ) dan b = ( 5 2)
a
b

30

Rank (Pangkat) Matriks
– Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam
suatu matriks
– Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang
bebas linier dalam suatu matriks
– Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar
suatu matriks yang determinannya tidak nol.

 1 2 0 
 2 1 4 




1. Jika A   3 5 1  dan B   1 5 3 
 1 2 5 
 1 2 0 

tentukanlah:
a. 2A + B
b. -3B + A
T
c. A – 2B

2. Diberikan matriks :

 2 1 3
2 1
2 1 2
 1 2 4 



C
A
B  3 4 



3
2
5


1 2 
 3 1 0 
Jika mungkin, hitunglah :
a. (AB)t
c. AtBt
b. BtAt
d. BtC + A

e. (Bt + A)C