Pengkajian algoritma exchange untuk analisis regresi linear bergerombol dengan metode kuadrat terkecil

PENGKAJIAN ALGORITMA EXCHANGE UNTUK ANALISIS
REGRESI LINEAR BERGEROMBOL DENGAN METODE
KUADRAT TERKECIL

DEWI LESTARI

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengkajian algoritma
exchange untuk analisis regresi linear bergerombol dengan metode kuadrat terkecil
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Dewi Lestari
NIM G14100027

ABSTRAK
DEWI LESTARI. Pengkajian algoritma exchange untuk analisis regresi linear
bergerombol dengan metode kuadrat terkecil. Dibimbing oleh BAGUS SARTONO
dan FARIT M. AFENDI.
Kenonlinearan dan keheterogenan amatan sering kali menyulitkan kita dalam
melakukan analisis regresi linear. Kenonlinearan dan keheterogenan amatan bisa
disebabkan oleh banyak hal salah satunya dikarenakan pada gugus data tersebut
sebenarnya terdiri atas beberapa gerombol yang memiliki fungsi regresi yang
berbeda-beda. Sayangnya dalam beberapa kasus, terutama pada regresi linear
berganda, gerombol tersebut sangat sulit untuk diketahui. Regresi linear
bergerombol dengan metode kuadrat terkecil yang diimplementasikan dengan
menggunakan algoritma exchange merupakan salah satu metode yang terbukti
dapat digunakan untuk menemukan gerombol-gerombol yang dapat
mengoptimalkan fungsi objektif yang ada. Metode ini memiliki beberapa

kelemahan seperti waktu komputasi yang semakin lama seiring bertambah
banyaknya jumlah gerombol dan amatan yang digunakan. Selain itu masih terjadi
salah penggerombolan pada gugus data yang amatan-amatan antar gerombolnya
saling berbaur. Akan tetapi, secara keselurahan metode ini sangat bermanfaat untuk
diimplementasikan untuk mengatasi kenonlinearan dan keheterogenan amatan.
Kata kunci: algoritma exchange, metode kuadrat terkecil, regresi linear
bergerombol

ABSTRACT
DEWI LESTARI. Assessment of exchange algorithm for clusterwise linear
regression with ordinary least square method. Supervised by BAGUS SARTONO
and FARIT M. AFENDI
Nonlinear relationships and heterogeneous subjects are common problems in
regression. These problems may happen because of many causes, such as due to the
fact that data consist of several groups which each group has specific regression
function. Unfortunately, in most cases, it is not known a priori which subset of
observations should be approximated with which specific regression function.
Clusterwise linear regression by Ordinary least square approach which is
implemented with exchange algorithm is one of the proven method that can be
implemented to find the optimal clusters that can optimize the objective function.

This method is recommended to overcome the nonlinearity and heterogeneity of
existing data. The weakness of this method is that the more number of cluster and
observation are, the longer likely to compute. And there is still miss clustering on a
data set which has an overlapping observations.
Keywords: clusterwise linear regression, exchange algorithm, ordinary least square

PENGKAJIAN ALGORITMA EXCHANGE UNTUK ANALISIS
REGRESI LINEAR BERGEROMBOL DENGAN METODE
KUADRAT TERKECIL

DEWI LESTARI

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR
2014

Judul Skripsi : Pengkajian algoritma exchange untuk analisis regresi linear
bergerombol dengan metode kuadrat terkecil
Nama
: Dewi Lestari
NIM
: G14100027

Disetujui oleh

Dr Bagus Sartono, MSi
Pembimbing I

Dr Farit Mochamad Afendi, MSi
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Anang Kurnia, MSi
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji syukur saya panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih
dalam penelitian ini ialah Pengkajian Algoritma Exchange untuk Analisis Regresi
Linear Bergerombol dengan Metode Kuadrat Terkecil. Karya ilmiah ini merupakan
salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen
Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam menyelesaikan karya ilmiah ini, antara lain:
1. Bapak Dr Bagus Sartono, MSi dan Bapak Dr Farit Mochamad Afendi, MSi
selaku pembimbing yang telah memberikan banyak saran pada penelitian ini.
2. Bapak Dr Ir Budi Susetyo, MS selaku penguji yang juga telah memberikan
banyak saran pada penelitian ini.
3. Bapak/Ibu Dosen Departemen Statistika atas ilmu yang telah diberikan

selama ini.
4. Ibu Markonah, Ibu Tri, dan para staf Tata Usaha Departemen Statistika yang
ulet dan tak pernah lelah mengurusi administrasi kelengkapan mulai dari
kolokium hingga sidang mahasiswa Statistika.
5. Orang tua, kakak, dan adik atas kesabaran, kasih sayang, doa, dan dorongan
batin yang begitu besar kepada penulis.
6. Rizky Ardinsyah, Amri L. Najih, Hariz, dan Benny sebagai teman satu
perjuangan satu dosen bimbingan yang selalu memberikan dukungan dan
masukannya.
7. Teman-teman Statistika 47 atas motivasi dan dukungannya selama ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Penulis mohon
maaf atas segala kekurangan dan kesalahan yang terdapat dalam pembuatan karya
ilmiah ini.

Bogor, Juni 2014
Dewi Lestari

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

REGRESI LINEAR BERGEROMBOL

2

DATA DAN METODE

4

Data

4

Metode

6

HASIL DAN PEMBAHASAN
Implementasi Regresi Linear Bergerombol pada Gugus Data Simulasi

Implementasi Regresi Linear Bergerombol pada Gugus Data Riil

6
6
11

KESIMPULAN

15

SARAN

16

DAFTAR PUSTAKA

16

LAMPIRAN

17

DAFTAR TABEL
1 Faktor dan taraf yang digunakan untuk membuat gugus data simulasi
2 Kombinasi taraf-taraf antar faktor hasil rancangan faktorial pecahan 25-2
3 Keanggotan gerombol dengan banyaknya gerombol (k) sebanyak tiga
dan memiliki dua peubah penjelas
4 Hasil penggerombolan dari analisis CLR pada kedelapan gugus data
5 Perbandingan antara kondisi gerombol hasil simulasi dengan hasil
penggerombolan dengan metode CLR pada gugus data pertama
6 Perbandingan antara kondisi gerombol sebenarnya dengan hasil
penggerombolan dengan analsis CLR pada gugus data kedua
7 Perbandingan antara kondisi gerombol sebenarnya dengan hasil
penggerombolan dengan analisis CLR pada gugus data kedelapan
8 Hasil penggerombolan yang diperoleh dari metode CLR yang dicobakan
dengan menggunakan beberapa gerombol pada ketiga gugus data
9 Hasil penggerombolan dengan menggunakan analisis CLR pada Gugus
data konsumsi listrik
10 Hasil penggerombolan yang diperoleh dari analisis CLR pada gugus data
persepsi nada

5
5
6
7
8
9
9
10
11
14

DAFTAR GAMBAR
1 Diagram pencar (a) gugus data pertama (b) gugus data kedua dan (c)
gugus data kedelapan
2 Scree plot nilai KTS dengan banyaknya gerombol pada gugus data (a)
pertama (b) kedua dan (c) kedelapan
3 Scree plot nilai JKS total dengan banyaknya gerombol pada Gugus data
konsumsi listrik
4 Diagram pencar gugus data persepsi nada
5 Scree plot nilai KTS dengan banyaknya gerombol pada gugus data
persepsi nada

8
11
12
13
14

DAFTAR LAMPIRAN
1 Diagram pencar hasil penggerombolan dengan analisis CLR dua
gerombol untuk (a) gugus data pertama dan (b) gugus data kedua
2 Scree plot antara nilai KTS dengan banyak gerombol yang digunakan
untuk kedelapan gugus data

17
17

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis regresi linear merupakan alat analisis statistika yang bertujuan untuk
mengetahui hubungan linear (dalam parameter) suatu peubah penjelas terhadap
peubah respon. Regresi linear klasik ini akan baik digunakan pada data yang
memiliki parameter-parameter regresi yang linear serta amatan-amatan yang
homogen (Chatterjee dan Hadi 2006). Akan tetapi dalam penerapannya, sering kali
kita mengalami kesulitan karena dihadapkan pada data yang memiliki hubungan
nonlinear dan amatan-amatannya heterogen.
Adanya kenonlinearan dan keheterogenan tersebut dapat disebabkan oleh
berbagai hal, salah satunya adalah data yang dimiliki sebenarnya terdiri dari
beberapa subpopulasi yang memungkinkan untuk setiap subpopulasi tersebut
memiliki fungsi regresi yang berbeda-beda. Sehingga dalam kasus-kasus seperti itu
dibutuhkan dua atau lebih fungsi regresi untuk mengatasi keheterogenan yang ada
serta agar dapat memperoleh informasi yang tepat mengenai struktur data yang ada.
Namun dalam banyak kasus, terutama pada kasus analisis regresi linear
berganda, kita tidak dapat dengan mudah mengetahui amatan-amatan mana saja
yang menjadi anggota suatu subpopulasi serta fungsi regresi seperti apa yang tepat
yang dapat digunakan untuk subpopulasi tersebut. Oleh karena itu pada penelitian
ini akan dikaji suatu metode yang dapat secara bersamaan menggerombolkan
amatan-amatan dari suatu gugus data ke dalam sejumlah kelompok sekaligus
menemukan model regresi yang berasosiasi dengan setiap gerombol yang terbentuk
yang dapat memaksimumkan kesesuaian seluruh data. Metode inilah yang
kemudian disebut sebagai regresi linear bergerombol.
Metode ini telah cukup banyak diaplikasikan di berbagai bidang seperti dalam
segmentasi pasar, bisnis, sosial ekonomi, dan lain-lain. Sebagai contoh
pengaplikasian metode ini, Zhu et al. (2012) dalam jurnalnya menjelaskan
mengenai segmentasi data tuntutan pembiayaan masyarakat untuk layanan rawat
inap pada pasien penderita TBI. Pada kasus ini, perusahaan asuransi publik
bermaksud untuk memodelkan hubungan antara lama layanan dan biaya yang
dikeluarkan berdasarkan data yang dikumpulkan dari kohort pasien TBI yang
menerima pelayanan rehabilitasi rawat inap. Jika para pasien TBI tersebut memiliki
elastisitas (parameter regresi) lama layanan yang homogen, maka elastisitas
tersebut dapat diduga dengan mudah dengan meregresikan lama layanan dengan
biaya yang dikeluarkan. Akan tetapi kenyataannya, elastisitas lama layanan tersebut
beragam, bergantung pada tingkat keparahan cedera, kondisi rumah sakit, serta
perilaku penggunaan layanan rehabilitasi. Sehingga jika semua hal tersebut
diabaikan, dugaan elastisitas lama layanan yang diperoleh pasti akan berbias, serta
informasi mengenai struktur data yang ada menjadi tidak tepat. Oleh karena itu,
perlu dilakukannya penggerombolan berdasarkan keragaman elastisitas lama
layanan lalu melakukan analisis regresi pada setiap gerombolnya. Maka dalam hal
inilah analisis regresi linear bergerombol dibutuhkan.
Terdapat berbagai pendekatan yang dapat digunakan dalam analisis regresi
linear bergerombol ini diantaranya dengan metode kemungkinan maksimum
(DeSarbo dan Cron 1988), jumlah mutlak simpangan terkecil (Lau et al. 1999, dan

2
Zhu et al. 2012), simulated annealing (DeSarbo et al. 1989), dan lain-lain. Akan
tetapi pada penelitian ini metode yang akan dikaji lebih dalam adalah analisis
regresi linear bergerombol dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan (JKS)
total seperti yang dikembangkan oleh Späth (1979, 1982). Metode ini dipilih karena
metode ini cukup mudah dan sederhana serta seringkali dijadikan acuan oleh
metode-metode lainnya.

Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji kinerja algoritma exchange dan
kesesuaian pembentukan gerombol pada analisis regresi linear bergerombol dengan
metode kuadrat terkecil pada data yang terdiri atas beberapa subpopulasi.

REGRESI LINEAR BERGEROMBOL
Regresi linear bergerombol atau disebut juga Clusterwise linear regression
(CLR) merupakan suatu metode integrasi antara analisis regresi dengan analisis
gerombol. Metode ini bertujuan untuk menemukan secara bersamaan sejumlah
gerombol yang optimal dari suatu gugus data sekaligus menemukan model regresi
yang berasosiasi dengan setiap gerombol yang terbentuk yang dapat
memaksimumkan kesesuaian seluruh data (Desarbo et al. 1989).
Regresi linear bergerombol digunakan untuk melakukan analisis gerombol
dalam sebuah kerangka regresi. Ketika model regresi klasik mengasumsikan bahwa
koefisien regresi untuk semua amatan dalam contoh adalah sama, pada metode ini
memperbolehkan adanya keragaman koefisien regresi antar amatan pada gerombol
yang berbeda (Lau et al. 1999). Metode ini memiliki beberapa kelebihan
diantaranya dapat menemukan dan mengatasi keheterogenan data, menemukan
model matematis dari sekumpulan data nonlinear, serta dapat mengatasi masalah
yang disebabkan adanya korelasi antar peubah (Ari dan Guvenir 2002).
Telah banyak literatur yang mengkaji analisis CLR ini, salah satunya
dituliskan oleh Späth yang juga merupakan salah satu pencetus metode ini. Späth
(1979, 1982) mengusulkan sebuah algoritma bernama algoritma exchange yang
menggunakan teknik dekomposisi QR untuk meminimumkan keseluruhan jumlah
kuadrat sisaan (JKS) dari model terintegrasi ini. Pada tahun 1988 DeSarbo dan Cron
mengusulkan analisis CLR dengan menggunakan pendekatan kemungkinan
maksimum dengan pembentukan gerombolnya didasarkan pada peluang posterior
Bayes. Kemudian pada tahun 1989 DeSarbo et al. mengembangkan suatu metode
yang bernama simulated annealing. Berbeda dengan metode-metode sebelumnya
yang setiap amatannya hanya dapat menjadi anggota pada satu gerombol saja,
dengan menggunakan metode ini memungkinkan bagi setiap amatan untuk dapat
menjadi anggota lebih dari satu gerombol. Penelitian terbaru mengenai analisis
CLR dilakukan oleh Zhu et al. (2012) yang mengembangkan analisis ini dengan
meminimumkan jumlah mutlak simpangan melalui pendekatan mixed-integer
programming (MIP). Menurutnya metode ini telah dapat menghasilkan solusi
optimum global.

3
Dari berbagai metode yang ada, metode yang akan digunakan pada penelitian
ini adalah metode yang telah dikembangkan oleh Späth (1979, 1982) dengan
metode kuadrat terkecil. Prinsip dasar analisis regresi linear bergerombol dengan
metode kuadrat terkecil adalah menemukan secara bersamaan penyekat data yang
optimal sekaligus menemukan model regresi yang tepat bagi setiap sekatan
sedemikian rupa sehingga diperoleh nilai JKS total yang minimum.
Cara kerja metode ini adalah dari sebanyak n amatan yang ada, dilakukan
penyekatan-penyekatan yang menjadikan n amatan tersebut menjadi k gerombol,
C1,...,Ck, dimana Cj ⊂ N = {1,…,n }, |Cj| ≥ p dengan p menunjukkan banyaknya
parameter regresi, Cj ∩ Cm = ∅ untuk j ≠ m, C1∪ ...∪Ck = N, dengan vektor dugaan
parameter regresi bj ( j = 1, …, k) sedemikian rupa sehingga
∑kj=1‖yj -Xj bj ‖

2

(1)

bernilai sekecil mungkin dengan yj merupakan vektor kolom peubah tak bebas pada
gerombol ke-j berukuran n × 1 dan Xj merupakan matriks peubah bebas pada
gerombol ke-j berukuran n × p. Agar terdapat solusi bagi bj dari persamaan (1),
maka Xj harus berpangkat p sehingga diperlukan banyak amatan dalam setiap
gerombol sebanyak nj (nj ≥ p), yang berimplikasi n ≥ (k × p) (Desarbo dan Cron
1988).
Metode ini oleh Späth (1979, 1982) diterapkan dengan mengembangkan
suatu algoritma yang bernama algoritma exchange dengan tahapan-tahapan sebagai
berikut :
a. Melakukan penyekatan awal yang membagi data menjadi k gerombol, C1, ...,Ck,
dengan banyaknya amatan pada setiap sekatan |Cj| ≥ p¸ dan ∑kj=1|Cj | = n .
Penyekatan awal dapat pula dilakukan dengan menggunakan penyekat awal
baku (s) dengan si = 1 + mod(i -1, k) yang menunjukkan gerombol letak amatan
ke-i
b. Menghitung nilai dugaan parameter regresi dan JKS pada setiap sekatan
dengan menggunakan metode kuadrat terkecil
c. Memilih secara acak amatan pertama yang akan dipindahkan i = i0
d. Memindahkan amatan ke-i dari satu gerombol (Cj) ke gerombol yang lain (Cm)
dengan m ≠j dan |Cj| > n*j dengan n*j merupakan jumlah minimum amatan
yang mungkin dimiliki pada setiap gerombol, pada penelitian ini n*j = p.
Sedemikian sehingga gerombol yang dipilih (Cg) merupakan gerombol yang
mengakibatkan penurunan fungsi objektif (1) maksimum ketika amatan ke-i
berada pada gerombol tersebut. Maka kini diperoleh Cj = Cj – {i} dan Cg =
Cg ∪ {i}
e. Memilih kembali amatan yang akan dipindahkan yaitu amatan ke-(i + 1),
kembalikan nilai i = 1 jika i > n
f. Mengulangi langkah d dan e hingga tidak terjadi lagi penurunan fungsi objektif
(1) yaitu selama tidak terjadi lagi penurunan fungsi objektif (1) sebanyak n kali.
Walaupun algoritma ini cukup mudah untuk diimplementasikan akan tetapi
hasil dari algoritma ini belum tentu merupakan solusi global optimum. Adanya
perubahan penyekatan awal yang dipilih, amatan pemulai (i0), dan nilai n*j yang
berbeda, dapat menghasilkan hasil yang berbeda pula. Oleh karena itu untuk
mengatasi hal tersebut, perlu melakukan beberapa kali pengulangan dan

4
menggunakan penyekat awal serta amatan pemulai yang berbeda-beda. Kemudian
memilih solusi yang menghasilkan nilai fungsi objektif (1) yang paling kecil.
Hasil akhir dari algoritma ini adalah terbentuknya sebanyak k gerombol
dengan keanggotaan gerombol yang unik serta diperolehnya dugaan persamaan
garis regresi untuk setiap gerombolnya. Dari sebanyak k dugaan persamaan garis
regresi tersebut dapat dijadikan menjadi satu dugaan persamaan garis regresi baru
dengan cara memasukkan peubah boneka ke dalam dugaan persamaan garis regresi
baru tersebut. Peubah boneka (D) tersebut menunjukkan keanggotaan suatu amatan
pada suatu gerombol dengan Dij = 1 jika amatan ke-i merupakan anggota gerombol
ke-j dan Dij = 0 jika lainnya. Jika terdapat sebanyak k gerombol maka akan ada
sebanyak k-1 peubah boneka. Ketika melakukan pendugaan, persamaan garis
regresi yang digunakan adalah persamaan garis hasil interaksi antara peubah
boneka dengan peubah bebas yang digunakan pada penelitian tersebut. Berikut
merupakan contoh dugaan persamaan garis regresi dari analisis regresi linear
bergerombol dengan sebuah peubah bebas dan dua gerombol :
ŷi = b0 +b1 xi +b2 Di1 + b3 xi Di1

dengan Di1 = 1 jika amatan ke-i merupakan anggota gerombol ke-1 dan Di1 = 0 jika
amatan ke-i merupakan anggota gerombol ke-2. Sehingga berdasarkan hal tersebut,
dari persamaan garis di atas dapat diperoleh persamaan garis untuk masing-masing
gerombol yang tepat sama dengan yang diperoleh dari hasil algoritma exchange
sebagai berikut :
Gerombol pertama : ŷ*i = b*0 + b*1 x*i
** **
Gerombol kedua : ŷ**
= b**
0 + b1 xi
i
Keterangan :
ŷ*i : nilai dugaan peubah respon untuk amatan ke-i pada gerombol pertama
ŷ**
: nilai dugaan peubah respon untuk amatan ke-i pada gerombol kedua
i
*
b : nilai dugaan intersep pada gerombol pertama dengan b* = b0 + b2
b** : nilai dugaan intersep pada gerombol kedua b** = b0
b* : nilai dugaan koefisien regresi untuk peubah bebas x pada gerombol pertama
dengan b* = b + b3
b** : nilai dugaan koefisien regresi untuk peubah bebas x pada gerombol kedua
dengan b** = b
x*i : nilai peubah bebas untuk amatan ke-i pada gerombol pertama
x*i * : nilai peubah bebas untuk amatan ke-i pada gerombol kedua

DATA DAN METODE
Data
Kesesuaian hasil penggerombolan yang diperoleh dari metode ini dapat
diketahui dengan cara membandingkan hasil yang diperoleh dari metode ini dengan
keadaan yang sebenarnya sehingga pada penelitian ini diperlukan gugus data yang
telah diketahui kondisi yang sebenarnya seperti gugus data simulasi. Gugus data

5
simulasi yang digunakan dalam penelitian ini disimulasikan dengan
mempertimbangkan lima faktor yang masing-masing faktor memiliki dua taraf
(Tabel 1). Kelima faktor tersebut dipilih karena diduga dapat memengaruhi
indikator-indikator yang akan disebutkan pada Bab Hasil dan Pembahasan. Hasil
kombinasi taraf-taraf dari beberapa faktor tersebut kemudian direduksi dengan
rancangan faktorial pecahan dengan fraksi seperempat, sehingga diperoleh delapan
kombinasi gugus data seperti pada Tabel 2.
Tabel 1 Faktor dan taraf yang digunakan untuk membuat gugus data simulasi
Faktor
Banyaknya pengamatan
(F1)

Taraf
50
100

Banyaknya peubah bebas
(F2)

1
2

Banyaknya gerombol (F3)

2
3

Simpangan baku sisaan (F4)
untuk e ~Normal (0, σe2)
Ada tidaknya perpotongan
garis regresi antar gerombol
(F5)

0.5
2
Saling berpotongan, dengan parameter regresi
5 5
5 5 5
β =[
] atau β = [
]
-2 2
-2 2 -4
Tidak saling berpotongan, dengan parameter regresi
8 5
8 5 14
β =[
] atau β = [
]
2 2
2 2 2

Tabel 2 Kombinasi taraf-taraf antar faktor hasil rancangan faktorial pecahan 25-2
Gugus data ke1
2
3
4
5
6
7
8

F1
100
50
100
50
50
50
100
100

F2
1
1
2
2
2
1
2
1

F3
2
2
3
3
2
3
2
3

F4
0.5
2
2
0.5
0.5
2
2
0.5

F5
1
2
2
1
2
1
1
2

Selain dengan membandingkannya dengan kondisi yang sebenarnya,
kesesuaian hasil penggerombolan dari analisis ini dapat diketahui pula dengan cara
membandingkan hasil yang diperoleh dari analisis ini dengan hasil penelitian
sebelumnya pada suatu gugus data riil. Sehingga pada penelitian ini akan digunakan
pula dua buah gugus data riil. Gugus data riil yang digunakan pada penelitian ini
adalah gugus data konsumsi listrik yang digunakan dalam penelitian Lau et al.
(1999) serta gugus data persepsi nada yang digunakan dalam penelitian D’Urso dan
Santoro (2006)

6
Metode
Pada penelitian ini perangkat lunak yang digunakan adalah R 3.0.3 dan SAS
9.1.3. Berikut merupakan algoritma yang digunakan pada penelitian ini :
1. Membangkitkan gugus data simulasi.
a. Membangkitkan masing-masing sebanyak � amatan untuk setiap peubah
penjelas yang menyebar Seragam (0, 2) untuk peubah X1 dan menyebar
Seragam (0, 1) untuk peubah X2 dengan X1 dan X2 bersifat saling bebas.
b. Membangkitkan sebanyak � nilai sisaan (e) yang menyebar Normal (0, σe2)
c. Menentukan nilai parameter regresi pada setiap gerombol.
d. Menentukan ukuran setiap gerombol dengan perbandingan banyaknya
amatan pada setiap gerombol sebesar n1 : n2 = 2 : 3 untuk dua gerombol dan
n1 : n2 : n3 = 3 : 3 : 4 untuk tiga gerombol.
e. Menentukan keanggotaan gerombol seperti pada Tabel 3.
2. Menghitung nilai peubah respon pada setiap gerombol (yj ) dengan yj = Xj bj +
ej untuk j = 1, ..., k dan k menunjukkan banyaknya gerombol.
3. Melakukan langkah 1 untuk kedelapan gugus data simulasi.
4. Melakukan penggerombolan dan pemodelan baik pada gugus data simulasi
ataupun gugus data riil dengan menerapkan algoritma exchange untuk analisis
regresi linear bergerombol dengan metode kuadrat terkecil.
5. Mengkaji hasil penggerombolan yang diperoleh pada gugus data riil dan semua
gugus data simulasi.
6. Membandingkan hasil penggerombolan pada gugus data simulasi yang
diperoleh dari analisis CLR dengan kondisi gerombol sebenarnya.
Tabel 3 Keanggotaan gerombol pada gugus data yang memiliki tiga gerombol dan
dua peubah penjelas
Gerombol ke1
⋮
1
2
⋮
2
3
⋮
3

Pengamatan ke1
⋮
n1
n1 + 1
⋮
n1 + n2
n1+ n2 +1
⋮

n

�1i
x11
⋮
x1n1
x1 n1+ 1
⋮
x1 n1+ n2
x1 n1+ n2+1
⋮
x1n

�2i
x21
⋮
x2n1
x2 n1+ 1
⋮
x2 n1+ n2
x2 n1+ n2+1
⋮
x2n

ei
e
⋮
en1
e n1+ 1
⋮
e n1+ n2
� n1+ n2+1
⋮
�n

HASIL DAN PEMBAHASAN
Implementasi Regresi Linear Bergerombol pada Gugus Data Simulasi
Kinerja algoritma exchange dan kesesuaian hasil analisis CLR dalam
menemukan gerombol-gerombol yang dapat meminimumkan nilai JKS total

7
terhadap gugus data simulasi yang terdiri atas beberapa subopulasi dapat diketahui
melalui beberapa indikator. Indikator-indikator tersebut diantaranya adalah:
1. Salah penggerombolan. Salah penggerombolan dapat diketahui dengan
menghitung banyaknya amatan yang setelah dilakukannya proses
penggerombolan dengan metode ini menjadi anggota gerombol yang bukan
gerombol sebenarnya.
2. Lamanya waktu komputasi yang diperlukan untuk melakukan 500 kali proses
algoritma exchange yang dinyatakan dalam detik dengan spesifikasi komputer
yang digunakan adalah komputer berprosesor intel® CoreTM i3 – 2375M.
3. Jumlah kuadrat sisaan total (JKS total)
4. Selisih antara JKS total dari model pada gerombol sebenarnya dengan JKS total
dari model pada gerombol yang terbentuk dari analisis CLR ini.
5. Kuadrat tengah sisaan (KTS)
6. R2 adj dari model gabungan
7. Selisih antara R2adj dari model gabungan pada gerombol sebenarnya dengan
R2adj dari model gabungan yang diperoleh dari analisis CLR.
Nilai ketujuh indikator tersebut yang diperoleh dari hasil
pengimplementasian analisis CLR pada kedelapan gugus data simulasi disajikan
pada Tabel 4. Dari Tabel 4 dapat diketahui berbagai informasi, salah satunya
informasi mengenai banyaknya amatan pada setiap gugus data yang mengalami
salah penggerombolan. Berdasarkan Tabel 4 diketahui bahwa hampir pada semua
gugus data terjadi salah penggerombolan. Akan tetapi, jika dilihat nilai selisih JKS
total yang diperoleh untuk kedelapan gugus data, hampir seluruhnya bernilai lebih
besar dari pada nol. Selain itu, nilai selisih R2adj yang diperoleh kedelapan guggus
data pun hampir seluruhnya bernilai lebih kecil dari pada nol. Kedua hal tersebut
menunjukkan gerombol yang diperoleh dari analisis CLR ini memiliki nilai JKS
total yang lebih kecil serta nilai R2adj yang lebih besar dari nilai JKS total dan R2adj
yang dimiliki gerombol sebenarnya.
Tabel 4 Hasil penggerombolan dari analisis CLR pada kedelapan gugus data
Gugus
data ke1
2
3
4
5
6
7
8

Salah
penggerombolan
(amatan)
3%
24%
11%
8%
0%
32%
12%
0%

Waktu
(detik)

JKS total

Selisih
JKS total

KTS

R2adj

Selisih
R2adj

943.63
332.90
2060.94
811.07
347.09
690.47
1055.27
1519.92

19.07
49.60
143.67
7.92
9.20
40.17
150.85
18.56

0.34
22.22
31.43
0.62
0.00
28.15
24.73
0.00

0.20
1.08
1.58
0.19
0.21
0.91
1.61
0.20

96.04%
72.91%
93.58%
97.86%
95.55%
90.01%
83.25%
98.86%

-0.1%
-12.15%
-1.41%
-0.17%
0.00%
-7.00%
-2.75%
0.00%

Selanjutnya dari kedelapan gugus data yang ada, terdapat tiga gugus data
yang akan dibahas lebih rinci. Ketiga gugus data tersebut diantaranya adalah gugus
data pertama, kedua, dan kedelapan. Ketiga gugus data tersebut dipilih karena
memiliki karakteristik yang berbeda-beda. Selain itu pada gugus data pertama dan
kedua terjadi pembauran amatan antar gerombol yang pada gugus data kedelapan
hal tersebut tidak terjadi (Gambar 1). Terjadinya pembauran amatan pada gugus
data pertama dan kedua disebabkan oleh hal yang berbeda. Pada gugus data pertama

8
pembauran terjadi karena adanya perpotongan garis regresi antar gerombol.
Sedangkan pada gugus data kedua pembauran amatan antar gerombol terjadi karena
amatan-amatan pada setiap gerombol yang cukup berpencar.

13

8

12

7

11

6

10

Y-Data

Y-Data

9

5

9

4

8

3

7

2

6

1

5

0

4

0.0

0.5

1.0
X-Data

1.5

2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

X-Data

(a)

(b)

20.0
17.5

Y-Data

15.0
12.5
10.0
7.5
5.0
0.0

0.5

1.0
X-Data

1.5

2.0

(c)
Gambar 1 Diagram pencar (a) gugus data pertama (b) gugus data kedua dan (c)
gugus data kedelapan

Tabel 5

Perbandingan antara kondisi gerombol sebenarnya dengan hasil
penggerombolan dengan metode CLR pada gugus data pertama

Gerombol
ke1
2

Banyaknya anggota
b0
b1
JKS
gerombol (nj)
Hasil analisis regresi pada gerombol-gerombol sebenarnya
40
5.13
-2.11
7.99
60
4.87
2.12
11.42

1
2

Hasil penggerombolan dengan metode CLR dua gerombol
37
5.14
-2.12
7.48
63
4.84
2.14
11.59

Pembauran amatan antar gerombol dapat mengakibatkan keambiguan
keanggotaan gerombol yang akhirnya dapat mengakibatkan salah penggerombolan.
Hal tersebut terbukti dari hasil analisis CLR pada gugus data pertama (Tabel 5) dan
kedua (Tabel 6) yang berbeda dengan kondisi gerombol sebenarnya yang berarti
telah terjadi salah penggerombolan pada kedua gugus data tersebut. Sedangkan
pada gugus data kedelapan salah penggerombolan tersebut tidak terjadi yang
ditandai dengan nilai dugaan-dugaan parameter regresi serta nilai JKS yang
diperoleh dari hasil analisis CLR tepat sama dengan kondisi gerombol sebenarnya
(Tabel 7). Berdasarkan hal tersebut dapat diketahui bahwa metode ini telah mampu

9
menemukan gerombol-gerombol yang memiliki dugaan parameter regresi yang
berbeda-beda dengan tepat seperti yang penulis simulasikan bila pada gugus data
tersebut tidak terjadi pembauran amatan antar gerombol.
Tabel 6

Perbandingan antara kondisi gerombol sebenarnya dengan hasil
penggerombolan dengan analsis CLR pada gugus data kedua

Gerombol
ke-

Banyaknya anggota gerombol
b0
b1
JKS
(nj)
Hasil analisis regresi pada gerombol-gerombol sebenarnya
28.12
20
7.57
2.24
43.71
30
5.01
2.58
Hasil penggerombolan dengan analisis CLR dua gerombol
26
7.57
2.14
26.22
24
4.75
2.40
23.38

1
2
1
2
Tabel 7

Perbandingan antara kondisi gerombol sebenarnya dengan hasil
penggerombolan dengan analisis CLR pada gugus data kedelapan

Gerombol
ke1
2
3
1
2
3

Banyaknya anggota gerombol
b0
b1
JKS
(nj)
Hasil analisis regresi pada gerombol-gerombol sebenarnya
30
8.10
1.90
5.03
30
5.08
1.94
7.04
40
13.78
2.21
6.49
Hasil penggerombolan dengan analisis CLR tiga gerombol
30
8.10
1.90
5.03
30
5.08
1.94
7.04
40
13.78
2.21
6.49

Pada ketiga gugus data, selain diimplementasikan analisis CLR dengan
menggunakan banyaknya gerombol yang sama dengan gerombol sebenarnya,
diimplementasikan pula analisis CLR dengan menggunakan satu hingga lima
gerombol. Hasil analisis CLR dengan menggunakan satu hingga lima gerombol
pada ketiga gugus data ditampilkan pada Tabel 8.
Waktu komputasi yang ditunjukkan pada Tabel 8 untuk ketiga gugus data
memiliki pola bahwa semakin banyak gerombol yang digunakan akan semakin
lama pula waktu komputasi yang diperlukan. Selain itu gugus data pertama dan
kedelapan yang memiliki jumlah amatan yang lebih banyak, memiliki waktu
komputasi yang lebih lama dibanding gugus data kedua yang memiliki jumlah
amatan yang lebih sedikit . Hal ini disebabkan oleh kompleksitas dari metode ini
sebesar O(nk), yang berarti lamanya waktu komputasi berhubungan linier positif
dengan banyaknya amatan dan banyakanya gerombol yang digunakan.
Selain waktu komputasi, dari Tabel 8 kita juga dapat mengetahui nilai JKS
total, nilai KTS, dan nilai R2adj yang diperoleh dari analisis ini. Pada ketiga gugus
data terlihat bahwa baik untuk nilai JKS total ataupun nilai KTS yang diperoleh
terlihat cenderung terus menurun seiring dengan bertambah banyaknya gerombol
yang digunakan dan sebaliknya dengan nilai R2adj. Kecenderungan tersebut

10
mengakibatkan sulit untuk menentukan banyaknya gerombol optimum yang
sebaiknya digunakan. Maka untuk mengatasi hal tersebut digunakan scree plot
antara banyaknya gerombol dengan nilai KTS. Ide yang mendasari penggunaan
scree plot ini adalah banyaknya gerombol optimum yang digunakan sedemikian
rupa sehingga selisih antara nilai KTS yang berurutan sudah tidak besar lagi.
Tabel 8 Hasil penggerombolan yang diperoleh dari metode CLR yang dicobakan
dengan menggunakan beberapa gerombol pada ketiga gugus data
Banyaknya
Gerombol

Waktu komputasi
(detik)

1
2
3
4
5

943.63
2453.19
2799.81
3614.78

1
2
3
4
5

332.90
694.46
987.91
1299.47

1
2
3
4
5

941.30
1519.92
2340.11
3108.28

JKS total

KTS

Gugus data pertama
487.08
4.97
19.07
0.20
10.63
0.11
4.54
0.05
2.63
0.03
Gugus data ke dua
131.27
2.74
49.60
1.08
14.34
0.33
7.56
0.18
4.53
0.11
Gugus data ke delapan
1475.33
15.05
148.34
1.55
18.56
0.20
13.16
0.14
8.21
0.09

R2adj
00.87%
96.04%
97.74%
99.01%
99.42%
31.29%
72.91%
91.81%
95.48%
97.16%
12.97%
91.07%
98.86%
99.17%
99.47%

Berdasarkan Gambar 2 ditetapkan banyaknya gerombol optimum untuk
gugus data pertama sebanyak dua gerombol, untuk gugus data kedua sebanyak tiga
gerombol, dan gugus data kedelapan sebanyak dua gerombol. Banyaknya gerombol
optimum yang diperoleh pada gugus data pertama sama dengan banyaknya
gerombol yang sebenarnya, akan tetapi sebaliknya untuk gugus data kedua dan
kedelapan.
Berdasarkan scrree plot antara banyak gerombol dan KTS untuk kedelapan
gugus data (Lampiran 2) diketahui bahwa hampir seluruh gugus data memiliki
gerombol optimal sebanyak dua gerombol, hanya gugus data kedua yang memiliki
tiga gerombol. Sehingga berdasarkan hal tersebut dapat diketahui bahwa terdapat
lima gugus data yang banyak gerombol optimalnya tidak sama dengan banyak
gerombol sebenarnya.

11
3.0

5

2.5

4

2.0
KTS

KTS

3

1.5

2

1.0
1

0.5
0

0.0
1

2

3
Banyak gerombol

4

1

5

2

3
Banyaknya gerombol

(a)

4

5

(b)
16
14
12

KTS

10
8
6
4
2
0
1

2

3
Banyaknya gerombol

4

5

(c)
Gambar 2 Scree plot antara banyaknya gerombol dengan nilai KTS pada gugus
data (a) pertama (b) kedua dan (c) kedelapan

Implementasi Regresi Linear Bergerombol pada Gugus Data Riil
Kesesuaian pembentukan gerombol yang dapat meminimumkan jumlah
kuadrat sisaan total pada gugus data yang terdiri dari beberapa subpopulasi ini juga
dapat diketahui dengan cara membandingkan hasil penggerombolan pada gugus
data riil yang digunakan pada penelitian-penelitian sebelumnya dengan hasil
penggerombolan dari analisis CLR ini. Pada penelitian ini digunakan dua jenis
gugus data riil. Gugus data pertama yang digunakan adalah gugus data konsumsi
listrik yang digunakan oleh Lau et al. (1999).
Tabel 9

Hasil penggerombolan dengan menggunakan
analisis CLR pada gugus data konsumsi listrik

Banyaknya Gerombol
1
2
3
4
5

JKS total
1042.82
284.53
93.01
27.86
6.85

KTS
22.67
6.78
2.45
0.82
0.23

R2adj
56.00%
86.85%
95.25%
98.41%
99.60%

Gugus data ini merupakan hasil dari penelitian yang dilakukan oleh
McCormick (1993) pada 50 negara. Peubah respon pada gugus data ini adalah
besarnya konsumsi listrik perkapita (y), sedangkan peubah bebasnya adalah harga
listrik (x1), pendapatan perkapita (x2), dan harga gas (x3). Pada jurnalnya, Lau et al.
(1999) menggunakan dua gerombol pada gugus data ini, akan tetapi tidak dijelaskan

12
alasan digunakannya dua gerombol, dan tidak dinyatakan pula banyaknya gerombol
yang sebaiknya digunakan.
Dari Tabel 9 terlihat bahwa seperti yang terjadi pada gugus data simulasi pada
gugus data ini pun baik dari nilai JKS total, nilai KTS, ataupun nilai R2adj diperoleh
kesimpulan bahwa banyak gerombol yang sebaiknya digunakan adalah gerombol
yang terbanyak. Sehingga pada gugus data ini pun penulis menggunakan scree plot
antara banyaknya gerombol dengan KTS. Berdasarkan scree plot yang diperoleh
(Gambar 3) terlihat bahwa pada saat menggunakan dua gerombol scree plot tersebut
sangat curam di kiri akan tetapi tidak terlalu curam di kanan sehingga dapat
dikatakan bahwa banyaknya gerombol yang digunakan adalah sebanyak dua
gerombol.
25

20

KTS

15

10

5

0
1

2

3
Banyak gerombol

4

5

Gambar 3 Scree plot antara banyaknya gerombol dengan
nilai KTS pada gugus data konsumsi listrik
Walaupun banyaknya gerombol yang digunakan pada penelitian ini sama
dengan banyaknya gerombol yang digunakan pada penelitian Lau et al. (1999),
akan tetapi hasil yang diperoleh dari analisis CLR ini berbeda. Perbedaan tersebut
terlihat dari berbedanya jumlah amatan pada setiap gerombolnya sehingga tentu
saja nilai dugaan parameter regresi dan nilai JKS total yang diperoleh pun berbeda.
Nilai JKS total yang diperoleh pada penelitian tersebut lebih besar dari yang
diperoleh pada penelitian ini. Berikut merupakan dugaan persamaan garis regresi
pada kedua gerombol :
Gerombol pertama : ŷ∗ = 27.70 - 6.82x1∗ + 1.57 x*2 + 2.02�3∗
**
**
Gerombol kedua : ŷ∗∗ = 37.56 - 7.68 x**
1 + 3.87x2 - 4.84 x3

Ketika mengimplementasikan analisis regresi linear bergerombol pada dunia
nyata, gerombol-gerombol yang dihasilkan haruslah memiliki makna dan dapat
diinterpretasikan sesuai dengan kondisi pada dunia nyata. Sehingga berdasarkan hal
tersebut penentuan banyaknya gerombol yang sebaiknya digunakan tidak hanya
didasarkan pada pertimbangan matematis seperti besarnya nilai JKS total, nilai
KTS, ataupun nilai R2adj, akan tetapi perlu didasarkan pula pada kesesuaian makna
yang diperoleh dari gerombol-gerombol yang ada jika dihubungkan dengan kondisi
dunia nyata atau teori-teori atau pendapat para ahli mengenai hal yang diteliti.
Pemaknaan terhadap gerombol-gerombol yang diperoleh pada analisis
regresi linear bergerombol ini dapat dimaknai dari tanda dugaan parameter regresi
dan dugaan parameter regresi yang diperoleh pada setiap gerombol. Jika
menggunakan dua gerombol seperti yang ditetapkan dari scree plot, berdasarkan

13
dugaan persamaan regresi yang diperoleh untuk gugus data konsumsi listrik ini,
diketahui bahwa tanda dugaan parameter regresi (elastisitas) untuk peubah bebas x1
pada kedua gerombol sama-sama memiliki tanda yang negatif. Hal ini sesuai
dengan teori ekonomi bahwa harga memiliki hubungan negatif terhadap permintaan.
Pada gerombol pertama dugaan elastisitas harga yang dimiliki lebih kecil dari pada
gerombol kedua. Hal ini berarti peningkatan harga listrik di negara-negara pada
gerombol pertama mengakibatkan dampak penurunan konsumsi listrik yang lebih
kecil dibanding gerombol kedua.
Pada peubah pendapatan perkapita (x2), tanda dugaan parameter regresi
untuk kedua gerombol sama-sama bertanda positif yang berarti pada kelima puluh
negara tersebut listrik merupakan salah satu barang normal yang permintaannya
akan meningkat seiring dengan meningkatnya pendapatan. Akan tetapi peningkatan
konsumsi listrik akan jauh lebih besar ketika peningkatan pendapatan perkapita
terjadi pada negara-negara pada gerombol kedua dibanding pada gerombol pertama.
Terdapat perbedaan tanda pada nilai dugaan elastisitas pada peubah harga
gas (x3). Pada gerombol pertama dugaan elastisitas untuk x3 bertanda positif yang
berarti peningkatan harga gas akan meningkatkan pula besarnya konsumsi listrik.
Berdasarkan hal tersebut dapat diketahui bahwa negara-negara yang menjadi
anggota gerombol pertama ini menjadikan gas sebagai barang subtitusi (pengganti)
bagi listrik. Sebaliknya dengan gerombol kedua yang memiliki tanda dugaan
parameter regresi bagi x3 yang negatif yang berarti negara-negara yang menjadi
anggota gerombol tersebut merupakan negara-negara yang menjadikan gas sebagai
barang komplementer (pelengkap) bagi listrik dalam kehidupan sehari-harinya.
Berdasarkan hasil interpretasi tersebut, dirasa gerombol-gerombol yang
diperoleh telah sesuai dengan kondisi dunia nyata dan teori-teori yang ada.
Sehingga dapat dikatakan untuk gugus data konsumsi listrik ini telah cukup baik
jika menggunakan dua gerombol.
3.5

Nada

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0
1.5

2.0
2.5
Rasio peregangan nada

3.0

Gambar 4 Diagram pencar gugus data persepsi nada
Gugus data riil kedua yang digunakan pada penelitian ini adalah gugus data
persepsi nada yang pernah digunakan oleh D’Urso dan Santoro (2006). Gugus data
ini sebenarnya merupakan hasil penelitian Cohen (1984) pada empat musisi terlatih.

14
Akan tetapi data yang akan digunakan hanya data dari seorang musisi dengan 150
kali ulangan.
Sebuah nada dasar murni diperdengarkan kepada musisi tersebut. Kemudian
diperdengarkan nada tambahan yang dibangkitkan secara elektronik, penambahan
ini didasarkan oleh rasio peregangan x. Nilai x = 2.0 merupakan nilai yang sesuai
dengan pola harmonik yang biasa didengar pada alat musik tradisional. Musisi
tersebut kemudian diminta untuk memainkan nada satu oktav di atas nada dasar
yang telah diperdengarkan. Nilai y merupakan rasio dari nada yang dimainkan para
musisi yang telah disesuaikan dengan nanda dasar. Nilai y = 2.0 akan menjadi nada
yang benar untuk semua nilai x.
Tabel 10 Hasil penggerombolan yang diperoleh dari analisis
CLR pada gugus data persepsi nada
Banyaknya Gerombol
1
2
3
4
5

JKS total
7.748
0.902
0.412
0.150
0.080

R2adj
33.06%
92.09%
96.33%
98.64%
99.27%

KTS
0.052
0.006
0.003
0.001
0.001

0.05

KTS

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00
1

2

3

4

5

Banyaknya ge rombol

Gambar 5 Scree plot antara banyaknya gerombol dengan
nilai KTS pada gugus data persepsi nada
Seperti pada kesembilan gugus data sebelumnya, pada gugus data ini
diperoleh pula nilai JKS total, KTS, serta nilai R2adj yang semakin membaik seiring
dengan semakin banyaknya gerombol yang digunakan (Tabel 10). Akan tetapi
selaras dengan diagram pencar pada Gambar 4 dan hasil yang diperoleh D’Urso dan
Santoro (2006), dengan menggunakan scree plot (Gambar 5) sangat jelas sekali
terlihat bahwa untuk gugus data ini cukup dengan hanya menggunakan dua
gerombol. Selain itu keanggotaan gerombol yang diperoleh dengan analisis CLR
ini sama dengan keanggotaan gerombol yang diperoleh oleh D’Urso dan Santoro
(2006) dengan menggunakan metode fuzzy. Berikut merupakan dugaan persamaan
garis regresi untuk kedua gerombol tersebut :
Gerombol pertama : ŷ* = 0.02 + 0.98x*
Gerombol kedua : ŷ∗∗ = 1.93 + 0.04x**

Berdasarkan dugaan persamaan regresi tersebut dapat diketahui pada
gerombol pertama merupakan gerombol yang nada-nada yang dimainkan oleh
musisi tersebut merupakan nada yang murni dihasilkan dari nada tambahan pertama.

15
Sedangkan gerombol kedua merupakan gerombol yang nada-nada yang dimainkan
oleh musisi tersebut merupakan nada yang selalu benar (y = 2.0) untuk semua nada
tambahan yang dimainkan.
Seperti hasil yang diperoleh pada gugus data konsumsi listrik, pada gugus
data persepsi nada ini pun, berdasarkan hasil interpretasi yang telah dipaparkan
dirasa gerombol-gerombol yang diperoleh telah sesuai dengan kondisi dunia nyata
dan teori-teori yang ada. Sehingga dapat dikatakan untuk gugus data ini juga telah
cukup baik jika menggunakan dua gerombol.
Berdasarkan hasil yang diperoleh dari seluruh gugus data yang digunakan,
diketahui bahwa jika pada gugus-gugus data tersebut hanya dilakukan analisis
regresi linear klasik akan menghasilkan nilai JKS total dan KTS yang besar serta
nilai R2adj yang kecil. Hal ini menandakan bahwa masih besarnya keragaman yang
disebabkan oleh faktor lain di luar model dan masih kecilnya keragaman peubah
tidak bebas yang dapat dijelaskan oleh model. Akan tetapi ketika analisis CLR
dengan dua atau lebih gerombol diterapkan pada gugus data ini, terjadi penurunan
nilai JKS total dan KTS serta peningkatan nilai R2adj yang signifikan pada gugusgugus data tersebut. Sehingga sebenarnya pada gugus-gugus data tersebut terdapat
keheterogenan data yang membutuhkan dua atau lebih model regresi yang berbeda.
Oleh karena itu, dirasa cukup bermanfaat mengimplementasikan metode ini pada
gugus-gugus data tersebut.

KESIMPULAN
Secara keseluruhan analisis regresi linear bergerombol dengan metode
kuadrat terkecil ini telah cukup baik untuk digunakan. Metode ini telah mampu
menemukan gerombol-gerombol yang memiliki fungsi regresi yang berbeda-beda
yang dapat meminimumkam nilai JKS total serta memaksimumkan kesesuaian
seluruh data. Selain itu, berdasarkan nilai JKS total, KTS, dan nilai R2adj yang
diperoleh dari semua gugus data yang digunakan, metode ini cukup bermanfaat
untuk diimplementasikan, karena dapat mengatasi kenonlinearan dan
keheterogenan data yang ada sehingga dapat meningkatkan besarnya keragaman
yang dapat dijelaskan oleh model. Akan tetapi dikarenakan algoritma exchange ini
memiliki kompleksitas algoritma sebesar O(nk) sehingga mengakibatkan waktu
komputasi yang dibutuhkan oleh algoritma ini akan meningkat seiring bertambah
banyaknya amatan dan jumlah gerombol yang digunakan. Selain itu jika hasil dari
analisis ini dibandingkan dengan kondisi yang sebenarnya pada gugus data simulasi
diketahui masih terdapat salah penggerombolan, walaupun gerombol baru yang
dihasilkan ini menghasilkan nilai JKS total dan nilai R2adj yang lebih baik. Salah
penggerombolan ini disebabkan adanya pembauran amatan antar gerombol pada
satu gugus data.

16

SARAN
Penggunaan scree plot dalam menentukan banyak gerombol optimal yang
sebaiknya digunakan cukup dipengaruhi oleh subjektifitas peneliti dan dapat
menimbulkan perbedaan pendapat antar individu yang membacanya dalam
menentukan banyak gerombol yang sebaiknya digunakan. Sehingga sebaiknya
perlu dilakukan penelitian lebih lanjut mengenai uji formal yang dapat digunakan
untuk menentukan banyak gerombol yang sebaiknya digunakan.

DAFTAR PUSTAKA
Ari B. Guvenir HA. 2002. Clustered linear regression. KB Sys. 15(3):169-175.
Chatterjee S, Hadi AS. 2006. Regression Analysis by Example. Ed ke-4. Hoboken
(NJ): J Wiley.
Cohen E. 1984. Some effects of inharmonic partials on interval perception. Music
Perception. 1(3):323–349
D’Urso P, Santoro A. 2006. Fuzzy clusterwise linear regression analysis with
symetrical fuzzy output variable. CSDA. 51:287-313.
DeSarbo WS, Cron WL. 1988. A maximum likelihood methodology for clusterwise
linear regression. J Class. 5:249-282.
DeSarbo WS, Oliver RL, Rangaswamy A. 1989. A simulated annealing
methodology for clusterwise linear regression. Psychometrika. 54(4):707-736.
Lau K, Leung P, Tse K. 1999. A mathematical programming approach to
clusterwise regression model and its extensions. EJOR. 116(3):640652.doi:10.1016/s0377-2217(98)00052-6.
McCormick R.E. 1993. Managerial Economics. Inggris (GB): Prentice-Hall
Späth H. 1979. Algorithm 39 clusterwise linear regression. Computing. 22(4):367373.doi:10.1007/bf02265317.
Späth H. 1982. A fast algorithm for clusterwise linear regression. Computing.
29(2):175-181.doi:10.1007/bf02249940.
Zhu Z, Li Y, Kong N. 2012. Clusterwise linear regression with the least sum of
absolute deviations – an MIP approach. IJOR. 9(3):162−172.

17
Lampiran 1 Diagram pencar hasil penggerombolan dengan analisis CLR dua
gerombol untuk (a) gugus data pertama dan (b) gugus data kedua

9

13
12

7

11

6

10
Y-Data

Y-Data

8

5
4

9
8

3

7

2

6

1

5
4

0
0.0

0.5

1.0
X-Data

1.5

0.0

2.0

0.5

1.0
X-Data

(a)

1.5

2.0

(b)

Lampiran 2 Scree plot antara banyak gerombol yang digunakan dengan nilai KTS
untuk kedelapan gugus data
1
G ugus data pertama

3

5

G ugus data kedua

G ugus data ketiga
16

4

2
8

2

1

0

0

0
G ugus data keempat

G ugus data kelima

KTS

8

G ugus data keenam

10

2
5

4

1

0

0
G ugus data ketujuh

8

16

0
G ugus data kedelapan

8

4

0

0
1

3

5

Banyak gerombol

1

3

5

18

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta tanggal 02 Maret 1992, sebagai anak pertama
dari tiga bersaudara pasangan Sujono dan Sri Anah. Penulis lulus dari SMA Negeri
61 Jakarta pada tahun 2010 dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian
Bogor melalui jalur Ujian Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis diberikan
kesempatan untuk menempuh pendidikan sarjananya di Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB dengan minor Ekonomi
Studi Pembangunan. Pada semester 6, penulis juga berkesempatan melaksanakan
kegiatan praktik lapang di perusahaan Qasa Strategic Consulting di Jakarta Selatan.
Penulis selama melaksanakan studi di IPB tidak hanya aktif dalam bidang
akademik, tetapi juga dalam bidang non-akademik di dalam kampus. Selama
menempuh pendidikan di Institut Pertanian Bogor penulis berpengalaman menjadi
asisten dosen untuk mata kuliah Metode Statistika. Penulis juga aktif baik dalam
kegiatan Himpro, dan kepanitiaan-kepanitiaan. Pada dua periode masa bakti
Himpunan Profesi Mahasiswa Statistika Gamma Sigma Beta (GSB) pada tahun
2012-2013, penulis aktif sebagai staf dan sekertaris umum Departemen Analisis
Data Himpunan Profesi GSB.