Analisis Regresi Linear Gerombol Dengan Algoritma Pertukaran (Exchange Algorithm).

ANALISIS REGRESI LINEAR GEROMBOL DENGAN ALGORITMA
PERTUKARAN (EXCHANGE ALGORITHM)

MEGAWATI SUHARSONO PUTRI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul “Analisis Regresi Linear
Gerombol dengan Algoritma Pertukaran (Exchange Algorithm)” adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian
akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, Maret 2015

Megawati Suharsono Putri
G151120101

RINGKASAN
MEGAWATI SUHARSONO PUTRI. Analisis Regresi Linear Gerombol dengan
Algoritma Pertukaran (Exchange Algorithm). Dibimbing oleh BAGUS
SARTONO dan BUDI SUSETYO.
Analisis regresi linear pada suatu gugus data memiliki kemungkinan
mempunyai lebih dari satu model regresi. Model-model regresi linear tersebut
tidak dapat diduga dengan menggunakan satu model regresi, sehingga analisis
regresi linear standar tidak dapat digunakan. Kondisi tersebut diduga disebabkan
oleh adanya subpopulasi yang belum diketahui. Oleh karena itu, dibutuhkan
metodologi lain untuk mendeteksi gerombol tersembunyi tersebut untuk menduga
subpopulasi. Regresi linear gerombol merupakan salah satu jenis analisis regresi
yang penting dalam pendugaan model untuk data yang memiliki subpopulasi yang
belum diketahui. Regresi linear gerombol adalah teknik penggerombolan
berdasarkan karakteristik parameter regresi untuk menemukan dan merekonstruksi
struktur tersembunyi dari suatu contoh yang diambil secara acak dari populasi

yang memiliki subpopulasi yang belum diketahui.
Metode pendugaan parameter regresi yang digunakan pada penelitian ini
adalah metode kuadrat terkecil. Pengoptimuman amatan yang masuk ke dalam
gerombol
digunakan
algoritma
pertukaran.
Algoritma
pertukaran
menggerombolkan berdasarkan kemiripan karakteristik parameter regresi dengan
kriteria optimumnya adalah minimum jumlah dari jumlah kuadrat galat (JJKG).
Pada penelitian ini akan digunakan dua pendekatan yang berbeda pada proses
inisialisasi. Inisialisasi pertama menggunakan inisialisasi acak dan inisialisasi
yang kedua menggunakan inisialisasi regresi kekar yaitu least median of squares
(LMS).
Data pada penelitian ini terdiri dari dua sumber yaitu data simulasi dan data
kasus terapan. Data simulasi terdiri dari 2 gugus data dengan 2 gerombol, 3 gugus
data dengan 3 gerombol dan 1 gugus data tanpa gerombol. Data pada kasus
terapan yang digunakan yaitu data ekonomi, kesehatan dan pendidikan pada
anggaran pendapatan belanja daerah (APBD) terhadap data indeks pembangunan

manusia (IPM) seluruh kota/kabupaten di Jawa Timur tahun 2013.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa inisialisasi acak lebih baik dalam
pendugaan banyaknya subpopulasi dibandingkan inisialisasi LMS namun proses
komputasi inisialisasi acak lebih lama dibandingkan dengan inisialisasi LMS
karena inisialisasi acak menduga banyaknya subpopulasi dengan over-fitting.
Inisialisasi dengan LMS juga tidak dapat mendeteksi jika tidak terdapat gerombol
pada gugus data. Hasil pada kasus terapan menunjukkan bahwa gugus data
memiliki 2 gerombol berdasarkan identifikasi data produk domestik regional
bruto (PDRB) dan data pendidikan. Gerombol pertama merupakan gerombol kota
dan gerombol kedua merupakan gerombol kabupaten.
Kata kunci : analisis regresi, metode kuadrat terkecil, algoritma pertukaran,
regresi kekar, clusterwise

SUMMARY
MEGAWATI SUHARSONO PUTRI. Clusterwise Linear Regression Analysis
with Exchange Algorithm. Supervised by BAGUS SARTONO and BUDI
SUSETYO.
It is possible to have more than one regression model in a dataset. There is
no one model that fit for all, so that the standard linear regression cannot be used.
That condition is estimated caused by the existence of the unknown subpopulation.

Therefore, is required another methodology for detecting the underlying cluster to
estimate subpopulation. Clusterwise linear regression is one of the important
regression analysis for estimating data that has unknown subpopulation.
Clusterwise linear regression is a clustering technique based on parameters
regression characteristic, to find and reconstruct the hidden structure of sample
that taken from the population that has an unknown subpopulation by randomly.
Regression parameter estimation method that used in this study is ordinary
least square. Optimisation of observation that enter into clusters is used exchange
algorithm. Exchange algorithm is clustering based on similar regression parameter
characteristic with the optimum criteria is the minimum of sum of sum square
error. In this study, will consider two different approaches in initialization process.
The first initialization using random initialization and the second using robust
regression initialization that is least median of squares (LMS).
In this study, data is consisted two sources ie simulation data and case
applied data. Simulation data consists of 2 datasets with 2 clusters, 3 datasets with
3 clusters and 1 dataset without cluster. Case applied data that used is economic,
health and education data on regional government budget to human development
index for city/district in East Java in 2013.
The simulation results show that random initialization is better than LMS
initialization for estimating the number of subpopulation but random initialization

is longer than LMS initialization because random initialization estimates the
number of subpopulation by over-fitting. LMS inisialization can not detect if there
are no cluster in dataset. The result in case applied indicates that dataset has 2
clusters based on gross regional domestic product data and education data
identification. The first cluster is city cluster and the second cluster is district
cluster.
Keywords : regression analysis, ordinary least square, exchange algorithm,
robust regression, clusterwise

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah, dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

ANALISIS REGRESI LINEAR GEROMBOL DENGAN

ALGORITMA PERTUKARAN (EXCHANGE ALGORITHM)

MEGAWATI SUHARSONO PUTRI

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat
dan ridho-Nya, kesempatan, dan kesehatan yang dikaruniakan-Nya sehingga tesis
yang berjudul “Analisis Regresi Linear Gerombol dengan Algoritma Pertukaran
(Exchange Algorithm)” ini dapat terselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Bagus Sartono, SSi MSi
dan Bapak Dr Ir Budi Susetyo, MS selaku pembimbing, atas kesediaan dan
kesabaran untuk membimbing dan membagi ilmunya kepada penulis dalam
penyusunan tesis ini. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan sebesarbesarnya kepada seluruh Dosen Departemen Statistika IPB yang telah mengasuh
dan mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil menyelesaikan
studi, serta seluruh staf Departemen Statistika IPB atas bantuan, pelayanan, dan
kerjasamanya selama ini.
Ucapan terima kasih yang tulus dan penghargaan yang tak terhingga juga
penulis ucapkan kepada Ayahanda dan Ibunda tercinta H Drs. Suharsono, MM
dan Hj Dra. Masroya Budi Sri Mulyati Nasution, MM yang telah membesarkan
dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang demi keberhasilan penulis
selama menjalani proses pendidikan, juga adik-adikku tersayang Dewi Sri
Suharsono Putri dan Damar Lazuardi Suharsono Putra serta keluarga besarku atas
doa dan semangatnya.
Terakhir tak lupa penulis juga menyampaikan terima kasih kepada seluruh
mahasiswa Pascasarjana Departemen Statistika atas segala bantuan dan
kebersamaannya selama menghadapi masa-masa terindah maupun tersulit dalam
menuntut ilmu, serta semua pihak yang telah banyak membantu dan tak sempat
penulis sebutkan satu per satu.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.

Bogor, Maret 2015

Megawati Suharsono Putri

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang

Tujuan Penelitian

1
1
2

2 TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Linear Gerombol
Regresi Linear Gerombol dengan Algoritma Pertukaran
Least Median of Squares (LMS)

2
2
4
5

3 METODE PENELITIAN
Data
Metode Analisis

5
5
6

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Simulasi
Hasil Kasus Terapan

8
8
10

5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran

14
14
14

DAFTAR PUSTAKA

14

LAMPIRAN

16

RIWAYAT HIDUP

26

DAFTAR TABEL
1
2

Banyak gerombol (k), JJKG dan R-Square (%) pada tiap simulasi
dengan inisialisasi acak dan LMS
JKG, Adjusted R-Square (%) dan n inisialisasi acak dan LMS

10
12

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6

Diagram pencar antara peubah bebas (X) terhadap peubah tak bebas
(Y) untuk setiap simulasi
Scree Plot antara jumlah gerombol dengan nilai minimum JJKG pada
setiap simulasi
Diagram pencar antara presentase ekonomi (X1), kesehatan (X2) dan
pendidikan (X3) pada data APBD terhadap IPM (Y)
Scree plot antara jumlah gerombol dengan nilai minimum JJKG pada
kasus terapan
Plot antara lapangan usaha dengan rata-rata PDRB tiap gerombol (juta
Rupiah)
Plot antara jenjang pendidikan dengan proporsi jumlah penduduk tiap
gerombol

8
9
11
12
13
13

DAFTAR LAMPIRAN
1

Diagram pencar dengan garis regresi antara peubah bebas (X) terhadap
peubah tak bebas (Y) untuk setiap simulasi
2 Banyak gerombol (k), JKG, JJKG, Koefisien Regresi, R-Square (%)
dan n pada tiap simulasi dengan inisialisasi acak
3 Banyak gerombol (k), JKG, JJKG, Koefisien Regresi, R-Square (%)
dan n pada tiap simulasi dengan inisialisasi LMS
4 Diagram pencar dengan garis regresi linear gerombol antara peubah
bebas (X) terhadap peubah tak bebas (Y) untuk setiap simulasi dengan
inisialisasi acak
5 Diagram pencar dengan garis regresi linear gerombol antara peubah
bebas (X) terhadap peubah tak bebas (Y) untuk setiap simulasi dengan
inisialisasi LMS
6 Data presentase ekonomi (X1), kesehatan (X2) dan pendidikan (X3)
pada data APBD dan IPM (Y)
7 Banyak gerombol (k), JKG, JJKG, Koefisien Regresi, Adjusted RSquare (%) dan n pada kasus terapan dengan inisialisasi acak
8 Banyak gerombol (k), JKG, JJKG, Koefisien Regresi, Adjusted RSquare (%) dan n pada kasus terapan dengan inisialisasi LMS
9 Kota/Kabupaten Provinsi Jawa Timur yang terbentuk pada inisialisasi
acak dengan 2 gerombol
10 Kota/Kabupaten Provinsi Jawa Timur yang terbentuk pada inisialisasi
acak dengan 3 gerombol

16
16
19

19

20
20
21
22
22
23

11 Kota/Kabupaten Provinsi Jawa Timur yang terbentuk pada inisialisasi
LMS
12 Proporsi jumlah penduduk pada setiap jenjang pendidikan
Kabupaten/Kota Provinsi Jawa Timur pada setiap gerombol dengan
inisialisasi acak 3 gerombol
13 Proporsi jumlah penduduk pada setiap jenjang pendidikan
Kabupaten/Kota Provinsi Jawa Timur pada setiap gerombol dengan
inisialisasi acak 2 gerombol
14 Rata-rata PDRB pada setiap lapangan usaha Kabupaten/Kota Provinsi
Jawa Timur pada setiap gerombol dengan inisialisasi acak 3 gerombol
15 Rata-rata PDRB pada setiap lapangan usaha Kabupaten/Kota Provinsi
Jawa Timur pada setiap gerombol dengan inisialisasi acak 2 gerombol

23

24

24
25
25

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis regresi merupakan teknik statistika yang digunakan untuk menelaah
hubungan fungsional dari satu atau beberapa peubah bebas terhadap satu peubah
tak bebas dan terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum
diketahui dengan sempurna (Aunuddin 1989). Kumpulan titik-titik yang dapat
dihubungkan oleh suatu garis atau kurva tertentu disebut dengan garis regresi.
Kumpulan titik-titik terkadang terdapat lebih dari satu, sehingga apabila
kumpulan-kumpulan titik-titik tersebut dibentuk menjadi satu garis regresi maka
akan terjadi kesalahan pendugaan. Kumpulan-kumpulan titik-titik yang
membentuk lebih dari satu garis regresi diduga disebabkan oleh adanya
subpopulasi yang belum diketahui. DeSarbo dan Cron (1988) menyatakan bahwa
jika regresi linear standar digunakan untuk menduga data yang memiliki
subpopulasi yang belum diketahui, maka akan menyebabkan kesalahan pendugaan
model sehingga memiliki koefisien determinasi yang kecil.
Sebagai ilustrasi, bagian pemasaran ingin melihat hubungan antara harga
terhadap pembelian suatu barang. Diagram pencar antara harga dan pembelian
suatu barang membentuk dua kumpulan titik-titik atau gerombol. Gerombol
pertama memiliki koefisien regresi (kemiringan) yang negatif besar, sedangkan
gerombol kedua memiliki koefisien regresi (kemiringan) yang negatif kecil.
Intersep gerombol pertama juga lebih besar bila dibandingkan gerombol kedua.
Setelah diidentifikasi, gerombol pertama merupakan kelompok ekonomi lemah
dan gerombol kedua merupakan kelompok ekonomi kuat. Informasi yang
didapatkan jika hanya menggunakan analisis regresi linear standar terbatas pada
koefisien regresi (kemiringan) yang negatif dan pendugaan menjadi tidak tepat
sasaran.
Pendugaan satu set koefisien-koefisien regresi pada populasi yang terdiri
dari beberapa subpopulasi yang tidak diketahui akan menjadi suatu permasalahan
dan berpotensi menyesatkan. Perlu adanya penggerombolan berdasarkan
karakteristik parameter regresi sehingga dapat menduga subpopulasi yang belum
diketahui (DeSarbo et al. 1989). Menurut DeSarbo dan Cron (1988), regresi linear
gerombol merupakan salah satu jenis regresi yang penting dalam pendugaan
model untuk data yang memiliki subpopulasi yang belum diketahui. Regresi linear
gerombol atau biasa dikenal dengan Clusterwise linear regression (CLR) adalah
teknik penggerombolan berdasarkan karakteristik parameter regresi untuk
menemukan dan merekonstruksi struktur tersembunyi dari suatu contoh yang
diambil secara acak dari populasi yang memiliki subpopulasi yang belum
diketahui (Qian dan Wu 2011).
Regresi linear gerombol diperkenalkan pertama kali oleh Spath pada tahun
1979. Spath (1979) memperkenalkan sebuah algoritma yang bernama algoritma
pertukaran (exchange algorithm) untuk meminimumkan jumlah dari jumlah
kuadrat pada regresi linear gerombol. Spath (1982) memodifikasi programnya
untuk mempercepat proses komputasi. DeSarbo dan Cron (1988) mengusulkan
metode pendugaan kemungkinan maksimum untuk regresi linear gerombol
dengan memanfaatkan algoritma ekspektasi maksimisasi (EM) dalam
memaksimumkan fungsi log-kemungkinan. Qian dan Wu (2011) menggunakan

2
algoritma pertukaran dan memanfaatkan analisis regresi kekar (robust) pada tahap
inisialisasi untuk menduga banyaknya subpopulasi.
Metode pendugaan parameter regresi yang digunakan pada penelitian ini
adalah metode kuadrat terkecil. Pengoptimuman amatan yang masuk ke dalam
gerombol
digunakan
algoritma
pertukaran.
Algoritma
pertukaran
menggerombolkan berdasarkan kemiripan karakteristik parameter regresi dengan
kriteria optimumnya adalah minimum dari jumlah dari jumlah kuadrat galat
(JJKG). Inisialisasi pada algoritma ini menggunakan inisialisasi acak dan
menggunakan salah satu metode regresi kekar (robust) yaitu least median of
squares (LMS).
Data pada penelitian ini terdiri dari dua sumber yaitu data simulasi dan data
kasus terapan. Data simulasi terdiri dari 2 gugus data dengan 2 gerombol, 3 gugus
data dengan 3 gerombol dan 1 gugus data tanpa gerombol. Data pada kasus
terapan yang digunakan yaitu data ekonomi, kesehatan dan pendidikan pada
anggaran pendapatan belanja daerah (APBD) terhadap data indeks pembangunan
manusia (IPM) seluruh kota/kabupaten di Jawa Timur tahun 2013.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini, antara lain :
1. Menentukan gerombol yang optimum berdasarkan karakteristik parameter
regresi melalui analisis regresi linear gerombol dengan algoritma pertukaran.
2. Membandingkan kecepatan iterasi dan jumlah dari jumlah kuadrat galat
(JJKG) antara inisialisasi acak dan menggunakan metode regresi kekar yaitu
least median of squares.

2 TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Linear Gerombol
Regresi linear gerombol atau biasa dikenal dengan clusterwise linear
regression (CLR) adalah teknik penggerombolan berdasarkan karakteristik
parameter regresi untuk menemukan dan merekonstruksi struktur tersembunyi
dari suatu contoh yang diambil secara acak dari populasi yang memiliki
subpopulasi yang belum diketahui (Qian & Wu 2011). Regresi linear gerombol
pertama kali diperkenalkan oleh Spath pada tahun 1979 dengan menggunakan
algoritma pertukaran. Spath (1979) menentukan jumlah gerombol dengan
menggunakan over-fitting dari jumlah gerombol terkecil sampai jumlah gerombol
yang memiliki galat minimum yaitu dengan penurunan galat yang sudah tidak
signifikan antar dugaan jumlah gerombol. Jumlah gerombol yang tepat dapat
mengoptimumkan pengamatan-pengamatan yang masuk ke dalam gerombol
dengan tepat sehingga meminimumkan galat.
Model umum regresi linear gerombol:
k

p

y j   aij xlj bli  e j
i 1 l 1

3
dengan:
j = 1, 2, …, n
l = 1, 2, …, p
i = 1, 2, …, k
y j = pengamatan ke-j untuk peubah tak bebas y

x jl = pengamatan ke-j untuk peubah bebas ke-l

bl i = koefisien regresi ke-l pada gerombol ke-i

1, pengamatan ke- j pada gerombol ke- i
a ji = 
0, lainnya
e j = galat pengamatan ke-j, ej ~ N 0,  i2





Tujuan analisis regresi linear gerombol adalah menduga a ji dan bl i dengan
meminimumkan:
2

p
k


    y j   aij xlj bli 
j 1 
i 1 l 1

 n
Misalkan terdapat pengamatan   1, 2,..., n dengan asosiasi masingn

masing titik

 x1, y1  ,...,  xn , yn  ,

dengan

∈ ℝ� adalah vektor peubah bebas

berdimensi p dan � ∈ ℝ adalah peubah tak bebas pada pengamatan ke-j
 j  1, 2,...,n  . n pengamatan diasumsikan contoh acak dari populasi yang

memiliki sub-populasi sebanyak k0 dengan karakteristik masing-masing subpopulasi digambarkan dengan parameter analisis regresi yang belum diketahui.
Sebanyak n pengamatan dari populasi tersebut dipartisi menjadi
 kn0   1n ,...,k0n dan masing-masing subpopulasi in  ii ,..., ini   n







direpresentasikan dengan
� = � � � � + �� � ,
dengan

= � 1, … , � �

�

′

, �� =

�

��� ~�

,…,

���

′



, �� � � �

adalah matriks berukuran

ni  p dalam subpopulasi � , ��� adalah vektor galat acak berukuran � , �
adalah matriks identitas berukuran  ni  ni  dan ni  i , untuk i  1,..., k0 .

n  n1  ...  nk0 dengan k0  K , dengan K adalah bilangan integer positif.
Analisis yang dilakukan pada analisis regresi linear gerombol adalah
menduga jumlah subpopulasi  k0  lalu mengklasifikasikan masing-masing
pengamatan dan menduga parameter-parameter regresi pada masing-masing
gerombol. Langkah pertama untuk menduga k0 adalah mempartisi n pengamatan

    C   ,..., C    , k  K dengan K adalah bilangan integer positif.
n
k

n

1

n

k

n

Ci    n  1,..., n , Ci  0, Ci  Ci c   ,  Ci    n
i 1

4
Untuk dapat menduga parameter-parameter regresi pada tiap-tiap gerombol
dibutuhkan penambahan kondisi Ci  p . Masing-masing partisi k diduga dengan
metode kuadrat terkecil sehingga didapatkan nilai dugaan � , = 1, … , .
2
n

�� 
= =1
,
� −�
� ��
C�
C�
k
dan k untuk menduga k0 dengan kriteria optimum:
��

�

  n 
= min min Dn   
1 k  K
 n
k 

k

Tetapkan k berdasarkan data sehingga k  C1 ,..., Ck  . Untuk
mendapatkan penggerombolan optimal pada regresi gerombol adalah dengan
meminimumkan jumlah dari jumlah kuadrat galat (JJKG) antar gerombol. Ukuran
kebaikan model yang digunakan yaitu
2

� k =

=1

Ci

′

−�

Ci

��

dengan � , = 1, … , adalah penduga-penduga yang diperoleh berdasarkan
metode kuadrat terkecil untuk C1 ,..., Ck  .
Regresi Linear Gerombol dengan Algoritma Pertukaran
Metode pendugaan parameter regresi yang digunakan pada penelitian ini
adalah metode kuadrat terkecil. Pengoptimuman amatan yang masuk ke dalam
gerombol
digunakan
algoritma
pertukaran.
Algoritma
pertukaran
menggerombolkan berdasarkan kemiripan karakteristik parameter regresi dengan
kriteria optimumnya adalah minimum dari jumlah dari jumlah kuadrat galat
(JJKG). berdasarkan metode kuadrat terkecil. Hal ini dapat diartikan relokasi
amatan pada k gerombol sudah mencapai optimum karena memiliki galat
minimum. Ketepatan perelokasian amatan bergantung pada inisialisasi. Inisialisasi
yang digunakan Spath (1979) yaitu dengan pj = 1 + mod(j-1,k).
Inisialisasi yang digunakan pada penelitian ini yaitu dengan menggunakan
inisialisasi acak dimana setiap amatan memiliki kemungkinan yang sama untuk
menjadi anggota gerombol ke-i pada k gerombol. Penentuan jumlah gerombol
pada penelitian ini menggunakan over-fiiting. Minimum JJKG pada jumlah
gerombol (k) terkecil yaitu satu gerombol akan dibandingkan dengan minimum
JJKG jumlah gerombol-gerombol setelahnya. Jika penurunan fungsi objektif
JJKG sudah tidak signifikan dengan jumlah gerombol setelahnya, maka jumlah
gerombol tersebut merupakan jumlah gerombol terbaik.
Jika nilai inisialisasinya berbeda, maka akan menghasilkan anggota yang
berbeda pada setiap gerombol. Oleh karena itu, dibutuhkan banyak perulangan
untuk mendapatkan gerombol yang paling optimum diantara gerombol optimum
yang sudah terbentuk pada algoritma pertukaran. Gerombol yang paling optimum
tersebut didapat dengan membandingkan nilai JJKG akhir pada akhir proses
algoritma pertukaran. Nilai JJKG yang paling minimum merupakan gerombol
yang terbaik untuk k gerombol.

5
Proses yang bertahap pada over-fitting mengakibatkan lamanya proses
komputasi. Qian dan Wu (2010) memanfaatkan konsistesi pada analisis regresi
kekar (robust) untuk menentukan jumlah gerombol dan inisialisasi. Penentuan
jumlah gerombol dan inisialisasi yang simultan pada sekali proses akan
mempercepat proses komputasi. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan
digunakan inisialiasi acak dan inisialisasi regresi kekar untuk membandingkan
ketepatan penggerombolan. Analisis regresi kekar yang digunakan pada penelitian
ini yaitu least median of squares (LMS).
Least Median of Squares (LMS)
Least median of squares adalah salah satu metode regresi kekar (robust).
Kelebihan dari metode regresi kekar adalah kurang peka dibandingkan metode
kuadrat terkecil terhadap penyimpangan yang sering terjadi dari asumsi regresi
linear (Draper 1981). Analisis regresi kekar digunakan untuk mengatasi
penyimpangan-penyimpangan sebagai pengganti metode kuadrat terkecil.
Menurut Rousseeuw (1984), dengan menggunakan median dari kuadrat galat akan
dihasilkan penduga yang lebih kekar terhadap pencilan.
Misalkan diberikan sebuah gugus data contoh berukuran � dan akan diduga
� berdimensi � yang berisi parameter dari gugus data tersebut. Langkah-langkah
yang diperlukan pada LMS menurut Yingying (2009) yaitu:
1. Tentukan ukuran subset u, jumlah subset v dan tentukan juga batas kesalahan
yang diinginkan �.
2. Secara acak, ambil v buah subset berukuran u dari contoh berukuran n. Duga
2
parameter �ℎ untuk setiap subset. Hitung median dari kuadrat galat ��ℎ
pada
setiap subset dengan g = 1,2,…,u dan h = 1,2,…,v.
3. Definisikan:
2
mT2  min med egh
h

g

 

4. Hitung:
�0 = 1.4826 1 +

5. Hitung bobot � , dengan � = 1

�

�0
�

5
�−�

mT2

≤ � dan � =

�0
�

untuk lainnya.

6. Berikan bobot � kepada setiap pengamatan.
7. Lakukan pendugaan parameter dengan metode kuadrat kecil terboboti dengan
� sebagai bobot untuk mendapatkan � akhir.

3 METODE PENELITIAN
Data
Data dalam penelitian ini terdiri dari dua sumber yaitu data simulasi dan data
kasus terapan. Data simulasi terdiri dari:
1.

Gugus data terdiri dari 2 gerombol dengan kemiringan sama dan intersep
berbeda. Masing-masing gerombol berukuran 30 amatan.

6
2.
3.
4.
5.
6.

Gugus data terdiri dari 2 gerombol dengan kemiringan berlawanan. Masingmasing gerombol berukuran 30 amatan.
Gugus data terdiri dari 3 gerombol yang saling berpotongan. Masing-masing
gerombol berukuran 30 amatan.
Gugus data terdiri dari 3 gerombol dengan dua gerombol berdekatan. Masingmasing gerombol berukuran 30 amatan.
Gugus data terdiri dari 3 gerombol dengan kemiringan dan intersep berbeda.
Masing-masing gerombol berukuran 30 amatan.
Data tanpa gerombol dengan ukuran amatan 402.

Data kasus terapan yang digunakan dalam penelitian ini adalah data Indeks
Pembangunan Manusia (IPM) seluruh kota/kabupaten di Jawa Timur tahun 2013
yang dikeluarkan oleh Badan Pusat Statistika dari situs web www.bps.go.id dan
data Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD) seluruh kota/kabupaten di
Jawa Timur tahun 2013 yang dikeluarkan oleh Direktorat Jenderal Perimbangan
Keuangan, Kementerian Keuangan dari situs web www.djpk.kemenkeu.go.id
Banyaknya kabupaten/kota Provinsi Jawa Timur sebesar 38. Data IPM digunakan
sebagai peubah tak bebas (Y). Data APBD berupa 9 komponen yaitu pelayanan
umum, ketertiban dan ketentraman, ekonomi, lingkungan hidup, perumahan dan
fasilitas umum, kesehatan, pariwisata dan budaya, pendidikan, dan perlindungan
sosial.
Data APBD yang digunakan sebagai peubah bebas berupa 3 komponen yaitu
ekonomi (X1), kesehatan (X2) dan pendidikan (X3). Komponen-komponen yang
digunakan merupakan proporsi/presentase dari jumlah total keseluruhan
komponen APBD untuk tiap kota/kabupaten di Jawa Timur. Identifikasi
penggerombolan menggunakan data produk domestik regional bruto (PDRB) dan
data pendidikan kabupaten/kota Provinsi Jawa Timur yang dikeluarkan oleh
Badan Pusat Statistika dari situs web www.bps.go.id.
Metode Analisis
Eksplorasi Data
Membuat diagram pencar masing-masing peubah bebas terhadap peubah tak
bebas. Jika pada diagram pencar mengindikasikan adanya gerombol, maka dapat
digunakan analisis regresi linear gerombol.
Pemodelan
Analisis regresi linear gerombol menduga jumlah subpopulasi lalu
menggerombolkan masing-masing pengamatan dan menduga parameterparameter regresi pada masing-masing gerombol. Pendugaan jumlah subpopulasi
dilakukan pada tahap inisialisasi. Penggerombolan masing-masing pengamatan
dan pendugaan parameter regresi dilakukan dengan menggunakan algoritma
pertukaran. Berikut adalah tahapan pada inisialisasi dan algoritma pertukaran:
1. Inisialisasi
Inisialisasi yang digunakan pada algoritma pertukaran menggunakan
inisialisasi acak dan menggunakan salah satu metode regresi kekar (robust)
yaitu least median of squares (LMS). Algoritma pada inisialisasi acak dan
LMS yaitu:

7
a. Inisialisasi acak
Membagi amatan-amatan ke dalam k gerombol secara acak. Jika
ukuran masing-masing gerombol kurang dari parameter, maka dilakukan
pengacakan ulang.
b. Inisialisasi dengan metode regresi kekar.
Semua pengamatan diberikan inisial partisi   1, 2,..., n . Suatu
gerombol dinotasikan dengan C dan komplemen dari gerombol
dinotasikan dengan C c . Tahap-tahap inisialisasi regresi kekar pada
algoritma pertukaran yaitu:
(i) Menduga � untuk keseluruhan dataset dengan menggunakan metode
regresi kekar (robust) yaitu metode least median of squares.
(ii) Meletakkan semua pengamatan yang mempunyai jarak regresi
kurang dari nilai tertentu, misalkan  ke dalam C1. Jika C1 dan

C1c keduanya lebih besar atau sama dengan nilai integer yang sudah
ditentukan dari awal yaitu p, maka  =1 dan lanjutkan pada tahap
selanjutnya. Jika tidak, maka  = 0 dan dilanjutkan ke tahap (v).
(iii) Berdasarkan dataset





i 1

Cic , dugalah � dengan menggunakan

analisis least median of squares yang digunakan pada tahap (i).
(iv) Meletakkan semua pengamatan pada





i 1

Cic yang mempunyai jarak

regresi kurang dari  ke dalam C1 berdasarkan analisis least
median of squares. Jika C1 dan



 1

i 1

Cic keduanya  p, maka

tetapkan     1 dan ulangi ke tahap (iii). Jika tidak, maka
lanjutkan ke tahap (v).





(v) Inisialkan masing-masing partisi dengan C1 ,..., C , i 1 Cic dengan


 >1 atau keseluruhan dataset itu sendiri jika  = 0.
2.

Algoritma Pertukaran
Tahap-tahap pada algoritma pertukaran yaitu:
(i) Memberikan label masing-masing pengamatan pada contoh dari 1
sampai n. Lalu berikan inisial partisi k  C1 ,..., Ck  berdasarkan

  1, 2,..., n . Dugalah parameter regresi dengan metode kuadrat

terkecil (MKT) untuk masing-masing k gerombol dan hitunglah jumlah
dari jumlah kuadrat galat JJKG0 untuk partisi ini. Inisialisasi i = 0.
(ii) Menetapkan i  i  1 dan i = 1 jika i > n. Misalkan i C j , lalu pindahkan
i ke dalam Ch , h  1,..., k dan h  j . Untuk masing-masing k – 1
relokasi, dugalah kembali model-model regresi dengan MKT untuk
gerombol-gerombol yang telah diubah dan hitunglah keseluruhan JJKG.
JJKG terkecil dinotasikan dengan JJKGh . Jika JJKGh  JJKG0 , maka
tetapkan Cj  Cj  i, Ch  Ch  i dan tetapkan JJKGh  JJKG0 . Jika

8

JJKGh  JJKG0 , maka i tetap dalam C j . Jika ukuran j kurang dari

3.

4.

parameternya, maka proses pemindahan i pada C j berhenti.
(iii) Mengulangi tahap (ii) pada algoritma pertukaran sampai fungsi objektif
JJKG tidak dapat diturunkan lagi, yang mana artinya sudah tidak
dibutuhkan relokasi pengamatan dan penggerombolan sudah optimum
yaitu memiliki JJKG paling minimum untuk ukuran gerombol k.
Pendugaan parameter pada setiap kemungkinan gerombol akan dilakukan
sebanyak 100 kali perulangan. Dari perulangan tersebut, maka dihitung nilai
minimum dari minimum JJKG pada setiap kemungkinan gerombol.
Mendeskripsikan masing-masing gerombol.

Kebaikan Model
Ukuran kebaikan model digunakan untuk memilih model yang terbaik
diantara model yang terbentuk. Ukuran kebaikan model yang digunakan pada
penelitian ini yaitu dengan jumlah dari jumlah kuadrat galat (JJKG). Semakin
kecil nilai JJKG, maka semakin kecil perbedaan antara nilai dugaan dengan nilai
aktual, yang berarti model yang dibentuk semakin akurat dalam menghasilkan
nilai dugaan.

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Simulasi
Diagram pencar untuk setiap simulasi antara masing-masing peubah bebas
terhadap peubah tak bebas tertera pada Gambar 1.
Simulasi 1

Simulasi 2

Simulasi 3

Simulasi 4

Simulasi 5

Simulasi 6

Gambar 1 Diagram pencar antara peubah bebas (X) terhadap peubah tak bebas
(Y) untuk setiap simulasi

9
Pada data simulasi akan digunakan analisis regresi linear gerombol untuk
menduga model regresi setiap gerombol. Jumlah gerombol digunakan untuk
menduga banyaknya subpopulasi yang belum diketahui. Inisialisasi acak
menentukan jumlah gerombol dengan menggunakan over-fitting dari gerombol
terkecil sampai gerombol dengan penurunan galat yang sudah tidak signifikan
antar dugaan banyaknya gerombol.
Simulasi 2

Jumlah Gerombol

Simulasi 6

Simulasi 5

JJKG

JJKG

JJKG

Jumlah Gerombol

Jumlah Gerombol

Simulasi 4

Jumlah Gerombol

Simulasi 3

JJKG

JJKG

JJKG

Simulasi 1

Jumlah Gerombol

Jumlah Gerombol

Gambar 2 Scree Plot antara jumlah gerombol dengan nilai minimum JJKG pada
setiap simulasi
Pada Gambar 2, JJKG untuk simulasi 1 dan 2 cut off pada 2 gerombol dan
setelah 2 gerombol tidak menurun signifikan sehingga dapat disimpulkan jumlah
gerombol untuk simulasi 1 dan 2 yaitu 2 gerombol. Pada simulasi 3, 4 dan 5,
JJKG cut off pada 3 gerombol dan setelah 3 gerombol tidak menurun signifikan
sehingga dapat disimpulkan jumlah gerombol pada simulasi 3, 4 dan 5 yaitu 3
gerombol. Pada simulasi 6, JJKG tidak memiliki titik cut off sehingga dapat
disimpulkan simulasi 6 tidak memiliki gerombol. Hal tersebut sesuai dengan
pembentukan awal jumlah gerombol.
Pada inisialisasi LMS dengan   1.645 , jumlah gerombol yang
didapatkan berbeda pada simulasi 4 dan 6. Pada simulasi 4, inisialisasi LMS
menghasilkan 2 gerombol dan pada simulasi 6 inisialisasi LMS menghasilkan 3
gerombol. Hal tersebut berbeda dengan pembentukan awal jumlah gerombol.
Algoritma pertukaran pada simulasi 1 dan 2 dengan inisialisasi acak
membutuhkan waktu rata-rata 0.94 detik dari 100 kali perulangan dengan k=2.
Jika menggunakan inisialisasi LMS, rata-rata waktu yang dibutuhkan yaitu 0.62
detik. Rata-rata waktu yang dibutuhkan algoritma pertukaran pada simulasi 3 dan
5 dengan k=3 pada inisialisasi acak yaitu 5.54 detik, sedangkan pada inisialisasi
LMS yaitu 2.47 detik. Perbedaan waktu iterasi tersebut dikarenakan
penggerombolan pada inisialisasi LMS sudah hampir mendekati penggerombolan
akhir sehingga proses iterasi lebih cepat. Processor yang digunakan yaitu Intel(R)
Core(TM) i5-3337U CPU @ 1.80GHz dengan RAM 4.00 GB dan System Type
64-bit.

10
Tabel 1 Banyak gerombol (k), JJKG dan R-Square (%) pada tiap simulasi dengan
inisialisasi acak dan LMS
Inisialisasi Acak
Simulasi

k

JJKG

1

1
2

21864.51
1131.00

2

1
2

19167.33
1170.30

3

1
3

66998.51
2450.01

4

1
3

195906.60
6988.30

5

1
3

43345.73
1965.47

Inisialisasi LMS
R-Square
(%)
42.70
95.82
6.70
93.99
5.29
91.74
39.17
82.37
33.41
89.95

Simulasi

K

JJKG

1

1
2

21864.51
1131.00

2

1
2

19167.33
1170.30

3

1
3

66998.51
2450.01

4

1
2

195906.60
27933.69

5

1
3

43345.73
1965.47

6

1
3

7610.07
870.57

R-Square
(%)
42.70
95.82
6.70
93.99
5.29
91.74
39.17
40.14
33.41
89.95
0.00
1.75

Pada inisialisasi acak, ketika data sudah digerombolkan terlihat JJKG
menurun secara signifikan dan R-Square meningkat secara signifikan. Banyaknya
gerombol pada inisialisasi acak sesuai dengan banyaknya gerombol pada data
simulasi yang dibentuk. Kesalahan klasifikasi diduga disebabkan pengamatan
yang berdekatan antar gerombol namun hal tersebut tidak berpengaruh secara
signifikan pada nilai JJKG.
Inisialisasi dengan LMS menduga banyaknya gerombol sekaligus
memisahkan parameter-parameter regresi pada tiap gerombol secara simultan
sehingga penentuan banyaknya gerombol tidak secara bertahap. Dengan
menggunakan   1.645 , inisialisasi LMS menghasilkan hasil yang sama
dengan inisialisasi acak kecuali pada simulasi 4 dan 6. Pada simulasi 4, inisialisasi
dengan LMS menghasilkan 2 gerombol. Pada simulasi 6 yang tidak memiliki
gerombol, inisialisasi dengan LMS menghasilkan 3 gerombol. Maka dapat
disimpulkan bahwa inisialisasi acak lebih baik dalam penentuan banyaknya
gerombol namun lebih lama dalam proses komputasi karena penentuan gerombol
harus menggunakan over-fitting.
Hasil Kasus Terapan
Tujuan utama pembangunan yang dilaksanakan oleh setiap negara adalah
menciptakan kesejahteraan bagi setiap warganya. Perserikatan Bangsa-Bangsa
(PBB) telah menetapkan ukuran pencapaian pembangunan manusia pada suatu
negara diukur dengan indeks pembangunan manusia (IPM) yang berbasis
sejumlah komponen dasar kualitas hidup. Perhitungan angka IPM terdiri dari tiga
indeks yaitu indeks kesehatan berupa angka harapan hidup (AHH) dalam satuan
tahun, indeks pendidikan berupa persentase penduduk dan angka rata-rata lama
sekolah (RLS) dalam satuan tahun dan indeks daya beli berupa pengeluaran per
kapita dalam satuan mata uang. Seiring dengan diberlakukannya otonomi daerah,

11
maka upaya peningkatan IPM selain menjadi tanggung jawab pemerintah pusat
juga menjadi tanggung jawab pemerintah daerah di seluruh Indonesia. Menurut
Wibowo (2008), salah satu modal dasar utama bagi daerah untuk meningkatkan
kualitas pembangunan manusia adalah dana pembangunan yang tertuang dalam
anggaran pendapatan belanja daerah (APBD).
Menurut Mankiw (2003), alat ukur pertumbuhan ekonomi suatu daerah
yang utama adalah produk domestik regional bruto (PDRB). Dengan
menggunakan data PDRB, maka dapat dilihat pemerataan pembangunan suatu
daerah. Oleh karena itu, data PDRB digunakan untuk membandingkan pemerataan
pada setiap lapangan usaha untuk setiap kabupaten/kota Provinsi Jawa Timur.
Data pendidikan penduduk Jawa Timur juga digunakan untuk melihat pemerataan
pendidikan kabupaten/kota Provinsi Jawa Timur.
Deskripsi data antara masing-masing peubah bebas terhadap peubah tak
bebas perlu dilakukan sebagai informasi awal untuk mengetahui indikasi adanya
gerombol. Diagram pencar dapat membantu menentukan adanya penggerombolan
(DeSarbo et al. 1989).

Gambar 3 Diagram pencar antara presentase ekonomi (X1), kesehatan (X2)
dan pendidikan (X3) pada data APBD terhadap IPM (Y)
Pada Gambar 3, diagram pencar antara ekonomi dengan IPM tidak
membentuk garis linear dan mengindikasikan adanya gerombol. Pada diagram
pencar antara kesehatan dengan IPM juga tidak membentuk garis linear. Diagram
pencar mengindikasikan adanya gerombol yaitu pada bagian atas cenderung
memiliki kemiringan positif sedangkan bagian bawah cenderung memiliki
kemiringan negatif. Pada diagram pencar antara pendidikan dan IPM terlihat data
tidak membentuk pola linear dan cenderung memusat pada beberapa titik
sehingga mengindikasikan adanya gerombol. Jika menggunakan analisis regresi
linear, adjusted R-Square hanya sebesar 27.63%.
Tahapan inisialisasi acak yaitu dengan menggunakan over-fitting untuk
menentukan jumlah gerombol. Hal tersebut terlihat pada scree plot Gambar 4.

JJKG

12

Jumlah Gerombol

Gambar 4 Scree plot antara jumlah gerombol dengan nilai minimum JJKG pada
kasus terapan
Pada Gambar 4 terlihat JJKG cut off pada dua gerombol dan tiga gerombol
dan setelah tiga gerombol cenderung menurun secara tidak signifikan. Oleh
karena itu, banyaknya gerombol yang ditetapkan adalah 3 gerombol. Model
regresi linear pada masing-masing gerombol adalah:
Y1  159.66  460.39 X1  381.74 X 2  43.28 X 3  e

Y2  67.14  128.79 X1  35.64 X 2  10.82 X 3  e
Y3  54.23  125.42 X1  18.05 X 2  59.28 X 3  e
Gerombol yang diperoleh dengan inisialisasi LMS dengan menggunakan

  1.645 yaitu 2 gerombol. Model analisis regresi linear pada masing-masing
gerombol adalah:

Y1  73.96  150.16 X1  34.74 X 2  33.54 X 3  e
Y2  50.31  105.13 X1  2.11X 2  58.04 X 3  e
Tabel 2 JKG, Adjusted R-Square (%) dan n inisialisasi acak dan LMS
Inisialisasi
Acak

LMS

2 Gerombol
Adj R-Square (%) n
JKG
24.01
73.61 20
68.09
61.65 18
92.10
83.58
45.23
128.81

58.86
76.46

38
19
19
38

3 Gerombol
Adj R-Square (%) n
JKG
3.31
98.47 11
12.75
80.04 18
1.44
95.49 9
17.50
38

Pada Tabel 2, inisialisasi acak menghasilkan tiga gerombol dengan JJKG
17.50 sedangkan inisialisasi LMS menghasilkan dua gerombol dengan JJKG
128.81. Pada 2 gerombol, terlihat nilai JJKG inisialisasi acak lebih kecil
dibandingkan inisialisasi LMS sehingga model inisialisasi acak lebih baik. Oleh
karena itu, inisialisasi acak digunakan untuk identifikasi gerombol.
Identifikasi gerombol yang akan digunakan yaitu rata-rata produk domestik
regional bruto (PDRB) untuk membandingkan pemerataan lapangan usaha pada
setiap gerombol di Provinsi Jawa Timur. Data pendidikan penduduk Jawa Timur

13

PDRB (juta Rupiah)

PDRB (juta Rupiah)

juga digunakan untuk melihat pemerataan pendidikan tiap gerombol di Provinsi
Jawa Timur.

Lapangan Usaha

Lapangan Usaha

Proporsi Jumlah Penduduk

Proporsi Jumlah Penduduk

Gambar 5 Plot antara lapangan usaha dengan rata-rata PDRB tiap gerombol (juta
Rupiah).
Gerombol 1,
Gerombol 2,
Gerombol 3.

Jenjang Pendidikan

Jenjang Pendidikan

Gambar 6 Plot antara jenjang pendidikan dengan proporsi jumlah penduduk tiap
gerombol.
Gerombol 1,
Gerombol 2,
Gerombol 3.
Pada grafik PDRB untuk 3 gerombol, setiap lapangan usaha memiliki 2
gerombol yang bermiripan. Hal tersebut tertera pada Gambar 5. Pada grafik
proporsi jumlah penduduk pada setiap jenjang pendidikan untuk 3 gerombol,
gerombol kedua dan ketiga mempunyai pola yang hampir sama. Hal tersebut
tertera pada Gambar 6. Berdasarkan kondisi kemiripan tersebut, 2 gerombol
cukup untuk menduga banyaknya subpopulasi. Maka, persamaan regresi 2
gerombol dengan inisialisasi acak yaitu:

Y1  76.40  118.14 X1  5.35 X 2  21.28 X 3  e
Y2  86.01  95.21X1  162.09 X 2  14.47 X 3  e
Gerombol pertama merupakan gerombol kota karena 90% kota pada
provinsi Jawa Timur berada pada gerombol pertama sedangkan gerombol kedua
hanya memiliki satu kota yaitu Kota Batu. Pada data PDRB, gerombol kabupaten
lebih unggul dibidang pertanian dan pertambangan sedangkan gerombol kota
unggul dibidang lainnya. Pada data pendidikan, rata-rata presentase pendidikan
rendah pada gerombol kota lebih rendah dibandingkan gerombol kabupaten dan
rata-rata presentase pendidikan tinggi pada gerombol kota lebih tinggi
dibandingkan gerombol kabupaten.

14

5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan hasil analisis regresi linear gerombol dengan algoritma
pertukaran (exchange algorithm) dengan inisialisasi acak dan regresi kekar yaitu
LMS dapat disimpulkan bahwa :
1. Analisis regresi linear gerombol dapat menduga model untuk data yang
memiliki subpopulasi yang belum diketahui dengan cara menggerombolkan
berdasarkan kemiripan karakteristik parameter regresi.
2. Inisialisasi acak lebih baik dalam pendugaan banyaknya subpopulasi
dibandingkan inisialisasi LMS namun proses komputasi inisialisasi acak lebih
lama dibandingkan dengan inisialisasi LMS karena inisialisasi acak menduga
banyaknya subpopulasi dengan over-fitting.
3. Inisialisasi dengan LMS tidak dapat digunakan jika banyaknya subpopulasi
ditentukan secara apriori dan inisialisasi dengan LMS juga tidak dapat
mendeteksi jika tidak terdapat gerombol pada gugus data.
Saran
Pada penelitian ini, inisialisasi acak lebih baik dalam pendugaan banyaknya
subpopulasi dibandingkan inisialisasi LMS namun proses komputasi inisialisasi
acak lebih lama dibandingkan dengan inisialisasi LMS. Oleh karena itu,
disarankan untuk mengkaji analisis regresi linear gerombol dengan algoritma
pertukaran untuk mendapatkan pendugaan banyaknya subpopulasi yang baik
namun proses komputasinya lebih cepat.
Analisis regresi linear gerombol merupakan analisis regresi yang sangat
penting untuk menduga banyaknya subpopulasi. Penelitian lanjutan terkait
analisis regresi linear gerombol dapat menggunakan metode pendugaan lainnya.

DAFTAR PUSTAKA
Aunuddin. 1989. Analisis Data. Bogor (ID): Depdikbud Ditjen Pendidikan Tinggi
Pusat Antar Universitas Ilmu Hayat IPB.
DeSarbo WS, Cron WL. 1988. A Maximum Likelihood Methodology for
Clusterwise Linear Regression, Journal of Classification. 5:249-282.
DeSarbo WS, Oliver RL, Rangaswamy A. 1989. A simulated annealing
methodology for clusterwise linear regression. Psychometrika. 54(4):707736
Draper NR, Smith H. 1981. Applied Regression Analysis, 2nd. New York (US):
John Wiley and Sons, Inc.
Mankiw NG. 2003. Teori Makro Ekonomi. Jakarta (ID): Erlangga
Qian G, Wu Y. 2011. Estimation and selection in regression clustering. European
JPAM. 4(4):455-466
Rousseuw PJ, 1984. Least Median of Squares Regression. Journal of the
American Statistician Association Vol.76, No. 388:871-880.

15
Spath H. 1979. Algorithm 39 clusterwise linear regression. Computing. 22(4):367373.
Spath H. 1982. A fast algorithm for clusterwise linear regression. Computing.
29(2):175-181.
Wibowo E. 2008. Strategi Perancangan Kebijakan Umum APBD untuk
Meningkatkan Kualitas Pembangunan Manusia di Kabupaten Bogor [tesis]
Bogor : Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.
Chen Y, Xu W, Trappe W, Zhang Y. 2009 . Securing Emerging Wireless Systems,
Lower Layer Approaches. New York: Springer Science Bussiness Media.

16
Lampiran 1 Diagram pencar dengan garis regresi antara peubah bebas (X)
terhadap peubah tak bebas (Y) untuk setiap simulasi
Simulasi 1

Simulasi 2

Simulasi 4

Simulasi 5

Simulasi 3

Simulasi 6

Lampiran 2 Banyak gerombol (k), JKG, JJKG, Koefisien Regresi, R-Square (%)
dan n pada tiap simulasi dengan inisialisasi acak
Simulasi 1
k

JKG

JJKG

1
2

21864.51
781.89
781.89
619.43
72.60
104.81
567.99
72.01
92.09
44.42
344.24
41.27
45.84
24.84
10.78

21864.51
1131.00

3

4

5

761.24

498.49

258.37

Koefisien Regresi
β0
22.21
6.09
-57.45
9.31
-63.82
5.64
-61.74
1.99
39.73
10.74
-57.99
0.19
18.20
11.29
-56.86

β1
0.33
2.06
2.06
1.91
2.25
0.66
2.19
2.41
0.02
1.69
1.98
2.69
1.68
1.63
2.13

R-Square
(%)
42.70
94.22
94.22
91.97
97.03
97.03
96.70
98.75
0.70
98.30
98.82
99.24
95.50
98.30
97.41

n
60
30
30
26
25
9
24
14
10
12
14
11
7
12
16

17
Simulasi 2
k

JKG

1
2

19167.33
586.38
583.92
438.55
313.85
14.13
344.16
93.68
67.63
30.49
37.18
180.77
14.24
30.88
67.6

3

4

5

JJKG
19167.33
1170.30
766.53

535.96

330.67

Koefisien Regresi
β0
38.70
70.18
7.24
71.50
7.13
21.71
6.15
74.64
67.46
32.07
60.69
71.88
5.54
24.79
11.40

β1
-0.03
-2.03
1.97
-2.07
1.90
1.64
2.06
-2.05
-2.02
0.56
0.20
-2.10
1.12
1.28
1.57

R-Square
(%)

n

6.70
94.23
93.72
95.93
95.47
99.00
96.38
98.04
97.85
66.06
48.65
97.14
96.54
96.77
95.75

60
31
29
26
27
7
22
12
16
10
7
19
6
10
18

Simulasi 3
k
1
2
3

4

5

JKG
66998.51
2898.07
9776.21
773.34
897.57
779.10
715.75
113.85
151.06
807.75
686.64
56.03
313.76
226.24
124.64

JJKG
66998.51
12674.28
2450.01

1788.42

1407.31

Koefisien Regresi
β0
-80.72
-105.85
-150.55
-11.82
-108.56
-164.61
-12.77
-97.58
-106.50
-161.32
-13.38
-24.67
-120.00
-165.11
-32.82

β1
0.60
1.97
1.69
-1.93
2.05
2.04
-1.92
1.92
1.90
2.00
-1.90
-0.07
2.30
-120.00
-165.11

R-Square
(%)
5.29
83.87
53.31
91.00
91.69
92.42
90.69
97.58
96.99
91.84
91.34
11.45
97.21
95.87
90.96

n
90
41
49
31
31
28
27
15
18
30
30
9
21
18
12

Simulasi 4
k
1
2

JKG
195906.6
25275.95
2657.84

JJKG
195906.6
27933.69

Koefisien Regresi
β0
41.34
-126.77
7.29

β1
-2.23
1.16
2.21

R-Square
(%)
39.17
23.82
80.29

n
90
60
30

18

3

2657.74
3135.05
1195.51
986.04
2113.46
129.02
1933.19
1970.45
231.82
804.56
524.6
283.3

4

5

6988.3

5161.72

3814.73

7.29
-148.29
-192.16
192.13
6.22
86.17
-142.25
9.05
41.61
-129.05
177.51
123.23

2.21
2.08
2.12
2.12
2.24
-2.28
1.88
2.18
-1.41
1.65
1.74
0.99

81.29
78.29
89.13
87.14
84.23
99.44
80.12
82.98
97.73
78.97
85.02
90.96

30
32
28
25
28
8
29
24
11
20
18
17

Simulasi 5
k

JKG

JJKG

1
2

43345.73
4800.60
6218.14
664.44
716.10
584.93
531.06
255.91
193.17
243.63
193.28
528.37
37.00
117.31
69.08

43345.73
11018.74

3

4

5

1965.47

1223.77

945.04

Koefisien Regresi
β0
54.63
75.44
32.28
20.14
-16.10
-45.87
19.63
-2.55
-46.43
64.65
-46.22
19.61
-33.49
77.49
10.34

β1
-0.69
-0.55
-0.49
2.10
0.23
1.90
2.12
-0.03
1.92
-0.80
1.91
2.12
0.47
-1.23
0.22

R-Square
(%)

n

33.41
26.39
58.29
93.81
22.15
92.59
94.82
1.05
97.42
94.92
96.92
95.31
86.41
98.30
72.19

90
31
59
30
31
29
28
22
24
26
24
28
14
11
13

Simulasi 6
k

JKG

1
2

7610.07
718.80
840.23
404.43
276.28
190.53
146.36
103.68

3

4

JJKG
7610.07
1559.03
871.24

484.57

Koefisien Regresi
β0
1.041 e-15
3.96
-3.80
4.51
-4.88
-0.06
-5.41
5.67

β1
1.565 e-16
-0.04
-0.03
0.03
0.09
0.09
-0.02
-0.03

R-Square
(%)
0.00
0.41
0.22
0.25
2.56
5.04
0.25
0.32

n
402
197
205
165
141
96
107
91

19
117.62
116.91
139.88
56.83
44.41
71.92
59.11

5

372.14

2.49
-2.05
-5.46
6.09
-1.42
3.32
-1.27

-0.05
-0.04
0.06
-0.10
0.48
-0.01
-0.27

2.08
1.43
0.97
4.50
80.58
0.12
55.02

106
98
103
69
60
100
70

Lampiran 3 Banyak gerombol (k), JKG, JJKG, Koefisien Regresi, R-Square (%)
dan n pada tiap simulasi dengan inisialisasi LMS
Simulasi

k

1

2

2

2

3

3

4

2

5

3

6

3

JKG

JJKG

781.89
1131.00
781.89
586.38
1170.30
583.92
773.34
897.57 2450.01
779.10
25275.95
27933.69
2657.84
716.10
664.44 1965.47
584.93
425.49
870.57
214.96
230.12

Koefisien Regresi
β0
6.09
-57.45
70.18
7.24
-11.82
-108.56
-164.61
-126.77
7.29
-16.10
20.14
-45.87
-4.46
5.11
0.93

β1
2.06
2.06
-2.03
1.97
-1.93
2.05
2.04
1.16
2.21
0.23
2.10
1.90
0.02
0.12
0.06

R-Square
(%)
94.22
94.22
94.23
93.72
91.00
91.69
92.42
23.82
80.29
22.15
93.81
92.59
0.07
4.43
2.22

n
30
30
31
29
31
31
28
60
30
31
30
29
168
128
106

Lampiran 4 Diagram pencar dengan garis regresi linear gerombol antara peubah
bebas (X) terhadap peubah tak bebas (Y) untuk setiap simulasi
dengan inisialisasi acak
Simulasi 1

Simulasi 2

Simulasi 3

20
Simulasi 4

Simulasi 5

Lampiran 5 Diagram pencar dengan garis regresi linear gerombol antara peubah
bebas (X) terhadap peubah tak bebas (Y) untuk setiap simulasi
dengan inisialisasi LMS
Simulasi 1

Simulasi 2

Simulasi 4

Simulasi 5

Simulasi 3

Simulasi 6

Lampiran 6 Data presentase ekonomi (X1), kesehatan (X2) dan pendidikan (X3)
pada data APBD dan IPM (Y)
Daerah
Kabupaten Bangkalan
Kabupaten Banyuwangi
Kabupaten Blitar
Kabupaten Bojonegoro
Kabupaten Bondowoso
Kabupaten Gresik
Kabupaten Jember

Ekonomi
0.07
0.06
0.06
0.06
0.07
0.04
0.05

Kesehatan
0.13
0.10
0.09
0.11
0.11
0.15
0.13

Pendidikan
0.38
0.43
0.53
0.39
0.44
0.31
0.49

IPM
66.19
71.02
74.92
68.32
65.39
76.36
66.60

21
Kabupaten Jombang
Kabupaten Kediri
Kabupaten Lamongan
Kabupaten Lumajang
Kabupaten Madiun
Kabupaten Magetan
Kabupaten Malang
Kabupaten Mojokerto
Kabupaten Nganjuk
Kabupaten Ngawi
Kabupaten Pacitan
Kabupaten Pamekasan
Kabupaten Pasuruan
Kabupaten Ponorogo
Kabupaten Probolinggo
Kabupaten Sampang
Kabupaten Sidoarjo
Kabupaten Situbondo
Kabupaten Sumenep
Kabupaten Trenggalek
Kabupaten Tuban
Kabupaten Tulungagung
Kota Blitar
Kota Kediri
Kota Madiun
Kota Malang
Kota Mojokerto
Kota Pasuruan
Kota Probolinggo
Kota Surabaya
Kota Batu

0.05
0.04
0.06
0.06
0.06
0.07
0.06
0.05
0.05
0.08
0.06
0.07
0.08
0.05
0.07
0.09
0.07
0.09
0.09
0.08
0.07
0.07
0.07
0.06
0.08
0.07
0.06
0.09
0.08
0.05
0.08

0.15
0.14
0.11
0.11
0.11
0.10
0.08
0.11
0.13
0.10
0.11
0.11
0.11
0.12
0.11
0.10
0.17
0.11
0.11
0.13
0.10
0.12
0.15
0.21
0.12
0.08
0.18
0.14
0.14
0.12
0.04

0.41
0.46
0.47
0.46
0.47
0.51
0.33
0.37
0.52
0.49
0.50
0.51
0.45
0.50
0.43
0.43
0.33
0.43
0.45
0.45
0.44
0.44
0.38
0.35
0.40
0.39
0.28
0.30
0.32
0.27
0.27

74.47
73.29
71.81
69.50
71.46
74.34
72.34
75.26
72.