Perbandingan Analisis Sensitivitas Menggunakan Partisi Optimal dan Basis Optimal pada Optimasi Linear
PERBANDINGAN ANALISIS SENSITIVITAS MENGGUNAKAN
PARTISI OPTIMAL DAN BASIS OPTIMAL PADA OPTIMASI
LINEAR
MIRNA SARI DEWI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Analisis
Sensitivitas Menggunakan Partisi Optimal dan Basis Optimal pada Optimasi Linear
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis
lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Desember 2013
Mirna Sari Dewi
NIM G54090042
ABSTRAK
MIRNA SARI DEWI. Perbandingan Analisis Sensitivitas Menggunakan Partisi
Optimal dan Basis Optimal pada Optimasi Linear. Dibimbing oleh BIB PARUHUM
SILALAHI dan PRAPTO TRI SUPRIYO.
Analisis sensitivitas menjelaskan sampai sejauh mana pengaruh perubahan
parameter-parameter model optimasi linear, yaitu koefisien fungsi tujuan dan nilai ruas
kanan kendala, terhadap penyelesaian optimal. Analisis sensitivitas yang biasa
digunakan adalah dengan pendekatan basis optimal berdasarkan metode simpleks. Pada
karya ilmiah ini dibahas analisis sensitivitas dengan pendekatan lain yaitu analisis
menggunakan partisi optimal yang unik berdasarkan metode interior point untuk
menentukan range dan shadow price. Tujuan penelitian ini adalah memaparkan analisis
sensitivitas menggunakan partisi optimal berdasarkan buku acuan yang berjudul
Interior Point Methods for Linear Optimization pada subbab Sensitivity Analysis yang
disusun oleh C. Roos, T. Terlaky, dan J. PH. Vial sehingga dapat ditentukan nilai
shadow price dan range serta membandingkan hasil yang diperoleh dengan yang
dihasilkan oleh metode simpleks dengan bantuan perangkat lunak LINDO 6.1. Hasil
analisis sensitivitas yang diperoleh dengan pendekatan partisi optimal juga lebih akurat
dari pada menggunakan pendekatan basis optimal (metode simpleks) terutama untuk
kasus yang memiliki solusi optimal primal atau dual yang tidak unik. Namun saat
masalah primal dan masalah dual memiliki solusi optimal yang unik, metode simpleks
dan pendekatan partisi optimal menghasilkan informasi yang persis sama.
Kata kunci: analisis sensitivitas, partisi optimal, range, shadow price
ABSTRACT
MIRNA SARI DEWI. Comparing Optimal Partitions and Optimal Bases of Sensitivity
Analysis on Linear Optimizations. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and
PRAPTO TRI SUPRIYO.
Sensitivity analysis is studying the effect of parameters of the linear optimization
model, i.e. the coefficients of objective function and right-hand side value constraints to
the optimal solution. Sensitivity analysis used in the classical approach (the simplex
method) is based on the optimal basis. This paper presents briefly sensitivity analysis
by using the unique optimal partition based on the interior point method to determine
the range and shadow price. The purpose of this study is to present the sensitivity
analysis of the optimal partition based on a reference book entitled Interior Point
Methods for Linear Optimization in Section Sensitivity Analysis prepared by C. Roos,
T. Terlaky, and J. PH. Vial so that can be determined the shadow price and range value
and compare the obtained results with those produced by the simplex method with the
help of software LINDO 6.1. Sensitivity analysis obtained results with the optimal
partition approach is also more accurate than using the optimal bases approach (simplex
method), especially for cases that have a primal or dual optimal solution is not unique.
But when the primal and the dual has a unique optimal solution, simplex method and
optimal partition approach produces the same information
Keywords: sensitivity analysis, optimal partition, range, shadow price
PERBANDINGAN ANALISIS SENSITIVITAS MENGGUNAKAN
PARTISI OPTIMAL DAN BASIS OPTIMAL PADA OPTIMASI
LINEAR
MIRNA SARI DEWI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Perbandingan Analisis Sensitivitas Menggunakan Partisi Optimal dan
Basis Optimal pada Optimasi Linear
Nama
: Mirna Sari Dewi
NIM
: G54090042
Disetujui oleh
Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
Pembimbing I
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2013 ini ialah analisis sensitivitas,
dengan judul Perbandingan Analisis Sensitivitas Menggunakan Partisi Optimal dan
Basis Optimal pada Optimasi Linear.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
dan Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku pembimbing, serta Ibu Dra Farida Hanum,
MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran, motivasi dan bimbingan
dalam penulisan karya ilmiah ini. Ucapan terima kasih juga penulis berikan kepada
seluruh mahasiswa Matematika angkatan 44, 45, 46, 47, 48, dan 49 serta teman-teman
di luar Departemen Matematika baik di dalam Institut Pertanian Bogor maupun di luar
Institut Pertanian Bogor atas kritik, saran dan doanya selama pembuatan karya ilmiah
ini. Terima kasih juga penulis berikan kepada seluruh staf Departemen Matematika dan
staf Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Ungkapan terima kasih juga tak
lupa penulis sampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan
kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2013
Mirna Sari Dewi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
I PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Tujuan Penelitian
1
1.3 Metode Penelitian
1
II TINJAUAN PUSTAKA
2
2.1 Masalah Optimasi Linear
2
2.2 Analisis Sensitivitas
3
2.3 Makna Simbol
3
2.4 Bentuk Khusus
4
III PEMBAHASAN
4
3.1 Primal Dual
4
3.2 Primal-Dual dengan Pendekatan Partisi Optimal
5
3.3 Ranges dan Shadow Prices
6
3.4 Analisis Sensitivitas dengan Pendekatan Klasik
7
IV STUDI KASUS
8
V SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
21
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus I)
Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus I)
Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus II)
Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus II)
Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus III)
Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus III)
11
11
12
13
14
14
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
Contoh daerah fisibel
Fungsi nilai optimal untuk
Daerah fisibel (D) kasus I
Daerah fisibel (D) kasus II
Daerah fisibel (D) kasus III
2
6
8
12
13
DAFTAR LAMPIRAN
1 Studi kasus I dengan menggunakan LINDO
2 Studi kasus II dengan menggunakan LINDO
3 Studi kasus III dengan menggunakan LINDO
16
17
19
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Saat ini manfaat optimasi sangat terasa dan diterima secara luas sebagai alat
yang berguna dalam berbagai masalah kehidupan. Sebagian besar perusahaan
menggunakan pemodelan untuk memecahkan berbagai masalah praktis; sebagai
contoh masalah transportasi, perencanaan produksi, masalah keputusan investasi,
masalah pencampuran, masalah lokasi dan alokasi, dan masih banyak lagi. Salah
satu jenis optimasi adalah optimasi linear.
Secara matematis penyelesaian optimal sebuah kasus optimasi linear selalu
berhubungan dengan penyelesaian optimal sebuah kasus optimasi linear yang lain.
Bentuk hubungan ini dikenal sebagai dualitas di dalam optimasi linear.
Penyelesaian optimal kasus optimasi linear dengan algoritme simpleks pada
dasarnya mengandung informasi yang sangat berharga berkaitan dengan
perubahan parameter-paremeter dan variabel-variabel yang digunakan. Sejauh
mana perubahan itu berperan terhadap penyelesaian optimal adalah informasi
yang sangat berharga guna menurunkan alternatif-alternatif keputusan selain
keputusan optimal. Informasi ini dapat diperoleh dengan cara analisis sensitivitas.
Analisis sensitivitas menjelaskan sampai sejauh mana pengaruh perubahan
parameter-parameter model optimasi linear, yaitu koefisien fungsi tujuan dan nilai
ruas kanan kendala, terhadap penyelesaian optimal. Analisis sensitivitas yang
biasa digunakan adalah dengan pendekatan klasik (metode simpleks) berdasarkan
basis optimal. Pada karya ilmiah ini dibahas analisis sensitivitas dengan
pendekatan lain yaitu analisis menggunakan partisi optimal yang unik berdasarkan
metode interior point.
1.2 Tujuan
Karya ilmiah ini bertujuan:
1 memaparkan analisis sensitivitas dengan partisi optimal berdasarkan buku
acuan yang berjudul Interior Point Methods for Linear Optimization pada
subbab Sensitivity Analysis yang disusun oleh C. Roos, T. Terlaky dan J. PH.
Vial, kemudian menentukan nilai shadow price dan range,
2 untuk masalah yang sama dilakukan juga analisis sensitivitas menggunakan
metode simpleks dengan bantuan perangkat lunak LINDO 6.1,
3 membandingkan hasil yang diperoleh dengan kedua pendekatan.
1.3 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah dengan dua
pendekatan:
1 studi literatur,
2 penyelesaian masalah-masalah optimasi linear menggunakan perangkat lunak
LINDO.
2
II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Masalah Optimasi Linear
Model optimasi linear meliputi tiga unsur utama yaitu:
1 fungsi tujuan
2 variabel keputusan
3 kendala
Optimasi linear merupakan sebuah model untuk menemukan suatu nilai variabel
keputusan yang optimal dengan cara memaksimumkan atau meminimumkan
fungsi tujuan terhadap kendala-kendala (Winston 2004).
Dalam model optimasi linear, tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan
ke dalam sebuah fungsi linear. Selanjutnya fungsi itu dimaksimumkan atau
diminimumkan terhadap kendala-kendala yang ada sehingga fungsi linear tersebut
dapat dikatakan sebagai fungsi tujuan. Variabel keputusan adalah variabel
persoalan yang akan memengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. Cara untuk
menentukan variabel-variabel keputusan ini adalah dengan mengajukan
pertanyaan: keputusan apa yang harus dibuat agar nilai fungsi tujuan menjadi
maksimum atau minimum. Misalkan,
adalah jumlah bangku yang harus
diproduksi, maka
adalah variabel keputusan (Siswanto 2007). Pembatasan
terhadap nilai-nilai variabel keputusan disebut kendala. Misalkan, harus berada
antara 1 dan 5, maka kendalanya dapat dituliskan menjadi
1 dan
5
(Winston 2004).
Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal pada optimasi linear adalah
suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan paling besar sedangkan
untuk masalah minimisasi, solusi optimal pada optimasi linear adalah suatu titik
pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan paling kecil. Daerah fisibel adalah
himpunan titik-titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada
optimasi linear tersebut (Winston 2004).
Contoh:
maksimumkan
=2 +2
dengan kendala
+2
4
3 +2
6
,
0.
Daerah fisibel dari masalah optimasi linear tersebut dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1 Contoh daerah fisibel
3
Dalam menentukan solusi optimal pada optimasi linear, kendala pada
model optimasi linear haruslah berbentuk standar, yaitu dengan menambahkan
variabel slack dan variabel surplus. Variabel slack adalah variabel yang berfungsi
untuk menampung sisa kapasitas pada kendala yang berupa pembatas. Misalkan,
kendala suatu masalah optimasi linear adalah 2 +
2. Bentuk standarnya
yaitu 2 + + � = 2, dengan � adalah variabel slack. Variabel surplus adalah
variabel yang berfungsi untuk menampung kelebihan nilai ruas kiri pada kendala
yang berupa syarat. Misalkan, kendala suatu masalah optimasi linear adalah
2 +
2. Bentuk standarnya yaitu 2 + − � = 2, dengan � adalah variabel
surplus (Siswanto 2007).
Metode simpleks menghasilkan solusi basis pada optimasi linear. Solusi
basis untuk
= (dengan persamaan linear dan variabel
) diperoleh
dengan menetapkan − variabel (variabel nonbasis) sama dengan nol dan
memecahkan nilai-nilai dari
variabel (variabel basis) yang tersisa. Jika −
variabel sama dengan nol maka akan menghasilkan nilai yang unik untuk
variabel yang tersisa, dengan kata lain, kolom-kolom untuk
variabel yang
tersisa adalah bebas linear. Solusi basis yang semua variabelnya taknegatif disebut
basic feasible solution (Winston 2004).
Dua buah vektor taknegatif dan � dalam ℝ dikatakan complementary
vector jika � � = 0. Jika berlaku juga + � > 0, maka dan � disebut strictly
complementary vector (Roos et al. 2006).
2.2 Analisis Sensitivitas
Analisis sensitivitas menjelaskan sampai sejauh mana pengaruh perubahan
parameter-parameter model optimasi linear, yaitu koefisien fungsi tujuan dan nilai
ruas kanan kendala, terhadap penyelesaian optimal. Analisis sensitivitas parameter
koefisien fungsi tujuan adalah persoalan penentuan batas atas dan batas bawah
nilai koefisien fungsi tujuan dimana pada interval itu solusi optimal variabel
keputusan tidak berubah. Analisis sensitivitas parameter nilai ruas kanan kendala
adalah persoalan penentuan batas atas dan batas bawah nilai ruas kanan kendala
dimana pada interval itu nilai dual price atau shadow price tidak berubah.
Shadow price, disebut juga dual price, merupakan tambahan nilai fungsi
tujuan yang terjadi karena tambahan satu unit nilai ruas kanan kendala (Siswanto
2007). Hubungan kenaikan suatu nilai fungsi tujuan dan suatu nilai shadow price
ini bersifat linear dan hanya valid dalam interval (range) tertentu.
2.3 Makna Simbol
Simbol
cT
ℝ
�
×
Makna
vektor baris dari
vektor kolom dari
vektor kolom dari
vektor kolom dari �
himpunan matriks berukuran × dengan entri bilangan real
4
Vektor baris adalah suatu matriks berukuran 1 × , dengan n adalah
bilangan-bilangan real, sedangkan vektor kolom adalah suatu matriks berukuran
1
× 1, dengan n adalah bilangan-bilangan real (Leon 1998). Misalkan
maka
adalah vektor kolom.
=
2
⋮ ,
2.4 Bentuk Khusus
Penyelesaian kasus optimasi linear dapat menyimpang dari perilaku umum.
Hasil penyelesaian yang menyimpang ini dikelompokkan ke dalam kasus-kasus
khusus optimasi linear. Kasus-kasus tersebut ialah degenerasi, solusi optimal
jamak, tidak fisibel (infeasible), dan tidak terbatas.
Sebuah optimasi linear (OL) dikatakan degenerasi jika memiliki setidaknya
satu basic feasible solution dengan satu variabel basis yang bernilai nol (Winston
2004). Solusi optimal jamak adalah penyelesaian sebuah kasus optimasi linear di
mana titik sudut ekstrem yang menghasilkan nilai optimal fungsi tujuan terdapat
lebih dari satu titik (Siswanto 2007).
Kendala pada kasus OL pada umummya membentuk suatu daerah fisibel,
namun jika kendala pada kasus OL tidak membentuk suatu daerah fisibel atau
daerah fisibelnya adalah himpunan kosong maka kasus tersebut dikatakan tidak
fisibel (infeasible). Kasus nilai fungsi tujuan tidak terbatas terjadi bila susunan
kendala membentuk sebuah daerah fisibel terbuka yang memiliki luas tidak
terbatas. Untuk masalah maksimisasi, kasus nilai fungsi tujuan tidak terbatas
terjadi jika daerah fisibel terbuka ke atas dan fungsi tujuan dimaksimumkan
terhadap daerah fisibel ini. Sedangkan untuk masalah minimisasi, kasus nilai
fungsi tujuan tidak terbatas terjadi jika daerah fisibel terbuka ke bawah dan fungsi
tujuan diminimumkan terhadap daerah fisibel ini (Winston 2004).
III PEMBAHASAN
3.1 Primal-Dual
Setiap masalah OL dapat dimodelkan secara matematis ke suatu bentuk
yang disebut bentuk primal dan bentuk dual.
Format standar bentuk masalah primal (P) dan masalah dual (D) dari suatu
OL adalah sebagai berikut:
(P)
min { � ∶
= ,
0 },
(D)
max { � ∶ � + � = , � 0 },
dengan
persamaan linear dan variabel, c, x, s ∈ ℝn dan b, y ∈ ℝm, A adalah
matriks di ℝ × dengan pangkat m.
Misalkan nilai optimal (P) dan (D) berturut-turut dilambangkan dengan
�
= min { � ∶
= ,
0 },
�
�
�
= max {
∶
+ � = , � 0 }.
5
Misalkan daerah fisibel masalah (P) dan masalah (D) dilambangkan dengan
P
≔{ ∈ℝ ∶
= ,
0 },
�
D
≔ {( , �) ∈ ℝ ∶
+ � = , � 0 }.
Jika (P) dan (D) keduanya fisibel maka solusi optimal dari (P) dan (D) dapat
dilambangkan oleh � ∗ dan �∗ , dengan
�∗
≔
∈�∶ � =�
,
∗
�
�
≔{ , � ∈�∶
= � }.
3.2 Primal-Dual dengan Pendekatan Partisi Optimal
Berikut adalah teorema yang mendasari pembentukan partisi optimal.
Teorema 1 (Teorema Dualitas) Jika (P) dan (D) fisibel maka kedua masalah
memiliki solusi optimal. Kemudian, ∈ � dan ( , �) ∈ �, ini adalah solusi yang
optimal jika dan hanya jika � � = 0. Jika tak satu pun dari dua masalah memiliki
solusi yang optimal, maka keduanya (P) dan (D) tidak fisibel atau salah satu dari
dua masalah adalah tidak fisibel dan yang lain tak terbatas (Roos et al. 2006).
Teorema 2 (Teorema Goldman-Tucker) Jika (P) dan (D) fisibel maka
terdapat strictly complementary optimal solution, yaitu suatu pasangan solusi
optimal ( , �) dengan + � > 0 (Roos et al. 2006).
Berdasarkan teorema tersebut, maka dapat didefinisikan partisi optimal dari
(P) dan (D), yakni
∶= { ∶ > 0 untuk suatu ∈ �∗ },
�
∶= { ∶ � > 0 untuk suatu ( , �) ∈ �∗ }.
Teorema Dualitas (Teorema 1) berimplikasi bahwa
� = ∅, dan teorema
Goldman-Tucker (Teorema 2) berimplikasi
� = {1, 2, … , }.
Berikut adalah lema tentang partisi optimal. Notasi
dan � mengacu
pada pembatasan vektor ∈ ℝ dengan indeks masing-masing adalah anggota
himpunan
dan �.
melambangkan pembatasan terhadap kolom dengan
indeks anggota himpunan , dan � pembatasan terhadap kolom dengan indeks
anggota himpunan �.
Lema 1
Misalkan ∗ ∈ �∗ dan ( ∗ , � ∗ ) ∈ �∗ . Diperoleh
�∗
= { ∶ ∈ �, � � ∗ = 0},
�∗
=
, � : , � ∈ �, � � ∗ = 0 (Roos et al. 2006).
Lema 2
Diberikan partisi optimal ( , �) dari (P) dan (D), himpunan solusi optimal dari
kedua masalah tersebut adalah
�∗
= { ∶ ∈ �, � = 0},
∗
�
=
, � : , � ∈ �, � = 0 (Roos et al. 2006).
6
Berdasarkan Lema 2 maka sekarang � ∗ dan �∗ , dapat dinyatakan dengan
syarat-syarat partisi optimal menjadi,
�∗
={ ∶
= ,
0, � = 0},
∗
�
�
=
, � :
+ � = , � = 0, �� 0 .
3.3 Ranges dan Shadow Prices
Analisis sensitivitas ialah suatu analisis untuk menentukan shadow price
dan range dari semua koefisien
(nilai dari ruas kanan kendala primal) dan
(nilai dari ruas kanan kendala dual). Pada suatu kasus, nilai koefisien atau
mungkin saja merupakan break point (titik patahan). Jika koefisien tersebut
adalah break point, maka koefisien tersebut memiliki dua shadow price: shadow
price kiri dan shadow price kanan. Namun jika koefisien tersebut bukan suatu
break point, maka terdapat sebuah shadow price yang berada pada suatu interval
linearitas terbuka dan range dari koefisien berada pada interval linearitas tersebut.
Gambar 2 berikut memperlihatkan suatu contoh perubahan nilai optimal untuk
perubahan nilai .
Gambar 2 Fungsi nilai optimal untuk cj
Dari Gambar 2 jika
bernilai 1 atau 2 maka
merupakan suatu break
point terhadap nilai optimalnya sehingga
memiliki dua nilai shadow price,
sedangkan jika
bukan suatu break point terhadap nilai optimalnya maka
memiliki satu nilai shadow price (Jansen et al. 1997).
Misalkan ∗ adalah solusi optimal dari (P) dan ( ∗ , � ∗ ) adalah solusi
optimal dari (D). Berdasarkan pendekatan partisi optimal range didapat dengan
meminimumkan dan memaksimumkan (Roos et al. 2006) dengan
{ ∶
= ,
0, � � ∗ = 0}.
(1)
Shadow price kiri dan kanan dari
ditentukan dengan meminimumkan dan
memaksimumkan dengan
∶ � + � = , � 0, � � ∗ = 0 .
(2)
nilai
Untuk range
diperoleh dengan meminimumkan dan memaksimumkan
dengan
∶ � + � = , � 0, � � ∗ = 0 .
(3)
7
Shadow price kiri dan kanan dari
memaksimumkan dengan
{ ∶
= ,
0, � � ∗ = 0}.
ditentukan dengan meminimumkan dan
(4)
Jika (P) dan (D) fisibel maka formula untuk range dan shadow price
koefisien dan dapat disederhanakan sebagai berikut.
Formula (1) dapat dirumuskan menjadi
{ ∶
= ,
0, � = 0}
(5)
dan (2) menjadi
∶ � + � = , � = 0, �� 0 .
(6)
Hal yang sama berlaku untuk (3) yang dapat dirumuskan menjadi
∶ � + � = , � = 0, �� 0 ,
(7)
dan (4) menjadi
{ ∶
= ,
0, � = 0}.
(8)
3.4 Analisis Sensitivitas dengan Pendekatan Klasik
Analisis sensitivitas dengan pendekatan klasik menggunakan metode
simpleks dalam menyelesaikan masalah optimasi linear. Metode simpleks
menghasilkan solusi basis dari masalah optimasi linear, sehingga solusi dengan
pendekatan klasik ini ditentukan dengan sebuah basis optimal.
Diasumsikan bahwa matriks
berukuran
× dan pangkat ( ) = ,
indeks variabel basis dari yang berjumlah dinotasikan dengan ’, sehingga ’
adalah submatriks
×
yang nonsingular dari
dengan
′ berukuran
=
,
=
0
dengan
�’
adalah
indeks
variabel
nonbasis
dari
.
Solusi
′
′
�′
basis primal dapat ditentukan dengan
−1
′
′
∶=
(9)
=
0
�′
dan solusi basis dual dapat ditentukan dengan
0
.
(10)
= −�′ �′ , � = �� ′ ∶=
− �
�′
�′
�′
Jika
0 maka ’ adalah basis fisibel primal, jika ��′ 0 maka ’
′
adalah basis fisibel dual. ’ basis optimal jika primal dan dual fisibel. Sebuah
basis dikatakan optimal primal jika solusi basis primal tersebut optimal di (P), dan
sebuah basis dikatakan optimal dual jika solusi basis dual tersebut optimal di (D).
Analisis sensitivitas dengan pendekatan klasik juga menggunakan formula
(5) - (8) untuk menentukan range dan shadow price, tetapi dengan partisi basis
optimal ( ’, �’) sebagai ganti ( , �). (P) dan (D) mungkin saja memiliki basis
optimal lebih dari satu, dan pendekatan klasik ini juga mungkin memberikan
range dan shadow price yang berbeda (Jansen et al. 1997).
8
IV STUDI KASUS
Pada bagian ini akan disajikan studi kasus analisis sensitivitas masalah
optimasi linear. Hasil analisis sensitivitas yang diperoleh dengan menggunakan
partisi optimal akan dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dengan bantuan
perangkat lunak LINDO. Kasus yang diamati adalah sebagai berikut :
1 solusi optimal masalah primal unik, dan solusi optimal masalah dual tidak
unik,
2 solusi optimal masalah primal unik, dan solusi optimal masalah dual unik,
3 solusi optimal masalah primal tidak unik, dan solusi optimal masalah dual
unik.
4.1 Kasus I
Misalkan masalah primal (P) didefinisikan sebagai berikut
min 4
terhadap
1
− 5 2 + 11 3
− 2+3 3 =0
1− 2− 3 = 1
0.
1, 2, 3
Masalah dualnya (D) adalah
max
2
terhadap
4
2
− 1 − 2
−5
3 1 − 2
11.
Masalah dual (D) dapat diselesaikan secara grafik, dan daerah fisibelnya
yang dapat dilihat di Gambar 3.
Gambar 3 Daerah fisibel (D) Kasus I
Dari Gambar 3 dapat ditentukan himpunan solusi optimalnya adalah
� ∗ = {( 1 , 2 ): 1
5, 2 = 4} dan nilai optimalnya adalah 4. Variabel
1
slack dari setiap kendala dual masing-masing ialah
9
�1 = 4 − 2
2 + �1 = 4
− 1 − 2 + �2 = −5 �2 = −5 + 1 +
3 1 – 2 + �3 = 11 �3 = 11 − 3 1 +
2
2
Dengan memasukkan nilai 1
5, 2 = 4 maka akan diperoleh
1
nilai untuk setiap variabel slack dan dapat disimpulkan bahwa semua variabel
slack dapat menjadi positif pada solusi optimal kecuali variabel slack pada
konstrain 2
4, yaitu �1 = 0. Karena di dual �1 = 0 maka di primalnya hanya
variabel 1 yang dapat menjadi positif, sehingga dapat ditentukan partisi
optimalnya ( , �), dengan � = {2, 3} dan = {1}.
Dari Lema 2 diperoleh:
�∗ = { ∈ �: 2 = 3 = 0} dan (P) memiliki solusi yang unik: = (1, 0, 0).
Range dan Shadow Price untuk
=
Dengan menggunakan formula (5) range
meminimumkan dan memaksimumkan 1
{ ∶
= ,
0, � = 0}.
Dari perkalian matriks
=
0
1
diperoleh
−1 3
−1 −1
1
dapat ditentukan dengan
(5)
1
2
3
=
1
1
0= 1
1 = 1
sehingga range untuk 1 adalah interval [0, 0]. Maka 1 = 0 adalah break point.
Dengan menggunakan formula (6) shadow price untuk 1 dapat ditentukan
dengan meminimumkan dan memaksimumkan 1
∶ � + � = , � = 0, �� 0
(6)
karena ∈ � ∗ , nilai minimum 1 adalah 1 dan nilai maksimum 1 adalah 5, jadi
shadow price untuk 1 adalah [1, 5].
Range dan Shadow Price untuk
=
Dengan menggunakan formula (5) range 2 dapat ditentukan dengan
meminimumkan dan memaksimumkan 2 . Dari perkalian matriks
=
0
1
diperoleh
−1 3
−1 −1
1
2
3
=
0
2
0=0
1 = 2.
Karena 1 0, maka 2 0, maka range untuk 2 adalah interval [0, ∞).
Dengan menggunakan formula (6) shadow price untuk 2 dapat ditentukan
dengan meminimumkan dan memaksimumkan 2 . Berdasarkan
∈ �∗ , nilai 2
adalah 4, jadi shadow price untuk 2 adalah 4.
10
Range dan Shadow Price untuk
=
Dengan menggunakan formula (7) range
meminimumkan dan memaksimumkan 1 .
∶ � + � = , � = 0, �� 0
Perkalian matriks � + � = :
0
−1
3
1
−1
−1
1
2
1
dapat ditentukan dengan
(7)
�1
1
�
+ 2 = −5
�3
11
Berdasarkan Gambar 3 jika kendala (1) dihilangkan maka 2 berada pada
interval [1, ∞). Dengan memasukkan nilai �1 = 0 dan 2 ke persamaan kendala
(1) diperoleh
2 = 1,
maka akan diperoleh 1 1, sehingga range 1 adalah interval [1, ∞). Dengan
menggunakan formula (8) shadow price untuk 1 dapat ditentukan dengan
meminimumkan dan memaksimumkan 1
{ ∶
= ,
0, � = 0}.
(8)
Karena 1 = 1, maka shadow price untuk 1 adalah 1.
Range dan Shadow Price untuk = −
Dengan menggunakan formula (7) range 2 dapat ditentukan dengan
meminimumkan dan memaksimumkan 2 . Perkalian matriks � + � = :
0
−1
3
1
−1
−1
1
2
�1
4
+ �2 = 2
�3
11
Meminimumkan dan memaksimumkan 2 pada sistem di atas adalah sama
dengan mencari nilai minimum dan maksimum − 1 − 2 + �2 , �2 0 agar
sistem tetap fisibel. Berdasarkan Gambar 3 akan diperoleh 2 −9, sehingga
range 2 adalah interval [−9, ∞).
Dengan menggunakan formula (8), shadow price untuk 2 dapat ditentukan
dengan meminimumkan dan memaksimumkan 2 . Karena 2 = 0, maka shadow
price untuk 2 adalah 0.
Range dan Shadow Price untuk =
Dengan menggunakan formula (7) range 3 dapat ditentukan dengan
meminimumkan dan memaksimumkan 3 pada perkalian matriks � + � =
berikut:
0
−1
3
1
−1
−1
1
2
�1
4
�
+ 2 = −5
�3
3
11
Dengan menggunakan Gambar 3, akan dicari nilai minimum dan maksimum
0 sehingga sistem tetap fisibel. Diperoleh 3
−1,
3 = 3 1 − 2 + �3 , �3
sehingga range 3 adalah interval [−1, ∞).
Shadow price untuk 3 dapat ditentukan dengan meminimumkan dan
memaksimumkan 3 , menggunakan formula (8). Karena 3 = 0, maka shadow
price untuk 3 adalah 0.
Tabel 1 Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus I)
Koefisien
Range
Shadow price
0
[1, 5]
=
0
1
4
[0, ∞)
2 =1
1
[1,
∞)
=
4
1
0
[−9, ∞)
2 = −5
0
[−1, ∞)
3 = 11
Tabel 2 Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus I)
Koefisien
Range
Shadow price
1
(−∞,
0]
1 =0
4
[0, ∞)
2 =1
1
[1, ∞)
1 =4
0
[−9, ∞)
2 = −5
0
[−1, ∞)
3 = 11
Dari Tabel 1 dan Tabel 2 dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan hasil range
dan shadow price pada koefisien 1 = 0. Analisis sensitivitas dengan metode
simpleks (LINDO) tidak mendeteksi bahwa 1 = 0 merupakan break point.
Sedangkan analisis sensitivitas dengan pendekatan partisi optimal mendeteksi
bahwa 1 = 0 merupakan break point, sehingga koefisien 1 memiliki dua nilai
shadow price, yaitu shadow price kiri yang bernilai 1 dan shadow price kanan
yang bernilai 5. Shadow price kiri digunakan ketika nilai koefisien 1 diturunkan
dari nilai awalnya, sedangkan Shadow price kanan digunakan ketika nilai
koefisien 1 dinaikkan dari nilai awalnya. Misalkan jika nilai koefisien 1
diturunkan satu satuan dari nilai awalnya menjadi 1 = −1 maka nilai optimalnya
menjadi 3, dan jika nilai koefisien 1 dinaikkan satu satuan dari nilai awalnya
menjadi 1 = 1 maka nilai optimalnya menjadi 9.
4.2 Kasus II
Misalkan masalah primal (P) didefinisikan sebagai berikut
min 31
terhadap
1
− 5 2 + 11 3
3 1− 2+3 3 = 0
7 1− 2− 3 =1
0.
1, 2, 3
12
Masalah dualnya (D) adalah
max
2
terhadap
3 1 + 7 2 31
− 1 − 2 −5
3 1 − 2 11.
Masalah dual (D) dapat diselesaikan secara grafik, dan daerah fisibelnya
dapat dilihat di Gambar 4.
Gambar 4 Daerah fisibel (D) Kasus II
Dari Gambar 4 dapat ditentukan himpunan solusi optimalnya adalah
� ∗ = {( 1 , 2 ): 1 = 1, 2 = 4} dan nilai optimalnya adalah 4. Variabel slack
dari setiap kendala dual masing-masing ialah
3 1 + 7 2 + �1 = 31
− 1 − 2 + �2 = −5
3 1 − 2 + �3 = 11
�1 = 31 − 3 1 − 7 2
�2 = −5 + 1 + 2
�3 = 11 − 3 1 + 2
Dengan memasukkan nilai 1 = 1 dan 2 = 4 maka akan diperoleh nilai
untuk setiap variabel slack dan dapat disimpulkan bahwa semua variabel slack
dapat menjadi positif pada solusi optimal kecuali variabel slack pada konstrain
3 1 + 7 2 31 dan − 1 − 2 −5 yaitu �1 = �2 = 0. Karena di dual �1 =
�2 = 0 maka di primalnya hanya variabel 1 dan 2 yang dapat menjadi positif,
sehingga dapat ditentukan partisi optimalnya ( , �), dengan � = {3} dan
= {1, 2}.
Dari Lema 2 diperoleh:
∗
� = { ∈ �: 3 = 0} dan (P) memiliki solusi yang unik: = (1 4 , 3 4 , 0).
Dengan menggunakan perhitungan seperti pada Kasus I diperoleh range dan
shadow price dengan menggunakan partisi optimal pada Tabel 3.
Tabel 3 Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus II)
Koefisien
Range
Shadow price
3
(−∞, 7 ]
1
1 =0
=
1
4
[0,
∞)
2
1
[19, ∞)
4
1 = 31
3
4
=
−5
[−7,
∞)
2
0
[−1, ∞)
3 = 11
13
Tabel 4 Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus II)
Koefisien
Range
Shadow price
3
(−∞, 7]
1
1 =0
=
1
4
[0,
∞)
2
1
[19, ∞)
4
1 = 31
3
4
=
−5
[−7,
∞)
2
0
[−1, ∞)
3 = 11
Dari Tabel 3 dan Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat hasil range dan shadow
price yang sama antara perhitungan dengan pendekatan partisi optimal dan
metode simpleks.
4.3 Kasus III
Misalkan masalah primal (P) didefinisikan sebagai berikut
min
4
terhadap
1
+ 31 2 − 5 3 + 11 4
3 2− 3+3 4 = 0
1+7 2− 3− 4 = 1
0.
1, 2, 3, 4
Masalah dualnya (D) adalah
max
2
terhadap
4
2
3 1 + 7 2 31
− 1 − 2 −5
3 1 − 2 11.
Masalah dual (D) dapat diselesaikan secara grafik, dan daerah fisibelnya
dapat dilihat di Gambar 5.
Gambar 5 Daerah fisibel (D) Kasus III
Dari Gambar 5 dapat ditentukan himpunan solusi optimalnya adalah
�∗ = {( 1 , 2 ): 1 = 1, 2 = 4} dan nilai optimalnya adalah 4. Variabel slack
dari setiap kendala dual masing-masing ialah
14
+ �1 = 4
3 1 + 7 2 + �2 = 31
− 1 − 2 + �3 = −5
3 1 − 2 + �4 = 11
2
�1
�2
�3
�4
=4− 2
= 31 − 3 1 − 7 2
= −5 + 1 + 2
= 11 − 3 1 + 2
Dengan memasukkan nilai 1 = 1 dan 2 = 4 maka diperoleh nilai untuk
setiap variabel slack sehingga variabel slack pada konstrain 2 4, 3 1 + 7 2
31 dan − 1 − 2 −5 bernilai 0, yaitu �1 = �2 = �3 = 0, sehingga di primalnya
hanya variabel 1 , 2 dan 3 yang dapat menjadi positif. Oleh karena itu diperoleh
partisi optimal ( , �), dengan � = {4} dan = {1, 2, 3}.
Dari Lema 2 diperoleh:
∗
� = { ∈ �: 4 = 0} dan (P) memiliki solusi yang tidak unik: {( 1 , 2 ,
, ¼ − ¼ , 3 ¼ − ¼
;0
1}. Kemudian hasil perhitungan
3 ):
range dan shadow price disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5 Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus III)
Koefisien
Range
Shadow price
3 ]
1
=
0
(−∞,
1
7
4
[0, ∞)
2 =1
[1,
0]
=
4
4
1
1
[ 4, 0]
31
2 = 31
[3 4, 0]
−5
=
−5
3
0
[−1, ∞)
4 = 11
Tabel 6 Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus III)
Koefisien
Range
Shadow price
1
(−∞, 0]
1 =0
4
[0, ∞)
2 =1
1
[1, 4]
1 =4
0
[31, ∞)
2 = 31
0
[−5, ∞)
3 = −5
0
[−1, ∞)
4 = 11
Pada Tabel 5 dan Tabel 6 dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan range dan
shadow price yang diperoleh dengan menggunakan partisi optimal dan metode
simpleks. Pada koefisien 1 = 0, untuk shadow price yang sama, pendekatan
partisi optimal mendeteksi range yang lebih besar. Kemudian pada koefisien
1 = 4, 2 = 31 dan 3 = −5 analisis dengan menggunakan metode simpleks
tidak mendeteksi adanya break point, sehingga shadow price yang diperoleh
dengan metode simpleks merupakan subset dari shadow price dengan pendekatan
partisi optimal. Karena koefisien 1 , 2 dan 3 adalah break point maka koefisien
1 , 2 dan 3 memiliki dua nilai shadow price berturut-turut, yaitu shadow price
kiri yang bernilai 1, 1 4, 3 4 dan shadow price kanan yang bernilai 0.
15
V SIMPULAN
Analisis sensitivitas dengan metode simpleks (menggunakan pendekatan
basis optimal) untuk kasus yang memiliki solusi optimal primal atau dual yang
tidak unik, hasilnya akan mengalami ketaksempurnaan informasi. Sedangkan
analisis sensitivitas dengan pendekatan partisi optimal untuk kasus yang memiliki
solusi optimal primal atau dual yang tidak unik, menghasilkan informasi yang
lebih akurat. Namun saat masalah primal dan masalah dual memiliki solusi
optimal yang unik, metode simpleks dan pendekatan partisi optimal menghasilkan
informasi yang persis sama.
DAFTAR PUSTAKA
Jansen B, de Jong J.J, Roos C, Terlaky T. 1997. Sensitivity analysis in linear
programming: just be careful!. European Journal of Operations Research.
101: 15-28.doi: 10.1016/S0377-2217(96)00172-5.
Leon SJ. 1998. Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. New Jersey (US):
Prentice Hall.
Roos C, Terlaky T, Vial J-Ph. 2006. Interior Point Methods for Linear
Optimization. New York (US): Springer.
Siswanto. 2007. Operations Research. Jilid 1. Jakarta (ID): Erlangga.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. 4th
edition. New York (US): Duxbury .
16
Lampiran 1 Studi kasus I dengan menggunakan LINDO
Input Primal :
min 4x1-5x2+11x3
subject to -x2+3x3=0
x1-x2-x3=1
end
Output Primal :
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
4.000000
VARIABLE
X1
X2
X3
ROW
2)
3)
VALUE
1.000000
0.000000
0.000000
SLACK OR SURPLUS
0.000000
0.000000
NO. ITERATIONS=
REDUCED COST
0.000000
0.000000
12.000000
DUAL PRICES
-1.000000
-4.000000
0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE
X1
X2
X3
ROW
2
3
Input Dual :
max y2
subject to y2
PARTISI OPTIMAL DAN BASIS OPTIMAL PADA OPTIMASI
LINEAR
MIRNA SARI DEWI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Analisis
Sensitivitas Menggunakan Partisi Optimal dan Basis Optimal pada Optimasi Linear
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis
lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Desember 2013
Mirna Sari Dewi
NIM G54090042
ABSTRAK
MIRNA SARI DEWI. Perbandingan Analisis Sensitivitas Menggunakan Partisi
Optimal dan Basis Optimal pada Optimasi Linear. Dibimbing oleh BIB PARUHUM
SILALAHI dan PRAPTO TRI SUPRIYO.
Analisis sensitivitas menjelaskan sampai sejauh mana pengaruh perubahan
parameter-parameter model optimasi linear, yaitu koefisien fungsi tujuan dan nilai ruas
kanan kendala, terhadap penyelesaian optimal. Analisis sensitivitas yang biasa
digunakan adalah dengan pendekatan basis optimal berdasarkan metode simpleks. Pada
karya ilmiah ini dibahas analisis sensitivitas dengan pendekatan lain yaitu analisis
menggunakan partisi optimal yang unik berdasarkan metode interior point untuk
menentukan range dan shadow price. Tujuan penelitian ini adalah memaparkan analisis
sensitivitas menggunakan partisi optimal berdasarkan buku acuan yang berjudul
Interior Point Methods for Linear Optimization pada subbab Sensitivity Analysis yang
disusun oleh C. Roos, T. Terlaky, dan J. PH. Vial sehingga dapat ditentukan nilai
shadow price dan range serta membandingkan hasil yang diperoleh dengan yang
dihasilkan oleh metode simpleks dengan bantuan perangkat lunak LINDO 6.1. Hasil
analisis sensitivitas yang diperoleh dengan pendekatan partisi optimal juga lebih akurat
dari pada menggunakan pendekatan basis optimal (metode simpleks) terutama untuk
kasus yang memiliki solusi optimal primal atau dual yang tidak unik. Namun saat
masalah primal dan masalah dual memiliki solusi optimal yang unik, metode simpleks
dan pendekatan partisi optimal menghasilkan informasi yang persis sama.
Kata kunci: analisis sensitivitas, partisi optimal, range, shadow price
ABSTRACT
MIRNA SARI DEWI. Comparing Optimal Partitions and Optimal Bases of Sensitivity
Analysis on Linear Optimizations. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and
PRAPTO TRI SUPRIYO.
Sensitivity analysis is studying the effect of parameters of the linear optimization
model, i.e. the coefficients of objective function and right-hand side value constraints to
the optimal solution. Sensitivity analysis used in the classical approach (the simplex
method) is based on the optimal basis. This paper presents briefly sensitivity analysis
by using the unique optimal partition based on the interior point method to determine
the range and shadow price. The purpose of this study is to present the sensitivity
analysis of the optimal partition based on a reference book entitled Interior Point
Methods for Linear Optimization in Section Sensitivity Analysis prepared by C. Roos,
T. Terlaky, and J. PH. Vial so that can be determined the shadow price and range value
and compare the obtained results with those produced by the simplex method with the
help of software LINDO 6.1. Sensitivity analysis obtained results with the optimal
partition approach is also more accurate than using the optimal bases approach (simplex
method), especially for cases that have a primal or dual optimal solution is not unique.
But when the primal and the dual has a unique optimal solution, simplex method and
optimal partition approach produces the same information
Keywords: sensitivity analysis, optimal partition, range, shadow price
PERBANDINGAN ANALISIS SENSITIVITAS MENGGUNAKAN
PARTISI OPTIMAL DAN BASIS OPTIMAL PADA OPTIMASI
LINEAR
MIRNA SARI DEWI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Perbandingan Analisis Sensitivitas Menggunakan Partisi Optimal dan
Basis Optimal pada Optimasi Linear
Nama
: Mirna Sari Dewi
NIM
: G54090042
Disetujui oleh
Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
Pembimbing I
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2013 ini ialah analisis sensitivitas,
dengan judul Perbandingan Analisis Sensitivitas Menggunakan Partisi Optimal dan
Basis Optimal pada Optimasi Linear.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom
dan Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku pembimbing, serta Ibu Dra Farida Hanum,
MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran, motivasi dan bimbingan
dalam penulisan karya ilmiah ini. Ucapan terima kasih juga penulis berikan kepada
seluruh mahasiswa Matematika angkatan 44, 45, 46, 47, 48, dan 49 serta teman-teman
di luar Departemen Matematika baik di dalam Institut Pertanian Bogor maupun di luar
Institut Pertanian Bogor atas kritik, saran dan doanya selama pembuatan karya ilmiah
ini. Terima kasih juga penulis berikan kepada seluruh staf Departemen Matematika dan
staf Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Ungkapan terima kasih juga tak
lupa penulis sampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan
kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2013
Mirna Sari Dewi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
I PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Tujuan Penelitian
1
1.3 Metode Penelitian
1
II TINJAUAN PUSTAKA
2
2.1 Masalah Optimasi Linear
2
2.2 Analisis Sensitivitas
3
2.3 Makna Simbol
3
2.4 Bentuk Khusus
4
III PEMBAHASAN
4
3.1 Primal Dual
4
3.2 Primal-Dual dengan Pendekatan Partisi Optimal
5
3.3 Ranges dan Shadow Prices
6
3.4 Analisis Sensitivitas dengan Pendekatan Klasik
7
IV STUDI KASUS
8
V SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
21
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus I)
Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus I)
Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus II)
Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus II)
Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus III)
Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus III)
11
11
12
13
14
14
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
Contoh daerah fisibel
Fungsi nilai optimal untuk
Daerah fisibel (D) kasus I
Daerah fisibel (D) kasus II
Daerah fisibel (D) kasus III
2
6
8
12
13
DAFTAR LAMPIRAN
1 Studi kasus I dengan menggunakan LINDO
2 Studi kasus II dengan menggunakan LINDO
3 Studi kasus III dengan menggunakan LINDO
16
17
19
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Saat ini manfaat optimasi sangat terasa dan diterima secara luas sebagai alat
yang berguna dalam berbagai masalah kehidupan. Sebagian besar perusahaan
menggunakan pemodelan untuk memecahkan berbagai masalah praktis; sebagai
contoh masalah transportasi, perencanaan produksi, masalah keputusan investasi,
masalah pencampuran, masalah lokasi dan alokasi, dan masih banyak lagi. Salah
satu jenis optimasi adalah optimasi linear.
Secara matematis penyelesaian optimal sebuah kasus optimasi linear selalu
berhubungan dengan penyelesaian optimal sebuah kasus optimasi linear yang lain.
Bentuk hubungan ini dikenal sebagai dualitas di dalam optimasi linear.
Penyelesaian optimal kasus optimasi linear dengan algoritme simpleks pada
dasarnya mengandung informasi yang sangat berharga berkaitan dengan
perubahan parameter-paremeter dan variabel-variabel yang digunakan. Sejauh
mana perubahan itu berperan terhadap penyelesaian optimal adalah informasi
yang sangat berharga guna menurunkan alternatif-alternatif keputusan selain
keputusan optimal. Informasi ini dapat diperoleh dengan cara analisis sensitivitas.
Analisis sensitivitas menjelaskan sampai sejauh mana pengaruh perubahan
parameter-parameter model optimasi linear, yaitu koefisien fungsi tujuan dan nilai
ruas kanan kendala, terhadap penyelesaian optimal. Analisis sensitivitas yang
biasa digunakan adalah dengan pendekatan klasik (metode simpleks) berdasarkan
basis optimal. Pada karya ilmiah ini dibahas analisis sensitivitas dengan
pendekatan lain yaitu analisis menggunakan partisi optimal yang unik berdasarkan
metode interior point.
1.2 Tujuan
Karya ilmiah ini bertujuan:
1 memaparkan analisis sensitivitas dengan partisi optimal berdasarkan buku
acuan yang berjudul Interior Point Methods for Linear Optimization pada
subbab Sensitivity Analysis yang disusun oleh C. Roos, T. Terlaky dan J. PH.
Vial, kemudian menentukan nilai shadow price dan range,
2 untuk masalah yang sama dilakukan juga analisis sensitivitas menggunakan
metode simpleks dengan bantuan perangkat lunak LINDO 6.1,
3 membandingkan hasil yang diperoleh dengan kedua pendekatan.
1.3 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah dengan dua
pendekatan:
1 studi literatur,
2 penyelesaian masalah-masalah optimasi linear menggunakan perangkat lunak
LINDO.
2
II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Masalah Optimasi Linear
Model optimasi linear meliputi tiga unsur utama yaitu:
1 fungsi tujuan
2 variabel keputusan
3 kendala
Optimasi linear merupakan sebuah model untuk menemukan suatu nilai variabel
keputusan yang optimal dengan cara memaksimumkan atau meminimumkan
fungsi tujuan terhadap kendala-kendala (Winston 2004).
Dalam model optimasi linear, tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan
ke dalam sebuah fungsi linear. Selanjutnya fungsi itu dimaksimumkan atau
diminimumkan terhadap kendala-kendala yang ada sehingga fungsi linear tersebut
dapat dikatakan sebagai fungsi tujuan. Variabel keputusan adalah variabel
persoalan yang akan memengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. Cara untuk
menentukan variabel-variabel keputusan ini adalah dengan mengajukan
pertanyaan: keputusan apa yang harus dibuat agar nilai fungsi tujuan menjadi
maksimum atau minimum. Misalkan,
adalah jumlah bangku yang harus
diproduksi, maka
adalah variabel keputusan (Siswanto 2007). Pembatasan
terhadap nilai-nilai variabel keputusan disebut kendala. Misalkan, harus berada
antara 1 dan 5, maka kendalanya dapat dituliskan menjadi
1 dan
5
(Winston 2004).
Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal pada optimasi linear adalah
suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan paling besar sedangkan
untuk masalah minimisasi, solusi optimal pada optimasi linear adalah suatu titik
pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan paling kecil. Daerah fisibel adalah
himpunan titik-titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada
optimasi linear tersebut (Winston 2004).
Contoh:
maksimumkan
=2 +2
dengan kendala
+2
4
3 +2
6
,
0.
Daerah fisibel dari masalah optimasi linear tersebut dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1 Contoh daerah fisibel
3
Dalam menentukan solusi optimal pada optimasi linear, kendala pada
model optimasi linear haruslah berbentuk standar, yaitu dengan menambahkan
variabel slack dan variabel surplus. Variabel slack adalah variabel yang berfungsi
untuk menampung sisa kapasitas pada kendala yang berupa pembatas. Misalkan,
kendala suatu masalah optimasi linear adalah 2 +
2. Bentuk standarnya
yaitu 2 + + � = 2, dengan � adalah variabel slack. Variabel surplus adalah
variabel yang berfungsi untuk menampung kelebihan nilai ruas kiri pada kendala
yang berupa syarat. Misalkan, kendala suatu masalah optimasi linear adalah
2 +
2. Bentuk standarnya yaitu 2 + − � = 2, dengan � adalah variabel
surplus (Siswanto 2007).
Metode simpleks menghasilkan solusi basis pada optimasi linear. Solusi
basis untuk
= (dengan persamaan linear dan variabel
) diperoleh
dengan menetapkan − variabel (variabel nonbasis) sama dengan nol dan
memecahkan nilai-nilai dari
variabel (variabel basis) yang tersisa. Jika −
variabel sama dengan nol maka akan menghasilkan nilai yang unik untuk
variabel yang tersisa, dengan kata lain, kolom-kolom untuk
variabel yang
tersisa adalah bebas linear. Solusi basis yang semua variabelnya taknegatif disebut
basic feasible solution (Winston 2004).
Dua buah vektor taknegatif dan � dalam ℝ dikatakan complementary
vector jika � � = 0. Jika berlaku juga + � > 0, maka dan � disebut strictly
complementary vector (Roos et al. 2006).
2.2 Analisis Sensitivitas
Analisis sensitivitas menjelaskan sampai sejauh mana pengaruh perubahan
parameter-parameter model optimasi linear, yaitu koefisien fungsi tujuan dan nilai
ruas kanan kendala, terhadap penyelesaian optimal. Analisis sensitivitas parameter
koefisien fungsi tujuan adalah persoalan penentuan batas atas dan batas bawah
nilai koefisien fungsi tujuan dimana pada interval itu solusi optimal variabel
keputusan tidak berubah. Analisis sensitivitas parameter nilai ruas kanan kendala
adalah persoalan penentuan batas atas dan batas bawah nilai ruas kanan kendala
dimana pada interval itu nilai dual price atau shadow price tidak berubah.
Shadow price, disebut juga dual price, merupakan tambahan nilai fungsi
tujuan yang terjadi karena tambahan satu unit nilai ruas kanan kendala (Siswanto
2007). Hubungan kenaikan suatu nilai fungsi tujuan dan suatu nilai shadow price
ini bersifat linear dan hanya valid dalam interval (range) tertentu.
2.3 Makna Simbol
Simbol
cT
ℝ
�
×
Makna
vektor baris dari
vektor kolom dari
vektor kolom dari
vektor kolom dari �
himpunan matriks berukuran × dengan entri bilangan real
4
Vektor baris adalah suatu matriks berukuran 1 × , dengan n adalah
bilangan-bilangan real, sedangkan vektor kolom adalah suatu matriks berukuran
1
× 1, dengan n adalah bilangan-bilangan real (Leon 1998). Misalkan
maka
adalah vektor kolom.
=
2
⋮ ,
2.4 Bentuk Khusus
Penyelesaian kasus optimasi linear dapat menyimpang dari perilaku umum.
Hasil penyelesaian yang menyimpang ini dikelompokkan ke dalam kasus-kasus
khusus optimasi linear. Kasus-kasus tersebut ialah degenerasi, solusi optimal
jamak, tidak fisibel (infeasible), dan tidak terbatas.
Sebuah optimasi linear (OL) dikatakan degenerasi jika memiliki setidaknya
satu basic feasible solution dengan satu variabel basis yang bernilai nol (Winston
2004). Solusi optimal jamak adalah penyelesaian sebuah kasus optimasi linear di
mana titik sudut ekstrem yang menghasilkan nilai optimal fungsi tujuan terdapat
lebih dari satu titik (Siswanto 2007).
Kendala pada kasus OL pada umummya membentuk suatu daerah fisibel,
namun jika kendala pada kasus OL tidak membentuk suatu daerah fisibel atau
daerah fisibelnya adalah himpunan kosong maka kasus tersebut dikatakan tidak
fisibel (infeasible). Kasus nilai fungsi tujuan tidak terbatas terjadi bila susunan
kendala membentuk sebuah daerah fisibel terbuka yang memiliki luas tidak
terbatas. Untuk masalah maksimisasi, kasus nilai fungsi tujuan tidak terbatas
terjadi jika daerah fisibel terbuka ke atas dan fungsi tujuan dimaksimumkan
terhadap daerah fisibel ini. Sedangkan untuk masalah minimisasi, kasus nilai
fungsi tujuan tidak terbatas terjadi jika daerah fisibel terbuka ke bawah dan fungsi
tujuan diminimumkan terhadap daerah fisibel ini (Winston 2004).
III PEMBAHASAN
3.1 Primal-Dual
Setiap masalah OL dapat dimodelkan secara matematis ke suatu bentuk
yang disebut bentuk primal dan bentuk dual.
Format standar bentuk masalah primal (P) dan masalah dual (D) dari suatu
OL adalah sebagai berikut:
(P)
min { � ∶
= ,
0 },
(D)
max { � ∶ � + � = , � 0 },
dengan
persamaan linear dan variabel, c, x, s ∈ ℝn dan b, y ∈ ℝm, A adalah
matriks di ℝ × dengan pangkat m.
Misalkan nilai optimal (P) dan (D) berturut-turut dilambangkan dengan
�
= min { � ∶
= ,
0 },
�
�
�
= max {
∶
+ � = , � 0 }.
5
Misalkan daerah fisibel masalah (P) dan masalah (D) dilambangkan dengan
P
≔{ ∈ℝ ∶
= ,
0 },
�
D
≔ {( , �) ∈ ℝ ∶
+ � = , � 0 }.
Jika (P) dan (D) keduanya fisibel maka solusi optimal dari (P) dan (D) dapat
dilambangkan oleh � ∗ dan �∗ , dengan
�∗
≔
∈�∶ � =�
,
∗
�
�
≔{ , � ∈�∶
= � }.
3.2 Primal-Dual dengan Pendekatan Partisi Optimal
Berikut adalah teorema yang mendasari pembentukan partisi optimal.
Teorema 1 (Teorema Dualitas) Jika (P) dan (D) fisibel maka kedua masalah
memiliki solusi optimal. Kemudian, ∈ � dan ( , �) ∈ �, ini adalah solusi yang
optimal jika dan hanya jika � � = 0. Jika tak satu pun dari dua masalah memiliki
solusi yang optimal, maka keduanya (P) dan (D) tidak fisibel atau salah satu dari
dua masalah adalah tidak fisibel dan yang lain tak terbatas (Roos et al. 2006).
Teorema 2 (Teorema Goldman-Tucker) Jika (P) dan (D) fisibel maka
terdapat strictly complementary optimal solution, yaitu suatu pasangan solusi
optimal ( , �) dengan + � > 0 (Roos et al. 2006).
Berdasarkan teorema tersebut, maka dapat didefinisikan partisi optimal dari
(P) dan (D), yakni
∶= { ∶ > 0 untuk suatu ∈ �∗ },
�
∶= { ∶ � > 0 untuk suatu ( , �) ∈ �∗ }.
Teorema Dualitas (Teorema 1) berimplikasi bahwa
� = ∅, dan teorema
Goldman-Tucker (Teorema 2) berimplikasi
� = {1, 2, … , }.
Berikut adalah lema tentang partisi optimal. Notasi
dan � mengacu
pada pembatasan vektor ∈ ℝ dengan indeks masing-masing adalah anggota
himpunan
dan �.
melambangkan pembatasan terhadap kolom dengan
indeks anggota himpunan , dan � pembatasan terhadap kolom dengan indeks
anggota himpunan �.
Lema 1
Misalkan ∗ ∈ �∗ dan ( ∗ , � ∗ ) ∈ �∗ . Diperoleh
�∗
= { ∶ ∈ �, � � ∗ = 0},
�∗
=
, � : , � ∈ �, � � ∗ = 0 (Roos et al. 2006).
Lema 2
Diberikan partisi optimal ( , �) dari (P) dan (D), himpunan solusi optimal dari
kedua masalah tersebut adalah
�∗
= { ∶ ∈ �, � = 0},
∗
�
=
, � : , � ∈ �, � = 0 (Roos et al. 2006).
6
Berdasarkan Lema 2 maka sekarang � ∗ dan �∗ , dapat dinyatakan dengan
syarat-syarat partisi optimal menjadi,
�∗
={ ∶
= ,
0, � = 0},
∗
�
�
=
, � :
+ � = , � = 0, �� 0 .
3.3 Ranges dan Shadow Prices
Analisis sensitivitas ialah suatu analisis untuk menentukan shadow price
dan range dari semua koefisien
(nilai dari ruas kanan kendala primal) dan
(nilai dari ruas kanan kendala dual). Pada suatu kasus, nilai koefisien atau
mungkin saja merupakan break point (titik patahan). Jika koefisien tersebut
adalah break point, maka koefisien tersebut memiliki dua shadow price: shadow
price kiri dan shadow price kanan. Namun jika koefisien tersebut bukan suatu
break point, maka terdapat sebuah shadow price yang berada pada suatu interval
linearitas terbuka dan range dari koefisien berada pada interval linearitas tersebut.
Gambar 2 berikut memperlihatkan suatu contoh perubahan nilai optimal untuk
perubahan nilai .
Gambar 2 Fungsi nilai optimal untuk cj
Dari Gambar 2 jika
bernilai 1 atau 2 maka
merupakan suatu break
point terhadap nilai optimalnya sehingga
memiliki dua nilai shadow price,
sedangkan jika
bukan suatu break point terhadap nilai optimalnya maka
memiliki satu nilai shadow price (Jansen et al. 1997).
Misalkan ∗ adalah solusi optimal dari (P) dan ( ∗ , � ∗ ) adalah solusi
optimal dari (D). Berdasarkan pendekatan partisi optimal range didapat dengan
meminimumkan dan memaksimumkan (Roos et al. 2006) dengan
{ ∶
= ,
0, � � ∗ = 0}.
(1)
Shadow price kiri dan kanan dari
ditentukan dengan meminimumkan dan
memaksimumkan dengan
∶ � + � = , � 0, � � ∗ = 0 .
(2)
nilai
Untuk range
diperoleh dengan meminimumkan dan memaksimumkan
dengan
∶ � + � = , � 0, � � ∗ = 0 .
(3)
7
Shadow price kiri dan kanan dari
memaksimumkan dengan
{ ∶
= ,
0, � � ∗ = 0}.
ditentukan dengan meminimumkan dan
(4)
Jika (P) dan (D) fisibel maka formula untuk range dan shadow price
koefisien dan dapat disederhanakan sebagai berikut.
Formula (1) dapat dirumuskan menjadi
{ ∶
= ,
0, � = 0}
(5)
dan (2) menjadi
∶ � + � = , � = 0, �� 0 .
(6)
Hal yang sama berlaku untuk (3) yang dapat dirumuskan menjadi
∶ � + � = , � = 0, �� 0 ,
(7)
dan (4) menjadi
{ ∶
= ,
0, � = 0}.
(8)
3.4 Analisis Sensitivitas dengan Pendekatan Klasik
Analisis sensitivitas dengan pendekatan klasik menggunakan metode
simpleks dalam menyelesaikan masalah optimasi linear. Metode simpleks
menghasilkan solusi basis dari masalah optimasi linear, sehingga solusi dengan
pendekatan klasik ini ditentukan dengan sebuah basis optimal.
Diasumsikan bahwa matriks
berukuran
× dan pangkat ( ) = ,
indeks variabel basis dari yang berjumlah dinotasikan dengan ’, sehingga ’
adalah submatriks
×
yang nonsingular dari
dengan
′ berukuran
=
,
=
0
dengan
�’
adalah
indeks
variabel
nonbasis
dari
.
Solusi
′
′
�′
basis primal dapat ditentukan dengan
−1
′
′
∶=
(9)
=
0
�′
dan solusi basis dual dapat ditentukan dengan
0
.
(10)
= −�′ �′ , � = �� ′ ∶=
− �
�′
�′
�′
Jika
0 maka ’ adalah basis fisibel primal, jika ��′ 0 maka ’
′
adalah basis fisibel dual. ’ basis optimal jika primal dan dual fisibel. Sebuah
basis dikatakan optimal primal jika solusi basis primal tersebut optimal di (P), dan
sebuah basis dikatakan optimal dual jika solusi basis dual tersebut optimal di (D).
Analisis sensitivitas dengan pendekatan klasik juga menggunakan formula
(5) - (8) untuk menentukan range dan shadow price, tetapi dengan partisi basis
optimal ( ’, �’) sebagai ganti ( , �). (P) dan (D) mungkin saja memiliki basis
optimal lebih dari satu, dan pendekatan klasik ini juga mungkin memberikan
range dan shadow price yang berbeda (Jansen et al. 1997).
8
IV STUDI KASUS
Pada bagian ini akan disajikan studi kasus analisis sensitivitas masalah
optimasi linear. Hasil analisis sensitivitas yang diperoleh dengan menggunakan
partisi optimal akan dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dengan bantuan
perangkat lunak LINDO. Kasus yang diamati adalah sebagai berikut :
1 solusi optimal masalah primal unik, dan solusi optimal masalah dual tidak
unik,
2 solusi optimal masalah primal unik, dan solusi optimal masalah dual unik,
3 solusi optimal masalah primal tidak unik, dan solusi optimal masalah dual
unik.
4.1 Kasus I
Misalkan masalah primal (P) didefinisikan sebagai berikut
min 4
terhadap
1
− 5 2 + 11 3
− 2+3 3 =0
1− 2− 3 = 1
0.
1, 2, 3
Masalah dualnya (D) adalah
max
2
terhadap
4
2
− 1 − 2
−5
3 1 − 2
11.
Masalah dual (D) dapat diselesaikan secara grafik, dan daerah fisibelnya
yang dapat dilihat di Gambar 3.
Gambar 3 Daerah fisibel (D) Kasus I
Dari Gambar 3 dapat ditentukan himpunan solusi optimalnya adalah
� ∗ = {( 1 , 2 ): 1
5, 2 = 4} dan nilai optimalnya adalah 4. Variabel
1
slack dari setiap kendala dual masing-masing ialah
9
�1 = 4 − 2
2 + �1 = 4
− 1 − 2 + �2 = −5 �2 = −5 + 1 +
3 1 – 2 + �3 = 11 �3 = 11 − 3 1 +
2
2
Dengan memasukkan nilai 1
5, 2 = 4 maka akan diperoleh
1
nilai untuk setiap variabel slack dan dapat disimpulkan bahwa semua variabel
slack dapat menjadi positif pada solusi optimal kecuali variabel slack pada
konstrain 2
4, yaitu �1 = 0. Karena di dual �1 = 0 maka di primalnya hanya
variabel 1 yang dapat menjadi positif, sehingga dapat ditentukan partisi
optimalnya ( , �), dengan � = {2, 3} dan = {1}.
Dari Lema 2 diperoleh:
�∗ = { ∈ �: 2 = 3 = 0} dan (P) memiliki solusi yang unik: = (1, 0, 0).
Range dan Shadow Price untuk
=
Dengan menggunakan formula (5) range
meminimumkan dan memaksimumkan 1
{ ∶
= ,
0, � = 0}.
Dari perkalian matriks
=
0
1
diperoleh
−1 3
−1 −1
1
dapat ditentukan dengan
(5)
1
2
3
=
1
1
0= 1
1 = 1
sehingga range untuk 1 adalah interval [0, 0]. Maka 1 = 0 adalah break point.
Dengan menggunakan formula (6) shadow price untuk 1 dapat ditentukan
dengan meminimumkan dan memaksimumkan 1
∶ � + � = , � = 0, �� 0
(6)
karena ∈ � ∗ , nilai minimum 1 adalah 1 dan nilai maksimum 1 adalah 5, jadi
shadow price untuk 1 adalah [1, 5].
Range dan Shadow Price untuk
=
Dengan menggunakan formula (5) range 2 dapat ditentukan dengan
meminimumkan dan memaksimumkan 2 . Dari perkalian matriks
=
0
1
diperoleh
−1 3
−1 −1
1
2
3
=
0
2
0=0
1 = 2.
Karena 1 0, maka 2 0, maka range untuk 2 adalah interval [0, ∞).
Dengan menggunakan formula (6) shadow price untuk 2 dapat ditentukan
dengan meminimumkan dan memaksimumkan 2 . Berdasarkan
∈ �∗ , nilai 2
adalah 4, jadi shadow price untuk 2 adalah 4.
10
Range dan Shadow Price untuk
=
Dengan menggunakan formula (7) range
meminimumkan dan memaksimumkan 1 .
∶ � + � = , � = 0, �� 0
Perkalian matriks � + � = :
0
−1
3
1
−1
−1
1
2
1
dapat ditentukan dengan
(7)
�1
1
�
+ 2 = −5
�3
11
Berdasarkan Gambar 3 jika kendala (1) dihilangkan maka 2 berada pada
interval [1, ∞). Dengan memasukkan nilai �1 = 0 dan 2 ke persamaan kendala
(1) diperoleh
2 = 1,
maka akan diperoleh 1 1, sehingga range 1 adalah interval [1, ∞). Dengan
menggunakan formula (8) shadow price untuk 1 dapat ditentukan dengan
meminimumkan dan memaksimumkan 1
{ ∶
= ,
0, � = 0}.
(8)
Karena 1 = 1, maka shadow price untuk 1 adalah 1.
Range dan Shadow Price untuk = −
Dengan menggunakan formula (7) range 2 dapat ditentukan dengan
meminimumkan dan memaksimumkan 2 . Perkalian matriks � + � = :
0
−1
3
1
−1
−1
1
2
�1
4
+ �2 = 2
�3
11
Meminimumkan dan memaksimumkan 2 pada sistem di atas adalah sama
dengan mencari nilai minimum dan maksimum − 1 − 2 + �2 , �2 0 agar
sistem tetap fisibel. Berdasarkan Gambar 3 akan diperoleh 2 −9, sehingga
range 2 adalah interval [−9, ∞).
Dengan menggunakan formula (8), shadow price untuk 2 dapat ditentukan
dengan meminimumkan dan memaksimumkan 2 . Karena 2 = 0, maka shadow
price untuk 2 adalah 0.
Range dan Shadow Price untuk =
Dengan menggunakan formula (7) range 3 dapat ditentukan dengan
meminimumkan dan memaksimumkan 3 pada perkalian matriks � + � =
berikut:
0
−1
3
1
−1
−1
1
2
�1
4
�
+ 2 = −5
�3
3
11
Dengan menggunakan Gambar 3, akan dicari nilai minimum dan maksimum
0 sehingga sistem tetap fisibel. Diperoleh 3
−1,
3 = 3 1 − 2 + �3 , �3
sehingga range 3 adalah interval [−1, ∞).
Shadow price untuk 3 dapat ditentukan dengan meminimumkan dan
memaksimumkan 3 , menggunakan formula (8). Karena 3 = 0, maka shadow
price untuk 3 adalah 0.
Tabel 1 Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus I)
Koefisien
Range
Shadow price
0
[1, 5]
=
0
1
4
[0, ∞)
2 =1
1
[1,
∞)
=
4
1
0
[−9, ∞)
2 = −5
0
[−1, ∞)
3 = 11
Tabel 2 Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus I)
Koefisien
Range
Shadow price
1
(−∞,
0]
1 =0
4
[0, ∞)
2 =1
1
[1, ∞)
1 =4
0
[−9, ∞)
2 = −5
0
[−1, ∞)
3 = 11
Dari Tabel 1 dan Tabel 2 dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan hasil range
dan shadow price pada koefisien 1 = 0. Analisis sensitivitas dengan metode
simpleks (LINDO) tidak mendeteksi bahwa 1 = 0 merupakan break point.
Sedangkan analisis sensitivitas dengan pendekatan partisi optimal mendeteksi
bahwa 1 = 0 merupakan break point, sehingga koefisien 1 memiliki dua nilai
shadow price, yaitu shadow price kiri yang bernilai 1 dan shadow price kanan
yang bernilai 5. Shadow price kiri digunakan ketika nilai koefisien 1 diturunkan
dari nilai awalnya, sedangkan Shadow price kanan digunakan ketika nilai
koefisien 1 dinaikkan dari nilai awalnya. Misalkan jika nilai koefisien 1
diturunkan satu satuan dari nilai awalnya menjadi 1 = −1 maka nilai optimalnya
menjadi 3, dan jika nilai koefisien 1 dinaikkan satu satuan dari nilai awalnya
menjadi 1 = 1 maka nilai optimalnya menjadi 9.
4.2 Kasus II
Misalkan masalah primal (P) didefinisikan sebagai berikut
min 31
terhadap
1
− 5 2 + 11 3
3 1− 2+3 3 = 0
7 1− 2− 3 =1
0.
1, 2, 3
12
Masalah dualnya (D) adalah
max
2
terhadap
3 1 + 7 2 31
− 1 − 2 −5
3 1 − 2 11.
Masalah dual (D) dapat diselesaikan secara grafik, dan daerah fisibelnya
dapat dilihat di Gambar 4.
Gambar 4 Daerah fisibel (D) Kasus II
Dari Gambar 4 dapat ditentukan himpunan solusi optimalnya adalah
� ∗ = {( 1 , 2 ): 1 = 1, 2 = 4} dan nilai optimalnya adalah 4. Variabel slack
dari setiap kendala dual masing-masing ialah
3 1 + 7 2 + �1 = 31
− 1 − 2 + �2 = −5
3 1 − 2 + �3 = 11
�1 = 31 − 3 1 − 7 2
�2 = −5 + 1 + 2
�3 = 11 − 3 1 + 2
Dengan memasukkan nilai 1 = 1 dan 2 = 4 maka akan diperoleh nilai
untuk setiap variabel slack dan dapat disimpulkan bahwa semua variabel slack
dapat menjadi positif pada solusi optimal kecuali variabel slack pada konstrain
3 1 + 7 2 31 dan − 1 − 2 −5 yaitu �1 = �2 = 0. Karena di dual �1 =
�2 = 0 maka di primalnya hanya variabel 1 dan 2 yang dapat menjadi positif,
sehingga dapat ditentukan partisi optimalnya ( , �), dengan � = {3} dan
= {1, 2}.
Dari Lema 2 diperoleh:
∗
� = { ∈ �: 3 = 0} dan (P) memiliki solusi yang unik: = (1 4 , 3 4 , 0).
Dengan menggunakan perhitungan seperti pada Kasus I diperoleh range dan
shadow price dengan menggunakan partisi optimal pada Tabel 3.
Tabel 3 Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus II)
Koefisien
Range
Shadow price
3
(−∞, 7 ]
1
1 =0
=
1
4
[0,
∞)
2
1
[19, ∞)
4
1 = 31
3
4
=
−5
[−7,
∞)
2
0
[−1, ∞)
3 = 11
13
Tabel 4 Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus II)
Koefisien
Range
Shadow price
3
(−∞, 7]
1
1 =0
=
1
4
[0,
∞)
2
1
[19, ∞)
4
1 = 31
3
4
=
−5
[−7,
∞)
2
0
[−1, ∞)
3 = 11
Dari Tabel 3 dan Tabel 4 dapat dilihat bahwa terdapat hasil range dan shadow
price yang sama antara perhitungan dengan pendekatan partisi optimal dan
metode simpleks.
4.3 Kasus III
Misalkan masalah primal (P) didefinisikan sebagai berikut
min
4
terhadap
1
+ 31 2 − 5 3 + 11 4
3 2− 3+3 4 = 0
1+7 2− 3− 4 = 1
0.
1, 2, 3, 4
Masalah dualnya (D) adalah
max
2
terhadap
4
2
3 1 + 7 2 31
− 1 − 2 −5
3 1 − 2 11.
Masalah dual (D) dapat diselesaikan secara grafik, dan daerah fisibelnya
dapat dilihat di Gambar 5.
Gambar 5 Daerah fisibel (D) Kasus III
Dari Gambar 5 dapat ditentukan himpunan solusi optimalnya adalah
�∗ = {( 1 , 2 ): 1 = 1, 2 = 4} dan nilai optimalnya adalah 4. Variabel slack
dari setiap kendala dual masing-masing ialah
14
+ �1 = 4
3 1 + 7 2 + �2 = 31
− 1 − 2 + �3 = −5
3 1 − 2 + �4 = 11
2
�1
�2
�3
�4
=4− 2
= 31 − 3 1 − 7 2
= −5 + 1 + 2
= 11 − 3 1 + 2
Dengan memasukkan nilai 1 = 1 dan 2 = 4 maka diperoleh nilai untuk
setiap variabel slack sehingga variabel slack pada konstrain 2 4, 3 1 + 7 2
31 dan − 1 − 2 −5 bernilai 0, yaitu �1 = �2 = �3 = 0, sehingga di primalnya
hanya variabel 1 , 2 dan 3 yang dapat menjadi positif. Oleh karena itu diperoleh
partisi optimal ( , �), dengan � = {4} dan = {1, 2, 3}.
Dari Lema 2 diperoleh:
∗
� = { ∈ �: 4 = 0} dan (P) memiliki solusi yang tidak unik: {( 1 , 2 ,
, ¼ − ¼ , 3 ¼ − ¼
;0
1}. Kemudian hasil perhitungan
3 ):
range dan shadow price disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5 Range dan shadow price yang diperoleh dari hasil perhitungan (Kasus III)
Koefisien
Range
Shadow price
3 ]
1
=
0
(−∞,
1
7
4
[0, ∞)
2 =1
[1,
0]
=
4
4
1
1
[ 4, 0]
31
2 = 31
[3 4, 0]
−5
=
−5
3
0
[−1, ∞)
4 = 11
Tabel 6 Range dan shadow price yang diperoleh dari LINDO (Kasus III)
Koefisien
Range
Shadow price
1
(−∞, 0]
1 =0
4
[0, ∞)
2 =1
1
[1, 4]
1 =4
0
[31, ∞)
2 = 31
0
[−5, ∞)
3 = −5
0
[−1, ∞)
4 = 11
Pada Tabel 5 dan Tabel 6 dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan range dan
shadow price yang diperoleh dengan menggunakan partisi optimal dan metode
simpleks. Pada koefisien 1 = 0, untuk shadow price yang sama, pendekatan
partisi optimal mendeteksi range yang lebih besar. Kemudian pada koefisien
1 = 4, 2 = 31 dan 3 = −5 analisis dengan menggunakan metode simpleks
tidak mendeteksi adanya break point, sehingga shadow price yang diperoleh
dengan metode simpleks merupakan subset dari shadow price dengan pendekatan
partisi optimal. Karena koefisien 1 , 2 dan 3 adalah break point maka koefisien
1 , 2 dan 3 memiliki dua nilai shadow price berturut-turut, yaitu shadow price
kiri yang bernilai 1, 1 4, 3 4 dan shadow price kanan yang bernilai 0.
15
V SIMPULAN
Analisis sensitivitas dengan metode simpleks (menggunakan pendekatan
basis optimal) untuk kasus yang memiliki solusi optimal primal atau dual yang
tidak unik, hasilnya akan mengalami ketaksempurnaan informasi. Sedangkan
analisis sensitivitas dengan pendekatan partisi optimal untuk kasus yang memiliki
solusi optimal primal atau dual yang tidak unik, menghasilkan informasi yang
lebih akurat. Namun saat masalah primal dan masalah dual memiliki solusi
optimal yang unik, metode simpleks dan pendekatan partisi optimal menghasilkan
informasi yang persis sama.
DAFTAR PUSTAKA
Jansen B, de Jong J.J, Roos C, Terlaky T. 1997. Sensitivity analysis in linear
programming: just be careful!. European Journal of Operations Research.
101: 15-28.doi: 10.1016/S0377-2217(96)00172-5.
Leon SJ. 1998. Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. New Jersey (US):
Prentice Hall.
Roos C, Terlaky T, Vial J-Ph. 2006. Interior Point Methods for Linear
Optimization. New York (US): Springer.
Siswanto. 2007. Operations Research. Jilid 1. Jakarta (ID): Erlangga.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. 4th
edition. New York (US): Duxbury .
16
Lampiran 1 Studi kasus I dengan menggunakan LINDO
Input Primal :
min 4x1-5x2+11x3
subject to -x2+3x3=0
x1-x2-x3=1
end
Output Primal :
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
4.000000
VARIABLE
X1
X2
X3
ROW
2)
3)
VALUE
1.000000
0.000000
0.000000
SLACK OR SURPLUS
0.000000
0.000000
NO. ITERATIONS=
REDUCED COST
0.000000
0.000000
12.000000
DUAL PRICES
-1.000000
-4.000000
0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE
X1
X2
X3
ROW
2
3
Input Dual :
max y2
subject to y2