Kontrol optimal glukosa darah dalam pengobatan diabetes mellitus menggunakan sistem kontrol regulator kuadratik linear.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRAK
Indra Kurniawan. 2015. Kontrol Optimal Glukosa Darah Dalam
Pengobatan Diabetes Mellitus Menggunakan Sistem Kontrol Regulator
Kuadratik Linear. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah kontrol optimal gula darah dalam
pengobatan diabetes mellitus. Diabetes mellitus merupakan suatu penyakit kelebihan
kadar glukosa darah yang dapat mengakibatkan berbagai penyakit lain bahkan
kematian. Tulisan ini akan membahas mengenai cara mengontrol kadar glukosa darah
agar berada di interval yang diinginkan yaitu 3,9-10 mmol/L. Dalam hal ini, kontrol
glukosa darah dapat dipresentasikan dalam sistem kontrol regulator kuadratik linear
menggunakan model glukosa darah Ackerman. Model glukosa darah Ackerman
menggunakan satu kontrol yaitu insulin dan dua variabel keadaan yaitu kadar glukosa
darah dan kadar efek hormon di dalam tubuh. Model tersebut akan meminimumkan

fungsi tujuan berupa penyimpangan kadar glukosa darah dari kadar yang diinginkan
dan kadar insulin yang diberikan kepada pasien diabetes mellitus.
Kadar glukosa darah yang diperoleh dari penyelesaian sistem kontrol
regulator kuadratik linear merupakan kadar glukosa darah yang optimal dengan kadar
tranfusi insulin yang minimal. Dengan demikian, sistem dan model ini dapat
membantu dalam menentukan kadar insulin yang mengontrol kadar glukosa darah
agar selalu di interval normal. Selain itu, kelebihan insulin yang dapat menyebabkan
penyakit lain dapat dihindari dengan menggunakan kontrol ini.
Kata kunci: diabetes mellitus, kontrol optimal, sistem kontrol regulator kuadratik
linear, model glukosa darah, kontrol glukosa darah

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRACT
Indra Kurniawan. 2015. Blood Glucose Optimal Control In Diabetes

Mellitus Treatment Using Linear Quadratic Regulator Control System. A
Thesis. Mathematics Study Program, Departement of Mathematics, Faculty of
Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
The topic of this thesis is blood glucose optimal control in diabetes mellitus
treatment. Diabetes mellitus is a disease due to excess blood glucose level which can
lead to a variety of other diseases and even death. This paper will discuss how to
control blood glucose level such that in the desired interval of 3.9-10 mmol/L. In this
case, the control of blood glucose can be presented as an control system using the
linear quadratic regulator of blood glucose Ackerman model. Ackerman model blood
glucose use a single control, namely insulin and two state variables, namely blood
glucose level and the effects of hormone level in the body. The model will minimize
the objective function which are a deviation of blood glucose level from the desired
level and insulin level given to diabetes mellitus patients.
Blood glucose level obtained from the solution of the linear quadratic
regulator optimal control system is optimal blood glucose level with minimal insulin
transfusion level. Thus, the system and this model can help determining the insulin
level that controls blood glucose level always in the normal interval. In addition,
excess insulin due to insulin administration from outside led to other illnesses can be
avoided using this control.
Keyword: diabetes mellitus, optimal control, linear quadratic regulator control

system, blood glucose model, blood glucose control

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

KONTROL OPTIMAL GLUKOSA DARAH DALAM PENGOBATAN
DIABETES MELLITUS MENGGUNAKAN SISTEM KONTROL
REGULATOR KUADRATIK LINEAR

SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika

Oleh:
Indra Kurniawan

NIM: 113114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015

i

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BLOOD GLUCOSE OPTIMAL CONTROL IN DIABETES MELLITUS
TREATMENT USING LINEAR QUADRATIC REGULATOR CONTROL

SYSTEM

A THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program

Written by:
Indra Kurniawan
Student ID: 113114003

MATHEMATICS STUDY PROGRAM
MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2015

ii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

iii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

iv

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN

MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

LEMBAR PERSEMBAHAN

Karya ini sebagai bukti kasih setia Yesus Kristus di dalam hidupku

‘Karena begitu besar kasih Allah akan dunia ini, sehingga Ia telah mengaruniakan
anak-Nya yang tunggal, supaya setiap orang yang percaya kepada-Nya tidak
binasa, melainkan beroleh hidup yang kekal.’
(Yohanes 3:16)

‘Tetapi carilah dahulu kerajaan Allah dan kebenarannya, maka semuanya akan
ditambahkan kepadamu’
(Matius 6:33)

Karya ini aku persembahkan untuk :
Orang-orang terkasih: bapak, ibu, dan adikku

Sahabat-sahabatku matematika 2011: Ensi, Bayu, Heri
Teman-teman angkatan 2009, 2010, dan 2012: Ochie, Marshel, Happy, Tika

v

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

vi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRAK
Indra Kurniawan. 2015. Kontrol Optimal Glukosa Darah Dalam Pengobatan Diabetes Mellitus Menggunakan Sistem Kontrol Regulator Kuadratik
Linear. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas
Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah kontrol optimal gula darah dalam
pengobatan diabetes mellitus. Diabetes mellitus merupakan suatu penyakit kelebihan kadar glukosa darah yang dapat mengakibatkan berbagai penyakit lain bahkan
kematian. Tulisan ini akan membahas mengenai cara mengontrol kadar glukosa
darah agar berada di interval yang diinginkan yaitu 3,9-10 mmol/L. Dalam hal ini,
kontrol glukosa darah dapat dipresentasikan dalam sistem kontrol regulator kuadratik linear menggunakan model glukosa darah Ackerman. Model glukosa darah
Ackerman menggunakan satu kontrol yaitu insulin dan dua variabel keadaan yaitu
kadar glukosa darah dan kadar efek hormon di dalam tubuh. Model tersebut akan
meminimumkan fungsi tujuan berupa penyimpangan kadar glukosa darah dari kadar
yang diinginkan dan kadar insulin yang diberikan kepada pasien diabetes mellitus.
Kadar glukosa darah yang diperoleh dari penyelesaian sistem kontrol regulator
kuadratik linear merupakan kadar glukosa darah yang optimal dengan kadar tranfusi insulin yang minimal. Dengan demikian, sistem dan model ini dapat membantu
dalam menentukan kadar insulin yang mengontrol kadar glukosa darah agar selalu
di interval normal. Selain itu, kelebihan insulin yang dapat menyebabkan penyakit
lain dapat dihindari dengan menggunakan kontrol ini.
Kata kunci: diabetes mellitus, kontrol optimal, sistem kontrol regulator kuadratik

linear, model glukosa darah, kontrol glukosa darah

vii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRACT
Indra Kurniawan. 2015. Blood Glucose Optimal Control In Diabetes Mellitus Treatment Using Linear Quadratic Regulator Control System. A Thesis.
Mathematics Study Program, Departement of Mathematics, Faculty of Science
and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
The topic of this thesis is blood glucose optimal control in diabetes mellitus
treatment. Diabetes mellitus is a disease due to excess blood glucose level which
can lead to a variety of other diseases and even death. This paper will discuss how
to control blood glucose level such that in the desired interval of 3.9-10 mmol/L. In
this case, the control of blood glucose can be presented as an control system using

the linear quadratic regulator of blood glucose Ackerman model. Ackerman model
blood glucose use a single control, namely insulin and two state variables, namely
blood glucose level and the effects of hormone level in the body. The model will
minimize the objective function which are a deviation of blood glucose level from
the desired level and insulin level given to diabetes mellitus patients.
Blood glucose level obtained from the solution of the linear quadratic regulator
optimal control system is optimal blood glucose level with minimal insulin transfusion level. Thus, the system and this model can help determining the insulin level
that controls blood glucose level always in the normal interval. In addition, excess
insulin due to insulin administration from outside led to other illnesses can be avoided using this control.
Keyword: diabetes mellitus, optimal control, linear quadratic regulator control system, blood glucose model, blood glucose control

viii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah melimpahkan berkat dan kasihNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini
dengan baik.
Dalam penulisan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan baik moril maupun
materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada:
1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
2. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku dosen pembimbing skripsi dan Ketua
Program Studi Matematika yang telah meluangkan banyak waktu dan membimbing penulis dengan penuh kesabaran.
3. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik.
4. Bapak, Ibu, dan Romo dosen-dosen yang telah memberikan ilmu yang berguna kepada penulis.
5. Kedua orang tua, Bapak Blasius Bheri dan Ibu Lusi Bachtiar, yang selalu
mendukung penulis dengan doa, semangat, dan materi.
6. Teman-temanku; Ensi, Heri, dan Bayu, terima kasih untuk canda tawa, kebersamaan, dan semangat yang selalu diberikan pada penulis
7. Teman-teman angkatan 2009, 2010, 2012 dan 2013, terima kasih untuk doa,
semangat, dan keceriaan yang selalu diberikan kepada penulis.
8. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi
ini.

ix

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu,
penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta menyempurnakan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan
wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.
Yogyakarta, 26 Juni 2015

Penulis

x

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

xi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL

i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING

iii

HALAMAN PENGESAHAN

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

vi

ABSTRAK

vii

ABSTRACT

viii

KATA PENGANTAR

ix

PERNYATAAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

xi

DAFTAR ISI

xii

DAFTAR GAMBAR

xv

DAFTAR TABEL

xvi

DAFTAR LAMPIRAN

xvii

BAB 1

PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang ………………………………………………………..

1

1.1.1

Diabetes Mellitus ……………………………………………

1

1.1.2

Diagnosis Diabetes Mellitus ………………………………...

6

1.1.3

Komplikasi Diabetes Mellitus ………………………………

7

1.1.4

Terapi Diabetes Mellitus …………………………………….

9

xii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

1.1.5

Kontrol Glukosa Darah Pada Penderita Diabetes Mellitus ….

10

1.2 Rumusan Masalah …………………………………………………….

16

1.3 Pembatasan Masalah ………………………………………………….

16

1.4 Tujuan Penulisan ……………………………………………………...

16

1.5 Manfaat Penulisan …………………………………………………….

17

1.6 Metode Penulisan ……………………………………………………..

17

1.7 Sistematika Penulisan ………………………………………………...

17

BAB 2

LANDASAN TEORI

19

2.1 Optimisasi Menggunakan Kalkulus …………………………………..

19

2.1.1

Fungsi Satu Variabel ………………………………………...

19

2.1.2

Fungsi Beberapa Variabel …………………………………...

24

2.2 Matriks Definit Positif dan Definit Negatif …………………………..

29

2.3 Optimisasi Menggunakan Kalkulus Variasi ………………………….

45

BAB 3

SISTEM KONTROL OPTIMAL KUADRATIK LINEAR

3.1 Kontrol Optimal ………………………………………………………

51
51

3.1.1

Sistem ………………………………………………………..

51

3.1.2

Indeks Peforma ……………………………………………...

52

3.1.3

Kendala Pada Variabel Keadaan Dan Atau Variabel Kontrol

52

3.2 Prinsip Minimum Pontryagin …………………………………………

53

3.2.1

Asumsi Kondisi Optimal ……………………………………

54

3.2.2

Gangguan Dari Kontrol dan Keadaan ……………………….

54

xiii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

3.2.3

Pengali Langrange dan Langrangian ………………………..

55

3.2.4

Variasi Pertama ……………………………………………...

57

3.2.5

Syarat Untuk Ekstrim ……………………………………….

58

3.2.6

Hamiltonian …………………………………………………

60

3.3 Sistem Kontrol Kuadratik Linear ……………………………………..

70

3.3.1

Formulasi Masalah Regulator Kuadratik Linear ……...…….

70

3.3.2

Masalah Regulator Kuadratik Linear Dengan Waktu

71

Berhingga dan Invariant …………………………………….
3.3.3

Masalah Regulator Kuadratik Linear Dengan Waktu

76

Takhingga dan Invariant …………………………………….
BAB 4

SISTEM KONTROL OPTIMAL GLUKOSA DARAH PADA

82

PENGOBATAN DIABETES MELLITUS
4.1 Model Kadar Glukosa Darah …………………………………………

82

4.2 Sistem Regulator Linear Kuadratik Pada Masalah Kontrol Optimal

86

Di Bidang Biomedical ………………………………………………...
4.3 Kontrol Optimal Untuk Kadar Glukosa Darah ………………………
BAB 5

PENUTUP

89
103

5.1 Kesimpulan …………………………………………………………...

103

5.2 Saran ………………………………………………………………….

104

DAFTAR PUSTAKA

105

xiv

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1

Interval Kadar Glukosa Darah . . . . . . . . . . . . . . . .

Gambar 2

Sistem Kontrol Regulator Glukosa Darah . . . . . . . . . . 12

Gambar 3

Anatomi Mekanisme regulasi Glukosa Darah Intrinsik . . . 14

Gambar 4

Masalah Brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Gambar 5

Syarat Titik Akhir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Gambar 6

Grafik Kontrol Optimal Contoh 3.1 . . . . . . . . . . . . . 65

Gambar 7

Grafik Keadaan Optimal Contoh 3.1 . . . . . . . . . . . . 65

Gambar 8

Grafik Adjoint Optimal Contoh 3.1 . . . . . . . . . . . . . 66

Gambar 9

Grafik Kontrol Optimal Contoh 3.2 . . . . . . . . . . . . . 69

8

Gambar 10 Grafik Keadaan Optimal Contoh 3.2 . . . . . . . . . . . . 69
Gambar 11 Grafik Kontrol Optimal Contoh 3.3 . . . . . . . . . . . . . 76
Gambar 12 Grafik Keadaan Optimal Contoh 3.3 . . . . . . . . . . . . 77
Gambar 13 Grafik Keadaan Optimal dan Kontrol Optimal Contoh 3.4 . 81
Gambar 14 Absorbsi Glukosa dan Hormon . . . . . . . . . . . . . . . 84
Gambar 15 Grafik Kadar Insulin dan Glukosa Darah . . . . . . . . . . 101

xv

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR TABEL
Tabel 4.1

Nilai Parameter Model Ackerman …………………………………

xvi

86

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A
Lampiran B

PROGRAM M-FILE …………………………………………...
PERHITUNGAN DAN MANIPULASI ALJABAR …………..

xvii

107
118

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.1.1 Diabetes Mellitus
Diabetes mellitus didefinisikan sebagai suatu penyakit atau gangguan metabolisme
kronis dengan multi etiologi yang ditandai dengan tingginya kadar gula darah disertai dengan gangguan metabolisme karbohidrat, lipid, dan protein sebagai akibat
insufisiensi fungsi insulin. Insufisiensi fungsi insulin dapat disebabkan oleh gangguan atau defisiensi produksi insulin oleh sel-sel beta Langerhans kelenjar pankreas,
atau disebabkan oleh kurang responsifnya sel-sel tubuh terhadap insulin. (Direktorat Bina Farmasi Komunitas dan Klinik Direktorat Jenderal Bina Kefarmasian Dan
Alat Kesehatan Departemen Kesehatan RI, 2005).
Diabetes berasal dari kata bahasa Yunani kuno yang berarti siphon atau pipa
karena pasien diabetes mempunyai gejala banyak minum sehingga banyak buang
air kecil pula. Mellitus berasal dari bahasa Latin yang berarti honey atau madu
karena urin pasien diabetes berisi banyak gula.
Diabetes mellitus diperkirakan telah ada sejak manusia ada. Salah satu papirus di Mesir pada tahun 1500 SM menyebut gejala sering buang air kecil. Pada
tahun 400 SM gejala diabetes disebutkan dalam Susruta (dokumen Hindu kuno).
Dokumen paling jelas yang menyebutkan tentang diabetes mellitus diberikan oleh
Aretaeus dari Cappadocia (seorang dokter abad kedua pada saat kekaisaran Nero).
Selama berabad-abad, satu-satunya pengobatan yang tersedia untuk pasien dengan
diabetes mellitus adalah puasa. Jika diabetes mellitus memburuk, maka dianjurkan
puasa yang lebih lama. Penemuan insulin di Universitas Toronto pada tahun 19211922 adalah salah satu tonggak paling penting dalam sejarah kedokteran (Frederick

1

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Chee dan Tyrone Fernando, 2007). Pada tahun 1921, 2 dokter dari Toronto, Kanada yaitu Frederick Banting dan Charles Herbert Best berhasil menemukan hormon
insulin dalam pankreas yang berperan besar dalam mengatur kadar glukosa darah
dalam tubuh. Hormon ini menfasilitasi jaringan menyerap glukosa untuk menghasilkan energi. Atas jasanya, kedua dokter tersebut dianugerahi Hadiah Nobel pada
tahun 1923.
Penderita diabetes mellitus di dunia berdasarkan data International Diabetes Federation adalah sebanyak 382 juta di tahun 2013 dan diperkirakan akan meningkat
menjadi 592 juta di tahun 2030. Penderita diabetes mellitus di Indonesia sebanyak
8,4% di tahun 2015 dan diperkirakan meningkat menjadi 21,3 % di tahun 2030. Selain itu, menurut Badan Kesehatan Dunia (WHO) lebih dari 80% kematian akibat
diabetes mellitus terjadi pada negara berpenghasilan rendah dan menengah.
Secara umum diabetes mellitus diklasifikasikan menjadi 2 jenis yaitu diabetes
mellitus tipe 1 dan diabetes mellitus tipe 2. Pada diabetes mellitus tipe 1 produksi
insulin yang dihasilkan oleh tubuh berkurang. Pada diabetes mellitus tipe 2 respon tubuh terhadap insulin berkurang. Selain 2 tipe tersebut terdapat jenis diabetes
lainnya seperti diabetes mellitus gestasional dan pra-diabetes.
Diabetes Mellitus Tipe 1
Diabetes mellitus tipe 1 merupakan diabetes yang jarang atau sedikit populasinya,
diperkirakan kurang dari 5-10 % dari keseluruhan populasi penderita diabetes mellitus. Pada diabetes mellitus tipe 1 terjadi gangguan produksi insulin yang diakibatkan oleh kerusakan sel-sel β pulau Langerhans oleh reaksi otoimun. Serangan
otoimun secara selektif menghancurkan sel-sel β . Namun ada pula yang disebabkan oleh bermacam-macam virus, antara lain: virus Cocksakie, Rubella, CMVirus,
dan Herpes.
Destruksi otoimun dari sel-sel β pulau Langerhans kelenjar pankreas meng2

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

akibatkan defisiensi sekresi insulin. Defisiensi insulin inilah yang menyebabkan
gangguan metabolisme yang menyertai diabetes melitus tipe 1. Selain defisiensi
insulin, fungsi sel-sel α pulau Langerhans pada penderita diabetes mellitus tipe 1
juga menjadi tidak normal. Pada penderita diabetes mellitus tipe 1 ditemukan sekresi glukagon yang berlebihan oleh sel-sel α pulau Langerhans. Secara normal,
jika kadar glukosa darah tinggi (> 10 mmol/L) maka sekresi glukagon akan turun,
namun pada penderita diabetes mellitus tipe 1 hal ini tidak terjadi, sekresi glukagon
tetap tinggi. Salah satu akibat dari keadaan ini adalah cepatnya penderita diabetes
mellitus tipe 1 mengalami ketoasidosis diabetik apabila tidak mendapat terapi insulin. Ketoasidosis adalah suatu keadaan darurat medik akibat gangguan metabolisme
glukosa dengan tanda-tanda hiperglikemia (kadar gula darah > 16, 65 mmol/L), hiperketonemia (kadar bikarbonat darah < 15 mEq/L) dan asidosis metabolik (pH
darah < 7,3). Apabila diberikan terapi somatostatin untuk menekan sekresi glukagon, maka akan terjadi penekanan terhadap kenaikan kadar gula dan badan keton.
Somatostatin merupakan hormon yang dihasilkan oleh pulau Langerhans dan berfungsi untuk menghambat sekresi insulin dan glukagon. Salah satu masalah jangka
panjang pada penderita diabetes mellitus tipe 1 adalah rusaknya kemampuan tubuh
untuk mensekresi glukagon.
Defisiensi sekresi insulin merupakan masalah utama pada diabetes mellitus. Defisiensi sekresi insulin dapat mengakibatkan terjadinya penurunan kemampuan selsel sasaran untuk merespon terapi insulin yang diberikan. Defisiensi insulin menyebabkan meningkatnya asam lemak bebas di dalam darah sebagai akibat dari
pemecahan lemak (lipolisis) yang tidak terkendali di jaringan adiposa. Asam lemak bebas di dalam darah akan menekan metabolisme glukosa di jaringan-jaringan
perifer seperti misalnya di jaringan otot rangka. Dengan kata lain asam lemak bebas akan menurunkan penggunaan glukosa oleh tubuh. Defisiensi insulin juga akan
menurunkan ekskresi dari beberapa gen yang diperlukan sel-sel sasaran untuk me3

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

respon insulin secara normal, misalnya gen glukokinase di hati dan gen GLUT4
(protein transporter yang membantu transport glukosa di sebagian besar jaringan
tubuh) di jaringan adiposa.
Diabetes Mellitus Tipe 2
Diabetes mellitus tipe 2 merupakan tipe diabetes yang lebih umum dan lebih banyak penderitanya dibandingkan dengan diabetes mellitus tipe 1. Penderita diabetes
mellitus tipe 2 umumnya berusia di atas 45 tahun, tetapi akhir-akhir ini penderita
diabetes mellitus tipe 2 di kalangan remaja dan anak-anak populasinya meningkat.
Faktor genetik dan pengaruh lingkungan cukup besar dalam menyebabkan terjadinya diabetes mellitus tipe 2. Faktor-faktor tersebut antara lain obesitas, diet tinggi
lemak dan rendah serat, serta kurang gerak badan.
Berbeda dengan diabetes tipe 1, pada penderita diabetes tipe 2, terutama yang
berada pada tahap awal, umumnya dapat dideteksi jumlah insulin yang cukup di
dalam darahnya, disamping kadar glukosa yang juga tinggi. Jadi, diabetes tipe 2
bukan disebabkan oleh kurangnya sekresi insulin, tetapi karena sel-sel sasaran insulin gagal atau tak mampu merespon insulin secara normal. Keadaan ini lazim
disebut sebagai resistensi insulin. Resistensi insulin banyak terjadi sebagai akibat
dari obesitas, gaya hidup kurang gerak dan penuaan.
Selain resistensi insulin, pada penderita diabetes mellitus tipe 2 juga sering timbul defisiensi insulin. Namun, pada penderita diabetes mellitus tipe 2 tidak terjadi
kerusakan sel-sel β Langerhans. Dengan demikian defisiensi fungsi insulin pada
penderita diabetes mellitus tipe 2 hanya bersifat relatif. Oleh sebab itu dalam penanganan diabetes mellitus tipe 2 umumnya tidak memerlukan terapi pemberian
insulin.
Sel-sel β kelenjar pankreas mensekresi insulin dalam dua fase. Fase pertama
sekresi insulin terjadi segera setelah stimulus atau rangsangan glukosa yang ditan4

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

dai dengan meningkatnya kadar glukosa darah, sedangkan sekresi fase kedua terjadi sekitar 20 menit sesudahnya. Pada awal perkembangan diabetes mellitus tipe 2,
sel-sel β menunjukkan gangguan pada sekresi insulin fase pertama, artinya sekresi insulin gagal mengkompensasi resistensi insulin. Apabila tidak ditangani dengan
baik, penderita diabetes mellitus tipe 2 akan mengalami kerusakan sel-sel β pankreas secara progresif, yang seringkali akan mengakibatkan defisiensi insulin, sehingga
akhirnya penderita memerlukan insulin dari luar.
Diabetes Mellitus Gestasional
Diabetes mellitus gestasional adalah keadaan diabetes atau intoleransi glukosa yang
timbul selama masa kehamilan, dan biasanya berlangsung hanya sementara. Diabetes gestasional umumnya dapat pulih sendiri beberapa saat setelah melahirkan,
namun dapat berakibat buruk terhadap bayi yang dikandung. Selain itu, wanita
yang pernah menderita diabetes mellitus gestasional akan lebih besar resikonya untuk menderita diabetes lagi di masa depan.
Pra-diabetes
Pra-diabetes adalah kondisi dimana kadar gula darah seseorang berada diantara kadar normal dan diabetes, lebih tinggi daripada normal tetapi tidak cukup tinggi
untuk dikategorikan ke dalam diabetes mellitus tipe 2. Ada dua tipe kondisi pradiabetes, yaitu:
• Impaired Fasting Glucose (IFG) atau Glukosa Puasa Terganggu (GPT):
Keadaan dimana kadar glukosa darah puasa seseorang sekitar 5,5-6,9 mmol/L
(kadar glukosa darah puasa normal: < 5, 5 mmol/L).
• Impaired Glucose Tolerance (IGT) atau Toleransi Glukosa Terganggu (TGT):
Keadaan dimana kadar glukosa darah seseorang pada uji toleransi glukosa

5

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

berada di atas normal tetapi tidak cukup tinggi untuk dikategorikan ke dalam
kondisi diabetes. Diagnosa IGT ditetapkan apabila kadar glukosa darah seseorang 2 jam setelah mengkonsumsi 75 gram glukosa per oral berada diantara
7,7-10 mmol/L.
Sebagai catatan ada 2 satuan yang digunakan sebagai satuan kadar glukosa darah yaitu mmol/L dan mg/dL. Satuan mmol/L merupakan satuan standar internasional dan banyak digunakan pada jurnal-jurnal ilmiah sedangkan satuan mg/dL
digunakan di Indonesia sebagian satuan standar. Satuan mmol/L dapat dikonversi
ke mg/dL dengan cara mengalikannya dengan 18. Misalnya, 11,1 mmol/L sama
dengan 200 mg/dL. Pada tulisan ini akan digunakan kedua satuan tersebut. Apabila
satuan yang tertera tidak sesuai dengan kebutuhan maka pembaca dapat mengkonversi sendiri dengan aturan konversi yang telah dijelaskan.
1.1.2 Diagnosis Diabetes Mellitus
Salah satu cara mendiagnosa diabetes mellitus yaitu dengan melakukan Oral Glucose Tolerance Test (OGTT) atau yang lebih dikenal dengan Glucose Tolerance Test
(GTT). Glucose Tolerance Test (GTT) biasanya dilakukan pada kasus kadar glukosa sewaktu (kadar glukosa saat pemeriksaan) 7,7-11,1 mmol/L, atau kadar glukosa
puasa (kadar glukosa darah setelah seseorang tidak makan selama 8-12 jam) antara
6,1-6,9 mmol/L, atau bila ada glukosuria (ekskresi glukosa ke dalam urin) yang tidak jelas sebabnya. Uji ini dapat diindikasikan pada penderita yang gemuk dengan
riwayat keluarga diabetes, pada penderita penyakit vaskular (penyakit yang mempengaruhi sistem peredaran darah), atau neurologik (penyakit yang mempengaruhi
sistem saraf). GTT juga dapat diindikasikan untuk diabetes pada kehamilan (diabetes gestasional).
Selama 3 hari sebelum melakukan tes GTT pasien harus mengkonsumsi sekitar
150 gram karbohidrat setiap hari. Terapi obat yang dapat mempengaruhi hasil labo6

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ratorium harus dihentikan sampai tes dilaksanakan. Beberapa jenis obat yang dapat
mempengaruhi hasil laboratorium adalah insulin, kortikosteroid (kortison), kontrasepsi oral, estrogen, anticonvulsant (obat untuk mengobati atau mencegah kejang),
diuretik (obat untuk mensekresi urin lebih banyak), tiazid, salisilat, asam askorbat.
Selain itu pasien juga tidak boleh minum alkohol. Kekurangan karbohidrat dan tidak ada aktifitas atau tirah baring juga dapat mengganggu toleransi glukosa. Oleh
karena itu tes GTT tidak boleh dilakukan pada pasien yang sedang sakit, sedang
dirawat baring atau yang tidak boleh turun dari tempat tidur.
Sebelum dilakukan tes, pasien harus berpuasa selama 12 jam. Pengambilan
sampel darah dilakukan sebagai berikut:
• Pagi hari setelah puasa, pasien diambil darah vena 3-5 ml untuk uji glukosa
darah puasa. Pasien mengosongkan kandung kemihnya dan mengumpulkan
sampel urinnya.
• Pasien diberikan minum glukosa 75 gram yang dilarutkan dalam segelas air
(250 ml).
• Setelah

1
2

jam, 1 jam, 1 21 jam, dan 2 jam, pasien diambil darah untuk peme-

riksaan glukosa. Pada waktu 1 jam dan 2 jam pasien mengosongkan kandung
kemihnya dan mengumpulkan sampel urinnya secara terpisah.
• Selama tes GTT dilakukan, pasien tidak boleh minum kopi, teh, makan permen, merokok, berjalan-jalan, atau melakukan aktifitas fisik yang berat. Minum air putih yang tidak mengandung gula masih diperkenankan.
1.1.3 Komplikasi Diabetes Mellitus
Kadar glukosa darah orang sehat adalah 3,9-5,5 mmol/L. Apabila kadar glukosa
darah berada di luar level tersebut maka akan terjadi komplikasi diabetes yaitu hipoglikemia dan hiperglikemia. (lihat gambar 1).
7

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Hypo

1.1

Target

3.9

Hyper

10

33.3

BG [mmol/L]

Gambar 1: Interval Kadar Glukosa Darah
Hipoglikemia
Pada hipoglikemia, kadar glukosa plasma di antara 1,1-3.9 mmol/L. Kadar glukosa
darah yang terlalu rendah menyebabkan sel-sel otak tidak mendapat pasokan energi
sehingga tidak dapat berfungsi bahkan dapat rusak. Keadaan hipoglikemia parah
bahkan dapat menyebabkan kematian.
Serangan hipoglikemia pada penderita diabetes umumnya terjadi apabila penderita:
• Lupa atau sengaja meninggalkan makan (pagi, siang atau malam)
• Makan terlalu sedikit, lebih sedikit dari yang disarankan oleh dokter atau ahli
gizi
• Berolah raga terlalu berat
• Mengkonsumsi obat anti diabetes dalam dosis lebih besar dari pada seharusnya
• Minum alkohol
• Stres
• Mengkonsumsi obat-obatan lain yang dapat meningkatkan risiko hipoglikemia
• Mendapat dosis insulin yang berlebihan

8

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Hiperglikemia
Hiperglikemia adalah keadaan dimana kadar gula darah melonjak secara tiba-tiba.
Keadaan ini dapat disebabkan antara lain oleh stres, infeksi, dan konsumsi obatobatan tertentu. Hiperglikemia terjadi ketika kadar glukosa darah lebih dari 10
mmol/L. Hipergikemia dapat memperburuk gangguan-gangguan kesehatan seperti
gastroparesis (kelumpuhan lambung) dan infeksi jamur pada vagina. Hiperglikemia
yang berlangsung lama dapat berkembang menjadi keadaan metabolisme yang berbahaya, antara lain ketoasidosis diabetik yang dapat berakibat fatal dan membawa
kematian.
1.1.4 Terapi Diabetes Mellitus
Terapi diabetes mellitus memiliki 2 tujuan yaitu:
1. Menjaga agar kadar glukosa darah berada dalam kisaran normal
2. Mencegah atau meminimalkan kemungkinan terjadinya komplikasi diabetes.
Kadar glukosa darah perlu dijaga dalam kadar normal karena
1. konsentrasi glukosa yang tinggi menyebabkan tekanan osmotik di cairan ekstraseluler sehingga menyebabkan dehidrasi seluler. Kadar glukosa darah yang
berlebihan ini menyebabkan hilangnya glukosa melalui buang air kecil (glikosuria) yang mengarah ke diuresis osmotik (hilangnya cairan dan elektrolit
dari dalam tubuh),
2. terlalu rendah kadar glukosa membawa resiko koma hipoglikemia,
3. konsentrasi glukosa darah yang terlalu tinggi (> 11,1 mmol/L) dapat mempengaruhi penyembuhan luka dan mengganggu fungsi neutrofil (bagian sel
darah putih) manusia,
9

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

4. terapi yang mempertahankan kadar glukosa darah di bawah 11,9 mmol/L meningkatkan hasil terapi jangka panjang pada pasien diabetes dengan infark
miokard akut (keadaan dimana otot jantung tiba-tiba tidak mendapat suplai
darah akibat penyumbatan mendadak arteri koroner oleh gumpalan darah karena pecahnya plak).
Pada dasarnya ada 2 pendekatan terapi diabetes mellitus yaitu terapi tanpa obat
dan terapi dengan obat. Terapi diabetes mellitus tanpa obat dilakukan dengan diet
dan olahraga. Terapi diabetes mellitus dengan obat dilakukan dengan terapi insulin,
terapi hipoglikemik oral, atau kombinasi keduanya. Pada penderita diabetes mellitus tipe 1 tubuh gagal memproduksi insulin sehingga dibutuhkan terapi insulin.
Pada umumnya penderita diabetes mellitus tipe 2 tidak membutuhkan terapi insulin. Namun, dalam beberapa kasus penderita diabetes mellitus tipe 2 membutuhkan
terapi insulin karena juga sering timbul defisiensi insulin.
1.1.5 Kontrol Glukosa Darah Pada Penderita Diabetes Mellitus
Terapi insulin merupakan suatu keharusan bagi penderita diabetes mellitus tipe 1.
Pada diabetes mellitus tipe 1, sel-sel β Langerhans kelenjar pankreas penderita rusak, sehingga tidak lagi dapat memproduksi insulin. Sebagai penggantinya, maka
penderita diabetes mellitus tipe 1 harus mendapat insulin dari luar untuk membantu
agar metabolisme karbohidrat di dalam tubuhnya dapat berjalan normal. Walaupun
sebagian besar penderita diabetes mellitus Tipe 2 tidak memerlukan terapi insulin,
namun hampir 30% ternyata memerlukan terapi insulin disamping terapi hipoglikemik oral.
Terapi insulin diindikasikan untuk
1. Semua penderita diabetes mellitus tipe 1 karena produksi insulin oleh sel-sel

β kelenjar pankreas tidak ada atau hampir tidak ada.

10

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

2. Penderita diabetes mellitus tipe 2 tertentu karena terapi lain yang diberikan
tidak dapat mengontrol kadar glukosa darah.
3. Keadaan stres berat, seperti pada infeksi berat, tindakan pembedahan, infark
miokard akut atau stroke.
4. Diabetes mellitus gestasional dan penderita diabetes mellitus yang hamil, apabila diet saja tidak dapat mengendalikan kadar glukosa darah.
5. Ketoasidosis diabetik.
6. Pengobatan sindroma hiperglikemia hiperosmolar non-ketotik. Hiperglikemia hiperosmolar non-ketotik adalah komplikasi diabetes mellitus yang ditandai dengan peningkatan konsentrasi glukosa darah yang ekstrim yang disertai
dengan meningkatnya dehidrasi hipertonik (berkurangnya cairan berupa hilangnya air lebih banyak daripada natrium) dan tanpa disertai ketosis serum
(kadar bikarbonat darah < 15 mEq/L).
7. Penderita diabetes yang mendapat nutrisi parenteral (nutrisi yang dimasukkan ke pembuluh darah) atau yang memerlukan suplemen tinggi kalori untuk
memenuhi kebutuhan energi yang meningkat.
8. Gangguan fungsi ginjal atau hati yang berat.
9. Kontra indikasi atau alergi terhadap obat hipoglikemik oral.
Namun, para peneliti dalam beberapa dekade terakhir telah menemukan bahwa penggunaan insulin saja tidak cukup untuk pasien diabetes terutama pada kasus
munculnya komplikasi mikrovaskuler diabetes. Komplikasi mikrovaskuler ini termasuk retinopati (gangguan penglihatan), nefropati (penyakit ginjal) dan neuropati
(kerusakan saraf). Penelitian pada pasien diabetes tipe 1 dan tipe 2 pasien ditemukan perkembangan komplikasi serius dapat ditunda dengan terapi insulin intensif.
11

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Terapi intensif ini termasuk pemberian insulin tiga kali atau lebih setiap hari oleh
injeksi atau pompa insulin dari luar.
Dalam usaha terapi insulin intensif tersebut, peneliti mencoba membuat pengaturan otomatis kadar glukosa darah pasien yang mengatur infusi insulin secara otomatis seperti menyetir glukosa darah menuju kadar yang diinginkan. Pengaturan
kadar glukosa tersebut disebut sistem kontrol regulator glukosa darah. Sistem kontrol regulator glukosa darah membutuhkan minimal tiga komponen, yaitu, sensor
glukosa darah yang memberikan informasi mengenai kadar glukosa darah secara
terus menerus, pengendali yang mencocokkan kadar glukosa darah dengan tingkat
insulin, dan pompa infus untuk memberikan insulin ke pasien (lihat gambar 2).

Sensor

Controller

Pump

Patient

Gambar 2: Sistem Kontrol Regulator Glukosa Darah
Kadar glukosa darah merupakan variabel yang dikontrol sehingga diperlukan
informasi mengenai kadar glukosa darah. Informasi ini disediakan oleh sensor
glukosa, dan merupakan masukan untuk sistem kontrol. Insulin digunakan untuk
menurunkan kadar glukosa darah yang tinggi maka tingkat pengiriman insulin merupakan luaran dari sistem kontrol regulator ini. Sementara itu, pengendali adalah
komponen dari sistem yang mengatur glukosa darah pada pasien.
Perumusan aturan kontrol dibuat dalam algoritma kontrol. Algoritma kontrol
yang dibuat tergantung pada informasi yang dimiliki tentang sensor, pompa dan pasien. Selain itu, perumusan algoritma kontrol juga dipengaruhi oleh metode pengu12

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

kuran glukosa darah, jenis insulin yang digunakan, rute dari infus, dan karakteristik
pasien. Setiap teknik pengukuran glukosa darah memiliki karakteristik yang unik.
Setiap tipe insulin mempunyai kerja yang berbeda dan rute infusi yang berbeda menunjukkan karakteristik berbeda.
Oleh karena itu, ada 2 pendekatan untuk membuat algoritma kontrol yaitu dengan model tanpa pengetahuan teoritikal dan model dengan pengetahuan teoritikal.
Pada model tanpa pengetahuan teoritikal untuk desain algoritma kontrol, hubungan
antara kadar insulin dan kadar glukosa darah ditentukan berdasarkan data eksperimen. Salah satu cara paling sederhana dari pendekatan ini adalah dengan meregresikan data kadar glukosa darah dengan kadar insulin untuk memperoleh sebuah model sebagai algoritma kontrol. Sebaliknya, pada model dengan pengetahuan
teoritikal hubungan antara kadar insulin dan kadar glukosa darah ditentukan berdasarkan pengetahuan mengenai mekanisme kerja pankreas dan interaksi glukosa
darah dengan insulin di dalam tubuh. Pengetahuan tersebut dapat dideskripsikan
menjadi sebuah masalah matematika sehingga dapat dimodelkan secara matematika.
Pada tulisan ini akan digunakan pendekatan untuk membuat algoritma kontrol menggunakan model dengan pengetahuan teoritikal mengenai mekanisme kerja
pankreas dan interaksi glukosa darah dengan insulin di dalam tubuh. Oleh sebab itu,
pengetahuan mengenai glukosa diatur secara intrinsik pada orang yang sehat adalah
penting dalam mengembangkan algoritma yang efektif. Pankreas manusia memiliki
antara 1 - 2 juta pulau Langerhans. Pulau ini mengandung tiga jenis sel utama: α ,

β dan δ . Sel-sel β , kira-kira 60% dari total sel dan mensekresikan insulin. Sel-sel
α , kira-kira 25% dari total sel dan mensekresi glukagon. Sel-sel δ , kira-kira 10%
dari total sel dan mengsekresi somatostatin. Sisanya 5% dari sel-sel yang terdiri
dari jenis sel lain yang mensekresi hormon lainnya. Insulin dan glukagon bermain
paling penting. Ketika seseorang makan, dua fase sekresi insulin terjadi yaitu fase
13

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

antisipatif (tahap pertama) dan fase sensitif-glukosa (tahap kedua). Pada fase antisipatif, ketika seseorang melihat makanan dan menggigit makanan untuk pertama kalinya maka otak akan mengirim sinyal ke pankreas. Sinyal-sinyal ini menyebabkan
pankreas melepaskan insulin ke dalam sirkulasi hati. Setelah insulin berada dalam
sirkulasi hati, hati berhenti mengubah glikogen menjadi glukosa. Ketika makanan memasuki lambung, pelepasan insulin difasilitasi oleh hormon gastrointestinal.
Hormon-hormon ini meningkatkan sensitivitas sel-sel pulau Langerhans terhadap
glukosa. Ketika nutrisi diserap ke dalam sirkulasi, fase glukosa sensitif dimulai,
dan ada sekresi insulin terus menerus. Setelah penyerapan semua karbohidrat, sistem umpan balik yang bekerja untuk mengendalikan kadar glukosa darah mengembalikan konsentrasi glukosa dengan cepat kembali ke kadar normal, biasanya dalam
waktu 2 jam. (lihat gambar 3).

Signals from brain

Inferior vena cava

Vagus nerve trunk
Portal vein
Esophagus
Pancreas
Liver

Stomach

Insulin released
directly into
portal vein.

Intestine

Nutrients from the
intestine is absorbed
into the hepatic circulation.

Gambar 3: Anatomi Mekanisme regulasi Glukosa Darah Intrinsik
Mekanisme di atas dapat dimodelkan sebagai model glukosa darah. Ada beberapa model glukosa darah yaitu model linear, model non-linear, dan model komprehensif. Model linear glukosa darah dapat dipresentasikan berdasarkan teori masalah
kontrol regulator kuadratik linear. Secara umum pada masalah teori kuadratik linear
14

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

terdapat persamaan-persamaan sistem berbentuk linear yang mendeskripsikan proses yang akan dikontrol

ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

y(t) = C(t)x(t)
dan sebuah indeks peforma berbentuk fungsional yang menyatakan sesuatu yang
diminimumkan atau dimaksimumkan

J(u(t)) = J(x(t0 ), u(t0 ),t0 )
=

1
[z(t f ) − x(t f )]T F(t f )[z(t f ) − x(t f )]
2 Z
1 tf
+
[(z(t) − x(t))T Q(t)(z(t) − x(t))
2 t0
+ uT (t)R(t)u(t)] dt

Salah satu model linear glukosa darah yang terkenal adalah model glukosa darah
Ackerman. Sistem pada model glukosa darah Ackerman berbentuk
dg
= −ag − bh + J(t)
dt
dh
= cg − eh + K(t)
dt
dengan g adalah selisih kadar glukosa darah di dalam tubuh dengan kadar glukosa
darah optimal, h adalah selisih kadar efek berbagai hormon di dalam tubuh dengan
kadar efek berbagai hormon optimal, J(t) adalah suplai glukosa dari luar, K(t) adalah suplai insulin dari luar, a, b, c,dan e adalah sebuah konstanta positif. Sementara
itu, indeks peforma dalam masalah kontrol optimal glukosa darah dinyatakan dalam
penyimpangan kadar glukosa darah dari kadar yang diinginkan dan banyaknya suplai insulin dari luar. Sistem kontrol yang dibuat bertujuan untuk mengontrol kadar
15

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

glukosa darah agar selalu berada di level yang diinginkan dengan meminimumkan
penyimpangan kadar glukosa darah dari kadar yang diinginkan dan meminimumkan
dosis pemberian insulin dari luar yang diberikan.

1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini akan dirumuskan sebagai berikut:
1. Apa yang dimaksud dengan kontrol optimal dan bagaimana landasan teorinya?
2. Bagaimana mengontrol kadar glukosa darah agar selalu berada di interval
yang diinginkan?

1.3 Pembatasan Masalah
Penulis akan membatasi penulisan pada masalah diabetes tipe 1 dengan satu kontrol
yaitu insulin. Hal-hal yang ditulis dalam landasan teori hanya materi yang berhubungan langsung dengan topik utama.

1.4 Tujuan Penulisan
Tulisan ini disusun dengan tujuan:
1. Memahami landasan teori mengenai kontrol optimal.
2. Memahami cara mengontrol kadar glukosa darah agar selalu berada di interval yang diinginkan.
3. Untuk memenuhi syarat tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

16

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

1.5 Manfaat Penulisan
Dengan mempelajari topik ini kadar glukosa darah dapat diatur secara optimal agar
selalu berada di interval yang diinginkan. Dengan demikian penderita diabetes mellitus tidak mengalami hipoglikemia maupun hiperglikemia.

1.6 Metode Penulisan
Penulisan menggunakan metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari buku dan
jurnal yang berkaitan dengan kontrol optimal kadar glukosa darah untuk pengobatan
diabetes.

1.7 Sistematika Penulisan
BAB 1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Masalah
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Pembatasan Masalah
1.4 Tujuan Penulisan
1.5 Manfaat Penulisan
1.6 Metode Penulisan
1.7 Sistematika Penulisan
BAB 2. Landasan Teori
2.1 Optimisasi Menggunakan Kalkulus
2.2 Matriks Definit Positif dan Definit Negatif
17

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

2.3 Kalkulus Variasi
BAB 3. Sistem Kontrol Optimal Kuadratik Linear
3.1 Kontrol Optimal
3.2 Prinsip Minimum Pontryagin
3.3 Sistem Kontrol Optimal Kuadratik Linear
BAB 4. Sistem Kontrol Optimal Glukosa Darah Pada Pengobatan Diabetes Mellitus
4.1 Model Kadar Glukosa Darah
4.2 Sistem Regulator Linear Kuadratik Pada Masalah Kontrol Optimal Di Bidang
Biomedical
4.3 Kontrol Optimal Untuk Kadar Glukosa Darah
BAB 5. Penutup
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
Daftar Pustaka

18

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas mengenai dasar-dasar matematika yang menjadi dasar
dalam pembahasan bab-bab selanjutnya.

2.1 Optimisasi Menggunakan Kalkulus
2.1.1 Fungsi Satu Variabel
Definisi 2.1. Sebuah variabel f adalah sebuah fungsi dari variabel bebas x, (biasanya ditulis f = f (x)) jika setiap nilai x yang berada pada domain tertentu D ⊆ R
berkorespondensi tunggal atau unik dengan suatu nilai f .
Contoh 2.1. Contoh beberapa fungsi satu variabel
a. Diketahui
f (x) = 2x2 + 4
untuk x = 1, f = 6, x = 2, f = 12, x = 3, f = 22, dan seterusnya
b. Diketahui
f (x) = sin x
untuk x = 0, f = 0, x = π2 , f = 1, x = π , f = 0, dan seterusnya
c. Diketahui
f (x) = ln x
untuk x = 1, f = 0, x = 2, f = 0, 69, x = 3, f = 1, 099, dan seterusnya
Definisi 2.2. Sebuah fungsi f merupakan fungsi linear jika dan hanya jika f memenuhi

19

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

1. Prinsip homogenitas
f (α x) = α f (x)
untuk semua x ∈ D ⊆ R dan semua bilangan real α
2. Prinsip penjumlahan

f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )

untuk x1 , x2 , dan x1 + x2 ∈ D ⊆ R.
Definisi 2.3. Selisih dari fungsi f , dinotasikan sebagai

∆ f = f (x + ∆x) − f (x)
Contoh 2.2. Misalkan f (x) = 2x2 + 4, maka selisih dari f (x) adalah

∆ f = f (x + ∆x) − f (x)
= 2(x + ∆)2 + 4 − (2x2 + 4)
= 2(x2 + 2∆x + ∆2 ) + 4 − 2x2 − 4
= 2x2 + 4∆x + 2∆2 + 4 − 2x2 − 4
= 4∆x + 2∆2
Misalkan didefinisikan selisih fungsi f pada suatu titik x∗
∆ f = f (x∗ + ∆x) − f (x∗ )

20

(2.1)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Pada persamaan (2.1) f (x∗ + ∆x) dideretkan Taylor sehingga diperoleh



1 d2 f
df
(∆x)2 + · · · − f (x∗ )
∆x +
∆ f = f (x ) +
dx ∗
2! dx2 ∗

 

df
1 d2 f
∆f =
(∆x)2 + · · ·
∆x +
dx ∗
2! dx2 ∗


∗

(2.2)

Apabila persamaan (2.2) diambil suku mengandung ∆x yang berderajat paling tinggi satu maka diperoleh

∆f ≈



df
dx



∆x = f˙(x∗ )∆x = d f
∗

d f disebut diferensial dari f pada titik x∗ dan f˙(x∗ ) adalah derivatif atau gradien
dari f di x∗
Contoh 2.3. Misalkan f (x) = x2 + 2x, maka selisih ∆ f adalah

∆ f = f (x + ∆x) − f (x)
= (x + ∆x)2 + 2(x + ∆x) − (x2 + 2x)
= 2x∆x + 2∆x + · · · + suku ∆x dengan orde yang lebih tinggi
≈ 2(x + 1)∆x
≈ f˙(x)∆x
Jadi, derivatif dari x2 + 2x adalah f˙(x) = 2(x + 1).
Optimum Suatu Fungsi Satu Variabel
Definisi 2.4.

Sebuah fungsi f (x) dikatakan mempunyai nilai optimum di titik kri-

tis x∗ jika terdapat ε sedemikian hingga semua titik x di dalam domain D yang
memenuhi |x − x∗ | < ε selisih dari f mempunyai tanda yang sama.

21

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Dengan kata lain, jika
∆ f = f (x) − f (x∗ ) ≥ 0,

(2.3)

maka f (x∗ ) adalah minimum lokal dan jika
∆ f = f (x) − f (x∗ ) > 0,

(2.4)

maka f (x∗ ) adalah minimum lokal ketat. Sebaliknya jika
∆ f = f (x) − f (x∗ ) ≤ 0,

(2.5)

maka f (x∗ ) adalah maksimum lokal dan jika
∆ f = f (x) − f (x∗ ) < 0,

(2.6)

maka f (x∗ ) adalah maksimum lokal ketat. Apabila relasi (2.3), (2.4), (2.5) atau (2.6)
berlaku untuk sembarang ε maka f (x∗ ) dikatakan mempunyai optimum (minimum,
minimum ketat, maksimum, atau maksimum ketat) global.
Teorema 2.1. Andaikan f terdiferensialkan pada selang I yang memuat titik x∗ .
Jika f (x∗ ) adalah sebuah nilai optimum maka x∗ haruslah berupa suatu titik kritis
yakni x∗ berupa salah satu:
a. titik ujung dari I;
b. titik stasioner dari f ( f ′ (x∗ ) = 0); atau
c. titik singular dari f ( f ′ (x∗ ) tidak ada)
Bukti: Teorema 2.1 dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi pada dua kasus
yaitu jika f (x∗ ) berupa nilai maksimum dan jika f (x∗ ) berupa nilai minimum. Pada
22

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

kedua kasus diandaikan x∗ bukan titik ujung, titik singular, ataupun titik stasioner
( f ′ (x∗ ) 6= 0).
Kasus 1: f (x∗ ) merupakan nilai maksimum. f (x∗ ) merupakan nilai maksimum
berarti
f (x) − f (x∗ ) ≤ 0
Jika x < x∗ , sehingga x − x∗ < 0, maka
f (x) − f (x∗ )
≥0
x − x∗

(2.7)

sedangkan jika x > x∗ sehingga x − x∗ > 0, maka
f (x) − f (x∗ )
≤0
x − x∗

(2.8)

f ′ (x∗ ) ada karena x∗ bukan titik singular. Akibatnya, jika dibiarkan x → (x∗ )− pada
persamaan (2.7) maka diperoleh

lim

x→(x∗ )−

f (x) − f (x∗ )
≥0
x − x∗

sedangkan jika dibiarkan x → (x∗ )+ pada persamaan (2.8) maka diperoleh
lim

x→(x∗ )+

Limit kiri dan dan limit kanan pada

f (x) − f (x∗ )
≤0
x − x∗
f (x)− f (x∗ )
x−x∗

berbeda sehingga terdapat kontradik-

si. Dengan demikian terbukti f ′ (x∗ ) = 0.
Kasus 2: f (x∗ ) merupakan nilai minimum. f (x∗ ) merupakan nilai minimum
berarti
f (x) − f (x∗ ) ≥ 0

23

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Jika x < x∗ , sehingga x − x∗ < 0, maka
f (x) − f (x∗ )
≤0
x − x∗

(2.9)

sedangkan jika x > x∗ sehingga x − x∗ > 0, maka
f (