Rata-Rata Kredibilitas Sebagai Solusi Pasti Pada Keluarga Sebaran Eksponensial
RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI
PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL
MIKA NISHIHARA
G54103024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
ABSTRACT
MIKA NISHIHARA. Mean of Credibility as an Exact Solution of Exponensial Families.
Supervised by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.
Taking an insurance was the manner to overcome or decrease the risk which appear from
accidents that we do not expect by paying relatively small amount of insurance premium to
insurer. The premium fee from insured to insurance company depend on the risk that happened,
but the risk can not be calculated exactly. American actuaries in 1920 proposed a credibility
formula to estimate the fair premium of an individual risk, when given only collective statistics
and individual risk experience for n years. The credibility formula are linear combination of the
mean of collective premium and the mean of individual risk experience for n years with certain
proportion.
When the risk is a random variable with known parameter and having an exponential
distribution, we find the mean of collective premium is the individual risk at beginning of first year
divided by n0 , where n0 is the expected value of the risk variance divided by the variance of the
fair premium. We also found the same result for Bernoulli, Geometric, Poisson, and Normal
distribution. Then the credibility formula (mean of credibility) is an exact solution to estimate the
fair premium for simple exponential families.
ABSTRAK
MIKA NISHIHARA. Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran
Eksponensial. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.
Asuransi merupakan cara untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang ditimbulkan dari
kejadian-kejadian yang tidak diharapkan dengan cara membayar premi asuransi yang relatif kecil
kepada perusahaan asuransi. Premi yang harus dibayarkan seorang tertanggung kepada perusahaan
asuransi tergantung pada risiko yang dialaminya, tetapi risiko tidak dapat diperhitungkan secara
pasti. Asosiasi aktuaris di Amerika pada tahun 1920 menggunakan rumus kredibilitas untuk
menduga tarif premi yang wajar dari suatu risiko individu jika informasi yang dimiliki hanya
berupa statistik kolektif dan pengalaman risiko individu selama n tahun. Rumus kredibilitas
merupakan kombinasi linear dari rata-rata premi kolektif dan rata-rata data pengalaman risiko
individu selama n tahun dengan proporsi tertentu.
Pada peubah acak risiko dengan parameter risiko diketahui, yang menyebar Eksponensial, kita
dapatkan rata-rata premi kolektif adalah risiko individu pada awal tahun pertama dibagi n0 ,
dimana n0 adalah nilai harapan dari ragam risiko dibagi ragam dari premi yang wajar. Hasil yang
sama juga diperoleh untuk sebaran Bernoulli, Geometri, Poisson, dan Normal. Sehingga rumus
kredibilitas (rata-rata kredibilitas) adalah solusi pasti untuk menduga premi yang wajar pada
keluarga eksponensial sederhana.
RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI
PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
MIKA NISHIHARA
G54103024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
Judul
Nama
NIM
: Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran
Eksponensial
: Mika Nishihara
: G54103024
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 131878945
NIP. 131663020
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.
NIP. 131473999
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 20 Juni 1986 sebagai anak kedua dari dua bersaudara
dari pasangan Setsuo Nishihara dan Gabby Sisca George.
Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 47 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor).
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kepengurusan organisasi
mahasiwa yaitu GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2003/2004.
7
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar
Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman.
Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
program studi Matematika.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu
untuk memberikan bimbingan dan pengarahan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya
ilmiah ini.
2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang
telah bapak berikan.
3. Bpk. Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku Penguji yang telah memberikan saran dan
masukannya.
4. Papah dan Kano yang terus memberikan doa, semangat dan dorongan.
5. Ka Aika yang telah membantu penulis dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
6. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staff departemen
matematika: Mas Deny, Bu Susi, Bu Ade, Mas Yono, Mas Bono, dan Bu Marisi, terima kasih
atas bantuan selama di Departemen Matematika.
7. Mas Sudar, Mba tantin dan Bude atas doa dan semangat yang telah diberikan.
8. Teman-teman Matematika 40 : Aam, Lili, Manto, Mayang, Mita, Mufti, Kafi, Elis, Cucut
(Icha), Yuda, Azis, Prima, Ari, Nchi, Sriti, Gogon (Vina), Uli, Bedu (Abdillah), Komeng,
Jayu, Rusli, Sawa, Beri, Marlin, Om (Rama), Dwi, Gandronk (Indah), Anton, Dimas, Walidah,
Ali, Abay, Metha, Uve, Achie, Herni, Amie, Gatchul (Gatha), Fee (Bian), Ucup, Nisa, Ifni,
Demi, Jagunk (Septi), Putra. Terima kasih atas kebersamaannya selama ini.
9. Semua mahasiswa/i matematika atas dukungannya.
10. Penghuni wisma Blobo yang telah memberikan semangat.
11. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.
Bogor, Mei 2007
Mika Nishihara
DAFTAR ISI
Halaman
PENDAHULUAN
Latar Belakang................................................................................................................................1
Tujuan .............................................................................................................................................1
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ..........................................................................................1
Peubah Acak ...................................................................................................................................2
Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang dan Sebaran Degenerate ..........................................2
Nilai Harapan dan Ragam ..............................................................................................................3
Statistik dan Penduga .....................................................................................................................3
Fungsi Likelihood , Statistik Cukup dan Kelas Eksponensial .......................................................3
Himpunan dan Fungsi Konveks ....................................................................................................4
PEMBAHASAN
Rata-rata Kredibilitas......................................................................................................................4
Keluarga Eksponensial ...................................................................................................................5
Keluarga Eksponensial Sederhana .................................................................................................6
Modus Prior dan Posterior..............................................................................................................8
Rata-rata Kredibilitas adalah Solusi Pasti......................................................................................8
Sebaran Khusus ........................................................................................................................... 10
KESIMPULAN ................................................................................................................................. 18
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................................19
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Biasanya seseorang mengambil asuransi
untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang
ditimbulkan dari kejadian-kejadian yang tidak
diharapkan.
Misalnya
dalam
asuransi
kendaraan bermotor. Salah satu kejadian yang
tidak diharapkan yaitu kecelakaan lalu lintas.
Risiko adalah kemungkinan kerugian yang
akan dialami seseorang yang diakibatkan oleh
bahaya yang mungkin terjadi tetapi tidak
diketahui kapan terjadinya dan apa yang akan
terjadi. Kerugian yang dialami seseorang
akibat terjadinya kecelakaan lalu lintas
merupakan suatu risiko.
Fungsi dari asuransi yaitu seseorang atau
perusahaan dapat memindahkan risiko ke
perusahaan asuransi dengan membayar premi
yang relatif kecil dan premi yang diterima
kemudian dihimpun oleh perusahaan asuransi
sebagai dana untuk membayar risiko yang
terjadi.
Semakin tinggi risiko yang dialami
seseorang maka premi yang harus dibayarkan
kepada perusahaan asuransi juga semakin
tinggi. Tetapi risiko yang dialami seseorang
tidak dapat diperhitungkan secara pasti.
Teori kredibilitas adalah suatu metode
yang digunakan untuk menghitung risiko
berdasarkan banyaknya kejadian, misalkan
jumlah
terjadinya
kecelakaan.
Teori
kredibilitas ini membahas masalah rata-rata
hasil dari frekuensi klaim, total kerugian, dan
sebaran dari risiko individu yang diperoleh
dari risiko bersama kolektif berdasarkan
statistik kolektif dan data pengalaman
individu.
Rumus kredibilitas digunakan untuk
menduga jumlah premi tahun ke n+1 yang
wajar berdasarkan pengalaman individu
selama n tahun. Rumus kredibilitas
merupakan kombinasi linear dari rata-rata
premi kolektif dan rata-rata data pengalaman
individu selama n tahun dengan proporsi
tertentu.
Telah diketahui bahwa rumus kredibilitas
yang digunakan pada asuransi kecelakaan
adalah solusi pasti untuk risiko yang memiliki
sebaran prior-likelihood dan merupakan
penduga tak bias kuadrat terkecil minimum
untuk sebaran lainnya.
Sebaran prior-likelihood yang dibahas
adalah keluarga eksponensial. Karya ilmiah
ini merupakan rekonstruksi dari Jewell
(1977).
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
untuk mempelajari rumus rata-rata kredibilitas
yang diketahui merupakan solusi pasti untuk
risiko yang memiliki sebaran prior-likelihood
yaitu keluarga eksponensial sederhana.
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak ialah suatu percobaan yang
dapat diulang dalam kondisi yang sama,
namun hasil pada percobaan berikutnya tidak
dapat ditebak dengan tepat, tetapi kita bisa
mengetahui semua kemungkinan hasil yang
muncul.
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari
suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A
adalah himpunan bagian dari Ω .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan- σ )
Medan- σ adalah suatu himpunan F yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut :
1. ∅ ∈ F ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka
∞
Ai ∈ F ,
i =1
3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi
P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi :
2
1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang
saling lepas yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk
setiap
pasangan
i≠ j,
Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi p : R → [0,1] , yaitu
pX ( x ) = P ( X = x) .
maka
⎛∞ ⎞ ∞
P ⎜ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) .
⎝ i =1 ⎠ i =1
(Grimmet dan Stirzaker,1992)
Peubah Acak
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 10 (Sebaran Binom)
Peubah acak X dikatakan menyebar binom
dengan parameter n dan p, dinotasikan
binom ( n, p ) , jika memiliki fungsi kerapatan
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
⎛n⎞
b ( x; n, p ) = ⎜ ⎟ p x q n − x ;
untuk
⎝ x⎠
x = 0,1, 2,..., n , dengan p adalah peluang
keberhasilan
dan
q = 1− p
peluang
kegagalan.
(Ross, 1996)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital
misalnya X , Y , dan Z . Sedangkan nilai
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil
seperti x, y, dan z .
Definisi 11 (Sebaran Eksponensial)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
eksponensial dengan parameter α , α > 0 ,
jika nilainya terletak pada [ 0, ∞ ) dan
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu
fungsi
X :Ω → R
dengan
sifat
ω
∈
Ω
:
X
ω
≤
x
∈
F
untuk
setiap
x
∈
R.
(
)
{
}
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika
himpunan semua nilai { x1 , x2 ,...} merupakan
himpunan tercacah.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada
fungsi f X ( x ) sehingga fungsi sebaran
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai
∞
FX ( x ) = ∫ f X (u ) du ,
−∞
x ∈ R , dengan f : R → [0, ∞] adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi
kepekatan peluang dari X.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran,
sebagaimana didefinisikan berikut ini.
Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang
dan Sebaran Degenerate
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran peubah acak X adalah fungsi
F : R → [0,1] , yang didefinisikan oleh
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
peluang
memiliki fungsi kepekatan peluang
f X ( x ) = α e −α x ; x ≥ 0 .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 12 (Sebaran Normal)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
normal dengan parameter µ dan σ 2 ,
dinotasikan
dengan
(
)
N µ ,σ 2 ,
jika
mempunyai fungsi kepekatan peluang
⎛ ( x − µ )2 ⎞
1
f X ( x) =
exp ⎜ −
⎟,
⎜
2σ ⎟⎠
σ 2π
⎝
dengan −∞ < x < ∞ .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 13 (Sebaran Poisson)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
Poisson dengan parameter λ > 0 , jika
memiliki fungsi kerapatan peluang
p ( x) =
e− λ λ x
; x = 0,1, 2,...
x!
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 14 (Sebaran Gamma)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
Gamma dengan parameter α dan β ,
dinotasikan Gamma
(α , β ) ,
fungsi kepekatan peluang
−x
1
f ( x) =
xα −1e β
Γ (α ) β α
jika memiliki
, x ∈ R+
RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI
PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL
MIKA NISHIHARA
G54103024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
ABSTRACT
MIKA NISHIHARA. Mean of Credibility as an Exact Solution of Exponensial Families.
Supervised by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.
Taking an insurance was the manner to overcome or decrease the risk which appear from
accidents that we do not expect by paying relatively small amount of insurance premium to
insurer. The premium fee from insured to insurance company depend on the risk that happened,
but the risk can not be calculated exactly. American actuaries in 1920 proposed a credibility
formula to estimate the fair premium of an individual risk, when given only collective statistics
and individual risk experience for n years. The credibility formula are linear combination of the
mean of collective premium and the mean of individual risk experience for n years with certain
proportion.
When the risk is a random variable with known parameter and having an exponential
distribution, we find the mean of collective premium is the individual risk at beginning of first year
divided by n0 , where n0 is the expected value of the risk variance divided by the variance of the
fair premium. We also found the same result for Bernoulli, Geometric, Poisson, and Normal
distribution. Then the credibility formula (mean of credibility) is an exact solution to estimate the
fair premium for simple exponential families.
ABSTRAK
MIKA NISHIHARA. Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran
Eksponensial. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.
Asuransi merupakan cara untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang ditimbulkan dari
kejadian-kejadian yang tidak diharapkan dengan cara membayar premi asuransi yang relatif kecil
kepada perusahaan asuransi. Premi yang harus dibayarkan seorang tertanggung kepada perusahaan
asuransi tergantung pada risiko yang dialaminya, tetapi risiko tidak dapat diperhitungkan secara
pasti. Asosiasi aktuaris di Amerika pada tahun 1920 menggunakan rumus kredibilitas untuk
menduga tarif premi yang wajar dari suatu risiko individu jika informasi yang dimiliki hanya
berupa statistik kolektif dan pengalaman risiko individu selama n tahun. Rumus kredibilitas
merupakan kombinasi linear dari rata-rata premi kolektif dan rata-rata data pengalaman risiko
individu selama n tahun dengan proporsi tertentu.
Pada peubah acak risiko dengan parameter risiko diketahui, yang menyebar Eksponensial, kita
dapatkan rata-rata premi kolektif adalah risiko individu pada awal tahun pertama dibagi n0 ,
dimana n0 adalah nilai harapan dari ragam risiko dibagi ragam dari premi yang wajar. Hasil yang
sama juga diperoleh untuk sebaran Bernoulli, Geometri, Poisson, dan Normal. Sehingga rumus
kredibilitas (rata-rata kredibilitas) adalah solusi pasti untuk menduga premi yang wajar pada
keluarga eksponensial sederhana.
RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI
PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
MIKA NISHIHARA
G54103024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
Judul
Nama
NIM
: Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran
Eksponensial
: Mika Nishihara
: G54103024
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 131878945
NIP. 131663020
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.
NIP. 131473999
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 20 Juni 1986 sebagai anak kedua dari dua bersaudara
dari pasangan Setsuo Nishihara dan Gabby Sisca George.
Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 47 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor).
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kepengurusan organisasi
mahasiwa yaitu GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2003/2004.
7
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar
Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman.
Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
program studi Matematika.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu
untuk memberikan bimbingan dan pengarahan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya
ilmiah ini.
2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang
telah bapak berikan.
3. Bpk. Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku Penguji yang telah memberikan saran dan
masukannya.
4. Papah dan Kano yang terus memberikan doa, semangat dan dorongan.
5. Ka Aika yang telah membantu penulis dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
6. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staff departemen
matematika: Mas Deny, Bu Susi, Bu Ade, Mas Yono, Mas Bono, dan Bu Marisi, terima kasih
atas bantuan selama di Departemen Matematika.
7. Mas Sudar, Mba tantin dan Bude atas doa dan semangat yang telah diberikan.
8. Teman-teman Matematika 40 : Aam, Lili, Manto, Mayang, Mita, Mufti, Kafi, Elis, Cucut
(Icha), Yuda, Azis, Prima, Ari, Nchi, Sriti, Gogon (Vina), Uli, Bedu (Abdillah), Komeng,
Jayu, Rusli, Sawa, Beri, Marlin, Om (Rama), Dwi, Gandronk (Indah), Anton, Dimas, Walidah,
Ali, Abay, Metha, Uve, Achie, Herni, Amie, Gatchul (Gatha), Fee (Bian), Ucup, Nisa, Ifni,
Demi, Jagunk (Septi), Putra. Terima kasih atas kebersamaannya selama ini.
9. Semua mahasiswa/i matematika atas dukungannya.
10. Penghuni wisma Blobo yang telah memberikan semangat.
11. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.
Bogor, Mei 2007
Mika Nishihara
DAFTAR ISI
Halaman
PENDAHULUAN
Latar Belakang................................................................................................................................1
Tujuan .............................................................................................................................................1
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ..........................................................................................1
Peubah Acak ...................................................................................................................................2
Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang dan Sebaran Degenerate ..........................................2
Nilai Harapan dan Ragam ..............................................................................................................3
Statistik dan Penduga .....................................................................................................................3
Fungsi Likelihood , Statistik Cukup dan Kelas Eksponensial .......................................................3
Himpunan dan Fungsi Konveks ....................................................................................................4
PEMBAHASAN
Rata-rata Kredibilitas......................................................................................................................4
Keluarga Eksponensial ...................................................................................................................5
Keluarga Eksponensial Sederhana .................................................................................................6
Modus Prior dan Posterior..............................................................................................................8
Rata-rata Kredibilitas adalah Solusi Pasti......................................................................................8
Sebaran Khusus ........................................................................................................................... 10
KESIMPULAN ................................................................................................................................. 18
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................................19
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Biasanya seseorang mengambil asuransi
untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang
ditimbulkan dari kejadian-kejadian yang tidak
diharapkan.
Misalnya
dalam
asuransi
kendaraan bermotor. Salah satu kejadian yang
tidak diharapkan yaitu kecelakaan lalu lintas.
Risiko adalah kemungkinan kerugian yang
akan dialami seseorang yang diakibatkan oleh
bahaya yang mungkin terjadi tetapi tidak
diketahui kapan terjadinya dan apa yang akan
terjadi. Kerugian yang dialami seseorang
akibat terjadinya kecelakaan lalu lintas
merupakan suatu risiko.
Fungsi dari asuransi yaitu seseorang atau
perusahaan dapat memindahkan risiko ke
perusahaan asuransi dengan membayar premi
yang relatif kecil dan premi yang diterima
kemudian dihimpun oleh perusahaan asuransi
sebagai dana untuk membayar risiko yang
terjadi.
Semakin tinggi risiko yang dialami
seseorang maka premi yang harus dibayarkan
kepada perusahaan asuransi juga semakin
tinggi. Tetapi risiko yang dialami seseorang
tidak dapat diperhitungkan secara pasti.
Teori kredibilitas adalah suatu metode
yang digunakan untuk menghitung risiko
berdasarkan banyaknya kejadian, misalkan
jumlah
terjadinya
kecelakaan.
Teori
kredibilitas ini membahas masalah rata-rata
hasil dari frekuensi klaim, total kerugian, dan
sebaran dari risiko individu yang diperoleh
dari risiko bersama kolektif berdasarkan
statistik kolektif dan data pengalaman
individu.
Rumus kredibilitas digunakan untuk
menduga jumlah premi tahun ke n+1 yang
wajar berdasarkan pengalaman individu
selama n tahun. Rumus kredibilitas
merupakan kombinasi linear dari rata-rata
premi kolektif dan rata-rata data pengalaman
individu selama n tahun dengan proporsi
tertentu.
Telah diketahui bahwa rumus kredibilitas
yang digunakan pada asuransi kecelakaan
adalah solusi pasti untuk risiko yang memiliki
sebaran prior-likelihood dan merupakan
penduga tak bias kuadrat terkecil minimum
untuk sebaran lainnya.
Sebaran prior-likelihood yang dibahas
adalah keluarga eksponensial. Karya ilmiah
ini merupakan rekonstruksi dari Jewell
(1977).
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
untuk mempelajari rumus rata-rata kredibilitas
yang diketahui merupakan solusi pasti untuk
risiko yang memiliki sebaran prior-likelihood
yaitu keluarga eksponensial sederhana.
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak ialah suatu percobaan yang
dapat diulang dalam kondisi yang sama,
namun hasil pada percobaan berikutnya tidak
dapat ditebak dengan tepat, tetapi kita bisa
mengetahui semua kemungkinan hasil yang
muncul.
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari
suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A
adalah himpunan bagian dari Ω .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan- σ )
Medan- σ adalah suatu himpunan F yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut :
1. ∅ ∈ F ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka
∞
Ai ∈ F ,
i =1
3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi
P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi :
2
1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang
saling lepas yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk
setiap
pasangan
i≠ j,
Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi p : R → [0,1] , yaitu
pX ( x ) = P ( X = x) .
maka
⎛∞ ⎞ ∞
P ⎜ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) .
⎝ i =1 ⎠ i =1
(Grimmet dan Stirzaker,1992)
Peubah Acak
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 10 (Sebaran Binom)
Peubah acak X dikatakan menyebar binom
dengan parameter n dan p, dinotasikan
binom ( n, p ) , jika memiliki fungsi kerapatan
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
⎛n⎞
b ( x; n, p ) = ⎜ ⎟ p x q n − x ;
untuk
⎝ x⎠
x = 0,1, 2,..., n , dengan p adalah peluang
keberhasilan
dan
q = 1− p
peluang
kegagalan.
(Ross, 1996)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital
misalnya X , Y , dan Z . Sedangkan nilai
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil
seperti x, y, dan z .
Definisi 11 (Sebaran Eksponensial)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
eksponensial dengan parameter α , α > 0 ,
jika nilainya terletak pada [ 0, ∞ ) dan
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu
fungsi
X :Ω → R
dengan
sifat
ω
∈
Ω
:
X
ω
≤
x
∈
F
untuk
setiap
x
∈
R.
(
)
{
}
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika
himpunan semua nilai { x1 , x2 ,...} merupakan
himpunan tercacah.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada
fungsi f X ( x ) sehingga fungsi sebaran
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai
∞
FX ( x ) = ∫ f X (u ) du ,
−∞
x ∈ R , dengan f : R → [0, ∞] adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi
kepekatan peluang dari X.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran,
sebagaimana didefinisikan berikut ini.
Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang
dan Sebaran Degenerate
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran peubah acak X adalah fungsi
F : R → [0,1] , yang didefinisikan oleh
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
peluang
memiliki fungsi kepekatan peluang
f X ( x ) = α e −α x ; x ≥ 0 .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 12 (Sebaran Normal)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
normal dengan parameter µ dan σ 2 ,
dinotasikan
dengan
(
)
N µ ,σ 2 ,
jika
mempunyai fungsi kepekatan peluang
⎛ ( x − µ )2 ⎞
1
f X ( x) =
exp ⎜ −
⎟,
⎜
2σ ⎟⎠
σ 2π
⎝
dengan −∞ < x < ∞ .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 13 (Sebaran Poisson)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
Poisson dengan parameter λ > 0 , jika
memiliki fungsi kerapatan peluang
p ( x) =
e− λ λ x
; x = 0,1, 2,...
x!
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 14 (Sebaran Gamma)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
Gamma dengan parameter α dan β ,
dinotasikan Gamma
(α , β ) ,
fungsi kepekatan peluang
−x
1
f ( x) =
xα −1e β
Γ (α ) β α
jika memiliki
, x ∈ R+
3
dengan α ≥ 0, β ≥ 0 , dan Γ (α ) > 0 , dimana
∞
Γ (α ) = ∫ yα −1e − y dy .
Definisi 19 (Penduga)
Misalkan X 1 , , X n adalah contoh acak.
Suatu statistik U ( X 1 ,
, X n ) yang digunakan
0
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 15 (Sebaran Degenerate)
Bila suatu peubah acak X mempunyai
P ( X = c ) = 1 atau F ( x ) = Ι ( c,∞ ) ( x ) , maka
X
dikatakan
mempunyai
sebaran
“degenerate” pada titik c .
(Hogg dan Craig, 1995)
Nilai Harapan dan Ragam
Definisi 16 (Nilai Harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan
fungsi kerapatan peluang
pX ( x)
= P ( X = x ) , maka nilai harapan dari X,
dinotasikan dengan E [ X ] , adalah
E [ X ] = ∑ x P ( X = x)
x
= ∑ x pX ( x) ,
2.
Nilai harapan dari X adalah
∞
E [ X ] = ∫ x f X ( x ) dx ,
−∞
asalkan integral di atas konvergen mutlak.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 17 (Ragam)
Ragam dari peubah acak X adalah nilai
harapan dari kuadrat selisih antara X dengan
nilai harapannya. Secara matematis dapat
dinyatakan sebagai
2
Var ( X ) = E ⎡( X − E [ X ]) ⎤
⎣
⎦
= E ⎡⎣ X ⎤⎦ − ( E [ X ]) .
(Hogg dan Craig, 1995)
2
dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi
g (θ ) , dilambangkan oleh ĝ (θ ) .
Bilamana nilai X 1 = x1 , X 2 = x2 ,
maka nilai U ( X 1 ,
, X n = xn ,
, X n ) disebut sebagai
dugaan (estimate) bagi g (θ ) .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 20 (Penduga Tak Bias)
(i) Suatu penduga yang nilai harapannya
sama dengan parameter g (θ ) , yaitu
E ⎣⎡U ( X 1 ,
, X n ) ⎦⎤ = g (θ )
disebut
penduga tak bias bagi parameter g (θ ) .
Jika sebaliknya, penduga di atas disebut
berbias.
(ii) Jika
lim E ⎡⎣U ( X 1 , , X n ) ⎤⎦ = g (θ )
n →∞
untuk
x
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
Misalkan X adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x ) .
g (θ ) ,
untuk menduga fungsi parameter
n→∞,
maka
disebut sebagai
asimtotik.
U ( X1 ,
penduga
, Xn )
tak
bias
(Hogg dan Craig, 1995)
Fungsi Likelihood , Statistik Cukup dan
Kelas Eksponensial
Definisi 21 (Fungsi likelihood)
Misalkan X 1 , , X n adalah contoh acak dari
suatu sebaran dengan fungsi kepekatan
peluang f ( x;θ ) . Maka fungsi likelihoodnya
(fungsi kepekatan peluang bersama dari
X 1 , , X n ) adalah
L (θ ) = f ( x1 ;θ ) f ( x2 ;θ )
f ( xn ;θ ) .
(Hogg dan Craig, 1995)
2
Statistik dan Penduga
Definisi 18 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau
lebih peubah acak yang tidak bergantung pada
satu atau beberapa parameter yang nilainya
tidak diketahui.
(Hogg dan Craig, 1995)
Teorema 1 (Faktorisasi Neyman)
Misalkan X 1 , , X n adalah contoh acak dari
suatu sebaran dengan fungsi kepekatan
peluang f ( x;θ ) , θ ∈ Ω . Y1 = u1 ( X 1 , , X n )
adalah statistik cukup untuk θ jika dan hanya
jika dapat ditemukan dua fungsi nonnegatif
k1 dan k2 sedemikian rupa sehingga
f ( x1 ;θ ) f ( x2 ;θ )
k1 ⎡⎣u1 ( x1 , x2 ,
, xn ) ;θ ⎤⎦ k2 ( x1 , x2 ,
dimana k2 ( x1 , x2 ,
pada θ .
f ( xn ;θ ) =
, xn )
, xn )
tidak bergantung
4
Bukti:
Lihat Hogg dan Craig, 1995 halaman 319.
Definisi 22 (Kelas Eksponensial)
Misalkan { f ( x;θ ) : θ ∈ Ω} adalah
kepekatan
peluang
Ω = {θ : γ < θ < δ } dengan
γ
fungsi
dimana
dan δ
dengan a < x < b disebut anggota dari kelas
eksponensial fungsi kepekatan peluang
kontinu bila:
a)
a dan
b tidak
bergantung
pada
parameter θ , γ < θ < δ
p (θ ) adalah fungsi kontinu nontrivial
dari θ , γ < θ < δ
c)
K ′( x) ≠ 0
x dan y juga terletak di
(Peressini et.al, 1988)
diketahui konstan.
f ( x;θ ) = exp ⎡⎣ p (θ ) K ( x ) + S ( x ) + q (θ ) ⎤⎦
b)
menghubungkan
C.
dan S ( x ) adalah fungsi
kontinu dari x , a < x < b .
(Hogg dan Craig, 1995)
Himpunan dan Fungsi Konveks
Definisi 23 (Himpunan konveks)
Himpunan C ⊂ R n dikatakan himpunan
konveks jika dan hanya jika untuk setiap x
dan y di C , maka ruas garis yang
Definisi 24 (Konveks hull)
Misalkan E adalah himpunan bagian dari
ruang linear S dan didefinisikan
n
n
⎧
⎫
conv E = ⎨ z , z = ∑ ai xi , ai ≥ 0 , ∑ ai = 1⎬ ,
i =1
i =1
⎩
⎭
xi ∈ E .
Himpunan conv E disebut konveks hull dari
E.
(Istratescu, 1979)
Definisi 25 (Fungsi Konveks)
Fungsi f dikatakan fungsi konveks pada
selang I jika dan hanya jika
f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
untuk setiap x1 , x2 ∈ I dan untuk setiap
0 ≤ λ ≤ 1.
Jika yang berlaku
f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) < λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
untuk x1 ≠ x2 dan 0 < λ < 1 maka f
dikatakan fungsi konveks sempurna (strictly
convex).
(Peressini et.al, 1988)
PEMBAHASAN
Rata-rata Kredibilitas
Pada model biasa dari asuransi non-life
(Bailey, 1950), ξ adalah peubah acak risiko
yang memiliki parameter risiko θ . ξ dapat
berupa diskret atau kontinu. Jika θ diketahui,
ξ adalah contoh acak dari sebaran yang
fungsi likelihoodnya p ( x | θ ) atau f ( x | θ )
dan didefinisikan x adalah nilai dari ξ yang
merupakan anggota dari himpunan X .
Berikut ini hanya dijelaskan kasus dimana
ξ adalah peubah acak diskret. Untuk kasus ξ
adalah peubah acak kontinu, bisa diperoleh
dengan mengganti fungsi kerapatan peluang
p dengan fungsi kepekatan peluang f.
Untuk suatu risiko dengan parameter θ
diketahui, premi yang wajar adalah
m (θ ) = E [ξ | θ ] = ∫ x p ( x | θ ) dx
dan ragam risiko adalah
v (θ ) = V [ξ | θ ] .
v (θ ) adalah notasi untuk ragam risiko dan V
adalah notasi untuk ragam. Parameter risiko
memiliki sebaran prior u (θ ) dengan θ
anggota dari himpunan Θ . Kita asumsikan
untuk semua nilai θ , fungsi kerapatan
peluang peubah acak ξ adalah p ( x ) yang
diketahui dari sebaran kolektif sehingga
p ( x ) = Eθ ⎡⎣ p ( x | θ ) ⎤⎦ = ∫ p ( x | θ ) u (θ ) dθ .
Rata-rata premi kolektif adalah
m = Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
dan ragam kolektif adalah
v = Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦ + Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦ .
Masalah utama dalam penentuan tarif
premi adalah untuk menduga premi yang
wajar dari suatu risiko individu jika informasi
yang dimiliki hanya berupa statistik kolektif
dan pengalaman risiko individu selama n
5
x = {ξ t = xt ; ( t = 1, 2,...., n )} ,
tahun
terkecil minimum untuk sebarang sebaran ξ ,
jika
N = Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦ Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦ .
atau
dengan kata lain untuk menduga E [ξ n +1 | x ] .
E [ξ n +1 | x ] merupakan solusi Bayes:
E [ξ n +1 | x ] = ∫∫ y p ( y | θ ) un (θ | x ) dθ dy (1)
dengan un (θ | x ) =
∏ p ( xt | θ ) u (θ )
∫ ∏ p ( xt | Φ ) u ( Φ ) d Φ
Keluarga Eksponensial
Keluarga eksponensial menurut KoopmanPitman-Darmois (De Groot, 1970) dari fungsi
likelihoods adalah:
a ( x ) exp ⎡ ∑ φi (θ ) fi ( x ) ⎤
⎢⎣ i =1
⎥⎦
(4)
p(x |θ ) =
c (θ )
(2)
Asosiasi aktuaris di Amerika pada tahun 1920
menggunakan rumus kredibilitas sebagai
berikut:
⎛1 n ⎞
E [ξ n +1 | x ] ≈ (1 − Z ) m + Z ⎜ ∑ xt ⎟
⎝ n t =I ⎠
(3)
n
Z=
n+ N
dengan N ditentukan dari percobaan
(Longley, 1962).
Bailey (1950) dan Mayerson (1964)
menunjukkan bahwa persamaan (1) adalah
solusi Bayes untuk kombinasi sebaran priorlikelihood: Beta-Binomial, Gamma-Poisson,
Gamma-Eksponensial, dan Normal-Normal.
Buhlmann (1967) menunjukkan bahwa
persamaan (3) penduga tak bias kuadrat
I
dengan c (θ ) adalah faktor normalisasi yang
membuat ∑ p ( x | θ ) = 1 dan fi ( x ) adalah
x∈X
fungsi dari x.
Teorema 2:
Jika x = ( x1 , x2 ,......, xn ) adalah contoh acak
berukuran n dari sebaran yang merupakan
keluarga eksponensial maka Fi = ∑ fi ( xt )
n
t =1
dengan i = 1, 2, ...., I adalah statistik cukup
untuk θ .
Bukti:
p ( x1 , x2 ,.., xn | θ )
⎡ a x exp ⎡ I φ θ f x ⎤ ⎤
∑ ( ) i ( t )⎥ ⎥
⎢ ( t)
⎣⎢ i =1 i
⎦
= ∏⎢
⎥
c
θ
(
)
t =1 ⎢
⎥
⎣
⎦
n
n
I
⎡
⎤
1
= ∏ exp ⎢ ln
+ ln a ( xt ) + ∑ φi (θ ) fi ( xt ) ⎥
i
=
1
t =1
⎣⎢ c (θ )
⎦⎥
⎡
n
=
⎤
1
∏ exp ⎢⎢ln c (θ ) + ln a ( x ) + φ (θ ) f ( x ) + φ (θ ) f ( x ) + ... + φ (θ ) f ( x )⎥⎥
⎣
t =1
1
t
1
t
2
2
t
I
I
t
⎦
n
n
n
n
1
⎡
⎤
= exp ⎢ n ln
+ ∑ ln a ( xt ) + φ1 (θ ) ∑ f1 ( xt ) + φ2 (θ ) ∑ f 2 ( xt ) + ... + φI (θ ) ∑ f I ( xt ) ⎥
c (θ ) t =1
⎣
⎦
t =1
t =1
t =1
n
n
n
1 ⎤
⎡ n
⎤
⎡
exp ⎢ ∑ ln a ( xt ) ⎥
= exp ⎢φ1 (θ ) ∑ f1 ( xt ) + φ2 (θ ) ∑ f 2 ( xt ) + ... + φI (θ ) ∑ f I ( xt ) + n ln
⎥
c (θ ) ⎦
⎣
t =1
t =1
t =1
⎣ t =1
⎦
k1 ⎣⎡ F1 ( x ) , , FI ( x );θ ⎦⎤ > 0
n
Maka menurut Teorema 1 F1 ( x ) = ∑ f1 ( xt ) ,
t =1
n
n
F2 ( x ) = ∑ f2 ( xt ) ,..., FI ( x ) = ∑ f I ( xt ) adalah
t =1
statistik
n
Fi =
t =1
cukup,
∑ fi ( xt )
atau
dengan
kata
lain
statistik cukup bagi θ .
t =1
■ terbukti
k2 [ x ] > 0
Jika keluarga sebaran conjugate prior dari
parameter risiko θ yang kita gunakan (De
Groot, 1970)
I
− n0
(5)
u (θ ) ∝ ⎡⎣c (θ )⎤⎦ exp ⎡ ∑ f 0iφi (θ ) ⎤
⎢⎣ i =1
⎥⎦
maka keluarga tersebut bersifat tertutup, yaitu
un (θ | x ) sama seperti persamaan (5) dengan
I + 1 hyperparameters yang diperbaharui
dengan:
6
n0 ← n0 + n
Teorema 3:
f 0i ← f 0i + ∑ fi ( xt ) .
sebaran
posterior
Bentuk
θ
untuk
n
un (θ | x ) = ∏ p ( xt | θ ) u (θ )
t =1
⎡ I
⎤
a
x
exp
(
)
t
⎢ ∑ φi (θ ) f i ( xt ) ⎥
n
⎣ i =1
⎦
=∏
c (θ )
t =1
⎡⎣c (θ )⎤⎦
=
⎣⎡c (θ )⎦⎤
− n0
− n0
⎡ I
⎤
exp ⎢ ∑ f 0iφi (θ ) ⎥
⎣ i =1
⎦
⎡ I
⎤
exp ⎢ ∑ f 0iφi (θ ) ⎥
⎣ i =1
⎦
n
⎡⎣c (θ )⎤⎦
⎡
n
t
=
⎡⎣c (θ )⎤⎦
− n0
⎤
I
⎡ n
exp ⎢∑ φ1 (θ ) f1 ( xt ) +
⎣ t =1
= ⎣⎡c (θ )⎦⎤
i =1
⎡ I
⎤
exp ⎢ ∑ f 0iφi (θ ) ⎥
⎣ i =1
⎦
n
⎡⎣c (θ )⎤⎦
− ( n0 + n )
i
i
t
∏a(x )
t =1
t
n
⎤
+ ∑ φI (θ ) f I ( xt )⎥
⎦
t =1
n
t
n
⎡ I
⎛
⎞⎤
exp ⎢ ∑ φi (θ ) ⎜ f 0i + ∑ f i ( xt ) ⎟ ⎥
⎝
⎠⎦
t =1
⎣ i =1
un (θ | x ) ∝ ⎡⎣c (θ )⎤⎦
n ⎡ a x exp −θ x ⎤
( t) [ t]
= ∏⎢
⎥
c (θ )
⎥⎦
t =1 ⎢
⎣
n
⎡
⎤
1
= ∏ exp ⎢ ln
+ ln a ( xt ) − θ xt ⎥
t =1
⎣⎢ c (θ )
⎦⎥
n
n
⎡
⎤
1
⎡
⎤
= exp ⎢ −θ ∑ xt ⎥ exp ⎢ n ln
+ ∑ ln a ( xt ) ⎥
c (θ ) t =1
⎣ t =1 ⎦
⎣⎢
⎦⎥
k1 ⎣⎡u1 ( x );θ ⎦⎤ > 0
n
∏a(x )
t =1
(∑ x)
n
n
1
⎡
⎤
+ ∑ ln a ( xt ) − θ ∑ xt ⎥
= exp ⎢ n ln
c (θ ) t =1
⎣
⎦
t =1
∏ a ( x ) exp ⎢⎣∑ φ (θ ) f ( x )⎥⎦
t =1
x
atau rata-rata ⎛⎜ ∑ ⎞⎟
⎝ n ⎠
pada keluarga eksponensial sederhana tersebut
adalah statistik cukup untuk θ .
Bukti :
p ( x1 , x2 ,.., xn | θ )
Jumlah contoh
− ( n0 + n )
I
n
⎛
⎞
exp ∑ φi (θ ) ⎜ f 0i + ∑ fi ( xt ) ⎟ .
⎝
⎠
i =1
t =1
Pada bagian berikutnya akan dibahas sebaran
risiko dari salah satu keluarga eksponensial
yaitu keluarga eksponensial sederhana atau
keluarga eksponensial dengan satu parameter.
Keluarga Eksponensial Sederhana
k2 [ x ] > 0
n
Maka menurut Teorema 1
u1 ( x ) = ∑ xt
t =1
adalah statistik cukup bagi θ .
■ terbukti
Conjugate prior dari parameter risiko θ yang
biasa digunakan untuk persamaan (6) adalah:
− n0
−θ x
⎡c (θ )⎦⎤ e 0
.
(7)
u (θ ) = ⎣
d ( n0 , x0 )
Misalkan ruang parameter Θ , dimana
persamaan (6) adalah fungsi kerapatan
peluang untuk semua nilai θ dengan c (θ )
finite. Pembatasan pada hyperparameters
( n0 , x0 ) diperlukan sehingga persamaan (7)
menjadi fungsi kepekatan peluang dengan
membuat faktor normalisasi d ( n0 , x0 ) finite.
Diasumsikan n0 > 0 , bentuk sebaran posterior
untuk θ adalah:
n
Keluarga dari sebaran yang memiliki
kredibilitas pasti adalah keluarga eksponensial
dengan satu parameter. Dari persamaan (4)
dengan f1 ( x ) = x dan parameter φ1 (θ ) = −θ
maka:
a ( x ) e −θ x
.
(6)
p(x |θ ) =
c (θ )
X dapat berupa himpunan kontinu atau titiktitik.
un (θ | x ) = ∏ p ( xt | θ ) u (θ )
t =1
− n0
−θ x
⎡c (θ )⎤⎦ e 0
= ⎣
n
d ( n0 , x0 ) ⎡⎣c (θ )⎤⎦
− ( n0 + n )
e
⎡c (θ )⎦⎤
=⎣
d ( n0 , x0 )
un (θ | x ) ∝ ⎡⎣c (θ )⎤⎦
− ( n0 + n )
n
∏a(x )e θ
−θ x0
e
− xt
t
t =1
n
e
−θ ∑ xt
t =1
n
∏ a(x )
t =1
n
⎛
⎞
−θ ⎜ x0 + ∑ xt ⎟
t =1 ⎠
⎝
t
.
Dengan parameter yang baru:
n0 ← n0 + n
n
x0 ← x0 + ∑ xt
t =1
(8)
7
c (θ ) adalah transformasi (Van Der Pol,
1955) pada kasus kontinu:
c (θ ) = ∫ a ( x ) e −θ x dx .
(9)
− n0
−θ x
⎡c (θ )⎦⎤ e 0
u (θ ) = ⎣
d ( n0 , x0 )
(θ
=
x∈X
Jika X (finite) diskret, maka a ( x ) dapat
dituliskan dalam bentuk fungsi Dirac delta
dan mendefinisikan persamaan (9) pada
konveks hull dari X.
Jika Θ ada dan konveks maka Θ memiliki
daerah pada salah satu kemungkinan berikut,
yaitu:
a)
Finite
b)
Semi-finite
c)
Doubly infinite
X tidak dapat bergantung pada θ , tetapi
dapat mempengaruhi Θ . Sebagai contoh, jika
X finite maka Θ = ( −∞, +∞ ) . Atau, jika
(konveks hull) X adalah
⎡⎣0, ∞ )
maka
Berikut contoh hubungan antara X dan Θ :
Contoh 1:
Jika a ( x ) = sinh x dengan X = [ 0, ∞ ) maka
berdasarkan persamaan (7), (9),(10), dan (11),
kita dapatkan:
∞
c (θ ) = ∫ a ( x ) e −θ x dx
0
∞
= ∫ sinh x e −θ x dx
0
=
1
θ 2 −1
maka
2 (θ 2 + 1)
(θ
2
− 1)
2
d ( n0 , x0 )
.
u (θ ) > 0 .
Untuk membuat
u (θ )
Contoh 2:
−x
Jika a ( x ) = 12 e dengan X = ( −∞, ∞ ) maka
berdasarkan persamaan (7), (9),(10), dan (11),
kita dapatkan:
c (θ ) =
∞
∫ a ( x) e
−θ x
dx
−∞
∞
=
∫
1
2
e
−x
e −θ x dx
−∞
1
.
θ −1
d
m (θ ) = −
ln c (θ )
dθ
1 ⎞
d ⎛
ln −
=−
dθ ⎜⎝ θ 2 − 1 ⎟⎠
2θ
= 2 .
θ −1
dm (θ )
v (θ ) = −
dθ
d ⎛ 2θ ⎞
=−
dθ ⎜⎝ θ 2 − 1 ⎟⎠
=−
=
m (θ ) = −
=
n0
menjadi fungsi kepekatan peluang maka
haruslah θ 2 − 1 > 0 . Sehingga Θ = [1, ∞ ) .
.
d
ln c (θ )
dθ
d ⎛ 1 ⎞
ln
=−
dθ ⎜⎝ θ 2 − 1 ⎟⎠
2θ
= 2 .
θ −1
dm (θ )
v (θ ) = −
dθ
d ⎛ 2θ ⎞
=−
dθ ⎜⎝ θ 2 − 1 ⎟⎠
− 1) e −θ x0
Karena u (θ ) fungsi kepekatan peluang,
Θ = (θ1 , +∞ ) dengan θ1 selalu finite. Satu-
satunya kasus dimana Θ dapat finite yaitu
jika X adalah ( −∞, ∞ ) .
2
2
2 (θ 2 + 1)
(1 − θ )
2 2
.
− n0
−θ x
⎡c (θ )⎦⎤ e 0
u (θ ) = ⎣
d ( n0 , x0 )
(1 − θ )
=
2 n0
e −θ x0
d ( n0 , x0 )
.
Karena u (θ ) fungsi kepekatan peluang,
maka
u (θ ) > 0 .
Untuk membuat
u (θ )
menjadi fungsi kepekatan peluang maka
haruslah 1 − θ 2 > 0 . Sehingga Θ = [ −1,1] .
.
Menurut teori transformasi (Van Der Pol,
1955), dapat diketahui c (θ ) analitik pada
interior point dari Θ , dan turunan dari seluruh
order dapat dilalui dengan integral pada
8
persamaan (9), yang memberikan fungsi
analitik untuk θ .
Rata-rata risiko individu dan ragamnya
yaitu :
−c′ (θ )
d
(10)
ln c (θ )
=−
m (θ ) =
c (θ )
dθ
dm (θ )
(11)
dθ
Jika v (θ ) ≥ 0 (θ ∈ Θ ) maka m (θ )
v (θ ) = −
harus monoton menurun dengan daerah pada
(konveks hull dari) X . Selain c (θ ) fungsi
positif dan infinite di daerah batas akhir,
c (θ )
pasti konveks sempurna (strictly
convex) dan
X = [0, ∞ ) .
monoton
menurun
jika
Modus Prior dan Posterior
Misalkan u (θ )
( c (θ ))
=
− n0
(
− n0 −1
d ( n0 , x0 )
=
− n0
⎞
⎟
⎟
⎠
− n0
x0 e −θ x0
⎛ d (n , x )
0
0
⎜
⎜ ( d ( n , x ))2
0
0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ − n c′ (θ ) ⎞
− n0 −θ x
e −θ x0 ⎜ 0
⎟ − ( c (θ )) e 0 x0
θ
c
(
)
⎝
⎠
d ( n0 , x0 )
= u (θ ) ( n0 m (θ )) − u (θ ) x0 .
Sehingga
du (θ )
= ( n0 m (θ ) − x0 ) u (θ ) .
(12)
dθ
u (θ ) pertama-tama berada pada nol atau
slope positif pada batas kiri di titik nol yang
kemudian berada pada slope negatif, dengan
modus prior θˆ0 yang unik pada
( )
m θˆ0 = x0 n0 .
(13)
Dari persamaan (8), kita lihat bahwa θˆn
adalah modus posterior dari sebaran prior
un (θ | x ) yang memenuhi :
x + ∑ xt
.
m θˆn = 0
n0 + n
( )
( )
T
dapat dibuktikan dengan hukum kuat bilangan
besar dari persamaan (14).
θˆn bukan penduga maximum-likelihood
(penduga θ didapat dari persamaan (14)
dengan x0 = n0 = 0 ).
u (θ ) |Θ = n0 ∫ m (θ ) u (θ ) dθ − x0 .
c′ (θ ) e −θ x0
− ( c (θ ))
( c (θ ))
)
n
Akan diperlihatkan hasil dari rata-rata
risiko. Dengan mengintegralkan persamaan
(12) pada daerah umum Θ , didapatkan :
du (θ )
dθ = ∫ u (θ ) ( n0 m (θ ) − x0 ) dθ
∫
dθ
u (θ ) |Θ = n0 ∫ m (θ ) u (θ ) dθ − x0 ∫ u (θ ) dθ
.
Dengan mendiferensiasikan u (θ ) didapat
= − n0 ( c (θ ))
( )
T
secara peluang, dengan n → ∞ , mendekati
premi wajar yang sebenarnya m θˆ . Hal ini
Rata-rata Kredibilitas adalah Solusi Pasti
e −θ x0
− n0 −θ x
du (θ ) d ⎛ ( c (θ )) e 0
⎜
=
dθ
dθ ⎜ d ( n0 , x0 )
⎝
Jika diambil x0 n0 pada konveks hull
dari X maka rata-rata risikonya akan selalu
tetap pada daerah tersebut.
Jika data pengalaman adalah contoh dari
risiko dengan parameter sebenarnya θT dan
sebaran prior sebarang maka sebaran posterior
harus konvergen ke sebaran degenerate pada
θ . Artinya penduga acak m θˆ konvergen
(14)
(15)
Asumsikan u (θ ) bernilai nol pada batas
akhir Θ ,
Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤ = ∫ m (θ ) u (θ ) dθ
θ ∈Θ
u (θ ) |Θ = n0 ∫ m (θ ) u (θ ) dθ − x0
θ ∈Θ
0 = n0 Eθ ⎡⎣m (θ )⎦⎤ − x0
n0 Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤ = x0
x
Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦ = 0 .
n0
Maka rata-rata risiko prior harus :
m = Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤ = x0 n0 .
(16)
Jika θ diperbaharui dengan persamaan (8)
maka rata-rata risiko posteriornya adalah :
x + ∑ xt
E [ξ n +1 | x ] = 0
n + n0
=
x0
∑ xt
+
n + n0 n + n0
⎛ n + n0 − n ⎞ x0
∑ xt
=⎜
⎟ +
⎝ n + n0 ⎠ n0 n + n0
⎛
n ⎞ x0
n ⎛1
⎞
= ⎜1 −
⎟ +
⎜ ∑ xt ⎟
n
n
n
n
n
n
+
+
⎝
⎠
⎝
0 ⎠ 0
0
9
⎛1
⎞
= (1 − Z ) m + Z ⎜ ∑ xt ⎟ .
n
⎝
⎠
Maka,
du (θ )
2
= −n0 Eθ ⎣⎡v (θ )⎦⎤ + n0 2 Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤
dθ Θ
Maka
x + ∑ xt
E ⎡⎣ξ n +1 x ⎤⎦ = Eθ x ⎡⎣m (θ )⎤⎦ = 0
n0 + n
⎛1
⎞
= (1 − Z ) m + Z ⎜ ∑ xt ⎟ ,
⎝n
⎠
− n0 x0 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦ − n0 x0 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦ + x0 2
(17)
dengan
n
.
(18)
n + n0
Sehingga kredibilitas adalah solusi pasti untuk
keluarga eksponensial sederhana.
Fakta tetap bahwa
(19)
n0 = Eθ v (θ ) Vθ m (θ ) = N
Z=
dapat diduga dari hasil yang diketahui
(Buhlmann, 1967), atau dengan membentuk
d 2 u (θ )
dari
persamaan
(12),
dan
dθ 2
mengintegralkan untuk mendapatkan :
du (θ )
= ( n0 m (θ ) − x0 ) u (θ ) .
dθ
d 2 u (θ )
dθ
= − n0 Eθ ⎡⎣v (θ )⎤⎦ + n0 2 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦
−2n0 x0 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦ + x0 2
du (θ )
2
= −n0 Eθ ⎣⎡v (θ )⎦⎤ + n0 2 Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤
dθ Θ
−2n0 x0 m + x0 2 .
(20)
Persamaan (19) mengikuti asumsi slope
dari u (θ ) yang bernilai nol pada titik akhir
dari Θ , maka persamaan (20) menjadi
⎛ Eθ ⎡v (θ ) ⎦⎤
2
− Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
0 = −n0 2 ⎜ ⎣
⎜
n
0
⎝
+2
0=
= n0 m′ (θ ) u (θ ) + ( n0 m (θ ) − x0 ) u ′ (θ ) .
du (θ )
= ∫ n0 m′ (θ ) u (θ ) dθ
dθ Θ Θ
+ ∫ ( n0 m (θ ) − x0 ) u ′ (θ ) dθ
Θ
Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦
2
− Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦ + m 2
n0
0=
Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦
2
− Eθ ⎣⎡ m (θ ) ⎦⎤
n0
(
+ Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
( 2)
− x0 ∫ u ′ (θ ) dθ .
Θ
= − n0 Eθ ⎡⎣v (θ )⎤⎦ .
(2) n0 ∫ m (θ ) u ′ (θ ) dθ
Θ
Θ
2
− n0 x0 Eθ
⎡⎣m (θ )⎤⎦ .
(3) x0 ∫ u ′ (θ ) dθ = x0 ∫ u (θ ) ( n0 m (θ ) − x0 ) dθ
Θ
2
Eθ ⎡⎣ v (θ ) ⎤⎦
− Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
n0
0=
Eθ ⎣⎡ v (θ ) ⎦⎤ − n0Vθ ⎣⎡ m (θ ) ⎦⎤
n0
;m =
x0
n0
; m = Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
0 = Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦ − n0Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
n0Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦ = Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦
= n0 ∫ m (θ ) u (θ ) ( n0 m (θ ) − x0 ) dθ
= n0 2 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦
)
0=
( 3)
(1) n0 ∫ m′ (θ ) u (θ ) dθ = n
PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL
MIKA NISHIHARA
G54103024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
ABSTRACT
MIKA NISHIHARA. Mean of Credibility as an Exact Solution of Exponensial Families.
Supervised by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.
Taking an insurance was the manner to overcome or decrease the risk which appear from
accidents that we do not expect by paying relatively small amount of insurance premium to
insurer. The premium fee from insured to insurance company depend on the risk that happened,
but the risk can not be calculated exactly. American actuaries in 1920 proposed a credibility
formula to estimate the fair premium of an individual risk, when given only collective statistics
and individual risk experience for n years. The credibility formula are linear combination of the
mean of collective premium and the mean of individual risk experience for n years with certain
proportion.
When the risk is a random variable with known parameter and having an exponential
distribution, we find the mean of collective premium is the individual risk at beginning of first year
divided by n0 , where n0 is the expected value of the risk variance divided by the variance of the
fair premium. We also found the same result for Bernoulli, Geometric, Poisson, and Normal
distribution. Then the credibility formula (mean of credibility) is an exact solution to estimate the
fair premium for simple exponential families.
ABSTRAK
MIKA NISHIHARA. Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran
Eksponensial. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.
Asuransi merupakan cara untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang ditimbulkan dari
kejadian-kejadian yang tidak diharapkan dengan cara membayar premi asuransi yang relatif kecil
kepada perusahaan asuransi. Premi yang harus dibayarkan seorang tertanggung kepada perusahaan
asuransi tergantung pada risiko yang dialaminya, tetapi risiko tidak dapat diperhitungkan secara
pasti. Asosiasi aktuaris di Amerika pada tahun 1920 menggunakan rumus kredibilitas untuk
menduga tarif premi yang wajar dari suatu risiko individu jika informasi yang dimiliki hanya
berupa statistik kolektif dan pengalaman risiko individu selama n tahun. Rumus kredibilitas
merupakan kombinasi linear dari rata-rata premi kolektif dan rata-rata data pengalaman risiko
individu selama n tahun dengan proporsi tertentu.
Pada peubah acak risiko dengan parameter risiko diketahui, yang menyebar Eksponensial, kita
dapatkan rata-rata premi kolektif adalah risiko individu pada awal tahun pertama dibagi n0 ,
dimana n0 adalah nilai harapan dari ragam risiko dibagi ragam dari premi yang wajar. Hasil yang
sama juga diperoleh untuk sebaran Bernoulli, Geometri, Poisson, dan Normal. Sehingga rumus
kredibilitas (rata-rata kredibilitas) adalah solusi pasti untuk menduga premi yang wajar pada
keluarga eksponensial sederhana.
RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI
PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
MIKA NISHIHARA
G54103024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
Judul
Nama
NIM
: Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran
Eksponensial
: Mika Nishihara
: G54103024
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 131878945
NIP. 131663020
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.
NIP. 131473999
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 20 Juni 1986 sebagai anak kedua dari dua bersaudara
dari pasangan Setsuo Nishihara dan Gabby Sisca George.
Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 47 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor).
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kepengurusan organisasi
mahasiwa yaitu GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2003/2004.
7
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar
Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman.
Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
program studi Matematika.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu
untuk memberikan bimbingan dan pengarahan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya
ilmiah ini.
2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang
telah bapak berikan.
3. Bpk. Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku Penguji yang telah memberikan saran dan
masukannya.
4. Papah dan Kano yang terus memberikan doa, semangat dan dorongan.
5. Ka Aika yang telah membantu penulis dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
6. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staff departemen
matematika: Mas Deny, Bu Susi, Bu Ade, Mas Yono, Mas Bono, dan Bu Marisi, terima kasih
atas bantuan selama di Departemen Matematika.
7. Mas Sudar, Mba tantin dan Bude atas doa dan semangat yang telah diberikan.
8. Teman-teman Matematika 40 : Aam, Lili, Manto, Mayang, Mita, Mufti, Kafi, Elis, Cucut
(Icha), Yuda, Azis, Prima, Ari, Nchi, Sriti, Gogon (Vina), Uli, Bedu (Abdillah), Komeng,
Jayu, Rusli, Sawa, Beri, Marlin, Om (Rama), Dwi, Gandronk (Indah), Anton, Dimas, Walidah,
Ali, Abay, Metha, Uve, Achie, Herni, Amie, Gatchul (Gatha), Fee (Bian), Ucup, Nisa, Ifni,
Demi, Jagunk (Septi), Putra. Terima kasih atas kebersamaannya selama ini.
9. Semua mahasiswa/i matematika atas dukungannya.
10. Penghuni wisma Blobo yang telah memberikan semangat.
11. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.
Bogor, Mei 2007
Mika Nishihara
DAFTAR ISI
Halaman
PENDAHULUAN
Latar Belakang................................................................................................................................1
Tujuan .............................................................................................................................................1
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ..........................................................................................1
Peubah Acak ...................................................................................................................................2
Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang dan Sebaran Degenerate ..........................................2
Nilai Harapan dan Ragam ..............................................................................................................3
Statistik dan Penduga .....................................................................................................................3
Fungsi Likelihood , Statistik Cukup dan Kelas Eksponensial .......................................................3
Himpunan dan Fungsi Konveks ....................................................................................................4
PEMBAHASAN
Rata-rata Kredibilitas......................................................................................................................4
Keluarga Eksponensial ...................................................................................................................5
Keluarga Eksponensial Sederhana .................................................................................................6
Modus Prior dan Posterior..............................................................................................................8
Rata-rata Kredibilitas adalah Solusi Pasti......................................................................................8
Sebaran Khusus ........................................................................................................................... 10
KESIMPULAN ................................................................................................................................. 18
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................................19
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Biasanya seseorang mengambil asuransi
untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang
ditimbulkan dari kejadian-kejadian yang tidak
diharapkan.
Misalnya
dalam
asuransi
kendaraan bermotor. Salah satu kejadian yang
tidak diharapkan yaitu kecelakaan lalu lintas.
Risiko adalah kemungkinan kerugian yang
akan dialami seseorang yang diakibatkan oleh
bahaya yang mungkin terjadi tetapi tidak
diketahui kapan terjadinya dan apa yang akan
terjadi. Kerugian yang dialami seseorang
akibat terjadinya kecelakaan lalu lintas
merupakan suatu risiko.
Fungsi dari asuransi yaitu seseorang atau
perusahaan dapat memindahkan risiko ke
perusahaan asuransi dengan membayar premi
yang relatif kecil dan premi yang diterima
kemudian dihimpun oleh perusahaan asuransi
sebagai dana untuk membayar risiko yang
terjadi.
Semakin tinggi risiko yang dialami
seseorang maka premi yang harus dibayarkan
kepada perusahaan asuransi juga semakin
tinggi. Tetapi risiko yang dialami seseorang
tidak dapat diperhitungkan secara pasti.
Teori kredibilitas adalah suatu metode
yang digunakan untuk menghitung risiko
berdasarkan banyaknya kejadian, misalkan
jumlah
terjadinya
kecelakaan.
Teori
kredibilitas ini membahas masalah rata-rata
hasil dari frekuensi klaim, total kerugian, dan
sebaran dari risiko individu yang diperoleh
dari risiko bersama kolektif berdasarkan
statistik kolektif dan data pengalaman
individu.
Rumus kredibilitas digunakan untuk
menduga jumlah premi tahun ke n+1 yang
wajar berdasarkan pengalaman individu
selama n tahun. Rumus kredibilitas
merupakan kombinasi linear dari rata-rata
premi kolektif dan rata-rata data pengalaman
individu selama n tahun dengan proporsi
tertentu.
Telah diketahui bahwa rumus kredibilitas
yang digunakan pada asuransi kecelakaan
adalah solusi pasti untuk risiko yang memiliki
sebaran prior-likelihood dan merupakan
penduga tak bias kuadrat terkecil minimum
untuk sebaran lainnya.
Sebaran prior-likelihood yang dibahas
adalah keluarga eksponensial. Karya ilmiah
ini merupakan rekonstruksi dari Jewell
(1977).
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
untuk mempelajari rumus rata-rata kredibilitas
yang diketahui merupakan solusi pasti untuk
risiko yang memiliki sebaran prior-likelihood
yaitu keluarga eksponensial sederhana.
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak ialah suatu percobaan yang
dapat diulang dalam kondisi yang sama,
namun hasil pada percobaan berikutnya tidak
dapat ditebak dengan tepat, tetapi kita bisa
mengetahui semua kemungkinan hasil yang
muncul.
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari
suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A
adalah himpunan bagian dari Ω .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan- σ )
Medan- σ adalah suatu himpunan F yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut :
1. ∅ ∈ F ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka
∞
Ai ∈ F ,
i =1
3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi
P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi :
2
1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang
saling lepas yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk
setiap
pasangan
i≠ j,
Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi p : R → [0,1] , yaitu
pX ( x ) = P ( X = x) .
maka
⎛∞ ⎞ ∞
P ⎜ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) .
⎝ i =1 ⎠ i =1
(Grimmet dan Stirzaker,1992)
Peubah Acak
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 10 (Sebaran Binom)
Peubah acak X dikatakan menyebar binom
dengan parameter n dan p, dinotasikan
binom ( n, p ) , jika memiliki fungsi kerapatan
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
⎛n⎞
b ( x; n, p ) = ⎜ ⎟ p x q n − x ;
untuk
⎝ x⎠
x = 0,1, 2,..., n , dengan p adalah peluang
keberhasilan
dan
q = 1− p
peluang
kegagalan.
(Ross, 1996)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital
misalnya X , Y , dan Z . Sedangkan nilai
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil
seperti x, y, dan z .
Definisi 11 (Sebaran Eksponensial)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
eksponensial dengan parameter α , α > 0 ,
jika nilainya terletak pada [ 0, ∞ ) dan
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu
fungsi
X :Ω → R
dengan
sifat
ω
∈
Ω
:
X
ω
≤
x
∈
F
untuk
setiap
x
∈
R.
(
)
{
}
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika
himpunan semua nilai { x1 , x2 ,...} merupakan
himpunan tercacah.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada
fungsi f X ( x ) sehingga fungsi sebaran
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai
∞
FX ( x ) = ∫ f X (u ) du ,
−∞
x ∈ R , dengan f : R → [0, ∞] adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi
kepekatan peluang dari X.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran,
sebagaimana didefinisikan berikut ini.
Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang
dan Sebaran Degenerate
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran peubah acak X adalah fungsi
F : R → [0,1] , yang didefinisikan oleh
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
peluang
memiliki fungsi kepekatan peluang
f X ( x ) = α e −α x ; x ≥ 0 .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 12 (Sebaran Normal)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
normal dengan parameter µ dan σ 2 ,
dinotasikan
dengan
(
)
N µ ,σ 2 ,
jika
mempunyai fungsi kepekatan peluang
⎛ ( x − µ )2 ⎞
1
f X ( x) =
exp ⎜ −
⎟,
⎜
2σ ⎟⎠
σ 2π
⎝
dengan −∞ < x < ∞ .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 13 (Sebaran Poisson)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
Poisson dengan parameter λ > 0 , jika
memiliki fungsi kerapatan peluang
p ( x) =
e− λ λ x
; x = 0,1, 2,...
x!
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 14 (Sebaran Gamma)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
Gamma dengan parameter α dan β ,
dinotasikan Gamma
(α , β ) ,
fungsi kepekatan peluang
−x
1
f ( x) =
xα −1e β
Γ (α ) β α
jika memiliki
, x ∈ R+
RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI
PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL
MIKA NISHIHARA
G54103024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
ABSTRACT
MIKA NISHIHARA. Mean of Credibility as an Exact Solution of Exponensial Families.
Supervised by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.
Taking an insurance was the manner to overcome or decrease the risk which appear from
accidents that we do not expect by paying relatively small amount of insurance premium to
insurer. The premium fee from insured to insurance company depend on the risk that happened,
but the risk can not be calculated exactly. American actuaries in 1920 proposed a credibility
formula to estimate the fair premium of an individual risk, when given only collective statistics
and individual risk experience for n years. The credibility formula are linear combination of the
mean of collective premium and the mean of individual risk experience for n years with certain
proportion.
When the risk is a random variable with known parameter and having an exponential
distribution, we find the mean of collective premium is the individual risk at beginning of first year
divided by n0 , where n0 is the expected value of the risk variance divided by the variance of the
fair premium. We also found the same result for Bernoulli, Geometric, Poisson, and Normal
distribution. Then the credibility formula (mean of credibility) is an exact solution to estimate the
fair premium for simple exponential families.
ABSTRAK
MIKA NISHIHARA. Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran
Eksponensial. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.
Asuransi merupakan cara untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang ditimbulkan dari
kejadian-kejadian yang tidak diharapkan dengan cara membayar premi asuransi yang relatif kecil
kepada perusahaan asuransi. Premi yang harus dibayarkan seorang tertanggung kepada perusahaan
asuransi tergantung pada risiko yang dialaminya, tetapi risiko tidak dapat diperhitungkan secara
pasti. Asosiasi aktuaris di Amerika pada tahun 1920 menggunakan rumus kredibilitas untuk
menduga tarif premi yang wajar dari suatu risiko individu jika informasi yang dimiliki hanya
berupa statistik kolektif dan pengalaman risiko individu selama n tahun. Rumus kredibilitas
merupakan kombinasi linear dari rata-rata premi kolektif dan rata-rata data pengalaman risiko
individu selama n tahun dengan proporsi tertentu.
Pada peubah acak risiko dengan parameter risiko diketahui, yang menyebar Eksponensial, kita
dapatkan rata-rata premi kolektif adalah risiko individu pada awal tahun pertama dibagi n0 ,
dimana n0 adalah nilai harapan dari ragam risiko dibagi ragam dari premi yang wajar. Hasil yang
sama juga diperoleh untuk sebaran Bernoulli, Geometri, Poisson, dan Normal. Sehingga rumus
kredibilitas (rata-rata kredibilitas) adalah solusi pasti untuk menduga premi yang wajar pada
keluarga eksponensial sederhana.
RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI
PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
MIKA NISHIHARA
G54103024
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
Judul
Nama
NIM
: Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran
Eksponensial
: Mika Nishihara
: G54103024
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 131878945
NIP. 131663020
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.
NIP. 131473999
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 20 Juni 1986 sebagai anak kedua dari dua bersaudara
dari pasangan Setsuo Nishihara dan Gabby Sisca George.
Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 47 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor).
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kepengurusan organisasi
mahasiwa yaitu GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2003/2004.
7
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar
Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman.
Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
program studi Matematika.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu
untuk memberikan bimbingan dan pengarahan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya
ilmiah ini.
2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang
telah bapak berikan.
3. Bpk. Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku Penguji yang telah memberikan saran dan
masukannya.
4. Papah dan Kano yang terus memberikan doa, semangat dan dorongan.
5. Ka Aika yang telah membantu penulis dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
6. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staff departemen
matematika: Mas Deny, Bu Susi, Bu Ade, Mas Yono, Mas Bono, dan Bu Marisi, terima kasih
atas bantuan selama di Departemen Matematika.
7. Mas Sudar, Mba tantin dan Bude atas doa dan semangat yang telah diberikan.
8. Teman-teman Matematika 40 : Aam, Lili, Manto, Mayang, Mita, Mufti, Kafi, Elis, Cucut
(Icha), Yuda, Azis, Prima, Ari, Nchi, Sriti, Gogon (Vina), Uli, Bedu (Abdillah), Komeng,
Jayu, Rusli, Sawa, Beri, Marlin, Om (Rama), Dwi, Gandronk (Indah), Anton, Dimas, Walidah,
Ali, Abay, Metha, Uve, Achie, Herni, Amie, Gatchul (Gatha), Fee (Bian), Ucup, Nisa, Ifni,
Demi, Jagunk (Septi), Putra. Terima kasih atas kebersamaannya selama ini.
9. Semua mahasiswa/i matematika atas dukungannya.
10. Penghuni wisma Blobo yang telah memberikan semangat.
11. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.
Bogor, Mei 2007
Mika Nishihara
DAFTAR ISI
Halaman
PENDAHULUAN
Latar Belakang................................................................................................................................1
Tujuan .............................................................................................................................................1
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ..........................................................................................1
Peubah Acak ...................................................................................................................................2
Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang dan Sebaran Degenerate ..........................................2
Nilai Harapan dan Ragam ..............................................................................................................3
Statistik dan Penduga .....................................................................................................................3
Fungsi Likelihood , Statistik Cukup dan Kelas Eksponensial .......................................................3
Himpunan dan Fungsi Konveks ....................................................................................................4
PEMBAHASAN
Rata-rata Kredibilitas......................................................................................................................4
Keluarga Eksponensial ...................................................................................................................5
Keluarga Eksponensial Sederhana .................................................................................................6
Modus Prior dan Posterior..............................................................................................................8
Rata-rata Kredibilitas adalah Solusi Pasti......................................................................................8
Sebaran Khusus ........................................................................................................................... 10
KESIMPULAN ................................................................................................................................. 18
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................................19
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Biasanya seseorang mengambil asuransi
untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang
ditimbulkan dari kejadian-kejadian yang tidak
diharapkan.
Misalnya
dalam
asuransi
kendaraan bermotor. Salah satu kejadian yang
tidak diharapkan yaitu kecelakaan lalu lintas.
Risiko adalah kemungkinan kerugian yang
akan dialami seseorang yang diakibatkan oleh
bahaya yang mungkin terjadi tetapi tidak
diketahui kapan terjadinya dan apa yang akan
terjadi. Kerugian yang dialami seseorang
akibat terjadinya kecelakaan lalu lintas
merupakan suatu risiko.
Fungsi dari asuransi yaitu seseorang atau
perusahaan dapat memindahkan risiko ke
perusahaan asuransi dengan membayar premi
yang relatif kecil dan premi yang diterima
kemudian dihimpun oleh perusahaan asuransi
sebagai dana untuk membayar risiko yang
terjadi.
Semakin tinggi risiko yang dialami
seseorang maka premi yang harus dibayarkan
kepada perusahaan asuransi juga semakin
tinggi. Tetapi risiko yang dialami seseorang
tidak dapat diperhitungkan secara pasti.
Teori kredibilitas adalah suatu metode
yang digunakan untuk menghitung risiko
berdasarkan banyaknya kejadian, misalkan
jumlah
terjadinya
kecelakaan.
Teori
kredibilitas ini membahas masalah rata-rata
hasil dari frekuensi klaim, total kerugian, dan
sebaran dari risiko individu yang diperoleh
dari risiko bersama kolektif berdasarkan
statistik kolektif dan data pengalaman
individu.
Rumus kredibilitas digunakan untuk
menduga jumlah premi tahun ke n+1 yang
wajar berdasarkan pengalaman individu
selama n tahun. Rumus kredibilitas
merupakan kombinasi linear dari rata-rata
premi kolektif dan rata-rata data pengalaman
individu selama n tahun dengan proporsi
tertentu.
Telah diketahui bahwa rumus kredibilitas
yang digunakan pada asuransi kecelakaan
adalah solusi pasti untuk risiko yang memiliki
sebaran prior-likelihood dan merupakan
penduga tak bias kuadrat terkecil minimum
untuk sebaran lainnya.
Sebaran prior-likelihood yang dibahas
adalah keluarga eksponensial. Karya ilmiah
ini merupakan rekonstruksi dari Jewell
(1977).
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
untuk mempelajari rumus rata-rata kredibilitas
yang diketahui merupakan solusi pasti untuk
risiko yang memiliki sebaran prior-likelihood
yaitu keluarga eksponensial sederhana.
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak ialah suatu percobaan yang
dapat diulang dalam kondisi yang sama,
namun hasil pada percobaan berikutnya tidak
dapat ditebak dengan tepat, tetapi kita bisa
mengetahui semua kemungkinan hasil yang
muncul.
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari
suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A
adalah himpunan bagian dari Ω .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 3 (Medan- σ )
Medan- σ adalah suatu himpunan F yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut :
1. ∅ ∈ F ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka
∞
Ai ∈ F ,
i =1
3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi
P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi :
2
1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang
saling lepas yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk
setiap
pasangan
i≠ j,
Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi p : R → [0,1] , yaitu
pX ( x ) = P ( X = x) .
maka
⎛∞ ⎞ ∞
P ⎜ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) .
⎝ i =1 ⎠ i =1
(Grimmet dan Stirzaker,1992)
Peubah Acak
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 10 (Sebaran Binom)
Peubah acak X dikatakan menyebar binom
dengan parameter n dan p, dinotasikan
binom ( n, p ) , jika memiliki fungsi kerapatan
(Grimmet dan Stirzaker, 1992)
⎛n⎞
b ( x; n, p ) = ⎜ ⎟ p x q n − x ;
untuk
⎝ x⎠
x = 0,1, 2,..., n , dengan p adalah peluang
keberhasilan
dan
q = 1− p
peluang
kegagalan.
(Ross, 1996)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital
misalnya X , Y , dan Z . Sedangkan nilai
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil
seperti x, y, dan z .
Definisi 11 (Sebaran Eksponensial)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
eksponensial dengan parameter α , α > 0 ,
jika nilainya terletak pada [ 0, ∞ ) dan
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu
fungsi
X :Ω → R
dengan
sifat
ω
∈
Ω
:
X
ω
≤
x
∈
F
untuk
setiap
x
∈
R.
(
)
{
}
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika
himpunan semua nilai { x1 , x2 ,...} merupakan
himpunan tercacah.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada
fungsi f X ( x ) sehingga fungsi sebaran
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai
∞
FX ( x ) = ∫ f X (u ) du ,
−∞
x ∈ R , dengan f : R → [0, ∞] adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi
kepekatan peluang dari X.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran,
sebagaimana didefinisikan berikut ini.
Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang
dan Sebaran Degenerate
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran peubah acak X adalah fungsi
F : R → [0,1] , yang didefinisikan oleh
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) .
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
peluang
memiliki fungsi kepekatan peluang
f X ( x ) = α e −α x ; x ≥ 0 .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 12 (Sebaran Normal)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
normal dengan parameter µ dan σ 2 ,
dinotasikan
dengan
(
)
N µ ,σ 2 ,
jika
mempunyai fungsi kepekatan peluang
⎛ ( x − µ )2 ⎞
1
f X ( x) =
exp ⎜ −
⎟,
⎜
2σ ⎟⎠
σ 2π
⎝
dengan −∞ < x < ∞ .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 13 (Sebaran Poisson)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
Poisson dengan parameter λ > 0 , jika
memiliki fungsi kerapatan peluang
p ( x) =
e− λ λ x
; x = 0,1, 2,...
x!
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 14 (Sebaran Gamma)
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar
Gamma dengan parameter α dan β ,
dinotasikan Gamma
(α , β ) ,
fungsi kepekatan peluang
−x
1
f ( x) =
xα −1e β
Γ (α ) β α
jika memiliki
, x ∈ R+
3
dengan α ≥ 0, β ≥ 0 , dan Γ (α ) > 0 , dimana
∞
Γ (α ) = ∫ yα −1e − y dy .
Definisi 19 (Penduga)
Misalkan X 1 , , X n adalah contoh acak.
Suatu statistik U ( X 1 ,
, X n ) yang digunakan
0
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 15 (Sebaran Degenerate)
Bila suatu peubah acak X mempunyai
P ( X = c ) = 1 atau F ( x ) = Ι ( c,∞ ) ( x ) , maka
X
dikatakan
mempunyai
sebaran
“degenerate” pada titik c .
(Hogg dan Craig, 1995)
Nilai Harapan dan Ragam
Definisi 16 (Nilai Harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan
fungsi kerapatan peluang
pX ( x)
= P ( X = x ) , maka nilai harapan dari X,
dinotasikan dengan E [ X ] , adalah
E [ X ] = ∑ x P ( X = x)
x
= ∑ x pX ( x) ,
2.
Nilai harapan dari X adalah
∞
E [ X ] = ∫ x f X ( x ) dx ,
−∞
asalkan integral di atas konvergen mutlak.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 17 (Ragam)
Ragam dari peubah acak X adalah nilai
harapan dari kuadrat selisih antara X dengan
nilai harapannya. Secara matematis dapat
dinyatakan sebagai
2
Var ( X ) = E ⎡( X − E [ X ]) ⎤
⎣
⎦
= E ⎡⎣ X ⎤⎦ − ( E [ X ]) .
(Hogg dan Craig, 1995)
2
dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi
g (θ ) , dilambangkan oleh ĝ (θ ) .
Bilamana nilai X 1 = x1 , X 2 = x2 ,
maka nilai U ( X 1 ,
, X n = xn ,
, X n ) disebut sebagai
dugaan (estimate) bagi g (θ ) .
(Hogg dan Craig, 1995)
Definisi 20 (Penduga Tak Bias)
(i) Suatu penduga yang nilai harapannya
sama dengan parameter g (θ ) , yaitu
E ⎣⎡U ( X 1 ,
, X n ) ⎦⎤ = g (θ )
disebut
penduga tak bias bagi parameter g (θ ) .
Jika sebaliknya, penduga di atas disebut
berbias.
(ii) Jika
lim E ⎡⎣U ( X 1 , , X n ) ⎤⎦ = g (θ )
n →∞
untuk
x
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
Misalkan X adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x ) .
g (θ ) ,
untuk menduga fungsi parameter
n→∞,
maka
disebut sebagai
asimtotik.
U ( X1 ,
penduga
, Xn )
tak
bias
(Hogg dan Craig, 1995)
Fungsi Likelihood , Statistik Cukup dan
Kelas Eksponensial
Definisi 21 (Fungsi likelihood)
Misalkan X 1 , , X n adalah contoh acak dari
suatu sebaran dengan fungsi kepekatan
peluang f ( x;θ ) . Maka fungsi likelihoodnya
(fungsi kepekatan peluang bersama dari
X 1 , , X n ) adalah
L (θ ) = f ( x1 ;θ ) f ( x2 ;θ )
f ( xn ;θ ) .
(Hogg dan Craig, 1995)
2
Statistik dan Penduga
Definisi 18 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau
lebih peubah acak yang tidak bergantung pada
satu atau beberapa parameter yang nilainya
tidak diketahui.
(Hogg dan Craig, 1995)
Teorema 1 (Faktorisasi Neyman)
Misalkan X 1 , , X n adalah contoh acak dari
suatu sebaran dengan fungsi kepekatan
peluang f ( x;θ ) , θ ∈ Ω . Y1 = u1 ( X 1 , , X n )
adalah statistik cukup untuk θ jika dan hanya
jika dapat ditemukan dua fungsi nonnegatif
k1 dan k2 sedemikian rupa sehingga
f ( x1 ;θ ) f ( x2 ;θ )
k1 ⎡⎣u1 ( x1 , x2 ,
, xn ) ;θ ⎤⎦ k2 ( x1 , x2 ,
dimana k2 ( x1 , x2 ,
pada θ .
f ( xn ;θ ) =
, xn )
, xn )
tidak bergantung
4
Bukti:
Lihat Hogg dan Craig, 1995 halaman 319.
Definisi 22 (Kelas Eksponensial)
Misalkan { f ( x;θ ) : θ ∈ Ω} adalah
kepekatan
peluang
Ω = {θ : γ < θ < δ } dengan
γ
fungsi
dimana
dan δ
dengan a < x < b disebut anggota dari kelas
eksponensial fungsi kepekatan peluang
kontinu bila:
a)
a dan
b tidak
bergantung
pada
parameter θ , γ < θ < δ
p (θ ) adalah fungsi kontinu nontrivial
dari θ , γ < θ < δ
c)
K ′( x) ≠ 0
x dan y juga terletak di
(Peressini et.al, 1988)
diketahui konstan.
f ( x;θ ) = exp ⎡⎣ p (θ ) K ( x ) + S ( x ) + q (θ ) ⎤⎦
b)
menghubungkan
C.
dan S ( x ) adalah fungsi
kontinu dari x , a < x < b .
(Hogg dan Craig, 1995)
Himpunan dan Fungsi Konveks
Definisi 23 (Himpunan konveks)
Himpunan C ⊂ R n dikatakan himpunan
konveks jika dan hanya jika untuk setiap x
dan y di C , maka ruas garis yang
Definisi 24 (Konveks hull)
Misalkan E adalah himpunan bagian dari
ruang linear S dan didefinisikan
n
n
⎧
⎫
conv E = ⎨ z , z = ∑ ai xi , ai ≥ 0 , ∑ ai = 1⎬ ,
i =1
i =1
⎩
⎭
xi ∈ E .
Himpunan conv E disebut konveks hull dari
E.
(Istratescu, 1979)
Definisi 25 (Fungsi Konveks)
Fungsi f dikatakan fungsi konveks pada
selang I jika dan hanya jika
f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
untuk setiap x1 , x2 ∈ I dan untuk setiap
0 ≤ λ ≤ 1.
Jika yang berlaku
f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) < λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
untuk x1 ≠ x2 dan 0 < λ < 1 maka f
dikatakan fungsi konveks sempurna (strictly
convex).
(Peressini et.al, 1988)
PEMBAHASAN
Rata-rata Kredibilitas
Pada model biasa dari asuransi non-life
(Bailey, 1950), ξ adalah peubah acak risiko
yang memiliki parameter risiko θ . ξ dapat
berupa diskret atau kontinu. Jika θ diketahui,
ξ adalah contoh acak dari sebaran yang
fungsi likelihoodnya p ( x | θ ) atau f ( x | θ )
dan didefinisikan x adalah nilai dari ξ yang
merupakan anggota dari himpunan X .
Berikut ini hanya dijelaskan kasus dimana
ξ adalah peubah acak diskret. Untuk kasus ξ
adalah peubah acak kontinu, bisa diperoleh
dengan mengganti fungsi kerapatan peluang
p dengan fungsi kepekatan peluang f.
Untuk suatu risiko dengan parameter θ
diketahui, premi yang wajar adalah
m (θ ) = E [ξ | θ ] = ∫ x p ( x | θ ) dx
dan ragam risiko adalah
v (θ ) = V [ξ | θ ] .
v (θ ) adalah notasi untuk ragam risiko dan V
adalah notasi untuk ragam. Parameter risiko
memiliki sebaran prior u (θ ) dengan θ
anggota dari himpunan Θ . Kita asumsikan
untuk semua nilai θ , fungsi kerapatan
peluang peubah acak ξ adalah p ( x ) yang
diketahui dari sebaran kolektif sehingga
p ( x ) = Eθ ⎡⎣ p ( x | θ ) ⎤⎦ = ∫ p ( x | θ ) u (θ ) dθ .
Rata-rata premi kolektif adalah
m = Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
dan ragam kolektif adalah
v = Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦ + Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦ .
Masalah utama dalam penentuan tarif
premi adalah untuk menduga premi yang
wajar dari suatu risiko individu jika informasi
yang dimiliki hanya berupa statistik kolektif
dan pengalaman risiko individu selama n
5
x = {ξ t = xt ; ( t = 1, 2,...., n )} ,
tahun
terkecil minimum untuk sebarang sebaran ξ ,
jika
N = Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦ Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦ .
atau
dengan kata lain untuk menduga E [ξ n +1 | x ] .
E [ξ n +1 | x ] merupakan solusi Bayes:
E [ξ n +1 | x ] = ∫∫ y p ( y | θ ) un (θ | x ) dθ dy (1)
dengan un (θ | x ) =
∏ p ( xt | θ ) u (θ )
∫ ∏ p ( xt | Φ ) u ( Φ ) d Φ
Keluarga Eksponensial
Keluarga eksponensial menurut KoopmanPitman-Darmois (De Groot, 1970) dari fungsi
likelihoods adalah:
a ( x ) exp ⎡ ∑ φi (θ ) fi ( x ) ⎤
⎢⎣ i =1
⎥⎦
(4)
p(x |θ ) =
c (θ )
(2)
Asosiasi aktuaris di Amerika pada tahun 1920
menggunakan rumus kredibilitas sebagai
berikut:
⎛1 n ⎞
E [ξ n +1 | x ] ≈ (1 − Z ) m + Z ⎜ ∑ xt ⎟
⎝ n t =I ⎠
(3)
n
Z=
n+ N
dengan N ditentukan dari percobaan
(Longley, 1962).
Bailey (1950) dan Mayerson (1964)
menunjukkan bahwa persamaan (1) adalah
solusi Bayes untuk kombinasi sebaran priorlikelihood: Beta-Binomial, Gamma-Poisson,
Gamma-Eksponensial, dan Normal-Normal.
Buhlmann (1967) menunjukkan bahwa
persamaan (3) penduga tak bias kuadrat
I
dengan c (θ ) adalah faktor normalisasi yang
membuat ∑ p ( x | θ ) = 1 dan fi ( x ) adalah
x∈X
fungsi dari x.
Teorema 2:
Jika x = ( x1 , x2 ,......, xn ) adalah contoh acak
berukuran n dari sebaran yang merupakan
keluarga eksponensial maka Fi = ∑ fi ( xt )
n
t =1
dengan i = 1, 2, ...., I adalah statistik cukup
untuk θ .
Bukti:
p ( x1 , x2 ,.., xn | θ )
⎡ a x exp ⎡ I φ θ f x ⎤ ⎤
∑ ( ) i ( t )⎥ ⎥
⎢ ( t)
⎣⎢ i =1 i
⎦
= ∏⎢
⎥
c
θ
(
)
t =1 ⎢
⎥
⎣
⎦
n
n
I
⎡
⎤
1
= ∏ exp ⎢ ln
+ ln a ( xt ) + ∑ φi (θ ) fi ( xt ) ⎥
i
=
1
t =1
⎣⎢ c (θ )
⎦⎥
⎡
n
=
⎤
1
∏ exp ⎢⎢ln c (θ ) + ln a ( x ) + φ (θ ) f ( x ) + φ (θ ) f ( x ) + ... + φ (θ ) f ( x )⎥⎥
⎣
t =1
1
t
1
t
2
2
t
I
I
t
⎦
n
n
n
n
1
⎡
⎤
= exp ⎢ n ln
+ ∑ ln a ( xt ) + φ1 (θ ) ∑ f1 ( xt ) + φ2 (θ ) ∑ f 2 ( xt ) + ... + φI (θ ) ∑ f I ( xt ) ⎥
c (θ ) t =1
⎣
⎦
t =1
t =1
t =1
n
n
n
1 ⎤
⎡ n
⎤
⎡
exp ⎢ ∑ ln a ( xt ) ⎥
= exp ⎢φ1 (θ ) ∑ f1 ( xt ) + φ2 (θ ) ∑ f 2 ( xt ) + ... + φI (θ ) ∑ f I ( xt ) + n ln
⎥
c (θ ) ⎦
⎣
t =1
t =1
t =1
⎣ t =1
⎦
k1 ⎣⎡ F1 ( x ) , , FI ( x );θ ⎦⎤ > 0
n
Maka menurut Teorema 1 F1 ( x ) = ∑ f1 ( xt ) ,
t =1
n
n
F2 ( x ) = ∑ f2 ( xt ) ,..., FI ( x ) = ∑ f I ( xt ) adalah
t =1
statistik
n
Fi =
t =1
cukup,
∑ fi ( xt )
atau
dengan
kata
lain
statistik cukup bagi θ .
t =1
■ terbukti
k2 [ x ] > 0
Jika keluarga sebaran conjugate prior dari
parameter risiko θ yang kita gunakan (De
Groot, 1970)
I
− n0
(5)
u (θ ) ∝ ⎡⎣c (θ )⎤⎦ exp ⎡ ∑ f 0iφi (θ ) ⎤
⎢⎣ i =1
⎥⎦
maka keluarga tersebut bersifat tertutup, yaitu
un (θ | x ) sama seperti persamaan (5) dengan
I + 1 hyperparameters yang diperbaharui
dengan:
6
n0 ← n0 + n
Teorema 3:
f 0i ← f 0i + ∑ fi ( xt ) .
sebaran
posterior
Bentuk
θ
untuk
n
un (θ | x ) = ∏ p ( xt | θ ) u (θ )
t =1
⎡ I
⎤
a
x
exp
(
)
t
⎢ ∑ φi (θ ) f i ( xt ) ⎥
n
⎣ i =1
⎦
=∏
c (θ )
t =1
⎡⎣c (θ )⎤⎦
=
⎣⎡c (θ )⎦⎤
− n0
− n0
⎡ I
⎤
exp ⎢ ∑ f 0iφi (θ ) ⎥
⎣ i =1
⎦
⎡ I
⎤
exp ⎢ ∑ f 0iφi (θ ) ⎥
⎣ i =1
⎦
n
⎡⎣c (θ )⎤⎦
⎡
n
t
=
⎡⎣c (θ )⎤⎦
− n0
⎤
I
⎡ n
exp ⎢∑ φ1 (θ ) f1 ( xt ) +
⎣ t =1
= ⎣⎡c (θ )⎦⎤
i =1
⎡ I
⎤
exp ⎢ ∑ f 0iφi (θ ) ⎥
⎣ i =1
⎦
n
⎡⎣c (θ )⎤⎦
− ( n0 + n )
i
i
t
∏a(x )
t =1
t
n
⎤
+ ∑ φI (θ ) f I ( xt )⎥
⎦
t =1
n
t
n
⎡ I
⎛
⎞⎤
exp ⎢ ∑ φi (θ ) ⎜ f 0i + ∑ f i ( xt ) ⎟ ⎥
⎝
⎠⎦
t =1
⎣ i =1
un (θ | x ) ∝ ⎡⎣c (θ )⎤⎦
n ⎡ a x exp −θ x ⎤
( t) [ t]
= ∏⎢
⎥
c (θ )
⎥⎦
t =1 ⎢
⎣
n
⎡
⎤
1
= ∏ exp ⎢ ln
+ ln a ( xt ) − θ xt ⎥
t =1
⎣⎢ c (θ )
⎦⎥
n
n
⎡
⎤
1
⎡
⎤
= exp ⎢ −θ ∑ xt ⎥ exp ⎢ n ln
+ ∑ ln a ( xt ) ⎥
c (θ ) t =1
⎣ t =1 ⎦
⎣⎢
⎦⎥
k1 ⎣⎡u1 ( x );θ ⎦⎤ > 0
n
∏a(x )
t =1
(∑ x)
n
n
1
⎡
⎤
+ ∑ ln a ( xt ) − θ ∑ xt ⎥
= exp ⎢ n ln
c (θ ) t =1
⎣
⎦
t =1
∏ a ( x ) exp ⎢⎣∑ φ (θ ) f ( x )⎥⎦
t =1
x
atau rata-rata ⎛⎜ ∑ ⎞⎟
⎝ n ⎠
pada keluarga eksponensial sederhana tersebut
adalah statistik cukup untuk θ .
Bukti :
p ( x1 , x2 ,.., xn | θ )
Jumlah contoh
− ( n0 + n )
I
n
⎛
⎞
exp ∑ φi (θ ) ⎜ f 0i + ∑ fi ( xt ) ⎟ .
⎝
⎠
i =1
t =1
Pada bagian berikutnya akan dibahas sebaran
risiko dari salah satu keluarga eksponensial
yaitu keluarga eksponensial sederhana atau
keluarga eksponensial dengan satu parameter.
Keluarga Eksponensial Sederhana
k2 [ x ] > 0
n
Maka menurut Teorema 1
u1 ( x ) = ∑ xt
t =1
adalah statistik cukup bagi θ .
■ terbukti
Conjugate prior dari parameter risiko θ yang
biasa digunakan untuk persamaan (6) adalah:
− n0
−θ x
⎡c (θ )⎦⎤ e 0
.
(7)
u (θ ) = ⎣
d ( n0 , x0 )
Misalkan ruang parameter Θ , dimana
persamaan (6) adalah fungsi kerapatan
peluang untuk semua nilai θ dengan c (θ )
finite. Pembatasan pada hyperparameters
( n0 , x0 ) diperlukan sehingga persamaan (7)
menjadi fungsi kepekatan peluang dengan
membuat faktor normalisasi d ( n0 , x0 ) finite.
Diasumsikan n0 > 0 , bentuk sebaran posterior
untuk θ adalah:
n
Keluarga dari sebaran yang memiliki
kredibilitas pasti adalah keluarga eksponensial
dengan satu parameter. Dari persamaan (4)
dengan f1 ( x ) = x dan parameter φ1 (θ ) = −θ
maka:
a ( x ) e −θ x
.
(6)
p(x |θ ) =
c (θ )
X dapat berupa himpunan kontinu atau titiktitik.
un (θ | x ) = ∏ p ( xt | θ ) u (θ )
t =1
− n0
−θ x
⎡c (θ )⎤⎦ e 0
= ⎣
n
d ( n0 , x0 ) ⎡⎣c (θ )⎤⎦
− ( n0 + n )
e
⎡c (θ )⎦⎤
=⎣
d ( n0 , x0 )
un (θ | x ) ∝ ⎡⎣c (θ )⎤⎦
− ( n0 + n )
n
∏a(x )e θ
−θ x0
e
− xt
t
t =1
n
e
−θ ∑ xt
t =1
n
∏ a(x )
t =1
n
⎛
⎞
−θ ⎜ x0 + ∑ xt ⎟
t =1 ⎠
⎝
t
.
Dengan parameter yang baru:
n0 ← n0 + n
n
x0 ← x0 + ∑ xt
t =1
(8)
7
c (θ ) adalah transformasi (Van Der Pol,
1955) pada kasus kontinu:
c (θ ) = ∫ a ( x ) e −θ x dx .
(9)
− n0
−θ x
⎡c (θ )⎦⎤ e 0
u (θ ) = ⎣
d ( n0 , x0 )
(θ
=
x∈X
Jika X (finite) diskret, maka a ( x ) dapat
dituliskan dalam bentuk fungsi Dirac delta
dan mendefinisikan persamaan (9) pada
konveks hull dari X.
Jika Θ ada dan konveks maka Θ memiliki
daerah pada salah satu kemungkinan berikut,
yaitu:
a)
Finite
b)
Semi-finite
c)
Doubly infinite
X tidak dapat bergantung pada θ , tetapi
dapat mempengaruhi Θ . Sebagai contoh, jika
X finite maka Θ = ( −∞, +∞ ) . Atau, jika
(konveks hull) X adalah
⎡⎣0, ∞ )
maka
Berikut contoh hubungan antara X dan Θ :
Contoh 1:
Jika a ( x ) = sinh x dengan X = [ 0, ∞ ) maka
berdasarkan persamaan (7), (9),(10), dan (11),
kita dapatkan:
∞
c (θ ) = ∫ a ( x ) e −θ x dx
0
∞
= ∫ sinh x e −θ x dx
0
=
1
θ 2 −1
maka
2 (θ 2 + 1)
(θ
2
− 1)
2
d ( n0 , x0 )
.
u (θ ) > 0 .
Untuk membuat
u (θ )
Contoh 2:
−x
Jika a ( x ) = 12 e dengan X = ( −∞, ∞ ) maka
berdasarkan persamaan (7), (9),(10), dan (11),
kita dapatkan:
c (θ ) =
∞
∫ a ( x) e
−θ x
dx
−∞
∞
=
∫
1
2
e
−x
e −θ x dx
−∞
1
.
θ −1
d
m (θ ) = −
ln c (θ )
dθ
1 ⎞
d ⎛
ln −
=−
dθ ⎜⎝ θ 2 − 1 ⎟⎠
2θ
= 2 .
θ −1
dm (θ )
v (θ ) = −
dθ
d ⎛ 2θ ⎞
=−
dθ ⎜⎝ θ 2 − 1 ⎟⎠
=−
=
m (θ ) = −
=
n0
menjadi fungsi kepekatan peluang maka
haruslah θ 2 − 1 > 0 . Sehingga Θ = [1, ∞ ) .
.
d
ln c (θ )
dθ
d ⎛ 1 ⎞
ln
=−
dθ ⎜⎝ θ 2 − 1 ⎟⎠
2θ
= 2 .
θ −1
dm (θ )
v (θ ) = −
dθ
d ⎛ 2θ ⎞
=−
dθ ⎜⎝ θ 2 − 1 ⎟⎠
− 1) e −θ x0
Karena u (θ ) fungsi kepekatan peluang,
Θ = (θ1 , +∞ ) dengan θ1 selalu finite. Satu-
satunya kasus dimana Θ dapat finite yaitu
jika X adalah ( −∞, ∞ ) .
2
2
2 (θ 2 + 1)
(1 − θ )
2 2
.
− n0
−θ x
⎡c (θ )⎦⎤ e 0
u (θ ) = ⎣
d ( n0 , x0 )
(1 − θ )
=
2 n0
e −θ x0
d ( n0 , x0 )
.
Karena u (θ ) fungsi kepekatan peluang,
maka
u (θ ) > 0 .
Untuk membuat
u (θ )
menjadi fungsi kepekatan peluang maka
haruslah 1 − θ 2 > 0 . Sehingga Θ = [ −1,1] .
.
Menurut teori transformasi (Van Der Pol,
1955), dapat diketahui c (θ ) analitik pada
interior point dari Θ , dan turunan dari seluruh
order dapat dilalui dengan integral pada
8
persamaan (9), yang memberikan fungsi
analitik untuk θ .
Rata-rata risiko individu dan ragamnya
yaitu :
−c′ (θ )
d
(10)
ln c (θ )
=−
m (θ ) =
c (θ )
dθ
dm (θ )
(11)
dθ
Jika v (θ ) ≥ 0 (θ ∈ Θ ) maka m (θ )
v (θ ) = −
harus monoton menurun dengan daerah pada
(konveks hull dari) X . Selain c (θ ) fungsi
positif dan infinite di daerah batas akhir,
c (θ )
pasti konveks sempurna (strictly
convex) dan
X = [0, ∞ ) .
monoton
menurun
jika
Modus Prior dan Posterior
Misalkan u (θ )
( c (θ ))
=
− n0
(
− n0 −1
d ( n0 , x0 )
=
− n0
⎞
⎟
⎟
⎠
− n0
x0 e −θ x0
⎛ d (n , x )
0
0
⎜
⎜ ( d ( n , x ))2
0
0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ − n c′ (θ ) ⎞
− n0 −θ x
e −θ x0 ⎜ 0
⎟ − ( c (θ )) e 0 x0
θ
c
(
)
⎝
⎠
d ( n0 , x0 )
= u (θ ) ( n0 m (θ )) − u (θ ) x0 .
Sehingga
du (θ )
= ( n0 m (θ ) − x0 ) u (θ ) .
(12)
dθ
u (θ ) pertama-tama berada pada nol atau
slope positif pada batas kiri di titik nol yang
kemudian berada pada slope negatif, dengan
modus prior θˆ0 yang unik pada
( )
m θˆ0 = x0 n0 .
(13)
Dari persamaan (8), kita lihat bahwa θˆn
adalah modus posterior dari sebaran prior
un (θ | x ) yang memenuhi :
x + ∑ xt
.
m θˆn = 0
n0 + n
( )
( )
T
dapat dibuktikan dengan hukum kuat bilangan
besar dari persamaan (14).
θˆn bukan penduga maximum-likelihood
(penduga θ didapat dari persamaan (14)
dengan x0 = n0 = 0 ).
u (θ ) |Θ = n0 ∫ m (θ ) u (θ ) dθ − x0 .
c′ (θ ) e −θ x0
− ( c (θ ))
( c (θ ))
)
n
Akan diperlihatkan hasil dari rata-rata
risiko. Dengan mengintegralkan persamaan
(12) pada daerah umum Θ , didapatkan :
du (θ )
dθ = ∫ u (θ ) ( n0 m (θ ) − x0 ) dθ
∫
dθ
u (θ ) |Θ = n0 ∫ m (θ ) u (θ ) dθ − x0 ∫ u (θ ) dθ
.
Dengan mendiferensiasikan u (θ ) didapat
= − n0 ( c (θ ))
( )
T
secara peluang, dengan n → ∞ , mendekati
premi wajar yang sebenarnya m θˆ . Hal ini
Rata-rata Kredibilitas adalah Solusi Pasti
e −θ x0
− n0 −θ x
du (θ ) d ⎛ ( c (θ )) e 0
⎜
=
dθ
dθ ⎜ d ( n0 , x0 )
⎝
Jika diambil x0 n0 pada konveks hull
dari X maka rata-rata risikonya akan selalu
tetap pada daerah tersebut.
Jika data pengalaman adalah contoh dari
risiko dengan parameter sebenarnya θT dan
sebaran prior sebarang maka sebaran posterior
harus konvergen ke sebaran degenerate pada
θ . Artinya penduga acak m θˆ konvergen
(14)
(15)
Asumsikan u (θ ) bernilai nol pada batas
akhir Θ ,
Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤ = ∫ m (θ ) u (θ ) dθ
θ ∈Θ
u (θ ) |Θ = n0 ∫ m (θ ) u (θ ) dθ − x0
θ ∈Θ
0 = n0 Eθ ⎡⎣m (θ )⎦⎤ − x0
n0 Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤ = x0
x
Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦ = 0 .
n0
Maka rata-rata risiko prior harus :
m = Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤ = x0 n0 .
(16)
Jika θ diperbaharui dengan persamaan (8)
maka rata-rata risiko posteriornya adalah :
x + ∑ xt
E [ξ n +1 | x ] = 0
n + n0
=
x0
∑ xt
+
n + n0 n + n0
⎛ n + n0 − n ⎞ x0
∑ xt
=⎜
⎟ +
⎝ n + n0 ⎠ n0 n + n0
⎛
n ⎞ x0
n ⎛1
⎞
= ⎜1 −
⎟ +
⎜ ∑ xt ⎟
n
n
n
n
n
n
+
+
⎝
⎠
⎝
0 ⎠ 0
0
9
⎛1
⎞
= (1 − Z ) m + Z ⎜ ∑ xt ⎟ .
n
⎝
⎠
Maka,
du (θ )
2
= −n0 Eθ ⎣⎡v (θ )⎦⎤ + n0 2 Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤
dθ Θ
Maka
x + ∑ xt
E ⎡⎣ξ n +1 x ⎤⎦ = Eθ x ⎡⎣m (θ )⎤⎦ = 0
n0 + n
⎛1
⎞
= (1 − Z ) m + Z ⎜ ∑ xt ⎟ ,
⎝n
⎠
− n0 x0 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦ − n0 x0 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦ + x0 2
(17)
dengan
n
.
(18)
n + n0
Sehingga kredibilitas adalah solusi pasti untuk
keluarga eksponensial sederhana.
Fakta tetap bahwa
(19)
n0 = Eθ v (θ ) Vθ m (θ ) = N
Z=
dapat diduga dari hasil yang diketahui
(Buhlmann, 1967), atau dengan membentuk
d 2 u (θ )
dari
persamaan
(12),
dan
dθ 2
mengintegralkan untuk mendapatkan :
du (θ )
= ( n0 m (θ ) − x0 ) u (θ ) .
dθ
d 2 u (θ )
dθ
= − n0 Eθ ⎡⎣v (θ )⎤⎦ + n0 2 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦
−2n0 x0 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦ + x0 2
du (θ )
2
= −n0 Eθ ⎣⎡v (θ )⎦⎤ + n0 2 Eθ ⎣⎡m (θ )⎦⎤
dθ Θ
−2n0 x0 m + x0 2 .
(20)
Persamaan (19) mengikuti asumsi slope
dari u (θ ) yang bernilai nol pada titik akhir
dari Θ , maka persamaan (20) menjadi
⎛ Eθ ⎡v (θ ) ⎦⎤
2
− Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
0 = −n0 2 ⎜ ⎣
⎜
n
0
⎝
+2
0=
= n0 m′ (θ ) u (θ ) + ( n0 m (θ ) − x0 ) u ′ (θ ) .
du (θ )
= ∫ n0 m′ (θ ) u (θ ) dθ
dθ Θ Θ
+ ∫ ( n0 m (θ ) − x0 ) u ′ (θ ) dθ
Θ
Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦
2
− Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦ + m 2
n0
0=
Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦
2
− Eθ ⎣⎡ m (θ ) ⎦⎤
n0
(
+ Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
( 2)
− x0 ∫ u ′ (θ ) dθ .
Θ
= − n0 Eθ ⎡⎣v (θ )⎤⎦ .
(2) n0 ∫ m (θ ) u ′ (θ ) dθ
Θ
Θ
2
− n0 x0 Eθ
⎡⎣m (θ )⎤⎦ .
(3) x0 ∫ u ′ (θ ) dθ = x0 ∫ u (θ ) ( n0 m (θ ) − x0 ) dθ
Θ
2
Eθ ⎡⎣ v (θ ) ⎤⎦
− Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
n0
0=
Eθ ⎣⎡ v (θ ) ⎦⎤ − n0Vθ ⎣⎡ m (θ ) ⎦⎤
n0
;m =
x0
n0
; m = Eθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
0 = Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦ − n0Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦
n0Vθ ⎡⎣ m (θ ) ⎤⎦ = Eθ ⎡⎣v (θ ) ⎤⎦
= n0 ∫ m (θ ) u (θ ) ( n0 m (θ ) − x0 ) dθ
= n0 2 Eθ ⎡⎣m (θ )⎤⎦
)
0=
( 3)
(1) n0 ∫ m′ (θ ) u (θ ) dθ = n