BAB 16. Program Linear
16. PROGRAM LINEAR
A. Persamaan Garis Lurus
Y Y Y y (x , y ) (0, a) 2 2 2 a (x , y ) 1 1 y y 1 1 (x , y ) 1 1 X X (b, 0) X x x x b 1 1 2
a. Persamaan garis yang
b. Persamaan garis yang
c. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui melalui dua titik (x 1 , y 1 ) dan memotong sumbu X di (b, 0) titik (x 1 , y 1 ) adalah: (x 2 , y 2 ) adalah : dan memotong sumbu Y di y – y 1 = m(x – x 1 ) (0, a) adalah:
y y
2
1
y y ( x x )
1
1
x x ax + by = ab
2
1
B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linearUntuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Gambarkan garis ax + by = c Y titik uji
(0, a) a
(x, y)
(b, 0)
X b O ax + by = c
2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c, kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c
3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum
1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y) 2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum 3) Pada gambar HP program linear, titik-titik sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua
pertidaksamaan, maka titik-titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.
Y Y (0,p)
Titik kritis ada 3: Titik kritis ada 3: p p HP
(0, p), (b, 0) dan (0, a), (q, 0) dan
(x, y) (0,a)
(x, y) a a (x,y)
(x,y)
HP
(b,0) (q,0)
X X q q b b g g
h h
Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum
Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:
1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika
tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan
2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)
SOAL
1. UAN 2003 Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan
4 x 2 y
60
adalah …
2 x 4 y
48 x ,0 y
a. 120
b. 118
c. 116
d. 114
e. 112 Jawab : a
SOAL
2. UN 2012/A13 Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi,sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah…
A. Rp12.000,00
B. Rp14.000,00
C. Rp18.000,00
D. Rp24.000,00
E. Rp36.000,00 Jawab : B
3. UN 2011 PAKET 12 Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Teblet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah …
A. Rp12.000,00
D. Rp18.000,00
B. Rp14.000,00
E. Rp20.000,00
C. Rp16.000,00 Jawab : E
4. UN 2010 PAKET A Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 perunit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus di buat? a. 6 jenis I
b. 12 jenis II
c. 6 jenis I dan jenis II
d. 3 jenis I dan 9 jenis II
e. 9 jenis I dan 3 jenis II Jawab : e
SOAL
5. UN 2012/D49 Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00, jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang di terima pedagang adalah ….
A. Rp13.400.000,00
B. Rp12.600.000,00
C. Rp12.500.000,00
D. Rp10.400.000,00 E Rp8.400,000,00 Jawab : A
6. UN 2012/B25 Penjahit ”Indah Pantes” akan membuat pakaian wanita dan pria. Untuk membuat pakaian wanita di perlukan bahan bergaris 2 m dan bahan polos 1 m. Untuk membuat pakaian pria diperlukan bahan bergaris 1 m dan bahan polos 2 m. Penjahit hanya memeliki persediaan bahan bergaris dan bahan polos sebanyak 36 m dan 30 m. Jika pakaian wanita dijual dengan harga Rp150.000,00 dan pakaian pria dengan harga Rp100.000,00, maka pendapatan maksimum yang di dapat adalah ...
A. Rp2.700.000,00
B. Rp2.900.000,00
C. Rp3.700.000,00
D. Rp3.900.000,00
E. Rp4.100.000,00 Jawab : B
7. UN 2004 pakaian. Model pertama memerlukan 1 m kain polos dan 1, 5 kain corak. Model kedua memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia hanya mempunyai 20 m kain polos dan 10 m kain bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang dapat dibuat adalah … a. 10 potong
b. 11 potong
c. 12 potong
d. 14 potong
e. 16 potong Jawab : c
SOAL
8. UN 2012/E52 Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue.Kue jenis I memerlukan40 gram tepung dan 30 gram gula. Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula.Ibu hanya memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dangula 4 kg.Jika kue di jual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II di jual dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang di peroleh ibu adalah….
A. Rp300.400,00
B. Rp480.000,00
C. Rp560.000,00
D. Rp590.200,00
E. Rp720.000,00 Jawab : C
9. UN 2011 PAKET 46 Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp60.000.000. Supaya pendapatan dari hasil penjulana seluruh rumah maksimum, maka harus dibangun rumah sebanyak…
a. 100 rumah tipe A saja
b. 125 rumah tipe A saja
c. 100 rumah tipe B saja
d. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B
e. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B Jawab : c
10. UN 2009 PAKET A/B 2 Tanah seluas 10.000 m akan dibangun toko 2 2 seluas 100 m dan tipe B diperlukan 75 m .
Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah …
a. Rp 575.000.000,00
b. Rp 675.000.000,00
c. Rp 700.000.000,00
d. Rp 750.000.000,00
e. Rp 800.000.000,00 Jawab : c
SOAL
11. UN 2008 PAKET A/B 2 Pada tanah seluas 24.000 m dibangun perumahan dengan dua tipe. Tipe A dengan 2 2 luas 150m dan tipe B dengan luas 100 m .
Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 200 unit. Jika laba untuk setiap rumah tipe A Rp4.000.000,00 dan tiap rumah tipe B Rp3.000.000,00, maka laba maksimum yang dapat diperoleh adalah … a. Rp 600.000.000,00
b. Rp 640.000.000,00
c. Rp 680.000.000,00
d. Rp 720.000.000,00
e. Rp 800.000.000,00 Jawab : c
12. UN 2010 PAKET B 2 Luas daerah parkir 1.760m luas rata-rata 2 untuk mobil kecil 4m dan mobil besar 2 20m . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/ jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaran yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah … a. Rp 176.000,00
d. Rp 300.000,00
b. Rp 200.000,00
e. Rp 340.000,00
c. Rp 260.000,00 Jawab : c
13. UN 2007 PAKET A Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan C untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu barang jenis I dan barang jenis II. Sebuah barang jenis I memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B, dan 2 kg bahan C.
Sedangkan barang jenis II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan B, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan B, dan 360 kg bahan C. Harga barang jenis I adalah Rp 40.000,00 dan harga barang jenis II adalah Rp 60.000,00. Pendapatan maksimum yang diperoleh adalah … a. Rp 7.200.000,00
b. Rp 9.600.000,00
c. Rp 10.080.000,00
d. Rp 10.560.000,00
e. Rp 12.000.000,00 Jawab : d
SOAL
14. UN 2006 Pada sebuah toko, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado.
Sebuah kado jenis A membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita, Sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita. Tersedia kertas pembungkus 40 lembar dan pita 30 meter. Jika upah untuk membungkus kado jenis A Rp2.500,00/ buah dan kado jenis B Rp2.000,00/buah, maka upah maksimum yang dapat diterima karyawati tersebut adalah … a. Rp 40.000,00
b. Rp 45.000,00
c. Rp 50.000,00
d. Rp 55.000,00
e. Rp 60.000,00 Jawab : b
15. UN 2007 PAKET B Perusahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K dan setiap sepatu memerlukan 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap tas adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatu adalah Rp12.000,00. keuntungan maksimum perusahaan yang diperoleh adalah …
A. Rp120.000,00
D. Rp84.000,00
B. Rp108.000,00
E. Rp72.000,00
C. Rp96.000,00 Jawab : B
16. UN 2005 Suatu pesawat udara mempunyai 60 tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa barang hingga 50 kg, sedangkan untuk setiap penumpang kelas ekonomi diperkenankan paling banyak membawa 20 kg barang. Bagasi pesawat itu hanya mampu menapung 1.500 kg barang. Jika harga tiket kelas utama Rp 500.000,00, dan untuk kelas ekonomi Rp 300.000,00, pendapatan maksimum untuk sekali penerbangan adalah … a. Rp 15.000.000,00
b. Rp 18.000.000,00
c. Rp 20.000.000,00
d. Rp 22.000.000,00
e. Rp 30.000.000,00
SOAL Jawab : c
17. EBTANAS 2002 Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap jenis kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap jenis kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah …
a. 30%
b. 32%
c. 34%
d. 36%
e. 40% Jawab : c