BAB I PROGRAM LINEAR - Program Linear

BAB I
PROGRAM LINEAR

Program Linier merupakan metode matematik
dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka
untuk
mencapai
tujuan
tunggal
seperti
memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan
biaya.
Program Linier banyak diterapkan dalam membantu
menyelesaikan masalah ekonomi, indutri, militer,
social dan lain-lain.
1.1 Metode Grafik
Setelah dapat membuat Model Matematika
(merumuskan) persoalan Program Linier, maka
untuk menentukan penyelesaian Persoalan Program
Linier dapat menggunakan 2 metode, yaitu:
Metode Grafik dan Metode Simpleks. 1. Metode

Grafik
Penyelesaian masalah program Linier dengan
menggunakan metode grafis pada
umumnya mengikuti langkah-langkah sebagai
berikut :
1. Merumuskan masalah asli menjadi model
matematika

1

yang

sesuai

dengan

syarat-

Program linear

syarat yang diperlukan dalam model Program
Linier, yaitu mempunyai fungsi tujuan, fungsi
kendala, syarat ikatan non-negatif.
2. Kendala-kendala yang ada digambar hingga
dapat

diperoleh

(Daerah

daerah

yang

Memenuhi

(DMK)/Wilayah
Fisibelyang

penyelesaian

Kendala

Kelayakan)/Daerah

titik-titik

sudutnya

diketahui

dengan jelas.
3. Nilai fungsi sasaran (fungsi tujuan) dihitung di
setiap titik sudut daerah penyelasaian (DMK).
4. Dipilih nilai yang sesuai dengan fungsi tujuan
(kalau memaksimumkan berarti yang nilainya
terbesar dan sebaliknya).
5. Jawaban soal asli sudah diperoleh.
Catatan :
Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam
pemecahan masalah program linier yang ber

"dimensi"

:

2

x

n

atau

m

x

2,

karena

keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam
"menyampaikan" sesuatu (sebenarnya grafik 3

Program linear

2

dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak
praktis).
Contoh Soal :
"PT.

Rakyat

Bersatu"

menghasilkan

2

macam

produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit
laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut dalam
proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu
2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C.
Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3
jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu
beroperasi 10 jam per mesin per hari, tersedia 6
mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin
per hari, dan tersedia 9 mesin C yang mampu
beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran
kepada pimpinan "PT. Rakyat Bersatu" sehingga
dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum !
Dan berapa unit produk I dan produk II harus
diproduksi ?
Jawab :
*) Merumuskan permasalahan Program Linier ke
dalam model Matematika :
Misalkan : Akan diproduksi produk I sejumlah Xi unit

dan produk II akan diproduksi sejumlah X2 unit.

3

Program linear

Maka Fungsi tujuannya adalah : Mamaksimumkan :
Z = 3000 Xi + 3000 X2
Ma

Mb

Mc

Harga jual per
unit

Produk I

2 jam

2 jam

4 jam

Rp. 3000,-

Produk II

i jam

3 jam

3 jam

Rp. 3000,-

Jumlah Mesin

3 buah

6 buah

9
buah

Memaksimumk
an

Lama Operasi

Total waktu
Operasi

i0
jam/mesin
30 jam

i0
8

jam/mesin jam/mes
in
60 jam

72
jam

Keterangan :
Lama operasi adalah dalam jam/hari/mesin.
Total waktu operasi adalah sama dengan jumlah
mesin x lama operasi (dalam jam/hari/tipe mesin).
Syarat Ikatan (fungsi Kendala):
2Xi + X2 < 30......i)
2Xi + 3X2 < 60....ii)

Program linear

4

4Xi + 3X2 < 72....iii)

dan Xi > 0; X2 > 0 (Syarat Non Negatif).
*) Menggambar fungsi-fungsi kendala sehingga
diperoleh

daerah

penyelesaian

Memenuhi

Kendala/Wilayah

potong-titik

potong

dari

(Daerah

yang

kelayakan).

Titik

ketidaksamaan

fungsi

kendalanya adalah :
a). Untuk persamaan 2Xi + X2 = 30
(i),
titik
potong dengan sumbu-Xi jika X2 = 0 :
2Xi + 0 = 30 diperoleh Xi = i5 maka titik potong
dengan sumbu-Xi adalah (15,0).
Sedangkan titik potong dengan
sumbu-X2 jika Xi = 0 : 0 + X2 = 30
diperoleh X2 = 30 maka titik potong
dengan sumbu-X2 adalah (0,30).
b) .

Untuk persamaan 2Xi + 3X2 =

60 ....(ii), titik potong dengan sumbuXi jika X2 = 0 : 2Xi + 0 = 60
diperoleh Xi = 30 maka titik potong
dengan sumbu-Xi adalah (30,0).
Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika Xi
=0:
0 + 3X2 = 60 diperoleh X2 = 20 maka titik
potong dengan sumbu-X2 adalah (0,20).

5

Program linear

c) .

Untuk persamaaan 4Xi + 3X2 =

72 ....(iii), titik potong dengan sumbu-Xi
jika X2 = 0 : 4Xi + 0 = 72 diperoleh Xi
= i8 maka titik potong dengan sumbuXi adalah (18,0).
Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika Xi
=0:
0 + 3X2 = 72 diperoleh X2 = 24 maka titik
potong dengan sumbu-X2 adalah (0,24).
Sehingga jika digambarkan pada Koordinat
Cartesius adalah :

Program linear

6

Gambar Grafik Contoh Soal

Daerah Fisibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang
Memenuhi Kendala (DMK)) adalah daerah yang
merupakan irisan dari daerah yang memenuhi
kendala :
1). 2Xi + X2< 30,
2) . 2Xi + 3X2< 60 ,
3) . 4Xi + 3X2< 72,

7

Program linear

4) .Xi> 0;
5) . X2> 0
Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah tersebut
terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titiktitik O(0,0), A(15,0), D(0,20), titik B yaitu titik
potong antara garis 2Xi + X2 = 30 dan garis 4Xi
+ 3X2 = 72 , dan titik C adalah titik potong
antara garis 2Xi + 3X2 = 60 dan garis 4Xi + 3X2
= 72. . Adapun cara menghitung titik B dan C
tersebut dengan menggunakan metode Eliminasi
dan Substitusi, sebagai berikut:
*) Titik B perpotongan antara garis 2Xi + X2 = 30
dan garis 4Xi + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi
Xi, dapat dihitung :
4Xi + 2X2 = 60

i)

4Xi + 3X2 = 72

iii)

- X2 = - i2 ^ X2 = 12
Untuk X2 = i2
disubstitusikan ke
persamaan 2Xi + X2 = 30
sehingga : 2Xi + i2 = 30 ^
X1 = 9 maka titik B adalah
(9,12)

Program linear

8

*) Titik C perpotongan antara garis 2Xi + 3X2 =
60

dan

garis

4Xi

+

3X2

=

72,

dengan

mengeliminasi X2, dapat dihitung :
2Xi + 3X2 = 60. i)
4Xi + 3X2 = 72. iii)
- 2Xi = - i2 ^ X1 = 6
Untuk Xi = 6 disubstitusikan
ke persamaan 2Xi + 3X2 =
60 sehingga : i2 + 3X2 = 60
^ X2 = 16 maka titik C
adalah (6,16)
Daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi
Kendala/Wilayah

Kelayakan)

adalah

daerah

OABCD yang titik-titik sudutnya adalah : 0(0,0),
A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20).
*) Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung
nilai fungsi sasaran (Z = 3000 Xi + 3000 Xs) di
setiap titik sudut-titik sudut Daerah yang
Memenuhi Kendala, sehingga:
di titik O (0,0) — Z (0,0) = 3000. (0) + 3000.(0) =
0, di titik A (15,0)—> Z (15,0) = 3000.(15) + 3000.
(0) = 45.000,00 di titik B (9,12) — Z (9,12) = 3000.

9

Program linear

(9) + 3000.(12) = 63.000,00 di titik C (6,16)—
Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000,00 di
titik D (0,20)— Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) =
60.000,00 *) Fungsi Tujuan adalah mencari nilai
maksimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah
terletak pada titik C(6,16) yaitu dengan nilai fungsi
tujuannya Rp. 66.000,00

*) Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum
maka

Pimpinan

"PT.

Rakyat

Bersatu"

harus

memproduksi Produk I sebanyak 6 unit dan
Produk II sebanyak 16 unit, sehingga mendapat
laba maksimum sebesar Rp.66.000,00.

1.2 Formulasi Model Program Linier
Masalah keputusan yang sering dihadapi analis
adalah alokasi optimum sumberdaya langka.
Sumberdaya dapat berupa uang, tenaga kerja,
bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruang atau
teknologi. Tugas analis adalah mencapai hasil
terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber
daya itu. Hasil yang dinginkan mungkin ditunjukkan
sebagai maksimasi dari beberapa ukuran profit,
penjualan dan kesejahteraan, atau minimisasi pada
biaya, waktu dan jarak.

Program linear

10

Setelah
masalah
di
identifikasikan,
tujuan
ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi
model matematika yang meliputi tiga tahap seperti
berikut :






Tentukan variable yang tidak diketahui
(Variabel keputusan) dan nyatakan dalam symbol
matematika.
Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan
sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian)
dari variable keputusan.
Menentukan semua kendala masalah tersebut
dan mengekspresikan dalam persamaan atau
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan
linier
dari
variable
keputusan
yang
mencerminkan
keterbatasan
sumberdaya
masalah itu.

1.3 Masalah Maksimisasi
Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan
keuntungan atau hasil.
Contoh:
PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik
yang akan memproduksi 2 jenis produk,
yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk
memproduksi
kedua produk
diperlukan
bahan baku benang sutera, bahan baku
benang wol dan tenaga kerja. Maksimum

11

Program linear

penyediaan benang sutera adalah 60 kg
per hari, benang wol 30 kg per hari dan
tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap
unit produk
akan bahan baku dan
jam
tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Jenis
bahan
baku dan
tenaga
kerja
Benang
sutera
Benang wol
Tenaga
kerja

Kg bahan baku &
Jam tenaga kerja
Kain
Kain
sutera
wol

Maksimum
penyediaa
n

2

3

60 kg

2

2
1

30 kg
40 jam

Kedua jenis produk memberikan keuntungan
sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan
Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya
adalah bagaimana menentukan jumlah unit
setiap jenis produk yang akan diproduksi
setiap hari agar keuntungan yang diperoleh
bisa maksimal.
Langkah-langkah:
1) Tentukan variabel
X 1=kain sutera

X 2=kainwol

Program linear

12

2) Fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
1. 2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera)
2.

2X2 ≤ 30 (benang wol)

3. 2X1 + X2 ≤ 40 (tenaga kerja)
4) Membuat grafik
1. 2X1 + 3 X2 = 60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
2. 2X2 ≤ 30
X2=15
3. 2X1 + X2 ≤ 40
X1=0, X2 = 40
X2=0, X1= 40/2 = 20

13

Program linear

Cara mendapatkan solusi optimal adalah
dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20 + 30 . 0
Z = 800
Titik C

Program linear

14

Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40 2X2 =20
X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 .10 = 60
2X1 + 30
2X1
X1

= 60
= 30
= 15

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40X1 + 30X2
Z = 40 . 15 + 30 . 10
Z = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60

15

Program linear

2X1 + 45 = 60
2X1 = 15 X1 = 7,5
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 7,5 + 30 . 15
Z = 300 + 450
Z = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 .15
Z = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal,
maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.

1.4 Masalah Minimisasi
Minimisasi dapat berupa meminimumkan
biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada
saat garis
fungsi
tujuan menyinggung

Program linear

16

daerah
origin.

fasible yang

terdekat dengan titik

Contoh :
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan
untuk membuat dua jenis
makanan yaitu
Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis
makanan tersebut mengandung vitamin dan
protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2
unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi
1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah
vitamin dan protein dalam setiap jenis
makanan:

Jenis
makanan
Royal Bee
Royal Jelly
minimum
kebutuhan

Vitamin
(unit)

Protein
(unit)

2
1
8

2
3
12

Biaya per
unit (ribu
rupiah)
100
80

Bagaimana menentukan kombinasi kedua
jenis makanan agar meminimumkan biaya
produksi.
Langkah – langkah:
1. Tentukan variabel
X1 = Royal Bee

17

Program linear

X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
1. 2X1 + X2 ≥ 8

(vitamin)

2. 2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein)
3. X1 ≥ 2
4. X2 ≥1
4. Membuat grafik
1) 2X1 + X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
2) 2X1 + 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
3) X1 = 2
4) X2 = 1

Program linear

18

Solusi
optimal
tercapai pada
titik
B
(terdekat
dengan
titik
origin),
yaitu
persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12 -2X2 = -4  X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1

=6

X1

=3

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2

19

Program linear

Z min = 100 . 3 + 80 . 2
Z min = 300 + 160
Z min = 460

Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka
X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460
ribu rupiah.

SOAL LATIHAN
1. Maksimumkan Z = 4X + 5Y
Kendala :
1) 3X + 2Y ≤ 12
2) 3X + 4Y≤ 18
X≥ 0 , Y ≥ 0

Penyelesaian :
1. Langkah-langkah:
1) Fungsi tujuan
Zmax= 4X + 5Y
2) Fungsi kendala / batasan

Program linear

20



3X + 2Y ≤ 12



3X + 4Y≤ 18



X1≥ 0 , X2 ≥ 0

3) Membuat grafik




3X + 2Y ≤ 12
X=0, Y =12/2 = 6

(0,6)

Y=0, X= 12/3 = 4

(4,0)

3X + 4Y≤ 18
X=0, Y =18/4 = 19/2

(0,19/2)

Y=0, X= 18/3 = 6

(6,0)

6
5
4

21

B

Program linear

3

C

2
1
0

A

D

1

2

3

4

5

6

7

Cara mendapatkan solusi optimal adalah
dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
X=0, Y=0

Z=4.0+5.0=0

Titik B
X=0, Y=4

Z = 4 . 0 + 5 . 4 = 20

Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
3X + 2Y = 12
3X + 4Y = 18 -2Y = -6
Y=3
Masukkan Y ke kendala (1)
3X + 2Y = 12
3X + 2 .3 = 12
3X + 6

Program linear

= 12

22

3X

=6

X

=2

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Zmax = 4X + 5Y
Zmax = 4 . 2 + 5 . 3
Zmax = 8 + 15
Zmax = 23

MAX

Titik D
X=4, Y=0

Z = 4 . 4 + 5 . 0 = 16

Kesimpulan :
X = 2 dan Y = 3 dengan nilai max = 23.

1.5 Pemecahan Dasar (Basis)
Contoh Soal
4 x +3 y +2 z ≤ 12

5 x+ 4 y +3 z ≤ 12
x, y ,z ≥0

Tentukan nilai maksimum

T =2 x +3 y + z

Penyelesaian :

23

Program linear

m = Jumlah variable
n = jumlah persamaan
Menambahkan setiap persamaan dengan
sebuah variable tambahan atau variable
slack

4 x +3 y +2 z+u=12

2 x + 4 y +3 z+ v=12
m

5

Cn =C 2

C52 =

5!
5 ×4 ×3 ×2 !
=
=10
2!3!
2 ! 3!



x=0, y=0, z=0, u=12, v=12



x=0, y=0, u=0, z=6, v=−6
4 x +3 y +2 z+u=12
4.0+3.0+ 2 z +0=12

2 z =12
z=6

2 x +4 y +3 z+ v=12
2.0+4.0+ 3.6+v =12

18+v =12
v =−6

Program linear

24



x=0, y=0, v =0, z =4, u=4
2 x + 4 y +3 z+ v=12
2.0+4.0+ 3. z +0=12

3 z=12
z=4

4 x +3 y +2 z+u=12
4.0+3.0+ 2.4+u=12

8+u=12
u=4



x=0, z=0, u=0, y=4, v=−4
4 x +3 y +2 z+u=12

4.0+3 y +2.0+ 0=12
3 y=12

y=4
2 x + 4 y +3 z+ v=12

2.0+4.4 +3.0+ v=12
16+ v=12

v =−4

25

Program linear



x=0, z=0, v=0, y =3,u=3
2 x + 4 y +3 z+ v=12
2.0+4 y +3.0+0=12

4 y=12
y=3

4 x +3 y +2 z+u=12
4.0+3.3+ 2.0+u=12

9+u=12
u=3



y=0, z=0, u=0, x=3, v=6
4 x +3 y +2 z+u=12

4 x +3.0+2.0+ 0=12
4 x =12

x=3
2 x + 4 y +3 z+ v=12

2.3+4.0+ 3.0+v =12
6+ v=12

v =6

Program linear

26



y=0, z=0, v =0, x =6,u=−12
2 x + 4 y +3 z+ v=12
2 x + 4.0+3.0+0=12

2 x =12
x=6

4 x +3 y +2 z+u=12
4.6+ 3.0+2.0+u=12

24+u=12
u=−12



u=0, v=0, x=0, y=12, z=−12

|

3 y +2 z=12 ×3
4 y +3 z=12 ×2
−¿
9 y+ 6 z=36
8 y +6 z =24
y=12
Subtitusi y ke persamaan 1
3 y+ 2 z=12
3.12+2 z=12

36+2 z=12
2 z =−24

27

Program linear

z=−12



3
u=0, v=0, y=0, x= , z=3
2

|

4 x +2 z =12 × 1
2 x +3 z=12 × 2
−¿
4 x +2 z =12
4 y +6 z=24
−4 z=−12
z=3
Subtitusi x ke persamaan 1
4 x +2 z=12
4 x +2.3=12

4 x +6=12
4 x =6

x=


3
2

6
12
u=0, v=0, z=0, x= , y=
5
5

|

4 x +3 y=12 ×1
2 x +4 y=12 ×2
−¿
4 x +3 y=12
4 y +8 y=24
−5 y =−12
12
y=
5
Subtitusi y ke persamaan 1

Program linear

28

4 x +3 y=12

4 x +3
4 x+

36
=12
5

4 x=
x=
Var basis
u=12;v=12
z=6;v=-6
z=4;u=4
y=4;v=-4
y=3;u=3
x=3;v=6
x=6;u=-12
y=12;z=-12
3
x=
;z=3
2
6
x=
;y=
5
12
5

29

( 125 )=12

24
5
6
5
Var non basis
x=0 ; y=0 ; z=0
x=0 ; y=0 ; u=0
x=0 ; y=0 ; v=0
x=0 ; z=0 ; u=0
x=0 ; z=0 ; v=0
y=0 ; z=0 ; u=0
y=0 ; z=0 ; v=0
u=0 ; v=0 ; x=0
u=0 ; v=0 ; y=0

ket
L
TL
L
TL
L
L
TL
TL
L

u=0 ; v=0 ; z=0

L

T =2 x +3 y + z
0
4
9
6
6
48
5

(max)

Program linear

BAB II
METODE SIMPLEKS

2.1 Pengantar

Salah satu teknik penentuan solusi optimal
yang digunakan dalam pemrograman linier
adalah metode simpleks.
Penentuan solusi

Program linear

30

optimal
menggunakan
metode
simpleks
didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan.
Penentuan solusi optimal dilakukan dengan
memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan
cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan
solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap
demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi
ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i1).
Ada beberapa istilah yang sangat sering
digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :
1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana
nilai dalam perhitungan itu tergantung dari
nilai tabel sebelumnya.
2. Variabel non basis adalah variabel yang
nilainya diatur menjadi nol pada sembarang
iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah
variabel non basis selalu sama dengan derajat
bebas dalam sistem persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang
nilainya bukan nol pada sembarang iterasi.
Pada solusi awal, variabel basis merupakan
variabel slack (jika fungsi kendala merupakan
pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika
fungsi
kendala
menggunakan
pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum,
jumlah variabel basis selalu sama dengan
jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non
negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai
sumber daya pembatas yang masih tersedia.

31

Program linear

5.

6.

7.

8.

9.

Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama
dengan jumlah sumber daya pembatas awal
yang
ada,
karena
aktivitas
belum
dilaksanakan.
Variabel
slack
adalah variabel yang
ditambahkan ke model matematik kendala
untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤
menjadi persamaan (=). Penambahan variabel
ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi
awal, variabel slack akan berfungsi sebagai
variabel basis.
Variabel surplus adalah variabel yang
dikurangkan dari model matematik kendala
untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥
menjadi persamaan (=). Penambahan ini
terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi
awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi
sebagai variabel basis.
Variabel buatan adalah variabel yang
ditambahkan ke model matematik kendala
dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan
sebagai variabel basis awal. Penambahan
variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi.
Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi
optimal, karena kenyataannya variabel ini
tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
Kolom kunci (kolom kerja) adalah kolom
yang memuat variabel masuk. Koefisien pada
kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan
untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
Baris kunci (baris kerja) adalah salah satu
baris dari antara variabel basis yang memuat
variabel keluar.

Program linear

32

10.
Unsur kunci (elemen kerja) adalah
elemen yang terletak pada perpotongan
kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan
menjadi dasar perhitungan untuk tabel
simpleks berikutnya.
11.
Variabel pendatang adalah variabel
yang terpilih untuk menjadi variabel basis
pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih
satu dari antara variabel non basis pada
setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi
berikutnya akan bernilai positif.
12.
Variabel perantau adalah variabel
yang keluar dari variabel basis pada iterasi
berikutnya dan digantikan oleh variabel
masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara
variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini
pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
2.2 BENTUK BAKU
Sebelum melakukan perhitungan iteratif
untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali
bentuk umum pemrograman linier dirubah ke
dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku
dalam metode simpleks tidak hanya mengubah
persamaan kendala ke dalam bentuk sama
dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus
diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel
basis awal menunjukkan status sumber daya
pada kondisi sebelum ada aktivitas yang
dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan
semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian,

33

Program linear

meskipun fungsi kendala pada bentuk umum
pemrograman linier sudah dalam bentuk
persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus
tetap berubah.
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam
membuat bentuk baku, yaitu :
1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤
dalam bentuk umum, dirubah menjadi
persamaan (=) dengan menambahkan satu
variabel slack.
2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥
dalam bentuk umum, dirubah menjadi
persamaan (=) dengan mengurangkan satu
variabel surplus.
3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam
bentuk umum, ditambahkan satu artificial
variabel (variabel buatan).
Perhatikan kasus A berikut :
Fungsi tujuan :
minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2
Kendala :
x1 + x2 = 90
0.001 x1 + 0.002 x2 ≤ 0.9
0.09 x1 + 0.6 x2 ≥ 27
0.02 x1 + 0.06 x2 ≤ 4.5
x1, x2 ≥ 0

Program linear

34

Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman
liniernya. Kedalam bentuk baku, model matematik
tersebut akan berubah menjadi :
Fungsi tujuan :
minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2
Kendala :
x1 + x2 + s1 = 90
0.001 x1 + 0.002 x2 + s2 = 0.9
0.09 x1 + 0.6 x2 – s3 + s4 = 27
0.02 x1 + 0.06 x2 + s5 = 4.5
x1, x2 , s1, s2, s3, s4, s5 ≥ 0
Fungsi kendala pertama mendapatkan variable
buatan (s1), karena bentuk umumnya sudah
menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala
kedua dan keempat mendapatkan variabel slack (s 2
dan s5) karena bentuk umumnya menggunakan
pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala ketiga
mendapatkan variabel surplus (s3) dan variabel
buatan (s4) karena bentuk umumnya menggunakan
pertidaksamaan ≥.
Perhatikan pula kasus B berikut ini :
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2
Kendala :
10 x1 + 5 x2 ≤ 600

35

Program linear

6 x1 + 20 x2 ≤ 600
8 x1 + 15 x2 ≤ 600
x1, x2 ≥0
Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum.
Perubahan
ke
dalam
bentuk
baku
hanya
membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi
kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤
dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya
adalah sebagai berikut :
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3
Kendala :
10 x1 + 5 x2 + s1 = 600
6 x1 + 20 x2 + s2 = 600
8 x1 + 15 x2 + s3 = 600
x1, x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
s1 , s2 , s3 merupakan variable slack.

2.3
Baris

Metode Simpleks dengan Operasi

Contoh Soal :
Maksimumkan z = 4000x1 + 3000x2
Kendala :
100 x1 + 200 x2 ≤ 9000

Program linear

36

400 x1 + 200 x2 ≤ 12000
x1, x2 ≥0
Penyelesaian :
x 3 , x 4=variabel slack

100 x1 + 200 x2 +x3= 9000
400 x1 + 200 x2 +x4= 12000
Z=4000x1+3000x2
Z – 4000x1 – 3000x2=0

[

| ]
| ]

k 1 100
200
1 0 9000 1
⃗
B
200
0 1 12000
k 2 400
400 2
−4000
−3000
0
0
0
→
⃗z

[

[
[
37

100

200
1 0
9000 B −100 B
1
2
1
1
1
0
→
30
2
400
0 B 3+ 4000 B 2
−4000 −3000 0 0
0

150

1
0
2
0 −1000 0
1

0

1

1
2
0 −1000
1

| ]
| ]

−1
4 6000 1
B
1
30
50 1
400 120000 →
10

1

1
150
0
0

−1
1
600 40
B 2− B 1
2
1
30
→
400 120000 B +1000 B
3
1
10

Program linear

[ |]
0 1
1 0
0 0

Jadi

1
150
−1
300
100
15

−1
600
40
1
30
300
160000
50
6

Z max =160000

2.4
Metode
variable dasar

saat

x 1=10 ; x 2=40

simpleks

dengan

table

Dalam perhitungan iterative, kita akan
bekerja menggunakan tabel. Bentuk baku
yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam
bentuk tabel.
Semua variabel yang bukan variabel basis
mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan
nol dan koefisien variabel basis pada baris
tujuan harus sama dengan 0. Oleh karena itu
kita harus membedakan pembentukan tabel
awal berdasarkan variabel basis awal.
Gunakan kasus B di atas, maka tabel awal
simpleksnya adalah :

VB
Z
S1
S2
S3

X1
-2
10
6
8

Program linear

X2
-3
5
20
15

S1
0
1
0
0

S2
0
0
1
0

S3
0
0
0
1

38

Solusi
0
600
600
600

LANGKAH-LANGKAH
CARA 1
Langkah-langkah
sebagai berikut :

PENYELESAIAN

penyelesaian

adalah

1. Periksa apakah tabel layak atau tidak.
Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi
(nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai
negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang
tidak layak tidak dapat diteruskan untuk
dioptimalkan.
2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom
pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan
(nilai di sebelah kanan baris z) dan
tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan
maksimisasi, maka kolom pivot
adalah
kolom dengan koefisien paling negatif. Jika
tujuan minimisasi , maka kolom pivot
adalah kolom dengan koefisien positif
terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan
ditarik
ke
atas,
maka
kita
akan
mendapatkan variabel keluar. Jika nilai
paling negatif (untuk tujuan maksimisasi)
atau positif terbesar (untuk tujuan
minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu
secara sembarang.
3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan
setelah membagi nilai solusi dengan nilai
kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang
terletak dalam satu baris). Dalam hal ini,
nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak

39

Program linear

diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi
pembagi. Baris pivot adalah baris dengan
rasio pembagian terkecil. Jika baris pivot
ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan
mendapatkan variabl keluar. Jika rasio
pembagian terkecil lebih dari satu, pilih
salah sau secara sembarang.
4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot
merupakan nilai yang terletak pada
perpotongan kolom dan baris pivot.
5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks
baru dibentuk dengan pertama sekali
menghitung nilai baris pivot baru. Baris
pivot baru adalah baris pivot lama dibagi
dengan elemen pivot. Baris baru lainnya
merupakan pengurangan nilai kolom pivot
baris yang bersangkutan dikali baris pivot
baru dalam satu kolom terhadap baris
lamanya yang terletak pada kolom
tersebut.
6. Periksa apakah tabel sudah optimal.
Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien
fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan
tergantung dari bentuk tujuan. Untuk
tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal
jika semua nilai pada baris z sudah positif
atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel
sudah optimal jika semua nilai pada baris z
sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali
ke langkah no. 2 , jika sudah optimal baca
solusi optimalnya.

Program linear

40

Rumus yang digunakan:
yr
x rk

yr’ =
(untuk baris ke – r yang terdapat
elemen pivot)
yi’ = yi – bi ar (untuk baris ke – i yang tidak
terdapat elemen pivot)
Keterangan:
yr’ = elemen baris ke – r pada tabel yang baru
yi’ = elemen baris ke – i pada tabel yang baru
yr = elemen baris ke – r pada tabel yang lama
yi = elemen baris ke – i pada tabel yang lama
bi = elemen baris ke – i pada tabel lama yang
se-kolom dengan elemen pivot
ar = elemen baris ke – r pada tabel yang baru

LANGKAH-LANGKAH
CARA 2

PENYELESAIAN

1. Rumuskan dan standarisasi modelnya
Optimumkan :
z−c 1 x 1−c2 x 2−…−c n x n=0
a11 x 1+ a12 x 2 +…+ a1 n x n ± S1=b1

Terhadap

41

Program linear

am 1 x 1+ am 2 x 2 +…+ amn x n ± Sn =bn

2. Bentuk tabel pertama
VD
Z
S1
S2
…
S3

Z
1
0
0
…
0
3.

x1
x2
xn
S1
S2 … Sn
…
C
c1
c2
cn
…
…
0
0
0
0
a11
a12 …
a1 n
…
0
1
0
0
a21
a22 …
a2 n
…
1
0
0
0
…
…
…
…
…
… … … …
am 1
an 1 … amn
…
0
0
1
0
Tentukan ”variabel pendatang” yaitu kolom
kunci dari nilai Z yang paling negatif

4. Menentukan ”variabel perantau”
baris kunci dari nilai rasio terkecil

yaitu

5. Memasukkan variabel pendatang ke kolom
VD
Transformasi baris kunci :
baris kunci baru=

baris kunci lama
unsur kunci

Tansformasi baris-baris lain :
baris kunci = baris lama – (baris pada
kolom kunci x baris kunci baru)

6. Pengujian optimalisasi

Program linear

42



Jika semua baris dasar baris Z sudah
tidak ada lagi yang negatif => max



Jika semua baris dasar baris z sudah
tidak ada lagi yang positif => min



Berarti proses selesai

Selesaikan kasus berikut ini menggunakan
metode simpleks :
Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3
Kendala :
x1 + x2 + 2x3 ≤ 2
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3
7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0
Penyelesaian :
Bentuk bakunya adalah :
Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0s1 + 0s2 +
0s3 atau
z - 8 x1 - 9 x2 - 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 = 0
Kendala :
x1 + x2 + 2x3 + s1 = 2
2x1 + 3x2 + 4x3 + s2 = 3

43

Program linear

7x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8
x1,x2,x3 ,s1 , s2 , s3 ≥ 0
Solusi / table awal simpleks :
VB
Z
S1
S2
S3

X1
-8
1
2
7

X2
-9
1
3
6

X3
-4
2
4
2

S1
0
1
0
0

S2
0
0
1
0

S3
0
0
0
1

NK
0
2
3
8

Rasio

Karena nilai negative terbesar
ada pada
kolom X2, maka kolom X2 adalah kolom pivot
dan X2 adalah variabel masuk. Rasio
pembagian nilai kanan dengan kolom pivot
terkecil adalah 1 bersesuaian dengan baris
s2, maka baris s2 adalah baris pivot dan s2
adalah varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3.
VB
Z
S1
S2
S3

X1
-8
1
2
7

X2
-9
1
3
6

X3
-4
2
4
2

S1
0
1
0
0

S2
0
0
1
0

S3
0
0
0
1

NK
0
2
3
8

Rasio
2
1
8/6

Iterasi 1
Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai
baris pivot baru (baris x2). Semua nilai pada
baris s2 pada tabel solusi awal dibagi dengan
3 (elemen pivot).
VB

X1

X2

Program linear

X3

S1

S2

S3

44

NK

Rasi

o
Z
S1
x2
S3

2/3

1

4/3

0

1/3

0

1

Perhitungan nilai barisnya :
Baris z :
-8 -9

-4

0

0

0

0

1 4/3

0

1/3

0

0

3

0

9

1

0

0

2

1 (2/3 1

4/3

0

1/3

0

1)-

1/3

0

2/3

1

-1/3

0

1

2

0

0

1

8

4/3

0

1/3

0

0

-2

1

2

-9 ( 2/3
-2

0

8

1

)

Baris s1 :
1 1

2

Baris s3 :
7 6

6 ( 2/3 1
3 0

-6

1)-

Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di
bawah. Selanjutnya kita periksa apakah
tabel sudah optimal atau belum. Karena

45

Program linear

nilai baris z di bawah variabel x 1 masih
negatif, maka tabel belum optimal. Kolom
dan baris pivotnya ditandai pada tabel di
bawah ini :
B

X1

X2

X3

S1

S2

S3

NK

Z
S1
X2
S3

-2
1/3
2/3
3

0
0
1
0

8
2/3
4/3
-6

0
1
0
0

3
-1/3
1/3
-2

0
0
0
1

9
1
1
2

Rasi
o
3
3/2
2/3

Variabel masuk dengan demikian adalah X1
dan variabel
keluar adalah S3 . Hasil
perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai
berikut :

Iterasi 2 :
VB

X1

X2

X3

S1

S2

S3

NK

Z
S1
X2
X1

0
0
0
1

0
0
1
0

4
4/3
8/3
-2

0
1
0
0

5/3
-1/9
7/9
-2/3

2/3
-1/9
-2/9
1/3

31/3
7/9
5/9
2/3

Rasi
o

Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan
iterasi dihentikan !
Perhitungan
dalam
simpleks
menuntut
ketelitian tinggi, khususnya jika angka yang
digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus

Program linear

46

diperhatikan dengan baik. Disarankan jangan
menggunakan bentuk bilangan desimal, akan
lebih teliti jika menggunakan bilangan
pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan
iterasi lebih panjang atau bahkan tidak selesai
karena ketidaktelitian dalam melakukan
pembulatan.
Perhitungan iteratif dalam simpleks pada
dasarnya merupakan pemeriksaan satu per
satu titik-titik ekstrim layak pada daerah
penyelesaian. Pemeriksaan dimulai dari
kondisi nol (dimana semua aktivitas/variabel
keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim
berjumlah n, kemungkinan terburuknya kita
akan melakukan perhitungan iteratif sebanyak
n kali.

MEMBACA TABEL OPTIMAL

Membaca tabel optimal adalah bagian
penting bagi pengambil keputusan. Ada
beberapa hal yang bisa dibaca dari table
optimal :
1. Solusi optimal variable keputusan
2. Status sumber daya
3. harga bayangan (dual/shadow prices).
Menggunakan table optimal :

47

Program linear

VB
Z
S1
X2
X1

X1
0
0
0
1

X2
0
0
1
0

X3
4
4/3
8/3
-2

S1
0
1
0
0

S2
5/3
-1/9
7/9
-2/3

S3
2/3
-1/9
-2/9
1/3

NK
31/3
7/9
5/9
2/3

Solusi optimal X1 = 2/3, X2 = 5/9 , X3 = 0
dan Z = 31/3, artinya untuk mendapatkan
keuntungan maksimum sebesar $ 31/3 , maka
perusahaan sebaiknya menghasilkan produk 1
sebesar 2/3 unit dan produk 2 sebesar 5/9
unit.
Status sumber daya :
Sumber daya pertama dilihat dari keberadaan
variable basis awal dari setiap fungsi kendala
pada table optimal. Dalam kasus di atas,
untuk fungsi kendala pertama periksa
keberadaan S1 pada variable basis table
optimal. Periksa keberadaan S2 pada variable
basis table optimal untuk fungsi kendala
kedua. Periksa keberadaan S3 pada variable
basis table optimal untuk fungsi kendala
ketiga.
S1 = 7/9. Sumber daya ini disebut berlebih
(abundant)
S2 = S3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut
habis terpakai (scarce).

Program linear

48

Harga bayangan :
Harga bayangan dilihat dari koefisien variable
slack atau surplus pada baris fungsi tujuan.
Koefisien S1 pada baris fungsi tujuan table
optimal = 0, dengan demikian harga
bayangan sumber daya pertama adalah 0
Koefisien S2 pada baris fungsi tujuan table
optimal = 5/3, dengan demikian harga
bayangan sumber daya kedua adalah 5/3
Koefisien S3 pada baris fungsi tujuan table
optimal = 2/3, dengan demikian harga
bayangan sumber daya kedua adalah 2/3.
Selesaikan
kasus
berikut
menggunakan metode simpleks :
Z maks =3 x 1 +5 x 2

Kendala :
x 1+2 x 2 ≤ 10
3 x1 + x 2 ≤ 10

x1 , x2 ≥ 0
Penyelesaian :
Z −3 x 1−5 x 2=0

x 1+2 x 2+ S 1=10
3 x1 + x 2 +S 2=10

49

Program linear

ini

Var pendatang

VD
Z
S1
S2

x1
-3
1
3

z
1
0
0

x2
-5
2
1

S1
0
1
0

S2
0
0
1

C
R
0
10 5
10 10

x2
-5
1

S1
0
1
2
0

S2
0
0

C
0
5

1

10

Var perantau

VD
Z
x2

z
1
0

S2

0

x1
-3
1
2
3

1

Transformasi baris Z :
1−(−5 ) ( 0 )=1
−3−(−5)

( 12 )= −12

−5−(−5) (1 )=0

0−(−5 )

( 12 )= 52

0−(−5) ( 0 )=0
0−(−5) ( 5 ) =25

Transformasi

S2

:

0−( 1 )( 0 )=0

Program linear

50

3− (1 )

( 12 )= 52

1−( 1 ) ( 1 )=0

0−( 1 )

( 12 )= −12

1−( 1 ) ( 0 )=1
1 0−( 1 )( 5 ) =5
Var pendatang

VD
Z

z
1

x2

0

S2

0

x1
−1
2
1
2

x2
0
1
5 0
2

S1
5
2
1
2
−1
2

S2
0

C
25

0

5

1

5

S1
5
2
1
2
−1
5

S2
0

C
25

0

5

2
5

2

Var perantau

VD
Z

z
1

x2

0

x1

0

x1
−1
2
1
2
1

x2
0

1
0

Transformasi baris Z :
1−

51

(−12 ) ( 0)=1
Program linear

−1 −1
−(
) (1 )=0
2
2
0−(

−1
) ( 0 ) =0
2

5 −1 −1 12
−
=
2
2
5
5

( )( )
−1 2 1
0−(
) =
2 (5) 5
25−(

−1
) ( 2 )=26
2

Transformasi

x2

:

( 12 ) ( 0)=0
1 1
−
(1 ) =0
2 (2)
1
1−( ) ( 0 )=1
2
1 1 −1 3
−
=
2 ( 2 )( 5 ) 5
1 2 −1
0−( )( )=
2 5
5
1
5 −( ) (2 )=4
2
0−

VD
Z

z
1

x1
0

x2
0

x2

0

0

1

Program linear

S1
12
5
3
5

S2 C
1 26
5
−1 14
5

52

x1

−1 2
2
5
5
∴ nilai Z max=26 saat x 1=−2 dan x2 =14
0

1

0

2.5 Metode Simpleks 2 Fase 1
Langkah – langkah :










53

Menambahkan
variabel
pada
pertidaksamaan yang telah diketahui, jika
pertidaksamaan tersebut telah memenuhi
( ≤ ) berarti
syarat
simpleks
yaitu
pertidaksamaan tersebut
ditambahkan
satu variabel slack, jika pertidaksamaan
tersebut tidak memenuhi syarat simpleks
(≥) berarti persamaan dikurangi
yaitu
variabel surplus dan ditambah variabel
slack.
Fungsi
ditambahkan variabel dari
Z
persamaan yang tidak memenuhi syarat
tersebut dengan simbol M yang berarti
6
M =10
Persamaan tersebut dsusun fungsi
Z
diletakkan paling atas, lalu dari fungsi Z
M
yang koefisiennya adalah
maka
hasilnya harus nol
Setelah dikalikan dan ditambahkan dengan
fungsi Z , maka dicari nilai yang paling
kecil dari hasilnya
Lalu dicari kunci dari persamaan yang
diketahui dengan cara membagi hasil
dengan persamaan dengan angka yang

Program linear

telah diberi tanda peda hasil yang paling
kecil tersebut.
 Dari kunci tersebut dibuat menjadi 1 dan
angka yang berada satu kolom dengan
angka 1 tersebut dijadikan nol
 Lakukan hal tersebut berulang-ulang
hingga tidak ada yang bernilai negatif pada
hasil yang berada paling bawah kecuali
nilai Z
Contoh soal :
1. Minimumkan :

Z =3 x +2 y

Kendala :
x+ y ≤ 6

2 x +5 y ≥10
Penyelesaian :
Misal :
a , c=variabel slack

b=variabel surplus
x+ y+ a=6

2 x +5 y−b+c=10
3 x+2 y + M c −Z=0

Cj
3
2
VBCB
x
y
a
0
1
1
C −M
2
5
Zj +Cj −2 M +3 −5 M +2
Cj

3

Program linear

2

0
a
1
0
0

0
b
0
−1
M

M −1 0
R
c Z
C¿
6
0 0
6
2
1 0
10
0 −1 −10 M

0

0

M −1

54

0

VB CB
a
0
C −M

x
y
1
1
2
1
5
−2 M +3 −5 M +2

Zj +Cj

a
1
0
0

b
0
−1
5
M

c
0
1
5
0

Z
0
0

¿

C
6
2

−1 −10 M

B1−B2
→

B 3−(−5 M +2) B2
Cj
VB CB
a
0

0
3
2 0
0
M
−1
x
y a
b
c
Z
C¿
3
1
−1
0 1
0
4
5
5
5
1
C −M 2
1 0 −1
0
2
5
5
5
19
2
2 −1 −4
Zj +Cj
0 0
M−
5
5
5
Karena Zj−Cj sudah tidak ada yang negatif
maka proses selesai
Z =4 saat x=0, y=2,a=4 dan b , c=0

2.6 Metode Simpleks 2 Fase 2
Langkah – langkah :





55

Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya
dibuat sama seperti simpleks dengan 1 fase
Nilai Z diminimumkan (dikalikan dengan
-)
Z pindah ruas menjadi bernilai +
Selanjutnya sama seperti pada simpleks
Fase 1, namun pembedanya adalah yang
mempunyai nilai hanya variabel M dan Z .

Program linear










M
variabel yang mengandung nilai
bernilai -1 dan Z =1 selebihnya bernilai nol
Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang
membentuk identitas dan pada posisi 1 di
sebelah kiri (pengali) diletakkan nilai X ,
lalu
setelah
2
variabel
dikali
dan
x
dijumlahkan,
dikurangkan
nilai
diatasnya
Selanjutnya sama dengan simpleks 2 fase 1
hingga berakhir pada nilai baris terakhir
yang bernilai positif
Hilangkan kolom yang mengandung nilai
M
Z
pada
lalu
letakkan
nilai
Z
keseluruhan
pada atas baris
Lalu seperti cara pada langkah 5 hingga
baris terakhir bernilai positif
Dan itulah nilai Z (jangan lupa nilai Z
adalah – Z ¿

Contoh Soal :
Z min =8 x +6 y

Kendala :
4 x +2 y ≥ 60
2 x + 4 y ≥ 48

Penyelesaian :
Misal
a , b=variabel slack
c , d=variabel surplus

2 x + y −a+c=30

Program linear

56

x+ 2 y −b+d =24

Z −8 x−6 y=0

Cj
0
VBCB x
a −1 2
b −1 1
Zj−Cj −3

0
y
1
2
−3

−1
a
1
0
0

−1
b
0
1
0

0
c
−1
0
1

0
d
0
−1
1

1
Z
0
0
0

0
HB
30
24
−54

Cj
VBCB
a −1
y
0

0
y
1
1

−1
a
1
0

−1
b
0
1
2
1

0
c
−1
0

0
d
0
−1
2
0

1
Z
0
0

0
HB
30
12

0

−54

−1 −1 0
a b c
1 −1 −1
2
0 1 0
2
0 3 1
2

0
d
1
2
−1
2
−1
2

1
Z
0

0
HB
18

0

12

0

−18

−1 −1 0

0

1

0

Zj−Cj

0
x
2
1
2
−2

−1 0

1

B 1−B 2
→

Cj
VBCB
a −1

0
y
0

Zj−Cj

0
x
3
2
1
2
−2

Cj

0

0

y

0

1
0

2
B
3 1
→

57

Program linear

R
30
12

x
1

y
0

1

Zj−Cj

1
2
0

0

Cj
VBCB
x
0

0
x
1

0
y
0

y

0

0

1

Zj−Cj

0

0

x
y

VBCB
0

0

a
2
3
0

b
−1
3
1
2
1

c
−2
3
0

−1
b
−1
3
1
4
1

1
1
B 2− B 1
2

HB
12

0

d
Z
1
0
3
−1 0
2
0 −1

0
c
−2
3
1
3
0

0
1
d
Z
1
0
3
−1 0
4
0 −1

0
HB
12

12
0

→

−1
a
2
3
−1
3
1

6
0

Karena Zj−Cj sudah tidak ada yang negatif
maka proses selesai
Z =132 saat x=12, y=6, dan a , b , c , d=0
2.7 Metode M Charnes
Prosedur Pemecahan :


Merumuskan masalah PL dalam bentuk
baku dengan kendala / syarat berbentuk
persamaan,
dengan
apabila
tanda
(≤)
pertidaksamaan
berarti
pertidaksamaan tersebut
ditambahkan
satu variabel slack, jika pertidaksamaan
tersebut tidak memenuhi syarat simpleks
yaitu
(≥) berarti persamaan dikurangi
variabel surplus dan ditambah variabel
slack.

Program linear

58







Pada fungsi tujuan, konstanta, variabel
surplus/
variabel
slack
adalah
nol,
sedangkan variabel tiruan diberi nilai – M
M
jika memaksimumkan dan nilai
jika
meminimumkan
Variabel tiruan sebagai variabel basis awal
yang akan segera meninggalkan basis
menjadi non basis
Ikuti aturan simpleks juntuk menentukan
nilai fungsi turunan, yaitu :
 Jika memaksimumkan maka pemecahan
selesai/fungsi tujuan optimal pada saat
Zj−Cj
semua elemen pada baris
bernilai positif
 Jika meminimumkan pengerjaan selesai
pada saat semua masukkan pada baris
Zj−Cj negatif

Contoh Soal :
Zmaks=4 x + y

Kendala :
3 x+ y ≤ 3
4 x +3 y ≥6

x+ 2 y ≤3
Penyelesaian :
Cara maksimum dengan mengalikan dengan min
Misal :

a , b , c=variabel slack

d=variabel surplus

3 x+ y + a=3

59

Program linear

4 x +3 y−d+ b=6

x+ 2 y +c =3
Cj
VBCB
a
0
b −M

−4
x
3
4

c

1 2 0
4 1 0
−4 −3 0

0

Zj−Cj

−1
y
1
3

0
a
1
0

−M
b
0
1

0
c
0
0

0
d
0
−1

0
HB
3
6

0
0
0

0
0
0

1
0
1

3
0
−6

R
1

3
2
3

Transformasi baris kunci
3110003
3333333
1

11
0 00 1
33

Transformasi Baris b
4−( 4 ) ( 1 )=0

( 13 )= 53
1 −4
0−( 4 ) ( )=
3
3
3− ( 4 )

1−( 4 ) ( 0 )=1
0−( 4 )( 0 )=0

−( 1 ) −(4) ( 0 )=−1
6−( 4 )( 1 )=2

Transformasi Baris c

Program linear

60

1−( 1 ) ( 1 )=0

( 13 )= 53
1 −1
0−( 1 )( )=
3
3
2−( 1 )

0−( 1 )( 0 )=0
1−( 1 ) ( 0 )=1

0−( 1 )( 0 )=0
3−(1) ( 1 )=2

Cj
−4 −1
VBCB x y
x −4 1 1
3
b −M 0 5
3
c
0
0 5
3
−4 1
3
Zj−Cj
0 −5
3

0 −M 0
a
b
c
1
0
0
3
−4 1
0
3
−1 0
0
3
−4 0
0
3
4 0
0
3

0
d
0

0
HB
1

−1

2

3

0

2

6
5

0

4

1

−2

R

Transformasi baris kunci
5
0 3
5 5
3 3

−4
3 1 0 −1 2
5 5 5 5 5
3 3 3 3 3

0 1−

43
36
0−
55
55

Transformasi Baris x

61

Program linear

( 13 )( 0)=1
1 1
− (1)=0
3 (3)
1 1 −4 3
− (
)=
3 (3) 5
5
1 3 −1
0−( )( )=
3 5
5
1
0−( ) ( 0 )=0
3
1 −3 1
0−( ) (
=
3 5 ) 5
1 6 3
1−( )( ) =
3 5 5
1−

Transformasi Baris c

( 53 ) ( 0)=0
5 5
− (1)=0
3 (3)
−1 5 −4
−
(
)=3
3 (3) 5
5 3
0−( )( )=−1
3 5
5
1−( )( 0 )=1
3
5 −3
0−( )(
=1
3 5 )
0−

Program linear

62

2−

( 53 )( 65 )=−2

Cj
−4 −1
VBCB x y
x −4 1 0
y

−1

0

1

c

0

0
0

0
0

0

0

Zj−Cj

Jadi, nilai
Zmin=−(
Zmin=
Saat

0
a
3
5
−4
5
3
−8
5
0

−M
b
−1
5
3
5
−1
7
5
M

0
c
0
0
1
0

0

0
0
d
HB
1
3
5
5
−3 6
5
5
1 - 2
0 −18
5
0
0

Zmin=−Zmaks

−18
)
5

18
5

3
6
x= dan y=
5
5

2.8 Metode Simpleks 2 Fase
Fase I berakhir dalam kondisi

Z =0

maka

simpulan untuk meneruskan ke fase II dengan
memperhatikan 3 kemungkinan, yaitu :
1.

63

Zmaks< 0 dimana satu atau lebih variabel
slack berada dalam basis pada tingkat nilai
yang positif. Masalah PL yang asli tidak
mempunyai penyelesaian layak (Fisisbel)

Program linear

2.

Zmaks=0
dengan kenyataan tidak ada
variabel slack terletak dalam basis ini berarti
telah diperoleh penyelesaian layak dasar
(fisibel basis) dari persoalan PL yang asli
3. Zmaks=0
dengan kenyataan satu/lebih
variabel slack terletak dalam basis tingkat
nol
(degenerasi)
kenyataan
ini
juga
menunjukkan
bahwa
telah
diperoleh
penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari
masalah PL

Persyaratan untuk memulai fase II :
Perhitungan fase II merupakan lanjutan fase I
apabila akhir Fase I menunjukkan kemungkinan
modivikasi sebagai berikut :




Koefisien harga fungsi tujuan adalah koefisien
harga fungsi tujuan yang asli, atau nilai
koefisien variabel pokok pada fase I yaitu nol
harus diganti dengan koefisien asli
Elemen pada baris Zj−Cj dihitung kembali
Metode ini digunakan untuk menyelesaikan
persoalan PL yang memuat variabel buatan
Contoh =

Min Z=14 x 1 +18 x 2

Kendala
x 1+ x 2 ≤25
5 x1 +6 x 2 ≥ 140

x1 , x2 ≥ 0
Penyelesaian :

Program linear

64

Dengan menggunakan cara memaksimumkan
(dikali negative )
Missal :
x 3 , x 5=variabel slack

x 4=variabel surplus
Z =0 x1 +0 x 2+ (−1 ) x 3+ 0 x 4 + (−1 ) x 5
x 1+ x 2 + x 3=25

5 x1 +6 x 2−x 4 + x 5=140
Fase I
Cj
0
VBCB x 1
x 3 −1 1
x 5 −1 5
Zj−Cj −6

0
x2
1
6
−7

−1
x3
1
0
0

0
x4
0
−1
1

−1
x5
0
1
0

0
HB
25
140
−165

Transformasi baris kunci :
5 6 0 −1 1 140
666 6 6 6
5
−1 1 70
10
6
6 6 3
Transformasi Baris
1−( 1 )

x3

( 56 )= 16

1−( 1 ) (1)=0

1−( 1 ) (0)=1
0−( 1 )

65

( −16 )= 16
Program linear

( 16 )= −16
70 5
25−(1)( )=
3
3
0−( 1 )

Cj
0
VB
CB x 1
x 3 −1 1
6
x2 0 5
6
Zj−Cj −1
6

0 −1 0 −1
x2 x3 x4
x5
0 1
1 −1
6
6
1 0 −1 1
6
6
0 0 −1 7
6
6

0
HB
5
3
70
3
−5
3

Transformasi baris kunci :
1
1
6 0 1 6
1 1 1 1
6 6 6 6

−1
6
1
6

5
3
1
6

1 06 1−110

Transformasi Baris

x3

5 5
−
( 1 )=0
6 6

()
5
1−( )(0)=1
6
5
0−( ) ( 6 ) =−5
6
Program linear

66

−1 5
−
(1 ) =−1
6
6

()
1 5
7
−( )(−1 )=
6 6
6

70 5
−( ) ( 10 )=15
3
6
Cj
VB
CB
x1 0
x2 0

0
x1
1
0

0 −1 0
x2 x3 x4
0 0
1
1 −5 −1

0
HB
10
15

0

−1
x5
−1
7
6
1

Zj−Cj

0

0

−18
x2
0
1
0

0
x4
1
−1
4

0
HB
10
15
−410

1

0

Fase II
Cj
VB CB
x1
−14
x2
−18
Zj−Cj

Jadi,

−14
x1
1
0
0

Zmin=−Zmaks

Zmin=−(−410 )
Zmin=410

Tahap 1 :
Bentuk dengan var buatan : R1 dan R2
Min r = R1 + R2
Kendala

67

Program linear

3 X1 + X2

+ R1

4 X1 + 3 X2 - X3

= 3
- R2

= 6

X1 + 2 X2

+ X4

= 4

X1 , X2 , X3 , R1 , R2 , X4  0
Fungsi tujuan r = R1 + R2
= ( 3 – 3 X1 - X2

) + ( 6 - 4 X1 - 3

X2 + X3 )
= -7 X1 - 4 X2 + X3 + 9
Tabel Awal
VB
r
R1
R2
X4

X1
7
3
4
1

X2
4
1
3
2

X3
-1
0
-1
0

R1
0
1
0
0

R2
0
0
1
0

X4
0
0
0
1

NK
9
3
6
4

Tabel optimum : setelah 2 iterasi ( periksa ! )
VB
r
X1
X2
X4

X1
0
1
0
0

X2
0
0
1
0

X3
0
1
/5
3
- /5
1

R1
-1
3
/5
4
- /5
1

R2
-1
-1/5
3
/5
-1

X4
0
0
0
1

NK
0
3
/5
6
/5
1

Karena minimum solusi r = 0, masalah ini
memiliki pemecahan (solusi) layak. Lanjutkan
ke tahap ( Fase ) kedua.
Tahap 2


Menyingkirkan variabel buatan ( R1 dan R2 )

Program linear

68

Dari tabel optimum tahap 1 didapatkan :



X1 +
X2 -

/5X3

=

1

/5X3

=

3

X3 + X4

/5

3

/5

6

= 1

Masalah semula ditulis :
Min Z = 4 X1 + X2
Kendala

X1 +

X2 -

/5X3 =

1

/5X3

=

3

X3 + X4

3

/5

6

/5 ......... ( 1 )
......... ( 2 )

= 1

X1 , X2 , X3 , R1 , R2 , X4  0
Maka terdapat 3 persamaan dan 4 variabel
sehingga solusi dasar layak didapat dg
membuat

(4 – 3) = 1 variabel dibuat nol

X3 = 0

->

X1 =

/5 ; X2 =

3

X4 = 1
Fungsi tujuan Z = 4 X1 + X2


= 4(

/5 +

3

= - 1/5 X3 +

1

/5 X3 ) + (6/5 +

18

/5X3 )

3

/5

Tabel Awal
Var msk
VB
Z
X1
X2
X4

69

X1
0
1
0
0

X2
0
0
1
0

X3
1
/5
1
/5
-3/5
1

X4
0
0
0
1

NK
18
/5
3
/5
6
/5
1

Program linear

6

/5 ;

Tabel optimum

VB
Z
X1
X2
X3

X1
0
1
0
0

X2
0
0
1
0

X3
0
0
0
1

X4
-1/5
-1/5
3
/5
1

NK
17
/5
2
/5
9
/5
1

SOAL LATIHAN
1. Selesaikan linear program berikut ini dengan
metode Simplex
Maksimumkan Z = 400X1 + 300X2
Fungsi kendala/ batasan:
 4X1 + 6X2 ≤ 1200
 4X1 + 2X2 ≤ 800
 X1 ≤ 250
 X2 ≤ 300
 X1, X2 ≥ 0
2. Selesaikan linear program berikut ini dengan
metode Simplex
Maksimumkan Z = 2X1 + 3X2 + X3
Dengan fungsi kendala:
1) X1 + X2 + X3
2) 2X1 + 3X2
3)

≤9

≤ 25

X2 + 2X3 ≤ 10

4) X1, X2, X3

≥0

3. Minimumkan Z = 3X1 + 2X2

Program linear

70

Fungsi batasan :
1) X1 + 2X2 ≥ 20
2) 3X1 + X2 ≥ 20
3) X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0
BAB III
DUAL DAN PRIMAL
Setiap masalah Program Linear yang bertujuan
mencari nilai maksimum selalu bertalian dengan
suatu

masalah

program

linear

dengan

tujuan

mencari nilai minimum, yang disebut dual masalah
yang pertama. Sebaliknya setiap masalah program
linear yang bertujuan mencari nilai minimum selalu
bertalian dengan suatu masalah program linear
yang bertujuan mencari nilai maksimum yang
disebut dual. Masalah pertama disebut primal
sedangkan

masalah

kedua

dengan

tujuan

berlawanan disebut dual.

71

MAKS

DUAL

MIN

MIN

DUAL

MAKS

Program linear

Dalam analisis Program Linear (PL) terdapat 2
bentuk, yaitu :
1. Bentuk primal : Bentuk asli dari persamaan
program linear
2. Bentuk dual : Bentuk duplikat atau rangkap
dari persamaan program linear

Jika penyelesaian persoalan Program Linear dengan
bentuk primal secara langsung juka dapat diketahui
hasil bentuk dualnya, sebaliknya jika penyelesaian
Program Linear dengan bentukdual, maka secara
langsung dapat diketahui bentuk primalnya.
Contoh Soal :
Tentukan dual dari masalah primal berikut ini :
Min Z=14 x 1 +18 x 2

Kendala
x 1+ x 2 ≤25
5 x1 +6 x 2 ≥ 140

x1 , x2 ≥ 0
Penyelesaian :
Karena meminimumkan maka semua kendala harus
bertanda ( ≥ )
−x 1−x 2 ≥−25

Program linear

72

Matriks Primal

[

]

Matriks dual

[

−1 −1 −25
−1 5 14
5
6 140 transpose −1 6 18
→
14 18
¿
25 140 ¿

]

Masalah dual :
Max H =25 a+140 b
Kendala
−a+5 b ≤14
−a+6 b ≤ 18

a,b≥0

73

Program linear