64
Pertama, asumsikan bahwa H adalah subgrup dari G . Setiap elemen dari H memiliki invers dan operasi di dalam H bersifat
tertutup; untuk setiap g , h∈ H terdapat
h
− 1
∈ H , hh =
h h=e
dan
g
− 1
∈ H , ¿
= g
g=e
sehingga benar untuk sebarang g , h∈ H berlaku
g h
− 1
∈ H
. Sebaliknya, asumsikan benar untuk sebarang g , h∈ H berlaku
g h
− 1
∈ H
.
Sifat asosiatif pada
H
berlaku karena
H ⊆G
.
Menurut hipotesis, untuk sebarang
h ∈ H
berlaku h h
− 1
= h
− 1
h=e ∈ H ; terdapat elemen identitas pada
H
dan setiap elemen di
H
memiliki invers. Karena
H
merupakan grup terhadap operasi yang berlaku di
G
dan
H ⊆G
, benar bahwa
H
adalah subgrup dari
G
.
4. Grup Siklik
Definisi 4.1 Jika G adalah grup dan a ∈G ,
⟨
a
⟩
=
{
a
n
|
n ∈ Z
}
adalah
subgrup siklik dari G yang dibangun oleh a . G disebut grup siklik jika terdapat
a ∈G
dengan
G=
⟨
a
⟩
, dalam kasus ini
a
disebut sebagai generator pembangun dari G.
Contoh:
65
Grup siklik dapat memiliki lebih dari satu generator. 1 dan 5 keduanya
adalah generator dari Z
6
,+ ¿
¿ ; sehingga Z
6
,+ ¿
¿ adalah grup siklik.
Tabel 2.6 Z
6
,+ ¿
¿
66
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮
1 =
2 =
3 =
4 =
5 =
1
1
= 1
2
1
= 2
3
1
= 3
4
1
= 4
5
1
= 5
1
2
= 2
2
2
= 4
3
2
= 4
2
= 2
5
2
= 4
1
3
= 3
2
3
= 3
3
= 3
4
3
= 5
3
= 3
1
4
= 4
2
4
= 2
3
4
= 4
4
= 4
5
4
= 2
1
5
= 5
2
5
= 4
⋮ 4
5
= 2
5
5
= 1
1
6
= 2
6
= 4
6
= 5
6
=
⋮ ⋮
⋮ ⋮
Tidak setiap elemen pada grup siklik merupakan generator dari grup tersebut, contohnya
2,3,
dan
4
bukan merupakan generator dari
Z
6
,+ ¿
¿ . Order dari
Z
6
,+ ¿
2 ∈
¿ adalah 3 . Subgrup siklik yang dibangun
oleh 2 adalah
⟨
2
⟩
=
{
0, 2, 4
}
.
Teorema 4.1 Setiap grup siklik adalah grup abelian.
38
Bukti: Misalkan G adalah grup siklik dan
a ∈G
adalah generator untuk
G
. Jika
g
dan
h
sebarang elemen pada
G
, maka keduanya dapat
38 Thomas W. Judson, Abstract Algebra…, hal. 61
67
ditulis sebagai bentuk pangkat dari
a
, katakanlah g=a
r
dan h=a
s
untuk
r , s ∈ Z
. Karena
gh=a
r
a
s
= a
r +s
= a
s +r
= a
s
a
r
= hg ,
maka
G
adalah grup abelian.
Teorema 4.2 Setiap subgrup dari sebuah grup siklik adalah subgrup siklik.
39
Bukti: Subgrup Grup Siklik
⏟
p
⟶ Siklik
⏟
q
Jika
p
dan
q
benar maka pernyataan di atas bernilai benar. Misalkan
G
adalah grup siklik yang dibangun oleh
a
, G=
{
a
n
|
a ∈ Z
}
. Andaikan
H
adalah subgrup dari
G
.
H ≤ G
,
H=
{
¿ triviala
¿ non trivialb
a H=
{
e
}
=
{
e
}
=
⟨
e
⟩
subgrup siklik dengan generator
e
,
n=0
.
b ∃ g ∈ H dengan g ≠ e sedemikian hingga
g=a
n
untuk n ∈ Z , n0 .
Misalkan m adalah bilangan bulat terkecil sedemikian hingga
a
m
∈ H
, m eksis karena 0 ≤ mn . Kita nyatakan benar bahwa
39 Ibid.
68
H
siklik, dimana h=a
m
adalah generator dari
H
. Harus ditunjukkan bahwa untuk setiap h
∈ H dapat ditulis sebagai bentuk pangkat dari
h
. Karena h ∈ H dan
H ≤ G
, maka h =
a
k
untuk
k ∈ Z
,
k 0
. Dengan algoritma pembagian, nilai
q
dan
r
dapat dicari, yakni
k =mq+r
dimana
0 ≤ rm
; sehingga
a
k
= a
mq +r
= a
m q
a
r
= h
q
a
r
.
Diperoleh a
r
= a
k
h
− q
. Karena a
k
, h
− q
∈ H maka a
r
∈ H . Karena
m
adalah bilangan bulat positif terkecil, akibatnya
r=0
dan
k =mq
. Oleh karenanya,
h =
a
k
= a
mq
= h
q
dan
H
dibangun oleh
h .
5. Grup Permutasi a. Permutasi
