36
b. Fungsi Definisi 1.13 Relasi biner antara A dan B adalah himpunan
bagian dari A × B .
12
Relasi dengan sebuah aturan khusus akan membentuk suatu fungsi, dimana secara formal fungsi didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.14 Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang
menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal domain, dengan sebuah nilai unik
f x
dari himpunan kedua kodomain. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut
daerah hasil range fungsi tersebut.
13
Fungsi f dari himpunan A ke B dapat ditulis dengan notasi f : A ⟶ B , A ⟶
f
B , f :a ↦ b , atau
f a
= b
dengan
a , b ∈ A × B
. Fungsi dapat dianalogikan sebagai sebuah senapan. Fungsi
mengambil amunisi dari suatu himpunan yang dinamakan daerah asal dan menembakkannya pada suatu himpunan sasaran. Setiap peluru pasti
mengenai sebuah titik sasaran tunggal, tetapi dapat terjadi bahwa beberapa peluru mendarat pada titik yang sama. Setiap tembakan pasti
12 Ibid, hal. 103 13 Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Calculus with Analytic Geometry 5
th
Edition Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima, terj. I Nyoman Susila, et. all., Jakarta: Erlangga, 1995,
hal. 48
37
menghasilkan lubang pada titik sasaran, namun tidak semua lubang pada papan sasaran terjadi karena sebuah tembakan.
Gambar 2.10 Fungsi dan Bukan Fungsi
Gambar di atas menunjukkan relasi f dan g dari himpunan A=
{
1, 2, 3
}
ke himpunan B=
{
a , b , c
}
. Relasi
f
adalah sebuah fungsi, sedangkan relasi g bukan merupakan fungsi karena 1∈ A
tidak dipetakan tepat satu elemen di B ; yaitu
g 1
= a
dan
g 1
= b
.
Fungsi Surjektif Definisi 1.15 Fungsi f : X ⟶ Y disebut fungsi ontopada surjektif
jika untuk setiap y ∈ Y terdapat x ∈ X sedemikian hingga
y=f x
.
38
Fungsi Injektif Definisi 1.16 Fungsi f : X ⟶ Y disebut fungsi 1−1 injektif jika
untuk sebarang
a
1
, a
2
∈ A
dan
a
1
≠ a
2
maka
f a
1
≠ f a
2
. Ekivalen dengan kontraposisinya, yakni jika
f a
1
= f
a
2
maka
a
1
= a
2
.
14
Fungsi Bijektif Definisi 1.17 Fungsi f : X ⟶ Y disebut fungsi korespondensi
1−1 bijektif jika f merupakan fungsi injektif dan fungsi surjektif.
15
Komposisi Fungsi
Dari dua buah fungsi dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan range dari fungsi pertama sebagai domain untuk fungsi
kedua.
Definisi 1.18 Misalkan f ∶ A ⟶ B dan g ∶ B ⟶C adalah fungsi.
Komposisi g ∘ f dari f dan g adalah fungsi dari A ke C , didefinisikan dengan aturan g∘ f x =g
f x untuk semua
x ∈ A .
16
14
Ibid, hal. 88
15
Ibid, hal. 91
16
William D. Blair dan John A. Brachy, Abstract Algebra …, hal. 53
39
x ⟼ f x ⟼ g
f x
Gambar 2.11 Komposisi Fungsi
Urutan dalam komposisi fungsi harus diperhatikan karena pada banyak kasus f ∘ g ≠ g ∘ f . Meski bisa saja terjadi f ∘ g=g ∘ f .
Contoh:
Misalkan f x=x
2
dan g x =2 x +5 . Maka f
∘ g x =f g x
= 2 x +5
2
= 4 x
2
+ 20 x +25
dan
g ∘ f
x =
g f
x =
2 x
2
+ 5
.
Misalkan f x=x
3
dan g x =
3
√
x . Maka f
∘ g x =f g x
=
3
√
x
3
= x
dan g
∘ f x =g f x
=
3
√
x
3
= x .
40
41
Proposisi 1.1 Komposisi fungsi bersifat asosiatif.
17
Bukti: Misalkan f ∶ A ⟶ B , g ∶ B ⟶C , dan h ∶ C ⟶ D adalah fungsi.
Untuk sebarang x ∈ A , maka h
∘ g ∘ f x
¿ h
g ∘ f x
¿ h
g f
x
¿ h
∘ g f x
¿ h
∘ g ∘ f x .
Terlihat bahwa h
∘ g ∘ f dan
h ∘ g ∘ f
adalah fungsi yang sama.
Proposisi 1.2 Misalkan f ∶ A ⟶ B dan g ∶ B ⟶C adalah fungsi.
a Jika f dan g fungsi injektif, maka g ∘ f injektif. b Jika f dan g fungsi surjektif, maka g ∘ f surjektif.
18
Bukti: a Asumsikan f dan g fungsi injektif dan misalkan
x
1
, x
2
∈ A
. Jika
g ∘ f
x
1
= g
∘ f x
2
,
maka
g f
x
1
= g
f x
2
dan
f x
1
= f
x
2
karena
g
fungsi injektif. Selanjutnya karena
f
fungsi injektif,
x
1
= x
2
.
Hal ini menunjukkan bahwa g ∘ f merupakan fungsi injektif.
17 Ibid, hal. 54 18 Ibid, hal. 56
42
b Asumsikan f dan g fungsi injektif dan misalkan z∈ C . Karena g surjektif, terdapat y ∈ B sedemikian hingga
g y
= z
. Karena f surjektif, terdapat x ∈ A sedemikian hingga
f x
= y
. Karenanya g∘ f x =g f x
= g y =z , dan
ditunjukkan bahwasanya g ∘ f merupakan fungsi surjektif.
Definisi 1.19 Misalkan A adalah fungsi. Fungsi identitas
1
A
: A ⟶ A didefinisikan dengan 1
A
x =x untuk semua x ∈ A .
19
Jika f : A ⟶ B adalah fungsi, maka fungsi g :B ⟶ A disebut invers untuk
f
jika
g ∘ f =1
A
dan
f ∘ g=1
B
.
Proposisi 1.3 Misalkan f : A ⟶ B adalah fungsi. Jika f memiliki
invers, maka f pasti merupakan fungsi bijektif. Sebaliknya, jika f fungsi bijektif maka f memiliki invers tunggal.
20
Bukti: Pertama asumsikan f memiliki invers g :B ⟶ A
sedemikian hingga
g ∘ f =1
A
dan
f ∘ g=1
B
. Ambil sebarang y
∈ B , maka y=1
B
y =f g y
, dan f memetakan
g y
pada
y
menunjukkan bahwa
f
surjektif. Jika
x
1
, x
2
∈ A
19 Ibid, hal. 57 20 Ibid.
43
dengan f x
1
= f
x
2
, maka g f
x
1
= g
f x
2
dan x
1
= x
2
karena g ∘ f =1
A
. Jadi f merupakan fungsi injektif. Berikutnya, asumsikan
f
fungsi bijektif. Akan didefinisikan fungsi
g :B ⟶ A
sebagai berikut. Untuk setiap
y ∈ B
, terdapat
x ∈ A
dengan f x = y karena
f
surjektif. Selanjutnya, hanya ada
x ∈ A
tunggal karena karena
f
injektif. Karenanya dapat didefinisikan g y =x , dan dari definisi ini diperoleh g
f x =
x untuk semua
x ∈ A
. Untuk sebarang
y ∈ B
, berlaku g y =x untuk
x ∈ A
yang mana f x = y . Jadi f g y
= f x = y untuk
semua
y ∈ B
, hal ini menunjukkan bahwa
g
adalah invers dari
f
. Andaikan fungsi
h :B ⟶ A
juga merupakan invers dari
f
. Maka
h=h ∘1
B
= h
∘ f ∘ g= h∘ f ∘ g=1
A
∘ g=g , ketunggalan identitas pada komposisi fungsi terpenuhi.
c. Operasi Biner
Kategori