Pemodelan & Simulasi

  KONTRAK PERKULIAHAN KONTRAK PERKULIAHAN MATA KULIAH PEMODELAN & SIMULASI

  Pertemuan ke-1

RNL/TI/09

  Bobot MK B b t MK

• 3 SKS :
• – Perkuliahan : 3 jam SKS (3 X 45 menit) / Perkuliahan : 3 jam SKS (3 X 45 menit) / minggu
• – Tugas Terstruktur : 3 jam SKS / minggu g j gg
• – Tugas Mandiri : 3 jam SKS / minggu

RNL/TI/09

  Deskripsi Mata Kuliah D k i i M t K li h Mata kuliah ini mempelajari proses penyelesaian M t k li h i i l j i l i masalah dalam sistem nyata melalui pengembangan model matematik dan simulasi pengembangan model matematik dan simulasi, mulai dari pemahaman konsep sistem, p pendekatan sistem, membuat formulasi , masalah, memformulasikan model untuk memecahkan sistem nyata dan merumuskan langkah-langkah pencarian solusi dalam pemecahan masalah.

RNL/TI/09

  Tujuan Instruksional Mata Kuliah T j I t k i l M t K li h

• UMUM :

  Mahasiswa mampu membuat formulasi (memodelkan dan mensimulasikan) dari permasalahan sistem nyata

• KHUSUS :
• – Mahasiswa memahami konsep sistem, pendekatan sistem, model dan pemodelan sistem. model dan pemodelan sistem.
• – Mahasiswa dapat memformulasikan model dari masalah yang dirumuskan

RNL/TI/09

  Metode Perkuliahan M t d P k li h

• Ceramah C h
• Diskusi (Kelompok)
• Quiz • Tugas (Kelompok)

RNL/TI/09

  Aturan Perkuliahan At P k li h Kehadiran Kehadiran  75%, kecuali sakit atau ijin  75% kecuali sakit atau ijin

• tertulis. Kehadiran < 75 %, tidak boleh ikut UAS • (Syarat Kelulusan) (Syarat Kelulusan).
• Ujian susulan diperbolehkan jika mhs dapat menunjukkan bukti autentik . Semua tugas harus dikerjakan dan diserahkan • pada waktu yang ditentukan. Mahasiswa yang terlambat lebih dari 15 menit Mahasiswa yang terlambat lebih dari 15 menit • tidak diperkenankan masuk kelas, demikian juga untuk dosen, kecuali telah disepakati sebelumnya sebelumnya.

RNL/TI/09

  Penilaian Penilaian Nilai Akhir (NA) : • NA = 10% QUIZ + 20% TUGAS + 30% UTS + 40% UAS Skala Penilaian : •

INDEKS NILAI AKHIR KETERANGAN

  A NA  80 Lulus (Sangat Baik) ( g ) B 68  NA  79 Lulus (Baik)

  C 56  NA  67 Lulus (Cukup) D 45  NA  55 Lulus (Kurang)

  E NA  44 Tidak Lulus

RNL/TI/09

  Materi Materi

• Konsep Sistem • Konsep Pemodelan Sistem – Karakteristik model
• – Prinsip pemodelan
• – Klasifikasi model Klasifikasi model
• – Tahapan pengembangan model
• Konsep Simulasi Sistem M d l St ti tik d l Si l i • Model Statistik dalam Simulasi • Model & Simulasi Sistem Persediaan • Model & Simulasi Sistem Peramalan • Model & Simulasi Sistem Antrian • Model & Simulasi Monte Carlo

RNL/TI/09

LITERATUR LITERATUR

  1. Gordon, Goeffrey, System Simulation, Prentice-Hall of India y y Private Limited, 1989.

  2. Law, Averill M., Simulation Modeling and Analysis, McGraw- Hill International Edition, 2007.

  3. Simatupang, Togar M., Pemodelan Sistem, Penerbit Nindita Klaten, 1995.

  4. Sridadi, Bambang, Pemodelan dan Simulasi Sistem, Sridadi, Bambang, Pemodelan dan Simulasi Sistem, Penerbit Informatika, 2009.

  4.

RNL/TI/09

  Riani L. Jurusan Teknik Informatika

  Universitas Komputer Indonesia Universitas Komputer Indonesia PreTest

  1. Apa  yang dimaksud dengan model ? 2.

  Apa  yang dimaksud dengan pemodelan ?

  3. Berikan  contoh model yang ada disekitar kita  (minimal  3) ?

  2

  DEFINISI DEFINISI MODEL  MODEL  Model  merupakan penyederhanaan dari sistem yang akan dipelajari.

  

  Model  adalah suatu representasi/formalissasi dalam bahasa tertentu  (yang  disepakati) dari suatu sistem nyata.

    Sistem Sistem  nyata : sistem yang sedang berlangsung dalam kehidupan  sistem   nyata : sistem yang sedang berlangsung dalam kehidupan, sistem  yang  dijadikan titik perhatian dan dipermasalahkan.

   

  Model Model  dapat dianggap sebagai subtitusi (pengganti) untuk sistem yang   dapat dianggap sebagai subtitusi (pengganti) untuk sistem yang  dipertimbangkan  dan digunakan apabila lebih mudah bekerja dengan  subtitut

   tersebut daripada dengan sistem sesungguhnya.

   Pemodelan

   adalah proses membangun atau membentuk sebuah model  dari  suatu sistem nyata dalam bahasa formal tertentu.

  3

  Skema Sk P P d l  Proses Pemodelan

  4

   

  Sistem nyata (A) akan dilihat dan dibaca oleh pemodel dan Sistem nyata (A) akan dilihat dan dibaca oleh pemodel dan membentuk “image” atau gambaran tertentu di dalam pikirannya. Tetapi “image” (A’) tidak persis sama dengan sistem nyata (A

  ≠ A’) karena pemodel membacanya dengan menggunakan “kacamata karena pemodel membacanya dengan menggunakan kacamata tertentu”.

   

  “Kacamata” adalah sudut pandang/visi /wawasan tentang kehidupan Kacamata adalah sudut pandang/visi /wawasan tentang kehidupan, yang dipengaruhi oleh 3 faktor :

   Tata nilai yang diyakini/dianut oleh pemodel

    Ilmu pengetahuan yang dimiliki pemodel Ilmu pengetahuan yang dimiliki pemodel

   Pengalaman hidup pemodel

   “Image”/citra adalah suatu model mental (pikiran atau proses berfikir “I ”/ it d l h t d l t l ( iki t b fiki

  manusia). Tapi model ini tidak mudah dikomunikasikan dengan orang lain, maka dibutuhkan suatu alat komunikasi tertentu yang sama sama sama dimengerti oleh dua atau lebih pihak yang berkomunikasi ‐sama dimengerti oleh dua atau lebih pihak yang berkomunikasi.

  5

   

  Alat komunikasi umumnya berberuk bahasa tertulis (seperti uraian Alat komunikasi umumnya berberuk bahasa tertulis (seperti uraian verbal, simbol, huruf, grafik, angka, gambar dll) atau berupa wujud fisik.

   Model yang sudah diformalkan dapat diuji kesesuaiannya dengan

  sistem nyata secara ilmiah. Untuk memperkecil kesalahan pengembangan dan hasil dari model dapat dilakukan penyesuaian pengembangan dan hasil dari model, dapat dilakukan penyesuaian ‐ penyesuaian tertentu.

  

  Model tidak mungkin berisikan semua aspek sistem nyata karena M d l tid k ki b i ik k i t t k banyaknya karakteristik sistem nyata yang selalu berubah dan tidak semua faktor atau variabel relevan untuk dianalisis. Maka dalam pembentukan suatu model diperlukan usaha penyederhanaan dan pembentukan suatu model diperlukan usaha penyederhanaan dan penciutan yang kritis agar variabel relevan yang terpilih mempunyai dampak yang besar terhadap situasi keputusan yang diambil.

  6

  KARAKTERISTIK KARAKTERISTIK MODEL  MODEL

  Suatu model  yang baik, akan mempunyai karakteristik :

  1. Tingkat generalisasi tinggi Tin k t  n r li i tin i Semakin tinggi derajat generalisasi,  maka kemampuan model tersebut untuk memecahkan masalah makin besar.

  2 Mekanisme transparansi Mekanisme transparansi Mekanisme suatu model  dalam memecahkan masalah dapat dilihat jelas,  sehingga dapat diterangkan kembali (rekonstruksi)  tanpa ada yang  disembunyikan. disembunyikan.

  2.

  3. Potensial untuk dikembangkan Mampu membangkitkan minat peneliti lain  untuk menyelediki lebih     lanjut dan membuka kemungkinan untuk dikembangkan menjadi model lanjut dan membuka kemungkinan untuk dikembangkan menjadi model yang  lebih kompleks dan berdaya guna untuk menjawab masalah sistem nyata.

  Peka terhadap perubahan asumsi 4.

  Proses pemodelan tidak pernah berakhir.

  7

PRINSIP PRINSIP PRINSIP PENGEMBANGAN PEMODELAN

  

‐PRINSIP PENGEMBANGAN PEMODELAN

Elaborasi 1.

  Pengembangan model dimulai dengan yang sedehana dan secara Pengembangan model dimulai dengan yang sedehana dan secara bertahap dielaborasi hingga diperoleh model yang lebih representatif. Penyederhanaan dilakukan dengan menggunakan sistem asumsi yang ketat tetapi memenuhi persayaratan (konsistensi, independensi, ekuivalensi dan relevansi) k i l i d l i)

  Sinektik 2.

  Metode yang dibuat untuk mengembangkan pengenalan masalah secara analogis yang mengacu pada penemuan kesamaan l i d k ‐kesamaan. Biasanya k Bi menggunakan prinsip ‐prinsip, hukum, teori, aksioma, dan dalil.

  Iteratif 3.

  Metode yang melakukan pengembangan secara berulang atau M t d l k k b b l t peninjauan kembali (iteratif)

  8

  JENIS ‐JENIS MODEL (1) 

  Model  dapat direpresentasikan dalam berbagai cara. 

  

  Model  dikelompokkan untuk mempermudah dalam memahami  makna  dan kepentingannya. p g y

  

  Model  dapat dikategorikan menurut jenis, dimensi, fungsi, tujuan,  pokok  kajian, atau derajat keabstakkannya.

   

  Secara Secara  umum & praktis  model pada dasarnya dapat dikelompokkan   umum & praktis, model pada dasarnya dapat dikelompokkan  menjadi  :

   Model Ikonik (Model Fisik) Merupakan Merupakan  perwakilan fisik dari sistem, baik dalam bentuk ideal maupun   perwakilan fisik dari sistem  baik dalam bentuk ideal maupun  dalam  skala yang berbeda. Model ini punya karakteristik yang sama dengan 

   yang diwakilinya. sistem

   Model Analok (Model Diagramatik)

   untuk mewakili situasi dinamik (keadaan yang berubah  Digunakan menurut  waktu).

   Model Simbolik (Model Matematik) Menggunakan  simbol, angka, atau rumus sebagai perwakilan realita yang  dikaji

  9

  JENIS ‐JENIS MODEL (2)

  10

  JENIS JENIS JENIS MODEL (3) ‐JENIS MODEL (3) 

  Model Fisis/Fisik

  Did Didasarkan k  pada analogi antara sistem‐sistem (mekanis, elektris, dll).    d   l i   t   i t i t  ( k i   l kt i  dll)   Dalam  model ini, atribut sistem digambarkan oleh pengukurnya.

  Contoh  :

   Model M d l    rumah, model jembatan. h   d l  j b

   Laju  ; laju gerak jarum pengukur kecepatan (speedometer)

   Model Fisik Statis d l k

  Biasa  disebut sebagai Model Skala (model yang dibuat dengan  memperkecil  ukuran asli dari sistem).

  Contoh   : 

  Model  yang digunakan dalam pembuatan pesawat terbang

  11

  JENIS JENIS JENIS MODEL (4) ‐JENIS MODEL (4) 

  Model Fisis Dinamis M d l Model  ini didasari oleh analogi (kesamaan prilaku sistem) antara sistem yang   i i did i   l h  l i  (k   il k   i t )   t   i t     diamati  dengan beberapa sistem lain yang secara alamiah berbeda.

   Model Matematis M Menggunakan k  simbol‐simbol dan persamaan matematika untuk    i b l i b l d     ik   k   menggambarkan  sistem. Atribut direpresentasikan oleh variabel, dan aktivitas  oleh  fungsi0fungsi matematika yang menghubungkan variabel yang ada.

    Model Matematik Statis Model Matematik Statis Model  ini memberikan hubungan antara atribut sistem ketika sistem berada  dalam  keseimbangan. Jika titik keseimbangan diubah dengan mengganti nilai‐ nilai nilai  atributnya, maka model dimungkinkan untuk memperoleh nilai nilai   atributnya, maka model dimungkinkan untuk memperoleh nilai‐nilai  yang  baru untuk semua atributnya, tetapi bagaimana cara‐cara nilai tersebut  berubah  tidak diperlihatkan.

   : Keseimbangan antara permintaan dan penawaran. Contoh

  12

  JENIS JENIS JENIS MODEL (5) ‐JENIS MODEL (5) 

  Model Matematik Dinamis

  M d l Model  ini memperbolehkan pengubahan atribut‐atribut sistem yang   i i  b l hk   b h   t ib t t ib t  i t     diperoleh   sebagai fungsi waktu. Penurunan dapat dilakukan dengan  analitis

   atau komputasi numeris, bergantung pada kerumitas model.

   Metode Numeris : Melibatkan penggunaan prosedur‐prosedur 

  komputasi  untuk menyelesaikan persamaan yang ada atau  aproksimasi. aproksimasi

   Metode Analitis : Memakai teori matematika deduktif untuk 

  menyelesaikan l ik    model, sehingga hasilnya akurat d l   hi  h il   k

  13 Riani L. Jurusan Teknik Informatika

  Universitas Komputer Indonesia Universitas Komputer Indonesia PreTest

1. Apa  yang dimaksud dengan simulasi ? 2.

  Berikan  contoh simulasi yang saudara ketahui  (minimal ( i i l  3) !   ) 

  2

  Definisi Definisi Simulasi (1)  Simulasi (1)  Simulasi

   adalah proses implementasi model menjadi program  komputer p ( ) g g

   (software) atau rangkaian elektronik dan mengeksekusi  software  tersebut sedemikian rupa sehingga perilakunya menirukan  atau  menyerupai sistem nyata tertentu untuk tujuan :

   Mempelajari p j  perilaku sistem p

   Pelatihan

   Permainan

   Simulasi

   adalah proses merancang model dari suatu sistem nyata,  mengadakan  percobaan‐perconbaan terhadap model tersebut dan  mengevaluasi g  hasil percobaan tersebut. p

  3

  Definisi Definisi Simulasi (2)  Simulasi (2)  Simulasi

   adalah peniruan operasi menurut waktu sebuah proses atau  sistem y ;  nyata ;

    dilakukan secara manual maupun dengan bantuan komputer Dapat

   Menyertakan  pembentukan data dan sejarah buatan (artificial history) dari 

 sistem, pengamatan data dan sejarah, dan kesimpulan yang terkait 

sebuah g j y g dengan  karakteristik sistem‐sistem.

   Untuk

   mempelajari sebuah sistem, biasanya harus dibuat asumsi‐ asumsi  tentang operasi sistem tersebut. 

   Dimana

   asumsi‐asumsi tersebut  akan membentuk sebuah model yang  akan  digunakan untuk memahami sifat/perilaku sistem.

  4

  Model Model Simulasi  Simulasi  Suatu  representasi sederhana dari sebuah sistem (proses atau teori).

  

  Model ‐model tidak harus memiliki seluruh atribut (hanya  disederhanakan,  dikontrol, digeneralisasi atau di‐idealkan).

  

  Bagi  sebuah model yang akan digunakan, seluruh sifat‐sifat relevan‐ nya  harus ditetapkan dalam suatu cara yang praktis, dinyatakan dalam  suatu suatu

   set deskripsi terbatas yang masuk akal (reasonably)  set deskripsi terbatas yang masuk akal (reasonably).

   Sebuah

   model simulasi harus divalidasi. Setelah divalidasi, maka dapat  digunakan di k k l diki dik i il k  untuk menyelediki dan memprediksi perilaku (sifat)       d      ( if )  sistem,  atau menjawab pertanyaan untuk mempertajam pemahaman,  pelatihan,  prediksi, dan evaluasi alternatif.

  5

  Kapan Kapan Simulasi Cocok Digunakan ?  Simulasi Cocok Digunakan ?  Mempelajari  intekasi internal sub‐sistem yang kompleks.  

  Mengamati M ti  sifat model dan hasil keluaran akibat perubahan    if t  d l  d  h il k l   kib t  b h   lingkungan  luar atau variabel internal.

  

  Meningkatkan  kinerja sistem melalui pembangunan/pembentukan  model. model

   Eksperimen  desain dan aturan baru sebelum diimplementasikan.  Alat

   bantu pelatihan dan pembelajaran dengan biaya yang lebih  rendah. d h

   Visualisasi  operasi melalui animasi.  Masalahnya

   sulit, memakan waktu lama, atau tidak mungkin  diselesaikan  melalui metode analitik atau numerik konvensional.

  6

  Kapan Simulasi Tidak Cocok Digunakan ? Kapan  Simulasi Tidak Cocok Digunakan ?  Jika  masalah dapat diselesaikan dengan metode sederhana. 

  Jik   k i  l  l bih  d h  dil k k

  

  Jika  eksperimen langsung lebih mudah dilakukan

   Jika  biaya terlalu mahal.  Jika  sumber daya atau waktu tidak tersedia.  Jika  tidak ada data yang tersedia. 

  Jika  verifikasi dan validasi tidak dapat dilakukan.

   Jika  sistem terlalu kompleks atau tidak dapat didefinisikan.

  J p p

  7

  Bidang Bidang Bidang Aplikasi ‐Bidang Aplikasi  Perancangan  dan analisis sistem manufacturing.  Evaluasi  persyaratan hardware dan software untuk sistem komputer.  Evaluasi  sistem persenjataan atau taktik militer yang baru.  Perancangan Perancangan  sistem komunikasi dan message protokol.  sistem komunikasi dan message protokol.  Perancangan

   dan pengoperasian fasilitas transportasi. Misalnya jalan  tol,  bandara, rel kereta api atau pelabuhan.

   

  Evaluasi Evaluasi  sistem keuangan atau ekonomi.  sistem keuangan atau ekonomi

  8

  KLASIFIKASI  MODEL SIMULASI 

   Simulasi Statik Model Representasi  sistem pada waktu tertentu.

  Contoh Contoh  : model Monte Carlo  : model Monte Carlo 

  Model  Simulasi Dinamik Merepresentasikan  sistem dalam perubahannya terhadap waktu.

  Contoh C t h  : sistem conveyor di pabrik     i t    di  b ik 

  Model  Simulasi Deterministik Tidak  memiliki komponen probabilistik (random)

   Model  Simulasi Stokastik Memiliki  komponen input random dan menghasilkan output yang random pula.

   Model  Simulasi Kontinyu y Status  berubah secara kontinyu terhadap waktu.

  Contoh  : gerakan pesawat terbang  

  Model Model  Simulasi Diskrit  Simulasi Diskrit Status  berubah secara instan pada titik‐titik waktu yang terpisah.

  Contoh  : Jumlah nasabah di bank

  9

  SIMULASI   Diskrit

  Peristiwa Pemodelan  sistem, dimana variabel keadaan berubah pada set waktu yang  diskrit.

  Misalnya  :    kinerja sistem komputer digital

  Studi   sistem antrian bank   i    b k

  Studi S di i 

  Peristiwa  Kontinu Merupakan  sistem dimana keadaan (state)‐nya berubah secara kontinu  terhadap  waktu.

  Misalnya  : 

  Studi  proses reaksi kimia 

   dinamis suatu kendaraan  (persamaan gerak) Gerakan

  10

  BAHASA SIMULASI BAHASA  SIMULASI  C

  

  Menyediakan  fungsi aljabar linier, matriks, trigonometri,  diferensial,  dll

  

  Untuk  pemodelan & simulasi sistem dinamis

  

  Matlab/Simulink

  

  Simscript

  Fortran Si i

   dan C++

  

  Pascal

  

  Java

  

  Java

  

  11

TAHAPAN TAHAPAN PENGEMBANGAN MODEL SIMULASI

  

 PENGEMBANGAN MODEL SIMULASI



  Dalam  pembetukan model, harus diperhatikan faktor apa saja yang  mempengaruhi mempengaruhi  perilaku dari sistemnya (memperhatikan pengertian   perilaku dari sistemnya (memperhatikan pengertian  konsep  sistemnya).

    Tentukan Tentukan

   variabel‐variabel apa saja yang menentukan performansi   variabel variabel apa saja yang menentukan performansi  sistem  yang diamati, lalu bagaimana variabel‐variabel tersebut dapat  dikendalikan  dan diatur.

  

  Kriteria  yang haris dipenuhi dalam memodelkan suatu sistem :

   Model  harus mewakili (merepresentasikan) sistem nyatanya

   Model d l  merupakan penyederhanaan dari kompleksnya sistem, sehingga  k d h d k l k h diperbolehkan  adanya penyimpangan dalam batas‐batas tertentu

  12

  13 Secara implisit, p p p y g  terdapat 6 tahap umum yang selalu muncul dalam pengembangan model

   & simulasi : Memahami sistem yang Memahami sistem yang 1.

  1.

   akan disimulasikan  akan disimulasikan

   Memahami cara kerja sistem  Output  : uraian, context diagram yang menjelaskan hubungan sistem &  lingkungannya g g y

  2. Mengembangkan model

   matematis dari sistem

   Persamaan :  diferensial, aljabar linier, logika diskrit, variabel keadaan dll y yang g  disesuaikan dengan karakteristik sistem dan tujuan pemodelan. g j p   : persamaan matematis, DFD

  Output  Cari analogi dari sistem/model  lain yang sudah ada untuk mempermudah

  3. Mengembangkan model  matematis untuk simulasi  Model  matematis dari sistem disederhanakan, tergantung pada tujuan simulasi  Berikan beberapa asumsi.  Misalnya model non‐linier jadi model linier

  14

  4. Membuat program/software p g p

   komputer

   Menentukan bahasa pemrograman yang  cocok untuk simulasi komputer (tergantung pada fasilitas yang  tersedia pada kompiler untuk mendukung simulasi seperti prosedur,  fungsi,  GUI, library)

   Membuat coding  sesuai dengan tujuan simulasi

  5. Menguji,  verifikasi dan validasi output simulasi  Tolak ukur baik/tidaknya simulasi adalah sejauh mana kemiripan hasil simulasi jika dibandingkan dengan sistem nyata yang  bersangkutan.  Pengujian dilakukan pada tingkat modul program  untuk menguji fungsi sistem   Verifikasi dilakukan untuk membuktikan bahwa hasil implementasi V ifik i dil k k t k b ktik b h h il i l t i program  komputer telah sesuai dengan rancangan model konsep dari sistem nyata  Validasi dilakukan dengan membandingkan hasil output Validasi dilakukan dengan membandingkan hasil output  simulasi dengan  simulasi dengan data  dari sistem nyata, yang diperoleh dari hasil pengujian, sensor, sensus

   Jika validasi tidak bisa diukur,  maka dilakukan evaluasi secara subjektif

  Mengeksekusi program Mengeksekusi program 6.

  6.

   simulasi  simulasi

   Dilakukan secara real ‐time atau offline (tergantung pada tujuan simulasi)

  15

  1/ 14/2010

  VARIABEL ACAK &

  VARIABEL ACAK & FUNGSI DISTRIBUSI Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi

  Pertemuan Ke- 5 & 6 Riani L Riani L.

  JurusanTeknik Informatika Universitas Komputer Indonesia

  1/ 14/2010 Variabel acak (random variable)  Definisi: suatu fungsi atau aturan yang menunjukkan sebuah bilangan riil

  untuk suatu titik sampel pada ruang sampel S

   Variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil sebuah eksperimen. 

  Variabel acak merepresentasikan hasil yang tidak pasti. p y g p

   Biasanya variabel acak dinyatakan dengan huruf besar X, Y, Z dan nilai variabel acaknya dimisalkan dengan huruf kecil x y z variabel acaknya dimisalkan dengan huruf kecil x, y, z.

   Variabel Acak terdiri dari :  Variabel Acak Diskrit 

  Variabel Acak Kontiniu

  1/ 14/2010 Variabel Acak Diskrit 

  Variabel acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.

  

  Contoh:

• Jumlah pembeli yang memasuki sebuah toko = 2 orang
• Banyaknya produk yang rusak = 12 buah y y p y g

   Ruang sampel diskrit :  Ruang sampel diskrit mempunyai banyak elemen terhingga  Eksperimen : Pelemparan sebuah dadu  Hasil : Mata dadu yang tampak di atas  Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}  Peristiwa : A Titik ganjil yang muncul {1 3 5}  Peristiwa : A = Titik ganjil yang muncul = {1,3,5}

  B = Titik genap yang munccul = {2,4,6}

  1/ 14/2010

VARIABEL ACAK KONTINU

  

  Variabel acak yang nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat dihitung dan tidak terhingga (memingkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan).

  

  Biasanya untuk hal-hal yang diukur (jarak, waktu, berat, volume)

   Contoh:

• Jarak pabrik ke pasar = 35,57 km
• Waktu produksi per unit = 15,07 menit

  Ruang sampel kontinu :

  

  Ruang sampel kontinu mempunyai bilangan-bilangan dalam suatu interval

   Eksperimen : Pemilihan 1 mahasiswa secara random dicatat IPK nya  Eksperimen : Pemilihan 1 mahasiswa secara random, dicatat IPK-nya  Hasil : Bilangan real antara 0 dan 4  Ruang sampel : S = { x

  R : 0 ≤x≤4}

   Peristiwa : A = IPK di atas 3 = {3 < x

  ≤ 4} Peristiwa : A IPK di atas 3 {3 x

  ≤ 4} B = IPK di bawah 2 = {0

  ≤ x < 2}

  

  1/ 14/2010 Distribusi Probabilitas  Distribusi probabilitas dari variabel acak adalah tabel, grafik, atau rumus

  yang menyatakan probabilitas setiap nilai yang mungkin dimiliki variabel acak.

  

  Contoh: Ada sebuah kuis dengan tiga pertanyaan dengan kemungkinan jawaban benar/salah. Ruang sampel kuis ini terdiri dari hasil benar/salah Ruang sampel kuis ini terdiri dari hasil

  1/ 14/2010 Distribusi Diskrit vs Kontinu  Sejumlah nilai yang mungkin (a

   Distribusi Uniform  Distribusi :  Distribusi Diskrit Uniform 

  Distribusi Normal

   Distribusi Poisson  Distribusi Weibull 

  Distribusi Geometric

   Distribusi Binomial Negatif 

  Di t ib i W ib ll

   Distribusi Gamma

  Distribusi Exponential

   Distribusi Uniform 

  Distribusi Binomial

  Distribusi :

  countable number of possible values)

  

  Jumlah individu dalam sekelompok orang seragam (uniform) antar 1,2 – 1,8 menit

   Jumlah item dalam satu lot 

  siklus yang terdistribusi ( if ) t 1 2

  

 Contoh :

 Sebuah mesin dengan waktu

  Contoh :

  

  Sebuah kontinum dari nilai C h values)

  

   Distribusi Poisson

  1/ 14/2010 Distribusi Uniform Kontinyu – U( ,)

  

  Distribusi :

  

  Densitas :

  

  Variansi:

   Parameter :

  ,  real ;  < 

   Mean: M

  1/ 14/2010

2 Distribusi Normal– N( )

  , _0.

  4  Densitas : _{0. 3 m (x x} ) _{or .2}

    Parameter : _dn

  ,  ;  > 0 _{.10 . 0.} Distribusi normal standar N(0,1):

• 4 -2
^{2 4}  x

  1/ 14/2010 Distribusi Exponential– expo( )

  

  Distribusi :

  

  Densitas :

   Parameter :

   > 0

  1/ 14/2010 Distribusi Diskrit Uniform– DU(i,j)

  

  Distribusi :

  

  Massa :

   Parameter :

  i, j integer ; i ≤ j

   Mean: M  Variansi:

  1/ 14/2010 Distribusi Poisson– Poisson( )

   

  Distribusi : Massa :

  

  Parameter :  > 0

  1/ 14/2010 Distribusi Binomial– bin(t,p)

  

  Densitas :

  

  Distribusi : dimana

  

  Parameter : t integer ; t > 0, p  (0,1)

   Mean:  Mean:

  tp

   Variansi:

  tp (1-p)

  1/ 14/2010

  1/ 14/2010 DISKUSI KELOMPOK “REVIEW BEBERAPA DISTRIBUSI STATISTIK”

  1/ 14/2010

PEMBANGKIT BILANGAN ACAK

  Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi

  Pertemuan Ke- 7 Riani L. Riani L

  JurusanTeknik Informatika Universitas Komputer Indonesia

  1/ 14/2010 Pembangkit Bilangan Acak (R (Random Number Generator) d N b G t )

  

  CARA MEMPEROLEH : 

  ZAMAN DAHULU, dgn cara :

  

  Melempar dadu

  

  Mengocok kartu

  

  ZAMAN MODERN (>1940), dgn cara : membentuk bilangan acak secara numerik/ aritmatik(menggunakan komputer) , disebut “Pseudo Random Number” (bilangan pseudo acak). g p

  

  PEMBANGKIT BILANGAN ACAK, HARUS :  

  Berdistribusi uniform(0,1) dan tidak berkorelasi antar bilangan. B di t ib i if (0 1) d tid k b k l i t bil

  

  Membangkitkan cepat, storage tidak besar

  

  Dapat di “reproduce”

  

  Periode besar, karena mungkin bil.acak dibangkitkan berulang

  1/ 14/2010 Bilangan Acak ? 

  Bilangan acak adalah bilangan yang tidak dapat diprediksi kemunculannya

  

  Tidak ada komputasi yang benar-benar menghasilkan deret bilangan acak secara sempurna

   Bilangan acak yang dibangkitkan oleh komputer adalah bilangan acak

  semu (Pseudo Random Number), karena menggunakan rumus-rumus matematika matematika

   Banyak algoritma atau metode yang dapat digunakan untuk

  membangkitkan bilangan acak membangkitkan bilangan acak

   Bilangan acak dapat dibangkitkan dengan pola tertentu yang dinamakan

  dengan distribusi mengikuti fungsi distribusi yang ditentukan

  1/ 14/2010 Sifat-Sifat Pembangkit PRN

   Independent : tiap variablenya harus bebas dari ketentuan, seperti : I d d t ti i bl h b b d i k t t ti 

  Z = merupakan hasil akhir

  i-1  Z = merupakan angka pertama yang bebas tertentu  a = merupakan angka konstan yang dapat bebas dengan ketentuan tersendiri 

  c = merupakan angka bebas tetapi tidak ada hubungan tertentu dengan m

   Uniform : suatu distribusi yang umum (distribusi probabilitas) dan sama untuk y g ( p )

  semua besaran yang dikeluarkan/diambil. Hal ini berarti bahwa diusahakan probabilitasnya sama untuk setiap penarikan random number tersebut.

  

  Dense : Density Probabilitas Distribution harus mengikuti syarat probabilitas Dense : Density Probabilitas Distribution harus mengikuti syarat probabilitas (antara 0 dan 1). Hal ini berarti dalam penarikan angka-angka yang dibutuhkan dari Random Number Generator cukup banyak dan dibuat sedemikian rupa sehingga 0

  ≤ R.N. ≤ 1

   Efficient : artinya dapat cukup sederhana dan dalam menggunakan cara ini harus terlebih dahulu memilih angka-angka untuk variable-variabelnya yang cocok.

  Hal ini berarti dalam penarikan random number tersebut harus dapat p p menentukan angka-angka untuk variabelnya yang sesuai sehingga dapat berjalan terus-menerus.

  1/ 14/2010 Penentuan Random Number

  a. Tabel Random Number; table ini sudah banyak ditemukan mulai dari enam digit sampai dengan belas digit.

  b. Electronic Random Number; number ini banyak juga dipergunakan dalam percobaan penelitian.

  c. Conguential Pseudo Random Number Generator, yang terdiri dari tiga

  bagian : a.

  Linear Congruential Generator (LCG) Li C i l G (LCG)

  b. Multiplicative Random Number Generator

  c. Mixed Congruential Random Number Generator

  1/ 14/2010 Linear Congruential Generator (LCG)

  

  Metode ini digunakan untuk membangkitkan bilangan acak dengan distribusi uniform

    Pseudo RNG, berbentuk : Pseudo RNG berbentuk : Z = (aZ + c) mod m i i – 1

  Dimana :

  Z = bilangan acak ke-i dari deretnya i

  Z = bilangan acak sebelumnya i – 1 a a = faktor pengali a to pe ga c = increment m = modulus Kunci pembangkit adalah Z yang disebut umpan (seed) Kunci pembangkit adalah Z yang disebut umpan (seed).

  1/ 14/2010 Contoh 1 LCG :

  Membangkitkan bilangan acak sebanyak 8 kali dengan a = 2, c = 7, m = 10, dan Z = 2

  Z = (2.2+7) mod 10 = 1

  1 Z = (2.1+7) mod 10 = 9

  2 Z = (2.9+7) mod 10 = 5

  3 Z Z = (2 5+7) mod 10 = 7 = (2.5+7) mod 10 = 7

  4 Z = (2.7+7) mod 10 = 1

  5 Z = (2.1+7) mod 10 = 9

  6 Z = (2.9+7) mod 10 = 5

  7 Z = (2.5+7) mod 10 = 7

  8 Bilangan acak yang dibangkitkan adalah : Bilangan acak yang dibangkitkan adalah :

  1 9 5 7 1 9 5 7 → Terjadi pengulangan bilangan secara periodik (4)

  1/ 14/2010 Contoh 2 LCG :

  Membangkitkan bilangan acak sebanyak 8 kali dengan a = 4, c = 7, m = 15, dan Z = 3

  Z = (4.3+7) mod 15 = 4

  1 Z = (4.4+7) mod 15 = 8

  2 Z = (4.8+7) mod 15 = 5

  3 Z Z = (4 5+7) mod 15 = 12 = (4.5+7) mod 15 = 12

  4 Z = (4.12+7) mod 15 = 10

  5 Z = (4.10+7) mod 15 = 2

  6 Z = (4.2+7) mod 15 = 0

  7 Z = (4.0+7) mod 15 = 7

  8 Bilangan acak yang dibangkitkan adalah : Bilangan acak yang dibangkitkan adalah :

  4 8 5 12 10 2 0 7 → Tidak terjadi pengulangan bilangan secara periodik

  1/ 14/2010 

  Terjadi pengulangan pada periode tertentu atau setelah sekian kali pe b pembangkitan, hal ini adalah salah satu sifat pembangkitan dari metode ini g , d s s u s pe b g d e ode dan PRNG pada umumnya

   LCG mempunyai periode tidak lebih besar dari m, dan pada kebanyakan

  kasus periodenya kurang dari itu kasus periodenya kurang dari itu

   LCG mempunyai periode penuh (m – 1) jika memenuhi syarat berikut: 1. c relatif prima terhadap m.

  2 2. a – 1 dapat dibagi dengan semua faktor prima dari m 1 d t dib i d f kt i d i 3. a – 1 adalah kelipatan 4 jika m adalah kelipatan 4 4. m > maks(a, c, Z ) 5. a > 0, c > 0

   Penentuan konstanta LCG (a, c, dan m) sangat menentukan baik tidaknya

  bilangan acak yang diperoleh dalam arti memperoleh bilangan acak yang seakan-akan tidak terjadi pengulangan.

  1/ 14/2010 Contoh 3 LCG :

  a = 21, c = 3, m = 16 digunakan untuk menghasilkan angka acak PRN Z = (21.Z +3) mod 16

  i i-1

  Z Z 13 (pilih angka antara 0 dan 15 (diperoleh dari m 1) sebagai seed = 13 (pilih angka antara 0 dan 15 (diperoleh dari m-1) sebagai seed value/starting value)

  Z = (21. Z +3) mod 16

  1

  = (21.13+3) mod 16 = (21 13+3) mod 16 = 276 mod (16) = 4 (random number)

  Random variate : U = Z /16

  i i

  = 4/16 4/16 = 0,2500

  1/ 14/2010

  1/ 14/2010

  1/ 14/2010 Membuat Fungsi Pembangkit Bilangan Acak dengan LCG d LCG

  1/ 14/2010 Memanggil Bilangan Acak dengan Fungsi LCG LCG

  1/ 14/2010

  1/ 14/2010 Multiplicative Random Number Generator

  Z i

  = (a.Z i-1

  ) mod m

  Dimana :

   Bilangan pseudo dimulai dgn nilai awal Z yang disebut benih. 

  a & m : bilangan bulat positif tertentu

  

A.Z

  A.Z dibagi dgn m dan sisanya diambil sebagai nilai Z

  Benih Z

  /m

  n

  = Z

  i

  Bilangan acak : U

  

  <m l k /

  o

  : bilangan Bulat positif ganjil, Z

  o

  

  i-1

  minimum

  n

  a dipilih agar korelasi antar Z

  

  i 1

  

  Modulo m dipilih sebesar mungkin untuk memperbesar periode

  

  Agar Zn berprilaku acak yang dapat dipertanggungjawabkan :

  n 

  dibagi dgn m dan sisanya diambil sebagai nilai Z

  Modulo m dipilih sebesar mungkin untuk memperbesar periode

  1/ 14/2010

  Untuk pemilihan nilai-nilai yang terbaik dijabarkan sebagai berikut :

a. Pemilihan nilai : m (modulo) merupakan suatu angka integer yang cukup e : ( odu o) e up su u g ege y g cu up

  besar dan merupakan satu kata dari yang dipakai pada computer. Contoh :

   Dalam computer IBM 360/370 sistem sebuah kata adalah 32 bits

  p panjangnya, berarti angka integer yang terbesar dalam satu kata computer j g y , g g y g p

  32-1

  31

  (computer words) adalah : 2 -1 = 2 – 1 = 2147488647

  32-1  Maka nilai m hasrus lebih satu integer, atau : m = 2 +1 = 2147.483.648 

  Untuk mesin computer system 1130/1800 IBM yang dikenal dengan 16 Untuk mesin computer system 1130/1800 IBM yang dikenal dengan 16

  16-1

  BITS Words maka untuk memilih m adalah : m = 2 = 32.768

  

  Sedangkan untuk memilih microcomputer dengan 8 BITS akan digunakan ::

  8-1  m = 2 = 128  Dengan nilai m ini akan merupakan pembagi dari nilai (a x Z1) yang

  mengikuti operasi modulo mengikuti operasi modulo

   Hal ini akan menjadikan mesin computer hanya dapat tertinggi dengan

  integer m-1 dan apabila produk-produknya lebih besar dari nilai-nilai ini akan mengakibatkan overflow/hang. akan mengakibatkan overflow/hang

  1/ 14/2010 b. Pemilihan konstanta multiplier : a harus tepat.

   Pemilihan nilai a harus bilangan prima terhadap m. a juga harus bilangan g p p j g g

  ganjil (odd number). Pemilihan yang terbaik adalah dengan rumus yang lebih mendekat pada ketepatan.

   Untuk system IBM 1130/1800 dengan : 16 Bits akan diperoleh y g p 

  Dan untuk mikrokomputer dengan 8 Bits, maka akan diperoleh :

  c. Pemilihan untuk Z , yang dikenal dengan : SEED = Z mengharuskan

  relative belakangan prima terhadap m. Hal ini dapat diperhatikan dengan relative belakangan prima terhadap m. Hal ini dapat diperhatikan dengan mudah apabila dicari untuk m adalah angka berpangkat 2 (dua) → angka exporer dari angka 2. Dengan demikian untuk Z adalah setiap angka- angka yang ganjil (odd number) seperti : I g y g g j ( ) p = Z = 12357

SEED SEED

  Dapat diambil sembarang asalkan bilangan ganjil dan biasanya cukup besar.

  d. d Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga harus bilangan ganjil.

  1/ 14/2010 Contoh : Misal komputer berkapasitas 12 bit word

• w-1

  W = 12

  11 m = 2 = 2 = 2048

  6 a = 67  a  2 & a  3 (mod 8) misal : Zo = 129

• Z = (67)(129) mod 2048 = 451

  1 Z Z = (67)(451) mod 2048 = 1545 = (67)(451) mod 2048 = 1545

  2 Z = (67)(1545)mod 2048 = 1115

  3 Z = (67)(1115)mod 2048 = 977 ( )( )

  4

  4

  1/ 14/2010 Contoh :

• 1

  U = 451/2048 = 0,22015