Sistem Dinamik Model Penyebaran Penyakit Tuberkulosis Dengan Dua Kelompok Populasi Terinfeksi

SISTEM DINAMIK MODEL PENYEBARAN PENYAKIT
TUBERKULOSIS DENGAN DUA KELOMPOK
POPULASI TERINFEKSI

VINA APRILIANI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Sistem Dinamik Model
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis dengan Dua Kelompok Populasi Terinfeksi
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2016
Vina Apriliani
NIM G551150406

RINGKASAN
VINA APRILIANI. Sistem Dinamik Model Penyebaran Penyakit Tuberkulosis
dengan Dua Kelompok Populasi Terinfeksi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan
PAIAN SIANTURI.
Tuberkulosis merupakan penyakit infeksi yang disebabkan oleh bakteri
Mycobacterium tuberculosis. Bakteri ini merupakan bakteri basil yang bersifat
tahan asam sehingga seseorang yang telah terinfeksi bakteri ini memerlukan waktu
yang lama untuk proses penyembuhan. Bagian tubuh yang sering terinfeksi bakteri
ini adalah paru-paru sehingga dikenal sebagai tuberkulosis paru. Tuberkulosis dapat
menyebar dan menginfeksi orang lain melalui udara ketika seseorang dengan
infeksi tuberkulosis aktif batuk, bersin, atau menyebarkan butiran ludahnya. Orangorang yang mengalami kekurangan gizi, daya tahan tubuh yang lemah, atau terusmenerus menghirup udara yang tercemar bakteri tuberkulosis sangat rentan
terinfeksi penyakit ini. Tuberkulosis merupakan penyakit mematikan. Untuk itu,
diperlukan perlakuan pencegahan untuk mengendalikan baik tingkat infeksi
maupun tingkat penyebaran penyakit ini.
Dalam penelitian ini, dibahas sebuah model penyebaran penyakit tuberkulosis

tipe SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered). Modifikasi model dilakukan
dengan menambahkan asumsi bahwa individu pada populasi terekspos dapat
berpindah ke populasi pulih secara alami dan diasumsikan individu yang telah pulih
tidak dapat terinfeksi kembali oleh tuberkulosis. Selain itu, modifikasi model juga
dilakukan dengan penambahan kompartemen � yaitu kelompok populasi tervaksin,
sehingga model ini disebut model SVEIR. Dalam model ini, populasi manusia
dibagi menjadi enam kelompok, yaitu rentan, tervaksin, terekspos, terinfeksi
menular, terinfeksi takmenular, dan pulih. Individu pada populasi rentan dapat
berpindah ke populasi terekspos, terinfeksi menular, atau terinfeksi takmenular
karena individu rentan tersebut kontak dengan individu terinfeksi menular. Individu
pada populasi rentan juga dapat berpindah ke populasi tervaksin akibat vaksinasi.
Individu pada populasi tervaksin dapat berpindah ke populasi terekspos karena
individu tersebut kontak dengan individu terinfeksi menular. Individu pada
populasi terekspos dapat berpindah ke populasi terinfeksi menular atau terinfeksi
takmenular karena berkembangnya penyakit di dalam tubuh. Individu pada
populasi terekspos, terinfeksi menular, atau terinfeksi takmenular dapat sembuh
secara alami dan berpindah ke populasi pulih.
Tujuan dari penelitian ini adalah memodifikasi model penyebaran penyakit
tuberkulosis, melakukan analisis kestabilan terhadap model modifikasi, serta
melakukan simulasi numerik untuk melihat dinamika populasi manusia

berdasarkan bilangan reproduksi dasar dan pengaruh vaksinasi terhadap dinamika
penyebaran penyakit tuberkulosis.
Terdapat dua titik tetap pada model, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik
tetap endemik. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan pada titik tetap dengan
memertimbangkan bilangan reproduksi dasar ℛ . Bilangan reproduksi dasar
merupakan nilai harapan banyaknya infeksi tiap satuan waktu. Bilangan ini menjadi
tolok ukur penyebaran penyakit dalam populasi. Jika ℛ < , maka rata-rata setiap
individu terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu individu baru, sehingga
penyakit akan menghilang. Jika ℛ > , maka rata-rata setiap individu terinfeksi

akan menghasilkan lebih dari satu individu baru terinfeksi, sehingga penyakit akan
menyebar.
Hasil analisis dan simulasi numerik menunjukkan bahwa titik tetap tanpa
penyakit stabil ketika ℛ < , sedangkan titik tetap endemik stabil ketika ℛ > .
Simulasi juga menunjukkan bahwa vaksinasi yang diberikan memberikan pengaruh
terhadap dinamika populasi manusia yang ditunjukkan dengan bilangan reproduksi
dasar. Jika laju dan efektivitas vaksinasi ditingkatkan, maka menyebabkan
menurunnya nilai bilangan reproduksi dasar. Itu artinya, jumlah individu yang
terekspos, terinfeksi menular, dan terinfeksi takmenular semakin berkurang,
sehingga penyakit tidak akan menyebar dan dalam jangka waktu tertentu penyakit

akan menghilang dari populasi tersebut.
Kata kunci: bilangan reproduksi dasar, simulasi numerik, SVEIR, titik tetap
endemik, titik tetap tanpa penyakit, tuberkulosis, vaksinasi

SUMMARY
VINA APRILIANI. Dynamic System Model of Tuberculosis Spread within Two
Groups of Infected Population. Supervised by JAHARUDDIN and PAIAN
SIANTURI.
Tuberculosis is an infectious disease caused by a bacterium known as
Mycobacterium tuberculosis. This bacterium is a bacillus bacterium which is acid
resistant so that someone who has been infected by this bacterium requires a long
time to get recovered. Parts of the body who often infected with this bacterium is
the lung that is known as pulmonary tuberculosis. Tuberculosis can spread and
infect others via active tuberculosis coughs, sneezes, or spreading granules. Those
are malnourished, weak immune system, or continuosly breathing air contaminated
with tuberculosis bacterium highly vulnerable to the disease. Tuberculosis is a
deadly disease. Therefore, preventive treatment is necessary to control the rate of
infection and the rate of incidence of this disease.
This study discussed the spread of tuberculosis in the framework of a SEIR
(Susceptible-Exposed-Infected-Recovered) model. The modification of the model

are done by adding some assumptions such as the individual which belong to
exposed population, is switchable naturally into the recovered population and the
individual who has been recovered can not reinfected by tuberculosis. Moreover,
the modifications of the model have been done by adding � compartment, which is
the vaccinated population, so that the model called SVEIR model. In this model,
the human population is divided into six groups, susceptible, vaccinated, exposed,
infectious infected, noninfectious infected, and recovered population. Individual in
susceptible population can move into exposed, infectious infected, or noninfectious
infected population because the susceptible individual contacts with infectious
infected individual. Individual in susceptible population can also move into
vaccinated population due to vaccination. Individual in vaccinated population can
move into exposed population because of having contact with infectious infected
individual. Individual in exposed population can move into infectious infected or
noninfectious infected population because the disease develops in the body.
Individual in exposed, infectious infected, or noninfectious infected population can
recover naturally and move into recovered population.
The purpose of this study are to modify the model of tuberculosis
transmission dynamics, to analyze the stability on the model, and to do numerical
simulations inorder to show the dynamics of human populations based on the basic
reproduction number and the vaccination effect on the dynamics of the tuberculosis

transmission.
There are two equilibrium points on the model, i.e. the disease-free
equilibrium point and the endemic equilibrium point. And then, the stability
analysis of the equilibrium points were conducted by considering the basic
reproduction number ℛ . The basic reproduction number is the expected value of
infection per time unit. This number is considered as a benchmark of disease
transmission in the population. If ℛ < , then the average of each infected
individual will be infecting less than one newly individual, then the disease will
disappear. If ℛ > , then the average of each infected individual will generate
more than one newly infected individuals, then the disease will spread.

Numerical simulation and analysis results show that the disease-free
equilibrium point is stable when ℛ < , whereas the endemic equilibrium point is
stable when ℛ > . Simulation result also shows that the vaccination affects the
dynamics of human population characterized by the basic reproduction number. If
vaccination rate and effectiveness are increased, then the value of basic
reproduction number will decrease. It means the number of exposed, infectious
infected, and noninfectious infected individuals are reduced. So that, the disease
will not spread and within a certain period, the disease will disappear from the
population.

Keywords: basic reproduction number, numerical simulation, SVEIR, endemic
equilibrium point, disease-free equilibrium point, tuberculosis,
vaccination

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

SISTEM DINAMIK MODEL PENYEBARAN PENYAKIT
TUBERKULOSIS DENGAN DUA KELOMPOK
POPULASI TERINFEKSI

VINA APRILIANI

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar H Nugrahani, MS

J-,+rrl

Tesis : Sistem Dinamik Model Penyebaran

Penyakit Tuberkulosis dengan

Dua Kelompok Populasi Terinfeksi

\tm:r

NI\t

: Vina Apriliani
: G551150406

Disetujui oleh
Komisi Pembimbing

f

Dr Jaharuddin. MS
Ketua

;^6,e

Dr Paian Sianturi
Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi

Pascasarjana

\Iatematika Terapan

ry

I Syah, MScAgr

Dr Jaharuddin, MS

Tanggal Ujian: 29 Juni2016

ranggal

Lulus:

Z,l JUL 20i6

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga tesis ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2015 ini ialah model
matematika penyakit tuberkulosis, dengan judul Sistem Dinamik Model
Penyebaran Penyakit Tuberkulosis dengan Dua Kelompok Populasi Terinfeksi.
Penulisan tesis ini juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu
penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ayah Jimmy dan Ibu Satinah, atas semua doa, semangat, pengorbanan, nasihat,
pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya, serta Kakak Yulianasari dan
Adik William Wijaya, atas semua doa dan semangatnya.
2. Dr Jaharuddin, MS sebagai Ketua Komisi Pembimbing sekaligus Ketua
Program Studi Matematika Terapan dan Dr Paian Sianturi sebagai Anggota
Komisi Pembimbing, atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, waktu, nasihat,
dan bantuannya selama penulisan tesis ini.
3. Dr Ir Endar H Nugrahani, MS sebagai dosen penguji luar komisi pembimbing,
atas saran dan kritik untuk perbaikan tesis ini.
4. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika FMIPA IPB, atas semua
ilmu, nasihat, dan bantuannya.
5. Suami tercinta, Ikhsan Maulidi, atas doa, semangat, motivasi, nasihat,
perhatian, cinta dan kasih sayangnya kepada penulis.
6. Sahabat-sahabat Strong Girl, yaitu Fitriani Ida Makhmudah, Fanny Novika,
Intan Fitria Sari, Rani Septiani Sukandar, dan Lilyani Susanti, atas doa,
semangat, bantuan, dan keceriaannya selama ini.
7. Teman satu bimbingan, Nur Rahmi, atas semua saran dan bantuannya, serta
selalu mengingatkan penulis selama penulisan tesis ini.
8. Teman-teman S2 Matematika Terapan 51, atas segala dukungan, doa,
semangat, suka-duka, kebersamaan, dan kebahagiaan selama penulis
menempuh studi S2 di Departemen Matematika.
9. Seluruh mahasiswa S2 Matematika Terapan 50 dan 52, Matematika 48, serta
Matematika 49 dan 50, atas doa, semangat, dan motivasinya selama penulisan
tesis ini.
10. Pihak-pihak lain yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis
ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa dalam tesis ini masih terdapat banyak kekurangan
dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran
yang membangun dari pembaca. Semoga tesis ini dapat bermanfaat dan menjadi
inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Juli 2016
Vina Apriliani

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian

1
1
2

2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Titik Tetap
Pelinearan
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Bilangan Reproduksi Dasar
Kestabilan Titik Tetap
Teorema Castillo-Chavez dan Song (2004)

2
2
3
3
3
4
5
5

3 MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKULOSIS 6
Model Ozcaglar et al. (2012)
6
Model Nainggolan et al. (2013)
8
Modifikasi Model
9
Daerah Solusi Model Modifikasi
11
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Penentuan Titik Tetap
Penentuan Matriks Jacobi
Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar
Analisis Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit
Analisis Kestabilan Titik Tetap Endemik
Simulasi Numerik

13
13
14
15
16
18
23

5 SIMPULAN

29

DAFTAR PUSTAKA

29

LAMPIRAN

31

RIWAYAT HIDUP

47

DAFTAR TABEL
1
2
3
4

Parameter pada model modifikasi penyebaran penyakit tuberkulosis
Nilai parameter pada model untuk kondisi ℛ < dan ℛ >
Hasil simulasi laju vaksinasi pada manusia terhadap ℛ
Hasil simulasi efektivitas vaksinasi pada manusia terhadap ℛ

10
23
27
28

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8

Diagram kompartemen penyakit tuberkulosis digambar ulang dari
Ozcaglar et al. (2012)
Diagram kompartemen penyakit tuberkulosis digambar ulang dari
Nainggolan et al. (2013)
Diagram kompartemen penyakit tuberkulosis model modifikasi
Dinamika populasi manusia untuk kondisi ℛ <
Dinamika populasi manusia untuk kondisi ℛ >
Dinamika populasi manusia dengan dan tanpa vaksinasi
Dinamika populasi manusia akibat pengaruh laju vaksinasi
Dinamika populasi manusia akibat pengaruh efektivitas vaksinasi

7
8
10
24
25
26
27
28

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Penentuan titik tetap tanpa penyakit
Penentuan titik tetap endemik
Penentuan matriks Jacobi
Penentuan bilangan reproduksi dasar
Penentuan matriks Jacobi untuk titik tetap tanpa penyakit
Penentuan nilai eigen
Penentuan dan analisis kestabilan titik tetap tanpa penyakit
Simulasi dinamika populasi manusia untuk kondisi ℛ <
Penentuan dan analisis kestabilan titik tetap endemik
Simulasi dinamika populasi manusia untuk kondisi ℛ >
Simulasi dinamika populasi manusia dengan dan tanpa vaksinasi
Simulasi laju vaksinasi pada manusia
Simulasi efektivitas vaksinasi pada manusia

31
32
33
34
36
37
38
40
41
43
44
45
46

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tuberkulosis merupakan penyakit infeksi yang disebabkan oleh bakteri
Mycobacterium tuberculosis. Bakteri penyebab tuberkulosis pertama kali
diidentifikasi dan dijelaskan oleh Robert Koch pada tanggal 24 Maret 1882. Bakteri
ini merupakan bakteri basil yang bersifat tahan asam sehingga seseorang yang telah
terinfeksi bakteri ini memerlukan waktu yang relatif lama untuk proses
penyembuhan. Bagian tubuh yang paling sering terinfeksi bakteri ini adalah paruparu sehingga dikenal sebagai tuberkulosis paru. Tuberkulosis yang berkembang di
luar paru-paru, misalnya kelenjar getah bening, saluran kemih, pencernaan, kulit,
atau otak disebut tuberkulosis ekstra paru. Tuberkulosis dapat menyebar dan
menginfeksi orang lain melalui udara ketika seseorang dengan infeksi tuberkulosis
aktif batuk, bersin, atau menyebarkan butiran ludahnya. Orang-orang yang
mengalami kekurangan gizi, daya tahan tubuh yang lemah, atau terus-menerus
menghirup udara yang tercemar bakteri tuberkulosis sangat rentan terinfeksi
penyakit ini. Tuberkulosis merupakan penyakit mematikan. Pada tahun 2014,
World Health Organization (WHO) menyatakan bahwa sekitar 1.5 juta penduduk
di dunia meninggal karena penyakit ini dengan 54% diantaranya terjadi di Cina,
India, Indonesia, Nigeria, dan Pakistan (WHO 2015).
Banyak peneliti yang telah mengembangkan model matematika dan analisis
mengenai transmisi penyakit tuberkulosis. Bowong et al. (2011) memodifikasi
model dasar SEI dengan mempertimbangkan dua tipe bakteri tuberkulosis, yaitu
bakteri yang sensitif terhadap obat dan bakteri yang resisten terhadap obat.
Nyabadza dan Kgosimore (2012) memformulasikan model kompartemen untuk
tuberkulosis dengan dua kelas usia, yaitu anak-anak dan dewasa. Kalu dan Inyama
(2012) menganalisis model matematika tipe SEIR dengan penambahan vaksinasi
untuk bayi baru lahir dan pengobatan untuk individu terinfeksi dalam mengontrol
penyebaran tuberkulosis. Egbetade dan Ibrahim (2014) mempelajari dinamika
model tuberkulosis serta analisis kestabilannya dengan menggabungkan
pengobatan, migrasi, dan vaksinasi. Rohaeti et al. (2015) mendeskripsikan
fenomena penyebaran tuberkulosis di Bogor, Jawa Barat, Indonesia dalam model
matematika menggunakan model SIR.
Penelitian ini akan memodifikasi dan menganalisis model penyebaran
penyakit tuberkulosis dengan dua kelompok populasi terinfeksi yang diperkenalkan
oleh Blower et al. (1995) dan telah dikembangkan oleh Ozcaglar et al. (2012).
Blower et al. (1995) memformulasikan dua jenis model, yaitu model sederhana tipe
SEI dan model detail tipe SEIR. Model SEI telah dianalisis kestabilannya oleh
Egbetade et al. (2012) serta telah dimodifikasi dengan penambahan vaksinasi dan
pengobatan oleh Ibrahim dan Egbetade (2015). Model pada penelitian ini
merupakan modifikasi model SEIR dengan untuk populasi rentan (susceptible),
untuk populasi terekspos (exposed), untuk populasi terinfeksi (infected), dan
untuk populasi pulih (recovered). Populasi terinfeksi dibagi menjadi dua kelompok,
yaitu populasi terinfeksi menular (infectious infected) dan populasi terinfeksi
takmenular (non-infectious infected).

2
Modifikasi model dilakukan dengan menambahkan asumsi bahwa individu
pada populasi terekspos dapat berpindah ke populasi pulih secara alami serta
diasumsikan bahwa individu yang telah pulih tidak dapat terinfeksi kembali oleh
tuberkulosis. Selain itu, model yang dikembangkan oleh Ozcaglar et al. (2012)
belum mempertimbangkan komponen pengendalian penyakit yaitu vaksinasi yang
mempunyai peranan penting sebagai alat untuk mengontrol penyebaran penyakit
tuberkulosis. Oleh karena itu, modifikasi model juga dilakukan dengan
penambahan kompartemen �, yaitu kelompok populasi tervaksin (Nainggolan et al.
2013), sehingga model ini disebut model SVEIR. Selanjutnya akan dilakukan
analisis kestabilan pada model modifikasi dan simulasi numerik untuk melihat
dinamika penyebaran penyakit tuberkulosis.

Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai pada
penelitian ini adalah sebagai berikut:
1 Memodifikasi model penyebaran penyakit tuberkulosis.
2 Melakukan analisis kestabilan terhadap model modifikasi.
3 Melakukan simulasi numerik terhadap model modifikasi untuk melihat dinamika
populasi manusia berdasarkan bilangan reproduksi dasar dan pengaruh vaksinasi
terhadap dinamika penyebaran penyakit tuberkulosis.

2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (PDB) dinyatakan sebagai
�̇ =

dengan
�=[

�

] dan

,� ,
,� = [

(2.1)

�

,
,

,

,
,

,

,…,
,…,

,…,

Fungsi
, � adalah fungsi taklinear dalam , , … ,
sistem persamaan diferensial biasa taklinear (Tu 1994).

�.

�

�

�

].

Sistem (2.1) disebut

Sistem Persamaan Diferensial Biasa Mandiri
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (PDB) dinyatakan sebagai
�̇ =

� , � ∈ ℝ� ,

(2.2)

dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari �. Sistem (2.2) disebut sistem
persamaan diferensial biasa mandiri (autonomous) karena tidak memuat secara
eksplisit di dalamnya (Tu 1994).

3
Titik Tetap
̅ disebut
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa (2.2). Titik �
̅
titik tetap jika � = . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan
atau titik ekuilibrium (Tu 1994). Untuk selanjutnya digunakan istilah titik tetap.
Pelinearan
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa taklinear sebagai
berikut:
� , � ∈ ℝ� .

�̇ =

(2.3)

̅, maka sistem (2.3) dapat ditulis
Dengan ekspansi deret Taylor di sekitar titik tetap �
sebagai
�̇ = � + � � ,

(2.4)

dengan adalah matriks Jacobi yang dinyatakan sebagai berikut:

=

� �
|
�� �=�̅

�
�
�
= �
�
[�

�
�
�
�

�
�

�

�

⋱

�
�
�
�

�
�

��
� � ]�=�̅

,

dan � � adalah suku berorde tinggi yang bersifat lim � � = . Bentuk � pada
�→

sistem (2.4) disebut pelinearan sistem (2.3) (Tu 1994).

Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan � berukuran
× dan sistem
persamaan diferensial biasa homogen �̇ = ��, �
= � , � ∈ ℝ� . Suatu vektor
taknol � di dalam ℝ� disebut vektor eigen dari � jika untuk suatu skalar berlaku
�� = �.

Nilai skalar disebut nilai eigen dari �.
Untuk mencari nilai dari �, maka sistem (2.5) dapat ditulis
�−

�= ,

(2.5)

(2.6)

dengan adalah matriks identitas. Sistem (2.6) mempunyai solusi yang taknol jika
dan hanya jika
det � −

= .

Persamaan (2.7) merupakan persamaan karakteristik matriks � (Leon 1998).

(2.7)

4
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar ℛ merupakan nilai harapan terjadinya infeksi
per satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada suatu populasi yang seluruhnya rentan
yang dihasilkan oleh satu jenis individu yang sudah terinfeksi. ℛ dalam penelitian
ini ditentukan dengan menggunakan metode yang dikenalkan oleh Van Den
Driessche dan Watmough (2002), yaitu mengonstruksi suatu matriks yang berasal
dari subpopulasi-subpopulasi yang menyebabkan infeksi saja. Matriks tersebut
dikenal dengan the next generation matrix. Nilai ℛ merupakan nilai eigen
taknegatif terbesar dari matriks ini.
Kondisi yang memungkinkan dari bilangan reproduksi dasar menurut Van
Den Driessche dan Watmough (2002) adalah
1 Jika ℛ < , maka jumlah individu yang terinfeksi akan menurun pada setiap
generasi sehingga penyakit tidak akan menyebar.
2 Jika ℛ > , maka jumlah individu yang terinfeksi akan meningkat pada setiap
generasi sehingga penyakit akan menyebar.
Untuk model umum dengan kompartemen penyakit dan kompartemen
tanpa penyakit, nilai ℛ dapat dihitung untuk setiap kompartemen. Misalkan
diberikan sistem persamaan diferensial taklinear �̇ = � , � ∈ ℝ� dan misalkan
∈ ℝ dan
∈ ℝ adalah sub-subpopulasi pada setiap kompartemen.
Selanjutnya, dinotasikan ℱ sebagai laju kenaikan infeksi pada kompartemen
penyakit ke- dan � sebagai laju pergerakan penyakit, kematian dan penurunan
kesembuhan dari kompartemen ke- . Model kompartemen dapat ditulis sebagai
̇ =ℱ

̇ =

,

,

,

−�

, = , ,…,

, = , ,…,

sehingga sistem persamaan diferensial taklinear �̇ =
sebagai
dengan

̇ =

−�

dan � adalah matriks-matriks berukuran
=

�ℱ
�

,

dan

�=

� , � ∈ ℝ� dapat ditulis

× , yaitu

��
�

,

adalah titik tetap tanpa penyakit.
dengan ,
The next generation matrix untuk suatu sistem persamaan diferensial pada
titik tetap tanpa penyakit berbentuk
= �− .

Berdasarkan Van Den Driessche dan Watmough (2002), diperoleh
ℛ =

�−

dengan
�− adalah maksimum dari modulus nilai-nilai eigen dari
(Van Den Driessche dan Watmough 2002).

= �−

5
Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebarang �̇ = � ,
̅ sebagai titik tetap. Kestabilan titik tetap �
̅ dapat ditentukan
� ∈ ℝ� dengan �
dengan memperhatikan nilai-nilai eigen, yaitu , = , , … , , yang diperoleh dari
persamaan karakteristik. Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai perilaku
sebagai berikut:
1 Stabil, jika:
< , untuk setiap , atau
a Re
< untuk ∀ ≠ .
b terdapat Re( ) = , untuk sebarang dan Re
> (Tu 1994).
2 Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu sehingga Re
Teorema Castillo-Chavez dan Song (2004)
Teorema ini digunakan untuk mengetahui kestabilan di sekitar titik tetap
dengan menggunakan pendekatan bifurkasi. Misalkan suatu sistem persamaan
diferensial umum dengan parameter � dinyatakan sebagai
=

,� ,

: ℝ� × ℝ → ℝ dan

∈ ℂ ℝ� × ℝ ,

(2.8)

dengan � adalah suatu titik tetap dari sistem (2.8) sedemikian sehingga
� , � = untuk setiap � dan diasumsikan
A1: � =

�

� ,� =

��

� ,�

��

adalah pelinearan dari sistem (2.8) di sekitar

titik tetap � dengan � = . Nol adalah suatu nilai eigen sederhana dari
matriks � dan semua nilai eigen lainnya memiliki bagian real negatif;
A2: Matriks � memiliki satu vektor eigen kanan dan satu vektor eigen kiri
yang berkorespondensi dengan nilai eigen nol.
Misalkan

adalah komponen ke- dari
�

= ∑

,, =
�

= ∑
,=

�
� �

dan dinotasikan
� ,� ,

�
� ,� .
� ��

Kestabilan lokal dari sistem (2.8) di sekitar titik tetap � ditentukan oleh
sebagai berikut:

(2.9)

dan

Kasus 1. > , > .
i Jika � < dengan |�| ≪ , maka � bersifat stabil asimtotik lokal dan terdapat
titik tetap positif yang tidak stabil.
ii Jika < � ≪ , maka � bersifat tidak stabil dan terdapat titik tetap negatif
yang stabil asimtotik lokal.

6
Kasus 2. < , < .
i Jika � < dengan |�| ≪ , maka � bersifat tidak stabil.
ii Jika < � ≪ , maka � bersifat stabil asimtotik lokal dan terdapat titik tetap
positif yang tidak stabil.
Kasus 3. > , < .
i Jika � < dengan |�| ≪ , maka � bersifat tidak stabil dan terdapat titik tetap
negatif yang stabil asimtotik lokal.
ii Jika < � ≪ , maka � bersifat stabil dan suatu titik tetap positif yang tidak
stabil muncul.
Kasus 4. < , > . Jika � berubah dari negatif ke positif, maka � berubah
kestabilannya dari stabil menjadi tidak stabil. Begitu pula titik tetap negatif yang
tidak stabil berubah menjadi positif dan stabil asimtotik lokal.

3 MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT
TUBERKULOSIS
Model Ozcaglar et al. (2012)
Ozcaglar et al. (2012) mengembangkan model Blower et al. (1995), yaitu
model penyebaran penyakit tuberkulosis tipe SEIR. Pada model ini, populasi dibagi
menjadi lima kelompok, yaitu S untuk populasi rentan (susceptible), E untuk
populasi terekspos (exposed), � untuk populasi terinfeksi menular (infectious
infected), � untuk populasi terinfeksi takmenular (noninfectious infected), dan R
untuk populasi pulih (recovered).
Individu yang lahir dari populasi rentan, terekspos, terinfeksi menular,
terinfeksi takmenular, dan pulih masuk ke populasi rentan
dengan angka
kelahiran sebesar . Jika individu pada populasi rentan kontak dengan individu
pada populasi terinfeksi menular � , maka individu rentan tersebut dapat
berpindah ke populasi terinfeksi menular dengan laju
, berpindah ke populasi
−
, atau berpindah ke populasi
terinfeksi takmenular � dengan laju
terekspos
dengan laju −
. Individu yang berada pada populasi rentan
dapat mati dengan laju kematian . Individu pada populasi terekspos dapat
berpindah ke populasi terinfeksi menular dengan laju
atau berpindah ke populasi
terinfeksi takmenular dengan laju −
. Individu yang berada pada populasi
terekspos dapat mati dengan laju kematian . Individu pada populasi terinfeksi
menular atau takmenular dapat sembuh secara alami tanpa adanya pengobatan
dengan laju dan berpindah ke populasi pulih
. Individu yang berada pada
populasi terinfeksi menular atau takmenular dapat mati dengan laju kematian atau
mati akibat tuberkulosis dengan laju � . Selanjutnya, individu pada populasi pulih
dapat terinfeksi kembali dan berpindah dengan peluang yang sama ke populasi
terinfeksi menular atau takmenular dengan laju
dan dapat mati dengan laju
kematian .

7
Secara skematis, pola penyebaran penyakit tuberkulosis model Ozcaglar et
al. (2012) digambarkan dalam diagram kompartemen pada gambar berikut.

Gambar 1 Diagram kompartemen penyakit tuberkulosis digambar
ulang dari Ozcaglar et al. (2012)
Persamaan dinamika sistem tersebut diformulasikan sebagai berikut:
=
�
�

=

=

=

=

−

−

�

−

+

�

�

−

+
�

�

−

,

−
�

+

+

+

−

−

+

,

,

+

+

�

+

−

�,

(3.1)
+

�

+

�,

+
adalah total populasi pada
+ �
dengan �
=
+
+ �
,
waktu . Nilai awal untuk sistem (3.1) adalah
,
, �
,
,
dan
semua
parameter
bernilai
positif.
�
Ozcaglar et al. (2012) melakukan simulasi numerik terhadap sistem (3.1)
dengan memperkenalkan empat percobaan, yaitu ketika jumlah awal populasi
terinfeksi menular adalah , ,
, dan
individu serta jumlah awal populasi
rentan untuk masing-masing percobaan sama yaitu
individu. Nilai
parameter yang digunakan pada simulasi ini adalah =
,
= .
,
, = .
, = . , = . , = . , = .
, = .
,
� = .
= .
. Wabah tuberkulosis diamati selama
tahun untuk memastikan
apakah penyakit tersebut hilang atau tidak dari populasi. Hasil simulasi
menunjukkan bahwa jumlah masing-masing populasi pada empat percobaan yang
dilakukan menuju jumlah yang tetap (stabil) pada
tahun pertama. Wabah
tuberkulosis tidak hilang dari populasi (endemik) dan populasi terinfeksi menuju
jumlah yang sama untuk empat percobaan yaitu sekitar
individu. Hal ini
menunjukkan bahwa jumlah awal populasi terinfeksi menular yang berbeda-beda
tidak mempengaruhi kestabilan endemiknya.

8
Model SEIR yang dikembangkan oleh Ozcaglar et al. (2012) belum
mempertimbangkan komponen pengendalian penyakit yaitu vaksinasi yang
mempunyai peranan penting dalam dinamika penyakit tuberkulosis. Oleh karena
itu, model yang dikembangkan oleh Ozcaglar et al. (2012) selanjutnya dimodifikasi
dengan menambahkan beberapa asumsi serta parameter vaksinasi sebagai alat
untuk mengontrol penyebaran penyakit tuberkulosis. Pemberian vaksinasi juga
bertujuan untuk mengurangi jumlah populasi terekspos dan terinfeksi menular
maupun takmenular sehingga penyakit tidak akan menyebar dan dalam kurun
waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi tersebut.

Model Nainggolan et al. (2013)
Nainggolan et al. (2013) menyajikan model penyebaran penyakit tuberkulosis
dengan memperhatikan pengaruh vaksinasi. Model tersebut melibatkan lima
variabel, yaitu untuk populasi rentan, � untuk populasi tervaksin,
untuk
populasi terekspos, untuk populasi terinfeksi, dan untuk populasi pulih.
Pada model ini, � dinotasikan sebagai angka kelahiran, adalah laju kontak
per kapita, dan adalah peluang satu individu rentan menjadi terinfeksi akibat
populasi terinfeksi. Individu rentan yang telah terinfeksi tuberkulosis dapat
berpindah ke populasi terekspos dengan laju
atau berpindah ke populasi
terinfeksi dengan laju −
. Individu terekspos dapat berpindah ke populasi
terinfeksi dengan laju akibat reaktivasi endogen dan laju
akibat reinfeksi
eksogen. Individu terinfeksi dapat pulih secara alami dengan laju dan berpindah
ke populasi pulih. Individu pulih dapat terinfeksi kembali dan berpindah ke
populasi terekspos dengan laju
atau berpindah ke populasi terinfeksi dengan
. Laju kematian akibat tuberkulosis adalah , sedangkan laju
laju
−
kematian alami adalah . Nainggolan et al. mengasumsikan bahwa pemberian
vaksinasi dapat membuat individu rentan berpindah ke populasi tervaksin dengan
laju � dan individu tervaksin dapat pula berpindah ke populasi pulih dengan laju .
Selain itu, individu tervaksin dapat berpindah ke populasi terekspos dengan laju
− � , dimana �,
�
, adalah efektivitas vaksinasi.
Secara skematis, pola penyebaran penyakit tuberkulosis model Nainggolan et
al. (2013) digambarkan dalam diagram kompartemen pada gambar berikut.

Gambar 2 Diagram kompartemen penyakit tuberkulosis digambar
ulang dari Nainggolan et al. (2013)

9
Persamaan dinamika sistem tersebut diformulasikan sebagai berikut:

�

=�−

=� −
=

=

+

−

= �+

−

+� ,

−� �−

−� �−
+

−

−

+

+

,

�,

−

−

+

+

+

+

+

−

,

(3.2)
,

dengan �
=
+� +
+
+
adalah total populasi pada
⁄�. Nilai awal untuk sistem (3.2) adalah
waktu dan =
,�
,
,
,
, dan semua parameter bernilai positif.
Nainggolan et al. (2013) telah mengembangkan model matematika untuk
penyebaran penyakit tuberkulosis dengan mempertimbangkan pengaruh vaksinasi
yang dilakukan terhadap populasi rentan. Titik tetap tanpa penyakit dan
kestabilannya telah dianalisis berkaitan dengan bilangan reproduksi dasar dan
bilangan reproduksi vaksinasi. Selain itu, simulasi numerik yang telah dilakukan
menunjukkan bahwa pemberian vaksinasi dapat mengurangi jumlah individu pada
populasi terekspos dan populasi terinfeksi sehingga bermanfaat untuk mencegah
penyebaran penyakit tuberkulosis.
Model Nainggolan et al. (2013) ini selanjutnya akan dijadikan sebagai acuan
dalam memodifikasi model Ozcaglar et al. (2012), yaitu berkaitan dengan
penambahan parameter vaksinasi.

Modifikasi Model
Modifikasi model Ozcaglar et al. (2012) dilakukan dengan menambahkan
asumsi bahwa individu pada populasi terekspos dapat berpindah ke populasi pulih
secara alami dengan laju serta diasumsikan bahwa individu yang telah pulih tidak
dapat terinfeksi kembali oleh tuberkulosis. Selain itu, modifikasi model juga
dilakukan dengan penambahan kompartemen �, yaitu kelompok populasi tervaksin
(Nainggolan et al. 2013), sehingga model ini disebut model SVEIR. Vaksinasi
diberikan kepada individu pada populasi rentan dengan laju � agar individu
tersebut dapat terlindungi dari serangan bakteri tuberkulosis. Pemberian vaksinasi
biasanya menggunakan vaksin BCG (Bacillus Calmette-Guerin). Individu pada
populasi tervaksin dapat berpindah ke populasi terekspos dengan laju
−�
apabila individu tersebut kontak dengan individu pada populasi terinfeksi menular.
Hal ini juga dipengaruhi oleh efektivitas vaksinasi � . Individu pada populasi
tervaksin dapat mati dengan laju kematian . Selanjutnya, individu yang lahir dari
populasi rentan, tervaksin, terekspos, terinfeksi menular, terinfeksi takmenular, dan
pulih masuk ke populasi rentan
dengan angka kelahiran sebesar .

10
Secara skematis, pola penyebaran penyakit tuberkulosis model modifikasi
digambarkan dalam diagram kompartemen pada gambar berikut.

Gambar 3 Diagram kompartemen penyakit tuberkulosis model modifikasi
Warna merah pada Gambar 3 menunjukkan modifikasi dari model Ozcaglar
et al. (2012) berdasarkan Nainggolan et al. (2013). Persamaan dinamika sistem
tersebut diformulasikan sebagai berikut:

�
�
�

=

−

�

−

=� − �−
=

=

=

=

−

−

+

�

+
�

+

+� ,
�

−�

+
�
�

−

+

−

� �,

−�

+

−
,

��−

�

+

−

�,

+
+

+
�

+

,

(3.3)

�,

+
adalah total populasi
+ �
dengan �
=
+� +
+ �
pada waktu . Nilai awal untuk sistem (3.3) adalah
,�
,
,
,
dan
.
Semua
parameter
pada
sistem
(3.3)
bernilai
,
�
�
positif dan keterangan parameter disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Parameter pada model modifikasi penyebaran penyakit tuberkulosis
Parameter

�

�
�

Keterangan
Angka kelahiran populasi
Laju per kapita kematian populasi secara alami
Laju per kapita kematian populasi akibat tuberkulosis
Laju transmisi akibat kontak dengan tuberkulosis aktif
Laju per kapita vaksinasi populasi rentan
Efektivitas vaksinasi


dan

=

+�+
�

+

+

+�+

− �−
�

�

,

�

�

+

�

+
�

+

+

�

�

+

�

+

.

+

�

+

+

�

−

�

+

�

(3.4)

, maka persamaan (3.4) menjadi

�

�

�

.

+ �

− �,

merupakan suatu konstanta positif sedemikian sehingga
�

+ �=

−

.

(3.5)

Persamaan (3.5) diselesaikan menggunakan faktor integrasi (Robinson 2004)
dengan nilai awal �
= � sehingga diperoleh
Karena

�=

−��

−��

+�

untuk setiap

,�

,

,

+�+

+

+�+

+

�

,

�

,

−

dan , ,

�

atau

Karena

−��

−

+� ,

�

�

+
+

�

�

−

−��

> , maka diperoleh

+

+� .

+

+� .

, maka untuk setiap

Selanjutnya, dengan cara yang sama akan ditunjukkan bahwa
Persamaan pertama dari sistem (3.3) adalah sebagai berikut:
=

−

�

−

.

+� .

diperoleh

juga terbatas.

(3.6)

13
Karena

>

,

dan

, maka

�

+

Misalkan

.

+�

−

+� ,

merupakan suatu konstanta positif sedemikian sehingga
+

+�

=

−

.

(3.7)

Persamaan (3.7) diselesaikan menggunakan faktor integrasi (Robinson 2004)
dengan nilai awal
= sehingga diperoleh
Karena

Karena

=

+�

+

− �+� �

− �+� �

−

+�

− �+� �

, maka untuk setiap

+�

dan , , �,

untuk setiap

+�

−

+

.

( −

− �+� �

).

> , maka diperoleh

diperoleh

+�

+

.

(3.8)

Jadi diperoleh ketaksamaan (3.6) dan (3.8) sebagai daerah solusi yang taknegatif
dan terbatas dari sistem (3.3), yaitu
Ω = { , �, , � ,

�,

∈ ℝ+ ∶

�

+� ,

+�

+

, }.

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Penentuan Titik Tetap
Pada sub-bab ini akan dicari titik tetap berdasarkan sistem (3.3). Titik tetap
diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan
=

�

=

=

�

=

�

=

= .

Sistem (3.3) memiliki dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit (disease-free
equilibrium) � dan titik tetap endemik (endemic equilibrium) �∗ .

Penentuan Titik Tetap Tanpa Penyakit
Titik tetap tanpa penyakit merupakan kondisi ketika semua individu menjadi
sehat atau dapat dikatakan tidak terdapat penyakit pada suatu populasi tertentu.
Titik tetap tanpa penyakit dari sistem (3.3) diperoleh ketika = � = � = .

14
Dengan software Mathematica, diperoleh titik tetap tanpa penyakit
, �, , � ,

�

dengan
=

+�

,

� =

�,

=

,� ,

�
,
+�

,

= ,

�

,

�,

�

= ,

,

(4.1)

�

= ,

= .

Penentuan titik tetap tanpa penyakit � (4.1) dapat dilihat pada Lampiran 1.

Penentuan Titik Tetap Endemik
Titik tetap endemik merupakan kondisi ketika masih terdapat individu yang
sakit atau penyakit belum menghilang dari suatu populasi tertentu. Dari sistem (3.3)
diperoleh titik tetap endemik
�∗

dengan
∗
∗

=

� =
∗

=

∗
�

+

+�

� ∗
+ −�
∗
−

, �, , � ,

,
∗
�

+

∗,
�

+

�,

∗

=

, � ∗,

∗

∗
�

+

�∗

−�

∗
�

∗
�

,

∗

, �∗ ,

=

=

∗
�,

+

=

∗

�

−

,

(4.2)
∗

∗

+ −

∗ ∗
�

,

+ −
+ �+
∗
∗
+ � + �∗
.

∗

,

Penentuan titik tetap endemik �∗ (4.2) dapat dilihat pada Lampiran 2.
Penentuan Matriks Jacobi

Misalkan SPD taklinear pada sistem (3.3) dituliskan sebagai berikut:
, �, , � ,

�,

=

, �, , � ,

�,

=

, �, , � ,
, �, , � ,

, �, , � ,
, �, , � ,

�,

�,

�,

�,

−

�

−

+� ,

= � − � − − � � �,
= −
−� � �−
�+

=
=

−
+

�

+

−

+
� + � −
�

+

−
.

�

+

−

�,

+

+

+

+

�

Pelinearan pada sistem (4.3) menghasilkan matriks Jacobi berikut:

=

(

)

,

,

�,

(4.3)

15
dengan
=−

=−
= �,
=−
=−
=
=

=−

,

�

+�+

,

+ −�
− � �,

−
−�
+

�,

�,

+

�

=

,

=
=

−
−

=
=

,

=−
= ,

,

−
−
+

= ,

,
�

+
�,
,

+

�

+

,

,

= −
+ − � �,
= ,
=
=− .
�,
Penentuan matriks Jacobi dapat dilihat pada Lampiran 3.
Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar dinotasikan dengan ℛ adalah nilai harapan
banyaknya infeksi tiap satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada suatu populasi rentan
yang dihasilkan oleh satu individu terinfeksi.
Untuk menentukan bilangan reproduksi dasar digunakan pendekatan the next
generation matrix. Berdasarkan sistem (3.3), maka diperoleh matriks dan �
untuk titik tetap tanpa penyakit � sebagai berikut:
=

−
�+

(

�=(

+ +
−
− −

−� �
�+

+

�+
−
�+
+

�

+

)
+

�

,

+

).

Bilangan reproduksi dasar ℛ merupakan nilai eigen taknegatif terbesar dari
matriks = �− , yaitu
ℛ =

+

+ +
+ +

( −
�+

+ −�
+ �+

� )

.

(4.4)

Penentuan bilangan reproduksi dasar (4.4) dapat dilihat pada Lampiran 4.
Kondisi yang memungkinkan dari bilangan reproduksi dasar menurut Van
Den Driessche dan Watmough (2002) adalah
1 Jika ℛ < , maka jumlah individu yang terinfeksi akan menurun pada setiap
generasi, sehingga penyakit tidak akan menyebar.
2 Jika ℛ > , maka jumlah individu yang terinfeksi akan meningkat pada setiap
generasi, sehingga penyakit akan menyebar.

16
Analisis Kestabilan Titik Tetap Tanpa Penyakit
Pada bagian ini, akan dikonstruksi Teorema 4.1 yang menjadi kriteria
kestabilan untuk titik tetap tanpa penyakit � .

Teorema 4.1
Titik tetap tanpa penyakit � bersifat stabil asimtotik lokal jika ℛ < , dan tidak
stabil jika ℛ > .

Bukti:
=
, � , , � , �,
Sifat kestabilan titik tetap � , �, , � , � ,
dapat
diketahui dengan melakukan pelinearan pada sistem (4.3) di sekitar � , sehingga
diperoleh matriks Jacobi untuk titik tetap tanpa penyakit � sebagai berikut:
�

=

dengan
=− �+
=−

= �,

�+

,

,

(

)

,

=

− + �+
�+
= −
,
−
,
=
�+
=− + �+ ,
= ,

=− ,

,

−� �
,
�+
= ,
=− + + ,
−
+ −� �
= ,
=
,
�+
=− .
= ,
Penentuan matriks Jacobi untuk titik tetap tanpa penyakit � dapat dilihat pada
Lampiran 5.
=−

Nilai eigen untuk � diperoleh dengan cara |
|
|

−

−

−

�

−

−

|=

−

atau
|
−

|

= ,

17
sehingga dihasilkan persamaan karakteristik sebagai berikut:
dengan
=

+

= (

=

+

+

+

+

�

+

+

+
−

+

�

�+
�

+

+

−

−

−

−

+

−

)

+

,

�+
+

(

−

−ℛ .

+

= ,

−

+
�+

(4.5)

−�

� )

Berdasarkan persamaan (4.5), diperoleh enam nilai eigen dengan empat nilai eigen
yang bernilai negatif adalah
=

=

=− �+

,

=− ,

=

sedangkan kedua nilai eigen lainnya
persamaan kuadrat berikut:
+

Penentuan nilai eigen dan nilai dari

=

dan
+

=−

=− ,

+

�

+

,

diperoleh dengan menyelesaikan

= .

,

(4.6)

dapat dilihat pada Lampiran 6.

Misalkan ℛ < , sehingga berdasarkan persamaan (4.4) diperoleh
Karena �

�+

�( −

+

�

� + −�

+

� )

�+�+� �+� �+�� +�

> , maka

�+

Ketaksamaan (4.7) dan ℛ <

( −
+ +

+

<

+

+
�+

�

�+� �+�� +�
�

+

mengakibatkan

.

>

−�
+

� )
< .
� +

<

sehingga

dan

> .

(4.7)

Berdasarkan sifat akar persamaan kuadrat untuk persamaan (4.6), diperoleh dua
kondisi yang harus dipenuhi, yaitu
+

= −
=

< ,

> .

Nilai dan yang memenuhi kondisi (4.8) adalah ketika
Misalkan ℛ > , maka berakibat
=

+

+

+

�

+

−ℛ

(4.8)
<

< .

dan

< .

Berdasarkan kondisi (4.8), diperoleh
=
< yang hanya terpenuhi jika
dan
memiliki tanda yang berlawanan (terdapat nilai eigen yang positif dan
negatif).

18
Menurut Tu (1994), titik tetap tanpa penyakit � bersifat stabil jika dan hanya jika
setiap nilai eigen dari matriks � bernilai negatif dan tidak stabil jika dan hanya
jika ada minimal satu nilai eigen dari matriks � yang bernilai positif.

Jadi terbukti titik tetap tanpa penyakit � untuk sistem (3.3) bersifat stabil asimtotik
lokal jika ℛ < , dan tidak stabil jika ℛ > .
Analisis Kestabilan Titik Tetap Endemik
Pada bagian ini, akan dikonstruksi Teorema 4.2 mengenai keberadaan titik
tetap tanpa penyakit � dan titik tetap endemik �∗ . Selain itu, akan dikonstruksi
juga Teorema 4.3 yang menjadi kriteria kestabilan untuk titik tetap endemik �∗ .

Teorema 4.2
Untuk sistem (3.3), titik tetap tanpa penyakit � selalu ada. Selain itu, titik tetap
endemik �∗ unik dan positif jika dan hanya jika ℛ > .
Bukti:
Tinjau titik tetap endemik (4.2) untuk sistem (3.3) berikut:
�∗

dengan
∗
∗

=

� =
∗

∗
�
∗
�
∗

=

=

=

∗
�

+

, �, , � ,
+�

� ∗
+ −�

�

−

∗

=

+

∗,
�

+

∗

+

+ −

∗ ∗
�

∗
�

, � ∗,

∗

, �∗ ,

∗
�,

∗

,

(4.10)

+

−�
∗

�∗

,

∗
�

∗
�

∗

+ −
+ �+

+

∗

=

(4.9)

∗ ∗
�

−

+

,

�,

.

,

(4.11)
(4.12)

,

(4.13)
(4.14)

Persamaan (4.9) disubstitusi ke persamaan (4.10) sehingga diperoleh
�∗ =

+

−�

�

∗
�

∗
�

+

+�

.

(4.15)

Persamaan (4.9) dan (4.15) disubstitusi ke persamaan (4.11) sehingga diperoleh
∗

=

−
+

+
+

− � �∗
+ −�

∗
�
∗
�

+

−� �
∗
� + +�

∗
�

.

(4.16)

19
Persamaan (4.9) dan (4.16) disubstitusi ke persamaan (4.12) sehingga diperoleh
∗
� (�

dengan
� =

+

� =

�

+

� =

+

�

+

+

∗
�

+

+

+

�

+

+

∗
�

+�
+

+� )= ,

+

−�

�+

+

+

�+

+

+

�

> ,
+

+

(4.17)

−�

−�

� /

−ℛ ,

−ℛ .

Salah satu dari tiga akar persamaan (4.17) adalah �∗ = . Nilai �∗ =
mengakibatkan ∗ =
berdasarkan persamaan (4.16), �∗ =
berdasarkan
∗
persamaan (4.13), serta
= berdasarkan persamaan (4.14).
Berdasarkan persamaan (4.9) dan (4.15), diperoleh
∗

=

�
.
+�

dan � ∗ =

+�

Salah satu solusi sistem (3.3) tanpa kondisi khusus ini merupakan titik tetap tanpa
penyakit � . Jadi terbukti titik tetap tanpa penyakit � selalu ada.
∗
�

Dua akar lain

dan

∗
�

dari persamaan (4.17) adalah penyelesaian dari
∗
�

�

+�

∗
�

+� = .

(4.18)

Berdasarkan sifat akar persamaan kuadrat untuk persamaan (4.18), diperoleh dua
kondisi yang harus dipenuhi, yaitu
∗
�

+

∗
�

∗ ∗
� �

Misalkan ℛ >

sehingga diperoleh

� =

+

+

=−

=

�+

�
,
�

�
.
�

+

(4.19)
(4.20)

�

+

−ℛ

< .

Berdasarkan kondisi (4.20), diperoleh �∗ �∗ < yang hanya terpenuhi jika �∗ dan
∗
∗
� memiliki tanda yang berlawanan. Jadi hanya terdapat satu akar positif �
sehingga ∗ , � ∗ , ∗ , �∗ , dan ∗ ada dan unik dengan nilai positif berdasarkan
persamaan (4.9), (4.15), (4.16), (4.13), dan (4.14). Jadi terbukti bahwa jika ℛ > ,
maka titik tetap endemik �∗ unik dan positif.

Misalkan titik tetap endemik �∗ unik dan positif. Akan dibuktikan ℛ > .
Andaikan ℛ < , sehingga diperoleh
� =
� =

+

+

+

�

+

+

+

�

+

+

�+

+

�