2.2 Nilai Maksimum dan Minimum Definisi 10 Turunan parsial
Jika adalah fungsi dua variabel, maka
turunan parsialnya adalah fungsi
f
x
f
dan
y
f
yang didefinisikan oleh
, ,
, lim
x h
f x h y
f x y f
x y h
→
+ −
= ,
, lim
y h
, f x y
h f x y
f x y
h
→
+ −
= Notasi untuk turunan parsial jika
, z
f x y =
, kita tuliskan
,
x x
f ,
f x y
f f x y
x x
∂ ∂
= =
= ∂
∂
1 1
x
z f
D f D f
x ∂
= =
= =
∂ ,
,
y y
f f
x y f
f x y y
y ∂
∂ =
= =
∂ ∂
2 2
y
z f
D f D f
y ∂
= =
= =
∂
. Aturan untuk pencarian turunan parsial dari
, z
f x y =
1. untuk mencari
x
f
pandang sebagai konstanta dan diferensialkan
y
, f x y
terhadap
x
2. untuk mencari
y
f
pandang
x
sebagai konstanta dan diferensialkan ,
f x y terhadap
.
y
[Stewart, 2003]
Definisi 11 Maksimum lokal
Fungsi dua variabel mempunyai maksimum lokal di
, a b
jika ,
, f x y
f a b ≤
ketika ,
x y dekat
, a b . [Ini berarti bahwa
, ,
f x y f a b
≤ untuk semua titik
, x y
dalam suatu cakram dengan pusat ,
a b ]. Bilangan
, f a b
disebut nilai maksimum lokal. Jika
, ,
f x y f a b
≥ ketika
, x y
dekat ,
a b maka
, f a b
disebut nilai
minimum lokal.
[Stewart, 2003] Teorema
1 Uji turunan pertama
Jika mempunyai maksimum atau
minimum lokal di
f ,
a b
dan turunan parsial orde-satu dari
ada di
f
, a b
, maka
,
x
f a b
=
dan
,
y
f a b
=
.
[Stewart, 2003] Teorema 2 Uji Turunan kedua
Andaikan turunan parsial kedua dari kontinu pada cakram dengan pusat
f
, a b
dan andaikan bahwa
dan ,
x
f a b
= ,
y
f a b
= [artinya ,
a b adalah titik kritis
]. Misalkan
f
2
, ,
, ,
xx yy
xy
D D a b
f a b f
a b f
a b ⎡
⎤ =
= − ⎣
⎦
atau
2 xx
xy xx
yy xy
yx yy
f f
D f f
f f
= =
− f
a. jika
dan maka
D
,
xx
f a b
, f a b adalah minimum lokal.
b. Jika
dan
D
,
xx
f a b
0 maka ,
f a b adalah maksimum lokal c.
Jika
D
maka ,
f a b bukan
maksimum atau minimum lokal.
[Stewart, 2003]
2.3 Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Pada tahun 1927, Paul Douglas seorang profesor ekonomi menemukan fakta
mengejutkan: pembagian pendapatan nasional di antara modal
Y K
dan tenaga kerja L tetap konstan selama periode yang panjang.
Dengan kata lain, ketika perekonomian mengalami pertumbuhan yang mengesankan,
pendapatan total pekerja dan pendapatan total pemilik modal tumbuh pada tingkat yang
nyaris sama. Douglas menanyakan kepada Charles Cobb, seorang ahli matematika,
fungsi produksi yang akan menghasilkan pembagian faktor yang konstan jika faktor-
faktor selalu menikmati produk marjinalnya.
[Mankiw, 2003] Fungsi produksi tersebut harus mempunyai
unsur dimana Pendapatan Modal
1 MPK
K Y
β =
× = − dan
Pendapatan Tenaga kerja
MPL L Y
β
= × =
, dengan MPK merupakan laju perubahan
produksi terhadap modal produktivitas marjinal modal, MPL merupakan laju
perubahan produksi terhadap tenaga kerja produktivitas marjinal tenaga kerja dan
1 β
≤ ≤ menentukan berapa bagian
pendapatan yang masuk ke Modal dan Tenaga kerja.
Cobb menunjukkan bahwa fungsi produksi yang sesuai adalah
1
, Y
F K L K
L
β β
α
−
= =
dengan α
adalah parameter yang mengukur produktivitas teknologi yang ada.
Bukti fungsi produksi Cobb Douglas: Di sini kita gunakan turunan parsial untuk
memperlihatkan bagaimana bentuk khusus model mereka diperoleh dari anggapan
tertentu yang mereka buat tentang ekonomi. Jika fungsi parsial dinyatakan oleh
, Y
F K L =
maka turunan parsial
F L
∂ ∂
adalah laju perubahan produksi terhadap tenaga kerja, disebut juga dengan
produktivitas marjinal tenaga kerja MPL .
Demikian juga, turunan parsial
F K
∂ ∂
adalah laju perubahan produksi terhadap modal dan
disebut produktivitas marjinal modal MPK. Dalam istilah ini, asumsi yang dibuat oleh
Cobb dan Douglas dapat dinyatakan sebagai berikut.
i.
jika salah satu dari tenaga kerja atau modal menghilang, maka demikian juga
produksi ii.
produktivitas marjinal tenaga kerja sebanding terhadap banyaknya produksi
tiap satuan tenaga kerja iii.
produktivitas marjinal modal sebanding terhadap banyaknya produksi tiap satuan
modal. Karena produksi tiap satuan tenaga kerja
adalah
F L
, asumsi ii menyatakan bahwa
F F
L L
β
∂ =
∂
,
untuk suatu konstanta β
.
Jika kita anggap K
konstan K
K =
,
maka persamaan diferensial parsial ini menjadi persamaan
diferensial biasa:
dF F
dL L
β
=
.
Jika kita pecahkan persamaan diferensial yang dapat dipisahkan ini dengan menggunakan
metode persamaan terpisahkan, maka
dF dL
F L
β
=
, lalu kita integralkan kedua ruas persamaan:
dF dL
F L
β
=
∫ ∫
1
log log
F L C
β
= +
1
log log
F L
β
C =
+
1
exp log exp
F L
C
β
=
kita peroleh
1
, ....
F K L C K
L
β
= ∗
Perhatikan bahwa kita telah menuliskan konstanta
sebagai fungsi karena konstanta ini dapat tergantung pada nilai
1
C K
Secara serupa, anggapan iii mengatakan bahwa
1 F
F K
K
β
∂ = −
∂
, dan kita dapat memecahkan persamaan
diferensial ini untuk mendapatkan
1 2
, .
F K L C
L K
β
−
... =
∗∗ . Dengan mengalikan persamaan
dan ∗
∗∗ kita mempunyai
1
, ...
F K L L K
β β
α
−
= ∗∗∗
Dengan konstanta α yang bebas dari L dan
K asumsi i memperlihatkan bahwa
1 β
− dan
β . Perhatikan dari persamaan
bahwa jika tenaga kerja dan modal keduanya diperbesar
oleh faktor , maka ∗∗∗
z
1 1
1
, ,
F zK zL b zL
zK z
bL K z F K L
β β
β β
β β
− + −
−
= =
=
bermakna bahwa produksi juga diperbesar oleh faktor . Itulah sebabnya Cobb dan
Douglas menganggap bahwa
z 1
β ≤ ≤
dan karena itu
1
, F K L
K L
β β
α
−
=
,
ini adalah fungsi produksi Cobb-Douglas. [Stewart, 2003]
2.4 Teori Portofolio Markowitz
Kategori