Bahan Ajar Matematika Teknik Teknik Elektro Industri FT UNP 5 matematika teknik
1.
Kegiatan Belajar 1
a. Tujuan Belajar
1. Mahasiswa dapat memahami tentang fungsi variabel banyak.
2. Mahasiswa dapat memahami tentang turunan parsial dan dapat
menyelesaikan permasalahan turunan dari fungsi variabel banyak.
b. Uraian Materi
Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Definisi 1.1
Sebuah
fungsi
dari
dua
variabel
adalah
aturan
yang
menghubungkan setiap pasangan bilangan riil yang berurutan ( , )
dalam suatu himpunan � dengan sebuah bilangan riil unik yang
dilambangkan oleh
( , ). Himpunan � adalah daerah asal dari
dan daerah hasil adalah himpunan nilai yang digunakan .
Berdasarkan definisi fungsi dua variabel dapat diperumum menjadi
sebagai berikut.
Definisi 1.2
Fungsi � variabel adalah aturan yang menghubungkan suatu angka
=
1, 2, ⋯ , �
pada susunan � bilangan riil
(disebut �-tuple).
1, 2, ⋯ , �
Fungsi dua variabel atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit
atau implisit.
- Jika fungsi dua variabel dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka
secara umum ditulis dalam bentuk
z=
, .
- Jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, maka secara umum
ditulis dalam bentuk
, , = 0.
Contoh 1.1
1.
=2 +
2.
= ln 2 − 2
3.
4.
5.
= 1−2
+
−
−
sin
(fungsi eksplisit)
(fungsi eksplisit)
4
1
2 sin −sin
=0
=0
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
(fungsi eksplisit)
(fungsi implisit)
(fungsi implisit)
5
6. ln
2
−
2
− arctan = 0
7. arctan − 2 = 0
(fungsi implisit)
(fungsi implisit)
Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan
dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat
dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Jika suatu fungsi
dinyatakan oleh sebuah rumus dan tidak ada
daerah asaln yang ditentukan, maka daerah asal dari
dianggap
sebagai himpunan dari semua pasangan ( , ) dengan persamaan
yang diberikan adalah sebuah bilangan riil yang terdefinisi dengan
baik.
Contoh 1.2
Cari daerah asal dari fungsi-fungsi berikut, lalu hitung (3,2).
a.
,
=
b.
,
=
Penyelesaian.
+ +1
−1
ln
2
−
a. Pernyataan untuk masuk akal jika penyebutnya bukan 0 dan
besaran dalam akar pangkatnya bukan negatif. Jadi, daerah asal
dari adalah
�=
,
+ + 1 ≥ 0, ≠ 1
dan
3+2+1
6
=
3−1
2
2
b. Karena ln
− terdefinisi hanya ketika 2 − > 0, daerah asal
dari adalah � =
,
< 2 dan
3,2 = 3 ln 22 − 3 = 3 ln 1 = 0.
3,2 =
Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Variabel
Misal =
, adalah fungsi dengan variabel bebas dan . Karena
dan variabel bebas, maka terdapat beberapa kemungkinan, yaitu :
1.
2.
3.
dianggap tetap, sedangkan berubah-ubah.
dianggap tetap, sedangkan berubah-ubah.
dan berubah bersama-sama sekaligus.
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
6
Definisi 1.2
Misal = ( , ) adalah fungsi dua variabel yang terdefinisi pada
interval tertentu, turunan parsial pertama terhadap dan ,
�
�
dinotasikan � dan � , didefinisikan oleh
+∆ ,
�
= lim
∆ →0
�
dan
�
= lim
∆ →0
�
asalkan limitnya ada.
∆
− ( , )
, +∆ − ( , )
,
∆
Contoh 1.3
Tentukan turunan parsial pertama dari
2
=
2
+
Penyelesaian.
Pertama, turunan parsial terhadap variabel , yaitu :
+∆ ,
�
= lim
∆ →0
�
+∆
= lim
= lim
∆ →0
+∆
2
+
∆
∆ →0
2
−
= lim
∆ →0 ∆
= lim
∆ →0 ∆
= lim
∆ →0
2
2
+
+∆
2
∙
+
∆
2
+∆
2
2
−
2
+∆
2
+
2
=
∆
+∆
+∆
+∆
− ( , )
−
2
+
2
2
+
2
+
2
+
2
2
+
2
+
2
+
2
2
2
+
2 ∆ +∆
2
+
2
+
2 +∆
2
+
2
+
+
2
+
2
2
+
2
2
+
2
+
2
2
2
+
2
Jadi,
�
=
�
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
2
+
2
7
Kedua, turunan parsial terhadap variabel
, +∆ − ( , )
∆
�
= lim
∆ →0
�
2
+
= lim
2
= lim
+∆
∆
+
∆ →0
∆ →0
2
−
2
∆ →0 ∆
2
∆ →0 ∆
2
= lim
∆ →0
=
2
+∆
∆
∙
2
+
−
2
+∆
2
+
2 ∆ +∆
2
2
2 +∆
+∆
2
2
+
+
+∆
+∆
+
2
+
2
2
+
2
2
+∆
+
−
2
+∆
+
= lim
= lim
2
+
2
yaitu :
2
=
+
2
2
2
+
2
+
2
+
2
2
+
2
+
2
2
+
+
2
2
+
2
2
+
2
+
2
Contoh 1.4
Tentukan turunan parsial pertama dari
= sin
+
Penyelesaian.
�
= lim
∆ →0
�
= lim
= lim
∆ →0
1
2 cos 2
sin
∆ →0
+∆ +
+∆ ,
+∆ +
+
cos
= 2 lim
∆ →0
= 2 lim cos
∆ →0
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
+
+
∆
+
∆
∆
−
− sin
1
sin 2
,
+
+∆ +
∆
∆
+ 2 sin 2
∆
∆
+
2
sin
lim
∆ →0
∆
−
−
∆
2
8
= 2 lim cos
+
∆ →0
= 2 cos
+
1 1 2
= cos
�
= lim
∆ →0
�
= lim
= lim
1
2 cos 2
sin
∆ →0
+
∆ →0
∆
sin 2 1
lim
∙
∆ →0 ∆
2
2
∆
+
2
+
, +∆ −
∆
+
+ ∆ − sin
∆
+∆ +
1
sin 2
+
cos
∆
+
+
= 2 lim
∆
∆ →0
= 2 lim cos
= 2 lim cos
∆
+
2
+
∆ →0
= 2 cos
+
+
+∆ −
+
−
∆
∆
sin
2
2
∆
sin 2
lim
∆ →0 ∆
∆
+
2
+
∆ →0
,
∆
sin 2 1
lim
∙
∆ →0 ∆
2
2
1 1 2
= cos
+
Berikut aturan untuk memudahkan dalam menentukan turunan
parsial dari = ( , ).
1. Untuk menentukan
�
, anggaplah
�
, anggaplah
�
sebagai konstanta dan
turunkan ( , ) terhadap .
2. Untuk menentukan
�
sebagai konstanta dan
turunkan ( , ) terhadap y.
Contoh 1.5
Tentukan turunan parsial dari
Penyelesaian.
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
=
,
=
3
+
2 3
−2
2
.
9
�
=3
�
Contoh 1.6
�
=3
�
Tentukan turunan dari
=
2
2
3
+2
2 2
−4
2
sin
.
Penyelesaian.
�
= sin
�
2
2
= 2 sin
�
=
�
2
�
sin
�
2
=
2
�
�
2
+
+
2
∙
2
2
2
cos
�
�
�
sin
�
∙ cos
2
2
2
=2
3
cos
2
Dengan cara yang sama, andaikan =
, , adalah fungsi tiga
variabel yang terdefinisi dalam selang tertentu. Turunan parsial
pertama dinyatakan dengan
didefinisikan oleh
�
= lim
∆ →0
�
�
= lim
∆ →0
�
�
= lim
∆ →0
�
Asalkan limitnya ada.
�
�
,
�
�
, dan
�
+∆ , , −
∆
�
yang secara berurut
, ,
, +∆ , −
∆
, , +∆ −
∆
, ,
, ,
Contoh 1.7
Tentukan turunan parsial pertama dari
, ,
=
+2
+3
.
Penyelesaian.
�
=
�
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
+3 ,
�
=
�
+2 ,
�
=2 +3
�
10
c. Soal
1. Cari daerah asal dan daerah hasil dari
,
=
2. Cari daerah asal dari
9−
2
−
2
, , = ln − +
sin
3. Tentukan semua turunan parsial pertama dari fungsi berikut.
a.
, = 2 − 4
b.
, = 36 − 2 − 2
c.
, = 2−2 2+3 3
d.
, , =
−
+
e.
, ,
=
f.
, ,
=
2
3
2
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
+
+
2
2
+
3
11
Kegiatan Belajar 1
a. Tujuan Belajar
1. Mahasiswa dapat memahami tentang fungsi variabel banyak.
2. Mahasiswa dapat memahami tentang turunan parsial dan dapat
menyelesaikan permasalahan turunan dari fungsi variabel banyak.
b. Uraian Materi
Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Definisi 1.1
Sebuah
fungsi
dari
dua
variabel
adalah
aturan
yang
menghubungkan setiap pasangan bilangan riil yang berurutan ( , )
dalam suatu himpunan � dengan sebuah bilangan riil unik yang
dilambangkan oleh
( , ). Himpunan � adalah daerah asal dari
dan daerah hasil adalah himpunan nilai yang digunakan .
Berdasarkan definisi fungsi dua variabel dapat diperumum menjadi
sebagai berikut.
Definisi 1.2
Fungsi � variabel adalah aturan yang menghubungkan suatu angka
=
1, 2, ⋯ , �
pada susunan � bilangan riil
(disebut �-tuple).
1, 2, ⋯ , �
Fungsi dua variabel atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit
atau implisit.
- Jika fungsi dua variabel dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka
secara umum ditulis dalam bentuk
z=
, .
- Jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, maka secara umum
ditulis dalam bentuk
, , = 0.
Contoh 1.1
1.
=2 +
2.
= ln 2 − 2
3.
4.
5.
= 1−2
+
−
−
sin
(fungsi eksplisit)
(fungsi eksplisit)
4
1
2 sin −sin
=0
=0
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
(fungsi eksplisit)
(fungsi implisit)
(fungsi implisit)
5
6. ln
2
−
2
− arctan = 0
7. arctan − 2 = 0
(fungsi implisit)
(fungsi implisit)
Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan
dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat
dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Jika suatu fungsi
dinyatakan oleh sebuah rumus dan tidak ada
daerah asaln yang ditentukan, maka daerah asal dari
dianggap
sebagai himpunan dari semua pasangan ( , ) dengan persamaan
yang diberikan adalah sebuah bilangan riil yang terdefinisi dengan
baik.
Contoh 1.2
Cari daerah asal dari fungsi-fungsi berikut, lalu hitung (3,2).
a.
,
=
b.
,
=
Penyelesaian.
+ +1
−1
ln
2
−
a. Pernyataan untuk masuk akal jika penyebutnya bukan 0 dan
besaran dalam akar pangkatnya bukan negatif. Jadi, daerah asal
dari adalah
�=
,
+ + 1 ≥ 0, ≠ 1
dan
3+2+1
6
=
3−1
2
2
b. Karena ln
− terdefinisi hanya ketika 2 − > 0, daerah asal
dari adalah � =
,
< 2 dan
3,2 = 3 ln 22 − 3 = 3 ln 1 = 0.
3,2 =
Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Variabel
Misal =
, adalah fungsi dengan variabel bebas dan . Karena
dan variabel bebas, maka terdapat beberapa kemungkinan, yaitu :
1.
2.
3.
dianggap tetap, sedangkan berubah-ubah.
dianggap tetap, sedangkan berubah-ubah.
dan berubah bersama-sama sekaligus.
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
6
Definisi 1.2
Misal = ( , ) adalah fungsi dua variabel yang terdefinisi pada
interval tertentu, turunan parsial pertama terhadap dan ,
�
�
dinotasikan � dan � , didefinisikan oleh
+∆ ,
�
= lim
∆ →0
�
dan
�
= lim
∆ →0
�
asalkan limitnya ada.
∆
− ( , )
, +∆ − ( , )
,
∆
Contoh 1.3
Tentukan turunan parsial pertama dari
2
=
2
+
Penyelesaian.
Pertama, turunan parsial terhadap variabel , yaitu :
+∆ ,
�
= lim
∆ →0
�
+∆
= lim
= lim
∆ →0
+∆
2
+
∆
∆ →0
2
−
= lim
∆ →0 ∆
= lim
∆ →0 ∆
= lim
∆ →0
2
2
+
+∆
2
∙
+
∆
2
+∆
2
2
−
2
+∆
2
+
2
=
∆
+∆
+∆
+∆
− ( , )
−
2
+
2
2
+
2
+
2
+
2
2
+
2
+
2
+
2
2
2
+
2 ∆ +∆
2
+
2
+
2 +∆
2
+
2
+
+
2
+
2
2
+
2
2
+
2
+
2
2
2
+
2
Jadi,
�
=
�
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
2
+
2
7
Kedua, turunan parsial terhadap variabel
, +∆ − ( , )
∆
�
= lim
∆ →0
�
2
+
= lim
2
= lim
+∆
∆
+
∆ →0
∆ →0
2
−
2
∆ →0 ∆
2
∆ →0 ∆
2
= lim
∆ →0
=
2
+∆
∆
∙
2
+
−
2
+∆
2
+
2 ∆ +∆
2
2
2 +∆
+∆
2
2
+
+
+∆
+∆
+
2
+
2
2
+
2
2
+∆
+
−
2
+∆
+
= lim
= lim
2
+
2
yaitu :
2
=
+
2
2
2
+
2
+
2
+
2
2
+
2
+
2
2
+
+
2
2
+
2
2
+
2
+
2
Contoh 1.4
Tentukan turunan parsial pertama dari
= sin
+
Penyelesaian.
�
= lim
∆ →0
�
= lim
= lim
∆ →0
1
2 cos 2
sin
∆ →0
+∆ +
+∆ ,
+∆ +
+
cos
= 2 lim
∆ →0
= 2 lim cos
∆ →0
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
+
+
∆
+
∆
∆
−
− sin
1
sin 2
,
+
+∆ +
∆
∆
+ 2 sin 2
∆
∆
+
2
sin
lim
∆ →0
∆
−
−
∆
2
8
= 2 lim cos
+
∆ →0
= 2 cos
+
1 1 2
= cos
�
= lim
∆ →0
�
= lim
= lim
1
2 cos 2
sin
∆ →0
+
∆ →0
∆
sin 2 1
lim
∙
∆ →0 ∆
2
2
∆
+
2
+
, +∆ −
∆
+
+ ∆ − sin
∆
+∆ +
1
sin 2
+
cos
∆
+
+
= 2 lim
∆
∆ →0
= 2 lim cos
= 2 lim cos
∆
+
2
+
∆ →0
= 2 cos
+
+
+∆ −
+
−
∆
∆
sin
2
2
∆
sin 2
lim
∆ →0 ∆
∆
+
2
+
∆ →0
,
∆
sin 2 1
lim
∙
∆ →0 ∆
2
2
1 1 2
= cos
+
Berikut aturan untuk memudahkan dalam menentukan turunan
parsial dari = ( , ).
1. Untuk menentukan
�
, anggaplah
�
, anggaplah
�
sebagai konstanta dan
turunkan ( , ) terhadap .
2. Untuk menentukan
�
sebagai konstanta dan
turunkan ( , ) terhadap y.
Contoh 1.5
Tentukan turunan parsial dari
Penyelesaian.
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
=
,
=
3
+
2 3
−2
2
.
9
�
=3
�
Contoh 1.6
�
=3
�
Tentukan turunan dari
=
2
2
3
+2
2 2
−4
2
sin
.
Penyelesaian.
�
= sin
�
2
2
= 2 sin
�
=
�
2
�
sin
�
2
=
2
�
�
2
+
+
2
∙
2
2
2
cos
�
�
�
sin
�
∙ cos
2
2
2
=2
3
cos
2
Dengan cara yang sama, andaikan =
, , adalah fungsi tiga
variabel yang terdefinisi dalam selang tertentu. Turunan parsial
pertama dinyatakan dengan
didefinisikan oleh
�
= lim
∆ →0
�
�
= lim
∆ →0
�
�
= lim
∆ →0
�
Asalkan limitnya ada.
�
�
,
�
�
, dan
�
+∆ , , −
∆
�
yang secara berurut
, ,
, +∆ , −
∆
, , +∆ −
∆
, ,
, ,
Contoh 1.7
Tentukan turunan parsial pertama dari
, ,
=
+2
+3
.
Penyelesaian.
�
=
�
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
+3 ,
�
=
�
+2 ,
�
=2 +3
�
10
c. Soal
1. Cari daerah asal dan daerah hasil dari
,
=
2. Cari daerah asal dari
9−
2
−
2
, , = ln − +
sin
3. Tentukan semua turunan parsial pertama dari fungsi berikut.
a.
, = 2 − 4
b.
, = 36 − 2 − 2
c.
, = 2−2 2+3 3
d.
, , =
−
+
e.
, ,
=
f.
, ,
=
2
3
2
Bahan Ajar Matematika Teknik
Teknik Elektro Industri FT UNP
+
+
2
2
+
3
11