MATEMATIKA TEKNIK 2 3 SKS TEKNIK ELEKTRO (1)

MATEMATIKA TEKNIK 2

3 SKS

TEKNIK ELEKTRO
1

BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
Sistem bilangan real ℝ tidak dapat menyelesaikan
persamaan x2 +1=0. Untuk menyelesaikan persamaan
tersebut dibutuhkan bilangan jenis baru. Bilangan jenis
baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan
kompleks.

2

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:

a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Notasi
Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang
huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy
menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x
dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z.
Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks
z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

3

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS

DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks
z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika
x1=x2 dan y1=y2.
DEFINISI 3

Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah

dan hasil kali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)
4

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.

Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan

khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan

dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner

murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan

imajiner.

5

Sifat-sifat bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi
penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk bidang
(field) kompleks. Adapun sifat-sifat yang berlaku pada
bidang bilangan kompleks z1, z2 dan z3 adalah sebagai
berikut:
1. z1+z2 ∈ ℂ dan z1•z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup)

2. z1+z2 = z2+z1 dan z1•z2 = z2•z1 (sifat komutatif)

3. (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat asosiatif)

4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distributif)
5. Ada 0=0+i0 ∈ℂ , sehingga z+0 = z (0 elemen netral
penjumlahan)
6

6. Ada 1=1+i0 ∈ ℂ , sehingga z•1 = z (1 elemen netral
perkalian)

7. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada –z = –x–iy
sehingga z+(–z) = 0

8. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada z-1 = 1/z, sehingga
z•z-1 = 1.

Tugas:
Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definisi yang
telah diberikan.

7

Contoh soal:

1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
Buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.

z1
Tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan z
2

8

Kompleks Sekawan (Konjugat)
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan
kompleks sekawan dari z ditulis z , didefinisikan sebagai

z = (x,–y) = x – iy.
Contoh:
Sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan
dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam
himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat
berikut:

9

Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :

1. z  z

2. z  z  2 Re(z)
3. z  z  2 Im(z)

2
2




z
z
Re(
z
)

Im(
z
)



4.

10

b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1. z1  z2  z1  z2

2. z1  z2  z1  z2
3. z1  z2  z1  z2

z
z
4.  1   1 , dengan z2≠0.
 z2 

z2

11

Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y),
merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat
digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius
sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x
diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi
sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama
bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal

(0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga
bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai
vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan

bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.

12

Im

 z(x, y)
z

O

Bidang Argan

Re

13

z1  z2

Im
z1

z2

O

Re

14

Im
z2

z1

O
 z2

z1  z2

Re

15

Tugas :
 z2 = 5 – i.
Diketahui z1 = 2 + 3i dan

Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand):

z1, z2, z1+ z2, z1- z2, z1, z2, z1  z2, z1  z2

16

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :

Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus
dari z, ditulis z = x+iy =

x2  y2

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak
dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua
bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah

(x1  x2 )2  (y1  y2 )2

17

Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,

maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.

Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r
Gambarkanlah pada bidang z.

18

Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.

3.
4.
5.

z  Re(z)2  Im(z)2
2

zz

z  zz
2

z  Re(z)  Re(z)

z  Im(z)  Im(z)

19

z1  z2  z1  z2

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :

1.
2.

3.
4.
5.

z1 z1

z2 z2

z1  z2  z1  z2
z1  z2  z1  z2

z1  z2  z1  z2

Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy,
kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !

20

1. Bukti:

z1  z2  z1  z2

z1  z2  (x1  iy1)  (x2  iy2)

 (x1x2  y1y2)  i(x1y2  x2y1)

 (x1x2  y1y2 )2  (x1y2  x2y1)2

 x12x22  y12y22  2x1x2y1y2  x12y22  x22y12  2x1x2y1y2

 (x12  y12 )  (x22  y22 )

 (x12  y12 )  (x22  y22 )

 z1  z2
 z1  z2  z1  z2

21

2. Bukti:
z1
x1  iy1 x2  iy2


z2 x2  iy2 x2  iy2



x1x 2  y1y 2 x 2y1  x1y 2
i 2
2
2
x 2  y 22
x2  y2

 x1x 2  y1y 2   x 2y1  x1y 2 

   2
  2
2 
2 
 x2  y2   x2  y2 
2

2

x12x22  y12y22  2x1x2y1y2  x22y12  x12y22  2x1x2y1y2

(x22  y22 )2
(x12  y12 )  (x22  y22 )

(x22  y22 )  (x22  y22 )

x12  y12

z1


terbukti.
2
2
z
2
x2  y2
22

3. Bukti:

z1  z2  z1  z2

0  (x1y2  x2y1)2
0  x12y22  x22y12  2x1x2y1y2
2x1x2y1y2  x12y22  x22y12
x12x22  y12y22  2x1x2y1y2  x12x22  y12y22  x12y22  x22y12
(x1x2  y1y2 )2  (x12  y12 )(x22  y22 )

2(x1x2  y1y2 )  2 (x12  y12 )(x22  y22 )
x12  2x1x2  x22  y12  2y1y2  y22 





x12  y12  2 (x12  y12 )(x22  y22 )  x22  y22

(x1  x2 )  (y1  y2 ) 
2

2

 y12 
x12  y12 

x12

(x1  x2 )2  (y1  y2 )2 
z1  z2  z1  z2

2
2
2
x2  y2
x22  y22

terbukti
23

4. Bukti:

z1  z2  z1  z2

z1  z1  z2  z2

 z1  z2  z2

z1  z2  z1  z2

 z1  z2  z1  z2

24

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks

Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),
bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam
bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).

z  (x, y)  (r, )

Im
z r

O



Re

25

Adapun hubungan antara keduanya, (x, y) dan (r, )
adalah :
x = r cos , y = r sin,

sehingga  = arc tan

 y 
x

 adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga

r  x2  y2  z

Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis .

dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos  - i sin ).

26

Definisi 5 :

Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos  + i sin ), sudut  disebut

argument dari z, ditulis arg z. Sudut  dengan 0  < 2 atau - < 
  disebut argument utama dari z, ditulis  = Arg z. Pembatasan

untuk sudut  tersebut dipakai salah satu saja.

Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i

sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.

27

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) =

r(cos  + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z

dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan
sekawannya adalah re-i.
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos  + i sin , dengan

menggunakan deret MacLaurin untuk cos  , sin  dan et
dengan mengganti t = i.

28

Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
Jawab :

z = 1 + i, r = 2 , tan  = 1, sehingga  = 45⁰= 41 
Jadi z =

2 (cos 4  + i sin 41 ) =
1

2 cos 41  =

2


i
4
e

29

Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam
bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin ).

Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai
berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]

z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
30

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:

arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2

Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?

31

Jika diketahui:

z1 = r1(cos 1 + i sin 1)

z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,



maka secara induksi matematika, diperoleh

rumus perkalian z1

z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .

Akibatnya jika, z = r(cos  + i sin ) maka

zn = rn (cos n + i sin n).

. . . . . . . . . .1

Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre

(cos  + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.
32

Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
z1 r1(cos 1  i sin 1)

berikut:
z2 r2(cos 2  i sin 2 )
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka

z1 r1
diperoleh : z  r [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]
2
2
Dari rumus di atas diperoleh:

z1
arg
 1-2 = arg z1 – arg z2.
z2
33

Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ),
maka:
Untuk:

1  1cos()  i sin()
z r
1 
1
zn rncos n  i sin n

.

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan

penyebut, maka didapat :

1  1 cos(n)  i sin(n)
zn rn

.......2

34

Dari 1 dan 2 diperoleh:

zn  rn cos(n)  i sin(n)

Dalil De-Moivre

berlaku untuk semua n bilangan bulat.

35

Contoh:
Hitunglah :
Jawab :



3  i

6

Misalkan z  3  i,

maka

r  z  3 1 2
tan    1
3
karena z di kuadran IV, maka dipilih   30o

jadi





3  i  2 cos 30o  i sin 30o
3  i

6





 26 cos 180o  i sin 180o
 26(1  0)



 26

36

Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari

bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis z 

1
wn.

Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh:

n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan
n= +2k , k bulat.

Akibatnya  

1
rn

dan

    2k
n

Jadi . . .

37

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
1
  2k
n
)
r [cos(

  2k)],
+
i
sin
(
n
n
k bulat dan n bilangan asli.
z=

Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang
memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);

0    2k < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn
n
sebagai akar ke-n dari z.

38

Contoh :

Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian

persamaan z4 = -81.

Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),
diperoleh 4 = 81, atau  = 3 dan     2k
.

Jadi z = 3[cos(   2k )+i sin(   2k )]

4

4

4

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
39

Latihan Soal Bab I

1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z

dan

b. z  z

5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. z 2+ z1.z2 = 2Re(z1. z 2)
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.

40

7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6

b. z + i = z – i
c. 1 < z – i < 3

8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15

10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0

41