MATEMATIKA TEKNIK MATEMATIKA TEKNIK MATEMATIKA TEKNIK
BAB I
PENDAHULUAN
I.1. Latar Belakang
Perhitungan secara numerik dalam matematika teknik kimia mempunyai
berbagai macamnya. Perhitungan secara numerik baik linier maupun non linier dapat
diaplikasikan pengerjaannya di MATLAB. Untuk kali ini perhitungan secara numerik
akan dijelaskan dua macam yaitu metode newton rhapson dan metode secant. Kedua
metode tersebut mempunyai persamaan sama – sama mencari akar – akar dalam suatu
persamaan dari persamaan polinomial kompleks, atau persamaan yang turunan
pertamanya sangat sulit didapatkan.
Metode secant sendiri merupakan satu metoda yang digunakan untuk mencari
nilai akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami dengan menggunakan
bantuan model segitiga. Sedangkan untuk metode rhapson merupakan metode yang
paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil.
Kedua metode tersebut diaplikasikan kedalam matlab. Dimana dari suatu soal
dapat dikerjakan menggunakan matlab dengan membuat suatu program, hasilnya
akan sama dengan perhitungan secara manual. Penggunaan aplikasi matlab dalam
menentukan akar – akar persamaan akan lebih mudah.
I.2. Tujuan
a. Memahami aplikasi suatu perhitungan dengan menggunakan matlab.
b. Memahami perhitungan metode newton raphson dengan menggunakan
pemrograman komputer matlab.
c. Memahami perhitungan metode secant dengan menggunakan pemrograman
komputer matlab.
I.3. Manfaat
a. Praktikan dapat memahami aplikasi suatu perhitungan dengan menggunakan
matlab.
b. Praktikan dapat memahami perhitungan metode newton raphson dengan
menggunakan pemrograman komputer matlab.
c. Praktikan dapat memahami perhitungan metode secant dengan menggunakan
pemrograman komputer matlab.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
a. Metode Newton Raphson
Metode newton raphson merupakan metode pencarian akar suatu fungsi f(x)
dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini
yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode
Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat"
dengan akar yang diinginkan.
Grafik.1 grafik metode newton raphson antara x dengan f(x)
Prosedur Metode Newton :
Menentukan x0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis
l) yang menyinggung titik f(x0). Hal ini berakibat garis l memotong sumbu – x di titik
x1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x1 dianggap sebagai titik
awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x2, x3, …
xn dengan xn yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati
akar yang sebenarnya.
Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson
persamaan garis l : y – y0 = m(x – x0)
y – f(x0) = f’(x0)(x – x0)
x1 adalah perpotongan garis l dengan sumbu – x
0 – f(x0) = f’(x0)(x1 – x0)
y = 0 dan x = x1 maka koordinat titik (x1, 0)
–
f (x 0 )
f ' (x 0)
= (x1 – x0)
x1 = x0 –
x0
f'¿
f ( x0 )
¿
x2 = x1 –
f ( x1 )
f ' (x 1)
xn = xn-1-
f ( xn −1)
f ' ( x n−1)
untuk n = 1, 2, 3, …
(http://aimprof08.wordpress.com/2012/08/31/metode-newton-raphsonnewton-raphson-method/)
Hal lain yang harus diperhatikan adalah bahwa Metode Newton-Raphson ini
memberikan beban tambahan kepada penggunanya, karena adanya keharusan
menghitung fungsi turunan f ' (xn) , di setiap iterasi (titik xn ). Hal ini merupakan
salah satu kekurangan dari metode ini, mengingat tidak semua fngsi dapat diturunkan
atau mempunyai turunan pada suatu interval yang kontinyu. Namun, sekali lagi,
analisis tentang kelemahan metode ini masih dapat diterima mengingat kecepatan
konvergensinya yang relatif paling baik.
Algoritma Metode Newton Raphson :
1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f1(x0)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| ≥ e
x n+1=x n−
f ( x n)
'
f (x n )
6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
(http://mayswitch15.wordpress.com/2012/12/18/metode-newton-raphson/)
Contoh program metode newton rahpson
clear all;
clc;
syms x;
disp('^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^');
disp('program newton rahpson');
disp('^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^');
disp('persamaan (x^3+x^2-x+1)');
disp('turunan persamaan (3*x^2+2*x-1)');
x1=input('masukkan nilai x0=');
x2=input('masukkan nilai x1=');
y1=x^3+x^2-x+1;
y2=3*x^2+2*x-1;
fo1=subs(y1,x,x1);
fo2=subs(y2,x,x2);
xin=x1-(fo1/fo2);
fo3=subs(y1,x,xin);
tol=0.00000027;
disp('=================================================');
disp('x1
x2
xin
fo1
fo2
fo3');
disp('=================================================');
disp([x1'
x2'
xin'
fo1'
fo2'
fo3']);
while abs ((xin - x1)/xin) > tol
x1=xin;
fo1=subs(y1,x,x1);
fo2=subs(y2,x,xin);
xin=x1-(fo1/fo2);
fo3=subs(y1,x,xin);
end
disp([x1'
x2'
xin'
fo1'
fo2'
fo3']);
Hasil
b. Metode Secant
Metode secant merupakan metode penyempurnaan dari metode newton
rhapson. Metoda secant merupakan salah satu metoda yang digunakan untuk mencari
nilai akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami dengan menggunakan
bantuan model segitiga dalam penyelesainnya seperti berikut, dengan X 0 dan X1
merupakan batas yang dijadikan acuan awal untuk mencari nilai X yang sebenarnya.
Tujuan dan Fungsi
Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan masalah yang terdapat
pada metode Newton-Raphson yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama
yaitu f‘ (x).
Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan
diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope.
(http://millatulkhaniifah28.blogspot.com/2012/11/metode-secant.html)
Algoritma Metode Secant
1. Definisikan fungsi F(x)
2. Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu
x0 dan x1,sebaiknya
menjamin
titik
gunakan metode tabel atau grafis untuk
pendakatannya
adalah
titik
pendekatan
yang
konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.
4. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)| Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn –
Yn-1)
6. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x)
harus memiliki turunan f’(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak
semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide
dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini
lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan
gradien garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)). Perhatikan gambar dibawah
ini.
Grafik 3. Grafik metode secant antara x dengan f(x)
Persamaan garis l adalah
x−x 1
y −f ( x1 )
=
x 0−x 1 f ( x 0 )−f (x 1)
Karena x = x2 maka y = 0, sehingga diperoleh
x 2−x 1
0−f ( x 1)
=
x 0−x 1 f ( x 0 )−f (x 1)
−f ( x 1 ) [ x 0−x 1 ]
x2 – x1 =
f ( x 0 ) −f (x 1 )
f ( x 1) [x 0−x 1 ]
x2 = x1 –
= x1 –
f ( x 0 ) −f ( x1 )
f ( x1 ) ¿
f ( x 1) −f (x 0)
secara umum rumus Metode Secant ini ditulis
xn+1 = xn –
f ( x n ) [x n−x n−1 ]
f ( x n )−f ( x n−1)
(http://aimprof08.wordpress.com/2012/09/01/metode-secant-secant-method/)
Prosedur Metode Secant :
Ambil dua titik awal, misal x0 dan x1. Ingat bahwa pengambilan titik awal
tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x2
menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x1 dan x2
sebagai titik awal dan hitung x3. Kemudian ambil x2 dan x3 sebagai titik awal dan
hitung x4. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai
error yang cukup kecil.
(http://fir4h4yu.wordpress.com/2012/12/12/metode-secant/)
DAFTAR PUSTAKA
Aimprof08, 2012 (
http://aimprof08.wordpress.com/2012/08/31/metode-newtonraphson-newton-raphson-method/) diakses pada tanggal 23 Maret 2014 pada
jam 15.21 WIB
Aimproff08 (
http://aimprof08.wordpress.com/2012/09/01/metode-secant-secantmethod/) diakses pada tanggal 23 Maret 2014 jam 15,56 WIB
Fir4h4yu, 2012 (http://fir4h4yu.wordpress.com/2012/12/12/metode-secant/) diakses
tanggal 23 Maret 2012 jam 16.25 WIB
Mayswitch, 2012 (
http://mayswitch15.wordpress.com/2012/12/18/metode-newtonraphson/) diakses tanggal 23 Maret 2014 pada jam 14.22 WIB
Millatulkhaniifah, 2012 (
http://millatulkhaniifah28.blogspot.com/2012/11/metodesecant.html) diakses tanggal 23 Maret 2014 jam 15.45 WIB
PENDAHULUAN
I.1. Latar Belakang
Perhitungan secara numerik dalam matematika teknik kimia mempunyai
berbagai macamnya. Perhitungan secara numerik baik linier maupun non linier dapat
diaplikasikan pengerjaannya di MATLAB. Untuk kali ini perhitungan secara numerik
akan dijelaskan dua macam yaitu metode newton rhapson dan metode secant. Kedua
metode tersebut mempunyai persamaan sama – sama mencari akar – akar dalam suatu
persamaan dari persamaan polinomial kompleks, atau persamaan yang turunan
pertamanya sangat sulit didapatkan.
Metode secant sendiri merupakan satu metoda yang digunakan untuk mencari
nilai akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami dengan menggunakan
bantuan model segitiga. Sedangkan untuk metode rhapson merupakan metode yang
paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil.
Kedua metode tersebut diaplikasikan kedalam matlab. Dimana dari suatu soal
dapat dikerjakan menggunakan matlab dengan membuat suatu program, hasilnya
akan sama dengan perhitungan secara manual. Penggunaan aplikasi matlab dalam
menentukan akar – akar persamaan akan lebih mudah.
I.2. Tujuan
a. Memahami aplikasi suatu perhitungan dengan menggunakan matlab.
b. Memahami perhitungan metode newton raphson dengan menggunakan
pemrograman komputer matlab.
c. Memahami perhitungan metode secant dengan menggunakan pemrograman
komputer matlab.
I.3. Manfaat
a. Praktikan dapat memahami aplikasi suatu perhitungan dengan menggunakan
matlab.
b. Praktikan dapat memahami perhitungan metode newton raphson dengan
menggunakan pemrograman komputer matlab.
c. Praktikan dapat memahami perhitungan metode secant dengan menggunakan
pemrograman komputer matlab.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
a. Metode Newton Raphson
Metode newton raphson merupakan metode pencarian akar suatu fungsi f(x)
dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini
yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode
Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat"
dengan akar yang diinginkan.
Grafik.1 grafik metode newton raphson antara x dengan f(x)
Prosedur Metode Newton :
Menentukan x0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis
l) yang menyinggung titik f(x0). Hal ini berakibat garis l memotong sumbu – x di titik
x1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x1 dianggap sebagai titik
awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x2, x3, …
xn dengan xn yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati
akar yang sebenarnya.
Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson
persamaan garis l : y – y0 = m(x – x0)
y – f(x0) = f’(x0)(x – x0)
x1 adalah perpotongan garis l dengan sumbu – x
0 – f(x0) = f’(x0)(x1 – x0)
y = 0 dan x = x1 maka koordinat titik (x1, 0)
–
f (x 0 )
f ' (x 0)
= (x1 – x0)
x1 = x0 –
x0
f'¿
f ( x0 )
¿
x2 = x1 –
f ( x1 )
f ' (x 1)
xn = xn-1-
f ( xn −1)
f ' ( x n−1)
untuk n = 1, 2, 3, …
(http://aimprof08.wordpress.com/2012/08/31/metode-newton-raphsonnewton-raphson-method/)
Hal lain yang harus diperhatikan adalah bahwa Metode Newton-Raphson ini
memberikan beban tambahan kepada penggunanya, karena adanya keharusan
menghitung fungsi turunan f ' (xn) , di setiap iterasi (titik xn ). Hal ini merupakan
salah satu kekurangan dari metode ini, mengingat tidak semua fngsi dapat diturunkan
atau mempunyai turunan pada suatu interval yang kontinyu. Namun, sekali lagi,
analisis tentang kelemahan metode ini masih dapat diterima mengingat kecepatan
konvergensinya yang relatif paling baik.
Algoritma Metode Newton Raphson :
1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f1(x0)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| ≥ e
x n+1=x n−
f ( x n)
'
f (x n )
6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
(http://mayswitch15.wordpress.com/2012/12/18/metode-newton-raphson/)
Contoh program metode newton rahpson
clear all;
clc;
syms x;
disp('^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^');
disp('program newton rahpson');
disp('^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^');
disp('persamaan (x^3+x^2-x+1)');
disp('turunan persamaan (3*x^2+2*x-1)');
x1=input('masukkan nilai x0=');
x2=input('masukkan nilai x1=');
y1=x^3+x^2-x+1;
y2=3*x^2+2*x-1;
fo1=subs(y1,x,x1);
fo2=subs(y2,x,x2);
xin=x1-(fo1/fo2);
fo3=subs(y1,x,xin);
tol=0.00000027;
disp('=================================================');
disp('x1
x2
xin
fo1
fo2
fo3');
disp('=================================================');
disp([x1'
x2'
xin'
fo1'
fo2'
fo3']);
while abs ((xin - x1)/xin) > tol
x1=xin;
fo1=subs(y1,x,x1);
fo2=subs(y2,x,xin);
xin=x1-(fo1/fo2);
fo3=subs(y1,x,xin);
end
disp([x1'
x2'
xin'
fo1'
fo2'
fo3']);
Hasil
b. Metode Secant
Metode secant merupakan metode penyempurnaan dari metode newton
rhapson. Metoda secant merupakan salah satu metoda yang digunakan untuk mencari
nilai akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami dengan menggunakan
bantuan model segitiga dalam penyelesainnya seperti berikut, dengan X 0 dan X1
merupakan batas yang dijadikan acuan awal untuk mencari nilai X yang sebenarnya.
Tujuan dan Fungsi
Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan masalah yang terdapat
pada metode Newton-Raphson yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama
yaitu f‘ (x).
Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan
diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope.
(http://millatulkhaniifah28.blogspot.com/2012/11/metode-secant.html)
Algoritma Metode Secant
1. Definisikan fungsi F(x)
2. Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu
x0 dan x1,sebaiknya
menjamin
titik
gunakan metode tabel atau grafis untuk
pendakatannya
adalah
titik
pendekatan
yang
konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.
4. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)| Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn –
Yn-1)
6. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x)
harus memiliki turunan f’(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak
semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide
dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini
lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan
gradien garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)). Perhatikan gambar dibawah
ini.
Grafik 3. Grafik metode secant antara x dengan f(x)
Persamaan garis l adalah
x−x 1
y −f ( x1 )
=
x 0−x 1 f ( x 0 )−f (x 1)
Karena x = x2 maka y = 0, sehingga diperoleh
x 2−x 1
0−f ( x 1)
=
x 0−x 1 f ( x 0 )−f (x 1)
−f ( x 1 ) [ x 0−x 1 ]
x2 – x1 =
f ( x 0 ) −f (x 1 )
f ( x 1) [x 0−x 1 ]
x2 = x1 –
= x1 –
f ( x 0 ) −f ( x1 )
f ( x1 ) ¿
f ( x 1) −f (x 0)
secara umum rumus Metode Secant ini ditulis
xn+1 = xn –
f ( x n ) [x n−x n−1 ]
f ( x n )−f ( x n−1)
(http://aimprof08.wordpress.com/2012/09/01/metode-secant-secant-method/)
Prosedur Metode Secant :
Ambil dua titik awal, misal x0 dan x1. Ingat bahwa pengambilan titik awal
tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x2
menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x1 dan x2
sebagai titik awal dan hitung x3. Kemudian ambil x2 dan x3 sebagai titik awal dan
hitung x4. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai
error yang cukup kecil.
(http://fir4h4yu.wordpress.com/2012/12/12/metode-secant/)
DAFTAR PUSTAKA
Aimprof08, 2012 (
http://aimprof08.wordpress.com/2012/08/31/metode-newtonraphson-newton-raphson-method/) diakses pada tanggal 23 Maret 2014 pada
jam 15.21 WIB
Aimproff08 (
http://aimprof08.wordpress.com/2012/09/01/metode-secant-secantmethod/) diakses pada tanggal 23 Maret 2014 jam 15,56 WIB
Fir4h4yu, 2012 (http://fir4h4yu.wordpress.com/2012/12/12/metode-secant/) diakses
tanggal 23 Maret 2012 jam 16.25 WIB
Mayswitch, 2012 (
http://mayswitch15.wordpress.com/2012/12/18/metode-newtonraphson/) diakses tanggal 23 Maret 2014 pada jam 14.22 WIB
Millatulkhaniifah, 2012 (
http://millatulkhaniifah28.blogspot.com/2012/11/metodesecant.html) diakses tanggal 23 Maret 2014 jam 15.45 WIB